Analysis I - Vorlesungs-Script

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1 Anlysis I - Vorlesungs-Script Prof. Dr. Cmillo De Lellis HS HS 2016 Mitschrift: Simon Hfner, Polo Fortunti

2 Inhltsverzeichnis 1. Grundbegriffe: Mengen und die ntürliche Zhlen Mengen Ds Prinzip der vollständigen Induktion Binomilkoeffizienten Die reellen Zhlen Die Körperstruktur Die Anordnung von R Die Vollständigkeit der reellen Zhlen Supremumseigenschft und Vollständigkeit Abzählbrkeit Die komplexen Zhlen Definition der komplexen Zhlen Funktionen Definition Algebrische Opertionen Einige Beispiele wichtiger Funktionen Die Exponentilfunktion Polynome Folgen Konvergente Folgen Rechenregeln für konvergente Folgen Monotone Folgen Der Stz von Bolzno-Weierstrss Ds Konvergenzkriterium von Cuchy Uneigentliche Konvergenz Reihen Konvergenz der Reihen Konvergenzkriterien für reelle Reihen Konvergenzkriterien für llgemeine (komplexe) Reihen i

3 Inhltsverzeichnis ii 6.4. Ds Wurzel- und Quotientenkriterium Ds Cuchy-Produkt Potenzreihen Stetige Funktionen und Grenzwerte Stetigkeit Rechenregeln für stetige Funktionen Der Zwischenwertstz Mxim und Minim stetiger Funktionen Stetige Fortsetzung und Grenzwerte Die Exponentilfunktion und die trigonometrischen Funktionen Existenz und Eindeutigkeit Die Exponentilfunktion uf der reellen Gerden Der ntürliche Logrithmus Die trigonometrischen Funktionen Weitere spezielle Funktionen Differentilrechnung Die Ableitung Rechenregeln Die Sätze von Rolle und Lgrnge Anwendungen des Mittelwertstzes: Der Schrnkenstz und die Regel von L Hospitl Differentition einer Potenzreihe Ableitungen höherer Ordnung und die Tylorreihe Die Lgrnge-Fehlerbschätzung Konvexität Integrlrechnung Treppenfunktionen Regelfunktionen Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Integrtionstechniken Uneigentliche Integrle Integrtion einer Potenzreihe Integrlformel für den Rest der Tylorenwicklung A. Die Konstruktion der reellen Zhlen 154 A.1. Beweis des Stzes A.0.1: Teil I, die Dedekindschen Schnitte A.2. Teil II: die Anordnung

4 Inhltsverzeichnis iii A.3. Teill III: ds Axiom von Archimedes A.4. Teil IV: die Supremumseigenschft A.5. Teil V: die Summe A.6. Teil VI: ds Produkt A.7. Teil VII: ds Distributivgesetz A.8. Teil VIII: die Anordnungsxiomen A.9. Teil IX: Q ls geordneter Unterkörper

5 1. Grundbegriffe: Mengen und die ntürliche Zhlen Wir vereinbren die folgenden Nottionen der Prädiktenlogik: : bedeutet so dss gilt bedeutet es gibt mindestens ein! bedeutet es gibt genu ein bedeutet für lle = bedeutet impliziert bedeutet genu dnn, wenn 1.1. Mengen Eine Menge ist eine Gesmtheit von Einzeldingen, die ls neues Objekt ngesehen werden muss. Eine genue Klärung des Mengenbegriffs bleibt der Logik überlssen. Ist M eine Menge, so führen wir die folgenden Bezeichnungen ein: M, bedeutet ist ein Element von M, / M, bedeutet ist kein Element von M. Einerseits können wir Mengen durch die Auflistung ihrer Elemente definieren: M = {, b,...} ist die Menge, die us den Elementen, b,... besteht. Andererseits können wir Mengen uch über Eigenschften definieren: M = { : ht die Eigenschft E} 1

6 Kpitel 1. Grundbegriffe: Mengen und die ntürliche Zhlen 2 heisst M ist die Menge ller Objekte, die die Eingenschft E hben. Beispiel Die Zhlen 0, 1, 2,... bilden eine Menge: die Menge der ntürlichen Zhlen, Nottion: N. Gehört n zu N, so uch n + 1. Beispiel Mit Z wird die Menge Z = {x : x N oder x N} bezeichnet; Z ist die Menge der gnzen Zhlen. Beispiel Die Menge der Zhlen, die sich ls Quotient gnzer Zhlen /b mit b 0 drstellen lssen, heisst die Menge der rtionlen Zhlen; ihre Stndrdbezeichnung ist Q. Zwischen Mengen können Beziehungen bestehen, und es lssen sich Verknüpfungen zwischen ihnen erklären. (1) Gleichheit: Zwei Mengen A und B sind genu dnn gleich, wenn sie dieselben Elementen enthlten, in Zeichen A = B. (2) Inklusion: A heisst in B enthlten, wenn gilt: x A = x B, in Zeichen A B (oder B A). Flls A B ist, sgen wir uch, dss A eine Teilmenge von B ist. (3) Durchschnitt: Der Durchschnitt zweier Menge A und B ist die Menge A B := {x : x A und x B}. (4) Vereinigung: Die Vereinigung zweier Menge A und B ist die Menge A B := {x : x A oder x B}. (5) Differenz: Die Differenz von A und B ist die Menge A \ B := {x : x A und x B}.

7 Kpitel 1. Grundbegriffe: Mengen und die ntürliche Zhlen 3 Die Differenzmenge wird uch mit A B bezeichnet. (6) Die leere Menge: Ds Symbol bezeichnet die Menge, die us keinem Element besteht. Die leere Menge ist eine Teilmenge jeder Menge! Oft werden wir die Vereinigung oder den Durchschnitt verschiedener Mengen betrchten. Eine Fmilie von Mengen wird dnn ls {A i } i I bezeichnet, wobei I eine beliebige Indexmenge ist, d.h. sie knn endlich, bzählbr oder überbzählbr sein; mehr dzu später. Flls die Indexmenge endlich ist, n N, so dss I = {1, 2,..., n}. Dnn ist n die Anzhl Mengen der Fmilie {A i } i I. Die Vereinigung von A i ist dnn gegeben durch: A i := {x : i I mit x A i }, i I d.h. die Menge der Elemente, die mindestens zu einer Menge A i gehören. Der Durchschnitt ist wie folgt definiert: A i := {x : x A i i I i I}, d.h. die Menge derjenigen Elemente, die zu llen A i gehören. Wir listen nun die elementren Eigenschften der Mengenopertionen uf: 1. Eigenschften der Inklusion: ) M b) M M, d.h. jede Menge ist eine Teilmenge von sich selbst c) (A B und B A) A = B d) (A B und B C) = A C 2. Assozitivität: ) (A B) C = A (B C) b) (A B) C = A (B C) 3. Kommuttivität: ) A B = B A

8 Kpitel 1. Grundbegriffe: Mengen und die ntürliche Zhlen 4 b) A B = B A 4. Distributivgesetze: ) A (B C) = (A B) (A C) b) A (B C) = (A B) (A C) 1.2. Ds Prinzip der vollständigen Induktion Zu jeder ntürlichen Zhl n sei eine Aussge A(n) gegeben. Eine Strtegie, um zu beweisen, dss diese Aussge für jede ntürliche Zhl gilt, ist ds Prinzip der vollständigen Induktion: Alle Aussgen A(n) sind richtig wenn mn (I) und (II) beweisen knn: (I) A(0) ist whr. (Induktionsnfng) (II) Für jede ntürliche Zhl n, für die A(n) whr ist, ist uch A(n + 1) whr. (Induktionsschluss) Beispiel Wir wollen die Identität A(n) : n = n(n + 1) 2 für jedes n N zeigen. Wir beweisen obige Aussge mittels des Prinzips der vollständigen Induktion: (I) A(0) ist die Aussge 0 = 0, lso ist A(0) whr, d.h. wir hben den Induktionsnfng. (II) A(n) ist die Gleichung n = n(n + 1) 2. (1.1)

9 Kpitel 1. Grundbegriffe: Mengen und die ntürliche Zhlen 5 Nehmen wir n dss A(n) gilt, d.h. dss (1.1) richtig ist. Dnn ist uch ( n) + n + 1 = n(n + 1) 2 + (n + 1). (1.2) Die rechte Seite von (1.2) ist ber n(n + 1) 2 Mit (1.1) folgt die Identität + n + 1 = n2 + n + 2n = (n + 1)(n + 2) n + (n + 1) = (n + 1)(n + 2). 2 Dies ist gerde A(n + 1), d.h. es gilt, A(n) = A(n + 1). Der Induktionsschluss ist lso whr. Oft ist die Aussge A(n) nur für n grösser ls eine bestimmte Grenze N richtig. In diesem Fll lutet ds Prinzip der vollständige Induktion wie folgt: (I ) A(N) ist whr. (Induktionsnfng) (II ) A(n) = A(n + 1) für n N. (Induktionsschluss) Beispiel Wir wollen die Ungleichung A(n) : 2 n n 2 für jedes n N gross genug zeigen. Es ist leicht zu sehen, dss A(4) whr ist: A(4) : 2 4 = 16 = 4 2. Nun wollen wir zeigen, dss A(n) = A(n + 1), wenn n 4. A(n) ist die Aussge 2 n n 2. Aus dieser Ungleichung folgt 2 n+1 = 2 2 n 2n 2. Für n 1 gilt (n + 1) 2 = n 2 n + 1 n n.

10 Kpitel 1. Grundbegriffe: Mengen und die ntürliche Zhlen 6 Flls lso n 4 ist, folgt, 2 n+1 2n 2 ( ) n 2 (n + 1) 2. n Ds heisst: A(n) = A(n + 1), flls n 4. Ds beweist den Induktionsschluss (II ) mit N = 4. Bemerkung Mnchml wird ds Prinzip der vollständigen Induktion benutzt, um bestimmte Objekte zu definieren. Ds geht wie folgt. Es soll jeder ntürlichen Zhl n ein Element f(n) einer Menge X zugeordnet werden durch (I) die Angbe von f(0), (II) eine Vorschrift, die für jedes n N ngibt, wie ds Element f(n + 1) us den Elementen f(0),..., f(n) berechnet wird. Ein solches Verfhren heisst rekursive Definition. Wenn f(n) eine Zhl ist, nennt mn ds Verfhren uch Rekursionsformel. Wie bei der vollständige Induktion knn uch eine rekursive Definition bei einer ntürlichen Zhl N 0 nfngen. Beispiel Wir können die Potenz einer Zhl x durch die folgende Rekursionsformel definieren: x 1 = x; x n+1 = x x n. Bemerkung Für x 0 gilt die Konvention x 0 = 1.

11 Kpitel 1. Grundbegriffe: Mengen und die ntürliche Zhlen Binomilkoeffizienten Definition Für jede positive ntürliche Zhl definiert mn n!, sprich n-fkultät, durch n! := 1 2 n. Für 0 gilt die Konvention 0! = 1. Die Fkultät spielt eine wichtige Rolle in der Kombintorik, wie folgendes Beispiel zeigt: Lemm Die Anzhl ller Anordnungen n verschiedener Elemente ist n!. Beweis. Wir beweisen dieses Lemm mit dem Prinzip der vollständigen Induktion. Für n = 1 ist die Aussge trivil. Wir nehmen nun n, dss die Aussge für eine bestimmte ntürliche Zhl n 1 gilt. Wir wollen nun die Anzhl Anordnungen einer Menge A mit n + 1 verschiedenen Elementen 1,... n+1 bestimmen. Um die Elemente zu ordnen, wählen wir zuerst ds erste Element: dfür hben wir n + 1 Möglichkeiten. Es bleibt die Anordnung der nderen n Elementen zu entscheiden, dfür gibt es n! Möglichkeiten. Also hben wir (n + 1) n! mögliche Anordnungen für die Elemente von A und die sind genu (n + 1)!, d (n + 1) n! = (n + 1)! ist. Definition Sei m 1,..., m n die Anordnung einer Menge M. Eine Permuttion der Elementen m 1,..., m n ist eine neue Anordnung der Elemente von M. Wir können lso ds Lemm uch so formulieren: Lemm Die Anzhl der Permuttionen n verschiedener Elemente ist n!. Wir werden nun den folgenden Stz beweisen. Stz Die Anzhl der k-elementigen Teilmengen einer nicht leeren Menge mit n Elementen

12 Kpitel 1. Grundbegriffe: Mengen und die ntürliche Zhlen 8 ist für 0 < k n: n(n 1)... (n k + 1) k! = n! (n k)!k!. (1.3) Definition Für lle n k N definieren wir den Binomilkoeffizienten wie folgt: ( ) n := k n! (n k)!k!. Beweis von Lemm Sei M eine Menge mit n Elementen und m 1,..., m n eine entsprechende Anordnung. Die Anzhl möglicher Anordnungen von k geordneten Elementen ist dnn n(n 1)... (n k + 1). (Wir wählen zuerst ds erste Element: dfür hben wir n Möglichkeiten, dnn wählen wir ds zweite Element us den verbleibenden Elementen, d.h. wir hben n 1 Möglichkeiten, etc.) Für jede Whl dieser k Elemente gibt es eine Teilmenge A M die us diesen Elementen besteht. Aber jede solche Teilmenge wird dnn k! Ml gewählt, d.h. so oft wie die Anzhl der Permuttionen ihrer Elemente. Deshlb ist die Anzhl der Teilmengen mit k Elementen gegeben durch n(n 1)... (n k + 1). k! Eine sehr wichtige Anwendung der Binomilkoeffizienten ist die Binomilentwicklung oder Newtonsche Formel. Stz Für jeden Exponenten n N \ {0} gilt Bemerkung (1 + x) n = 1 + ( ) ( ) n n x x n 1 + x n. (1.4) 1 n 1 Obige Formel werden wir später uch für reelle oder komplexe Zhl x definieren. Definition

13 Kpitel 1. Grundbegriffe: Mengen und die ntürliche Zhlen 9 Seien k, m N mit k m und sei k, k+1,..., m eine Fmile von Zhlen. Dnn schreiben wir für die Summe k + k m : m j=k j und für ds Produkt k k+1... m : m j. j=k Mit dieser neuen Nottion können wir die Identität (1.4) wie folgt formulieren: (1 + x) n = n j=0 ( ) n x j, j mit der Konvention x 0 = 1. Beweis von Stz Wir schreiben (1 + x) n = (1 + x) (1 + x)... (1 + x) }{{} n Fktoren. Es gibt ( n j) Möglichkeiten, j Klmmern us den n Klmmern (1+x) der rechten Seite uszuwählen und drus dnn x ls Fktor heruszuziehen. Beim Ausmultiplizieren des rechts stehenden Produktes entsteht lso ( n j) -ml die Potenz x j. Bemerkung Eine sehr wichtige Rekursionsformel für die Binomilkoeffizienten ist die folgende Identität: ( ) n + 1 = k + 1 ( ) ( ) n n + k k + 1 (1.5)

14 Kpitel 1. Grundbegriffe: Mengen und die ntürliche Zhlen 10 Diese Identität ist leicht zu beweisen, d ( ) ( ) n n n(n 1) (n k + 1) n(n 1) (n k) + = + k k + 1 k! k!(k + 1) n(n 1) (n k + 1)(k n k) = (k + 1)! ( ) (n + 1)n (n + 1 k) n + 1 = =. (k + 1)! k + 1

15 2. Die reellen Zhlen Es gibt Opertionen, die wir in Q nicht durchführen können: zum Beispiel ds Wurzelziehen. Stz Es gibt kein q Q, so dss q 2 = 2. Beweis durch Widerspruch. Wir nehmen ds Gegenteil n und zeigen, dss dies zu einem Widerspruch führt. Sei lso q Q mit q 2 = 2. Flls q < 0, wählen wir q. (( q) 2 = q 2 = 2). D.h. wir können obda nnehmen, dss q > 0. Wir schreiben q = m mit m, n N \ {0} teilerfremd (d.h. flls r N m und n dividiert, dnn ist n r = 1). Wir hben lso m 2 = 2n 2 = m ist gerde = m = 2k für ein k N 4k 2 = 2n 2 = n ist gerde = (2 dividiert n), d.h. 2 dividiert m und n. Dies ist ber ein Widerspruch zur ngenommenen Teilerfremdheit von m und n. Es gibt lso keine Zhl q Q mit q 2 = 2. Es ist ber möglich, beliebig genue Approximtionen der Wurzel von 2 zu finden. Intuitiv ist der Grenzwert dieser Approximtionen eine neue Zhl: die Wurzel von 2: 2 = 1,

16 Kpitel 2. Die reellen Zhlen 12 Intuitiv: 1, 4 2 <2 <1, 5 2 1, 4 < 2 <1, 5 1, 41 2 <2 <1, 42 2 = 1, 41 < 2 <1, 42 1, <2 <1, , 414 < 2 <1, 415. D diese neue Zhl kein Element von Q ist, ht Q dort ein Loch. Mit diesem Verfhren knn mn eine neue Menge von Zhlen einführen, die die rtionlen Zhlen ls Teilmenge enthält, ber keine Löcher ht. Diese neue Menge heisst die Menge der reellen Zhlen, die mit R bezeichnet wird. Konstruktion: Die reellen Zhlen knn mn konstruieren so dss Q R. Meistens wird dzu eine der folgenden zwei Methoden benutzt: die Dedekindsche Schnitte, dzu siehe den Anhng dieses Skriptes, oder Kpitel I.10 in H. Amnn, J. Escher Anlysis I, oder Kpitel 1.8 in W. Rudin Principle of Mthemticl Anlysis, oder die Cntorsche Vervollständigung von Q, dzu siehe I. Stewrt Introduction to metic nd topologicl spces. In diesem Kpitel werden wir jedoch uf die Konstruktion der reellen Zhlen verzichten und ihre Existenz einfch nnehmen. Als nächstes beschäftigen wir uns mit den wichtigsten Eigenschften von R: i) die Köperxiome (K1) (K4), ii) die Anordnungsxiome (A1) (A3), iii) ds Vollständigkeitsxiom (V) Die Körperstruktur In R gibt es zwei wichtige Opertionen: die Summe und ds Produkt, die die folgenden Regeln erfüllen:

17 Kpitel 2. Die reellen Zhlen 13 (K1) Kommuttivgesetz + b = b + b = b (K2) Assozitivgesetz ( + b) + c = + (b + c) ( b) c = (b c) (K3) Distributivgesetz ( + b) c = c + b c (K4) Die Lösungen x folgender Gleichungen existieren: + x = b, b R x = b, b R, 0, wobei 0 ds neutrle Element der Addition ist, d.h. die Lösung der Gleichung 0 + x = x. Bemerkung D wir nnehmen, dss Q R, ist R nicht leer. Sei x R ein beliebiges Element. Dnn mindestens ein Element 0, so dss 0 + x = x ist. Dieses spezielle Element ht die Eigenschft, dss 0 + y = y für jedes y (nutze (K4), um ein z zu finden, so dss y = x + z. Dnn gilt 0 + y = 0 + (x + z) (K4) = (0 + x) + z = x + z = y). Ausserdem ist 0 eindeutig: wäre 0 ein weiteres neutrles Element der Addition, dnn ist = 0, ber uch (K1) = = 0,

18 Kpitel 2. Die reellen Zhlen 14 d.h. ds neutrle Element der Addition ist die rtionle Zhl 0. Mit dem gleichen Argument zeigt mn die Existenz eines eindeutigen Elements 1 mit der Eigenschft, dss 1 x = x 1 = x für lle x R. Auch hier sehen wir, dss ds neutrle Element der Multipliktion die rtionle Zhl 1 ist. Es ist ber uch möglich, die Zhl x ls Lösung der Gleichung ( x) + x = 0 und die Zhl 1 ls Lösung der Gleichung 1 x = 1 einzuführen, flls x 0 ist. x x 0 ht uch den Eigenschft dss 0 x = 0 für jede Zhl x R. In der Tt, 0 = x + ( x) = x 1 + ( x) = x (1 + 0) x (K3) = (x 1 + x 0) x (K1) = ((x 0) + x) + ( x) (K2) = (x 0) + (x + ( x)) = (x 0) + 0 = x 0. Fortn werden wir x y sttt x + ( y) und x y sttt 1 x y schreiben Die Anordnung von R Auf R hben wir eine Ordnungreltion > (d.h. > b und b > c impliziert > c, die sogennnte Trnsitivitäteigenschft), so dss (A1) Positive und negtive Zhlen: R gilt genu eine der drei Reltionen: (i) < 0 (ii) = 0 (iii) > 0. (A2) Flls > c und b R, dnn ist + b > c + b; flls > 0 und b > 0, dnn ist b > 0. Bemerkung Seien, b R. Aus (A1) schliessen wir dss genu ein der drei folgenden Reltionen gilt: b < 0, b = 0, b > 0. Aus (A2) folgern wir dss ein der drei Reltionen < b, = b, > b gilt. Wenn > 0 und b > 0, dnn + b > b (us (A2)) und, us der trnsitivitäteigenschft folgt + b > 0.

19 Kpitel 2. Die reellen Zhlen 15 Bemerkung Wir bemerken, dss 0 = (1 1) = + ( 1). Also ist ( 1) = und ( 1) ( 1) = ( 1) = 1. Sei nun > 0. D 0. Folgt us (A1): entweder ist < 0 oder > 0. Die zweite Möglichkeit zusmmen mit (A2) impliziert, dss 0 = + ( ) > 0, ws im Widerspruch zu (A2) steht. Es muss lso < 0 sein. Ferner bemerken wir, dss flls < 0 und b < 0, dnn ist > 0, b > 0 und es gilt b = ( 1) ( 1) b = ( ) ( b) (A2) > 0. Definition Wir schreiben b > (bzw. b < ) flls b > 0 (bzw. flls b < 0). Bemerkung Mit obigen Argumenten folgt, dss > b b <. Die üblichen Regeln für die Reltionen > und < im Zusmmenhng mit den Verknüpfungen + und folgen us (A1) und (A2). Nun können wir ds Axiom von Archimedes formulieren: (A3) Archimedisches Axiom: R n N mit n >. Stz (Bernoullische Ungleichung). x > 1, x 0 und n N \ {0, 1} gilt: (1 + x) n > (1 + nx) Beweis mit vollständiger Induktion. Induktionsnfng: d x 0. (1 + x) 2 = 1 + 2x + }{{} x 2 > 1 + 2x, >0 Induktionsschritt: Wir nehmen n, dss n 2 und (1 + x) n > 1 + nx x > 1 mit x 0.

20 Kpitel 2. Die reellen Zhlen 16 Deshlb sei x > 1 und x 0, dnn gilt: (1 + x) n+1 > (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx 2 = 1 + (n + 1)x + }{{} nx 2 > 1 + (n + 1)x >0 = (1 + x) n+1 > 1 + (n + 1)x. Definition Für R definieren wir den Betrg (oder Absolutbetrg) von wie folgt:, flls 0 :=, flls < 0 Bemerkung Es gilt lso: x = mx { x, x}. Stz Der Betrg ht die folgenden Eigenschften: (i) b = b (ii) + b + b (Dreiecksungleichung) (iii) b b (umgekehrte Dreiecksungleichung) Beweis. (i) ist trivil. (ii) Es gilt + b + b (d x x x R und Gleichheit gilt genu dnn, wenn x 0). Andererseits

21 Kpitel 2. Die reellen Zhlen 17 hben wir ( + b) = b + b = + b und + b = mx { + b, ( + b)} + b. (iii) Es gilt, = ( b) + b b + b = b b (2.1) b = + (b ) + b = b b = b (2.2) und somit b = mx { b, ( b )} (2.1),(2.2) b Die Vollständigkeit der reellen Zhlen Definition Für < b,, b R, heisst: ) [, b] = {x R : x b} bgeschlossenes Intervll, b) ], b[ = {x R : < x < b} offenes Intervll, c) [, b[ = {x R : x < b} (nch rechts) hlboffenes Intervll d) ], b] = {x R : < x b} (nch links) hlboffenes Intervll Sei I = [, b] (bzw. ], b[, [, b[ oder ], b]). Dnn nennt mn, b die Rndpunkte von I. Die Zhl I = b ist die Länge von I, wobei b > 0 ist.

22 Kpitel 2. Die reellen Zhlen 18 Definition Eine Intervllschchtelung ist eine Folge von bgeschlossenen Intervllen I 1, I 2,... (kurz (I n ) n N oder (I n )) mit folgenden Eigenschften: (I1) I n+1 I n n N, (I2) ε > 0 gibt es ein Intervll I n, so dss I n < ε. Beispiel , 4 2 < 2 < 1, 5 2 I 1 = [1, 4/1, 5] I 1 = 0.1 1, 41 2 < 2 < 1, 42 2 = I 2 = [1, 41/1, 42] I 2 = , < 2 < 1, I 3 = [1, 414, 1, 415] I 2 = I n =... Offensichtlich sind (I1) und (I2) erfüllt. Axiom Zu jeder Intervllschchtelung (I n ) n N gibt es eine Zhl x R, die zu llen Intervllen I n gehört. Stz Die Zhl x ist eindeutig. Beweis durch Widerspruch. Sei (I n ) eine Intervllschchtelung. Wir nehmen n, dss α < β, so dss α, β I n für lle n N. Dnn ist I n β α >, ws ein Widerspruch ist. Stz R mit 0 und k N \ {0} gilt,!x R mit x 0 und x k =. Wir schreiben x = k = 1 k. Bemerkung Sei > 0 und m, n N. Dnn ist m+n = m n. Wir definieren m := 1 m für

23 Kpitel 2. Die reellen Zhlen 19 m N. (so dss die Gleichung m m = 0 = 1 whr ist). Wir hben dnn die folgende Eigenschft: j+k = j k j, k Z. Für m, n N hben wir ber uch ( m ) n = m m m }{{} n-ml n-ml {}}{ = m + + m = nm. (Und mit m = 1 stimmt die Regel ( m ) n = mn uch m, n Z!). Diese Gleichung motiviert die Nottion 1 k für k m. Definition q = m Q, > 0 setzen wir n q := ( n ) m Bemerkung Es ist leicht zu sehen, dss die Gleichungen q+r = q r und qr = ( q ) r für lle q, r Q gelten. Beweis von Stz OBdA sei > 1 (sonst betrchte 1 ). Wir konstruieren nun eine Intervllschchtelung (I n ) mit I n = [α n, β n ], so dss αn k βn k n N. Wir setzen I 1 := [1, ], { [ ] ( αn, αn+βn 2, flls αn+βn ) k 2 I n+1 = [ αn+βn ] (, β 2 n, flls > αn+βn ) k 2. Dnn ist I n = 1 2 n 1 I 1 und I n+1 I n n N. Mit dem Intervllschchtelungsprinzip folgt nun,!x R, so dss x I n n N. Wir behupten nun, dss x k = ist. Dzu setzen wir J n := [α k n, β k n] und zeigen, dss J n eine Intervllschchtelung ist: (I1) J n+1 J n n N, d I n+1 I n n N

24 Kpitel 2. Die reellen Zhlen 20 (I2) Es ist J n = βn k αn k = (β n α n ) }{{} I n (βn k 1 + βn k 2 α n + + αn k 1 ) }{{} kβ k 1 1. Also ist J n I n kβ k 1 1. Sei nun ε > 0 gegeben. Wir wählen N gross genug, so dss I n ε = ε kβ k 1 1 = J n ε kβ k 1 1 = ε. D.h. (J n ) ist ttsächlich eine Intervllschchtelung. Einerseits gilt nun x [α n, β n ] = x k [ α k n, β k n] = Jn und ndererseits J n n N. Mit Stz folgt nun = x k Supremumseigenschft und Vollständigkeit Definition s R heisst obere (bzw. untere) Schrnke der Menge M R, flls s x (bzw. s x) x M. Definition s R heisst ds Supremum der Menge M R (Nottion: s = sup M), flls s die kleinste obere Schrnke für M ist. D.h. (i) s ist eine obere Schrnke für M und (ii) jede Zhl s < s ist keine obere Schrnke für M. Beispiel Sei M =]0, 1[. Dnn ist sup M = 1 M. D.h. ds Supremum einer Menge M muss nicht zwingend ein Element von M sein. Flls ber M = [0, 1], dnn ist sup M = 1 M.

25 Kpitel 2. Die reellen Zhlen 21 Definition s R heisst ds Infimum einer Menge M (Nottion: s = inf M), flls s die grösste untere Schrnke von M ist. Definition Flls s = sup M M, dnn nennt mn s ds Mximum von M. Nottion: s = mx M. Anlog wird ds Minimum definiert. Stz (Supremumseigenschft von R). Flls M R nch oben (bzw. unten) beschränkt und nicht leer ist, dnn existiert sup M (bzw. inf M). Beweis. Wir konstruieren eine Intervllschchtelung (I n ), so dss lle b n obere Schrnken für M und lle n keine oberen Schrnken sind. Wir wählen zuerst eine obere Schrnke b 0 (die existiert, weil M nch oben beschränkt ist). Als nächstes wählen wir ein Element x M und setzten 0 = x 1. Wir setzen dnn I 0 := [ 0, b 0 ] und definieren I n induktiv: Sei I n gegeben. Dnn definieren wir [ ] n, n+bn 2, flls n+b n eine obere Schrnke ist 2 I n+1 := [ n+bn ], b 2 n, sonst. Nun ist die Folge (I n ) ist eine Intervllschchtelung, weil b n n = (b 0 0 )2 n und I n+1 I n ist. Also!s, so dss s I n n N. Wir behupten nun, dss s ds Supremum von M ist: (i) s ist eine obere Schrnke: ngenommen x M, so dss x > s. Dnn wählen wir ein I n mit I n < x s. Drus folgt x s > b n n b n s = x > b n, ds ist ber ein Widerspruch, d die b n obere Schrnken für M sind. (ii) s ist die kleinste obere Schrnke: wenn nicht, dnn s < s, ds uch eine obere Schrnke ist. Wir wählen dnn n N, so dss I n < s s. Dmit folgt ber s s > b n n s n = n > s,

26 Kpitel 2. Die reellen Zhlen 22 ds ist ber ein Widerspruch, d n keine obere Schrnke für M ist. Lemm Jede nch oben (bzw. nch unten) beschränkte Menge M Z mit M besitzt ein grösstes (bzw. kleinstes) Element. Beweis durch Widerspruch. OBdA betrchten wir nur eine nch unten beschränkte Menge M N. Angenommen M ht kein kleinstes Element. Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion beweisen wir, dss dnn M =. (i) 0 M, sonst ist 0 ds kleinste Element; (ii) Angenommen, dss {0, 1,..., k} M =, dnn ist uch {0, 1,..., k+1} M =, sonst wäre k + 1 ds kleinste Element von M. Aus dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt: {0,..., n} M = n N, d.h. M N = ; ein Widerspruch zur Annhme, dss M nicht leer ist. Stz Q ist dicht in R, d.h. für zwei beliebige Zhlen x, y R mit y > x, gibt es eine rtionle Zhl q Q, so dss x < q < y. Beweis. Wir wählen ein n N, so dss 1 < y x. Betrchte die Menge A Z, so n dss M A = M > nx. Mit Lemm folgt m = min A. Dnn gilt x < m n = m 1 n + 1 n < x + y x = y, d.h. wir können q = m n und die Behuptung ist bewiesen Abzählbrkeit Definition Die Mengen A und B heissen gleichmächtig, wenn es eine Bijektion f : A B gibt. D.h. es gibt eine Vorschrift f, so dss

27 Kpitel 2. Die reellen Zhlen 23 (i) f ordnet jedem Element b ein Element b B zu; dieses Element wird mit f() bezeichnet; (ii) f() f(b), flls b, (iii) b B: A mit b = f(). (f ist eine bijektive Abbildung; siehe Kpitel 4). Ferner sgen wir, B hbe eine grössere Mächtigkeit ls A, wenn zwr A zu einer Teilmenge von B gleichmächtig ist, B ber zu keiner Teilmenge von A. Beispiel ) Die Mengen {1, 2} und {3, 4} sind gleichmächtig. 2) {1, 2,, n} ht kleinere Mächtigkeit ls {1, 2,, m}, wenn n < m ist. Definition Eine Menge A heisst bzählbr, wenn es eine Bijektion zwischen N und A gibt. D.h. A knn ufgelistet werden: A = { 1, 2,, n, }. Lemm Z ist bzählbr. N Beweis. Z f : N Z durch f(n) := n 2 Forml definieren wir die gesuchte Bijektion, wenn n gerde 1 n, wenn n ungerde. 2 Stz Q ist bzählbr. Stz R ist nicht bzählbr. (Für die Beweise siehe Kpitel 2.4 von K. Königsberger Anlysis I).

28 3. Die komplexen Zhlen Bemerkung R: 2 > 0, d.h. die Gleichung x 2 = 1 ist in R nicht lösbr. Die Einführung der imginären Einheit i (die imginäre Zhl mit i 2 = 1) ht sehr interessnte Konsequenzen, uch für die reellen Zhlen Definition der komplexen Zhlen Definition (1. Definition der komplexen Zhlen). Seien, b R, dnn ist + bi C. Wir definieren die Summe wie folgt: ( + bi) + (α + βi) = ( + α) + (b + β)i und ds Produkt: Definition ( + bi)(α + βi) = (α bβ) + (β + bα) i. }{{} :=A Seien A und B zwei Mengen. Dnn heisst A B ds krtesische Produkt oder Kreuzprodukt von A und B, d.h. die Menge der Pre (, b) mit A und b B. Definition (2. Definition der komplexen Zhlen). C = R R mit den Verknüpfungen + und, die wir folgt definieren: (, b) + (α, β) = ( + α, b + β) (, b)(α, β) = (α bβ, β + bα). }{{} =A 24

29 Kpitel 3. Die komplexen Zhlen 25 Bemerkung Es gilt R {(, 0), R} C, d.h. (in der Sprche der bstrkten Algebr) dss R isomorph zu R := {(, 0) : R} ist, ds bedeutet, dss die Summe und ds Produkt in R und R gleich sind: (, 0) + (α, 0) = ( + α, 0) (, 0)(α, 0) = (α, 0) Deshlb schreiben wir sttt (, 0). Bemerkung Es ist (0, )(0, b) = ( b, 0) und dher Bemerkung (0, 1) }{{} (0, 1) = ( 1, 0) (0, 1) }{{} (0, 1) = ( 1, 0). Wurzel von -1 uch eine Wurzel von -1 Es ist i = (0, 1) und wir schreiben (, b) für + bi. D.h. die zwei Definitionen der komplexen Zhlen sind äquivlent. Bemerkung Ds neutrle Element der Addition und ds Annulierungselement der Multipliktion ist 0 = (0, 0) = 0 + 0i, d.h. es gilt für ξ C: 0 + ξ = ξ und 0 ξ = 0. Stz Die Körperxiome (K1)-(K4) gelten uch für C. Beweis. (K1) Kommulttivität: trivil (K2) Assozitivität: trivil (K3) Distributivität: trivil.

30 Kpitel 3. Die komplexen Zhlen 26 (K4) Seien ξ, ζ C. ω C : ξ + ω = ζ (3.1) ξ 0, dnn ω : ξω = ζ. (3.2) Zu (3.1): Wir setzen ξ := + bi, ζ := c + di, ω := x + yi. Dnn ist ξ + ω = ( + x) + (b + y)i = ξ = c + di. Sei nun x := c, y := d b. Dnn gilt, ξ + ω = ζ. Zu (3.2): 1 ( = 1 + 0i)) ist ds neutrle Element, denn ( + bi)(1 + 0i) = (1 b0) + (b1 + 0) = ( + bi). }{{}}{{} = =b Sei ξ 0. Wir suchen ein α, so dss ξα = 1. Dnn ist ω = αζ eine Lösung von (3.2) (eigentlich die Lösung). Flls ξ = + bi, dnn ist α = Ttsächlich hben wir lso ( ξα = 2 + b b( b) ) b }{{ 2 } =1 2 + b b b. 2 ( ( b) b b ) i = b }{{ 2 } =0 Definition Sei ξ = (x + yi) C. Dnn heisst ) x der Relteil von ξ (Nottion: Re ξ = x), b) y der Imginärteil von ξ (Nottion: Im ξ = y), c) x yi die konjugierte Zhl (Nottion: ξ = x yi).

31 Kpitel 3. Die komplexen Zhlen 27 Bemerkung Es ist ξξ = (Re ξ) 2 + (Im ξ) 2 =: ξ. Definition ξ heisst der Betrg oder Absolutbetrg von ξ. Stz , b C gilt: (i) + b = + b, (ii) b = b, (iii) Re = + 2, (iv) (Im )i = 2, (v) = genu dnn, wenn R, (vi) = 2 = (Re ) 2 + (Im ) 2 0 und Gleicheit gilt genu dnn, wenn = 0. Beweis. Übung. Bemerkung Sei ω C, so dss ξω = 1 (ξ 0). Wir schreiben ω = 1. Der Beweis von Stz ξ liefert die Identität 1 ξ = ξ ξ 2. Stz , b C gilt: (i) > 0 für 0, (ii) =, (iii) Re, Im, (iv) b = b, (v) + b + b.

32 Kpitel 3. Die komplexen Zhlen 28 Beweis. Die Aussgen (i) - (iii) sind trivil. Zu (iv): Betrchte b 2 = (b)(b) = bb = bb = 2 b 2 = b = b. Zu (v): Es ist + b 2 }{{} R = ( + b)( + b) = ( + b)( + b) = + bb + b + b = 2 + b 2 + ( b + b ). (3.3) }{{} R Aus der letzten Identität folgt, dss b + b R: Ttsächlich ist b + b = b + b = 2Re (b). Also ist + b 2 = 2 + b 2 + 2Re (b) 2 + b b = 2 + b b = ( + b ) 2. (3.4)

33 4. Funktionen 4.1. Definition Definition Seien A und B zwei Mengen. Eine Funktion (oder Abbildung) f : A B ist eine Vorschrift, die jedem Element A ein eindeutiges Element f() B zuordnet. Beispiel Sei A R (oder C) und B = R (oder C). Dnn ist f(x) = x 2. eine Funktion. Definition Sei f : A B eine Funktion. Dnn heisst A der Definitionsbereich von f. Der Wertebereich von f ist wie folgt definiert: f(a) := {f(x) : x A}. Sei C A, dnn heisst f(c) ds Bild von C unter f, d.h. f(c) ist die Menge {f(x) : x C}. Flls C B, dnn ist ds Urbild von C so definiert: f 1 (C) := {x A : f(x) C}. Bemerkung

34 Kpitel 4. Funktionen 30 Sei f(x) = x 2. Dnn ist der Wertbereich von f gegeben durch die Menge {y R : y 0}. Definition Der Grph einer Funktion f : A B ist die Menge G(f) := {(x, f(x)) A B : x A}. Sei A R und f : A R eine Funktion. Dnn ist der Grph von f eine Teilmenge von A R R R, d.h. eine Teilmenge der Euklidische Ebene. Sei n N mit n 1. Dnn bezeichnet die Menge R n ds n-fche krtesische Produkt von R, d.h. R n := R R... R. }{{} n ml Diese Menge nennen wir den n-dimensionlen Euklidischen Rum. Beispiel Sei f : R R, f(x) = x. Dnn ist der Grph von f gegeben durch die Menge {(x, x) : x 0} {(x, x) : x 0} R 2, d.h. die Vereinigung von zwei Hlbgerden in der Ebene Algebrische Opertionen Seien f, g zwei Funktionen mit dem gleichen Definitionsbereich und so dss ihre Wertbereiche in C enthlten sind. Dnn definieren wir folgende lgebrischen Opertionen: (i) f + g ist die Funktion h : A B gegeben durch h(x) := f(x) + g(x).

35 Kpitel 4. Funktionen 31 (ii) f g ist die Funktion k : A B gegeben durch k(x) := f(x)g(x). ist wohldefiniert, flls der Wertebereich von g in C \ {0} enthlten ist und (iii) f g ist gegeben durch f f(x) (x) := g g(x). (iv) Anlog definieren wir die Funktionen Re f (den Relteil von f), Im f (den Imginärteil von f, f (die Konjugtion von f) und f (den Absolutbetrg von f). Definition Seien f : A B und g : B C. Die Komposition oder Verkettung von g und f, g f : A C, ist durch die folgende Funktion gegeben: (g f)(x) = g(f(x)). Bemerkung Sei f : A R, g : A R. Wir definieren die Funktion Ψ : A R R wie folgt: Ψ() := (f(), g()) und Φ : R R R ls Φ(x, y) = xy. Dnn ist Φ Ψ() = Φ(Ψ()) = Φ ((f()), g()) = f()g(). D.h. die lgebrischen Opertionen können ls Kompositionen ufgefsst werden. Definition (i) f : A B heisst surjektiv, flls f(a) = B. (ii) f : A B heisst injektiv, flls gilt: f(x) f(y) x y A. (iii) Flls f surjektiv und injektiv ist, dnn sgen wir, dss f bijektiv ist.

36 Kpitel 4. Funktionen 32 Bemerkung Bijektive Funktionen sind umkehrbr: Sei f : A B bijektiv. Dnn gilt: b, : f() = b (wegen der Surjektivität von f), und ist eindeutig (wegen der Injektivität von f). Dnn ist g(b) = eine wohldefinierte Funktion g : B A. Definition Eine Funktion g heisst Umkehrfunktion von f, flls f : A B, g : B A, f g : B B, g f : A A und f g(b) = b b B g f() = A. (4.1) Definition Die dumme Funktion h : A A mit h() = A heisst Identitätsfunktion (Nottion: Id). Dher ist (4.1) f g = Id und g f = Id Einige Beispiele wichtiger Funktionen Die Exponentilfunktion Sei R mit > 0. Der Definitionsbereich der Exponentilfunktion sei im Moment Q. Dnn ist exp : Q R wie folgt definiert: n = } {{... }, für n N \ {0} exp (n) := n-ml 0, für n = 1, exp ( n) := 1 n für n N exp (q) := ( n ) m für q = m n mit n N, m Z. Dbei ist exp die einzige Funktion Φ : Q R mit den folgenden Eigenschften: (i) Φ(1) =, (ii) Φ(q + r) = Φ(q)Φ(r) q, r Q. Bemerkung Später werden wir exp uf gnz R fortsetzen.

37 Kpitel 4. Funktionen Polynome Für die Anlysis ist ein Polynom eine Funktion f : R (bzw. C) mit x f(x) R (bzw. C) von der Gestlt f(x) = n x n + n 1 x n x + 0, wobei die Koeffizienten 0,..., n komplexe Zhlen sind. Ds Produkt zweier Polynome x f(x)g(x) ist wie folgt gegeben: f(x)g(x) := ( n x n ) (b m x m + + b 0 ) = b m n x n+m + b n n 1 x n 1+m b 0 = b m n x n+m + (b m n 1 + b m 1 n ) x n+m b 0 = c m+n x m+n + + c 0, wobei c k = k i b j = i b k i. i+j=k i=0 Definition Der Grd eines Polynoms f(x) := n x n ist n, flls n 0. Stz (Division mit Rest). Sei g 0 ein Polynom. Dnn gibt es zu jedem Polynom f zwei Polynome q und r so dss g = qf + r, wobei r = 0 oder grd r < grd f. Beweis. Siehe Bemerkung Sei g = x x 0 und sei f ein Polynom vom Grd 1. Mit Stz folgt, dss f = gq + r = gq + c 0, wobei grd r < 1 ist. Also ist r eine Konstnte r = c 0 und es gilt, f(x) = q(x)(x x 0 ) + c 0 f(x 0 ) = q(x 0 )0 + c 0 = c 0.

38 Kpitel 4. Funktionen 34 Korollr Flls f ein Polynom ist und x 0 C, so dss f(x 0 ) = 0, dnn Polynom q, so dss f(x) = q(x)(x x 0 ). Definition Ds Polynom n x n mit n = n 1 =... = 0 = 0 heisst Trivilpolynom. Korollr Ein nicht triviles Polynom P ht höchstens grd f Nullstellen. Korollr Flls f(x) = 0 x R, dnn ist f ds Trivilpolynom. Korollr Flls f, g Polynome sind, so dss f(x) = g(x) x R, dnn sind die Koeffizienten von f und g gleich. Beweis. Wir setzen h := f g. Dnn ist h ein Polynom mit h(x) = (f g)(x) = 0 x C. Definition Seien f, g zwei Polynome. Dnn heisst f rtionle Funktion. g

39 5. Folgen Definition Eine Folge von komplexen (bzw. reellen) Zhlen ist eine Abbildung: f : N C (bzw. R), d.h. n N : f(n) C (bzw. R). Wir schreiben n für f(n). Beispiel N selbst knn ls Folge betrchtet werden: n := f(n) := n Konvergente Folgen Definition Eine Folge ( n ) n N heisst konvergent, flls C, so dss ε > 0, N N : n < ε n N. (5.1) Die Zhl heisst Grenzwert oder Limes der Folge ( n ) n N. Beispiel n = 1 ist eine konvergente Folge mit Grenzwert = 0: Sei ε > 0 gegeben. Dnn gibt n es ein N N mit N > 1 (diese Zhl existiert wegen des Axioms von Archimedes, ε siehe Kpitel 2.2). Für n N gilt dnn, Bemerkung n = ( ) 1 n 0 = 1 n 1 N < ε. Der Limes einer konvergenten Folge ist eindeutig. 35

40 Kpitel 5. Folgen 36 Beweis. Seien zwei reelle Zhlen, die ds Konvergenzkriterium (5.1) erfüllen. Wir wählen ε := 2. Dnn gilt, Für n mx {N, N } folgt, N : n < ε n N N : n < ε n N. ws ein Widerspruch ist. n + n < 2ε = = <, Wenn eine Folge gegen konvergiert, schreiben wir = lim n + ( n ) oder n n. Bemerkung Sei α = A + 0, b 0 b 1 b 2... eine reelle Zhl, wobei A N und b i die Ziffern der Dezimldrstellung von α A sind. Für jedes n N sei n := A + 0, b 0... b n Q. Dnn konvergiert die Folge ( n ) gegen α: Sei ε eine beliebige positive reelle Zhl. Sei N N, so dss 10 N > 1. Für n N gilt dnn: ε n α 10 N < ε. Definition Sei ( n ) eine Folge und A(n) eine Folge von Aussgen über n. Wir sgen, dss A(n) whr ist für fst lle n, wenn N N, so dss A(n) whr ist n N. Eine lterntive Formulierung von (5.1) ist lso: ε > 0 : n < ε für fst lle n. Beispiel

41 Kpitel 5. Folgen 37 Sei s Q mit s > 0. Sei n = 1 n s. Dnn gilt, ( ) 1 lim = 0. n + n s Sei N N mit N > ε 1 s (Axiom von Archimedes). Dnn ist 0 n = 1 < ε, n N. ns (NB: 1 s ist wohldefiniert, weil s 0. Zudem ist 1 n < ε s ns > 1 ε n > 1, ε 1 s weil s > 0.) Beispiel Sei > 0. Dnn gilt: lim n n + = 1. Fll > 1: Zu beweisen: ε > 0 N : n 1 < ε n N N. Sei x n = n 1 > 0 und n 1. Dnn ist Deswegen ist = (1 + x n ) n = 1 + nx n + Sei ε > 0. Wähle N 1, dnn folgt, ε ( ) n x 2 n nx n und x n 1 n. ( ) n x 3 n + + x n 3 n. 0 < n 1 = x n 1 n 1 N < 1 1 ε = ε. Fll 0 < < 1: Wir hben 1 > 1 und nutzen die Rechenregeln für konvergente

42 Kpitel 5. Folgen 38 Folgen (siehe Stz 5.2.1(iii), unten): n 1 = n 1 1 n = 1. Fll = 1: Dies ist trivil, d dnn die Folge konstnt ist, d.h. n = 1 n N. Beispiel Wir behupten, dss lim n n + n = 1. Wie oben sei x n = n n 1 und n = (1 + x n ) n = 1 + nx n + ( ) n x 2 n + + x n 2 n. Diesml nutzen wir die stärkere Ungleichung: Sei n 2, dnn ist n 1 + ( ) n x 2 n = Sei ε > 0 gegeben. Wir wählen ein N N, so dss Dnn gilt für n N, Übung n n 1 < Sei k N. Dnn ist lim n n n k = 1. Beispiel n(n 1) x 2 n x 2 n n = x n 2 n. N 2 > ε 1 ( N > 2ε 2 ). 2 2 n N < 2 2 = ε = n n 1 < ε. ε 2 Sei q C mit q < 1. Dnn ist lim n + q n = 0, denn q n 0 = q n 0 q n.

43 Kpitel 5. Folgen 39 Sei nun ε > 0 gegeben. D n ε 1 und q < 1, N N, so dss n ε 1 < 1 q n N. Also gilt für n N, n ε > 1 (1 q ) = q = ε > q n. Übung Sei k N und q C mit q < 1. Dnn gilt: lim n n k q n = Rechenregeln für konvergente Folgen Stz Seien ( n ) und (b n ) zwei konvergente Folgen mit n gelten die folgenden Rechenregeln: n und b n n b, dnn (i) n + b n n + b, (ii) n b n n b, (iii) n b n n, flls b 0. b Beweis von Stz 5.2.1(i). Es ist ( n + b n ) ( b) = ( n ) + (b n b) n + b n b. (5.2) Sei ε > 0 gegeben. Dnn gilt wegen der Konvergenz der beiden Folgen: N : n < ε 2 n N (5.3) N : n < ε 2 n N. (5.4) Für n mx{n, N } hben wir dnn, ( n + b n ) ( + b) (5.2),(5.3)&(5.4) < ε 2 + ε 2 = ε.

44 Kpitel 5. Folgen 40 Definition Eine Folge heisst beschränkt, flls gilt: M > 0 : n M n N. (5.5) Lemm Eine konvergente Folge ist immer beschränkt. Beweis. Sei n n. Dnn N N, so dss n < 1 n N. Deswegen ist n < + 1 n N. Nun wählen wir M := mx{ 0,..., N 1, + 1} und erhlten n M n N. Beweis von Stz 5.2.1(ii)&(iii). (ii): Wegen Lemm gilt: eine Konstnte M > 0, die (5.5) erfüllt, d.h. Wähle n b n b = n b n n b + n b b = n (b n b) + b( n ) Für n mx{n, N } gilt: (iii): folgt us (ii) und n b n b + b n M b n b + b n. (5.6) N N : b n b ε n N (5.7) 2M N ε N : n n N. (5.8) 2(1 + b ) n b n b (5.6),(5.7)&(5.8) < ε 2 + ε 2 = ε. 1 b n 1 b, flls b n b 0. (5.9)

45 Kpitel 5. Folgen 41 Um (5.9) zu beweisen, betrchte D b > 0 und b n n b, folgt 1 1 b n b = b b n b n b = 1 b b b n. (5.10) b n N : b n b < b 2 n N. Also gilt für n N, und 1 1 b n b 2 b b 2 n b. b n b b b n b 2 > 0 (5.11) Sei nun ε > 0 gegeben. Wir wählen ein N N, so dss b n b < ε b 2 /2 n N. Für n mx{n, N } folgt lso, 1 1 b n b < ε. Bemerkung Flls n n und λ C, so folgt us Stz 5.2.1(ii), dss λ n n λ: Wir setzen einfch b n := λ n N. Stz Sei n n, wobei n C n N. Dnn gelten die folgenden Aussgen: (i) n n, (ii) ā n n ā, (iii) Re n n Re, (iv) Im n n Im.

46 Kpitel 5. Folgen 42 Beweis. Die Behuptungen sind trivile Konsequenzen des Konvergenzkriteriums (5.1) und der folgenden Ungleichungen: ) n n, b) ā n ā = n, c) Im n Im n, d) Re n Re n. Stz Seien ( n ) und (b n ) zwei Folgen mit n n, b n n b mit n b n. Dnn ist b. Beweis. Sei ε > 0. Dnn gilt: Für n = mx{n, N } hben wir, N N : n < ε n N N N : b n b < ε n N. b b n b n b n n (b n n ) 2ε 2ε. D ε eine beliebige positive Zhl wr, gilt b 0. Stz Seien ( n ) und (b n ) zwei Folgen mit n n, b n n. Weiter sei (c n ) eine Folge mit der Eigenschft, b n c n n n N. Dnn konvergiert die Folge (c n ) gegen. Beweis. Sei ε > 0 gegeben. Wegen der Konvergenz finden wir N N : n < ε n N N N : b n < ε n N.

47 Kpitel 5. Folgen 43 Für n mx{n, N } gilt dnn, ε < n n = n c n b n + b n < + ε. = c n < ε. Beispiel Sei s 0 und k N mit k s k + 1. Weiter sei q C mit q < 1. Dnn gelten die folgenden Ungleichungen: n nk n n s n n k+1 0 n s q n n k q n. Drus schliessen wir, dss n n s n 1 und n k q n n Monotone Folgen Definition Eine Folge ( n ) reeller Zhlen heisst monoton fllend (bzw. monoton wchsend), flls n n 1 n N (bzw. n n 1 n N). Eine Folge heisst monoton, flls sie monoton fllend oder monoton wchsend ist. Stz Eine beschränkte monotone Folge konvergiert immer. Beweis. OBdA können wir ( n ) wchsend nnehmen: Denn flls die Folge fllend ist, dnn ist ( n ) n N eine wchsende Folge. Hben wir die Aussge des Stzes für n wchsende Folgen gezeigt, so gilt: n L für ein L C und somit, lim n n = lim n ( 1)( n ) = lim n ( 1) lim n ( n ) = L.

48 Kpitel 5. Folgen 44 Sei lso ( n ) wchsend. Wir setzen s := sup { n : n N} }{{} =:M und behupten, dss s = lim n n. D n s, müssen wir zeigen, dss gilt, ε > 0 N : n > s ε n N. (5.12) Sei ε > 0 gegeben. Dnn j M: j > s ε, denn sonst wäre s ε eine obere Schrnke, die kleiner ist ls s. D die Folge wächst, folgt n j > s ε n j. Beispiel Die Beschränktheit einer Folge llein impliziert noch nicht deren Konvergenz: Betrchte z.b. die Folge n = ( 1) n. Offensichtlich ist sie beschränkt, ber nicht konvergent Der Stz von Bolzno-Weierstrss Definition Sei ( n ) eine Folge. Eine Teilfolge von ( n ) ist eine neue Folge b k n k N mit n k > n k 1 (zum Beispiel: := nk, wobei Stz (von Bolzno-Weierstrss). }{{} 0 1 }{{} }{{} 6...). b 0 b 1 b 2 Jede beschränkte Folge ( n ) R (bzw. C) besitzt eine konvergente Teilfolge. Beweis. Schritt 1: Sei ( n ) eine Folge reeller Zhlen. Seien I, M R, so dss I n M n N. OBdA sei I < M, sonst wäre ( n ) eine konstnte Folge. Wir konstruieren eine Intervllschchtelung. Dzu definieren wir J 0 := [I, M] und teilen J 0 in zwei Intervlle: J 0 = [I, A 0 ] [A 0, M], wobei A 0 = M I 2 + I = M + I. 2

49 Kpitel 5. Folgen 45 Mindestens eines dieser Intervlle enthält unendlich viele n. Wir nennen dieses Intervll J 1. Rekursiv definieren wir eine Folge von Intervllen J k, so dss (i) J k+1 J k k N; (ii) Die Länge l k von J k ist (M I)2 k k N; (iii) jedes Intervll entält unendlich viele Glieder der Folge ( n ). Diese Folge ist eine Intervllschchtelung und deswegen!l mit L J i i. Wir wählen ein n 0 N, so dss n0 J 0. D J 1 unendlich viele n enthält, n 1 > n 0 mit n1 J 1. Rekursiv definieren wir eine Folge ntürlicher Zhlen (n k ) k N mit n k+1 > n k und nk J k k N. Die Folge b k := nk ist dnn eine Teilfoge von ( n ). Ausserdem gilt, d b k, s J k. D.h. wir hben b k k L. b k L l k = 2 k (M I), Schritt 2: Sei nun k = ξ k +iζ k eine beschränkte komplexe Folge. Dnn ist (ξ k ) eine beschränkte Folge reeller Zhlen. Mit Schritt 1 folgt, (ξ kj ) Teilfolge, die konvergiert. Ferner ist uch (ζ kj ) eine beschränkte Folge reeller Zhlen und deswegen besitzt uch sie eine konvergente Teilfolge (ζ kjn ). Setzen wir b n := kjn = ξ kjn + iζ kjn, so hben wir eine konvergente Teilfolge gefunden. Definition Sei ( n ) eine Folge und der Limes einer konvergenten Teilfolge. Dnn heisst Häufungswert der Folge ( n ). Lemm Sei ( n ) eine Folge. Dnn gilt: ist ein Häufungswert Für jedes offene Intervll mit I enthält unendlich viele n. Beweis. Trivil.

50 Kpitel 5. Folgen 46 Definition Sei ( n ) eine reelle Folge. Wenn die Menge der Häufungswerte von ( n ) ein Supremum (bzw. ein Infimum) besitzt, heisst dieses Supremum Limes superior (bzw. Limes inferior) und wir schreiben lim sup n n (bzw. lim inf n n). Wenn die Folge keine obere (bzw. untere) Schrnke besitzt, schreiben wir lim sup n = + n (bzw. lim inf n n =.) Bemerkung Eine konvergente Folge ht genu einen Häufungswert, den Limes der Folge. Lemm Der Limes superior (bzw. Limes inferior) ist ds Mximum (bzw. ds Minimum) der Häufungswerte, flls er endlich ist. Ausserdem konvergiert eine Folge reeller Zhlen genu dnn, wenn Limes superior und der Limes inferior endlich sind und übereinstimmen. Beweis. Teil 1: Sei lim sup n n = S R. Zu beweisen ist, dss S ein Häufungswert ist. Sei I =], b[ ein Intervll mit S I. Wir behupten, dss I unendlich viele Glieder von ( n ) enthält: Dnn folgt us Lemm 5.4.4, dss S ein Häufungswert ist. D S ds Supremum der Häufungswerte ist, ein Häufungswert h >. Aber dnn ist h I, und us Lemm folgt, dss I unendlich viele n enthält. Teil 2: Sei ( n ) eine Folge mit lim inf n n = lim sup n = L R. n Drus folgt, dss ( n ) eine beschränkte Folge ist. Flls n nicht gegen L konvergierte, gäbe es ein ε > 0 und unendlich viele n mit n L > ε, d.h. es gäbe eine Teilfolge von ( n ), b k = nk, mit b k L > ε. Aus dem Stz von Bolzno-Weierstrss folgt dnn die Existenz einer konvergenten Teilfolge von (b n ) mit Limes l L. Dnn wäre l ber ein Häufungswert von ( n ). Dies ist jedoch ein Widerspruch, d nch

51 Kpitel 5. Folgen 47 Definition von liminf und limsup gilt: L l L. Bemerkung Der Limes superior und der Limes superior existieren immer; ein klrer Vorteil gegenüber dem Limes. Ausserdem gilt für zwei beliebige reelle Folgen ( n ) und (b n ) mit n b n : lim sup n n lim sup b n n und lim inf n n lim inf n b n. Wegen diesen Eigenschften werden wir oft ds letzte Lemm und den Limes superior bruchen, wie in folgendem Musterrgument : Nehmen wir n, wir wollen beweisen, dss eine bestimmte Folge {z n } C den Grenzwert z ht. Betrchten wir dnn die reelle Folge ( z n z ). Dies ist eine Folge positiver reeller Zhlen und deshlb gilt, lim inf n z n z 0. Es genügt lso eine geeignete Folge (c n ) zu finden, die ( z n z ) mjorisiert, d.h. c n z n z, und deren Konvergenz gegen 0 leicht zu beweisen ist. Wenn wir diese Folge gefunden hben, dnn können wir schliessen, dss lim sup n Lemm impliziert dnn z n z lim sup c n = 0. n Also gilt: lim n z n = z. lim z n z = 0. n 5.5. Ds Konvergenzkriterium von Cuchy Stz Eine Folge komplexer Zhlen konvergiert genu dnn, wenn ds sogennnte Cuchy-

52 Kpitel 5. Folgen 48 Kriterium gilt: ε > 0, N : n m < ε n, m N. (5.13) Bemerkung Eine Folge, die dem Cuchy-Kriterium genügt, heisst Cuchy-Folge. Beweis. Konvergenz = Cuchy-Kriterium: Sei ( n ), so dss n n und ε > 0 gegeben. Dnn gilt, N : n < ε 2 n N. Deshlb hben wir n m = n + m n + n < ε 2 + ε 2 n, m N. Cuchy-Kriterium = Konvergenz. Sei ( n ) eine Cuchy-Folge (d.h. (5.13) gilt). Bemerkung Flls ein Häufungswert ist, dnn konvergiert die gnze Folge gegen. Sei ( nk ) eine Teilfolge, die gegen konvergiert. D.h. es gilt, ε > 0 K : k > K = nk < ε 2. (5.14) Die Cuchy-Eigenschft impliziert ber uch die Existenz einer Zhl N, so dss m n < ε 2 m, n > N. (5.15) Sei nun n N. Dnn n k > N mit k K. D.h. es gilt für n > N, n = nk + nk n nk + nk n (5.14)&(5.15) < ε. Dies beweist die Bemerkung Um den Stz zu beweisen, genügt es lso die Existenz eines Häufungswerts zu zeigen. Wenn wir zeigen können, dss die Folge beschränkt ist, dnn folgt die Existenz eines Häufungswerts us dem Stz von Bolzno-Weierstrss. Also zeigen wir nun,

53 Kpitel 5. Folgen 49 dss die Beschränktheit der Folge. Dzu wählen wir ε = 1. Dnn gilt, N : n m < 1 n, m N. Folglich ist n n N + N < N + 1 n N. Sei nun M := mx( { k : k < N } { N + 1 }). Dnn ist n M und die Folge ist ttsächlich beschränkt Uneigentliche Konvergenz Definition Sei ( n ) eine Folge reeller Zhlen. Dnn schreiben wir: (i) n n + (oder lim n + n = + ), flls M R: N R : n M n N (d.h. n M für fst lle n) (ii) n n (lim n n = ), flls M R: n M für fst lle n. Übung lim sup n + n = + (bzw. lim inf n n = ) Teilfolge { nk } k N mit nk k + + ( ) k + bzw. nk. Bemerkung Sei ( n ) eine monoton wchsende (bzw. fllende) Folge. Dnn gilt: (i) entweder konvergiert n, (ii) oder lim n + n = + (bzw. lim n + n = ).

54 6. Reihen 6.1. Konvergenz der Reihen Definition Sei ( n ) n N eine Folge komplexer Zhlen. Durch s 0 := 0, s 1 := 0 + 1, s 2 := ,. s n := n k=0 k wird der Folge ( n ) eine weitere Folge (s n ) zugeordnet. (s n ) heisst unendliche Reihe oder kurz eine Reihe und wir schreiben für sie k oder k=0 Dbei nennen wir die Zhlen n die Glieder und die Zhlen s n die Prtilsummen der Reihe. Konvergiert die Folge (s n ), so heisst die Reihe konvergent. Flls die Reihe konvergiert, so heisst die Zhl s = lim n s n die Summe oder der Wert der Reihe und wir schreiben s = k = k=0 50

55 Kpitel 6. Reihen 51 Es sei druf hingewiesen, dss ds Symbol k=0 k zwei Bedeutungen ht: Es bezeichnet einerseits die Folge (s n ) und ndererseits im Konvergenzfll uch ihren Grenzwert. Wenn die Prtilsumme eine Folge reeller Zhlen ist und s n + (bzw. ), dnn schreiben wir n = + (bzw. ). Beispiel Sei z eine komplexe Zhl. Dnn heisst die Reihe n=0 zn geometrische Reihe (für z = 0 gilt die Konvention dss z 0 = 1). Für z < 1 konvergiert die geometrische Reihe: Denn es ist, (1 z)(1 + z + z n ) = 1 z n+1 und s n = 1 zn+1 ( ) 1 z 1 z n 1 = lim n + 1 z = lim 1 ( ) lim n + 1 z 1 z n + zn = 1 1 z. }{{} =0, d z <1 Für z 1 divergiert die geometrische Reihe: Denn es gilt: Flls z = 1 ist, dnn ist s n = = n + 1; Flls z 1 ist, gilt die Formel s n = (1 zn+1 ). 1 z und s n konvergiert genu dnn, wenn z n konvergiert. Aber z n konvergiert nicht, denn: Für z > 1 hben wir z n und für z = 1 (z 1) hben wir die Identität z = cos θ + i sin θ = z n = cos(nθ) + i sin(nθ) (siehe Kpitel 8.4) mit θ ]0, 2π[ und es ist einfch zu sehen, dss z n+1 nicht konvergiert. Beispiel Die folgende Reihe heisst hrmonische Reihe: n=1 1 n. In diesem Fll gilt s n+1 s n, d.h. (s n ) ist eine wchsende Folge. Entweder konvergiert (s n ) gegen eine reelle Zhl