1. Elementare Grundlagen 1.1. Vollständige Induktion und der binomische Lehrsatz. Wir folgen weitgehend den Überlegungen in Forster, Kapitel 1.

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1 1. Elementre Grundlgen 1.1. Vollständige Induktion und der binomische Lehrstz. Wir folgen weitgehend den Überlegungen in Forster, Kpitel 1. Die ohne Beweis ufgeführten Sätze sind mit den Sätzen identisch, die bei Forster dieselbe Nummer trgen. Auch der in der Vorlesung gebrchte Beweis wird sich n dem Beweis bei Forster orientieren. Definition 1. Sei N = {0; 1;...} die Menge ller ntürlichen Zhlen (lso ller nichtnegtiven gnzen Zhlen). Die Menge ller gnzen Zhlen bezeichnen wir mit Z = { 0; ±1; ±2;...}. Die Menge ller rtionlen Zhlen bezeichnen wir mit Q und die Menge ller reellen Zhlen mit R. Fkt 1 (Vollständige Induktion). Sei n o eine gnze Zhl, und sei A n eine Behuptung über gnze Zhlen n n o. Die folgenden Aussgen seien beknnt: Induktionsnfng: Es gilt A no. Induktionsschluß: Sei n > n o, dnn folgt A n us A n 1. Dnn gilt A n für lle gnzen Zhlen n n o. Ein nloges Prinzip gibt es für die induktive Konstruktion einer Folge mthemtischer Objekte. Die vollständige Induktion ls Beweisprinzip ist intuitiv klr, denn im Fll n o = 0 ergibt sich A 0 us dem Induktionsnfng, sodnn A 1 us A 0, A 2 us A 1, A 3 us A 2, und mit sehr viel Geduld erhält mn durch nloge Überlegungen zum Beispiel uch A Allerdings würden uns hrtnäckige Skeptiker vielleicht trotzdem nicht gluben, dß uch A richtig ist, denn ohne ds Induktionsprinzip zu benutzen läßt sich der Beweis von A us prktischen Gründen nicht mehr in Worte fssen. Alterntiv dzu knn mn ds Prinzip uch us der intuitiv klren Aussge herleiten, wonch jede nichtleere Menge ntürlicher Zhlen ein kleinstes Element enthält. Diese Herleitung sieht dnn folgendermßen us: Beweis. Wenn die Behuptung nicht richtig ist, gibt es irgendeine gnze Zhl n n o, so dß A n flsch ist. Dieses n ht die Form n o + k mit einer ntürlichen Zhl k. Die Menge M = { k N A no+k ist flsch } ist dher nicht leer. Wie vorhin bemerkt, ht M ein kleinstes Element k. Sei n = n o +k. Es gilt n > n o, lso k > 0, denn sonst wäre die Induktionsnnhme A no flsch. Es gilt k 1 M uf Grund der Minimlität von k. Wegen k 1 M ist A n 1 richtig. Nch dem Induktionsschluß sollte lso uch A n richtig sein, ws ber nicht der Fll wr. Dieser Widerspruch beweist die Behuptung. Wir hben vorhin klrgemcht, dß wir dmit nur ein intuitiv klres Prinzip (ds Induktionsprinzip) us einem nderen intuitiv klren Prinzip (jede nichtleere Menge ntürlicher Zhlen enthält ein kleinstes Element) hergeleitet hben. Ohne derrtige intuitiv klre Prinzipien voruszusetzen, knn mn keine Mthemtik treiben, so wie mn sich nicht n seinem eigenen Schopf us dem Sumpf ziehen knn. Die ls intuitiv klr vorusgesetzten Prinzipien nennt mn Axiome. Die heutige Mthemtik beruht uf der Mengenlehre, die von Cntor eingeführt und 1

2 2 für die Zermelo und Frenkel sowie von Neumnn, Bernys und Gödel zwei zueinnder äquivlente Axiomtisierungen gegeben hben. Im Prinzip knn mn bei diesem Aufbu der Mthemtik die ntürlichen Zhlen us der leeren Menge und den Opertionen zur Mengenbildung, die Bereiche der gnzen und rtionlen Zhlen us dem Bereich der ntürlichen Zhlen und die reellen Zhlen us den rtionlen Zhlen ufbuen, so dß im Prinzip ds gnze imposnte Gebäude der modernen Mthemtik us der leeren Menge und den Mengenbildungsopertionen ufgebut wird. Die Axiome sind dbei intuitiv klre Prinzipien zur Konstruktion und zum Vergleich von Mengen, wobei ber eine gewisse Portion Vorsicht erforderlich ist, um Prdox vom Typ der Antinomie des Lügners zu vermeiden. Für uns wäre diese rdikle Vorgehensweise zu ehrgeizig. Dher trgen für uns bestimmte Aussgen über ntürliche und reelle Zhlen xiomtischen Chrkter, beispielsweise ds vorhin benutzte Prinzip, wonch jede nichtleere Menge ntürlicher Zhlen ein kleinstes Element enthält. Wir setzen die Kenntnis des Rechnens mit reellen Zhlen (Addition, Multipliktion und Division) vorus und betrchten die us der Schule beknnten Gesetze der Kommuttivität, Assozitivität und Distributivität für diese Rechenopertionen ebenflls ls Axiome. Außerdem rbeiten wir mnchml mit bestimmten intuitiv klren Eigenschften des Abzählens endlicher Mengen, ohne diese expressis verbis ls Axiome zu formulieren. Ein Beispiel wäre ds Prinzip, wonch Zhl der Elemente einer disjunkten Vereinigung die Summe der Elementezhlen der Opernden ist. Ein nderes Beispiel sind unsere Überlegungen zum Beweis von Stz 3 weiter unten. Definition 2. Wir definieren mehrfche Summen und Produkte reeller Zhlen durch b x i = x x b i= b x i = x... x b i= für b und vereinbren, dß eine leere Summe gleich 0 und ein leeres Produkt gleich 1 ist: b (1) x i = 0 für b < (2) i= b x i = 1 i= Diese Konvention knn zusmmen mit den Regeln b x i = ( b 1 ) (3) x i + xb (4) i= i= b x i = (b 1 ) x i xb i= i= für b < für b für b

3 1. ELEMENTARE GRUNDLAGEN 3 zu einer induktiven Definition der mehrfchen Summen bzw. Produkte benutzt werden. Wie schon gesgt, setzen wir die Gesetze der Kommuttivität, Assozitivität und Distributivität für Summen und Produkte reeller Zhlen ls beknnt vorus. Der Beweis des folgenden Fktes gilt uch für jeden nderen Zhlbereich, in dem diese Gesetze gelten, etw für die rtionlen Zhlen oder die später einzuführenden komplexen Zhlen. Fkt 2. Für gnze Zhlen 1 b c und reelle Zhlen x i gilt c b c (5) x i = x i + i= c x i = i= i= b x i i= i=b+1 c i=b+1 Für beliebige gnze Zhlen,b, reelle x i, y i und λ gilt ds Distributivitätsgesetz b b (6) (λx i ) = λ (7) i= i= x i x i x i b (x i + y i ) = ( b ) ( b ) x i + y i i= i= i= b (x i y i ) = ( b ) ( b ) x i y i Sei { ;...;b } τ { ;...,b } eine bijektive Abbildung, dnn gilt (8) (9) i= b x i = i= b x i = i= i= b j= x τ(j) b j= x τ(j). Die Behuptungen sind intuitiv klr, können ber uch mittels (3) und (4) us (1) und (2) durch Induktion hergeleitet werden. Beweis. Zum induktiven Beweis der ersten beiden Behuptungen fixieren wir und b und verwenden Induktion nch c. Wir beweisen nur die erste Behuptung, d der induktive Beweis der zweiten vollkommen nlog verläuft. Für c = b (ds kleinste c, für welches wir die Behuptung ufstellen), gilt c b b b c x i = x i = x i + 0 = x i + x i, i= i= i= i= i= i=b+1

4 4 wobei wir ncheinnder die Gleichung b = c, die für lle reellen Zhlen s gültige Gleichung s+0 = s sowie (1) benutzt hben. Sei c > b, und sei die Behuptung für ds Tripel (,b,c 1) bewiesen. Aus unseren Vorussetzungen folgt c b + 1 und c, deswegen knn (3) sowohl uf die Summe von bis c ls uch uf die Summe von b + 1 bis c ngewendet werden. Es kommt c c 1 x i = x i + x c = i= i= b x i + i= c 1 i=b+1 x i + x c = b x i + wobei ds mittlere Gleichheitszeichen durch die Induktionsnnhme gerechtfertigt ist, während ds rechte und linke Gleichheitszeichen Anwendungen von (3) sind. Die Induktionsbeweise von (6) und (7) sind ähnlich einfch, wobei (6) ds Distributivitätsgesetz (b + c) = b + c und (7) die Kommuttivität der jeweils betrchteten Rechenopertion benutzt. Der Induktionsbeweis von (8) knn m einfchsten durch Benutzung von (5) sowie der Kommuttivität der betrchteten Rechenopertion geführt werden. Wir wollen nicht in Detils eingehen, weil die Behuptung intuitiv einleuchtend ist. Stz 1. Für n N gilt die Summenformel n n(n + 1) (10) i = 2 Etws llgemeiner ist i=1 Stz 2 (Summenformel für rithmetische Reihen). Für beliebige reelle Zhlen, b und ntürliche Zhlen n gilt n n(n + 1) (11) ( + bi) = n + b. 2 Insbesondere gilt (12) Beweis. Wir benutzen i=1 n (2i 1) = n 2. i=1 n 1 = n, i=1 ws intuitiv klr ist (es hndelt sich um n ml den Summnden 1), ber uch durch Induktion nch der ntürlichen Zhl n unter Benutzung von (3) gezeigt werden könnte. Durch Anwendung von (7), (6) und (10) ergibt sich die erste Behuptung: n ( + bi) = i=1 n + i=1 n bi = i=1 n 1 + b i=1 i=1 i= c i=b+1 x i, n n(n + 1) i = n + b. 2

5 1. ELEMENTARE GRUNDLAGEN 5 Die zweite Behuptung ergibt sich ls Spezilfll = 1, b = 2 der ersten: n n(n + 1) (2i 1) = n + 2 = n + n(n + 1) = n + n 2 + n = n 2. 2 i=1 Definition 3. Sei X eine Menge. Eine k-gliedrige Folge von Elementen von X ist eine Abbildung {1;...;k} x X, wobei wir in diesem Kontext meist x i sttt x(i) schreiben. Die Folge ist wiederholungsfrei, flls us 0 < i < j k x i x j folgt. Bemerkung 1. Im Flle k = 0 ist diese Definition so zu interpretieren, dß es genu eine Folge von 0 Elementen gibt. Es hndelt sich um die leere Folge, definiert durch die leere Abbildung. Sie ist wiederholungsfrei. Bemerkung 2. Später werden wir uch die Möglichkeit zulssen, dß die Numerierung der Folgenglieder nicht bei 1 strtet. Definition 4. Für ntürliche Zhlen n definieren wir n! (sprich: n Fkultät) durch n (13) n! = i. Bemerkung 3. Als Konsequenz uf (2) und (4) hben wir 0! = 1 und (n+1)! = (n+1)n! für lle ntürlichen Zhlen n. Alterntiv zur obigen Definition könnten diese Ttschen uch benutzt werden, um die Funktion n! induktiv zu definieren. ( n k i=1 ) Definition 5. Seien n und k ntürliche Zhlen, wir definieren den Binomilkoeffizienten durch (14) ( ) n = k k i=1 n + 1 i i = n... (n + 1 k). k! Bemerkung 4. Für k n berechnet sich durch Umordnen ((8)) und Anwendung von (5) ds Produkt im Nenner des letzten Ausdruckes uf der rechten Seite von (14) zu k n n i=1 (n + 1 i) = i = i k i=1 i = n! k!, und es kommt (15) i=1 ( ) n = k i=n+1 k n! k!(n k)!. Der Beweis von Teil 3 und Teil 4 des folgenden Stzes wird bei Forster ls Stz 3 und Stz 4 durch Induktion bewiesen. Wir gehen ebenflls durch Induktion vor, formulieren unsere Überlegungen ber teilweise etws lxer ls Forster. Stz 3. Sei X eine Menge mit n Elementen.

6 6 Es gibt genu n k verschiedene Folgen von k Elementen us X. Es gibt genu k i=1 (n + 1 i) = n (n 1)... (n k) verschiedene wiederholungsfreie Folgen von k Elementen von X. Es gibt genu n! Möglichkeiten, die Elemente von X zu einer wiederholungsfreien Folge nzuordnen. Es gibt genu ( n k) verschiedene k-elementige Untermengen von X. Beweis. Die ersten beiden Behuptungen beweisen wir durch Induktion nch k. Für k = 0 ergeben sich beide Behuptungen us Bemerkung 1. Sei k > 0, und sei die erste Behuptung für (k 1)-gliedrige Folgen bewiesen. Jede der n (k 1) (k 1)-gliedrigen Folgen von Elementen von X knn durch Ergänzung mit einem beliebigen Element von X zu einer k-gliedrigen Folge ergänzt werden. Für die Whl dieses Elementes gibt es genu n Möglichkeiten. Also gibt es genu n n k 1 = n k verschiedene k-gliedrige Folgen. Für wiederholungsfreie Folgen ist beim Induktionsschluß zwischen dem Fll k n und dem Fll k > n zu unterscheiden. Im letzteren Fll gibt es offenbr keine wiederholungsfreien Folgen der Länge k, wenn nur n Elemente für die Auswhl der Folgenglieder zur Verfügung stehen. Für k n gibt es für jede der k i=1 (n + 1 i) wiederholungsfreien (k 1)-gliedrigen Folgen genu n (k 1) = n+1 k Möglichkeiten, ds k-te Element so zu wählen, dß es von jedem der ersten (k 1) Elemente verschieden ist. Also gibt es genu k 1 i=1 (n + 1 i) k-gliedrige Folgen. Die dritte Behuptung ist der Spezilfll k = n der zweiten, denn ds Produkt n! = n i=1 i ist eine Umordnung des Produktes n i=1 (n + 1 i). Die Abbildung τ(i) = n + 1 i bildet nämlich die Indexmenge {1;...;n} bijektiv uf sich selbst b. Wir leiten die vierte Behuptung us der zweiten und dritten her. Sei C n,k die Zhl der k- elementigen Untermengen Y von X. Für jedes derrtige Y liefert jede der k! Möglichkeiten, Y zu einer wiederholungsfreien Folge nzuordnen, eine k-gliedrige wiederholungsfreie Folge von Elemeten von X, wobei offenbr jede dieser k!c n,k Möglichkeiten eine ndere Folge liefert und jede der k i=1 (n + 1 i) k-gliedrigen wiederholungsfreien Folgen erhlten wird. Wir erhlten k!c n,k = k i=1 (n + 1 i). Durch Umformen nch C n,k folgt die Behuptung. Stz 4. Für 1 k n gilt ( ) n = k ( ) n 1 + k 1 ( n 1 k ). Der Stz wird bei Forster ls Hilfsstz formuliert, wir bringen ls Beweis dieselbe einfche Rechnung wie Forster. Bemerkung 5. Psclsches Dreieck, siehe Forster für eine Abbildung des Psclschen Dreieckes. Die Bedeutung der Binomilkoeffizienten für ds Rechnen mit Potenzen ergibt sich us

7 1. ELEMENTARE GRUNDLAGEN 7 Stz 5 (Binomischer Stz). Für jede ntürliche Zhl n und beliebige reelle Zhlen x,y gilt n ( ) n (16) (x + y) n = x k y n k. k k=0 Der Beweis beruht uf einem Induktionsrgument unter Benutzung von Stz 4, siehe Forster. Durch Ersetzen von y durch y kommt n ( ) n (17) (x y) n = ( 1) n k x k y n k. k k=0 Für kleine Werte von n ergeben sich die Spezilfälle (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2, (x y) 2 = x 2 2xy + y 2, (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 und (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4. Ebenflls durch Induktion knn mn die Summenformel für die geometrische Reihe beweisen: Stz 6. Sei q eine von 1 verschiedene reelle und k eine ntürliche Zhl, dnn gilt k (18) q i = qk+1 1 q 1. i=0 Wir folgen dem Beweis bei Fischer. Ebenflls durch Induktion, oder durch Anwendung von (18) uf q = /b und Multipliktion mit b k, ergibt sich die Gleichung k (19) k b k = ( b) i 1 b k i. Der Spezilfll k = 2 ist der us der Schule beknnte dritte binomische Stz x 2 y 2 = (x y)(x + y) Die Körperxiome. Für die Rechenopertionen in R gelten die Körperxiome. Wir beginnen bei der Beschreibung dieser Axiome mit den Axiomen der Addition. Im Folgenden sind x, y,, b, c, d immer reelle Zhlen. Fkt 1 (Axiome der Addition). x + y = y + x (Kommuttivität) x + (y + z) = (x + y) + z (Assozititivtät) Es gibt eine Zhl 0 mit x + 0 = 0 für lle x R. (Existenz der 0). Zu jeder Zhl x R gibt es eine Zhl x mit x + ( x) = 0. (Existenz des Negtiven) Fkt 2. Aus den Axiomen der Addition ergeben sich ls Folgerungen: Die Eindeutigkeit der 0. Die Eindeutigkeit von x. 0 = 0. Die Gleichung +x = b mit reellen,b ht die eindeutige Lösung x = b = b+( ). ( x) = x. (x + y) = ( x) + ( y). i=1

8 8 Fkt 3 (Axiome der Multipliktion). (xy)z = x(yz). (Assozitivität) xy = yx. (Kommuttivität) Es gibt eine Zhl 1 mit x 1 = x für lle reellen x. (Existenz der 1). Zu jedem x R {0} gibt es ein x 1 R mit x x 1 = 1. Fkt 4 (Distributivität). x(y + z) = xy + xz. Unter einem Körper versteht mn einen Zhlbereich, der die obigen Axiome der Multipliktion, der Addition und ds Gesetz der Distributivität erfüllt. Nähere Einzelheiten dzu werden uch in der Vorlesung zur lineren Algebr behndelt werden. Aus den Körperxiomen ergeben sich folgende Konsequenzen: Fkt 5. Die 1 und ds Inverse einer von 0 verschiedenen reellen Zhl sind durch die obigen Eigenschften eindeutig bestimmt. Für,b R mit 0 ht x = b die einzige Lösung x = b 1 = b/. (x + y)z = xz + yz. x 0 = 0. Es gilt x y = 0 genu dnn, wenn x = 0 oder y = 0 ( x)y = (xy). ( 1)x = x. ( x)( y) = xy. Flls x und y nicht verschwinden, gilt (x 1 ) 1 = x und (xy) 1 = x 1 y 1. Für gnze Zhlen, b, c, d gilt b ( d ) d ( b ) x ij = x ij i= j=c b ( d ) x ij = i= j=c j=c i= d ( b ) x ij j=c In derrtigen Fällen können lso die soeben noch geschriebenen Klmmern weggelssen werden. Unter denselben Vorussetzungen n, b, c, d: ( b ) ( d ) b d x i y j = x i y j. i= j=c Definition 1. Die Potenzen x n mit n N werden rekursiv durch x 0 = 0 und x n+1 = x x n definiert. Für negtive n Z und x R {0} setzen wir x n = (x 1 ) n. Aus den Körperxiomen ergeben sich die folgenden Rechenregeln für Potenzen: Fkt 6. Flls beide Seiten der folgenden Gleichungen wohldefiniert sind (lso x 0 flls einer der beteiligten Exponenten n oder m negtiv ist, und im Flle von Punkt 3 uch y 0 für n < 0), gilt: i= i= j=c

9 x n+m = x n x m. x nm = (x n ) m. (xy) n = x n y n Die Anordnungsxiome. 1. ELEMENTARE GRUNDLAGEN 9 Fkt 1. Es gelten die folgenden Anordnungsxiome: Für jede reelle Zhl x tritt genu einer der drei Fälle x > 0, x = 0 und x > 0 ein. Aus x > 0 und y > 0 folgen die Beziehungen x + y > 0 und xy > 0. Wir schreiben x > y für die Bedingung x y > 0 und x < y für die Bedingung y > x. Wir schreiben x y für die Bedingung x > y oder x = y und x y für x < y oder x = y. Die Beweise der nchfolgenden Fkten können bei Forster, , nchgeschlgen werden: Fkt 2. Im Folgenden sind x, y, und b reele Zhlen. Die Aussgen x > 0 und x < 0 sind äquivlent. Aus x > y und y > z folgt x > z (Trnsitivität der >-Reltion). Aus x > y und > b folgt x + > y + b. Aus x > y und > 0 folgt x > y. Aus 0 x < y und 0 < b folgt x < by. Aus x > y und < 0 folgt x < y. Aus x 0 folgt x 2 > 0. Aus x > 0 (bzw. x < 0) folgt x 1 > 0 (bzw. x 1 < 0). Aus x > y > 0 oder 0 > x > y folgt y 1 > x 1. 1 > 0. n > 0 für jede ntürliche Zhl n. Definition 1. Wir definieren x = x für x 0 und x = x für x < 0. Fkt 3. Sei x,y R. Es gilt x 0 mit Gleichheit genu für x = 0. Es gilt x x. x = x. xy = x y. x n = x n x/y = x / y. Stz 1 (Dreiecksungleichung). Für reelle x und y gilt x + y x + y. Folgerung 1. Unter derselben Vorussetzung n x, y gilt x + y x y. Stz 2 (Bernoullische Ungleichung). Sei x 1. Dnn gilt (1 + x) n 1 + nx für lle n N. Fkt 4 (Ds Archimedische Axiom). Wenn x und y positive reelle Zhlen sind (mw x,y R sowie x > 0 und y > 0), so gibt es eine ntürliche Zhl n mit nx > y.

10 10 Fkt 5. Zu jeder positiven reellen Zhl ε gibt es ein n N mit 1/m < ε für lle Zhlen m n. Beweis. Mn knn ds Archimedisch Axiom uf 1 und 1/ε nwenden, denn es gilt 1/ε > 0 nch Fkt 2. Mn erhält die Existenz einer ntürlichen Zhl n mit n > 1/ε. Aus der in Fkt 2 bewiesenen fllenden Monotonie der Funktion 1/t ergibt sich 1/m 1/n < 1/(1/ε) = ε für beliebige reelle Zhlen m x. Zum Beweis des folgenden Stzes benötigen wir Fkt 6. Sei b 1 reell, dnn gilt b n 1 für lle n N, wobei die Gleichheit nur für b = 1 oder n = 0 eintritt. Den Beweis führt mn leicht durch Induktion. Stz 3. Sei b > 1. Dnn gibt es zu jeder rellen Zhl K ein n N mit b m > K für lle ntürlichen Zhlen m n. Beweis. Aus der Bernoullischen Ungleichung und dem Archimedischen Axiom ergibt sich die Existenz eines n N mit b n > K. Wegen b > 1 gilt b m = b n b m n b n > K für m n, denn wir hben vorhin b m n 1 gezeigt. Folgerung 2. Sei b eine relle Zhl mit b < 1. Dnn gibt es zu jedem positiven rellen ε eine Zhl n N mit b n < ε. Beweis. Der Fll b > 0 wird wie bei Forster durch Anwendung des Stzes uf b 1 erledigt, der Fll b < 0 ergibt sich wegen b n = b n und der Fll b = 0 ist trivil. Der folgende Fkt knn ls eine Vrinte des Archimedischen Axiomes ngesehen werden: Stz 4. Zu jeder rellen Zhl x gibt es eine eindeutig bestimmte gnze Zhl n mit n x < n + 1. Beweis. Die Menge M ller gnzen Zhlen l mit l > x ist nch nichtleer. Für x 0 gilt nämlich 1 M, und für x > 0 knn ds Archimedische Axiom uf die Zhlen 1 und x ngewendet werden und ergibt die Existenz einer ntürlichen Zhl m mit m 1 > x. D die Menge M von unten beschränkt ist (nämlich durch die reelle Zhl x), ht sie nch dem nchfolgenden Stz ein kleinstes Element l. Sei n = l 1, dnn gilt n x (sonst wäre n > x im Widerspruch zur Minimlität von l) und n + 1 = l > x wegen l M. Wir hben den Stz benutzt, wonch jede von unten beschränkte Menge ntürlicher Zhlen ein kleinstes Element enthält: Stz 5. Sei M R eine Untermenge, dnn sind die folgenden Aussgen äquivlent: Es gibt eine gnze Zhl m mit l m für lle l M. Es gibt eine reelle Zhl m mit derselben Eigenschft. Eine derrtige Menge nennt mn von unten beschränkt. Jede von unten beschränkte nichtleere Menge gnzer Zhlen enthält ein kleinstes Element.

11 1. ELEMENTARE GRUNDLAGEN 11 Beweis. Sei µ eine reelle Zhl mit l µ für lle l M, wir müssen die Existenz einer gnzen Zhl n mit derselben Eigenschft zeigen. Flls µ 0 gilt, knn n = 0 genommen werden. Andernflls ergibt sich us der Anwendung des Archimedischen Axiomes uf die Zhlen 1 und µ die Existenz einer ntürlichen Zhl k mit k < µ, und mn nimmt n = k. Dmit ist die Äquivlenz der beiden Bedingungen gezeigt, denn die entgegengesetzte Impliktion ist trivil. Sei M eine von unten beschränkte nichtleere Menge gnzer Zhlen, es gibt eine gnze Zhl l mit n l für n M. Dnn ist M = { m N l + m M } eine nichtleere Teilmenge von N. M ht ein kleinstes Element m, und mn zeigt leicht, dß n = l + m ein kleinstes Element von N ist Der Körper der komplexen Zhlen. Die Menge ller Pre (, b) reller Zhlen bildet mit den Rechenopertionen (,b) + (x,y) = ( + x,b + y) (,b) (x,y) = (x by,y + bx) einen Körper. Mn schreibt + bi sttt (,b), wobei sich die Rechenregeln us i 2 = 1 und den Körperxiomen ergeben. Die Zhlen und b nennt mn den Rel- und Imginärteil der komplexen Zhl + ib, = R( + ib), b = I( + ib). Die Kommuttivität und Assozitivität beider Rechenopertionen rechnet mn leicht nch, ebenso die Distributivität. Ds Negtive zu + bi ist ( ) + ( b)i. Ds Inverse zu + bi ist bi. Es gilt lso 2 +b 2 x + iy (x + iy)( ib) x + yb y bx = = + + ib 2 + b b2 2 + b i. 2 Wir benutzen vorerst ohne Beweis, dß us jeder reellen Zhl r 0 eine Qudrtwurzel r 0 existiert. Wir definieren den Absolutbetrg einer komplexen Zhl durch x + iy = x 2 + y 2, nch dem Lehrstz des Pythgors hndelt es sich um den Abstnd des Punktes (x,y) vom Koordintenursprung. Ds konjugiert-komplexe zu + ib ist + ib = ib. Stz 1. Ds Tripel (C, +, ) ist ein Körper. Für relle Zhlen stimmt der soeben definierte Absolutbetrg mit dem früher eingeführten überein. Es gilt x + y = x + y, xy = x y sowie x = x und x = x. Es gilt z 2 = zz. Es gilt (1) b = b

12 12 (2) Es gilt z n = z n z n = z n für lle z C, n Z unter der zusätzlichen Vorussetzung z 0 im Flle n < 0. Es gilt (3) mx( Rz, Iz ) z 2 mx( Rz, Iz ) Eine komplexe Zhl verschwindet genu dnn, wenn ihr Betrg verschwindet. Es gilt die Dreiecksungleichung (4) x + y x + y. Beweis. Die meisten Behuptungen sind trivil, siehe uch Forster, Stz Die Dreiecksungleichung ergibt sich us x + y 2 = R x + y 2 = R((x + y)(x + y)) = R(xx) + R(yy) + R(xy) + R(xy) x 2 + y 2 + xy xy = x 2 + y x y. 2. Grenzwerte 2.1. Grenzwerte von Folgen. Unter einer unendlichen Folge reeller Zhlen versteht mn eine Abbildung n R, wobei mn ds Bild von n mit n bezeichnet. Mn knn uch Folgen betrchten, deren Numerierung mit einer gnzen Zhl m beginnt, in diesem Fll ist der Definitionsbereich der Abbildung die Menge ller l Z mit l m. Auch beidseitig unendliche Folgen sind erlubt, in diesem Fll ist uf gnz Z definiert. Beispiel 1. Durch Ausdrücke wie n = 1/n (n 1) oder n = 2 n sind Folgen reeler Zhlen definiert, ebenso durch die rekursive Vorschrift F 0 = 1, F 1 = 1 und F n+2 = F n + F n+1 (Folge der Fiboncci-Zhlen). In den folgenden Betrchtungen sei K = R oder K = C. Definition 1. Die Zhl K ist der Grenzwert für n der Folge ( n ) n=n o, n K, flls zu jedem ε > 0 eine gnze Zhl m mit n < ε für lle gnzen Zhlen n m, die zum Definitionsbereich der Folge gehören. Wir schreiben = lim n n. Eine Folge nennt mn konvergent, flls sie einen Grenzwert ht, ndernflls nennt mn sie divergent. Die folgenden Hinweise uf Beweise in dem Buch von Forster beziehen sich uf den Fll von Folgen reeller Zhlen. Soweit die Aussge uch im Fll komplexer Zhlen behuptet wird, finden sich Beweise im Abschnitt 13 desselben Buches. Stz 1. Jede Folge ht höchstens einen Grenzwert. Der Stz entspricht Stz 2 im selben Kpitel bei Forster und wird uch genuso bewiesen. Auch die folgenden Beispiele finden sich ähnlich bei Forster.

13 2. GRENZWERTE 13 Beispiel 2. Die konstnte Folge n = ht ls Grenzwert. lim n 1/n = 0. Die Folge n = ( 1) n ht keinen Grenzwert. Es gilt lim n n/(n + 1) = 1. Der Grenzwert lim n b n mit b R existiert genu für 1 < b 1, und er ist 0 für 1 < b < 1 und 1 für b = 1. Der Beweis der letzten Aussge hängt teilweise von Stz 3 b und findet sich bei Forster, 4.7. Definition 2. Eine Folge reeller Zhlen ist von oben beschränkt, (bzw. von unten beschränkt, flls eine Zhl K mit x n K (bzw. mit x n K) für lle n im Definitionsbereich der Folge existiert. Eine Folge ( n ) reeller oder komplexer Zhlen ist beschränkt, flls eine Zhl K 0 mit n K für lle Folgenglieder existiert. Im den folgenden Betrchtungen wollen wir der Einfchheit hlber vorussetzen, dß N der Definitionsbereich der Folge ist. Die folgenden Sätze übertrgen sich lle uf den einseitig unendlichen Fll, ber ein Teil von ihnen ist für zweiseitig unendliche Folgen flsch. Fkt 1. Eine Folge reeller Zhlen ist genu dnn beschränkt, wenn sie von oben und von unten beschränkt ist. Eine Folge ( n ) ist genu dnn beschränkt, wenn eine Zhl K und ein n o N mit n K für n n o existieren. Beweis. Zum ersten Punkt bemerkt mn, dß eine betrgsmäßig durch K beschränkte Folge reeller Zhlen uf Grund der Regeln für Absolutbeträge n von unten durch K und von oben durch K beschränkt ist. Andererseits ist eine von oben durch A und von unten durch B beschränkte reelle Folge dem Betrge nch durch mx(a, B) beschränkt. Unter der im zweiten Punkt formulierten Bedingung sei K ds Mximum der endlich vielen Zhlen K und n mit 0 n n o, dnn gilt n K für n N. In die umgekehrte Richtung ist der zweite Punkt trivil. Zwischen der Konvergenz reeller und komplexer Zhlenfolgen besteht ein enger Zusmmenhng. Stz 2. Eine Folge komplexer Zhlen (z n ) n=n o konvergiert genu dnn gegen eine komplexe Zhl z, wenn lim n R(z n ) = R(z) und lim n I(z n ) = I(z) gilt. Folgerung 1. Eine Folge reeller Zhlen konvergiert genu dnn in R (lso im Sinne von Definition 1 mit K = R), wenn sie in C (lso im Sinne von Definition 1 mit K = C) existiert. In diesem Fll stimmen ihre Limites in R und C überein. Soweit keine nderen Vorussetzungen ngegeben sind, sind die folgenden Sätze sowohl für Folgen reeller ls uch für Folgen komplexer Zhlen richtig. Der folgende Stz entspricht Stz 1 bei Forster. Stz 3. Jede konvergente Zhlenfolge ist beschränkt.

14 14 Der folgende Stz fßt huptsächlich die Sätze 3 und 4 sowie die Korollrien 1 und 2 bei Forster zusmmen: Stz 4. Summe, Differenz und Produkt zweier konvergenter Folgen n und b n sind konvergent, und es gilt lim n + b n = lim n + lim b n n n n lim n b n = lim n lim b n n n n lim n b n = lim n lim b n n n n Ds Produkt einer konvergenten Folge mit einer Zhl λ ist konvergent, und es gilt lim λ n = λ lim n. n n Wenn die Folge n konvergiert, so konvergieren uch die Folgen n und n, und es gilt lim n = lim n n n lim n = lim n n n Wenn die Folge n beschränkt ist und die Folge b n gegen 0 konvergiert, so konvergiert uch die Folge n b n gegen 0. 2 Beispiel 3. Es gilt lim n 1 n = 1. 2 n Es gilt lim n n2 n = 0. Der folgende Stz enspricht Stz 5 bei Forster: Stz 5. Seien n und b n zwei konvergente Folgen reeller oder komplexer Zhlen, wobei der Limes der Folge b n nicht verschwindet. Dnn gibt es ein n o mit b n 0 für n n o, die Folge der Quotienten n /b n ist konvergent, und Beispiel 4. Es gilt lim n 1+2 n 1 2 n = 1. Stz 6 bei Forster besgt: n lim = lim n n. n b n lim n b n Stz 6. Wenn n und b n zwei konvergente Folgen reeller Zhlen sind und wenn n b n für genügend große n gilt (mw, flls ein n o N mit n b n für n n o existiert), so gilt lim n lim b n. n n Als Folgerung für den Spezilfll, in dem eine der betrchteten Folgen konstnt ist, hben wir Folgerung 2. Wenn für eine konvergente Folge reeller Zhlen n A (bzw. n B) für genügend große n gilt, so gilt lim n n A (bzw. lim n n B).

15 Wir formulieren noch den folgenden 2. GRENZWERTE 15 Fkt 2. Wenn n konvergent ist, so ist für jedes k Z uch die Folge n+k konvergent mit demselben Limes. Definition 3. Eine unendliche Reihe n= n konvergiert gegen s, flls die Folge der Prtilsummen s m = m n= n gegen s konvergiert. Eine nicht konvergente unendliche Reihe nennt mn divergent. Stz 7. Wenn eine unendliche Reihe n= n konvergiert, so konvergiert die Folge der n gegen 0. Insbesondere ist diese Folge beschränkt. Sei b, eine unendliche Reihe n= n konvergiert genu dnn, wenn n=b n konvergiert, und es gilt in diesem Fll b 1 n = n + n. n= Beweis. Im ersten Punkt möge die Reihe gegen s konvergieren, dnn gilt n= n=b lim n = lim s n lim s n 1 = s s = 0. n n n Für die zweite Aussge seien s m = m n= n und s m = m n=b n die Teilsummen der betrchteten Folgen, dnn gilt s m = s m + b 1 n= n für m b, und mn knn die obigen Regeln für Limites von Folgen nwenden. (1) Die folgenden Sätze hben dieselbe Nummer und denselben Beweis wie bei Forster. Stz 8. Sei q eine komplexe Zhl. Für q < 1 gilt lim n q n = 0 und im Fll q = 1 gilt lim n q n = 1. In llen nderen Fällen ht die Folge q n für n keinen Grenzwert in C. Die unendliche geometrische Reihe n=0 qn konvergiert genu dnn, wenn q < 1 gilt. In diesem Fll gilt n=0 q n = 1 1 q. Beweis. Im ersten Punkte folgt die Konvergenz q n 0 für q < 1 us Folgerung.1.3.2, und im Fll q = 1 liegt eine konstnte Folge vor. Angenommen, es gilt q 1 und q 1, und die komplexe Zhl g ist Grenzwert von q n für n. Es gilt g = lim n q n = lim n q n 1 nch Folgerung 2 und Stz 4. Es gilt lso g 0. Andererseits gilt qg = lim n q q n = lim n q n+1 = lim n q n = g nch Stz 4 und Fkt 2. Es gilt lso (q 1)g = 0, und wegen q 0 folgt g = 0 im Widerspruch zum vorher Gezeigten. Also wr unsere Annhme der Existenz des Grenzwertes g flsch.

16 16 Nch Stz 7 ist lim n q n = 0 eine notwendige Bedingung für die Konvergenz der linken Seite von (1). Nch dem ersten Punkt ist dies genu für q < 1 der Fll. Es verbleibt lso, (1) im Fll q < 1 zu zeigen. Der Beweis der Summenformel für endliche geometrische Reihen benutzt nur die Körperxiome und überträgt sich lso uf den Fll komplexer Zhlen. Es gilt lso k q n = qk+1 1 q 1, n=0 wobei der Nenner wegen q < 1 nicht 0 ist. Die Behuptung folgt us dem ersten Punkt, wonch lim k q k+1 = 0 us q < 1 folgt. Im folgenden setzen wir der Einfchheit hlber vorus, dß die Summtion der Reihen bei 0 beginnt. Der Stz gilt uch, wenn die Summtion bei einem nderen Strtindex beginnt. Dieser muß ber bei beiden Reihen n und b n derselbe sein. Stz 9. Seien n=0 n und n=0 b n zwei konvergente unendliche Reihen, und sei λ R. Dnn konvergieren uch die unendlichen Reihen n=0 ( n + b n ) und n=0 λ n, und ( n + b n ) = n + n=0 n=0 n=0 λ n = λ n. Wenn n b n für lle n N gilt, so gilt n=0 n n=0 b n. Insbesondere ist die Summe einer Reihe mit nichtnegtiven Summnden nichtnegtiv. Der Stz ergibt sich sofort us den entsprechenden Eigenschften für endliche Summen und für Grenzwerte. Definition 4. Eine Folge n reeller Zhlen ist bestimmt divergent gegen + (bzw. gegen ), flls zu jeder reellen Zhl K ein m N mit n K (bzw. n K) für n m existiert. Mn drückt diesen Schverhlt oft durch lim n n = (bzw. lim n n = ) us. Wenn mn R = R {± } durch < t < für lle t R ordnet, so können die Definitionen von Konvergenz und bestimmter Divergenz für Folgen wie folgt vereinheitlicht werden: Fkt 3. Sei ( n ) eine Folge reeller Zhlen und A R. Genu dnn gilt lim n n = A, wenn die folgenden Bedingungen beide richtig sind: Ist à R und gilt à < A, so gilt n > à für lle genügende großen n. Ist à R und gilt à > A, so gilt n < à für lle genügende großen n. Beispiel 5. Die Folgen n = n bzw. n = 2 n sind bestimmt divergent gegen. Die Folge n = ( 1) n ist divergent, ber nicht bestimmt divergent. n=0 n=0 b n

17 2. GRENZWERTE 17 Beispiel 6. Sei q R. Es gilt lim n q n = genu dnn, wenn q > 1 gilt. Für kein q R divergiert q n für n bestimmt gegen. Der folgende Stz ist eine Zusmmenfssung und leichte Verllgemeinerung der Sätze 9 und 10 bei Forster. Soweit die Behuptungen llgemeiner sind ls bei Forster, ist der in der Vorlesung gegebene Beweis eine offensichtliche Verllgemeinerung. Es ist usreichend, die Beweise bei Forster zu verstehen. Stz 10. Wenn die Folge n bestimmt divergent gegen oder ist, so existiert 1/ n für genügend große n, und es gilt lim n 1/ n = 0. Dsselbe gilt unter der schwächeren Vorussetzung, dß die Folge n gegen bestimmt divergiert und es gilt uch die Umkehrung dieser Aussge: Wenn die Folge 1/ n für genügend große n definiert ist und gegen 0 konvergiert, so divergiert die Folge der n bestimmt gegen. Folgerung 3. Eine Folge positiver bzw. negtiver Zhlen konvergiert genu dnn gegen 0, wenn die Folge ihrer Kehrwerte bestimmt gegen (bzw. ) divergiert. Ohne den (einfchen) Beweis teilen wir noch mit: Fkt 4. Ds Produkt zweier bestimmt divergenter Folgen ist bestimmt divergent. Dsselbe gilt uch für deren Summe, wenn sie beide in dieselbe Richtung bestimmt divergent sind, und für deren Differenz, wenn sie in unterschiedliche Richtungen bestimmt divergieren. Die Regeln us Stz 4 gelten uch in dieser Sitution, wobei mn + = = ( ) = ( ) ( ) = = und ( ) + ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = setzt. Die Summe us einer beschränkten und einer bestimmt divergenten Folge divergiert bestimmt in dieselbe Richtung, dsselbe gilt für d Produkt us einer bestimmt divergenten Folge und einer positiven reellen Zhl oder us einer bestimmt divergenten Folge und einer von unten durch eine positive Zhl beschränkten Folge Ds Vollständigkeitsxiom. Die bisher ufgestellten Axiome für den Bereich der reellen Zhlen sind für unsere Zwecke nicht usreichend. Es gibt nämlich viele für die Anwendungen wichtige Folgen, deren Konvergenz mn nur mit Hilfe eines weiteren Axioms, des Vollständigkeitsxiomes, zeigen knn. Definition 1. Monotone bzw. streng monotone Folge. Fkt 1 (Vollständigkeitsxiom). Es gelten die beiden folgenden Aussgen, die bereits uf Grund der bisherigen Axiome äquivlent sind: Jede monoton wchsende und von oben beschränkte Folge reeller Zhlen konvergiert. Jede monoton fllende und von unten beschränkte Folge reeller Zhlen konvergiert.

18 18 Beweis. Nur die Äquivlenz der beiden Aussgen uf Grund der bisherigen Axiome muß bewiesen werden, d ihre Gültigkeit ein neues Axiom ist. Wenn n die Vorussetzungen eines Punktes erfüllt, so erfüllt n die Vorussetzungen des nderen. Wenn n konvergiert, so konvergiert die Folge n = 1 ( n ) uf Grund der letzten Aussge von Stz (mit λ = 1). Die Äquivlenz der beiden Behuptungen folgt. Fkt 2. Jede monoton wchsende Folge reeller Zhlen ist konvergent oder gegen bestimmt divergent. Jede monoton fllende Folge reeller Zhlen ist konvergent oder gegen bestimmt divergent. Aus dieser Fssung des Vollständigkeitsxiomes ergibt sich die Existenz der Limites in der folgenden Definition: Definition 2. Sei ( n ) eine Folge reeller Zhlen. Wir setzen sup{ n n n o } = lim mx( no,..., k ) k inf{ n n n o } = lim min( no,..., k ) k lim sup n = lim sup{ k k n} n n lim inf n n = lim n inf{ k k n} Für die beiden letzten Definitionen vereinbren wir dbei, dß der Limes einer konstnten Folge ± gleich dem llgemeinen Folgenglied ± ist. sowie Fkt 3. Es gilt sup{ n n n o } = inf{ n n n o } inf{ n n n o } = sup{ n n n o } lim inf n lim inf n n = lim sup n n n. n = lim sup n sup{λ n n n o } = λ inf{ n n n o } inf{λ n n n o } = λ sup{ n n n o } lim inf n lim inf n λ n = λ lim sup n n λ n = λ lim sup n für lle reellen Zhlen λ 0, wobei wir in diesem Fll usnhmsweise 0 = 0 = 0 setzen dürfen. Fkt 4. Sei ( n ) eine Folge reeller Zhlen. Sei A = sup{ k k n} R. Für lle k n gilt dnn k A, und A ist ds kleinste Element von R mit dieser Eigenschft. n

19 2. GRENZWERTE 19 Sei A = inf{ k k n} R. Für lle k n gilt dnn k A, und A ist ds größte Element von R mit dieser Eigenschft. Sei A = lim sup n n R. Dnn gilt für jedes à R mit à > A die Ungleichung n < à für lle genügend großen n, und A ist ds größte Element von R mit dieser Eigenschft. Sei A = lim inf n n R. Dnn gilt für jedes à R mit à < A die Ungleichung n > à für lle genügend großen n, und A ist ds kleinste Element von R mit dieser Eigenschft. Fkt 5. Sei ( n ) eine Folge reeller Zhlen und A R. Dnn gilt lim n n = A genu dnn, wenn lim inf n n = lim sup n n = A gilt. Für eine einfche und geschlossene Formulierung des Beweises nutzen wir Fkt Bemerkung 1. Im Unterschied zum Grenzwert sind die oberen und unteren Häufungsgrenzen lim sup und lim inf für Folgen reeller Zhlen stets definiert (sie können freilich ± sein). Nch dem Fkt ist die Folge genu dnn konvergent oder bestimmt divergent, wenn beide Häufungsgrenzen übereinstimmen. Sind sie dbei endlich, so liegt Konvergenz vor, ndernflls bestimmte Divergenz. Definition 3. Eine Folge ist eine Fundmentlfolge (bzw. eine Cuchy-Folge bzw. in sich konvergent, flls es zu jeder positiven reellen Zhl ε ein n N gibt, so dß k l < ε für min(k,l) n gilt. Fkt 6. Eine Folge komplexer Zhlen n ist genu dnn eine Cuchyfolge, wenn die Folgen R n und I n Cuchyfolgen sind. Stz 1. Eine Zhlenfolge ist genu dnn eine Cuchyfolge, wenn sie konvergiert. Bemerkung 2. Ohne ds Vollständigkeitsxiom könnte immer noch bewiesen werden, dß konvergente Folgen Cchy-Folgen sein müssen. Die umgekehrte Aussge ist eine äquivlente Umformulierung des Vollständigkeitsxiomes, ohne welches nicht die Existenz des Limes von Cuchy-Folgen gezeigt werden knn, sondern nur deren Beschränktheit. Definition 4. Eine Teilfolge einer Folge ( n ) n=n o ist eine Folge der Form ( ik ) k=k o, wobei (i k ) k=k o eine streng monoton wchsende Folge gnzzhliger Indizes ist, die lle n o sind. Fkt 7. Eine Teilfolge einer konvergenten Folge ist konvergent. Stz 2. Sei ( n ) n=n o eine Folge reeller Zhlen, dnn gibt des Teilfolgen dieser Folge, deren Limites lim inf n n und lim sup n n sind. Beweis. Wir betrchten nur lim sup, der Fll lim inf geht nlog dzu. Sei l = lim sup n n. Im Fll l < sei l n ± = l ± 2 n, ndernflls l n ( ) = n und l n (+) =. In jedem Fll gilt, nch Fkt 4, n < l n (+) für lle genügend großen n. Nch der in Fkt 4 formulierten Minimlitätseigenschft von lim sup gibt es beliebig große n mit n > l ( ) n.

20 20 Sei nun i 1 = n o. Wenn k 0 und i k 1 schon gewählt ist, sei b > i k 1 so dß n < l (+) k für n b gilt. Nch der vorhin formulierten Eigenschft von l ( ) k gibt es ein i k b mit ik > l ( ) k. Die Folge der Indizes (i k ) k=0 ist streng monoton, und l( ) k < ik < l (+) k für lle k, worus lim k ik = l folgt. Folgerung 1 (Bolzno-Weierstrß). Aus jeder beschränkten Folge reeller oder komplexer Zhlen knn mn eine konvergente Teilfolge uswählen. Beweis. Für beschränkte Folgen reeller Zhlen gilt lim sup n n <, und die Behuptung folgt us dem Stz. Für beschränkte Folgen komplexer Zhlen sind die Folgen der Relund Imginärteile beschränkt. Mn knn lso nch dem soeben betrchteten Fll reeller Zhlen erst eine streng monotone Indexfolge i k finden, so dß die Folge R ik konvergiert, und dnn eine weitere Indexfolge (k l ) l=0, so dß die Folge I i kl konvergiert. Dnn konvergiert die Folge ( ikl ) l=0 nch Stz Konvergenzkriterien für Reihen. Ohne Kpitelnummer ufgeführte Sätze us Forster stmmen us Forster, 8. Stz 1. Ein Reihe k=0 k nichtnegtiver reeller Zhlen konvergiert geu dnn, wenn die Folge der Prtilsummen s n = n k=0 k von oben beschränkt ist. Ist die Folge der Prtilsummen unbeschränkt, so divergiert die Reihe gegen bestimmt. Beweis. Die Aussge entspricht Stz 2 bei Forster und folgt leicht us Fkt Bemerkung 1. Die Aussge gilt muttis mutndis uch für Reihen mit nichtpositiven k. Stz 2 (Leibniz). Sei ( n ) n=0 eine monoton fllende Folge nichtnegtiver Zhlen. Die Reihe k=0 ( 1)k k konvergiert genu dnn, wenn lim n n = 0 gilt. In diesem Fll sei s = k=0 ( 1)k k und s l = l k=0 ( 1)k k, dnn gilt s l s für gerde und s l s für ungerde l. Die Notwendigkeit folgt us Stz und die Hinlänglichkeit ist Stz 4 bei Forster mit demselben Beweis. Definition 1. Eine Reihe n=0 n reeller oder komplexer Zhlen konvergiert bsolut, wenn die Reihe n=0 n bsolut konvergiert. Fkt 1. Eine Reihe komplexer Zhlen konvergiert genu dnn bsolut, wenn sowohl die Reihe der Relteile ls uch die Reihe der Imginärteile bsolut konvergieren. Stz 3. Eine bsolut konvergente Reihe n=0 n reeller oder komplexer Zhlen konvergiert uch im gewöhnlichen Sinne, und es gilt (1) n n. n=0 n=0

21 2. GRENZWERTE 21 Beweis. Sei s n = n k=0 k, s n = n k=0 k. In beiden Fällen sei uch der Fll n = 1 zugelssen, welcher der leeren Summe entspricht. Dnn folgt us der Dreiecksungleichung für endliche Summen n n s n s m = k k = s n s m k=m+1 k=m+1 für 1 m n <. D k=0 k konvergiert, bilden die s n eine Cuchyfolge. Unmittelbr us den Definitionen und der letzten Ungleichung folgt, dß uch die s n eine Cuchyfolge bilden. Dmit ergibt sich die Behuptung über die Konvergenz der Ausgngsreihe us Stz Als Spezilfll m = 1 der vorhin gezeigten Ungleichung ergibt sich s n s n, lso gilt lim s n = lim s n lim s n n n n, und (1) folgt. Stz 4. Die konvergente Reihe n=0 n nichtnegtiver reeller Zhlen sei eine bsolut konvergente Mjornte der Reihe n=0 b n reeller oder komplexer Zhlen, es gelte lso b n n. Wenn die Reihe n=0 n konvergiert, so konvergiert uch die Reihe n=0 b n. Wenn für jede ntürliche Zhl i ein Reihe n=0 (i) n gegeben ist und n=0 n eine gemeinsme Mjornte dieser Reihen ist, so gilt ( ) ( ) lim n (i) = lim n (i) i i n=0 Beweis. Der erste Teil ist Stz 6 bei Forster und wird wie folgt bewiesen: Wir hben n n b k k, k=0 wobei die rechte Seite uf Grund von Stz 1 beschränkt ist. Also ist uch die linke Seite dieser Ungleichung beschränkt, und die bsolute Konvergenz der untersuchten Reihe folgt us Stz 1. Zum Beweis der zweiten Behuptung sei ε > 0 vorgegeben, wir wählen ein n o mit n=n o k < ε 3, ws uf Grund der Konvergenz von n=0 n möglich ist, und ein m o mit b n b (m) n 0 n < n o und m > m o. Für m > m o gilt n b n b (m) n = o 1 n o 1 b n b (m) n + b n b (m) n n=0 n=0 n=0 n=0 n o n o n o 1 b n b (m) n + + n n=0 k=0 n=0 n=n o b n n=n o b (m) ε 3n o für

22 22 < n o 1 n=0 ε 3n o + ε 3 + ε 3 = ε wie für die zweite Aussge benötigt, wobei uf der letzten Zeile b n b n n < ε 3 n=n o n=n o n=n o sowie eine nloge Ungleichung für die b (m) n benutzt wurden. Folgerung 1 (Stz über die monotone Konvergenz). Wenn ( (n) k ) n,k=0 eine in n monoton wchsende Doppelfolge nichtnegtiver reeller Zhlen ist, so gilt lim n k=0 (n) k = k=0 lim n (n) k. Stz 5 (Quotientenkriterium). Es konvergiert jede Reihe n=0 n reeller oder komplexer Zhlen, für die eine positive reelle Zhl Θ < 1 mit n+1 Θ n für genügend große n existiert. Der Stz entspricht Stz 7 bei Forster. Stz 6. Die Exponentilreihe exp(x) = x n n=0 konvergiert für beliebige komplexe Zhlen n! bsolut, und es gilt (2) exp(x) = lim i (1 + x/i) i. Aus lim m x m = x folgt lim m exp(x m ) = exp(x). Wenn (x m ) m=0 eine gegen 0 konvergente Folge von 0 verschiedner komplexer Zhlen ist, so gilt exp(x m ) exp(x) (3) lim = 1. m x m Beweis. Die bsolute Konvergenz der Exponentilreihe ergibt sich leicht us dem Quotientenkriterium, siehe Stz 8.1 bei Forster. Zum Beweis von (2) berechnen wir die Folgenglieder uf der linken Seite mit dem binomischen Lehrstz: mit b (m) n = ( ) m x n. Aus n m n b (m) n (1 + x m )m = = xn n 1 n!m n i=0 m n=0 ( m n (m i) = xn n! ) x n m = n n 1 i=0 m i m n=0 b (m) n = b n n 1 i=0 m i m mit b n = xn ergibt sich einml lim n! n b (m) n = b n für jede ntürliche Zhl n und zum zweiten b (m) n b n. Mn knn lso Stz 4 mit der bsolut konvergenten Exponentilreihe n = b n =

23 x n /n! ls Mjornte nwenden und erhält lim (1 + m x/m)m = lim m 2. GRENZWERTE 23 n=0 b (m) n = b n = exp(x). Es gelte lim m x m = x, dnn existiert eine obere Schrnke R für die x m, und mit b n = x n /n!, b (m) n = x n m/n! gilt lim m b (m) n = b n, wobei Stz 4 mit n = Rn ls Mjornte genommen n! werden knn. Es gelte nun zusätzlich x = 0, und die x, seien lle von 0 verschieden. D der erste Summnd der Exponentilreihe 1 ist, gilt exp(x m ) 1 lim m x m = lim m k=1 x k 1 m k! = lim m n=0 n=0 x n m (n + 1)! = lim m n=0 x n m (n + 1)! = 1, wobei die Vertuschung von Limes und unendlicher Summtion durch Anwendung von Stz 4 mit b (m) n = x n m/(n + 1)!, b n = 0 und n = R n /n! gerechtfertigt werden knn. Die Betrchtung der Exponentilreihe zeigt, dß ds Quotientenkriterium nützlich ist. Es ist ber nicht der Weisheit letzter Schluß. Beispielsweise erfordert der Beweis des folgenden Stzes eine ndere Idee. Stz 7. Die Zet-Reihe ζ(n) = konvergiert für gnze n > 1 und divergiert für lle nderen gnzen Zhlen n. i=1 i n Beweis. Offenbr reicht es, den Fll n 0 zu betrchten. 2 k 1 2 (k 1)(n 1) i n 2 k(n 1) 1, i=2 k 1 und die Behuptung folgt leicht us Aussgen über die Konvergenz der geometrischen Reihe. Aus dem Stz über die mjorisierte Konvergenz leiten wir den folgenden Doppelreihenstz her: Stz 8. Sei ( n,m ) n,m=0 eine Doppelfolge reeller oder komplexer Zhlen. Wenn die Zhlen n,m reell und nichtnegtiv sind, so gilt d (4) n,m = m,d m = n=0 m=0 d=0 m=0 m=0 n=0 n,m wobei (4) ls Gleichung zwischen Elementen von R { } ufzufssen ist. 1 1 Wobei der äußeren Summe n=0 m=0 n,m der Wert zugewiesen wird, wenn m=0 n,m für ein n gilt. Ähnlich wird mit der Doppelsumme m rechten Ende von (4) verfhren.

24 24 Gilt n=0 m=0 n,m <, so gilt (4) ebenflls. Beweis. Wir zeigen zunächst die erste Behuptung. Ist diese gezeigt, so ist schon erwiesen, dß die Vorussetzung des zweiten Punktes symmetrisch in m und n ist. Es genügt dher in beiden Fällen, die linke Gleichung in (4) zu zeigen. Die rechte ergibt sich sodnn durch Vertuschung der Rollen der Indizes n und m. Wir hben (+) D d=0 m=0 d m,d m = D n n=0 m=0 m,n = n=0 s (D) n, es liegt hier eine Umordnung einer endlichen Summe vor, die Zhlen s (N) n D n s (N) n = m=0 m,n sind durch definiert. Es gilt lim D s (N) = m=0 n,m, wobei Konvergenz unter den Vorussetzungen des ersten Punktes monoton und unter den Vorussetzungen des zweiten Punktes mjorisiert durch m=0 n,m erfolgt. Es gilt lso lim D n=0 s (D) n = n=0 m=0 n,m, nch dem Stz über die monotone bzw. die mjorisierte Konvergenz. Auf der rechten Seite dieser Gleichung steht gerde die linke Seite von (+). Auf der nderen Seite ist, uf Grund der Definition der Summe unendlicher Reihen, der mittlere Term in (4) gerde der Limes für D der linken Seite von (+), und die Behuptung ist bewiesen. Bemerkung 2. Ohne irgendwelche Vorussetzungen n die Doppelreihe ist (4) flsch. Als Gegenbeispiel knn die folgende Doppelreihe genommen werden: 1 n = m n,m = 1 n = m ndernflls. Dnn gilt n=0 m=0 m=0 n=0 n,m = 0 n,m = 1, während d d=0 m=0 m,d m = d=0 ( 1)d unbestimmt divergent ist. Eng verwndt mit der soeben betrchteten Frge der Vertuschbrkeit von Limes und Summtion unendlicher Reihen ist die Frge der Umordnung unendlicher Reihen.

25 2. GRENZWERTE 25 Stz 9 (Kleiner Umordnungsstz). Die Reihe n=0 n konvergiere bsolut, und die Funktion N f N sei bijektiv. Dnn konvergiert uch n=0 n bsolut, und zwr gegen denselben Wert wie die Ausgngsreihe. Der Stz entspricht Stz 8 bei Forster mit demselben Beweis. Alterntiv dzu knn Stz 8 uf die Doppelreihe { n m = f(n) b n,m = 0 sonst ngewendet werden, denn es gilt b n,m = n n=0 b n,m = f(n). m=0 Stz 10 (Produktstz). Seien n=0 n und n=0 b n zwei bsolut konvergente Reihen, und sei c n = n k=0 kb n k. Dnn ist n=0 c n bsolut konvergent, und es gilt c n = ( )( ) n b n. n=0 n=0 Beweis. Der Beweis ergibt sich durch Anwendung von Stz 8 uf die Doppelreihe (CAVE: Genuer usführen?) n=0 m=0 nb m. Folgerung 2. Für komplexe Zhlen x, y gilt exp(x + y) = exp(x) exp(y). Beweis. Sei n = x n /n! und b b = y n /n!. Wir hben schon gesehen, dß beide Reihen bsolut konvergieren. Der Stz ist dher nwendbr, wobei mn für die Glieder der Produktreihe n n x k y n k c n = k b n k = k!(n k)! = 1 n x k y n k n! n! k!(n k)! = 1 n ( ) n x k y n k (x + y)n = n! k n! erhält. k=0 k=0 k= Einführung in den Stetigkeitsbegriff. Sei K = R oder K = C und M K eine Teilmenge. Stz 1. Für eine Funktion M f K und m M sind folgende Bedingungen äquivlent: Zu jedem ε > 0 existiert ein δ > 0 mit f(x) f(m) < ε für x M und x m < δ. Wenn x n eine gegen m konvergierende Folge von Elementen von M ist, so konvergiert die Folge f(x n ) gegen f(m). Definition 1. Eine derrtige Funktion nennt mn stetig n der Stelle m. Mn nennt f stetig, wenn f stetig n llen Stellen m M ist. n=0 k=0

26 26 Stz 2. Die konstnte Funktion f(x) = c und die identische Funktion f(x) = x sind stetig. Summe und Produkt zweier n einer Stelle x o stetiger Funktion sind stetig dselbst. Dsselbe gilt für den Kehrwert einer n der Stelle x o stetigen Funktion f mit f(x o ) 0. Die Einschränkung einer n der Stelle x o stetigen Funktion f mit Definitionsbereich M uf einen kleineren Definitionsbereich M M mit x o M ist weiterhin stetig n der Stelle x o. Insbesondere ist f M stetig uf gnz M, wenn f stetig uf gnz M ist. Die Exponentilfunktion ist stetig uf gnz C. Beispiel 1. Die Funktion f(x) = x 2 = x x ist nch den beiden ersten Punkten des Stzes stetig. Im Zusmmenhng mit dem folgenden, sehr wichtigen Stz ergibt sich drus die früher behuptete Existenz von Qudrtwurzeln nichtnegtiver reeller Zhlen. Definition 2. Definition der bgeschlossenen, hlbbgeschlossenen und offenen Intervlle. Stz 3 (Zwischenwertstz für stetige Funktionen). Sei I = [, b] ein bgeschlossenes Intervll und I f R stetig uf gnz I. Sei y eine reelle Zhl mit f() y f(b) oder f(b) y f(), dnn existiert ein x I mit f(x) = y. Wir beschreiben ls Beweis ein Einschchtelungsverfhren von enormer prktischer Relevnz. Stz 4. Wenn I = [,b] f [c,d] = I streng monoton wchsend und stetig ist und f() = c sowie f(b) = d gilt, so ist f bijektiv und die Umkehrfunktion I g I ist stetig und streng monoton wchsend. Dsselbe gilt für streng monoton fllende f mit f() = d und f(b) = c, in diesem Fll ist uch g streng monoton wchsend. Beweis. Wir betrchten nur den Fll streng monoton wchsender f. Der Fll eines streng monoton fllenden f geht nlog oder knn durch Betrchtung von f uf diesen zurückgeführt werden. Für den Rest des Beweises sei lso f ls streng monoton wchsend vorusgesetzt. Die Surjektivität von f ergibt sich us Stz 3, und die Injektivität von f folgt us der strengen Monotonie von f. Dher ht f eine Umkehrfunktion I g I. Wäre g nicht streng monoton wchsend, so gäbe es x < y, x,y I mit g(x) >= g(y). Auf Grund der Monotonie von f folgt x = f(g(x)) f(g(y)) = y, ein Widerspruch zu unserer Annhme x < y. Also ist g streng monoton wchsend. Es verbleibt noch der Beweis der Stetigkeit von g. Wir benutzen ds nchfolgende Lemm, wonch zum Beweis der Stetigkeit von g n der Stelle x I der Nchweis von lim n g(x n ) = g(x) für monoton wchsende oder fllende und gegen x konvergierende Folgen x n mit x n I usreicht. Auf Grund der Monotonie von g ist die Folge g(x n ) ebenflls monoton, und wegen g(x n ) I ist sie beschränkt. Nch Stz existiert y = lim n g(x n ), und uf Grund der Stetigkeit von f gilt f(y) = lim f(g(x n )) = lim x n = x. n n

27 2. GRENZWERTE 27 D f und g zueinnder inverse Funktionen sind, folgt g(x) = y. Die Stetigkeit von g ist dmit bewiesen. Lemm 1. Sei M R, f eine reell- oder komplexwertige Funktion uf M und m M. Genu dnn ist f stetig uf M n der Stelle m, wenn für jede monotone Folge (m k ) von Elementen von M mit lim k m k = m der Grenzwert der Folge f(m k ) existiert und mit f(m) übereinstimmt. Ds Lemm wird m zweckmäßigsten im Zusmmenhng mit llgemeinen Betrchtungen über Limites von Funktionswerten gezeigt, so dß der Beweis noch etws ufgeschoben werden soll. Stz 5. Die Funktion [0, ) x x 2 [0, ) ist bijektiv, und ihre Umkehrfunktion x ist stetig. Die Funktion R exp (0, ) ist bijektiv, und ihre Umkehrfunktion log ist stetig. Definition 3. Wenn eine positive reelle und b eine komplexe Zhl ist, so setzen wir b = exp(b log ). Aus Folgerung folgt Fkt 1. Seien, positive reelle und b,b komplexe Zhlen, dnn gilt: ( ) b = b b. b+b = b b Ist b reell, so gilt bb = ( b ) b. Bemerkung 1. Aus der Definition folgt 0 = 1 und 1 =. Außerdem folgt us Fkt 1 durch Induktion nch n, dß n für ntürliche Exponenten mit den in Definition eingeführten Potenzen übereinstimmt. Weil für beide Konstruktionen x n x n = 1 gilt, stimmen sie uch für gnzzhlige Exponenten überein. Aus dem dritten Punkt von Fkt 1 folgt schließlich x = x 1/2, denn (x 1/2 ) 2 = x. Anlog gilt n x = x 1/n für gnze Zhlen n 0. Ähnlich wichtig ist der folgende Stz über die Extremwerte stetiger Funktionen. Stz 6. Sei I = [,b], < < b <, ein beschränktes bgeschlossenes Intervll. Wenn I f R stetig ist, so gibt es m,m I mit f(m) f(x) f(m) für lle x I. Beweis. Es genügt, die Existenz von m zu zeigen, denn dnn ergibt sich durch Anwendung dieser Existenzussge uf f die Existenz von M. Wir konstruieren induktiv eine Folge I n = [ n,b n ] mit folgenden Eigenschften: I 0 = I und I n+1 I n. b n n = 2 n (b ). Zu jedem n N und jedem x I gibt es ein y I n mit f(y) f(x). Aus dem ersten Punkt folgt, dß die Folge der n monoton wchsend ist. D lle n zu I gehören, ist die Folge beschränkt. Es konvergiert lso m = lim n n. Wir zeigen, dß m die gewünschte Eigenschft ht. Sei x I, dnn gibt es y n I n mit (+) f(y n ) f(x).