Mengen. Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Mengen und Mengenoperationen. Notation und Terminologie. Bertrand Russell ( )

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1 Mengen Mthemtische Grundlgen der Computerlinguistik Mengen und Mengenopertionen Dozentin: Wieke Petersen 1 Folienstz Georg Cntor ( ) Eine Menge ist eine Zusmmenfssung von estimmten wohlunterschiedenen Ojekten unserer Anschuung oder unseres Denkens (welche die Elemente gennnt werden) zu einem Gnzen Mengen werden üer ihre Elemente estimmt Elemente von Mengen können seler Mengen sein Mengen können endlich oder unendlich sein Wieke Petersen mth Grundlgen 1 Wieke Petersen mth Grundlgen 3 Nottion und Terminologie Vrilen für Mengen: A,B,C,,M,N, Vrilen für Elemente:,,c,,x,y,z Ist m ein Element von M so schreit mn m M Ist m kein Element von M so schreit mn m M Zwei Mengen A und B sind genu dnn identisch oder gleich, wenn jedes Element von A uch Element von B ist und wenn jedes Element von B uch Element von A ist Es git genu eine Menge, die keine Elemente enthält, die leere Menge (Symol:, es gilt = { }) Mengen mit genu einem Element werden Einermengen (singleton) gennnt N= {1,2,3,} ist die Menge der ntürlichen Zhlen N 0 = {0,1,2,3,} ist die Menge der ntürlichen Zhlen mit 0 Z= {, 3, 2, 1,0,1,2,3,} ist die Menge der gnzen Zhlen Q ist die Menge der rtionlen Zhlen (lle Bruchzhlen ) R ist die Menge der reellen Zhlen (lle Kommzhlen ) Bertrnd Russell ( ) Russels Antinomie (1901) Sei M die Menge ller Mengen, die sich nicht selst ls Element enthlten Gilt M M oder M M? Ausweg: Theorie der Typen (Principi Mthemtic, Russel & Whitehed ) Mengen werden stufenweise ufgeut und sind immer von einem höheren Typ ls ihre Elemente Wieke Petersen mth Grundlgen 4 Wieke Petersen mth Grundlgen 5

2 Grellings Prdoxie Mengeneschreiungen Ein Adjektiv heiße utologisch, wenn es sich selst eschreit (Bsp: dreisilig, hplogistisch, kurz, xenonymisch, djektivisch, verl, voklenthltend, exquisit, ) heterologisch, wenn es sich nicht selst eschreit (Bsp: zweisilig, essr, grün, ) Ist heterologisch heterologisch? (nch DR Hofstdter: Gödel, Escher, Bch) In diesem Kurs werden Mengen so eschrieen, dss keine Prdoxien uftreten Prdoxien der Selstezüglichkeit zeichnende Hände von MC Escher Explizite Mengendrstellung { 1, 2,, n } ist die Menge, die genu die Elemente 1, 2,, n enthält Beispiel: {2,3,4,5,6,7} Implizite Mengendrstellung {x A} ist die Menge, die genu die Ojekte x enthält, uf die die Aussge A zutrifft Beispiel: {x R x N und 1 < x und x < 8}, Wieke Petersen mth Grundlgen 6 Wieke Petersen mth Grundlgen 7 Hinweise zur expliziten Mengendrstellung Hinweise zur impliziten Mengendrstellung Beschreiung durch Aufzählung oder -listung nur für endliche Mengen möglich Die Klmmern { und } heißen Mengenklmmern oder geschweifte Klmmern Reihenfolge der Elemente spielt keine Rolle: {,,c} = {c,,} Elemente können in der Klmmernottion mehrfch uftreten: {,,c} = {,,,,,,c} Beschreiung mittels chrkteristischer Eigenschft { Element Grundereich Eigenschft von Element } {x G E(x)} ( Menge ller x in G mit der Eigenschft E ) Bsp: {x N x ist eine gerde Zhl} Wenn der Grundereich us dem Kontext eknnt ist oder sich us der Eigenschft ergit, knn er weggelssen werden Bsp: {x x ist eine Primzhl} Sttt des Symols verwendet mn uch ds Symol : Also {x N : x ist eine Primzhl} Wieke Petersen mth Grundlgen 8 Wieke Petersen mth Grundlgen 9

3 Hinweise zur impliziten Mengendrstellung Teilmengen Beschreiung mittels rekursiver Definition Beispiel: Menge der Nchkommen von Georg Cntor 1 Festlegung endlich vieler Strtelemente: Die Kinder von Cntor sind Nchkommen von Cntor 2 Konstruktionsvorschrift für zusätzliche Elemente: Wenn x ein Nchkomme von Cntor ist, dnn ist jedes Kind von x ein Nchkomme von Cntor 3 Einschränkung: Nichts sonst ist ein Nchkomme von Cntor Ws ist, wenn Cntor keine Kinder htte? Lässt sich so uch die Menge der Nchkommen von Aristoteles definieren? oder die von Merlin? Eine Menge N ist eine Teilmenge der Menge M (in Zeichen: N M) genu dnn, wenn lle Elemente von N uch Elemente von M sind Wenn x N, dnn x M Wenn y M, dnn muss y N nicht unedingt gelten, es knn er gelten Eine Menge N ist eine echte Teilmenge der Menge M (in Zeichen: N M) genu dnn, wenn N eine Teilmenge von M ist und wenn M und N ungleich sind N M und N M Es git ein y M mit y N Wenn N M, dnn ist M eine Üermenge von N (in Zeichen: M N) Wenn M N und M N dnn ist M eine echte Üermenge von N (in Zeichen: M N) Wieke Petersen mth Grundlgen 10 Wieke Petersen mth Grundlgen 11 Teilmengen Mächtigkeit von Mengen x M: x ist ein Element der Menge M 2 {1,2,3} 2 {1,3,5} {3} {M M ist eine Einermenge} {3} {3} N M: Die Menge N ist eine Teilmenge der Menge M {2,3} {1,2,3,4} {2,3} {2,3} {1,2,3,4} (Die leere Menge ist eine Teilmenge jeder Menge!) {3} {M M ist eine Einermenge} N M: Die Menge N ist eine echte Teilmenge der Menge M {1} {1,2} {1,2} {1,2} Vorsicht: Die Element-von- und die Teilmengenreltion müssen streng unterschieden werden! Zwei Mengen M und N hen diesele Mächtigkeit oder heißen gleichmächtig (in Zeichen: M = N ), wenn es eine eineindeutige Zuordnung der Elemente von M uf N git (dh, die Zuordnung ordnet jedem Element us M genu ein Element us N und jedem Element us N genu ein Element us M zu) endliche Mengen Die Mächtigkeit einer endlichen Menge (in Zeichen: M ) ist die Anzhl ihrer Elemente Beispiele: = 0 {1,2} = 2 {{1,2}} = 1 Vorsicht: nicht lle unendlichen Mengen sind gleichmächtig! Wieke Petersen mth Grundlgen 12 Wieke Petersen mth Grundlgen 13

4 Mengenopertionen (unäre Potenzmengenopertion) Mengenopertionen sind Aildungen, die einer oder mehreren Mengen eindeutig eine Menge zuordnen Einstellige Opertionen werden uch unäre und zweistellige uch inäre Opertionen gennnt Die Potenzmengenopertion ist eine unäre Opertion, die jeder Menge ihre Potenzmenge zuordnet Die Potenzmenge einer Menge M ist die Menge ller möglichen Teilmengen von M, lso P OT (M) = {N N M} Mn schreit uch 2 M für die Potenzmenge von M P OT ({1,2,3}) = { }, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 2, 3 }, { 1, 2, 3 }, Mächtigkeit der Potenzmenge Für endliche Mengen gilt: ist M eine n-elementige Menge, so ist P OT (M) = 2 n n n Möglichkeiten Wieke Petersen mth Grundlgen 14 Wieke Petersen mth Grundlgen 15 Mengenopertionen (inäre Opertionen) Mengenopertionen Schnitt: A B A geschnitten mit B A B = {x x A und x B} Differenz: A \B (oder A B) A ohne B A \B = {x x A und x B} Beispiele A = {1,2,3,4}, B = {3,4,5}, U = {1,2,3,4,5,6,7}, A B = {1,2,3,4,5}, A B = {3,4} A \B = {1,2}, A = {5,6,7} Vereinigung: A B A vereinigt mit B A B = {x x A oder x B} Komplement (in U): C U (A) Komplement von A in U C U (A) = U \A Wenn U feststeht, schreit mn uch A Nottion Zwei Mengen A und B mit leerem Schnitt heißen disjunkt (A B = ) Wenn A eine Menge von Mengen ist, schreien wir A für die Vereinigung ller Elemente von A (Bsp: {B,C,D} = B C D) Wenn A eine Menge von Mengen ist, schreien wir A für den Schnitt ller Elemente von A (Bsp: {B,C,D} = B C D) Häufig werden uch Indizes und Indexmengen zur Nottion verwendet Bsp: Sei A i = {x N 0 x i}, dnn 3 i 5 A i = {0,1,2,3,4,5} und 3 i 5 A i = {0,1,2,3} Wieke Petersen mth Grundlgen 16 Wieke Petersen mth Grundlgen 17

5 Eigenschften der Mengeopertionen (Schnitt und Vereinigung) Gesetze der Komplementopertion Kommuttivgesetze: Assozitivgesetze: A B = B A A B = B A (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) de Morgn: weitere Gesetze: Distriutivgesetze: Idempotenzgesetze: A B = A B A B = A B A = A A A = (A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C) A A = A A A = A ist neutrles Element der Vereinigung: A = A = A Git es uch ein neutrles Element des Schnitts? Wieke Petersen mth Grundlgen 18 Wieke Petersen mth Grundlgen 19 n-tupel und Crtesisches Produkt Mengen sind ungeordnet, häufig werden jedoch geordnete Listen enötigt: Mthemtische Grundlgen der Computerlinguistik Reltionen und Funktionen Dozentin: Wieke Petersen 2 Folienstz n-tupel Ein n-tupel ist eine Liste mit n 1 Elementen Im Gegenstz zu Mengen ist die Reihenfolge festgelegt und jedes Element knn elieig oft vorkommen Beispiel: 2,3,1,,e,e,s,i,i,p,l 2-Tupel werden uch (geordnete) Pre gennnt Crtesisches Produkt Ds Crtesische Produkt (oder Kreuzprodukt) von n Mengen M 1 M n ist die Menge ller n-tupel deren i-tes Element us M i stmmt M 1 M n := { x 1,,x n x i M i für i = 1,,n} Sttt M M M schreit mn uch M n, wenn M genu n-ml uftritt Beispiel M 1 = {,,c}, M 2 = {,d} M 1 M 2 = {,,,d,,,,d, c,, c,d } M 1 = Wieke Petersen mth Grundlgen 20 Wieke Petersen mth Grundlgen 21

6 Reltionen Definition Eine Teilmenge des Crtesischen Produktes von n Mengen R M 1 M n heißt n-stellige Reltion Eine Reltion R ist lso eine Menge von n-tupeln Hinweis: Reltionen werden extensionl definiert Es ist unerhelich, wie die Reltion chrkterisiert (oder ennnt) wird Wichtig ist llein, welche Ojekte zueinnder in der Reltion stehen Für Reltionen werden häufig die Buchsten R, S, T verwendet Beispiele Schwester von Mutter von weiliches Elternteil von ilden ein Qurtet Teilmenge von inäre Reltionen inäre Reltionen sind Mengen geordneter Pre wenn in der Reltion R zu steht, dnn schreit mn, R oder R oder R(,) oder R Wenn R A B, dnn sgt mn, dss R eine Reltion zwischen A und B ist Wenn R A A, dnn sgt mn, dss R eine Reltion uf A ist Wieke Petersen mth Grundlgen 22 Wieke Petersen mth Grundlgen 23 Outline Functionl Concepts Frmes Conclusion inverse und komplementäre Reltion Interprettion of Reltionl Concepts Beispiel: exmpleverwndtschftsterme inverse Reltion Die inverse Reltion zu einer inären Reltion R A B ist die Reltion R 1 = {, B A, R} komplementäre Reltion Die komplementäre Reltion zu einer inären Reltion R A B zwischen A und B ist die Reltion R = A B \R Beispielfmilie exmple fmily Ann Tom Sue Bo Liz Tim Pm Mx mother denottionl ht δ(mother) ls Sohn = {Ann, Liz} Ann R son Bo mother Tom reltionl R son ( mother Bo of ) Bo Sue R son Ann Mx Bo Bo R son Ann Tim Liz Tim R son Liz Mx Liz Pm R son Liz Tim Mx Liz Functionl Concepts nd Frmes Wieke Petersen Wieke Petersen mth Grundlgen 25 Wieke Petersen mth Grundlgen 26

7 Outline Functionl Concepts Frmes Conclusion Interprettion of Reltionl Concepts Beispiel: exmpleverwndtschftsterme Eigenschften inärer Reltionen Sei R A A eine inäre Reltion uf A Beispielfmilie exmple fmily Sue Ann Tom Bo Liz Tim Pm Mx mother denottionl ht δ(mother) ls Mutter = {Ann, Liz} Sue R mother Ann mother reltionl ( mother of ) Bo R mother Ann Tim Sue R mother AnnLiz Pm Bo R mother AnnLiz Mx Tim R mother Liz Liz Pm Liz Mx Liz R ist reflexiv gdw für lle A gilt, dss R R ist irreflexiv gdw für kein A gilt, dss R Die Reltion ht m selen Tg Geurtstg uf der Menge der Menschen ist reflexiv Die Reltion ist Mutter von uf der Menge der Menschen ist irreflexiv Die Reltion knn die Quersumme des Geurtstgs von erechnen uf der Menge der Menschen ist weder reflexiv noch irreflexiv Welche Bedingungen erfüllen die Beispielreltionen n der Tfel? Functionl Concepts nd Frmes Wieke Petersen Wieke Petersen mth Grundlgen 27 Wieke Petersen mth Grundlgen 29 Eigenschften inärer Reltionen Sei R A A eine inäre Reltion uf A Eigenschften inärer Reltionen R ist symmetrisch gdw für lle, A mit R uch R gilt R ist symmetrisch gdw für, A niemls sowohl R ls uch R gilt Sei R A A eine inäre Reltion uf A R ist trnsitiv gdw für lle,,c A us R und Rc immer Rc folgt R ist intrnsitiv gdw für lle,,c A mit R und Rc niemls Rc gilt Die Reltion ist verheirtet mit ist symmetrisch Die Reltion ist größer ls ist symmetrisch Die Reltion ist Teilmenge von ist ntisymmetrisch R ist ntisymmetrisch gdw für lle, A us R und R folgt, dss = Welche Bedingungen erfüllen die Beispielreltionen n der Tfel? c Die Reltion ist Vorfhr von ist trnsitiv Die Reltion steht genu eine Treppenstufe höher ls ist intrnsitiv Die Reltion kennt ist weder trnsitiv noch intrnsitiv Welche Bedingungen erfüllen die Beispielreltionen n der Tfel? Wieke Petersen mth Grundlgen 30 Wieke Petersen mth Grundlgen 31

8 Definitions- und Werteereich einer Reltion Wenn R A B eine inäre Reltion ist, dnn heißt dom(r) = { A es git ein B mit (,) R} der Definitionsereich (domin) von R Die Menge rng(r) = { B es git ein A mit (,) R} heißt der Werteereich (rnge) von R Beispiel: A = {,,c,d}, B = {1,2,3,4,5}, R = {(,1),(,2),(c,3)} dom(r) = {,c}, rng(r) = {1,2,3} Äquivlenzreltion Äquivlenzreltion Eine Reltion R A A ist eine Äquivlenzreltion uf A, gdw R reflexiv, symmetrisch und trnsitiv ist Wenn R eine Äquivlenzreltion ist und R gilt, dnn sgt mn, dss äquivlent ist zu ezüglich R Für Äquivlenzreltionen verwendet mn häufig ds Symol Beispiele: Gleichheit ist im selen Semester wie ht gleich viele Elemente wie ht die sele Fre wie Welche der Beispielreltionen n der Tfel sind Äquivlenzreltionen? Wieke Petersen mth Grundlgen 32 Wieke Petersen mth Grundlgen 33 Äquivlenzreltion Äquivlenzreltion Äquivlenzklsse Sei R eine Äquivlenzreltion uf A Die Äquivlenzklsse eines Elements A ist die Menge ller zu äquivlenten Elemente von A, lso [] R = { A R} Die Menge A/R = {[] R A} ller Äquivlenzklssen von Elementen us A ezüglich R heißt Quotient von A ezüglich R Hinweis: Äquivlenzklssen können per Definition nicht leer sein Sei R eine Äquivlenzreltion uf A Dnn gilt: Zwei Äquivlenzklssen von R sind entweder disjunkt oder identisch: für lle, A gilt entweder [] R [] R = oder [] R = [] R Die Äquivlenzklssen von R decken gnz A : A/R = A Eine Menge P P OT (A) ist eine Prtition (oder disjunkte Zerlegung) von A, gdw P = A und für lle X,Y P mit X Y gilt X Y = Folglich ildet der Quotient einer Äquivlenzreltion eine Prtition der Grundmenge Wieke Petersen mth Grundlgen 34 Wieke Petersen mth Grundlgen 35

9 Funktionen Definition Eine Reltion R D W ist eine Funktion (oder Aildung), wenn sie jedem Element us D genu ein Element us W zuordnet Funktionen müssen lso die Bedigungen der Existenz und Eindeutigkeit erfüllen: Existenz: Für jedes x D git es ein y W mit x,y R Eindeutigkeit: Wenn x,y R und x,z R, dnn y = z Nottion und Terminologie Für Funktionen verwendet mn häufig die Buchsten f,g,h,f,g,h Wenn f A B eine Funktion ist, dnn sgt mn, dss f eine Funktion von A nch B ist, und schreit f : A B A wird dnn der Definitionsereich und B der Werteereich von f gennnt Wenn, f, dnn sgt mn, dss die Funktion f dem Element den Wert zuweist, und schreit f () = oder f : Elemente des Definitionsereiches heißen Argumente und Elemente des Werteereiches heißen Werte einer Funktion Wenn C A und f : A B, dnn ezeichnet f C : C B die Einschränkung der Funktion f uf C Für lle c C gilt f C (c) = f (c) Im Kontext von prtiellen Funktionen werden Funktionen, die die Existenzedingung erfüllen, häufig totle Funktionen gennnt Eine Reltion, für die die Eindeutigkeitsedingung (er nicht unedingt die Existenzedingung) gilt, heißt prtielle Funktion Wieke Petersen mth Grundlgen 36 Wieke Petersen mth Grundlgen 37 Beispiele Funktionseigenschften Sei f : D W eine Funktion Sei A = {,,c,d} B = {1,2,3,4,5} Die Reltion R A B mit R = {(,1),(,2),(c,3)} ist keine prtielle Funktion Die Reltion R A B mit R = {(,1),(c,3),(d,1)} ist eine prtielle er keine totle Funktion Die Reltion R A B mit R = {(,2),(,1),(c,3),(d,1)} ist eine totle und folglich uch eine prtielle Funktion f ist injektiv (Engl: one-to-one), wenn keine zwei verschiedenen Elemente des Definitionsereiches denselen Wert zugewiesen ekommen Wenn lso für lle x,y D gilt: f (x) = f (y) gdw x = y f ist surjektiv (Engl: onto), wenn jedes Element von W mindestens einem Element von D ls Wert zugewiesen wird Wenn es lso für jedes y W ein x D git, für ds f (x) = y gilt f ist ijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist Merke: Eine Funktion f ist ijektiv, gdw f 1 eine Funktion ist Wieke Petersen mth Grundlgen 38 Wieke Petersen mth Grundlgen 39

10 Komposition von Funktionen Seien f : A B und g : B C zwei Funktionen Die Funktion g f : A C mit g f = {(x,z) A C es git ein y B mit (x,y) f und (y,z) g} ist die Komposition (oder Verkettung) von f und g Es gilt (g f )(x) = g(f (x)) Die Funktion g f weist einem Element x A ds Element us C zu, ds mn erhält, wenn mn zunächst f uf x nwendet und uf ds Ergenis noch g nwendet Identitätsfunktion Die Funktion id A : A A mit f = {(,) A A} (oder f () = für lle A) heißt die Identität(sfunktion) uf A A c f B g r s t C c id A c A c g f r s t C A A Wieke Petersen mth Grundlgen 40 Wieke Petersen mth Grundlgen 41 mehrstellige Funktionen Chrkteristische Funktion einer Teilmenge Der Definitionsereich einer Funktion knn selst eine Reltion sein Eine Funktion A 1 A 2 A n B heißt n-stellige Funktion Beispiel: Die Addition der ntürlichen Zhlen + : N 0 N 0 N 0 knn ls zweistellige Funktion ufgefsst werden Zweistellige Opertionen ilden zweistellige Funktionen (Bsp: Schnitt, Vereinigung, ) n-stellige Funktionen sind n + 1-stellige Reltionen (Bsp: Mutter) Eine Teilmenge N M lässt sich mithilfe ihrer chrkteristischen Funktion eschreien Die chrkteristische Funktion einer Teilmenge N M ist die Funktion χ : M {0,1}, für die gilt: χ(x) = 1 genu dnn, wenn x N Für die chrkteristische Funktion von N M schreit mn häufig uch χ N Es gilt: { 1 wennx N χ N : M {0,1}; χ N (x) = 0 sonst Wieke Petersen mth Grundlgen 42 Wieke Petersen mth Grundlgen 43

11 Mengen von Funktionen Mit M N ezeichnet mn die Menge ller Funktionen von N nch M Also: M N = {f : N M f ist eine Funktion} Chrkteristische Funktion und Potenzmenge Wir hen gesehen, dss mn für die Potenzmenge einer Menge M uch 2 M schreien knn Wrum? In 2 M steht 2 für die 2-elementige Menge {0,1} Die Potenzmenge einer Menge M lässt sich ls Menge ller chrkteristischen Funktionen ihrer Teilmengen uffssen: P OT (M) = 2 M = {f : M {0,1} f ist eine Funktion} n Wieke Petersen mth Grundlgen 44 Wieke Petersen mth Grundlgen 45 Alphete und Wörter Mthemtische Grundlgen der Computerlinguistik formle Sprchen Dozentin: Wieke Petersen 3 Folienstz Definition Alphet Σ: endliche Menge von Symolen / Zeichen Wort: eine endliche Kette/Folge x 1 x n von Symolen/Zeichen eines Alphets (mit n 0) Ds Wort, ds us null Zeichen esteht heißt leeres Wort und wird mit ε ezeichnet Die Menge ller Wörter üer einem Alphet Σ ezeichnen wir mit Σ Σ + = Σ \ {ε} ist die Menge der nichtleeren Wörter Länge eines Wortes w : Gesmtzhl der Zeichen eines Wortes w ( c = 6, ε = 0) Wieke Petersen mth Grundlgen 46 Wieke Petersen mth Grundlgen 47