Ein Skript für Analysis I und II

Transkript

1 Ein Skript für Anlysis I und II Chris Preston Sommersemester

2 2 Dies ist ein Skript für Anlysis I und II. Die erste Hälfte ist ber nicht geeignet ls Skript für Anlysis I: Dfür gibt es ein eigenes Skript. Vielmehr ist es ls Begleittext zur Vorlesung Anlysis II gemeint, ds mit dem Stoff von Anlysis I us dem Blickpunkt des zweiten Semesters beginnt. Die Texte von Lng [13], Königsberger [10], [11] und Ammn und Escher [1], [2] hben die Drstellung beeinflusst. Chris Preston Februr, 2003

3 3 Inhltsverzeichnis 1 Mengen und Abbildungen 5 2 Der Körper der rtionlen Zhlen 13 3 Der Körper der reellen Zhlen 20 4 Der Körper der komplexen Zhlen 27 5 Vektorräume und Algebren 31 6 Metrische Räume 36 7 Konvergenz von Folgen 45 8 Vollständige metrische Räume 56 9 Unendliche Reihen Topologie metrischer Räume Stetige Funktionen Stetige Funktionen im Reellen Kompktheit Trigonometrische Funktionen Differentilrechnung in einer Vriblen Mittelwertsätze Integrtion von Regelfunktionen Integrtion und Differentition Gleichmäßige Konvergenz Differentilrechnung Differentilrechnung: Fortsetzung 170

4 4 22 Implizite Funktionen Die zweite Ableitung 187 Litertur 203 Index 204

5 1 Mengen und Abbildungen Sind α und β (mthemtische) Objekte, so bedeutet α = β, dss sie gleich sind. Sind sie nicht gleich, so schreibt mn α β. Die wichtigsten Typen von Objekten sind Mengen und Abbildungen. Ist X eine Menge und x ein Objekt, so bedeutet x X, dss x ein Element von X ist. Ist x kein Element von X, so schreibt mn x / X. Fkt 1 Mengen X und Y sind genu dnn gleich, wenn sie us den gleichen Elementen bestehen, d.h., wenn für jedes Objekt x gilt: x X genu dnn, wenn x Y. Beknnte Mengen sind: Die Menge N = {0, 1, 2,... } der ntürlichen Zhlen. Die Menge Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } der gnzen Zhlen. Die Menge Q der rtionlen Zhlen. Eine Menge Y heißt Teilmenge einer Menge X (geschrieben Y X), wenn jedes Element von Y uch zu X gehört, d.h., wenn y X für jedes y Y. Insbesondere gilt N Z Q. Lemm 1.1 Für Mengen X und Y gilt X = Y genu dnn, wenn X Y und Y X. Beweis Übung. Sei X eine Menge. Ist E(x) ein Ausdruck, der eine Aussge drstellt, wenn für x ein Element von X eingesetzt wird, so heißt E Eigenschft uf X. Fkt 2 Sei X eine Menge und sei E eine Eigenschft uf X; dnn gibt es eine (eindeutige) Teilmenge von X, die us llen Elementen x von X besteht, für die E(x) whr ist; sie wird mit {x X : E(x)} bezeichnet. Zum Beispiel sei E(n) der Ausdruck 3 < n < 7; dnn ist E eine Eigenschft uf N und {n N : 3 < n < 7} ist die Teilmenge von N, die us den Elementen 4, 5 und 6 besteht. Sei Y Teilmenge einer Menge X und sei E(x) der Ausdruck x / Y. Dnn ist E eine Eigenschft uf X und die Teilmenge {x X : x / Y } von X wird mit X \ Y bezeichnet. Sie heißt ds Komplement von Y (in X). 5

6 1 Mengen und Abbildungen 6 Fkt 3 Es gibt eine Menge, die kein Element enthält: Für jedes Objekt x gilt lso x /. Die Menge heißt leere Menge. Lemm 1.2 Die leere Menge ist eindeutig, d.h. sie ist die einzige Menge, die kein Element enthält: Ist eine Menge mit x / für jedes Objekt x, so ist =. Beweis Übung. Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge, d.h., X für jede Menge X. Eine Menge X heißt nichtleer, wenn X, d.h., wenn es mindestens ein Objekt x mit x X gibt. Fkt 4 Sind x 1,..., x n endlich viele Objekte, so gibt es eine (eindeutige) Menge P, die genu us diesen Elementen besteht: Ist w eine Objekt, so gilt w P genu dnn, wenn w = x k für (mindestens) ein k = 1,..., n. Diese Menge P wird mit {x 1,..., x n } bezeichnet. Sei I eine nichtleere Menge und für jedes i I sei X i eine Menge. Dnn heißt {X i : i I} Fmilie von Mengen und I die Indexmenge für diese Fmilie. (Mn merke, dss es hier nicht verlngt wird, dss X i X j, flls i j.) Ds einfchste Beispiel ist mit I = [n] für ein n 1, wobei [n] die Teilmenge {1, 2,..., n} von N bezeichnet. Eine Fmilie {X i : i [n]} besteht lso us den n Mengen X 1,..., X n. Fkt 5 Zu jeder Fmilie {X i : i I} von Mengen gibt es eine (eindeutige) Menge V mit der Eigenschft: Für jedes Objekt x gilt x V genu dnn, wenn x X i für (mindestens) ein i I. Die Menge V heißt Vereinigung der Mengen in der Fmilie {X i : i I} und wird mit i I X i bezeichnet. Fkt 6 Zu jeder Fmilie {X i : i I} von Mengen gibt es eine (eindeutige) Menge D mit der Eigenschft: Für jedes Objekt x gilt x D genu dnn, wenn x X i für lle i I. Die Menge D heißt Durchschnitt der Mengen in der Fmilie {X i : i I} und wird mit i I X i bezeichnet. Sind X 1,..., X n endlich viele Mengen, so wird die Vereinigung (bzw. der Durchschnitt) der Mengen in der Fmilie {X i : i [n]} mit X 1 X n oder n k=1 X k (bzw. X 1 X n oder n k=1 X k) bezeichnet.

7 1 Mengen und Abbildungen 7 Fkt 7 Zu jeder Menge X gibt es eine (eindeutige) Menge P(X), deren Elemente genu die Teilmengen von X sind. Für jedes Objekt Y gilt lso Y P(X) genu dnn, wenn Y eine Menge ist mit Y X. Die Menge P(X) heißt Potenzmenge von X. D X, ist P(X); insbesondere ist P(X) stets nichtleer. Die Menge P( ) besteht us dem einzigen Element, d.h., P( ) = { }. Seien X und Y Mengen. Eine Abbildung oder eine Funktion f von X nch Y ist eine Vorschrift, die jedem Element von X genu ein Element von Y zuordnet. Ds dem Element x X zugeordnete Element von Y wird mit f(x) bezeichnet. Ist f eine Abbildung, so schreibt mn f : X Y um zu zeigen, dss f eine Abbildung von X nch Y ist. Ist f : X Y eine Abbildung, so heißt X Definitionsbereich von f und wird mit dom(f) bezeichnet. Die Teilmenge von Y {y Y : es gibt ein x X mit y = f(x)} heißt Bild von f und wird mit im(f) bezeichnet. Fkt 8 Abbildungen f : X Y und f : X Y sind genu dnn gleich, wenn gilt: X = X, Y = Y und f(x) = f (x) für jedes x X. Für jede Menge Y gibt es genu eine Abbildung von nch Y. Es gibt eine Abbildung von einer Menge X nch genu dnn, wenn X =. Einfche Beispiele von Abbildungen sind: (1) Für jede Menge X gibt es die Identitätsbbildung id X : X X, die definiert ist durch id X (x) = x für jedes x X. (2) Ist X eine Menge und Y eine Teilmenge von X, so gibt es die Inklusionsbbildung in Y,X : Y X, die definiert ist durch in Y,X (y) = y für jedes y Y. Insbesondere ist id X = in X,X. (3) Sind X und Y Mengen, so gibt es für jedes y Y die konstnte Abbildung con y : X Y, die definiert ist durch con y (x) = y für jedes x X. Fkt 9 Sind X, Y, Z Mengen und f : X Y und g : Y Z Abbildungen, so gibt es die Abbildung g f : X Z, die definiert ist durch (g f)(x) = g(f(x)) für lle x X. Diese Abbildung heißt die Komposition von f und g und wird oft lediglich mit gf bezeichnet. Für jede Abbildung f : X Y gilt f id X = f = id Y f.

8 1 Mengen und Abbildungen 8 Lemm 1.3 (Assozitivität der Komposition) Seien W, X, Y, Z Mengen und f : W X, g : X Y und h : Y Z Abbildungen. Dnn gilt h (g f) = (h g) f. Beweis Übung. Aufgrund der Assozitivität ist es unnötig, bei Kompositionen Klmmern zu setzen, d.h., die Abbildung in Lemm 1.3 knn einfch mit h g f bezeichnet werden. Ist f : X Z eine Abbildung und Y eine Teilmenge von X, so gibt es die Abbildung f Y = f in Y,X ; lso ist f Y : Y Z definiert durch f Y (y) = f(y) für jedes y Y und heißt Restriktionsbbildung. Insbesondere ist f X = f. Eine Abbildung f : X Y heißt injektiv, wenn f(x) f(x ) für lle x, x X mit x x, surjektiv, wenn es zu jedem y Y ein x X mit y = f(x) gibt (d.h., wenn im(f) = Y ), und bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Für jede Menge X ist die Identitätsbbildung id X : X X bijektiv. Ist Y eine Teilmenge von X, so ist die Inklusionsbbildung in Y,X : Y X injektiv; sie ist ber nur dnn surjektiv, wenn Y = X. Ist f : X Z eine injektive Abbildung, so ist die Restriktionsbbildung f Y : Y Z uch injektiv für jede Teilmenge Y von X. Lemm 1.4 Seien f : X Y und g : Y Z Abbildungen. Sind f und g injektiv (bzw. surjektiv bzw. bijektiv), so ist die Komposition g f uch injektiv (bzw. surjektiv bzw. bijektiv). Beweis Übung. Lemm 1.5 Seien X, Y Mengen und sei f : X Y eine Abbildung. (1) Gibt es eine Abbildung g : Y X mit g f = id X, so ist f injektiv. (2) Ist X nichtleer und ist f injektiv, so gibt es eine Abbildung g : Y X mit g f = id X. (3) Gibt es eine Abbildung g : Y X mit f g = id Y, so ist f surjektiv. (4) Ist f surjektiv, so gibt es eine Abbildung g : Y X mit f g = id Y. Beweis Übung. Im Beweis für Lemm 1.5 (4) wird ds so gennnte Auswhlxiom benötigt:

9 1 Mengen und Abbildungen 9 Fkt 10 Sei {X i : i I} eine Fmilie von nichtleeren Mengen. Dnn existiert eine Abbildung f : I i I X i mit f(i) X i für jedes i I. Stz 1.1 Eine Abbildung f : X Y ist genu dnn bijektiv, wenn es eine Abbildung g : Y X mit g f = id X und f g = id Y gibt. In diesem Fll ist g eindeutig bestimmt. Beweis Die Behuptung ist trivil richtig, flls X = ; es knn lso ngenommen werden, dss X nichleer ist. Nehme zunächst n, dss es eine Abbildung g : Y X mit g f = id X und f g = id Y gibt. Nch Lemm 1.5 (1) (bzw. nch Lemm 1.5 (3)) ist f dnn injektiv (bzw. surjektiv) und dmit ist f bijektiv. Nehme nun umgekehrt n, dss f bijektiv ist. Insbesondere ist f injektiv, und folglich gibt es nch Lemm 1.5 (4) eine Abbildung g : Y X mit g f = id X. Aber dnn gilt uch f g = id Y : Sei y Y ; d f surjektiv ist, gibt es ein x X mit y = f(x) und drus folgt, dss (f g)(y) = (f g)(f(x)) = ((f g) f)(x) = (f (g f))(x) = (f id X )(x) = f(id X (x)) = f(x) = y = id Y (y). Dies zeigt, dss (f g)(y) = id Y (y) für lle y Y, d.h., f g = id Y. Schließlich muss die Eindeutigkeit von g nchgewiesen werden: Seien g, g : Y X Abbildungen mit g f = id X, f g = id Y, g f = id X und f g = id Y. Dnn gilt g = g id Y = g (f g) = (g f) g = id X g = g. Sei f : X Y eine bijektive Abbildung; nch Stz 1.1 gibt es eine eindeutige Abbildung g : Y X mit g f = id X und f g = id Y. Diese Abbildung g heißt die Umkehrbbildung von f und wird mit f 1 bezeichnet, es gilt lso f 1 f = id X und f f 1 = id Y. Offensichtlich ist id 1 X = id X für jede Menge X. Lemm 1.6 Sind f : X Y und g : Y Z bijektive Abbildungen, so ist (g f) 1 = f 1 g 1. (Erinnerung: Nch Lemm 1.4 ist die Abbildung g f : X Z bijektiv.) Beweis Übung. Sei f : X Y eine Abbildung. Für jedes A X heißt die Teilmenge von Y {y Y : es gibt ein x A mit y = f(x)}

10 1 Mengen und Abbildungen 10 ds Bild von A unter f und wird mit f(a) bezeichnet. Insbesondere ist f(x) ds Bild von f, d.h., f(x) = im(f). Für jedes B Y heißt die Teilmenge von X {x X : f(x) B} ds Urbild von B unter f und wird mit f 1 (B) bezeichnet. Es gibt eigentlich kein Problem mit dieser Schreibweise, wenn f : X Y eine bijektive Abbildung ist, d in diesem Fll ds Bild einer Teilmenge B von Y unter der Umkehrbbildung f 1 gleich dem Urbild von B unter f ist. Fkt 11 Seien X, Y Mengen; dnn gibt es eine (eindeutige) Menge Abb(X, Y ), deren Elemente genu die Abbildungen von X nch Y sind. Für jedes Objekt f gilt lso f Abb(X, Y ) genu dnn, wenn f eine Abbildung von X nch Y ist. Sei {X i : i I} eine Fmilie von Mengen und setze V = i I X i. Die Menge {f Abb(I, V ) : f(i) X i für lle i I} heißt ds (crtesische) Produkt der Mengen in der Fmilie {X i : i I} und wird mit i I X i bezeichnet. Lemm 1.7 Ist {X i : i I} eine Fmilie von nichtleeren Mengen, so ist ds Produkt i I X i uch nichtleer. Beweis Dies ist lediglich eine Umformulierung des Auswhlxioms. Seien X 1,..., X n endlich viele Mengen; in diesem Fll wird ds Produkt der Mengen in der Fmilie {X i : i [n]} mit n k=1 X k oder X 1 X n bezeichnet. Die Menge X 1 X n besteht lso us llen Abbildungen f : [n] n k=1 X k mit f(k) X k für jedes k. Für jedes k = 1,..., n sei x k X k ; dnn gibt es ein eindeutiges Element f X 1 X n mit f(k) = x k für jedes k und dieses Element wird mit (x 1,...,x n ) bezeichnet. Ist umgekehrt f ein Element von X 1 X n, so gibt es für jedes k ein eindeutiges x k X k, so dss f = (x 1,...,x n ). Insbesondere gilt (x 1,...,x n ) = (x 1,...,x n ) genu dnn, wenn x k = x k für jedes k. Ds Produkt X 1 X n knn lso ls Menge ller n-tupeln (x 1,...,x n ) ngesehen werden, wobei x k X k für jedes k = 1,..., n. Seien X und Y Mengen; dnn knn und wird ds Produkt X Y ngesehen werden ls Menge ller geordneten Pre (x, y) mit x X und y Y, wobei geordnet hier bedeutet, dss (x, y) = (x, y ) genu dnn, wenn x = x und y = y.

11 1 Mengen und Abbildungen 11 Sei X eine Menge; eine Teilmenge R von X X wird oft ls (binäre) Reltion uf X ngesehen. In diesem Fll schreibt mn meistens x 1 R x 2 sttt (x 1, x 2 ) R. Für jede Menge X gibt es die Reltionen = und uf X sowie die Reltion uf P(X). Auf den Mengen N, Z und Q gibt es ferner die Ordnungsreltionen <,, > und. Eine Reltion R uf einer Menge X heißt reflexiv, wenn x R x gilt für jedes x X, trnsitiv, wenn us x 1 R x 2 und x 2 R x 3 stets x 1 R x 3 folgt, symmetrisch, wenn x 2 R x 1 gilt für lle x 1, x 2 X mit x 1 R x 2, ntisymmetrisch, wenn us x 1 R x 2 und x 2 R x 1 stets x 1 = x 2 folgt. Die Reltionen =,, und sind reflexiv, =,, <,, > und sind trnsitiv, = und sind symmetrisch und die Reltionen =,, und sind ntisymmetrisch. Eine Reltion uf X, die reflexiv, symmetrisch und uch trnsitiv ist, heißt Äquivlenzreltion uf X. Insbesondere ist = eine Äquivlenzreltion. Wichtiges Beispiel: Sei Q = Z Z, wobei Z = Z \ {0} und definiere eine Reltion uf Q durch: (m 1, n 1 ) (m 2, n 2 ) genu dnn, wenn m 1 n 2 = m 2 n 1. Dnn sieht mn leicht, dss eine Äquivlenzreltion uf Q ist. (Ntürlich wird ds Element (m, n) von Q normlerweise mit m/n bezeichnet.) Im Folgenden sei eine Äquivlenzreltion uf einer Menge X. Setze [x] = {y X : y x} für jedes x X; [x] heißt die Äquivlenzklsse (oder Restklsse) von x. Dnn gilt insbesondere x [x] für jedes x X, d reflexiv ist. Sind x, y X, so bedeutet x y, dss x y nicht gilt. Lemm 1.8 (1) Seien x, y X mit x y; dnn ist [x] = [y]. (2) Seien x, y X mit x y; dnn sind die Äquivlenzklssen [x] und [y] disjunkt, d.h., [x] [y] =. (3) Seien x, y X; dnn gilt entweder [x] = [y] oder [x] [y] =. Beweis (1) Seien u, v X mit u v und sei z [u]. Dnn ist z u und dmit z v, d trnsitiv ist. Folglich ist z [v], und dies zeigt, dss [u] [v], flls u v. Insbesondere ist [x] [y]. Aber y x, d symmetrisch ist, und lso gilt uch [y] [x], d.h., [x] = [y]. (2) Seien x, y X mit [x] [y]. Dnn gibt es ein Element z [x] [y] und dmit gilt z x und z y. Aber dnn ist x z, d symmetrisch ist, und

12 1 Mengen und Abbildungen 12 drus ergibt sich, dss x y, d trnsitiv ist. Folglich ist [x] [y] =, flls x y. (3) Dies folgt unmittelbr us (1) und (2). Definiere nun eine Teilmenge von P(X) durch X/ = {A P(X) : es gibt ein x X mit A = [x]} ; X/ heißt die Restklssenmenge modulo. Eine Teilmenge A von P(X) heißt Prtition oder Zerlegung von X, wenn es zu jedem x X genu ein A A mit x A gibt. Stz 1.2 Die Restklssenmenge X/ ist eine Prtition von X. Beweis Sei x X; dnn ist [x] X/ und x [x]. Sei nun A ein beliebiges Element von X/ mit x A; dnn gibt es y X mit A = [y]. D x A = [y], ist dmit x y, und drus folgt nch Lemm 1.8 (1), dss A = [y] = [x]. Dies zeigt, dss es genu ein A X/ (nämlich A = [x]) mit x A gibt. Ist A eine Prtition von X und x X, so bezeichnet A x ds eindeutige Element von A mit x A x. Stz 1.3 Sei A eine Prtition von X und definiere eine Reltion uf X durch: x y genu dnn, wenn A x = A y. Dnn ist eine Äquivlenzreltion uf X und A = X/. Beweis Dies ist klr. Sei X eine Menge; eine Abbildung : X X X nennt mn Verknüpfung uf X, und in diesem Fll schreibt mn meistens x 1 x 2 sttt (x 1, x 2 ). Zum Beispiel gibt es uf N die zwei Verknüpfungen + : N N N (Addition) und : N N N (Multipliktion). Hier ist eine äußerst wichtige Eigenschft der ntürlichen Zhlen: Fkt 12 (Prinzip der vollständigen Induktion) Sei N eine Teilmenge von N mit 0 N, für die gilt: Für jedes n N ist uch n + 1 N. Dnn ist N = N. Stz 1.4 (Beweis durch vollständige Induktion) Für jedes n N sei A n eine Aussge. Nehme n, A 0 ist richtig und es gilt: Aus der Richtigkeit von A n folgt, dss A n+1 uch richtig ist. Dnn ist A n richtig für jedes n N. Beweis Sei N = {n N : A n ist richtig}; dnn ist 0 N und für jedes n N ist uch n + 1 N. Drus folgt nch dem Prinzip der vollständigen Induktion, dss N = N, d.h., A n ist richtig für jedes n N.

13 2 Der Körper der rtionlen Zhlen Die rtionlen Zhlen Q werden hier ls gegeben vorusgesetzt. Insbesondere ist Q ein Beispiel für einen Körper ein Begriff, der nun eingeführt wird. Ein 5-Tupel (K, +,, 0, 1) bestehend us einer Menge K, einer Verknüpfung (gennnt Addition), einer Verknüpfung + : K K K (λ, µ) λ + µ : K K K (λ, µ) λµ (gennnt Multipliktion) und Elementen 0, 1 K mit 0 1 heißt Körper, wenn folgendes gilt: (K1) (λ + µ) + ν = λ + (µ + ν) für lle λ, µ, ν K. (K2) λ + µ = µ + λ für lle λ, µ K. (K3) 0 + λ = λ für lle λ K. (K4) Zu jedem λ K gibt es ein Element λ K mit ( λ) + λ = 0. (K5) (λµ)ν = λ(µν) für lle λ, µ, ν K. (K6) λµ = µλ für lle λ, µ K. (K7) Für lle λ K gilt 1λ = λ. (K8) Zu jedem λ K mit λ 0 gibt es ein Element λ 1 K mit λ 1 λ = 1. (K9) λ(µ + ν) = λµ + λν für lle λ, µ, ν K. Bemerkung: Nch der üblichen Konvention soll die Addition in K weniger strk binden ls die Multipliktion. (λµ + λν bedeutet lso (λµ) + (λν).) Die Elemente 0 und 1 heißen ds Nullelement oder die Null bzw. ds Einselement oder die Eins. Lemm 2.1 Sei (K, +,, 0, 1) ein Körper. (1) Ds Nullelement 0 ist eindeutig: Ist 0 K ein Element mit 0 + λ = λ für lle λ K, so ist 0 = 0. (2) Zu jedem λ K gibt es genu ein Element λ K mit ( λ) + λ = 0. (3) Ds Einselement 1 ist eindeutig: Ist 1 K ein Element mit 1 λ = λ für lle λ K, so ist 1 = 1. (4) Zu jedem λ K mit λ 0 gibt es genu ein Element λ 1 K mit λ 1 λ = 1. 13

14 2 Der Körper der rtionlen Zhlen 14 Beweis (1) Sei 0 K ein Element mit 0 + λ = λ für lle λ K; insbesondere ist dnn = 0. D ber 0 + λ = λ für lle λ K, ist uch = 0, und nch (K2) ist = Dmit ist 0 = = = 0. (2) Sei λ K und sei λ K mit λ + λ = 0. Unter Anwendung von (K1), (K2), (K3) und (K4) folgt dnn, dss λ = 0 + λ = (( λ) + λ) + λ = ( λ) + (λ + λ ) = ( λ) + (λ + λ) = ( λ) + 0 = 0 + ( λ) = λ. (3) Sei 1 K ein Element mit 1 λ = λ für lle λ K; insbesondere ist dnn 1 1 = 1. D ber 1λ = λ für lle λ K, ist uch 1 1 = 0, und nch (K6) ist 1 1 = 1 1. Dmit ist 1 = 1 1 = 1 1 = 1. (4) Sei λ K und sei λ K \ {0} mit λ λ = 1. Unter Anwendung von (K5), (K6), (K7) und (K8) folgt dnn, dss λ = 1λ = (λ 1 λ)λ = λ 1 (λλ ) = λ 1 (λ λ) = λ 1 1 = 1λ 1 = λ 1. Wenn us dem Kontext klr ist, welche Verknüpfungen + und und Elemente 0 und 1 gemeint sind, dnn wird lediglich K sttt (K, +,, 0, 1) geschrieben. Ist K ein Körper, so wird eine Verknüpfung : K K K (λ, µ) λ µ (gennnt Subtrktion) durch λ µ = λ + ( µ) definiert. Die rtionlen Zhlen Q mit der üblichen Addition und Multipliktion bilden einen Körper. (Ds Nullelement ist 0 und ds Einselement ist 1.) Ist K ein Körper, so wird die Teilmenge K \ {0} von K mit K bezeichnet. Ein Körper K heißt ngeordnet bezüglich einer Teilmenge P von K, wenn gilt: (1) Für jedes λ K ist genu eines von λ und λ in P. (2) Für lle λ, µ P ist λ + µ P und λµ P. Insbesondere ist der Körper Q ngeordnet bezüglich der Teilmenge P Q = {λ Q : λ > 0} von Q. Dies ist ber die einzige Möglichkeit: Lemm 2.2 Ist Q ngeordnet bezüglich einer Teilmenge P, so ist P = P Q.

15 2 Der Körper der rtionlen Zhlen 15 Beweis Übung. Sei K ein Körper ngeordnet bezüglich einer Teilmenge P von K ; dnn wird eine Reltion > uf K definiert durch: Es gilt λ > µ genu dnn, wenn λ µ P. Insbesondere ist P = {λ K : λ > 0}. Vorübergehend wird > die von P bgeleitete Größer-Reltion gennnt. Die von P Q bgeleitete Größer-Reltion uf Q ist ntürlich nichts nderes ls die übliche Größer-Reltion > uf den rtionlen Zhlen. Stz 2.1 Sei K ein Körper ngeordnet bezüglich einer Teilmenge P von K. Dnn besitzt die von P bgeleitete Größer-Reltion > folgende Eigenschften: (1) Es gilt nicht 0 > 0. (2) Für jedes λ K gilt genu eines von λ > 0 und λ > 0. (3) Es gilt λ + µ > 0 und λµ > 0 für lle λ, µ K mit λ > 0, µ > 0. (4) Es gilt λ > µ genu dnn, wenn λ µ > 0. Ist umgekehrt > irgendeine Reltion uf einem Körper K, die (1), (2), (3) und (4) erfüllt, und P = {λ K : λ > 0}, dnn ist P eine Teilmenge von K, K ist ngeordnet bezüglich P und > ist die von P bgeleitete Größer-Reltion. Beweis (1) Dies ist klr, d 0 / P und P = {λ K : λ > 0}. (2) Dies ist uch klr, d für jedes λ K genu eines von λ P und λ P gilt, und P = {λ K : λ > 0}. (3) Seien λ, µ K mit λ > 0, µ > 0. Dnn ist λ P und µ P und dmit uch λ + µ P und λµ P. Folglich ist λ + µ > 0 und λµ > 0. (4) Es gilt λ > µ genu dnn, wenn λ µ P, d.h., λ > µ gilt genu dnn, wenn λ µ > 0. Ist K ein Körper ngeordnet bezüglich einer Teilmenge P von K, so wird dnn meistens lediglich von einem ngeordneten Körper K geredet. Die von P bgeleitete Größer-Reltion wird mit > bezeichnet und die Teilmenge P nicht mehr explizit erwähnt. Im Folgenden sei K ein ngeordneter Körper. Wie in Q wird die Reltion < definiert durch: Es gilt λ < µ genu dnn, wenn µ > λ. Folglich gilt λ < µ genu dnn, wenn µ λ P. Stz 2.2 Die folgenden Rechenregeln gelten für die Reltionen < und >: (1) Sind λ, µ K mit λ µ, so ist genu eine der Aussgen λ < µ und µ < λ richtig.

16 2 Der Körper der rtionlen Zhlen 16 (2) Sind λ, µ, ν K mit λ < µ und µ < ν, so ist λ < ν. (3) Es gilt λ < µ genu dnn, wenn λ > µ. (4) Sind λ, µ K mit λ < µ, so ist λ + ν < µ + ν für lle ν K. (5) Sind λ, µ, ν, K mit λ < µ und ν <, so ist λ + ν < µ +. (6) Sind λ, µ K mit λ < µ und ν > 0, so ist νλ < νµ. (7) Sind λ, µ K mit λ < µ und ν < 0, so ist νµ < νλ. (8) Für jedes λ K ist λλ > 0; insbesondere ist 1 > 0. (9) Ist λ K mit λ > 0, so ist λ 1 > 0. (10) Sind λ, µ K mit λ > 0 und µ > λ, so ist µ 1 < λ 1. Beweis (1) Dies ist klr. (2) Sind λ, µ, ν K mit λ < µ und µ < ν, so ist µ λ P und ν µ P und dmit ν λ = (ν µ) + (µ λ) P, d.h., λ < ν. (3) Es gilt λ < µ genu dnn, wenn µ λ P, und λ > µ gilt genu dnn, wenn λ ( µ) P. Aber λ ( µ) = λ + µ = µ λ. (4) Sind λ, µ K mit λ < µ, so ist µ λ P und dmit (µ + ν) (λ + ν) = µ λ P für lle ν K, d.h., λ + ν < µ + ν für lle ν K. (5) Sind λ, µ, ν, K mit λ < µ und ν <, so ist µ λ P und ν P und dmit uch (µ + ) (λ + ν) = (µ λ) + ( ν) P, d.h., λ + ν < µ +. (6) Sind λ, µ K mit λ < µ und ν > 0, so ist µ λ P und ν P und dmit uch νµ νλ = ν(µ λ) P, d.h., νλ < νµ. (7) Sind λ, µ K mit λ < µ und ν < 0, so ist µ λ P und ν P und dmit uch νλ νµ = ( ν)(µ λ) P, d.h., νµ < νλ. (8) Ist λ P, so ist λλ P und dmit λλ > 0. Ist dgegen λ P, so ist wieder λλ = ( λ)( λ) P, d.h., λλ > 0. Folglich ist λλ > 0 für lle λ K, d für jedes λ K genu eines von λ und λ in P ist. Insbesondere ist 1 = 1 1 > 0. (9) Sei λ K mit λ > 0; dnn ist λ 1 K und dmit ist genu eines von λ 1 und λ 1 in P. Aber λ 1 P ist nicht möglich, d dnn 1 = λ( λ 1 ) P wäre und dher 1 / P (im Widerspruch zu 1 > 0). Also ist λ 1 P, d.h., λ 1 > 0. (10) Seien λ, µ K mit λ > 0 und µ > λ; lso sind λ P, µ λ P und µ = (µ λ)+λ P, und nch (9) ist (µ λ) 1 > 0, d.h., (µ λ) 1 P. Drus folgt, dss λµ(µ λ) 1 P, d.h., λµ(µ λ) 1 > 0. Aber (λ 1 µ 1 )λµ(µ λ) 1 = (µ λ)(µ λ) 1 = 1,

17 2 Der Körper der rtionlen Zhlen 17 d.h., λµ(µ λ) 1 = (λ 1 µ 1 ) 1 und dmit ist nch (9) λ 1 µ 1 > 0, d.h., µ 1 < λ 1. Wie in Q werden die Reltionen und uf K definiert durch: Es gilt λ µ genu dnn, wenn λ < µ oder λ = µ, und λ µ genu dnn, wenn λ > µ oder λ = µ. Für jedes λ K sei der (Absolut)-Betrg λ von λ definiert durch { λ, flls λ 0, λ = λ, flls λ < 0. Stz 2.3 Der Absolut-Betrg ht folgende Eigenschften: (1) Für jedes λ K ist λ 0 und λ = 0 gilt genu dnn, wenn λ = 0. (2) Für lle λ, µ K ist λµ = λ µ. Insbesondere ist λ = λ. (3) Für lle λ, µ K ist λ + µ λ + µ (Dreiecksungleichung). (4) Für lle λ, µ K ist λ µ λ µ (Umgekehrte Dreiecksungleichung). Beweis (1) Für jedes λ K gilt genu eines von λ = 0, λ > 0 und λ < 0. Ist λ > 0, so ist λ = λ > 0, und λ 0. Ist λ < 0, so ist λ = λ > 0, und wieder ist λ 0. Schließlich ist 0 = 0. Für jedes λ K ist lso λ 0 und λ = 0 gilt genu dnn, wenn λ = 0. (2) Sind λ 0 und µ 0, so ist λµ 0 und dmit λµ = λµ = λ µ. Ist λ < 0 und µ 0, so ist λµ = ( λ)µ 0 und dmit ist λµ = λµ = ( λ)µ = λ µ. Genuso gilt λµ = λ µ, wenn λ 0 und µ < 0. Sind schließlich λ < 0 und µ < 0, so ist λµ = ( λ)( µ) > 0 und dmit ist λµ = λµ = ( λ)( µ) = λ µ. Insbesondere ist λ = 1 λ = 1 λ = 1 λ = λ für jedes λ K. (3) Gilt λ 0 und µ 0 oder λ < 0 und µ < 0, so stellt mn leicht fest, dss λ + µ = λ + µ. Nehme lso ohne Beschränkung der Allgemeinheit n, dss λ 0 und µ < 0; dmit ist λ = λ und µ = µ. Ist λ + µ 0, so ist λ + µ = λ + µ und drus ergibt sich, dss λ + µ λ + µ = λ + ( µ) (λ + µ) = ( µ) + ( µ) 0. Ist ndererseits λ + µ < 0, so ist λ + µ = (λ + µ) und hier ist λ + µ λ + µ = λ + ( µ) + (λ + µ) = λ + λ 0. In beiden Fällen ist λ + µ λ + µ 0, d.h., λ + µ λ + µ. (4) Nch (3) ist λ = (λ µ)+µ λ µ + µ und dmit ist λ µ λ µ. Genuso gilt µ λ µ λ = λ µ. Folglich ist λ µ λ µ : Ist λ µ 0, so ist λ µ = λ µ λ µ ; ist ndererseits λ µ < 0, so ist wieder λ µ = ( λ µ ) = µ λ λ µ.

18 2 Der Körper der rtionlen Zhlen 18 Stz 2.4 Sei n 2 und seien λ 1,..., λ n K. (1) Es gibt ein eindeutiges λ K, für ds gilt: λ k λ für lle k = 1,..., n und λ j = λ für mindestens ein j. Ds Element λ wird mit mx{λ k : 1 k n} oder mx{λ 1,...,λ n } bezeichnet. (2) Es gibt ein eindeutiges λ K, für ds gilt: λ k λ für lle k = 1,..., n und λ j = λ für mindestens ein j. Ds Element λ wird mit min{λ k : 1 k n} oder min{λ 1,...,λ n } bezeichnet. Beweis Übung. Stz 2.5 Sei m 2 und λ 1,..., λ m, ε K mit ε > 0 und 0 < λ k+1 λ k < ε für jedes k = 1,..., m 1. Ferner seien µ, ν K mit λ 1 µ < ν λ m und ν µ ε. Dnn gibt es ein k mit µ < λ k < ν. Beweis Übung. Für jedes n N wird ds Element } {{ + 1 } von K mit n bezeichnet. D n ml 1 = 1 > 0 und n + 1 = n + 1 für jedes n N, sieht mn leicht, dss n > 0 für lle n 1. Für jedes λ K und jedes n N wird ds Element } λλ {{ λ} von K n ml mit λ n bezeichnet, wobei λ 0 = 1. Lemm 2.3 (Bernoullische Ungleichung) Sei λ K mit λ > 1. Dnn gilt für lle n N. (1 + λ) n 1 + nλ Beweis Für jedes n N sei A n die Aussge, dss (1 + λ) n 1 + nλ für lle λ > 1 gilt. Dnn ist A 0 richtig, d (1 + λ) 0 = 1 = 1 + 0λ. Sei lso n N und nehme n, dss A n richtig ist. Für λ K mit λ > 1 ist dnn (1 + λ) n+1 = (1 + λ) n (1 + λ) (1 + nλ)(1 + λ) = 1 + nλ + λ + nλ 2 = 1 + (n + 1)λ + nλ 2 = 1 + n + 1λ + nλ n + 1λ, d λ + 1 > 0 und λ 2 0, und folglich ist A n+1 uch richtig. Drus ergibt sich nch Stz 1.4, dss A n für lle n N richtig ist. Lemm 2.4 Sei λ K mit 0 < λ < 1. Für jedes n N gilt dnn (1 + λ) n < n λ.

19 2 Der Körper der rtionlen Zhlen 19 Beweis Für jedes n N sei A n die Aussge, dss (1 + λ) n < n λ für lle λ K mit 0 < λ < 1 gilt. D (1 + λ) 0 = 1 < λ, ist A 0 richtig. Sei lso n N und nehme n, dss A n richtig ist. Für λ K mit 0 < λ < 1 ist dnn (1 + λ) n+1 = (1 + λ) n (1 + λ) < (1 + 3 n λ)(1 + λ) = n λ + λ + 3 n λ n λ + λ + 3 n λ = 1 + (3 n + 3 n + 1)λ 1 + (3 n + 3 n + 3 n )λ = 1 + (3 3 n )λ = n+1 λ, und folglich ist A n+1 uch richtig. Drus ergibt sich nch Stz 1.4, dss A n für lle n N richtig ist.

20 3 Der Körper der reellen Zhlen Ziel dieses Abschnittes ist es, den Körper R der reellen Zhlen einzuführen. Ein Körper K heißt Körpererweiterung eines Körpers F, wenn F K und die Addition (bzw. die Multipliktion) in F die Einschränkung der Addition (bzw. der Multipliktion) in K ist. (Dies bedeutet: Für lle λ, µ F muss λ+µ = λ µ und λ µ = λ µ gelten, wobei + und (bzw. und ) die Addition und die Multipliktion in F (bzw. in K) sind.) Ist K eine Körpererweiterung von F, so ist die Null (bzw. die Eins) in F uch die Null (bzw. die Eins) in K. Der Körper R wird ls ngeordnete Körpererweiterung von Q eintreten, (d.h. ls ein ngeordneter Körper, der gleichzeitig eine Körpererweiterung von Q ist). Im Folgenden sei K eine beliebige ngeordnete Körpererweiterung von Q (wobei nicht uszuschließen ist, dss K = Q). Als Vorbereitung uf die Definition von R werden die Eigenschften von K untersucht. Lemm 3.1 Die Größer-Reltion > uf K ist eine Erweiterung der üblichen Größer-Reltion > uf Q. (Dies bedeutet: Sind x, y Q, so gilt x > y in K genu dnn, wenn x > y in Q gilt.) Beweis Sei K ngeordnet bezüglich der Teilmenge P von K, setze P = P Q, lso ist P Teilmenge von Q. Ist λ P, so ist genu eines von λ und λ in P und dmit ist genu eines von λ und λ in P. Sind ferner λ, µ P, so ist λ + µ P und λµ P und dmit uch λ + µ P und λµ P. Folglich ist Q ngeordnet bezüglich der Teilmenge P von Q und drus ergibt sich nch Lemm 2.2, dss P = P Q = {λ Q : λ > 0}. Ist lso λ Q, so gilt λ > 0 in K genu dnn, wenn λ > 0 in Q gilt. Dher ist die Größer-Reltion > uf K eine Erweiterung der Größer-Reltion > uf Q. Sei D eine Teilmenge von K; ein Element z K heißt dnn obere Schrnke (bzw. untere Schrnke) von D, wenn x z für lle x D (bzw. x z für lle x D) gilt. Die Teilmenge D heißt nch oben (bzw. nch unten) beschränkt, wenn es eine obere Schrnke (bzw. eine untere Schrnke) für D gibt. Sei D eine Teilmenge von K; ein Element z K heißt dnn Supremum von D, flls z die kleinste obere Schrnke von D ist. Genuer bedeutet dies: Einerseits ist z eine obere Schrnke von D, und ist ndererseits z irgendeine obere Schrnke von D, so ist z z. Es ist klr, dss es höchstens ein Element mit diesen zwei Eigenschften gibt. Flls es existiert, wird es mit sup(d) bezeichnet. Anlog heißt z K Infimum von D, flls z die größte untere Schrnke von D ist. Genuer bedeutet dies: Einerseits ist z eine untere Schrnke von D, und ist 20

21 3 Der Körper der reellen Zhlen 21 ndererseits z irgendeine untere Schrnke von D, so ist z z. Wieder ist es klr, dss es höchstens ein Element mit diesen zwei Eigenschften gibt. Flls es existiert, wird es mit inf(d) bezeichnet. Existiert sup(d) (bzw. inf(d)), so ist D ntürlich nch oben beschränkt (bzw. nch unten beschränkt). Sei n 2 fest und für jedes x K mit x > 1 sei W x = {y K : y n < x}. Dnn ist W x nichtleer, d 1 W x, und x ist eine obere Schrnke von W x. (Sei y K mit y n < x. Ist y 1, so ist y 1 < x; ist dgegen y > 1, so ist y < y n < x.) Also ist W x eine nichtleere, nch oben beschränkte Teilmenge von K. Lemm 3.2 Existiert ds Supremum z = sup(w x ), so ist z n = x. Beweis D 1 W x, ist z 1. Nehme n, dss z n < x und sei h = min{, 1/2}, wobei = (x z n )(3 n z n 1 ) 1. Also ist 0 < h < 1, d > 0, und dmit uch 0 < z 1 h < 1, d z 1 1. Nun ist nch Lemm 2.5 (z + h) n = z n (1 + z 1 h) n < z n (1 + 3 n z 1 h) = z n + 3 n z n 1 h z n + 3 n z n 1 = z n + (x z n ) = x, d.h. z + h W x. Aber dnn wäre z keine obere Schrnke von W x, und dies zeigt, dss z n x. Nehme nun n, dss z n > x, setze = (z n x)(nz n 1 ) 1 und sei h = min{, 1/2}. Wieder ist 0 < h < 1, d > 0, und dmit uch z 1 h > 1, d z 1 1. Drus ergibt sich nch Lemm 2.4, dss (z h) n = z n (1 z 1 h) n z n (1 nz 1 h) = z n nz n 1 h z n nz n 1 = z n (z n x) = x > y n für lle y W x. Folglich ist z h > y für lle y W x, d z h 0. (Sind u, v K mit u 0 und u n > v n, so ist u > v.) Aber dnn wäre z h eine obere Schrnke von W x, die kleiner ls z ist, und dies zeigt, dss z n x. Also ist z n = x. Lemm 3.3 Äquivlent sind: (1) Jede nichtleere, nch oben beschränkte Teilmenge von K besitzt ein Supremum. (2) Jede nichtleere, nch unten beschränkte Teilmenge von K besitzt ein Infimum. Beweis (1) (2): Sei A eine nichtleere, nch unten beschränkte Teilmenge von K. Dnn ist A = {x K : x A} eine nichtleere, nch oben beschränkte Teilmenge von K und dmit existiert z = sup(a ). Aber dnn ist z = inf(a).

22 3 Der Körper der reellen Zhlen 22 (2) (1): Anlog. Die Körpererweiterung K heißt ordnungsvollständig, wenn jede nichtleere, nch oben beschränkte Teilmenge von K ein Supremum besitzt. Nch Lemm 3.2 ist Q selbst nicht ordnungsvollständig, d es zum Beispiel keine rtionle Zhl z Q mit z 2 = 2 gibt. Es gibt eine im Wesentlichen eindeutige ordnungsvollständige Körpererweiterung von Q (siehe Stz 3.1 unten): Diese Körpererweiterung ist dnn per Definition der Körper der reellen Zhlen. Für die genue Formulierung der Eindeutigkeit muss hier zunächst erklärt werden, ws ein Körperisomorphismus ist. Seien F, F Körper; eine Abbildung ψ : F F heißt Körperhomomorphismus, wenn ψ(λ+µ) = ψ(λ)+ψ(µ) und ψ(λµ) = ψ(λ)ψ(µ) für lle λ, µ F. Ist ψ ein Körperhomomorphismus, so sieht mn leicht, dss ψ(0) = 0 und ψ(1) = 1. Lemm 3.4 Sei ψ : F F ein Körperhomomorphismus. Ist ψ bijektiv, so ist die Umkehrbbildung ψ 1 : F F uch ein Körperhomomorphismus. Beweis Seien λ, µ F ; d ψ bijektiv ist, gibt es eindeutige Elemente λ, µ F mit λ = ψ(λ) und µ = ψ(µ) und dmit uch mit λ = ψ 1 (λ ) und µ = ψ 1 (µ ). D ψ(λ + µ) = ψ(λ) + ψ(µ), gilt nun ψ 1 (λ + µ ) = ψ 1 (ψ(λ) + ψ(µ)) = ψ 1 (ψ(λ + µ)) = λ + µ = ψ 1 (λ ) + ψ 1 (µ ) und d ψ(λµ) = ψ(λ)ψ(µ), gilt uch ψ 1 (λ µ ) = ψ 1 (ψ(λ)ψ(µ)) = ψ 1 (ψ(λµ)) = λµ = ψ 1 (λ )ψ 1 (µ ). Dies zeigt dnn, dss ψ 1 ein Körperhomomorphismus ist. Ein bijektiver Körperhomomorphismus heißt ein Körperisomorphismus. Körper F und F heißen isomorph, wenn es einen Körperisomorphismus ψ : F F gibt. Stz 3.1 Es gibt eine ordnungsvollständige Körpererweiterung von Q. Sind ferner K und K zwei solche Körpererweiterungen, so gibt es einen eindeutigen Körperisomorphismus ψ : K K, und ψ(x) = x für jedes x Q. Beweis Siehe, zum Beispiel, Ammn und Escher [1], Seite 99. Nch Stz 3.1 gibt es bis uf Isomorphie genu eine ordnungsvollständige Körpererweiterung von Q. Die heißt der Körper der reellen Zhlen und wird mit R bezeichnet. Nch der Definition besitzt jede nichtleere, nch oben beschränkte Teilmenge von R ein Supremum. Nch Lemm 3.3 besitzt dnn uch jede nichtleere, nch unten beschränkte Teilmenge von R ein Infimum.

23 3 Der Körper der reellen Zhlen 23 Lemm 3.5 Sei D eine nichtleere nch oben beschränkte Teilmenge von R und sei z R. Dnn gilt: (1) z sup(d) genu dnn, wenn z x für lle x D. (2) z sup(d) genu dnn, wenn es für jedes ε > 0 ein x D mit z < x + ε gibt. (3) z = sup(d) genu dnn, wenn z x für lle x D und es für jedes ε > 0 ein x D mit z < x + ε gibt. Sei D eine nichtleere nch unten beschränkte Teilmenge von R und z R. Dnn gilt: (4) z inf(d) genu dnn, wenn z x für lle x D. (5) z inf(d) genu dnn, wenn es für jedes ε > 0 ein x D mit z > x ε gibt. (6) z = inf(d) genu dnn, wenn z x für lle x D und es für jedes ε > 0 ein x D mit z > x ε gibt. Beweis (1) Es gilt z sup(d) genu dnn, wenn z eine obere Schrnke von D ist, d.h., genu dnn, wenn z x für lle x D. (2) Sei z sup(d); für jedes ε > 0 ist dnn z ε < sup(d) und dmit ist z ε keine obere Schrnke von D. Es gibt lso ein x D mit z ε < x, d.h., mit z < x + ε. Nehme nun umgekehrt n, dss es für jedes ε > 0 ein x D mit z < x + ε gibt. Dnn ist z ε < sup(d) für jedes ε > 0, d x sup(d) für lle x D. Dmit ist z sup(d) (sonst wäre z ε = sup(d) mit ε = z sup(d) > 0). (3) Dies folgt unmittelbr us (1) und (2). (4), (5) und (6): Wie (1), (2) und (3). Lemm 3.6 Seien D, D nichtleere Teilmengen von R mit D D. (1) Ist D nch oben beschränkt, dnn ist uch D und sup(d) sup(d ). (1) Ist D nch unten beschränkt, so ist uch D und inf(d ) inf(d). Beweis Dies ist klr. Eine Teilmenge D von R heißt beschränkt, wenn sie nch oben und nch unten beschränkt ist, d.h., wenn es u, v R gibt, so dss u x v für lle x D. Mn sieht leicht, dss D genu dnn beschränkt ist, wenn es ein B R mit B 0 gibt, so dss x B für lle x D. Lemm 3.7 Sei D eine nichtleere beschränkte Teilmenge von R; für jedes x D gilt dnn inf(d) x sup(d). Insbesondere ist inf(d) sup(d).

24 3 Der Körper der reellen Zhlen 24 Beweis Dies ist ebenso klr. Sei D eine nichtleere Teilmenge von R; eine Zhl c D heißt Mximum (bzw. Minimum) von D, wenn x c für lle x D (bzw. x c für lle x D). Es ist klr, dss ds Mximum (bzw. ds Minimum) im Flle der Existenz eindeutig bestimmt ist. Ferner ist es klr, dss D nch oben beschränkt (bzw. nch unten beschränkt) ist, flls ds Mximum (bzw. ds Minimum) existiert. Lemm 3.8 (1) Sei D eine nichtleere, nch oben beschränkte Teilmenge von R. Dnn besitzt D ein Mximum genu, wenn sup(d) D, und in diesem Fll ist sup(d) ds Mximum. (2) Sei D eine nichtleere, nch unten beschränkte Teilmenge von R. Dnn besitzt D ein Minimum genu, wenn inf(d) D, und in diesem Fll ist inf(d) ds Minimum. Beweis Dies folgt unmittelbr us den Definitionen. Sei D eine nichtleere endliche Teilmenge von R; dnn besitzt D ein Mximum und ein Minimum. Ist ferner x 1,..., x n irgendeine Aufzählung der Elemente von D, so ist mx{x 1,..., x n } ds Mximum und min{x 1,..., x n } ds Minimum. Stz 3.2 Sei x R mit x 0; für jedes n 2 gibt es dnn eine eindeutige reelle Zhl z mit z 0, so dss z n = x. Diese Zhl z wird mit n x bezeichnet (oder lediglich mit x, flls n = 2). Beweis Es gibt mindestens eine Zhl z 0 mit z n = x: Dies folgt unmittelbr us Lemm 3.2, flls x > 1, und die Fälle x = 0 und x = 1 sind trivil richtig, d 0 n = 0 und 1 n = 1. Es bleibt lso nur der Fll mit 0 < x < 1. Aber hier ist x 1 > 1, dmit gibt es ein y 0 mit y n = x 1 ; folglich ist y 1 > 0 und (y 1 ) n = x. Es gibt höchstens eine Zhl z 0 mit z n = x: Sei y 0 mit y z. Ist y < z (bzw. y > z), so ist y n < z n (bzw. y n > z n ) und dmit ist y n x. Stz 3.3 (Stz von Archimedes) Zu jeder reellen Zhl x R gibt es eine näturliche Zhl n N mit n > x. Mit nderen Worten: Die Teilmenge N von R ist nicht nch oben beschränkt. Beweis Die Aussge ist trivil richtig, wenn x < 0, d in diesem Fll n > x für jedes n N; sei lso x 0. Dnn ist A = {n N : n x} eine nichtleere nch oben beschränkte Teilmenge von R, d 0 A und x eine obere Schrnke von A ist. Folglich existiert ds Supremum z = sup(a). Nun gibt es ein m A mit z 1 < m, sonst wäre z 1 uch eine obere Schrnke von A. Dmit ist n = m + 1 N und n > z. Insbesondere ist n / A (sonst wäre z keine obere Schrnke), d.h. n > x.

25 3 Der Körper der reellen Zhlen 25 Stz 3.4 Zu jedem ε > 0 gibt es ein n N \ {0} mit 1/n < ε. Beweis Sei ε > 0; nch Stz 3.3 gibt es dnn n N \ {0} mit n > ε 1, und drus folgt nch Stz 2.2 (10), dss 1/n < (ε 1 ) 1 = ε. Stz 3.5 (1) Sei x R mit x > 1. Zu jedem c R gibt es dnn ein n N, so dss x n > c. (2) Sei x R mit 0 < x < 1. Zu jedem ε > 0 gibt es dnn ein n N, so dss x n < ε. Beweis (1) Setze y = x 1, lso ist y > 0. Sei nun c R; nch Stz 3.3 gibt es ein n N, so dss n > cy 1. Folglich ist ny > c und dmit ist nch Lemm 2.4 x n = (y + 1) n 1 + ny > 1 + c > c. (2) Setze y = x 1 ; dnn ist y > 1. Sei nun ε > 0; nch (1) gibt es ein n N, so dss y n > ε 1 und nch Stz 2.2 (10) ist dnn x n = (y n ) 1 < (ε 1 ) 1 = ε. Stz 3.6 Seien y, z R mit y < z. Dnn gibt es ein x Q mit y < x < z. Beweis Setze w = mx{ y, z }; nch Stz 3.3 gibt es dnn ein N N mit w < N, und dmit ist N < y < x < N. Ferner gibt es nch Stz 3.4 ein n N \ {0} mit 1/n < z y. Sei nun m = 2Nn + 1 und für k = 1,..., m sei x k = N +(k 1)/n. Dnn ist x 1 = N < y, z < N = x m und für 1 k < m ist x k+1 x k = n 1 < z y. Folglich gibt es nch Lemm 2.3 ein k mit y < x k < z. Aber x j Q für jedes j und dher gibt es ein x Q mit y < x < z. Eine nichtleere Teilmenge I von R heißt Intervll, wenn gilt: Sind, b I mit < b, so ist x I für jedes x R mit < x < b. Offensichtlich ist R selbst ein Intervll sowie die einpunktige Menge {} für jedes R. Weitere Beispiele für Intervlle sind: Für, b R mit < b: [, b] = {x R : x b}, (, b] = {x R : < x b}, Für, b R: [, + ) = {x R : x}, (, b] = {x R : x b}, (, b) = {x R : < x < b}, [, b) = {x R : x < b}. (, + ) = {x R : < x}, (, b) = {x R : x < b}. In der Tt gibt es dnn keine weiteren Beispiele:

26 3 Der Körper der reellen Zhlen 26 Stz 3.7 Sei I R ein Intervll, ds mehr ls einen Punkt enthält. (1) Ist I weder nch unten noch nch oben beschränkt, so ist I = R. (2) Ist I nch unten, ber nicht nch oben beschränkt, dnn gibt es R, so dss I = [, + ) oder I = (, + ). (3) Ist I nch oben, ber nicht nch unten beschränkt, dnn gibt es b R, so dss I = (, b] oder I = (, b). (4) Ist I beschränkt, dnn gibt es, b R mit < b, so dss I eines der vier Intervlle [, b], (, b), (, b] und [, b) ist. Beweis Übung. Es ist oft nützlich, R durch ds Hinzufügen der zwei Symbolen und + zu ergänzen. Die Menge R {, + } heißt dnn erweiterte Zhlengerde und wird mit R bezeichnet. Die Reltion < wird zu einer Reltion < uf R erweitert: Per Definition gilt < x < + für jedes x R. Die nderen Reltionen, > und werden dnn entsprechend erweitert. Genuso wie für Teilmengen von R wird uch ds Supremum und ds Infimum für Teilmengen von R definiert. Stz 3.8 Sei D eine nichtleere Teilmenge von R. (1) Dnn besitzt D ein Supremum sup(d) und ein Infimum inf(d). (2) Ist + D, so gilt sup(d) = +. (3) Ist + / D, so gilt sup(d) = + genu dnn, wenn es zu jedem z R ein x D mit x > z gibt, d.h., wenn D keine obere Schrnke in R besitzt. (4) Es gilt sup(d) = genu dnn, wenn D = { }. (5) Ist D, so gilt inf(d) =. (6) Ist / D, so gilt inf(d) = genu dnn, wenn es zu jedem z R ein x D mit z < x gibt, d.h., wenn D keine untere Schrnke in R besitzt. (7) Es gilt inf(d) = + genu dnn, wenn D = {+ }. (8) Für jedes x D gilt inf(d) x sup(d). (9) Ist D eine Teilmenge von R mit D D, so ist sup(d) sup(d ) und uch inf(d ) inf(d). Beweis Übung.

27 4 Der Körper der komplexen Zhlen Sind K und F Körper, so heißt F Unterkörper von K, wenn K Körpererweiterung von F ist. Für jedes x R ist x 2 0; dher gibt es keine reelle Zhl x mit x 2 = 1. Sei K eine Körpererweiterung von R, die ein Element i enthält, für ds i 2 = 1 gilt; insbesondere ist dnn i / R. Sei L = {z K : es gibt x, y R mit z = x + iy} ; d x = x + i0 und i = 0 + i1, ist R L und i L. Jedes Element in L ht eine eindeutige Drstellung der Form x + iy mit x, y R: Sind x, y, x, y R mit x + iy = x + iy, so ist zunächst y = y, sonst wäre i = (x x)/(y y ) ein Element von R, und wenn y = y, so ist uch x x = i(y y) = 0, d.h. x = x. Lemm 4.1 (1) L ist Unterkörper von K und dmit eine Körpererweiterung von R, die i enthält. (2) Ist M ein Unterkörper von K, der eine Körpererweiterung von R ist und i enthält, so ist L M. Dmit ist L die kleinste Körpererweiterung von R in K, die i enthält. Beweis (1) Seien z, z L; dnn gibt es x, y, x, y R, so dss z = x + iy und z = x + iy, und folglich sind z + z = (x + iy) + (x + iy ) = (x + x ) + i(y + y ), zz = (x + iy)(x + iy ) = (xx yy ) + i(xy + x y) und z = (x + iy) = x + i( y) lle Elemente von L. Ist ferner z 0, so ist σ = x 2 + y 2 > 0, und in diesem Fll ist ( x ) ( x 2 ) ( σ + i y (x + iy) = σ σ + y2 xy + i σ σ yx ) = 1, σ d.h. z 1 = (x/σ) + i( y/σ) ist ein Element von L. (2) Dies ist klr. Betrchte nun eine weitere Körpererweiterung K enthält, für ds j 2 = 1 gilt, und sei von R, die ein Element j L = {z K : es gibt x, y R mit z = x + jy} ; nch Lemm 4.1 ist L die kleinste Körpererweiterung von R in K, die j enthält. 27

28 4 Der Körper der komplexen Zhlen 28 Lemm 4.2 Es gibt einen eindeutigen Körperisomorphismus ψ : L L, so dss ψ(x) = x für lle x R und ψ(i) = j. Beweis Ist ψ : L L ein Körperhomomorphismus mit ψ(x) = x für lle x R und ψ(i) = j, so ist ψ(x+iy) = x+jy für lle x, y R. D ber jedes Element in L eine eindeutige Drstellung der Form x + iy mit x, y R ht, knn umgekehrt eine Abbildung ψ : L L definiert werden durch ψ(x + iy) = x + jy für lle x, y R. Mn sieht leicht, dss diese Abbildung ψ ein Körperisomorphismus mit ψ(x) = x für lle x R und ψ(i) = j ist. Gibt es eine minimle Körpererweiterung von R, die ein Element i enthält, für ds i 2 = 1 gilt, so ist nch Lemm 4.2 diese Erweiterung im Wesentlichen eindeutig. Und in der Tt gibt es eine solche Erweiterung: Sei C = R 2 = {(x, y) : x, y R}, definiere eine Addition + : C C C durch (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) und eine Multipliktion : C C C durch (x, y)(x, y ) = (xx yy, xy + yx ). Dnn ist (C, +,, 0, 1) ein Körper, wobei 0 = (0, 0) und 1 = (1, 0): Es wird ls Übungsufgbe überlssen zu zeigen, dss die Addition und Multipliktion ssozitiv und kommuttiv sind und dss ds distributtive Gesetz gilt. Ds Element (0, 0) (bzw. ds Element (1, 0)) ist die Null (bzw. die Eins) in C, d (0, 0) + (x, y) = (0 + x, 0 + y) = (x, y) und (1, 0)(x, y) = (1x 0y, 1y + 0x) = (x, y) für jedes (x, y) C. Ferner ist (x, y) = ( x, y) für jedes (x, y) C. Ist (x, y) C mit (x, y) (0, 0), so ist σ = x 2 + y 2 > 0 und d.h. (x/σ, y/σ) = (x, y) 1. ( x ( x 2 σ σ), y (x, y) = σ + y2 σ, xy σ yx ) = (1, 0), σ Nun wird R mit der Teilmenge R {0} = {(x, 0) : x R} von C identifiziert. Etws genuer: Für jedes x R wird ds Element x mit dem Element (x, 0) C identifiziert. Diese Identifizierung von R und R {0} C ist verträglich mit den Additionen und Multipliktionen in R und C, d (x, 0) + (x, 0) = (x + x, 0) und (x, 0)(x, 0) = (xx, 0) für lle x, x R. Auf diese Weise knn R ls Unterkörper von C ngesehen werden. Mit nderen Worten, C wird ls Körpererweiterung von R ngesehen.

29 4 Der Körper der komplexen Zhlen 29 Setze nun i = (0, 1); dnn ist (0, 1)(0, 1) = ( 1, 0) = (1, 0), d.h. i 2 = 1. Dmit ist C eine Körpererweiterung von R, die ein Element i enthält, für ds i 2 = 1 gilt. Ferner ist C eine minimle solche Erweiterung: Ist z = (x, y) C, so ist (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) und dmit ht z = (x, y) C die (eindeutige) Drstellung x + iy. In der Prxis wird diese Drstellung ständig verwendet: Es wird lso meistens x + iy sttt (x, y) geschreiben. Ds Element i = (0, 1) in C heißt imginäre Einheit. Sei z = x+iy C mit x, y R; dnn heißt x (bzw. y) Relteil (bzw. Imginärteil) von z und wird mit Re z (bzw. mit Im z) bezeichnet. Ferner heißt x iy die zu z konjugierte komplexe Zhl und sie wird mit z bezeichnet. Mn sieht sofort, dss die folgenden Rechenregeln gelten: (1) Rez = (z + z)/2 und Im z = (z z)/2i für lle z C. (2) z = z für lle z C. (3) z = z genu dnn, wenn z R. (4) z + w = z + w und zw = z w für lle z, w C. (5) Für z = x + iy (mit x, y R) ist zz = x 2 + y 2. Sei z C; nch (5) ist zz eine nichtnegtive reelle Zhl und ihre (nichtnegtive) Qudrtwurzel zz wird mit z bezeichnet und heißt der Betrg von z. Also ist z = (Re z) 2 + (Im z) 2. Diese Bezeichnung stimmt mit dem uf R definierten Betrg, d für x R ist { x, flls x 0, x = x, flls x < 0. Stz 4.1 Folgende Rechenregeln gelten für den Betrg: (1) zw = z w für lle z, w C. (2) Rez z, Im z z und z = z für lle z C. (3) z = 0 genu dnn, wenn z = 0. (4) z + w z + w für lle z, w C (Dreiecksungleichung). (5) z w z w für lle z, w C (Umgekehrte Dreiecksungleichung).

30 4 Der Körper der komplexen Zhlen 30 Beweis (1) Für lle z, w C ist zw = zwzw = zzww = zz ww = z w. (2) Sei z = x + iy C mit x, y R; dnn ist z = x 2 + y 2 und drus ergibt sich, dss Rez = x 2 x 2 + y 2 = z, Imz = y 2 x 2 + y 2 = z und z = x 2 + ( y) 2 = x 2 + y 2 = z. (3) Dies ist klr: Für lle x, y R ist x 2 + y 2 = 0 genu dnn, wenn x = y = 0. (4) Für jedes ζ C ist ζ + ζ = 2 Reζ; folglich gilt nch (1) und (2), dss z + w 2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w) = zz + zw + zw + ww = z Re(zw) + w 2 z zw + w 2 = z z w + w 2 = ( z + w ) 2, und dmit ist z + w z + w. (5) Nch (4) gilt z = z w + w z w + w und dmit z w z w, und genuso gilt ( z w ) = w z w z = z w. Drus ergibt sich, dss z w z w. Eine Teilmenge D von C heißt beschränkt, wenn es ein B R mit B 0 gibt, so dss z B für lle z D. Lemm 4.3 Eine Teilmenge D von C ist genu dnn beschränkt, wenn Re(D) und Im(D) beschränkte Teilmengen von R sind. Beweis Sei D beschränkt; dnn gibt es ein B R mit B 0, so dss z B für lle z D. Nch Stz 4.1 (2) ist lso Rez B und Imz B für lle z D, und dmit sind Re(D) und Im(D) beschränkt. Sind umgekehrt Re(D) und Im(D) beschränkte Teilmengen von R, dnn gibt es B 1, B 2 R mit B 1 0 und B 2 0, so dss Rez B 1 und Imz B 2 für lle z D. Drus ergibt sich, dss z B1 2 + B2 2 für lle z D, d.h., D ist eine beschränkte Teilmenge von C.

31 5 Vektorräume und Algebren Im Folgenden sei K ein Körper. Ein Vektorrum über K ist ein 4-Tupel (V, +,, 0) bestehend us einer Menge V, einer Verknüpfung (Addition) + : V V V (λ, µ) λ + µ einer Verknüpfung (Multipliktion mit Sklren) : K V V (λ, v) λv und einem Element 0 V, für ds folgendes gilt: (1) (u + v) + w = u + (v + w) für lle u, v, w V. (2) u + v = v + u für lle u, v V. (3) 0 + v = v für lle v V. (4) Zu jedem v V gibt es ein Element v V mit ( v) + v = 0. (5) (λµ)v = λ(µv) für lle λ, µ K, v V. (6) 1v = v für lle v V. (7) λ(u + v) = λu + λv für lle λ K, u, v V. (8) (λ + µ)v = λv + µv für lle λ, µ K, v V. Bemerkung: Nch der üblichen Konvention soll die Addition in V weniger strk binden ls die Multipliktion mit Sklren. (λu + λv bedeutet lso (λu) + (λv) und λv + µv bedeutet (λv) + (µv).) Ds Element 0 heißt ds Nullelement oder die Null. Ein Vektorrum über K wird uch K-Vektorrum gennnt. Lemm 5.1 Sei (V, +,, 0) ein Vektorrum über K. (1) Ds Nullelement 0 ist eindeutig: Ist 0 V ein Element mit 0 + v = v für lle v V, so ist 0 = 0. (2) Zu jedem v V gibt es genu ein Element v V mit ( v) + v = 0. Beweis Übung. Wenn us dem Kontext klr ist, welche Verknüpfungen + und und welches Element 0 gemeint sind, dnn wird lediglich V sttt (V, +,, 0) geschrieben. 31

32 5 Vektorräume und Algebren 32 Lemm 5.2 Sei V ein Vektorrum über K und seien λ K, v V. Dnn ist λv 0 genu, wenn λ 0 und v 0. Beweis Übung. Beispiele von Vektorräumen: 1. Sei n 1; definiere + : K n K n K n und : K K n K n durch (λ 1,..., λ n ) + (µ 1,...,µ n ) = (λ 1 + µ 1,...,λ n + µ n ), λ(µ 1,...,µ n ) = (λµ 1,..., λµ n ). Dnn ist (K n, +,, 0) ein Vektorrum über K, wobei 0 = (0,..., 0). Für jedes (λ 1,...,λ n ) K n ist (λ 1,...,λ n ) = ( λ 1,..., λ n ). 2. Sei X eine Menge. Für f, g Abb(X, K) und λ K definiere Abbildungen f + g, λf Abb(X, K) durch (f + g)(x) = f(x) + g(x) und (λf)(x) = λf(x). Mit diesen Verknüpfungen + : Abb(X, K) Abb(X, K) Abb(X, K) und : K Abb(X, K) Abb(X, K) ist Abb(X, K) ein Vektorrum über K. Die Nullbbildung 0 : X K (mit 0(x) = 0 für lle x X) ist die Null und für jedes f Abb(X, K) ist f Abb(X, K) durch ( f)(x) = f(x) für lle x X gegeben. 3. Seien m, n 1 und sei M(m n, K) die Menge ller m n Mtrizen über K. Für A = ( ij ), B = (b ij ) M(m n, K) und λ K definiere Mtrizen A + B, λa M(m n, K) durch A + B = ( ij + b ij ) und λa = (λ ij ). Mit diesen Verknüpfungen + : M(m n, K) M(m n, K) M(m n, K) und : K M(m n, K) M(m n, K) ist M(m n, K) ein K-Vektorrum. Die Nullmtrix 0 ist die Null in M(m n, K) und für jedes A = ( ij ) M(m n, K) ist A = ( ij ). 4. (Verllgemeinerung von 2.) Sei X eine Menge und sei V ein K-Vektorrum. Für f, g Abb(X, V ) und λ K definiere Abbildungen f + g, λf Abb(X, V ) durch (f + g)(x) = f(x) + g(x) und (λf)(x) = λf(x). Mit diesen Verknüpfungen + : Abb(X, V ) Abb(X, V ) Abb(X, V ) und : K Abb(X, V ) Abb(X, V ) ist Abb(X, V ) ein Vektorrum über K. Die Nullbbildung 0 : X V ist die Null und für f Abb(X, V ) ist f Abb(X, V ) durch ( f)(x) = f(x) gegeben. Sei V ein Vektorrum über K. Eine Teilmenge U V heißt Untervektorrum von V, wenn 0 U und λu + µv U für lle u, v U, λ, µ K. Insbesondere ist V selbst Untervektorrum von V. Ferner ist {0} stets Untervektorrum von V, (d nch Lemm 5.2 λ0 = 0 für jedes λ K). Sei U ein Untervektorrum von V. Dnn induzieren die Verknüpfungen + und Verknüpfungen + : U U U und : K U U. Mit diesen induzierten Verknüpfungen (und mit dem Nullelement 0 us V ) ist U ein K-Vektorrum.