Einführung in die Analysis. Prof. Dr. René Grothmann

Transkript

1 Einführung in die Anlysis Prof. Dr. René Grothmnn 2016

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3 Vorwort Es hndelt sich bei diesem Skript nur um eine Zusmmenfssung der Vorlesung. Beweise und Beispiele wurden uf ein Minimum reduziert. Auch eine Einführung in die Mengenlehre fehlt, ebenso wie Aufgben. Es mg zwr inhltliche Grundlge einer Vorlesung sein, knn ber nicht wörtlich übernommen werden. Wir behndeln grob die folgenden Stoffgebiete. Grundlgen der Mthemtik, Mengenlehre und Logik. Definition und Eigenschften der reellen Zhlen. Konvergenz, Folgen, Reihen und Stetigkeit. Differentil- und Integrlrechnung einer Vriblen. Exponentilfunktionen und trigonometrische Funktionen. Komplexe Zhlen, Potenzreihen. Topologie des R n, Konvergenz und Stetigkeit. Differentil- und Integrlrechnung mehrere Vriblen. Umkehrsätze und lokle Auflösbrkeit. Der Zugng zu den reellen Zhlen ist xiomtisch. Es wurde druf gechtet, die Grundlgen zwr präzise, ber so elegnt und effektiv wie möglich zu behndeln. Konstruktiven Beweisen wurde Vorrng gegeben. Ds Skript ist für den Bchelorstudiengng oder ds Lehrmt Gymnsium geeignet. Der behndelte Stoff ist Grundlge jeder Vorlesung in den ersten zwei Semestern eines Mthemtikstudiums. Die Vorlesungen werden sich ber letztlich deutlich durch die Auswhl der Übungsufgben, ds Gleichgewicht zwischen Beweis und Beispiel, und die Präsenttion der Grundlgen der Mthemtik unterscheiden. Mn muss sich drüber im Klren sein, dss die Vorkenntnisse der Studierenden sehr beschränkt sind. Dies gilt insbesondere für die Grundlgen der Mthemtik und ds korrekte logische Formulieren und Schließen. Es gilt ber uch für Inhlte, die Dozenten für selbstverständlich gegeben hlten. Es ist keine schlechte Idee, sich über die Vorkenntnisse der Studierenden durch einen Vortest ein Bild zu mchen. Auch muss unbedingt eine weit über ds Skript hinus gehende Einführung in die Mengenlehre und die Logik gegeben werden. Dies knn ntürlich uch in der prllelen Vorlesung zur Lineren Algebr geschehen. 3

4 4 Der in den zwei Semestern zu präsentierende Stoff ist umfngreich und methodisch schwierig. Mn muss dher genu prüfen, n welchen Stellen mn in die Tiefe gehen knn. Im Allgemeinen ist der Erwerb einer großen Breite von Kenntnissen und Fertigkeiten zu präferieren, ohne jedoch den Erwerb von methodisch logischer Kompetenz zu vernchlässigen. Angesichts dieser doppelten Belstung wäre eine dreisemestrige oder sogr viersemestrige Ausbildung in Anlysis wünschenswert. Ds würde uch die Möglichkeit geben, speziellere Themen, wie etw Differentilgleichungen, Topologie oder Mße, uf der Grundvorlesung in einem Guss ufzubuen. Hinsichtlich der Methodik des Lernens sind Vorlesungen und Übungen immer noch die Mittel der Whl. Ziel der Vorlesung ist nicht ds Trnsferieren eines Skripts, sondern die Erklärung, Deutung und Gewichtung des Stoffes. Skripte stehen in großer Anzhl im Netz zur Verfügung. Die Übungen sind heute us Gründen der Prüfungsfirness und nderen juristischen Gründen nicht mehr verpflichtend. Es muss klr gemcht werden, dss sie einerseits der Einübung und ndererseits der Prüfungsvorbereitung dienen. Ohne Beschäftigung mit den Übungen knn ds Modul nicht erfolgreich bsolviert werden. Als Selbsttest für die Studierenden und die Lehrenden empfehlen sich Probeklusuren, die wie im Ernstfll gestltet und bewertet werden, ber sonst keine weiteren Auswirkungen hben. Als Prüfung ist eine Mischung us mündlicher und schriftlicher Prüfung optiml. Bei einer reinen Klusurprüfung sollte die Klusur uch Aufgben mit Definitionen oder Verständnisfrgen enthlten. Es ist kein Problem, wenn sie Beweise us der Vorlesung wiederholen lässt. Insgesmt ist es sehr schwer, den Aufbu von frustrierenden Erfhrungen des Scheiterns bei den Studierenden zu verhindern. Wie immer gelingt ds m besten, wenn mn die Studierenden n dem Punkt bholt, n dem sie m Beginn des Studiums stehen. Dzu knn und sollte die Vorlesung n Vorkenntnisse nknüpfen. Motivtion knn us konkreten Berechnungen, uch mit Computer-Unterstützung, gewonnen werden. Der Computer knn uch zur Visulisierung von Ergebnissen verwendet werden. Auf die Schwierigkeiten mit der logischen Argumenttion sollte immer wieder eingegngen werden. Leider ist ber der Erfolg nicht grntierbr. Mit den besten Wünschen für ein gutes Gelingen, Eichstätt, 2016 R. Grothmnn

5 Inhltsverzeichnis 1 Die reellen Zhlen Die Körperxiome Die Anordnung Schrnken und Intervlle Die Betrgsfunktion Die Komplexen Zhlen Folgen Die ntürlichen Zhlen Folgen Endliche und bzählbre Mengen Summen und Produkte Die rtionlen Zhlen Konvergenz Grenzwert von Folgen Vollständigkeit Intervllschchtelung Häufungspunkte Uneigentliche Grenzwerte Reihen Absolute Konvergenz Dezimlbrüche Komplexe Folgen und Reihen

6 6 INHALTSVERZEICHNIS 4 Stetigkeit Grenzwert von Funktionen Rtionle Funktionen Der Zwischenwertstz Extrem von Funktionen Stetigkeit in metrischen Räumen Die Ableitung Differenzierbrkeit Lokle Extrem und Monotonie Die Tngente Die Kettenregel Exponentilfunktion und Logrithmus Der Stz von de l Hospitl Fixpunkte Konvexe Funktionen Integrlrechnung Ds Riemnn-Integrl Der Huptstz Prtielle Integrtion und Substitution Uneigentliche Integrle Allgemeine Funktionen Potenzreihen Die Tylorreihe Potenzreihen Gleichmäßige Konvergenz Trigonometrische Funktionen Prtilbruchzerlegung Die Stirlingsche Formel

7 INHALTSVERZEICHNIS 7 8 Der Euklidsche Rum Konvergenz Offene Mengen Stetige Funktionen Kompkte Mengen Zusmmenhängende und konvexe Mengen Die Norm von lineren Abbildungen Der Bnchsche Fixpunktstz Differentilrechung mehrerer Vriblen Prtielle Ableitungen Lokle Extrem Die totle Ableitung Implizite Funktionen Extrem mit Nebenbedingungen Die Kurvenlänge Integrlrechung mehrerer Vriblen Treppenfunktionen Ds Riemnn-Integrl Riemnn-messbre Mengen Der Trnsformtionsstz

8 8 INHALTSVERZEICHNIS

9 Kpitel 1 Die reellen Zhlen Die reellen Zhlen sind eine Menge, in der mn ddieren und multiplizieren knn, und in der die Elemente liner geordnet sind. Eine gute Vernschulichung ist geometrisch mit Hilfe des Zhlenstrhls möglich, wobei zur Multipliktion die Ebene und die Strhlensätze zu Hilfe genommen werden können. Abbildung 1.1: Die Zhlengerde Wir führen die reellen Zhlen ber xiomtisch ein, nsttt sie us den ntürlichen Zhlen und den dort geltenden Rechenregeln zu konstruieren, wie ds, wenn uch nicht gnz exkt, in der Schule gemcht wird. Eine mthemtisch präzise Konstruktion würde sehr viel Zeit kosten und für Anfänger zu schwierig sein. Dher beginnen wir dmit, die beknnten Rechenregeln und ndere Axiome innerhlb der reellen Zhlen einfch festzulegen. Die Axiome der reellen Zhlen bestehen us drei Gruppen. Wir werden sie nch und nch behndeln. Die Axiome der Multipliktion und Addition (Körperxiome) Die Axiome der Anordnung Ds Vollständigkeitsxiom und ds Archimedische Axiom 1.1 Die Körperxiome 1.1. Definition: Eine Menge K mit einer Addition + und einer Multipliktion heißt Körper, wenn in ihr zwei Konstnten 0 1 gegeben sind, und wenn die folgenden Rechengesetze gelten. 9

10 10 KAPITEL 1. DIE REELLEN ZAHLEN (1) Die Addition ist kommuttiv, d.h. + b = b + für lle, b K (2) Die Addition ist ssozitiv, d.h. ( + b) + c = + (b + c) für lle, b, c K (3) 0 ist ds neutrle Element der Addition, d.h. + 0 = für lle K. (4) Für jedes K existiert ein b K (ds dditive Inverse) mit + b = 0. (5) Die Multipliktion ist kommuttiv, d.h. b = b für lle, b K (6) Die Multipliktion ist ssozitiv, d.h. ( b) c = (b c) für lle, b, c K (7) 1 ist ds neutrle Element der Multipliktion, d.h. 1 = für lle K. (8) Für jedes K, 0, existiert ein b K (ds multipliktive Inverse) mit b = 1. (9) Es gilt ds Distributivgesetz. D.h. (b + c) = b + c für lle, b, c K. Axiom I. Die reellen Zhlen sind ein Körper. Die Mengenlehre kennt keine Opertoren, sondern nur Abbildungen dort ist + eine Abbildung + : R 2 R Dies Abbildung bildet lso ein Pr (, b) uf eine reelle Zhl b, die wir ls + b schreiben. D Abbildungen eindeutig sind, ist lso zu, b R ein eindeutiges Element + b R gegeben. Dher mchen Schreibweisen wie ( + b) + c einen eindeutigen Sinn.

11 1.1. DIE KÖRPERAXIOME Stz: Es gilt für lle, b, c K. Ebenso + b = + c b = c b = c b = c für lle, b, c K, vorusgesetzt dss 0 ist. Die neutrlen Elemente und die Inversen der Addition und der Multipliktion sind eindeutig bestimmt. 1.3 Stz: Ein Körper K ist nullteilerfrei. D.h., es gilt für lle, b K. b = 0 = 0 oder b = 0 Aus diesem Grund knn 0 kein multipliktives Inverses hben Definition: Wir schreiben ds dditive Inverse von wie gewohnt ls, und ds multipliktive Inverse von 0 ls Außerdem schreiben wir wie üblich sowie 1 = 1 = 1/. b := + ( b), b = /b := b 1. Zwischen verschiedenen Vriblen oder zwischen geklmmerten Ausdrücken ist es ußerdem üblich, den Mlpunkt wegzulssen, lso b := b Ntürlich setzen wir 2 = etc. Außerdem bruchen wir die Klmmern beim Addieren und Multiplizieren nicht immer zu schreiben. Wir definieren Anlog für die Multipliktion. + b + c = ( + b) + c = + (b + c).

12 12 KAPITEL 1. DIE REELLEN ZAHLEN 1.5 Stz: In jedem Körper K gelten die us der Schule beknnten Rechenregeln für die Addition und die Multipliktion. Zum Beispiel ist 0 = 0 und 1 1 = 1. Die Inversen der Inversen sind die Elemente selbst, lso ( ) = für lle K, und ( 1 ) 1 = für lle K, 0. Außerdem ( + b) = ( ) + ( b) für lle, b K, und (b) 1 = 1 b 1 für lle, b K,, b 0. Außerdem ( )( b) = ( ( b)) = b für lle, b K. Ebenso ht mn die üblichen Rechenregeln für Brüche, z.b. b c d = c bd, /b c/d = d bc, b ± c d d ± bc =, bd b = c bc für lle, b, c, d, für die diese Brüche definiert sind. Ntürlich gelten uch die binomischen Formeln ( ± b) 2 = 2 ± 2b + b 2, ( + b)( b) = 2 b 2 für lle, b K Beispiel: Es gilt für x R x 2 = 1 x = 1 oder x = 1 Denn zum einen ist 1 2 = 1 1 = 1 und ( 1) 2 = 1 2 = 1. Zum nderen folgt us x 2 = 1 0 = x 2 1 = (x 1)(x + 1). Aufgrund des obigen Stzes 3 folgt x 1 = 0 oder x + 1 = 0, lso die Behuptung. (1) Ds für uns wichtigste Beispiel für einen Körper ist R, der Körper der reellen Zhlen. (2) Aber für viele Rechnungen reicht der Körper Q der rtionlen Zhlen us. Er ist die Teilmenge von R, die us Brüchen der Form n/m mit m N und n Z besteht. Wir werden Q später genuer betrchten. (3) Es gibt ber uch den Körper C der komplexen Zhlen, der eine Obermenge von R ist. Dzu später mehr. (4) Prktisch wichtig und interessnt sind uch Körper mit nur endlich vielen Elementen. So ist etw der Körper K = {0, 1}, der nur die beiden notwendigen Elemente 0 und 1 enthält ein Körper. Mn rechnet dort = 0. Allgemeiner sind endliche Körper die Primzhlrestkörper, die nicht Them der Anlysis sind.

13 1.2. DIE ANORDNUNG Die Anordnung 1.7. Definition: Ein ngeordneter Körper ist ein Körper K, in dem eine Reltion < b definiert ist. Diese Anordnung muss die folgenden Rechenregeln erfüllen. (1) Die Anordnung ist trnsitiv, d.h. für lle, b, c K. < b und b < c < c (2) Die Anordnung ist vollständig, d.h. für je zwei Elemente, b K gilt genu eine der folgenden drei Beziehungen < b, = b, b <. (3) Die Anordnung ist verträglich mit der Addition, d.h. < b + c < b + c für lle, b, c K. (4) Die Anordnung ist verträglich mit der Multipliktion mit positiven Zhlen, d.h. < b und 0 < c c < bc. Axiom II. Die reellen Zhlen sind ein ngeordneter Körper. Mengentheoretisch ist eine Reltion eine Teilmenge von R 2, lso eine Menge von Pren (, b), für die die Reltion gilt. Eine Abbildung ist in der Mengenlehre eine Reltion mit der Eigenschft, dss für jedes genu ein b existiert, so dss (, b) in der Reltion ist Definition: Selbstverständlich schreiben wir wie üblich > b : b <, b : < b oder = b. b : > b oder = b. Außerdem < b < c < b und b < c für lle, b, c K etc. Mn bechte, dss in Bedingung (2) gefordert wird, dss genu eine der Beziehungen gilt. Es folgt drus zum Beispiel für lle, b K. b und b = b

14 14 KAPITEL 1. DIE REELLEN ZAHLEN 1.9 Stz: In einem ngeordneten Körper K gelten die us der Schule gewohnten Rechenregeln für die Ungleichung. Zum Beispiel gilt < 0 > 0 für lle K oder llgemeiner < b > b für lle, b K Eine negtive Multipliktion dreht die Ungleichung herum, lso < b und 0 > c c > bc für lle, b, c K für lle, b, c K. Ungleichungen knn mn ddieren, lso für lle, b, c, d K < b und c < d + c < b + d. Bei der Multipliktion von Ungleichungen muss mn vorsichtiger sein. Es gilt ber zum Beispiel 0 < < b und 0 < c < d c < bd. Aus der Schule ist beknnt, wnn ein Produkt positiv und wnn es negtiv ist. Es gilt für lle, b K b > 0, b < 0 oder, b > 0 Insbesondere folgt drus 2 > 0 für lle K, 0, lso insbesondere 1 = 1 2 > 0. Für ds multipliktive Inverse gilt für lle K, 0. > 0 1 > Beispiel: Mn ht 0 < < b 0 < 2 < b 2 Die Umkehrung gilt wegen ( b) 2 = b 2 nicht. Wenn 2 = c ist, so ist uch ( ) 2 = c, und und sind die beiden einzigen Lösungen von x 2 = c (siehe Beispiel 6). Eine reelle Zhl ht deswegen höchstens zwei Qudrtwurzeln. Wir wissen ber noch nicht, ob jede Zhl c > 0 eine Qudrtwurzel ht. In der Tt ist dies uch in Q nicht der Fll. (1) Unser wichtigstes Beispiel ist wieder R, die Menge der reellen Zhlen. (2) Aber uch Q ist ls Teilkörper von R ngeordnet. (3) Die endlichen Körper und uch der Körper C der komplexen Zhlen lssen sich nicht nordnen.

15 1.3. SCHRANKEN UND INTERVALLE 15 Abbildung 1.2: y = x Schrnken und Intervlle Definition: (1) Sei K ein ngeordneter Körper und M K eine Teilmenge von K. Dnn heißt m K obere Schrnke von M, m x für lle x M. M heißt nch oben beschränkt, wenn es eine obere Schrnke von M gibt. Flls die obere Schrnke m Element von M ist, so heißt sie Mximum von M. Wenn m ds Mximum von M ist, so schreiben wir m = mx M, oder m = mx x M x. (2) Anlog definieren wir eine untere Schrnke von M und ds Minimum von M. (3) M heißt beschränkt, wenn es nch oben und unten beschränkt ist. Als Abkürzung dfür, dss m obere Schrnke von M ist, ist uch üblich. Dies ist so zu lesen, dss m M m x für lle x M gilt. Für eine beschränkte Menge M gibt es lso c, d K mit c M d Definition: Für, b in einem ngeordneten Körper K sind, so definieren wir die Teilmengen [, b] := {x K : x b}, ], b[ := {x K : < x < b},

16 16 KAPITEL 1. DIE REELLEN ZAHLEN und in nhe liegender Weise die Mischformen [, b[ und ], b]. [, b] heißt bgeschlossenes Intervll, und ], b[ offenes Intervll. Die Mischformen heißen hlboffene Intervlle. Wir definieren ußerdem die bgeschlossenen, nicht beschränkten Intervlle [, [:= {x A : x }, ], ] := {x A : x }, sowie die offenen Intervlle ], [ und ], [. Wir schreiben uch R = ], [ ls Intervll. Ein Intervll in R ist eine der hier ngegebenen Mengen oder die leere Menge. Für > b sind die Intervlle [, b] etc. leer. Offenbr = min[, b] = min [, [, b = mx[, b] = mx ], b]. Aber ds offene Intervll ], b[ ht weder ein Minimum, noch ein Mximum Definition: Eine obere Schrnke m einer nicht leeren Teilmenge M K eines ngeordneten Körpers heißt Supremum von M, wenn sie die kleinste obere Schrnke von M ist, d.h., jedes Element m < m ist keine obere Schrnke mehr. Anlog ist ds Infimum einer Menge M die größte untere Schrnke von M. Wir schreiben sup M, inf M oder sup x, inf x x M x M für ds Infimum und ds Supremum, sofern es existiert. Flls M nicht nch oben, bzw. nicht nch unten beschränkt ist, so existiert kein eigentliches Supremum bzw. Infimum. Wir schreiben dennoch sup M =, inf M =. Supremum und Infimum der leeren Menge sind nicht definiert. Infimum und Supremum sind eindeutig, wenn sie existieren. Jedes Mximum ist ein Supremum. Aber umgekehrt ist ein Supremum nur Mximum, wenn es in der Menge liegt. Aus unserem Axiom III für Vollständigkeit wird folgern, dss beschränkte, nicht leere Teilmengen in R immer ein Supremum und ein Infimum hben Stz: Sei < b. Dnn gilt Anloges gilt für ], [ und ], [. = inf ], b[, b = sup ], b[. Wenn, b in einem Intervll I liegen, so folgt [, b] I. Umgekehrt hben nur Intervlle diese Eigenschft. Wir können ds erst beweisen, wenn die Vollständigkeit von R sichergestellt ist.

17 1.4. DIE BETRAGSFUNKTION Die Betrgsfunktion Wichtig für die Konvergenz in R ist der Begriff des Abstnds zweier Punkte. Wir benötigen dzu zunächst die us der Schule beknnte Betrgsfunktion Definition: Für x R definieren wir := heißt der Betrg von. Die Funktion heißt ds Vorzeichen von. { für 0, für < 0. 1 für > 0, sign () := 0 für = 0, 1 für < 0 Abbildung 1.3: y = x Offenbr gilt und ntürlich für lle R. = sign () 1.16 Stz: Es gilt 0 und = 0 = 0 für lle R. Außerdem b = b,

18 18 KAPITEL 1. DIE REELLEN ZAHLEN sowie die Dreiecksungleichung + b + b und die Ungleichung b b für lle, b R Definition: Mit Hilfe der Betrgsfunktion definieren wir eine Abstndsfunktion d(, b) := b. für, b R. Wir verwenden diese Schreibweise hier nur der Deutlichkeit hlber, und werden in Zukunft einfch b für den Abstnd schreiben Stz: Die eben definierte Abstndsfunktion ist eine Metrik uf R. Sie ist nicht negtiv, d.h. d(, b) 0 für lle, b R sowie positiv definit, d.h. d(, b) = 0 = b. Außerdem ist sie symmetrisch, d.h. d(, b) = d(b, ) für lle, b R. Und es gilt die Dreiecksungleichung d(, c) d(, b) + d(b, c) für lle, b, c R. Jede Menge mit solch einer Metrik heißt metrischer Rum Definition: Wir benötigen später den Begriff der ɛ-umgebung eines Punktes der für ɛ 0 und R definiert ist. U ɛ () := {x R : x < ɛ} In R ist ntürlich U ɛ () = ] ɛ, + ɛ[. Solche Umgebungen lssen sich ber in jedem metrischen Rum definieren.

19 1.5. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN Stz: Offene Intervlle sind offene Mengen. D.h. für jedes x in einem offenen Intervll I gibt es ein ɛ x > 0, so dss ist. U ɛx (x) = ]x ɛ x, x + ɛ x [ I Es gibt ntürlich noch ndere offene Mengen in R. So ist etw die Vereinigung zweier oder mehr offener Intervlle wieder offen. 1.5 Die Komplexen Zhlen Wir wollen einen Körper konstruieren, der den Körper R ls Teilkörper enthält, und ußerdem ein Element i mit i 2 = 1 enthält. Wenn C ein solcher Körper ist, so muss C lle Elemente der Form z = + bi,, b R enthlten. Es muss gelten ( + ib) + (c + id) = ( + c) + i(b + d) ( + ib) (c + id) = (c bd) + i(d + bc). Dmit ist klr, wie die Körperopertionen für diese Elemente definiert werden müssen. Wegen der Eindeutigkeit der neutrlen Elemente müssen 0, 1 R C uch die neutrlen Elemente in R sein. Die Inversen von + ib berechnen sich zu ( + ib) = ( ) + i( b) 1 + ib = 2 + b 2 i b 2 + b 2 Dmit ist klr dss die Teilmenge der Elemente + ib von C wieder ein Körper bildet, und wir können C uf diese Elemente beschränken Stz: Definiert mn uf R 2 = {(, b) :, b R} die Opertionen (, b) + (c, d) = ( + c, b + d) (, b) (c, d) = (c bd, d + bc),

20 20 KAPITEL 1. DIE REELLEN ZAHLEN Abbildung 1.4: Die komplexe Zhlenebene C so wird der R 2 zu einem Körper, den wir den Körper der komplexen Zhlen C nennen Definition: Wir betten R ls Teilmenge in C ein, indem wir = (, 0) für lle R identifizieren. Außerdem setzen wir i = (0, 1). Mit diesen Bezeichnungen lssen sich lle Elemente von C eindeutig in der Form z = + ib,, b R schreiben. Mn nennt den Relteil von z und b den Imginärteil von z = Re (z), b = Im (z) Definition: Für z = + ib C schreiben wir z = 2 + b 2.

21 1.5. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN 21 Den Abstnd zweier komplexer Zhlen z, w C definieren wir durch d(z, w) := z w. Außerdem setzen wir die konjugiert komplexe Zhl von z = + ib gleich z = ib. Dmit gilt sowie z 2 = zz, 1 z = z z 2. Der Betrg und der Abstnd stimmen für z R mit den reellen Definitionen überein. Wir definieren wieder die ɛ-umgebung von z wie in jedem metrischen Rum durch U ɛ (z) := {w C : d(z, w) < ɛ}. Im Fll von C ist dies nch dem Stz von Pythgors ds Innere eines Kreises mit Rdius ɛ um z Stz: C wird mit dieser Abstndsfunktion zu einem metrischen Rum (siehe Stz und Definition 18). C lässt sich nicht nordnen. Denn wir wissen, dss in jedem ngeordneten Körper i 2 = 1 > 0 gelten müsste. Andererseits ist in jedem ngeordneten Körper 1 = 1 2 > 0.

22 22 KAPITEL 1. DIE REELLEN ZAHLEN

23 Kpitel 2 Folgen Es ist intuitiv klr, ws unter eine Folge 1, 2, 3,... von reellen Zhlen zu verstehen ist. Allerdings benötigen wir zur Konstruktion von Folgen und uch zum Beweis von komplizierteren Eigenschften von Folgen ds Induktionsprinzip. Wir müssen uns dher zunächst mit den wesentlichen Eigenschften der ntürlichen Zhlen beschäftigen. Wir werden Folgen uch verwenden, um die Vollständigkeit von R per Axiom zu fordern. 2.1 Die ntürlichen Zhlen Intuitiv sind die ntürlichen Zhlen diejenigen Elemente von R, die mn durch Zählen 1, 2, 3,..., lso durch die Abbildung n n + 1 usgehend von 1 erreichen knn. Die Elemente, die mn uf diese Weise nicht erreicht, sollen nicht zu N gehören. Wir fssen diese Vorstellung etws genuer in Worte Definition: Eine Teilmenge N R heißt induktiv, wenn 1 N ist und für lle n R n N n + 1 N gilt. Die Menge N ist die kleinste induktive Teilmenge von R, d.h. N = {n R : n ist in jeder induktiven Teilmenge von R} In der Sprche der Mengenlehre knn mn N ls Schnittmenge ller induktiven Teilmengen von R definieren. Wir bezeichnen die Elemente von N ls ntürliche Zhlen. Mn definiert ußerdem N 0 = N {0}. Die Menge N enthält nch unserer Definition die 0 nicht, wie wir gleich sehen werden. 23

24 24 KAPITEL 2. FOLGEN 2.2 Stz: In N gilt ds Prinzip der vollständigen Induktion. D.h., wenn eine Aussge für 1 gilt, und wenn mn zeigen knn, dss us der Gültigkeit der Aussge für n N uch die Gültigkeit für n + 1 N folgt, so gilt die Aussge für lle n N. Beweis: Nch Vorussetzung ist die Menge M = {x R : x N und die Aussge gilt für x} induktiv. Sie umfsst lso N. 2.3 Stz: Es gilt Außerdem und n 1 für lle n N. n + m N, nm N für lle n, m N, n > m n m N für lle n, m N. Wenn n N ist, dnn enthält ds Intervll ]n, n + 1[ kein Element von N. Beweis: Der Beweis dieser Aussgen verwendet ds Prinzip der vollständigen Induktion. Wir führen ds nhnd der ersten Aussge usführlich vor. Zu zeigen ist n 1 für lle n N. Die Aussge gilt für n = 1, womit der sogennnte Induktionsnfng gemcht ist. Die Aussge gelte für n, lso n 1. Ds bezeichnet mn ls Induktionsvorussetzung. Wegen 1 0 folgt dnn n Dmit gilt die Aussge uch für n + 1. Dies ist der Induktionsschluss. Dmit ist die Aussge bewiesen. Die zweite Aussge beweisen wir für festes m N per Induktion nch n. Für n = 1 ist offenbr 1+m = m+1 N. Der Induktionsschluss ist ebenflls nicht schwierig. Sei n+m N. Dnn gilt (n + 1) + m = (n + m) + 1 N, Die Aussge für ds Produkt gilt für n = 1 wegen 1 m = m N. Außerdem folgt us nm N und der schon bewiesenen Aussge für Summen (n + 1)m = nm + m N. Wir beweisen die nächste Aussge zunächst für m = 1. Sei lso n > 1, n N. Flls dnn n 1 / N wäre, so wäre N \ {n} induktiv. Dies widerspricht n N. Also folgt n 1 N.

25 2.2. FOLGEN 25 Dnch verwenden wir Induktion nch n für festes m N, m > 1. Für n = 1 ist nichts zu zeigen. Die Behuptung gelte für n und es sei n + 1 > m. D wir schon bewiesen hben, dss m 1 N ist, und wegen n + 1 > m n > m 1 folgt lso (n + 1) m = n (m 1) N. Sei x ]n, n + 1[ für ein n N. Angenommen, x N. Dnn würde nch dem eben Bewiesenen x n N folgen. Dies ist ber nicht möglich, weil x n < 1 ist. 2.2 Folgen Wie schon gesgt, ist der Begriff der Folge intuitiv klr. Mn ht einfch für jedes n N ein n R, lso eine Abbildung n n Definition: Sei M eine Menge. Eine Abbildung : N M heißt Folge in M. Wir schreiben meist n := (n). Die gesmte Folge wird ls ( n ) n N bezeichnet. Wir werden uch einfch von der Folge der n, n N, sprechen Definition: Eine Folge in M knn induktiv definiert werden. Wir legen dbei x 1 M irgendwie fest, und nehmen n, dss x n+1 mit Hilfe der vorigen Folgenglieder x 1,..., x n und n N eindeutig bestimmt werden knn. Mn nennt solche Folgen uch rekursiv definierte Folgen. Im Spezilfll ist etw mit einer Abbildung g. x n+1 = g(x n ) Auf diese Weise wird eine Folge eindeutig definiert. Der Beweis dieser Bemerkung ist forml etws schwierig, d die Formulierung x n+1 knn us x 1,..., x n und n eindeutig bestimmt werden mengentheoretisch formuliert werde müsste. Wir gehen druf in diesem Skript nicht weiter ein. Mn knn die Induktion uch mit x 0 beginnen. Die Folge ist dnn für lle n N 0 definiert Definition: Die Folge der Fkultäten n!, n N, ist induktiv durch 0! = 1! = 1, (n + 1)! = n! (n + 1) definiert. Die Folge der Potenzen x n, n N, ist für x R und n N 0 induktiv durch x 0 = 1, x n+1 = x n x definiert. Mn bechte, dss mit dieser Definition 0 0 = 1 definiert wird, ber 0 n = 0 für lle n N. Die Definition x 0 = 1 für lle x R, uch für x = 0, wird sich ls prktisch herusstellen.

26 26 KAPITEL 2. FOLGEN 2.7 Stz: Für x N und n, m N 0 gilt x n+m = x n x m, (x n ) m = x nm. Für x, y N und n N 0 gilt (xy) n = x n y n. Beweis: Die Beweise verwenden die vollständige Induktion. Zum Beispiel gilt x n+0 = x n = x n 1 = x n x 0. Im Induktionsschluss (Induktion nch m) hben wir unter Verwendung der Definition und der Induktionsvorussetzung x n+(m+1) = x (n+m)+1 = x n+m x = x n x m x = x n x m+1. Im Induktionsschluss der zweiten Behuptung muss mn die erste verwenden Beispiel: Es gibt uch zweigliedrige rekursiv gegebene Folgen. So ist die Fiboncci- Folge durch x n+1 = x n + x n 1 x 0 = 0, x 1 = 1, für lle n N gegeben. D mn zur Berechnung von x n+1 zwei vorherige Glieder brucht, ist es nötig, die ersten beiden Folgenglieder vorzugeben. Mn knn durch vollständige Induktion beweisen, dss (( ) n ( ) n ) x n = 1 5 für lle n N 0 gilt Beispiel: Mn zeigt per Induktion (1 + x) n 1 + nx für lle x 1 und n N 0. Dies ist die Ungleichung von Bernoulli. 2.3 Endliche und bzählbre Mengen Definition: Für n N definieren wir ds Anfngsstück von N {1,..., n} := {m N : 1 m n}. Eine Menge M heißt endlich, wenn sie leer ist oder wenn es eine bijektive Abbildung f : {1,..., n} M

27 2.3. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENGEN 27 für ein n N gibt. In diesem Fll schreiben wir für die Mächtigkeit vom M M := n. Die Mächtigkeit der leeren Menge ist 0. Eine Menge M heißt bzählbr, wenn es eine bijektive Abbildung f : N M gibt. Wir können dher endliche Mengen ls schreiben. Dbei ist M = {x 1,..., x n } x : {1,..., n} M eine bijektive Abbildung. Wir nennen ds eine Aufzählung von M. Bei nderen Autoren umfssen bzählbre Mengen uch die endlichen Mengen. Wir verwenden ber den Begriff bzählbr oder endlich Stz: Die Mächtigkeit einer endlichen Menge ist eindeutig bestimmt. Beweis: Wenn M zwei Mächtigkeiten m und n ht, so gibt es bijektive Abbildungen f 1 : {1,..., n} M, f 2 : M {1,..., m} Dher ist f = f 2 f 1 eine bijektive Abbildung mit f : {1,..., n} {1,..., m} Zu zeigen ist, dss drus n = m folgt. Wir verwenden Induktion nch n. Für n = 1 folgt m = 1, d sonst 1 oder 2 kein Urbild hätte. Die Behuptung gelte für n, und f : {1,..., n + 1} {1,..., m} sei bijektiv. Dnn knn nicht m = 1 gelten, d sonst f(1) = f(2) wäre. Sei f(u) = m. f : {1,..., n} {1,..., m 1} durch f(k) = { f(k), k u, f(n + 1), k = u. Mn überlegt sich, dss f wieder bijektiv ist, und dher per Induktionsnnhme n = m 1 gilt. Es folgt n + 1 = m.

28 28 KAPITEL 2. FOLGEN 2.12 Stz: Eine nicht leere, endliche Teilmenge M R ht ein Mximum und ein Minimum. Beweis: Dieser Stz lässt sich leicht durch Induktion über die Mächtigkeit von M beweisen. Für M = 1 ist die Behuptung ohnehin klr, d M dnn nur ein Element enthält. Für M = 2 lässt sie sich ebenflls leicht beweisen. Außerdem hben wir mx{x 1,..., x n+1 } = mx {mx{x 1,..., x n }, x n+1 }. Dher folgt us der Existenz des Mximums für n-elementige Mengen und für Mengen mit 2 Elementen die Existenz für n + 1-elementige Mengen Stz: (1) Eine bzählbre Menge ist nicht endlich. (2) Teilmengen von endlichen Mengen sind endlich und hben keine größere Mächtigkeit ls die gesmte Menge. (3) Teilmengen von bzählbren Mengen sind endlich oder bzählbr. (4) Die Vereinigung von endlich vielen endlichen Mengen ist endlich. Für prweise disjunkte endliche Mengen A 1,..., A n (d.h. der Schnitt von je zwei dieser Mengen ist leer) gilt A 1... A n = A A n. (5) Für endliche Mengen A, B gilt A B = A + B A B. (6) Ds Bild f(m) einer endlichen Menge M unter einer Abbildung f ist endlich. (7) Ds Bild f(m) einer bzählbren Menge M unter einer Abbildung f ist endlich oder bzählbr. (8) Die Vereinigung von bzählbr vielen bzählbren Mengen ist bzählbr. Beweis: (1) Wenn M bzählbr und uch endlich wäre, so gäbe es bijektive Abbildungen für ein n N. Dnn wäre g : {1,..., n} M, f : M N. f g : {1,..., n} N bijektiv. Es genügt lso zu zeigen, dss N nicht endlich ist. Ds knn ber nicht sein. Sonst hätte ber nch dem vorigen Stz N ein Mximum n, ws wegen n + 1 N nicht möglich ist.

29 2.3. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENGEN 29 (2) Sei N endlich und M N. Wir beweisen per vollständiger Induktion, dss M dnn endlich ist und M N gilt. Die Aussge ist für N = 1 klr. Dnn gilt M = oder M = N. Für N = n + 1 sei N = {x 1,..., x n+1 }. eine Aufzählung von N. Flls dnn x n+1 M, so setzen wir M = M \ {x n+1 } Nch Induktionsvorussetzung ist M endlich und M {x 1,..., x n } = n. Sei etw M = {y 1,..., y k } mit k n eine Aufzählung von M. Setzt mn y k+1 = x n+1, so erhält mn eine Aufzählung M = {y 1,..., y k+1 } und M = k + 1 n + 1. Flls x n+1 / M ist, so ist der Induktionsschluss noch einfcher. (3) Es genügt wieder, den Fll N = N zu betrchten. Sei M N und sei M nicht endlich. Dnn setzen wir induktiv m 1 = min M, und für u N m u+1 = min (M \ {n m1,..., n mu }) Mn bechte, dss die Menge, über die ds Minimum genommen wird, nie leer ist, weil M nicht endlich ist. Außerdem hben wir m M \ {n m1,..., n mu } m > n mu. (Beweis per vollständiger Induktion). Also gilt m u+1 > m u für lle u N. Es folgt per vollständiger Induktion m u u. Aus diesen beiden Bedingungen folgt, dss jedes m M in der Folge (m u ) u N vorkommt. Dher ist eine Aufzählung von M und M bzählbr. M = {m 1, m 2,...} (4) A 1 und A 2 seien disjunkte Mengen. Mn knn dnn leicht bijektive Abbildungen zu einer bijektiven Abbildung f 1 : {1,..., n 1 } A 1, f 2 : {1,..., n 2 } A 2 f : {1,..., n 1 + n 2 } A 1 A 2 zusmmensetzen. Es folgt, dss A 1 A 2 endlich sind, und A 1 A 2 = A 1 + A 2.

30 30 KAPITEL 2. FOLGEN Wenn A 1 oder A 2 leer sind, so gilt ds uch. Die Behuptung für llgemeine n folgt drus per vollständiger Induktion. Wenn A 1 und A 2 endlich sind, so sind A 1 und A 2 \ A 1 disjunkt, und sie hben dieselbe Vereinigung. Also ist A 1 A 2 endlich. Die llgemeine Aussge folgt per Induktion nch n. (5) D A \ B, B \ A und A B disjunkte Mengen sind, folgt A B = A \ B + B \ A + A B. D A B und A \ B disjunkt sind, hben wir A = A B + A \ B. Anlog for B. Insgesmt folgt die Behuptung. (6) Wenn M endlich ist, f : M N eine Abbildung, so beweist mn wieder leicht durch Induktion nch M, dss f(m) endlich ist. (7) Wenn M bzählbr ist, M = {m 1, m 2,...} (mit bijektivem m : N M) und f : M N eine Abbildung, so definieren wir für x f(m) g(x) = min{k : f(m k ) = x}. Dnn ist g : f(m) N injektiv. Wenn die Menge g(f(m)) N endlich ist, so ist dher f(m) endlich, und wenn g(f(m)) bzählbr ist, so ist f(m) bzählbr. (8) Es sei für lle m N A m = { 1,m, 2,m,...} Dnn tuchen lle Elemente von A = A 1 A 2... unter den Elementen 1,1, 1,2, 2,1, 1,3, 2,2, 3,1, 1,4, 2,3, 3,2, 4,1,... uf. Aufgrund von (7) ist dher A endlich oder bzählbr. Wenn eines der A k bzählbr ist, dnn ist A ls Obermenge ebenflls bzählbr, d es dnn gemäß (3) nicht endlich sein knn Stz: Jede nicht-leere Teilmenge M N ht ein Minimum. Beweis: Sei n M. Dnn ist M = {1,..., n} M ls Teilmenge einer endlichen Menge endlich. Die Menge dnn uch ein Minimum von M ist. M ht dher ein Minimum, ds

31 2.4. SUMMEN UND PRODUKTE 31 Aus diesem Stz folgt ds Abstiegsprinzip. Es besgt, dss eine Folge (m n ) n N von ntürlichen Zhlen mit m n+1 m n für lle n N (monoton fllend) letztlich konstnt sein muss. Es gibt lso ein N N mit m n = m N für lle n N. Mn knn einfch ds Minimum ller Folgenglieder ls m N nehmen Definition: Anlog zur Definition einer Folge definieren wir ein Tupel von Elementen einer Menge ls eine Abbildung : {1,..., n} M Wir schreiben für ds Tupel einfch ( 1,..., n ). Die Menge ller Tupel wird ls Produktrum M n bezeichnet. Also M n = {(m 1,..., m n ) : m k M für k = 1,..., n} Ds Tupel ( 1,..., n ) ist etws nderes ls die Menge { 1,..., n }. Denn erstens kommt es beim Tupel uf die Reihenfolge n, und zweitens werden Wiederholungen bechtet. Dsselbe gilt für den Unterschied von Folgen und bzählbren Mengen. Zwr knn mn jede bzählbre Menge M ls Bild einer Folge M = { 1, 2, 3,...} schreiben, ber dies ist dennoch verschieden von der Folge ( n ) n N, bei der Wiederholungen von Folgengliedern wichtig sind. 2.4 Summen und Produkte Dieser Abschnitt dient huptsächlich dzu, eine wichtige Schreibweise für Summen und Produkte von endlich oder bzählbr vielen Elementen in R zu definieren. Auf die Duer ist die Schreibweise n, zu unpräzise und uch zu pltzgreifend. Außerdem werden einige oft verwendete Resultte über Summen hergeleitet Definition: Wir definieren für n N n k := n n k := 1... n

32 32 KAPITEL 2. FOLGEN Mn knn diese Schreibweisen exkt mit induktiver Definition einführen. Also etw 1 k = 1 ( n+1 n ) k = k + n+1. Mn knn die Summe uch für n = 0 definieren (leere Summe). Dnn muss sie den Wert 0 bekommen. Ds leere Produkt ht den Wert 1. Die Summe und ds Produkt knn uch mit einem nderen Index nfngen, lso etw n k := m + m n k=m für n m. Für n < m wird die Summe ls 0 definiert, ds Produkt ls Beispiel: Die Fkultät und die Potenz schreiben sich ls n! = n k, x n = n x Beispiel: (1) Mn zeigt mit vollständiger Induktion n k = n = für lle n N. Dies ist die rithmetische Summe. (2) Ebenso die geometrische Summe für lle x 1 und n N 0. n k=0 n(n + 1) 2 x k = 1 + x x n = 1 xn+1 1 x Definition: Für n R und m N 0 definieren wir den Binomilkoeffizient ( n = m) n (n 1)... (n (m 1)) m! = 1 m! n k=n m+1 k. Im Fll m = 0 ist ds Produkt leer, und es gilt dher ( n ) = 1 0 für lle n R.

33 2.4. SUMMEN UND PRODUKTE Stz: Für n, m N 0, 0 m n, gilt Außerdem gilt für lle n R, m N 0 ( n m) + ( n n! = m) m!(n m)!. ( ) ( ) n n + 1 =. m + 1 m + 1 Dieser Schverhlt führt zum Psclschen Dreieck m = 0 m = 1 m = 2 m = 3 m = 4... n = 0 1 n = n = n = n = Dbei ist jedes Element die Summe des links und direkt über ihm stehenden Elementes. Wir setzen ußerhlb des Dreiecks die Werte uf Stz: Es gilt die Binomilentwicklung für lle, b R und n N. ( + b) n = n k=0 ( n k ) k b n k Beweis: Der Beweis erfolgt ntürlich durch vollständige Induktion nch n. Wir verwenden Im Induktionsschritt Verllgemeinerungen des Distributivgesetzes, die mn ebenflls per Induktion beweisen knn. ( + b) n+1 = ( + b) ( + b) n = ( + b) = = n k=0 n k=0 n k=0 ( n k ) k b n k ( n k ) k b n k + b ( n k ) k+1 b n k + n k=0 n k=0 ( n k ) k b n k ( n k ) k b n+1 k.

34 34 KAPITEL 2. FOLGEN Nun knn mn die erste Summe durch Ersetzen von k = k 1 umschreiben. n k=0 ( n k ) k+1 b n k = n+1 ( ) n kb k n+1 k = 1 n ( ) n kb k n+1 k + n+1. 1 Spltet mn den Index k = 0 von der zweiten Summe in gleicher Weise b und verwendet den vorigen Stz, so folgt die Behuptung Stz: Schreibt mn P(M) := {T : T M} für die Potenzmenge von M, so gilt für endliche Mengen M P(M) = 2 M. Eine endliche Menge der Mächtigkeit n ht 2 n verschiedene Teilmengen, und ( n m) verschiedene Teilmengen der Mächtigkeit m, 0 m n. Beweis: Sei M = n. Wir beweisen die erste Behuptung per Induktion nch n. Für n = 0 ist M leer und ht nur die leere Menge ls Teilmenge. Für M = 1, ht M die 2 Teilmengen und M. Sei M = {x 1,..., x n+1 } eine Aufzählung von M. Für T M = {x 1,..., x n } sind dnn T und T {x n+1 } zwei verschiedene Teilmengen von M. Alle Teilmengen von M lssen sich umgekehrt uf diese Weise ufteilen. Also ht M doppelt so viele Teilmengen wie M. Nch Induktionsnnhme P(M) = 2 P( M)) = 2 2 n = 2 n+1. Den zweiten Teil beweisen wir ebenflls durch vollständige Induktion nch n. Für n = 1 ist die Behuptung für m = 0 und m = 1 klr. Sei wieder M = {x 1,..., x n+1 } eine Aufzählung von M. Für m = 0 gibt es wieder nur die leere Teilmenge. Sonst lssen sich die m-elementigen Teilmengen von M in Teilmengen ufteilen, die x n+1 enthlten oder nicht enthlten. Per Induktion folgt die Behuptung wieder us dem vorigen Stz.

35 2.5. DIE RATIONALEN ZAHLEN Die rtionlen Zhlen Ds Rechnen mit Brüchen ist us der Schule beknnt, etw in der Form von Dezimlbrüchen. Wir werden hier nur die wichtigsten Eigenschften des Körpers der rtionlen Zhlen festhlten. Die Besprechung der Dezimlbrüche heben wir uns uf, bis wir die Konvergenz zur Verfügung hben Definition: Wir definieren die Menge der gnzen Zhlen sowie die Menge der rtionlen Zhlen Z := {m R : m N oder m = 0 oder m N}, Q := { m n : m Z und n N}. Beides sind ntürlich Teilmengen von R Stz: Die Summe, die Differenz und ds Produkt von gnzen Zhlen ist wieder eine gnze Zhl. Die gnzen Zhlen bilden einen kommuttiven Ring. D.h., es gelten lle Körperxiome bis uf die Existenz des multipliktiven Inversen Stz: Die rtionlen Zhlen bilden einen ngeordneten Körper. Es gibt zwischen Q und R noch weitere Körper. Zum Beispiel erfüllt uch K := { + b 2 :, b Q} die Axiome eines ngeordneten Körpers und es gilt Q K R Stz: Die rtionlen Zhlen sind bzählbr. Beweis: Die gnzen Zhlen sind ls Vereinigung zweier bzählbrer Mengen bzählbr. Dher sind uch die Brüche mit festem Nenner n N bzählbr. Die bzählbre Vereinigung dieser Brüche ist Q. Wir können erst später zeigen, dss R nicht bzählbr (überbzählbr) ist.

36 36 KAPITEL 2. FOLGEN 2.27 Stz: Es gibt in Q keine Qudrtwurzel von 2. Beweis: Wir beweisen ds durch Widerspruch. Angenommen ( ) 2 p = 2, p, q N. q Eine Zhl n Z heißt gerde, wenn n/2 Z ist, sonst ungerde. Flls p und q beide gerde sind, so kürzen wir den Bruch durch 2. Die Zhlen werden dbei kleiner. Nimmt mn p und q miniml mit der obigen Eigenschft, so muss lso p oder q ungerde sein. Es gilt nun p 2 = 2q 2. Wenn p ungerde ist, dnn ist es uch p 2, wie mn sich überlegt. Ds ist ber offenbr nicht der Fll. Also ist q ungerde. D dnn p gerde ist, ist p/2 N, lso uch p 2 /4 N. Also q 2 2 = p2 4 N. Aber q 2 ist ungerde, weil q ungerde ist. Ds knn lso nicht sein. Wir hben einen Widerspruch, so dss die Annhme flsch sein muss, dss es eine Qudrtwurzel von 2 in Q gibt. Gerde Zhlen n Z hben offenbr die Drstellung n = 2m mit einem m Z. Ungerde Zhlen hben die Drstellung n = 2m + 1 mit einem m Z.

37 Kpitel 3 Konvergenz Konvergenz ist einer der wesentlichen Grundbegriffe der Anlysis. Sie wird in der Schule meist nschulich mit Hilfe des Begriffs der beliebigen Annäherung eingeführt. Wir präzisieren hier diesen Begriff. Außerdem wollen wir mit Grenzwerten rechnen lernen. Dieses Kpitel untersucht zunächst die Konvergenz von Folgen und Reihen. Den Grenzübergng bei Funktionen werden wir im nächsten Kpitel kennen lernen. 3.1 Grenzwert von Folgen Ws bedeutet es, dss sich eine reelle Folge 1, 2,... einem Wert R beliebig nnähert? Dzu knn es nicht genügen, dss einzelne Folgenglieder gleich werden oder gr nur in der Nähe von liegen, sondern es müssen lle Folgenglieder b einen gewissen Index in beliebig kleinem, vorgegebenem Abstnd zu liegen Definition: Die ( n R) n N konvergiert genu dnn gegen R, wenn es zu jedem (beliebig kleinen) ɛ > 0 ein N ɛ N gibt, so dss n < ɛ für lle n N ɛ. Im Fll der Konvergenz bezeichnen wir ls den Grenzwert der Folge und schreiben = lim n n. Wir schreiben uch n für n. Mn zeigt, dss die Konvergenz der Folge äquivlent dzu ist, dss für lle ɛ > 0 ußerhlb der Umgebung ( ɛ, + ɛ) nur endlich viele Folgenglieder liegen. In der Tt knn mn N ɛ wie folgt währen. N ɛ = mx {n : n / ] ɛ, + ɛ[}

38 38 KAPITEL 3. KONVERGENZ 3.2 Stz: Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig, wenn er existiert. Beweis: Angenommen die Folge ( n ) n N hbe die beiden Grenzwerte und ã. Sei < ã. Dnn existieren N 1, N 2 N mit n < ã 2 ã n < ã 2 Für N = mx{n 1, N 2 } und n N gilt dnn Dies ist nicht möglich. < n < + ã 2 = + ã 2 für lle n N 1, für lle n N 2, = ã ã 2 < n < ã. Die Konvergenz und der Grenzwert einer Folge ändert sich offensichtlich nicht, wenn mn endlich viele Folgenglieder ändert oder weglässt. Wenn die Folge ( n ) n N konvergiert und φ : N N eine bijektive Abbildung ist, so ist konvergiert die umgeordnete Folge ( φ(n) ) n N denselben Wert. Denn mn knn für die umgeordnete Folge N ɛ wie folgt wählen. gegen N ɛ = mx {φ 1 (m) : m / ] ɛ, + ɛ[} + 1. Konvergente Folgen sind offenbr beschränkt. Außerdem gilt offenbr lim n = 0 n lim n = 0 n Ohne weitere Axiome können wir nur sehr einfche Beispiele für konvergente Folge geben. So ist etw jede Folge ( n ) n N konvergent, die b einem gewissen Glied konstnt ist, d.h. es gibt ein N N mit n = für lle n N. Für die intuitiv gewünschten Aussgen 1 lim n n = 0 benötigt mn, dss die Folge nicht durch ein ɛ > 0 nch unten beschränkt ist. Äquivlent dzu ist ds Archimedische Prinzip, ds besgt, dss die ntürlichen Zhlen N nicht in R nch oben beschränkt sind. Wir werden dies im nächsten Abschnitt us unserem Axiom III für Vollständigkeit folgern. Mn bechte llerdings, dss die Folge (1/n) n N durch keine rtionle Zhl nch unten beschränkt sein knn. Ohne ds Archimedische Prinzip klfft lso die Definition der Konvergenz in R und Q möglicherweise useinnder Definition: Wenn ( n ) n N eine Folge ist, und (n m ) m N eine Folge in N mit n 1 < n 2 < n 3 <...

39 3.1. GRENZWERT VON FOLGEN 39 Dnn heißt die Folge ( nm ) m N eine Teilfolge von ( n ) n N. Sie besteht lso us den Folgengliedern n1, n2, n3, Stz: Jede Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert gegen denselben Wert Beispiel: Die Folge (( 1) n ) n N 1, 1, 1, 1,... ht die konstnte Folge (1) n N ls Teilfolge. Dzu setzt mn m n = 2n. Ebenso ht sie die konstnte Folge ( 1) n N ls Teilfolge. Sie knn lso gr nicht konvergieren Beispiel: Wenn für eine Folge ( n ) n N die Folge der gerden und die Folge der ungerden Folgenglieder gegen denselben Wert konvergieren, lso lim 2n = lim 2n+1 = n n so konvergiert die gesmte Folge ebenflls gegen. Dies ergibt sich us der Ttsche, dss jedes n N entweder gerde oder ungerde ist. Außerhlb von ] ɛ, + ɛ[ liegen lso insgesmt nur endlich viele Folgenglieder. 3.7 Stz: (1) Seien ( n ) n N, (b n ) n N reelle Folgen. Dnn knn mn +, und mit dem Grenzwert vertuschen, lso lim ( n ± b n ) = lim n + lim b n n n n ( ) ( ) lim nb n = lim n lim b n. n n n Die Grenzwerte uf der linken Seite existieren, wenn die Grenzwerte uf der rechten Seite existieren. Flls b n 0 ist für lle n N und lim b n 0, so gilt uch lim n n n lim = n b n lim b. n n (2) Wenn ( n ) n N, (b n ) n N, konvergente Folgen sind und n b n für lle n N, so gilt lim n lim b n. n n (3) Wenn ( n ) n N, (b n ) n N, (c n ) n N Folgen sind mit n b n c n für lle n N

40 40 KAPITEL 3. KONVERGENZ und die Folgen ( n ) n N, (c n ) n N gegen denselben Grenzwert konvergieren, lso lim n = lim c n, n n so konvergiert uch die Folge (b n ) n N gegen denselben Grenzwert. Dieses Prinzip nennt mn ds Sndwich-Prinzip. Beweis: (1) Wir zeigen hier nur die Aussge für die Multipliktion und die Division. Sei lim n =, lim b n = b. Die konvergente Folge der n beschränkt, etw durch C > 0. Mn ht lso mit der Dreiecksungleichung n b n b = ( n b n n b) + ( n b b) n b n b + b n C b n b + b n. Sei ɛ > 0. Wir wählen dnn (im Fll b 0) N 1 N, N 2 N so dss b n b < ɛ 2C n < ɛ 2 b (Der Fll b = 0 ist noch einfcher.) Dnn gilt lso für lle n N ɛ := mx{n 1, N 2 }. für lle n N 1, für lle n N 2. n b n b < C ɛ 2C + b ɛ 2 b = ɛ Wir beweisen nun für b n 0 für lle n N und b n b 0 Zunächst gilt Weiter gibt es ein N 1 N mit lim n 1 b n = 1 b. 1 1 b n b = b n b b n b Drus folgt Es folgt Mn wählte lso N 2 N 1 so, dss b b n > b 2 b n > b 2 für lle n N 1. für lle n N b n b < b 2 n b b 2. b n b < b 2 2 ɛ für lle n N 2

41 3.2. VOLLSTÄNDIGKEIT 41 gilt. Die Aussge für die Division von Folgen ist dnn ebenflls bewiesen. Denn n b n = n (2) Konvergiere n und b n b. Zu zeigen ist b. Angenommen > b. Dnn wählen wir N 1, N 2 N mit n < b 2 b n b < b 2 1 b n. für lle n N 1, für lle n N 2. Für N := mx{n 1, N 2 } folgt nun ein Widerspruch, wegen N < b 2 b N b < b 2 Aber ndererseits gilt nch Vorussetzung N b N. N > + b 2, b N < + b 2. (3) Konvergiere n c, b n c. Die Behuptung folgt sehr einfch us für ɛ > 0. c ɛ < n < c + ɛ, c ɛ < b n < c + ɛ c ɛ < c n < c + ɛ 3.2 Vollständigkeit Wir komplettieren in diesem Abschnitt die Axiome der reellen Zhlen. Es gibt dfür eine Reihe von Möglichkeiten. Unser Axiom ht den Vorteil, prktisch wichtig zu sein und uch einfch zu formulieren Definition: Eine Folge ( n ) n N in R heißt monoton wchsend, wenn n+1 n für lle n N gilt. Wenn hier immer n+1 > n gilt, so nennt mn die Folge streng monoton wchsend. Entsprechend definiert mn (streng) monoton fllende Folgen. Eine Folge heißt nch oben beschränkte Folge, wenn es ein c R gibt, so dss n c für lle n N gilt (nlog für eine nch unten beschränkte Folge). Axiom III. In R konvergiert jede monoton wchsende, nch oben beschränkte Folge. Dnn konvergiert uch jede monoton fllende, nch unten beschränkte Folge. Dies folgt us den Rechenregeln für Grenzwerte, wenn mn die Folge der n durch die Folge der n ersetzt.

42 42 KAPITEL 3. KONVERGENZ 3.9 Stz: Die Menge N ist in R nicht nch oben beschränkt. Es gilt 1 lim n n = 0. Beweis: Flls N nch oben beschränkt wäre, so würde die streng monoton wchsende Folge (n) n N konvergieren, lso n R. Es folgt 1 < N < für ein N N. Wir hben dnn ber n > + 1 für lle n N + 2. Dher knn diese Folge nicht konvergieren. Es folgt, dss es zu R, b > 0 und x R stets ein n N gibt mit + bn > x Dies ist ein Gednke, den schon Archimedes formulierte. Mn nennt R deswegen rchimedisch ngeordnet Definition: Wir definieren den gnzzhligen Anteil einer reellen Zhl x > 0 ls x = mx{n N : n x}. Mn bechte, dss die Menge, über die ds Mximum genommen wird, endlich ist, d N nicht beschränkt ist. Es gilt dnn 0 x x < 1. und x N. x x heißt gebrochener Anteil von x Stz: Für q < 1 gilt lim n qn = 0. Für q > 1 konvergiert die Folge (q n ) n N nicht. Beweis: Aus der Binomilentwicklung folgt die Ungleichung von Bernoulli (1 + x) n 1 + nx für lle x 0, n N. Es folgt, dss q n nicht beschränkt ist für q = 1 + x > 1. Außerdem ( ) n (1 + x) n = x 1 + nx = 1/n 1/n + x 0 für x > 0 ufgrund der Rechenregeln für Grenzwerte. Es folgt q n 0 für 0 < q < 1. Für 1 < q < 0 gilt q n = q n. Dher konvergiert uch in diesem Fll q n Beispiel: Die Folge n = ( n) n, n N,

43 3.3. INTERVALLSCHACHTELUNG 43 ist streng monoton wchsend und nch oben durch 3 beschränkt. Sie konvergiert lso gegen einen Grenzwert, den mn Eulersche Zhl e nennt. Also ( e := lim ) n n n Es ist e = Intervllschchtelung 3.13 Stz: Als Intervllschchtelung bezeichnen wir eine Folge von nicht-leeren Intervllen [ n, b n ] im ngeordneten Körper R mit und [ n+1, b n+1 ] [ n, b n ] für lle n N lim (b n n ) = 0. n Für solche Intervllschchtelungen gibt es genu ein x R, ds in llen Intervllen liegt und es gilt x = lim n = lim b n. n n Beweis: Die beiden Folgen der n und b n sind dnn monoton wchsend, bzw. monoton fllend. Denn n n+1 b n+1 b n für lle n N. Sie sind dher uch beide beschränkt und konvergieren. Wir hben 0 = lim n (b n n ) = lim n b n lim n n. Also konvergieren die Folgen gegen einen gemeinsmen Grenzwert x R. Mn zeigt k b n für lle k, n N. Dher gilt x b n für lle n N. Anlog x n für lle n N. Also liegt x in llen Intervllen. Flls x ebenflls in llen Intervllen liegt, so muss gelten Also x = x. x = lim n n x lim n b n = x Beispiel: Mit Hilfe der Intervllschchtelung knn mn numerische Näherungen berechnen. Zur Berechnung von 2 strten wir etw mit dem Intervll [ 0, b 0 ] = [1, 2].

44 44 KAPITEL 3. KONVERGENZ Wir wissen Nun berechnen wir in jedem Schritt 2 0 < 2 < b 2 0. m n = 1 2 ( n + b n ). Dies ist die Mitte des Intervlls [ n, b n ]. Wir setzen nun { [ n, m n ] flls m 2 n 2, [ n+1, b n+1 ] := [m n, b n ] flls m 2 n < 2. Mn erhält für lle n N [ n+1, b n+1 ] [ n, b n ] b n n = 1 2 n Dies ist eine Intervllschchtelung. Der Grenzwert sei x, lso Aus den Rechenregeln für Grenzwerte folgt Wir hben nun ufgrund der Konstruktion lim n = lim b n = x. n n lim n 2 n = lim n b2 n = x 2. 2 n 2 b 2 n für lle n N Es folgt us dem Sndwich-Prinzip x 2 = lim n 2 n = 2. Wir hben dmit die Existenz von 2 R bewiesen. Es gilt 2 / Q. Ds verwendete numerische Verfhren heißt Bisektionsverfhren. Es liefert die Folge der Mittelwerte m n 1.5, 1.25, 1.375, , , , , , Der uf 16 Stellen genue Wert für 2 ist Dfür benötigt mn llerdings 54 Schritte. Es gibt ber uch sehr viel schnellere Verfhren. Für lle 0 existiert ein eindeutiges x 0 mit x 2 =, ds wir mit bezeichnen und Qudrtwurzel von nennen. Alle Lösungen der Gleichung x 2 = sind dmit durch und gefunden. Die Qudrtwurzel knn nlog zum obigen Beispiel durch Intervllschchtelung berechnet werden. Ein wichtiges Prinzip ist, dss im Fll ein N N existiert mit n > b n > b für lle n > N. Wenn der Grenzwert einer Folge positiv ist, so ist die Folge b einem Index positiv, j sie ist sogr b einem gewissen Index durch ein c > 0 nch unten beschränkt.

45 3.4. HÄUFUNGSPUNKTE Stz: Jede nch oben (bzw. nch unten) beschränkte, nicht leere Teilmenge M R ht ein Supremum (bzw. ein Infimum). Beweis: Wir konstruieren eine Intervllschchtelung [ n, b n ], n N mit der Eigenschft, dss b n jeweils obere Schrnke von M ist, und n nicht. Dzu muss mn jeweils überprüfen, ob m n = n + b n 2 obere Schrnke von M ist oder nicht. Der Grenzwert der Schchtelung ist dnn Supremum von M. 3.4 Häufungspunkte Die Folge ( 1) n konvergiert zwr nicht, sie nimmt ber die Werte ±1 je unendlich oft n. Die Frge ist, ob sich nicht konvergente, ber beschränkte Folgen immer so verhlten Definition: Sei n, n N, eine reelle Folge. Ein Punkt R heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es zu jedem ɛ > 0 und jedem N N ein n > N gibt mit n < ɛ. Es müssen lso in jeder noch so kleinen Umgebung von unendlich viele Folgenglieder liegen. Ds unterscheidet Häufungspunkte von Grenzwerten, wo in jeder noch so kleinen Umgebung von lle bis uf endlich viele Folgenglieder liegen. Ein Punkt ist genu dnn Häufungspunkt einer Folge, wenn es eine Teilfolge gibt, die gegen konvergiert. Um diese Teilfolge für einen Häufungspunkt zu konstruieren, setzen wir m 1 = 1 und m n+1 = min {n > m n : n < 1 n }. Mn bechte, dss die Menge, über die ds Minimum genommen wird, eine nicht-leere Teilmenge von N ist, weil ein Häufungspunkt der Folge der n ist. Umgekehrt ist recht einfch zu zeigen, dss der Grenzwert einer Teilfolge Häufungspunkt der Folge ist Stz: (Bolzno-Weierstrß) Jede beschränkte Folge in R ht einen Häufungspunkt. Beweis: Mn konstruiert eine Intervllschchtelung von Intervllen [ n, b n ], so dss jedes Intervll unendlich viele Folgenglieder enthält. Der Grenzwert der Intervllschchtelung ist dnn Häufungspunkt der Folge. Diese Bedingung wird gerne ls Erstz für unser Axiom III genommen. Aus dem Stz von Bolzno-Weierstrß folgt sofort, dss jede monoton wchsende, beschränkte Folge konvergiert. Denn sie enthält eine konvergente Teilfolge und muss dher selbst konvergieren.

46 46 KAPITEL 3. KONVERGENZ Die Umkehrung hben wir gerde mit Intervllschchtelung bewiesen. Sie knn ber uch nders beweisen werden. Mn knn nämlich zeigen, dss jede Folge eine monotone Teilfolge (wchsend oder fllend) enthält. 3.5 Uneigentliche Grenzwerte Es ist in diesem Zusmmenhng sinnvoll ± ls Grenzwert zuzulssen. Mit Einschränkungen können wir sogr mit rechnen. Wir können R llerdings nicht einfch um diese Punkte erweitern, d etc. nicht definiert wäre Definition: Eine Folge von n R, n N, konvergiert uneigentlich gegen, wenn es zu jedem (beliebig großen) c > 0 ein N c N gibt mit Wir schreiben n c für lle n N c. lim n =. n Anlog definieren wir uneigentliche Konvergenz gegen. Der Zustz uneigentlich wird gelegentlich weggelssen. Uneigentliche konvergente Folgen werden ber, wie lle nderen nicht konvergenten Folgen, ls divergente Folgen bezeichnet Stz: (1) Eine Folge n positiver Zhlen konvergiert genu dnn uneigentlich gegen, wenn die Folge 1/ n gegen 0 konvergiert. (2) n konvergiert genu dnn uneigentlich gegen, wenn n uneigentlich gegen konvergiert. Beim Rechnen mit Grenzwerten knn mn lso = = 0 für lle 0 setzen. Allerdings knn mn nicht 1/0 = setzen, wie die Folge n = ( 1)n n zeigt, deren Kehrwert 1/ n nicht einml uneigentlich konvergiert. Ntürlich knn mn ber = + = verwenden. Aber uf keinen Fll drf mn einfch = 0 setzen! Beispiel: Durch geeignetes Kürzen der Brüche zeigt mn n 1 lim n n + 1 = 1, lim n n 1 n = 0, lim n 2 1 n n + 1 =.

47 3.6. REIHEN Stz: Eine Teilmenge M R ist genu dnn ein Intervll, wenn für lle, b gilt, b M [, b] M. Intervlle sind lso die einzigen Teilmengen von R, die mit je zwei Punkten uch die Strecke zwischen den Punkten enthlten. Solche Mengen heißen konvexe Mengen. Insbesondere ist der Schnitt von Intervllen wieder ein Intervll. Beweis: Intervlle hben diese Eigenschft, wie mn für jeden Typ von Intervll mit Hilfe der Eigenschften der Anordnung überprüfen muss. Sei umgekehrt M eine nicht-leere Menge mit dieser Eigenschft. Dnn setzen wir = inf M, b = sup M, wobei = und b = zugelssen sei. Mit den Rndpunkten und b wird dnn ein Intervll I definiert, mit oder ohne Einschluss von und b. Offenbr gilt dnn M I. Sei umgekehrt x I. Flls x = oder x = b ist, so folgt x M us der Konstruktion. Aufgrund der Eigenschften des Supremums gibt es nsonsten 1, b 1 M mit < 1 < x < b 1 < b Es folgt ufgrund der verlngten Eigenschft von M Also x M. x [ 1, b 1 ] M. 3.6 Reihen Definition: Sei k, k N, eine Folge in R. Dnn knn mn die Folge der Prtilsummen n s n = bilden. Diese Folge von immer länger werdenden Summen nennt mn eine Reihe. Wenn die Reihe (uneigentlich) konvergiert so schreiben wir für den Grenzwert n k := lim k. k n Bisweilen wird llerdings für die Reihe selbst, lso für die Folge der Prtilsummen, diese Nottion verwendet, obwohl die Reihe nicht konvergiert. Mn nennt dies dnn uch eine formle Reihe Beispiel: Ein wichtiges Beispiel ist die geometrische Reihe. Es gilt für x 1 x k = 1 1 x, und diese Reihe konvergiert uch nur für x < 1.

48 48 KAPITEL 3. KONVERGENZ 3.24 Stz: Wenn die Reihe konvergiert, so gilt k lim k = 0. k Beispiel: Die Umkehrung ist flsch. Es gilt 1 k = Diese Reihe, die mn hrmonische Reihe nennt, konvergiert lso nicht, sondern nur uneigentlich. Dies beweist mn mit Hilfe des Verdichtungskriterium von Cuchy, ds besgt, dss für eine monoton fllende Folge von positiven Zhlen die Reihe genu dnn konvergiert, wenn die Reihe > 0 k 2 k 2 k konvergiert. In unserem Beispiel ist die verdichtete Reihe 2 k 2 k = offenbr divergent (uneigentlich konvergent gegen ). Die Reihe konvergiert dgegen. Denn ihre Verdichtung ist die geometrische Reihe für x = 1/2. 1 k Stz: Sei k, k N, eine Folge in R. Wenn n monoton fällt und ist, so konvergiert die lternierende Reihe lim k k = 0 ( 1) k k.

49 3.7. ABSOLUTE KONVERGENZ 49 Mn nennt dieses Konvergenzkriterium ds Leibniz-Kriterium. Beweis: Wir betrchten die Folge der gerden und die Folge der ungerden Prtilsummen. Es gilt für lle n N Also s 2n = 2n k, s 2n+1 = 2n+1 k. s 2n+2 s 2n = 2n+2 2n+1 0, s 2n+1 s 2n 1 = 2n+1 + 2n 0, s 2n+2 s 2n+1 = 2n+2 0. s 2n 1 s 2n+1 s 2n+2 s 2n Die Folge der ungerden Prtilsummen ist lso streng monoton wchsend und beschränkt, und die Folge der gerden Prtilsummen ist streng monoton fllend und beschränkt. Beide konvergieren dher gegen denselben Wert. Also konvergiert die Reihe. Es ist wichtig, dss die Reihe monoton fällt. Ein Beispiel ist die nicht konvergente Leibniz- Reihe mit 1 k = k, k gerde, 0, k ungerde. 3.7 Absolute Konvergenz Definition: Sei k, k N, eine reelle Folge. Eine Reihe k konvergiert bsolut, wenn konvergiert, wenn lso gilt. k k < Eine Reihe konvergiert bsolut genu dnn, wenn die Folge der Prtilsummen beschränkt ist. Denn diese Folge ist j eine monoton wchsende Folge, die genu dnn konvergiert, wenn sie beschränkt ist.

50 50 KAPITEL 3. KONVERGENZ 3.28 Stz: Jede bsolut konvergente Reihe konvergiert. Ziel dieses Abschnittes ist, diesen Stz zu beweisen. Wir werden dzu den Begriff einer Cuchy-Folge benötigen Definition: Eine Folge s n, n N, reeller Zhlen heißt Cuchy-Folge, wenn für jedes ɛ > 0 ein N ɛ N existiert mit s n s m < ɛ für lle n, m > N ɛ Äquivlent dzu ist, dss es zu jedem (beliebig kleinen) ɛ > 0 ein x ɛ R gibt, so dss lle, bis uf endlich viele Folgenglieder in der ɛ-umgebung von x ɛ liegen, d.h. es gibt ein N ɛ > 0 mit x ɛ s n < ɛ für lle n N ɛ. Mn bemerke, dss x ɛ von ɛ bhängt. Dies ist der Unterschied zur Definition des Grenzwertes, und x ɛ ist uch nicht unbedingt der Grenzwert der Folge. Es folgt drus, dss jede konvergente Folge Cuchy-Folge ist Stz: In R konvergiert jede Cuchy-Folge. Beweis: Eine Cuchy-Folge ( n ) n N ist offenbr beschränkt und ht dher einen Häufungspunkt. Sei ɛ > 0 und N ɛ/2 wie in der Definition der Cuchy-Folgen. D Häufungspunkt ist, existiert ein N N, N N ɛ mit N < ɛ 2 Es folgt n n N + N < ɛ für lle n N ɛ/2. Dmit ist die Konvergenz bewiesen. Dieser Stz, zusmmen mit dem Axiom von Archimedes, ist äquivlent zu unserem Vollständigkeitsxiom. Er ist uch äquivlent dzu, dss lle bsolut konvergenten Reihen konvergieren. Beweis: Wir beweisen schließlich den Stz über bsolut konvergente Reihen. Die Reihe sei bsolut konvergent. Mn zeigt dnn, dss die Folge der Prtilsummen eine Cuchy-Folge ist. Denn es gilt für n < m m n m m m n k k = k k = k k. k=n+1 k k=n+1

51 3.7. ABSOLUTE KONVERGENZ 51 Nun ist konvergiert die bsolut genommene Reihe k und die Folge ihrer Prtilsummen ist dher eine Cuchy-Folge. Also hben wir nun, dss uch die Folge der Prtilsummen der Reihe selbst eine Cuchy-Folge ist und dher konvergiert Stz: (Mjornten-Kriterium) Wenn eine Reihe bsolut konvergiert, und für die Folge b k, k N, ein K N existiert mit b k k für lle k K N, dnn konvergiert uch bsolut. Mn sgt die Reihe mjorisiert die ndere Reihe. k b k Beweis: Die Folge der Prtilsummen ist dnn offenbr beschränkt. N N s N = b k k, N K, k=k k=k Beispiel: Es gilt n 1 k(k + 1) = n ( 1 k 1 ) = 1 1 k + 1 n + 1 Mn bezeichnet solche Summen ls Teleskop-Summen. Aus diesem Grund konvergiert die Reihe und es gilt 1 k(k + 1) = 1. Aus dem Mjorntenkriterium folgt, dss uch lle Reihen der Form n σ k k 2

52 52 KAPITEL 3. KONVERGENZ mit beliebigen σ k 1 konvergieren. Insbesondere konvergiert die Reihe n 1 k 2, für die die Konvergenz llerdings uch us dem Cuchyschen Verdichtungskriterium folgt. Für σ k = ( 1) k folgt die Konvergenz (ber nicht die bsolute Konvergenz) uch us dem Leibnizkriterium. Es gilt umgekehrt ein Minornten-Kriterium. Wenn k, b k, k N, reelle Folgen sind mit und so gilt uch 0 k b k für lle k K N k =, b k = Stz: Sei k, k N, eine Folge in R, k 0 für lle k K N. Wenn es ein q R gibt, so dss k+1 < q < 1 k für lle k K gilt, so konvergiert die Reihe k=0 bsolut. Dieses Kriterium nennt mn ds Quotienten-Kriterium für Reihen. Es ist insbesondere erfüllt, wenn k+1 lim < 1 k k ist. Im Fll k+1 lim > 1 k k divergiert die Reihe. Flls der Grenzwert gleich 1 ist, so knn mn keine Aussge treffen. k Beispiel: Die Reihen k m x k konvergieren für lle m N 0 und lle x < 1. In diesem Fll gilt nämlich k=0 k+1 lim = x < 1. k k Für x > 1 knn mn uf Divergenz schließen, weil die Glieder der Reihe nicht gegen 0 gehen. Im Vorgriff uf die Diskussion der k-ten Wurzel beweisen wir hier den folgenden Stz.

53 3.8. DEZIMALBRÜCHE Stz: Wenn für eine Folge k, k N, ein q R existiert mit k k < q < 1 für lle k K N, dnn konvergiert die Reihe k=0 bsolut. Mn nennt dieses Kriterium ds Wurzel-Kriterium. Flls der Grenzwerte von k k existiert, gelten nloge Aussgen wie beim Quotientenkriterium. k Der Beweis ist sehr einfch. Aber die Verwendung hängt dvon b, ob mn die k-te Wurzel bschätzen knn. 3.8 Dezimlbrüche Definition: Eine Reihe der Form n b n... b := b k 10 k + k 10 k k=0 mit k, b k {0, 1,..., 9} heißt Dezimlentwicklung. Anlog gibt es uch die Entwicklung in ndere Bsen ls 10. Alle Dezimlentwicklungen konvergieren, d sie monoton wchsende, nch oben beschränkte Folgen drstellen. Es gilt nämlich mit Hilfe der geometrischen Reihe k 10 k 9 10 k = = 1. Allerdings hben verschiedene Dezimlentwicklungen den gleichen Grenzwert. So gilt etw 9 10 k = = = Stz: Zu jedem x > 0 gibt es eine Dezimlentwicklung, die gegen x konvergiert. Dbei knn mn verhindern, dss es ein N N gibt, so dss k = 9 für lle k N gilt. Wenn mn ds tut, ist die Entwicklung sogr eindeutig bestimmt.

54 54 KAPITEL 3. KONVERGENZ Beweis: Zum Beweis sei zunächst 0 < x < 1. Wir zeigen zunächst die Eindeutigkeit. Sei Dnn gilt und x = k 10 k. 10x = 0 + k+1 10 k k+1 10 k 9 10 k = 1. Wegen der Annhme, dss nicht lle k+1 = 9 sind, gilt sogr <. Es muss dher gelten 0 = 10x. 0 ist dher eindeutig bestimmt. Wiederholt mn dieses Argument für 10x 0, so folgt induktiv, dss lle k eindeutig bestimmt sind. Um die Drstellung zu erhlten, definieren wir rekursiv x 0 = x, und n+1 = 10x n, x n+1 = 10x n n+1. Es gilt dnn n {0, 1,..., 9} für lle n N. Außerdem zeigt mn per Induktion x = n 10 n + x n 10 n. Wegen 0 x n < 1 konvergiert diese Folge mit n. Wir erhlten, wie gewünscht, x = k 10 k. Für x > 1 finden wir ein minimles n N mit x < 10 n. Gemäß dem schon bewiesenen Teil existieren ã k {0,..., 9} mit 10 n x = ã k 10 k. Multipliktion der Summe mit 10 n ergibt die gewünschte Drstellung. Die Eindeutigkeit der Drstellung zeigt mn uf die gleiche Weise. Aus dem Stz folgt sofort, dss die Menge der rtionlen Zhlen dicht in R ist. Mit Hilfe dieses Stzes knn mn ber uch beweisen, dss die Menge der reellen Zhlen überbzählbr ist (Cntorsches Digonl-Argument) Stz: Die Menge der reellen Zhlen R ist nicht bzählbr.

55 3.9. KOMPLEXE FOLGEN UND REIHEN 55 Beweis: Sonst müsste uch ]0, 1[ bzählbr sein. Sei x n = k,n 10 k mit k,n {0,..., 9} eine Abzählung, wobei wir die unendliche Wiederholung von 9 für jedes x n vermeiden. Wir setzen { 1, k,k 1 k = 2, k,k = 1. und x = k 10 k. Dnn ist x x n für lle n N. Aber x ]0, 1[. 3.9 Komplexe Folgen und Reihen Definition: In einen metrischen Rum M mit Metrik d definieren wir die Konvergenz der Folge (x n ) n N gegen x durch x n x d(x n, x) 0. Wir definieren, dss (x n ) n N Cuchy-Folge sein soll, wenn es zu jedem ɛ > 0 ein N ɛ N gibt mit d(x n, x m ) < ɛ für lle n, m N ɛ. Im Folgenden sei C mit der Metrik usgestttet. d(z, w) := z w 3.40 Stz: (1) Sei (z n ) n N eine Folge in C. Dnn gilt z n z Re (z n ) Re (z) und Im (z n ) Im (z) In C ht jede beschränkte Folge eine Häufungspunkt. (2) Eine komplexe Folge ist genu dnn Cuchy-Folge, wenn die Folge der Relteile und die Folge der Imginärteile Cuchy-Folgen in R sind. In C konvergiert jede Cuchy-Folge. Beweis: Der Beweis von (1) folgt us den Abschätzungen Re (z n ) Re (z) z n z, Im (z n ) Im (z) z n z, sowie z n z = Re (z n ) Re (z) 2 + Im (z n ) Im (z) 2. Anlog folgt die Aussge (2). Einen metrischen Rum, in dem jede Cuchy-Folge konvergiert, heißt vollständiger metrischer Rum.

56 56 KAPITEL 3. KONVERGENZ 3.41 Stz: In C konvergiert jede bsolut konvergente Reihe. Es gilt ds Mjornten- Kriterium, ds Quotienten-Kriterium und ds Wurzel-Kriterium für Reihen. Die Beweise sind eigentlich nur Wiederholungen derselben Beweise für R Definition: Wir definieren exp(z) := für lle z C. Diese Reihe konvergiert für lle z C bsolut. Wir nennen diese Funktion die Exponentilfunktion. k=0 z k k! 3.43 Stz: (Umordnungsstz für Reihen) Sei eine bsolut konvergente Reihe in C oder R und π : N N k bijektiv. Dnn konvergiert uch bsolut. Außerdem gilt π(k) k = π(k). Beweis: Die bsolute Konvergenz folgt einfch us N π(k) k < für lle N N. Sei s = k, s π = π(k). Um s = s π zu zeigen, wählen wir zu ɛ > 0 ein K N mit π(k) < ɛ k=k+1

57 3.9. KOMPLEXE FOLGEN UND REIHEN 57 Nun gilt für die Abschätzung Also, mit M, Drus folgt mit K M mx{π( 1 ),..., π( K )} M K k π(k) s D dies für lle ɛ > 0 gilt, folgt s = s π. k=k+1 K π(k) < ɛ s s π < ɛ. π(k) < ɛ Die bsolute Konvergenz ist hier notwendig. Wenn eine Reihe konvergiert, ber nicht bsolut konvergiert, so knn mn sie so umordnen, dss sie gegen jeden Wert s R konvergiert Stz: Seien n = k, b = n k=0 bsolut konvergente Reihen. Dnn konvergiert uch ds Cuchy-Produkt ( k ) l b k l = ( 0 b N N b 0 ), und zwr gegen ds Produkt b. k=0 l=0 N=0 b k Beweis: Die Folge ( N ) ( N ) s N = k b k = k=0 k=0 0 k,l N k b l konvergiert. Aus dem Umordnungsstz folgt, dss jede Reihe die lle Produkte k b l enthält, bsolut konvergiert. Insbesondere konvergiert ds Cuschy-Produkt bsolut. Nun gilt Es folgt n=0 ( N ) ( N ) t N = k b k = k=0 k=0 0 k,l N k b l b. N N t N+1 = t 0 + (t n+1 t n ) = 0 b 0 + ( 0 b n n b n n b 0 ) b n=1 Ds Cuchy-Produkt ist nun eine Umordnung dieser Reihe und konvergiert dher gegen denselben Grenzwert.

58 58 KAPITEL 3. KONVERGENZ 3.45 Stz: Für die Exponentilfunktion gilt für lle z C. exp(z + w) = exp(z) exp(w) Beweis: Wir bilden ds Cuchy-Produkt der Exponentilreihe für z und w. e z e w = k k=0 l=0 z l w k l l!(k l)! = k=0 1 k! k l=0 ( ) k z l w k l = l (z + w) k = e z+w. k! k=0 Dies ist die fundmentle Identität der Exponentilfunktion. Aufgrund der Definition gilt und Außerdem hben wir und dher exp(x) 0 für lle x R, sowie exp(0) = 1, exp(x) > 1 + x für lle x > 0. (1) exp(x) exp( x) = exp(0) = 1 exp( x) = 1 exp(x). Dmit und mit (1) folgt sofort exp(x) > 0 für lle x R. lim exp(x) =, lim x exp(x) = 0. x Außerdem ist exp streng monoton steigend. Denn es gilt für x 1 < x 2 wegen exp(x 2 x 1 ) > 1. exp(x 2 ) = exp(x 1 ) exp(x 2 x 1 ) > exp(x 1 ) Wir werden später zeigen, dss ( exp(1) = e = lim ) n n n gilt, obwohl mn ds mit der Binomilentwicklung des Produkts (1 + 1/n) n uch direkt beweisen knn. Wir schreiben dnn uch e z := exp(z). Für n Z folgt, dss diese Definition mit der lten Definition von e n übereinstimmt.

59 Kpitel 4 Stetigkeit Wir erweitern nun den Konvergenzbegriff uf Funktionen und werden ddurch in die Lge versetzt, den Begriff Stetigkeit exkt zu fssen. Dieser Begriff wird in der Schule meist nschulich nhnd der fehlenden Sprünge im Funktionsgrphen beschrieben. Abbildung 4.1: Stetigkeit und Unstetigkeit In der Abbildung ist die Funktion für x = 1 stetig. Für x = 0 ht sie einen Grenzwert von rechts und einen nderen Grenzwert von links. In x = 1 ht sie nur einen Grenzwert von rechts. 4.1 Grenzwert von Funktionen Der Grenzwert einer Funktion bei Annäherung n einen Punkt knn mit Hilfe von Folgen oder mit dem ɛ-δ-kriterium beschrieben werden. Wenn M der Definitionsbereich der Funktion ist, so wollen wir llerdings nur Grenzwerte in Punkten definieren und berechnen, die in M oder m Rnd von M liegen Definition: Ein Punkt liegt im Abschluss einer Menge M R, wenn es eine 59

60 60 KAPITEL 4. STETIGKEIT Folge in M gibt, die gegen konvergiert. Die Menge ller Punkt im Abschluss heißt die bgeschlossene Hülle von M. Sie wird mit M oder besser mit closure (M) bezeichnet. M heißt bgeschlossen, wenn M = closure (M) gilt. Für uns sind zunächst huptsächlich Intervlle interessnt. Dort gilt zum Beispiel closure (], b[) = [, b]. Die Rndpunkte, b liegen lso im Abschluss des offenen Intervlls, ber nicht im offenen Intervl selbst 4.2. Definition: (1) Sei M R und f : M R eine Funktion. Sei im Abschluss von M. Dnn heißt b der Grenzwert von f bei Annäherung n, in Zeichen b = lim x f(x), wenn für jede Folge ( n ) n N mit Elementen n M gilt, dss lim n = n lim f( n) = b. n (2) Die Funktion f heißt stetig in M, wenn lim f(x) = f() x gilt. Es muss lso für jede Folge ( n ) n N mit Elementen n M gelten lim n = n lim f( n) = f(). n Die Funktion f heißt stetig in M, wenn sie in llen Punkten M stetig ist. (3) Mn sgt uch einfch, eine Funktion f : D R sei stetig. Dmit ist gemeint, dss f uf dem Definitionsbereich D von f stetig ist. Abbildung 4.2: y = sign(x)

61 4.1. GRENZWERT VON FUNKTIONEN Beispiel: Die Funktion f(x) = x 2, f : R R, ist stetig. Denn es gilt nch den Regeln für Grenzwerte n 2 n 2 = f(). Die Funktion sign : R R, die durch 1, x < 0, sign(x) = 0, x = 0, 1, x > 0 definiert ist, ist in x = 0 nicht stetig. Denn es gibt Folgen ( n ) n N, die gegen 0 konvergieren, für die ber f( n ) nicht gegen 0 konvergiert. 4.4 Stz: Sei f : M R eine Funktion, und im Abschluss von M R. Genu dnn ist f stetig in, wenn es zu jedem ɛ > 0 ein δ ɛ > 0 gibt, so dss für lle x M gilt x < δ ɛ f(x) f() < ɛ. Mn nennt dieses Kriterium ɛ-δ-kriterium. Beweis: Nehmen wir n, f sei stetig in. Sei weiter ɛ > 0. Wenn es nun kein δ > 0 mit der gewünschten Eigenschft gibt, dnn existiert für jedes n N ein x n M mit x n < 1 n, f(x n) f() ɛ. Denn δ = 1/n erfüllt ds Kriterium j für kein n N. Also x n, f(x n ) f(). Dies ist ein Widerspruch zur ngenommenen Stetigkeit von f. Es gelte umgekehrt ds ɛ-δ-kriterium, und n für eine Folge mit n M. Sei ɛ > 0. Dnn existiert δ ɛ > 0 gemäß dem Kriterium. Es existiert dnn ein N = N(δ ɛ ) N, so dss gilt. Folglich gilt n < δ ɛ für lle n N f( n ) f() < ɛ für lle n N Dmit hben wir zu ɛ > 0 ein N (bhängig von ɛ) gefunden, wie es in der Definition der Konvergenz der Folge von f( n ) gegen f() gefordert wird. Also f( n ) f() Beispiel: Ds ɛ-δ-kriterium ist in gewisser Weise konstruktiver. Mn knn oft für Funktion bei gegebenem ɛ > 0 einen möglichst großen Wert für δ ɛ > 0 durch Rechnen bestimmen. Als einfches Beispiel wählen wir f(x) = x 2, f : R R. Für = 0 und ɛ > 0 wählt mn einfch δ ɛ = ɛ. Wir hben dnn wie gewünscht x 0 = x < δ ɛ = ɛ f(x) f(0) = x 2 < ɛ.

62 62 KAPITEL 4. STETIGKEIT Sei nun = 2. Es gilt f(x) f() = x 2 2 = x + x. Dnn gilt für x 2 < 1 sicher x + 2 < 5. Es folgt die Ungleichung f(x) f(2) 5 x 2. Mn knn lso zu ɛ > 0 δ ɛ = min{ ɛ 5, 1} wählen. Dnn gilt für x 2 < δ ɛ 1 sicher x + 2 < 3 und dher f(x) f(2) < 5δ ɛ ɛ. Sei f : M R eine Funktion und M. Dnn definieren wir in nhe liegender Weise lim f(x). x,x f ist genu dnn stetig, wenn dieser Grenzwert gleich f() ist. 4.6 Stz: Mn knn uch beim Grenzwert von Funktionen +, und mit dem Limes vertuschen. Also lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x) x x x lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x) x x x Der Grenzwert uf der linken Seite existiert, flls die Grenzwerte uf der rechten Seite existieren. Flls g(x) 0 für lle x M ist, und uch der Grenzwert bei Annäherung n nicht 0 ist, so gilt f(x) lim f(x) lim x g(x) = x lim g(x) x Beweis: Der Stz folgt unmittelbr us dem Stz für Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten von Folgen. Wenn lim g(x) 0 x ist, so gibt es ufgrund des ɛ-δ-kriteriums eine ɛ-umgebung von x, wo g(x) 0 ist. D es beim Grenzübergng im Wesentlichen nur uf diese Umgebung nkommt, so gilt dnn lso die Aussge des Stzes über den Quotienten von Funktionen. Es folgt, dss Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten von stetigen Funktionen stetig sind. Bei Quotienten f/g muss mn bechten, dss sie nur stetig sind, wo g(x) 0 ist.

63 4.1. GRENZWERT VON FUNKTIONEN 63 Es ist einfch zu zeigen, dss die Hintereinnderusführung von stetigen Funktionen stetig ist. Denn offenbr ( ) lim f(g(x)) = f lim g(x) = f(g()), x x flls g in und f in g() stetig sind Beispiel: (1) Seien < b < c und f : ], b[ R g : ]b, c[ R stetig. Dnn gibt es genu dnn eine stetige Fortsetzung von f und g uf ds Intervll ], c[, wenn lim f(x) = lim g(x) x b x b ist. Dbei hndelt es sich eigentlich um einseitige Grenzwerte, ws mn uch durch lim f(x) = lim g(x) x x ndeutet. Auf diese Weise knn mn stückweise gegebene stetige Funktionen zu einer stetigen Funktion zusmmensetzen, wenn die Übergänge die richtigen Grenzwerte ufweisen. (2) Ebenso ist jede Funktion f : M R in M stetig, wenn gilt. lim f(x) = lim f(x) x x (3) Wenn eine Funktion in nicht definiert ist, so knn mn sie stetig nch im Abschluss von M eindeutig fortsetzen, wenn lim x f(x) existiert Definition: (1) Gnz nlog zu den Folgen definieren wir uneigentliche Grenzwerte von Funktionen. Es gilt lso lim x f(x) = genu dnn, wenn es zu jedem c > 0 ein ɛ > 0 gibt mit x < ɛ f(x) > c. Gnz nlog zu den einseitigen Grenzwerten definieren wir uch die uneigentlichen einseitigen Grenzwerte lim f(x) =, lim f(x) =. x x Ebenso definieren wir in nheliegender Weise die uneigentlichen Grenzwerte gegen. (2) In nhe liegender Weise definieren wir Grenzwerte für x, wenn es eine Folge im Definitionsbereich gibt, die gegen konvergiert. Die Aussge lim f(x) = x

64 64 KAPITEL 4. STETIGKEIT Abbildung 4.3: Die Funktion f(x) = 1/x, f : R \ {0} R. bedeutet lso, dss es zu jedem c > 0 ein d > 0 gibt mit x d f(x) c Beispiel: Es gilt (uneigentlich) Aber Zum Beweis schätzt mn etw b 1 lim x x = 1 lim x x = lim x 1 (x ) 2 =. x 0 < ɛ c = 1 c 1 x 2 > c. Dmit ist zu c > 0 ein ɛ c > 0 gefunden, ds der Definition der uneigentlichen Konvergenz genügt. Allgemein gilt Anlog lim x { 1 (x ) k =, k gerde,, k ungerde. lim x xk =

65 4.2. RATIONALE FUNKTIONEN 65 für lle k N und lim x xk = {, k gerde,, k ungerde. 4.2 Rtionle Funktionen Polynome sind die einfchsten Funktionen. Zur Auswertung muss mn lediglich ddieren und multiplizieren. Bei rtionlen Funktion kommt eine Division dzu Definition: (1) Ein reelles Polynom ist eine Funktion der Form p(x) = x n x n = n k x k. mit 0,..., n R. Wenn n 0 ist, so heißt n der Grd von p und wird mit deg(p) bezeichnet. (2) Eine reelle rtionle Funktion ist der Quotient zweier reeller Polynome r(x) = p(x) q(x). und ist definiert in llen Punkten, in denen q(x) 0 ist. Die Koeffizienten eines Polynoms, und dmit uch sein Grd, sind eindeutig bestimmt. Sei nämlich n x n x + 0 = ã n x n ã 1 x + ã 0 für lle x R, so folgt k=0 n + n 1 x x n = ã n + ãn 1 x ã0 x n für lle x R, x 0. Nimmt uf beiden Seiten den Grenzwert x, so folgt n = ã n. Per Induktion folgt die Behuptung Stz: Polynome sind überll stetig. Ein reelles Polynom p ht höchstens deg(p) Nullstellen. Mn knn die Nullstellen us p usdividieren und erhält ein Polynom p ohne Nullstellen, lso p(x) = (x x 1 )... (x x k ) p(x) für lle x R wobei x 1,..., x k Nullstellen von p sind, und deg( p) = deg(p) k. Dbei können Nullstellen mehrfch vorkommen, lso mit höherer Vielfchheit.

66 66 KAPITEL 4. STETIGKEIT Beweis: Wir zeigen per Induktion nch n zunächst, dss sich eine Nullstelle R eines Polynoms p vom Grd n us dem Polynom usdividieren lässt. Wir müssen dzu nchweisen, dss es ein Polynom p n+1 vom Grd n 1 gibt mit p(x) = (x )ˆp(x) für lle x R Sei p wie in der Definition und p() = 0. Dnn ist q(x) = p(x) n x n 1 (x ) ein Polynom vom Grd n 1 und es gilt q() = 0. Flls n = 1 ist, so ist q konstnt gleich 0 und p(x) = n (x ) wie verlngt mit q(x) = n. für n > 1 hben wir nch Induktionsvorussetzung p(x) = q(x) + n x n+1 (x ) = q(x)(x ) + n x n 1 (x ) mit einen Polynom q vom Grd n 2. Es folgt die Behuptung mit ˆp(x) = q(x) + n x n+1. Per Induktion folgt nun, dss es in der Tt ein p ohne Nullstellen gibt, wie es im Stz verlngt wird. Angenommen, p ht n Nullstellen x 1,..., x n. Dnn hben wir nch dem bisher Bewiesenen p(x) = n (x x 1 )... (x x n ). Ds Polynom ht lso keine weiteren Nullstellen. Rtionle Funktion sind stetig in llen Punkten, in denen sie definiert sind Stz: (1) Sei p ein Polynom mit höchstem Koeffizienten n > 0 und Grd n > 0. Dnn gilt lim p(x) =, x und lim p(x) = x { flls n gerde ist, flls n ungerde ist. (2) Sei r = p/q eine rtionle Funktion, p() > 0 und eine Nullstelle der Vielfchheit k von q. Dnn gilt lim x r(x) = und lim x r(x) = { flls k gerde ist, flls k ungerde ist. Wenn uch der Zähler p(x) eine Nullstelle in ht, so muss mn zunächst die rtionle Funktion kürzen.

67 4.3. DER ZWISCHENWERTSATZ 67 Beweis: Wir hben lso p(x) = n x n x + 0 mit n > 0, n > 0. Folglich p(x) lim x x n = n > 0. Also gibt es ein d > 0, so dss für x > d Ds heißt für ein c > 0 und lle x > d. D ber p(x) x n n 2 > 0. p(x) cx n lim x cxn = für lle c > 0 gilt, folgt somit uch lim p(x) =. x Für x ist der Beweis nlog. Für (2) schreiben 1 q(x) = 1 (x ) k q(x) mit einem Polynom q(x) mit q() 0. Die Behuptung folgt dnn ebenflls. 4.3 Der Zwischenwertstz Der folgende Stz ist eines der wesentlichen Hilfsmittel in der Anlysis Stz: Sei f : [, b] R stetig c R und f() c f(b). Dnn existiert ein ξ [, b] mit Dieser Stz heißt Zwischenwertstz. f(ξ) = c. Beweis: Der Beweis knn konstruktiv durch eine Intervllschchtelung zur Berechnung von ξ geführt werden. Ausgehend von [ 0, b 0 ] = [, b]

68 68 KAPITEL 4. STETIGKEIT konstruiert mn Intervlle [ n, b n ] mit den Eigenschften f( n ) c, f(b n ) c, [ n+1, b n+1 ] [ n, b n ], b n+1 n+1 = b n n. 2 Nch dem Stz 3.13 über die Intervllschchtelungen gibt es einen gemeinsmen Grenzwert ξ von n und b n. D f stetig ist, folgt und drus folgt lim f( n) = lim f(b n) = f(ξ), n n lso f(ξ) = c. f(ξ) = lim f( n) c, n f(ξ) = lim f(b n) c, n Ntürlich gilt dsselbe uch im Fll f() c f(b) Stz: Ds stetige Bild eines Intervlls ist ein Intervll. Beweis: Sei f : I R stetig, und J = f(i). Seien nun d 1, d 2 J mit d 1 < d 2, lso etw f( 1 ) = d 1, f( 2 ) = d 2, 1, 2 I. Wir zeigen [d 1, d 2 ] J, worus gemäß Stz 21 die Behuptung folgt. Sei dzu c [d 1, d 2 ]. Wir können 1 < 2 nnehmen. Dnn gilt [ 1, 2 ] I, weil I ein Intervll ist. f ist lso uf [ 1, 2 ] definiert und stetig. Aus dem Zwischenwertstz folgt sofort, dss ein ξ [ 1, 2 ] existiert mit f(ξ) = c. Folglich gilt c f(i) = J Stz: Sei I ein Intervll in R, und f : I R streng monoton (wchsend oder fllend) und stetig. Dnn gibt es eine Umkehrfunktion f 1 : f(i) I, die ebenflls stetig ist. Wenn I ein offenes Intervll ist, so ist f(i) ebenflls ein offenes Intervll, und wenn I ein bgeschlossenes, beschränktes Intervll ist, so gilt ds uch für f(i).

69 4.3. DER ZWISCHENWERTSATZ 69 Beweis: D eine streng monotone fllende bzw. wchsende Funktion injektiv ist, existiert f 1 uf f(i), und diese Funktion ist ebenflls streng monoton fllend bzw. wchsend. Wir wissen uch, dss f(i) ein Intervll ist. Wir können uns uf streng monoton wchsende Funktionen beschränken. Sei ɛ > 0. Flls f(x) = y ist und x im Innern von I, so gilt wegen der strengen Monotonie von f f(x ɛ) < y = f(x) < f(x + ɛ). Wir wählen ein δ > 0, so dss Es folgt für lle ỹ f(i) f(x ɛ) < y δ < y = f(x) < y + δ < f(x + ɛ). ỹ y < δ f(x ɛ) < ỹ < f(x + ɛ) x ɛ < f 1 (ỹ) < x + ɛ f 1 (ỹ) x < ɛ Flls x der rechte Rndpunkt von I ist, so wählen wir δ > 0 mit f(x ɛ) < y δ < y = f(x) Anlog, flls x der linke Rndpunkt von I ist. Der Beweis geht in diesen Fällen nlog. Sei I ein offenes Intervll. Dnn sind lle Punkte inneren Punkte von I und us den obigen Überlegungen folgt, dss uch J = f(i) ein offenes Intervll ist. Sei I = [, b] ein bgeschlossenes und beschränktes Intervll. Dnn gilt ufgrund des Zwischenwertstzes und der Monotonie f(i) = [f(), f(b)]. Also ist uch ds Bild ein bgeschlossenes und beschränktes Intervll. Abbildung 4.4: f(x) = (x 2 1)/(x 2 + 1)

70 70 KAPITEL 4. STETIGKEIT Beispiel: Die Funktion f(x) = x2 1 x ist in [0, [ stetig und streng monoton wchsend. Es gilt Die Umkehrfunktion berechnet sich zu für lle 1 y < 1. f([0, [) = [ 1, 1[ f 1 (y) = 1 + y 1 y Beispiel: (1) Die Funktionen f(x) = x n sind uf [0, [ monoton wchsend und stetig. Außerdem gilt f(0) = 0, sowie Es folgt lim f(x) =. x f[0, [ = [0, [. Also gibt es eine Umkehrfunktion, die wir ls n-te Wurzel bezeichnen. Wir schreiben (2) Die Funktion n y = y 1/n := f 1 (y). f(x) = x 3 x ist uf [1, [ streng monoton wchsend. Aber die Umkehrfunktion f 1 : [0, [ [1, [ ist nicht so leicht zu berechnen (Formel von Crdno). 4.4 Extrem von Funktionen Für die Prxis ist oft wichtig zu wissen, wo eine Funktion mximl wird. Mn rechnet solche Mxim mit Ableitungen us. Aber ihre Existenz wollen wir schon hier beweisen Definition: Sei f : M R eine Funktion (M eine beliebige Menge). Dnn heißt M Mximlpunkt von f, wenn f() f(x) für lle x M gilt. Der Wert f() = mx f(m) wird ls Mximum von f uf M bezeichnet. Flls M R ist, so heißt lokler Mximlpunkt, wenn f Mximlpunkt uf einer ɛ- Umgebung von U ɛ () M ist (für ein ɛ > 0). Anlog definieren wir (lokle) Minim. Die Minim und Mxim zusmmengenommen nennt mn Extrem von f.

71 4.5. STETIGKEIT IN METRISCHEN RÄUMEN Stz: (1) Sei M bgeschlossen und beschränkt, sowie f : M R stetig in M. Dnn besitzt f einen Mximlpunkt und einen Minimlpunkt in M. (2) Ds stetige Bild eines bgeschlossenen, beschränkten Intervlls [, b] ist ein bgeschlossenes, beschränktes Intervll [c, d]. Beweis: Sei s = sup f(m), wobei eventuell s = ist. Dnn existiert eine Folge (x n ) n N mit lim f(x n) = s. n Im Fll von s = ist dieser Grenzwert uneigentlich. Weil M beschränkt ist, ist die Folge beschränkt und ht eine konvergente Teilfolge (x k(n) ) n N, die gegen ein x M konvergiert, weil M bgeschlossen ist. Es folgt us der Stetigkeit von f f(x) = lim n f(x k(n)) = s. Also ist s < und x ist Mximlpunkt von f uf M, weil f(x) ds Supremum von f(m) ist. Zum Beweis von (2) bechten wir, dss ds stetige Bild eines Intervlls nch Stz 4.13 ein Intervll ist, ds nch dem Teil (1) sein Supremum und sein Infimum enthlten muss. Wenn M diese Bedingungen nicht erfüllt ist, so brucht kein Extremlpunkt zu existieren, selbst wenn f stetig ist. Beispielsweise ht die rtionle Funktion f(x) = x2 1 x zwr den Minimlpunkt 0, ber keinen Mximlpunkt, obwohl f(r) sogr beschränkt ist. Es gilt nämlich f(r) = [ 1, 1[. 4.5 Stetigkeit in metrischen Räumen Wir erinnern n die Definition einer Metrik us Die Definition der Stetigkeit und des Grenzwertes von Funktionen lässt sich unmittelbr uf metrische Räume, und insbesondere uf C übertrgen Definition: Seien A, B metrische Räume, deren Metriken wir beide mit d bezeichnen, sowie A. Dnn ist f : A B in A stetig genu dnn, wenn für jedes ɛ > 0 ein δ > 0 existiert mit d(x, ) < δ d(f(x), f()) < ɛ.

72 72 KAPITEL 4. STETIGKEIT Der Abschluss M einer Teilmenge M A ist die Menge ller möglichen Grenzwerte von Folgen us M. Wenn M ist, so definieren wir b B ls Grenzwert b = lim x f(x) genu dnn, wenn die Funktion f stetig uf M {} mit f() = b erweiterbr ist. Die Konvergenz knn äquivlent durch Folgen definiert werden. Dzu muss für jede Folge (x n ) n N gelten x n f(x n ) b Beispiel: Sei A C. Dnn ist f : A C genu dnn stetig, wenn die Funktionen Re (f), Im (f) : A R stetig sind. Mn bechte llerdings, dss z n z in C bedeutet, dss sich die komplexen Zhlen us llen Richtungen n z nnähern können. Auch in C nimmt jede stetige Funktion f : C R uf einer bgeschlossenen und beschränkten Menge ihre Extrem n. Wir werden druf ber erst später eingehen.

73 Kpitel 5 Die Ableitung Wir sind nun in der Lge, ds von Newton und Leibniz entdeckte Klkül der Anlysis, nämlich die Ableitung, exkt zu fssen. Die Rechenregeln (Clculus) der Differentilrechung und ihrer Umkehrung, der Intergrlrechung, sind es, die die Anlysis so mächtig mchen. Abbildung 5.1: f(x) = x 2 und Tngente in x = Differenzierbrkeit Anschulich ist die Ableitung einer reellen Funktion in einem Punkt die Steigung der Tngenten m Funktionsgrph im Punkt (, f()). Wir fssen diesen Gednken in der folgenden 73

74 74 KAPITEL 5. DIE ABLEITUNG Definition exkt. Dzu bemerken wir, dss die Steigung der Gerden durch die Punkte (x, f(x)), (t, f(t)), die beide uf dem Funktionsgrphen von f liegen, gleich f(t) f(x) t x = y x ist (siehe Abbildung). Diese Steigung wird ls Sekntensteigung bezeichnet und die Gerde ls Seknte (Schneidende). Geht dnn t x, so wird die Seknte zur Tngente (Berührende). Abbildung 5.2: Seknte und Tngente (x = 0.1, t = 0.15) 5.1. Definition: (1) Sei f : I R eine Funktion, I ein offenes Intervll. Dnn heißt der Grenzwert f f(t) f(x) (x) := lim t x,t x t x für x I die Ableitung von f in x, flls er existiert. In diesem Fll heißt f differenzierbr in x. Wir schreiben uch d dx f(x) = f (x). Diese Schreibweise ist insbesondere dnn prktisch, wenn für f(x) ein Rechenusdruck in x gesetzt wird.

75 5.1. DIFFERENZIERBARKEIT 75 (2) Flls f überll in I differenzierbr ist, so heißt f differenzierbre Funktion. Flls dnn die Ableitungsfunktion f stetig ist, so heißt f stetig differenzierbr. (3) Flls f wieder in x differenzierbr ist, so schreibt mn für die Ableitung f (x) oder f (x) = d2 dx 2 f(x). f heißt in diesem Fll zweiml differenzierbr, und f heißt die zweite Ableitung von f. Anlog definieren wir n-ml (stetig) differenzierbre Funktionen, und schreiben für die Ableitung f (n). (4) In nhe liegender Weise definieren wir die einseitige Ableitung für eine Funktion f : [, b] R in und b, ls f () = lim x,x f(x) f(), f (b) = lim x x b,x b Bisweilen werden diese einseitigen Ableitungen ls f(x) f(b). x b f +(), f (b) gekennzeichnet. 5.2 Stz: Jede in einem Punkt differenzierbre Funktion ist stetig in diesem Punkt. Beweis: D die Sekntensteigung in x stetig durch f (x) fortsetzbr ist, muss sie beschränkt sein. Also existiert ein ɛ > 0 und ein C > 0 mit f(t) f(x) t x C für lle t mit x t < ɛ, wo f(t) definiert ist. Es folgt f(t) f(x) C t x für solche t. Drus folgt die Stetigkeit von f in x. Die Umkehrung ist flsch, wie schon die Funktion x zeigt. Ableitungen bekommen nun ihre Mächtigkeit ddurch, dss mn sie leicht lgebrisch usrechnen knn. 5.3 Stz: Seien f, g : I R differenzierbre Funktionen, I ein offenes Intervll, x I. Dnn ist uch f ± g und f g in x differenzierbr und es gilt d dx (f(x) ± g(x)) = f (x) ± g (x), d dx (f(x) g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x).

76 76 KAPITEL 5. DIE ABLEITUNG Flls g(x) 0, so ist uch f/g in x differenzierbr und es gilt ( ) d f(x) = g(x)f (x) f(x)g (x) dx g(x) g(x) 2. Der Stz gilt uch für einseitige Ableitungen. Beweis: Die Regel für die Summen und Differenzen ist leicht zu beweisen. Wir beweisen die Produktregel. Es gilt für t I f(t)g(t) f(x)g(x) t x = f(t) g(t) g(x) t x + g(x) f(t) f(x). t x Für t x folgt die Behuptung us der Differenzierbrkeit von f und g und der Stetigkeit von f in x. Wir beweisen nun die Quotientenregel. Dzu genügt es wegen der Produktregel, die Funktion 1/g(x) bzuleiten. Für t I, g(t) 0, gilt 1/g(t) 1/g(x) t x = 1 g(x) g(t) g(t)g(x) t x 1 = g(t)g(x) g(t) g(x). t x Mn bechte, dss es wegen der Stetigkeit von g und g(x) 0 eine ɛ-umgebung von x gibt, wo g(t) 0 ist. Für t x folgt d 1 dx g(x) = g (x) g(x) 2. Die Quotientenregel folgt nun us der Produktregel wegen ( ) d 1 f(x) = f 1 (x) dx g(x) g(x) f(x) g (x) g(x) 2 = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) Stz: Es gilt für lle n Z, n 0 oder x 0. d dx xn = nx n 1. Beweis: Für n N folgt der Stz folgt us der Produktregel per vollständiger Induktion nch n, denn er gilt für n = 1 und d dx xn+1 = d dx (x xn ) = x n + x n x n 1 = (n + 1)x n. Für n < 0 folgt der Stz us der Quotientenregel wegen d dx xn = d dx 1 ( n)x n 1 = x n (x n ) 2 = n x n 1 x 2n = nx n 1.

77 5.2. LOKALE EXTREMA UND MONOTONIE 77 Für n = 0 und x 0 gilt der Stz ebenflls, d x 0 = 1 in diesem Fll konstnt ist und dher die Ableitung 0 ht. Dmit sind lle Polynome differenzierbr und lle rtionlen Funktionen, wo sie definiert sind. Für Polynome gilt d dx ( x n x n ) = x n n x n Lokle Extrem und Monotonie Um den Zusmmenhng zwischen Ableitung, Monotonie und loklen Extrem ufzuklären, benötigen wir den wichtigen Mittelwertstz der Differentilrechnung. Zunächst beweisen wir ein notwendiges Kriterium für lokle Extremlpunkte, ds uns ds rechnerische Auffinden von loklen Extrem ermöglicht. 5.5 Stz: (Notwendiges Kriterium für lokle Extremlpunkte) Sei f : I R differenzierbr, I ein offenes Intervll, und x I eine lokle Extremlstelle (Minimlstelle oder Mximlstelle) von f. Dnn gilt f (x) = 0. Beweis: Sei x eine lokle Mximlstelle. Dnn gibt es ein ɛ > 0 mit Es folgt f(x) f(t) für lle t x < ɛ, t I. f(t) f(x) t x 0 für lle t x < ɛ, t I, t < x. Also f (x) 0. Anlog folgt f (x) 0 wenn mn t > x betrchtet. Insgesmt lso f (x) = 0. Die Umkehrung ist flsch, wie die Funktion x 3 zeigt. Außerdem gilt der Stz offenbr nicht für Rndpunkte von Intervllen Beispiel: Dieser Stz knn verwenden werden, um Extrem von Funktionen zu berechnen. Wir betrchten die Funktion f(x) = x 3 x uf [ 1, 1] (siehe Abbildung). Aufgrund des Stzes über die Extrem von stetigen Funktionen muss f eine Mximlstelle und eine Minimlstelle in [ 1, 1] hben. Um diese Stellen zu finden, suchen wir zunächst lokle Extrem in ] 1, 1[. Diese Stellen müssen die Bedingung f (x) = 0 erfüllen. Wir finden die Punkte 1 x 1,2 = ± 3 ± , die uch ttsächlich im Intervll ] 1, 1[ liegen.

78 78 KAPITEL 5. DIE ABLEITUNG Abbildung 5.3: f(x) = x 3 x Schließlich vergleichen wir die Werte in diesen sogennnten kritischen Punkten x 1/2 mit den Werten in den Rndpunkten von [ 1, 1], wo der Stz von Rolle nicht gilt. Also vergleichen wir f( 1), f(x 1 ), f(x 2 ), f(1) und finden uf diese Weise die Extrem in [ 1, 1]. Insgesmt erhlten wir ( f([ 1, 1]) = [f 1 ) ( 1, f 3 )]. 3 Der folgende Stz von Rolle ist ein Spezilfll des Mittelwertstzes, den wir im Beweis des Mittelwertstzes benötigen. 5.7 Stz: (Stz von Rolle) Sei f : [, b] R stetig und uf ], b[ differenzierbr, < b. Dnn existiert ein ξ ], b[ mit f (ξ) = 0. Beweis: Flls f uf [, b] konstnt ist, so ist die Ableitung überll uf ], b[ gleich 0. Ansonsten existiert eine Extremlstelle ξ von f in ], b[, lso im Innern des Intervlls. Nch dem obigen Kriterium gilt f (ξ) = 0. Einer der wichtigsten Sätze der Anlysis ist der folgende Mittelwertstz. Wir beweisen gleich noch eine nützliche Version, die ls 2. Mittelwertstz bezeichnet wird. 5.8 Stz: (Mittelwertstz) (1) Sei f : [, b] R stetig und in ], b[ differenzierbr, < b. Dnn gibt es ein ξ ], b[ mit f f(b) f() (ξ) = b

79 5.2. LOKALE EXTREMA UND MONOTONIE 79 (2) Seien f, g : [, b] R stetige Funktionen, die in ], b[ differenzierbr sind. Sei ußerdem g() g(b) und g (x) 0 für lle x ], b[. Dnn gibt es ein ξ ], b[ mit f (ξ) f() f(b) g = (ξ) g() g(b). Beweis: Es genügt den 2. Mittelwertstz zu beweisen, d der 1. Mittelwertstz ein Spezilfll mit g(x) = x ist. Wir definieren die Funktion h(x) = (f(x) f(b)) f() f(b) (g(x) g(b)) g() g(b) h ist ebenflls in ], b[ differenzierbr und in [, b] stetig. Außerdem gilt h() = h(b) = 0. Nch dem Stz von Rolle gibt es ein ξ ], b[ mit h (ξ) = 0. Drus folgt die Behuptung wegen 0 = h (ξ) = f f(b) f() (ξ) g(b) g() g (ξ) und g (ξ) 0. Die Bedingung g (x) 0 für lle x ], b[ ist notwendig. Dzu betrchten wir f(x) = x 2, g(x) = x 3, = 1, b = 1. In der Tt existiert kein Punkt ξ ], b[, in dem f (ξ)/g (ξ) definiert ist, und für den der Mittelwertstz gültig wäre. Es folgt us dem Mittelwertstz f(b) f() ( sup f (ξ) ξ ],b[ ) b Die Gleichheit gilt hier genu dnn, wenn f (ξ) konstnt ist. Dieser Stz hilft oft, eine Funktion in einem Intervll bzuschätzen. 5.9 Stz: (Stz über monotone Funktionen) (1) Sei f : I R differenzierbr, I ein offenes Intervll. Genu dnn ist f (x) 0 für lle x I, wenn f in I monoton wchsend ist. Eine nloge Bedingung gilt für monoton fllende Funktionen. (2) Flls f (x) > 0 für lle x I ist, so ist f streng monoton wchsend uf I. Die Umkehrung ist flsch. Beweis: Dss f (x) 0 (bzw. f (x) > 0) für die Monotonie (bzw. die strenge Monotonie) hinreichend ist, folgt sofort us dem Mittelwertstz. Dss es uch notwendig ist, folgt us der Betrchtung des Differentilquotienten f (x) = lim t x, t x f(t) f(x). t x

80 80 KAPITEL 5. DIE ABLEITUNG Die Funktion x x 3 ist streng monoton wchsend. Die Ableitung in 0 ist ber gleich 0. Um lokle oder bsolute Extremlstellen einer Funktion f uf einem Intervll zu finden, knn mn die Monotonie-Intervlle der Funktion studieren. Dzu bestimmt mn die kritischen Punkte, lso die Lösungen von f (x) = 0. Wenn f stetig ist, dnn knn f in Intervllen ohne kritischen Punkt ds Vorzeichen nicht wechseln. Die Funktion ist lso in den Intervllen zwischen den kritischen Punkten und den Rändern streng monoton Beispiel: (1) Eine Prbel ist ein reelles Polynom vom Grd 2 p(x) = x 2 + bx + c mit 0. Die Prbel ht für > 0 ein bsolutes Minimum uf R in x 0 = b 2. Für > 0 ist sie uf ], x 0 ] streng monoton fllend, und uf [x 0, [ streng monoton steigend, wie mn n der Ableitung p (x) = 2x + b = 2(x x 0 ) sieht. Für < 0 ist x 0 ein Mximum, und die Monotonie ist genu umgekehrt. Für = 0 ist die Funktion eine Gerde. (2) Wir betrchten wieder f(x) = x 3 x und setzen ds obige Beispiel fort. D f nur zwei Nullstellen in R ht und stetig ist, muss es in den verbleibenden drei Intervllen ], 1/ 3[, ] 1/ 3, 1/ 3[, ]1/ 3, [ streng monoton sein. In diesen Intervllen wächst, fällt und wächst die Funktion bwechselnd, wie mn durch Einsetzen von Punkten herusfindet. Bechtet mn die Grenzwerte lim f(x) =, lim x f(x) =, x und die Funktionswerte in 1/ 3 und 1/ 3 so wissen dher, dss x 1 ein lokles Mximum, und x 2 ein lokles Minimum ist. Beide sind ber keine bsoluten Extremlstellen Stz: (Hinreichendes Kriterium für lokle Extremlpunkte) Sei f : I R differenzierbr, I ein offenes Intervll, sowie in x I zweiml differenzierbr. Es gelte f (x) = 0, f (x) < 0. Dnn ht f in x eine lokle Mximlstelle. Wenn sttt dessen f (x) > 0 gilt, so liegt eine lokle Minimlstelle vor. Beweis: Es gilt wegen f (x) = 0 0 > f f (t) f (x) f (t) (x) = lim = lim t x t x t x t x

81 5.3. DIE TANGENTE 81 Drus folgt, dss ein ɛ > 0 existiert, so dss f in ]x ɛ, x[ streng monoton wächst und in ]x, x + ɛ[ streng monoton fällt. Dieser Stz ist bei der Suche nch globlen Extrem nicht sehr hilfreich, und selbst für lokle Extrem ist der Vergleich der Funktionswerte meist einfcher. Ds Resultt ist eher theoretischer Ntur. Stttdessen sollte mn Monotonie-Intervlle und die Werte oder Grenzwerte in den Rndpunkten verwenden. Dieses Vorgehen ist Teil einer Kurvendiskussion. Es ist llerdings leicht einzusehen, dss f : I R, I ein offenes Intervll, in x eine globle Mximlstelle (bzw. Minimlstelle) ht, wenn f (x) < 0 (bzw. f (x) > 0) für lle x I gilt. Im obigen Stz fordern wir ds nur in dem einen Punkt x. Dies genügt ber schon für eine lokle Extremlstelle. Ein lokles Mximum (Minimum) einer differenzierbren Funktion f : R R ist ein bsolutes Mximum (Minimum), wenn f nur eine Nullstelle ht, ds heißt, wenn f nur einen kritischen Punkt ht. Denn sei x 0 der einzige kritische Punkt und ein lokles Mximum. Flls dnn so existiert x 0 < x 1, f(x 0 ) < f(x 1 ), x 0 < x 2 < x 1, f(x 2 ) f(x 0 ) < f(x 1 ), weil x 0 ein lokles Mximum ist. Flls f(x 2 ) < f(x 0 ) ist, so existiert x 0 < x 2 < x 3 < x 1, f(x 3 ) = f(x 0 ) nch dem Zwischenwertstz. Nch dem Stz von Rolle existiert x 0 < x 4 < x 2, f (x 4 ) = 0. Ds wr ber usgeschlossen. Flls f(x 2 ) = f(x 0 ) ist, so folgt derselbe Widerspruch. Der Fll x 1 < x 0 geht genuso. Anlog behndelt mn ein Minimum. 5.3 Die Tngente Definition: Sei f : I R in x I differenzierbr, I ein offenes Intervll Die Gerde T x (t) = f(x) + f (x)(t x) bezeichnet mn ls Tngente n f im Punkt x. Die Tngente ist ddurch chrkterisiert, dss sie die einzige Gerde ist, für die T x (x) = f(x), T x(x) = f (x) ist Beispiel: In Abbildung 5.1 ist die Funktion f(x) = x 2 drgestellt, sowie die Tngente in x = 0.1. Sie ht llgemein die Gleichung T x (t) = x 2 + 2x(t x).

82 82 KAPITEL 5. DIE ABLEITUNG Für x = 0.1 bedeutet dies T (t) = (t 0.1) = 0.02t 0.01 Die Seknte in zwei Punkten x 1, x 2 ht übrigens die Gleichung Mn knn die Ableitung uch ls definieren. S x1,x 2 (t) = f(x 1 ) + f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 (t x 1 ). f (x) = f(x + h) f(x) lim h 0, h 0 h 5.14 Stz: Sei f : I R, I ein offenes Intervll und U ɛ (x) = ]x ɛ, x + ɛ[ I. Dnn ist f in x genu dnn differenzierbr, wenn es eine für h < ɛ definierte Funktion R x (h) und ein m R gibt mit f(x + h) = f(x) + m h + R x (h), so dss gilt R x (h) lim = 0. h 0, h 0 h Mn bezeichnet dies ls Tngenten-Definition der Differenzierbrkeit. Im Flle der Existenz gilt m = f (x). Beweis: Die Gleichung ist für h 0 äquivlent zu f(x + h) f(x) m = R x(h) h h. Wenn f lso in x differenzierbr ist, so erfüllt ds uf diese Weise definierte R x die Bedingung, und umgekehrt. Flls f differenzierbr ist, so gilt lso f(t) T x (t) = R x (t x). Ds bedeutet, dss die Funktion f(t) T x (t) für t x schneller gegen 0 geht ls h = t x. Geometrisch bedeutet ds, dss sich die Funktionen f und T x in x tngieren (berühren). Für eine differenzierbre Funktion gibt es nur eine tngierende Gerde. Alle tngierenden Gerden müssen die Form g(t) = f(x) + f (x)(t x) hben. 5.4 Die Kettenregel Wir betrchten hier die Ableitung der Hintereinnderusführung zweier Funktionen.

83 5.4. DIE KETTENREGEL Stz: Seien f : I J g : J R in x bzw. f(x) differenzierbre Funktionen, wobei I und J offene Intervlle seien, x I. Dnn ist uch g f in x differenzierbr und es gilt d dx g(f(x)) = g (f(x)) f (x). Diese Formel wird uch ls Nchdifferenzieren oder Kettenregel bezeichnet. Beweis: Mn ht für t, x I, y x, im Fll von f(t) f(x) g(f(t)) g(f(x)) t x = g(f(t)) g(f(x)) f(t) f(x) f(t) f(x). t x Sei t n x eine Folge in I \{x}. Flls dnn f(t n ) f(x) für n N gilt, so folgt f(t n ) f(x) us der Stetigkeit von f und dher g(f(t n )) g(f(x)) lim = g (f(x)) f (x). (1) n t n x Andernflls folgt für eine Teilfolge (t nk ) k N dieser Folge f(t nk ) = f(x) für lle k und dher g(f(t nk )) g(f(x)) lim = 0. k t nk x Aber dnn gilt uch Mn ht lso wieder (1). f f(t nk ) f(x) (x) = lim = 0. k t nk x Beispiel: Ansttt p(x) = (x 2 +x+1) 2 uszumultiplizieren und dnn zu differenzieren, erhlten mit f(x) = x 2 + x + 1 und g(t) = t 2 p (x) = d dx g(f(x) = 2(x2 + x + 1)(2x + 1) Stz: Sei f : I R differenzierbr, I ein offenes Intervll, und f (x) > 0 für lle x I Dnn ist f streng monoton wchsend uf I und ht eine Umkehrfunktion f 1 : f(i) I,

84 84 KAPITEL 5. DIE ABLEITUNG die ebenflls differenzierbr ist. Für die Ableitung gilt f 1 (y) = 1 f (x) wobei f(x) = y sei. Der Stz gilt nlog im Fll f (x) < 0 für lle x I. Beweis: Wir wissen schon, dss f streng monoton wchsend und dher J = f(i) ein offenes Intervll ist. Wir wissen uch, dss es dher eine Umkehrfunktion f 1 wie im Stz verlngt gibt. Wir müssen noch zeigen, dss diese Umkehrfunktion differenzierbr ist. Sei y J, x = f 1 (y), und (s n ) n N eine Folge in J \ {y} mit s n y, und sei t n = f 1 (s n ). Dnn gilt f 1 (s n ) f 1 (y) t n x = s n y f(t n ) f(x) 1 f (x) Drus folgt die Behuptung Beispiel: Die Funktion g(x) = x ist die Umkehrung von f(x) = x 2 uf ]0, [. Also ist sie differenzierbr und es gilt wobei y = f(x) = x 2 ist. d 1 y = dy 2x = 1 2 y Die Kettenregel gilt uch mit einseitigen Ableitungen. Sei Dzu f : I J, g : J R wie im Stz über die Hintereinnderusführung, ber x ein Rndpunkt von I, und f in x einseitig differenzierbr. Dnn gilt der Stz ebenflls, wobei g f ntürlich uch nur einseitig in x differenzierbr ist. Anlog knn f(x) ein Rndpunkt von J sein, und g in J einseitig differenzierbr. Dnn gilt der Stz ebenflls. Wenn x im Innern von I liegt, so ist g f dnn in x differenzierbr Beispiel: Wir nehmen f : R [0, [, f(x) = x 2, g : [0, [ R, g(x) = x. Dnn ist g(f(x)) = x in x = 0 nicht differenzierbr. Der Grund ist, dss g im Rndpunkt 0 nicht differenzierbr ist. Die Differenzierbrkeit im Rnd ist lso offenbr notwendig, wenn g(i) uch Rndpunkt von J enthält.

85 5.5. EXPONENTIALFUNKTION UND LOGARITHMUS Exponentilfunktion und Logrithmus Diese beiden Funktionen sind zentrle Hilfsmittel in der Anlysis. Ziel dieses Abschnittes ist es, Exponenten der Form x für > 0 definieren zu können. Diese Exponenten sollen die Gleichung x+y = x y erfüllen, wie dies uch die Funktionen n, n Z, tun. Außerdem soll 0 = 1, 1 = 1 sein. Die Umkehrfunktion log ist dnn für 1 definiert und erfüllt utomtisch die entsprechende Gleichung log (xy) = log (x) + log (y), sowie log (1) = 0, log () = 1. Wir werden unser Ziel mit Hilfe der Exponentilfunktion und dessen Umkehrung, dem Logrithmus nturlis (ntürlichem Logrithmus) erreichen Stz: (1) Für die Exponentilfunktion us 3.42 gilt exp(0) = 1 und die Funktionlgleichung exp(x + y) = exp(x) exp(y) für lle x, y R Also insbesondere und exp(x) 0 exp( x) = 1 exp(x) für lle x R für lle x R. (2) Es gilt exp(x) > 0 für lle x R (3) Die Exponentilfunktion ist differenzierbr und exp (x) = exp(x) für lle x R (4) exp ist streng monoton wchsend. (5) Es gilt Also insbesondere sowie exp(x) 1 + x für lle x R. lim exp(x) =. x lim exp(x) = 0. x

86 86 KAPITEL 5. DIE ABLEITUNG Beweis: gezeigt. (1), (2) und (4) wurden bereits in 3.45 und der druf folgenden Bemerkung Zum Beweis von (3) bechten wir Eine einfche Abschätzung zeigt Drus folgt (3). exp(x + h) exp(x) h lim h 0 k=0 = exp(x) exp(h) 1 h h k = exp(x) (k + 1)! h k (k + 1)! = 1. (5) folgt mit Hilfe einer Kurvendiskussion von f(x) = exp(x) (1 + x). k=0 Abbildung 5.4: Esponentilfunktion und Logrithmus Definition: Die Umkehrfunktion von exp : R ]0, [ ist Sie heißt ntürlicher Logrithmus. ln : ]0, [ R.

87 5.5. EXPONENTIALFUNKTION UND LOGARITHMUS Stz: (1) ln(y) ist für y > 0 definiert, streng monoton wchsend, und es gilt (2) lim ln(y) =, y 0 ln (y) = 1 y lim ln(y) =. y für lle y > 0. (3) Es gilt die Funktionlgleichung ln(y 1 y 2 ) = ln(y 1 ) + ln(y 2 ) für lle y 1, y 2 > 0, insbesondere ln ( ) 1 = ln(y) für lle y R. y Beweis: (1) ist eine Folgerung us der Definition ls Umkehrfunktion von exp. (2) folgt us dem Stz über die Ableitung der Umkehrfunktion. Denn mit exp(x) = y. d dy ln(y) = 1 exp (x) = 1 exp(x) = 1 y (3) folgt us der Funktionlgleichung für exp. Jede uf R differenzierbr Funktion mit den Eigenschften f(0) = 1, f (x) = f(x) für lle x R (1) ist identisch mit der Exponentilfunktion. Zum Beweis betrchten wir Es folgt h(x) = f(x) exp(x). h (x) = f (x) exp(x) f(x) exp (x) exp(x) 2 = 0 für lle x R Aus dem Mittelwertstz folgt, dss h konstnt ist. Wegen h(0) = 1 folgt h(x) = exp(x) für lle x R. Wenn mn nun x für > 0 definieren will und dbei die üblichen Rechenregeln für ds Potenzieren erhlten will, insbesondere ( n ) m = nm, dnn muss gelten x = ( e ln()) x = e x ln().

88 88 KAPITEL 5. DIE ABLEITUNG Dies verwenden wir ls Definition und zeigen, dss dnn die üblichen Rechenregeln erfüllt werden. Die Umkehrfunktion von x wild Logrithmus zur Bsis gennnt, log (y) Definition: (1) Für > 0, x R definieren wir Insbesondere lso (2) Für > 0, 1, y > 0 definieren wir x = exp(x ln()). e x = exp(x) log (y) = ln(y) ln(). Abbildung 5.5: x für = 2 und = 1/ Stz: (1) Die Funktion x x ist für > 1 streng monoton wchsend, und für 0 < < 1 streng monoton fllend. Sie bildet in beiden Fällen R uf ]0, [ bijektiv b. Ihre Umkehrfunktion ist log. (2) Es gilt für > 0 für lle x, y R, sowie (3) Für > 0 und x, y R gilt x1+x2 = x1 x2 0 = 1, 1 =. x1x2 = ( x1 ) x2.

89 5.5. EXPONENTIALFUNKTION UND LOGARITHMUS 89 (4) Für > 0 gilt für lle x R d dx x = ln() x (5) Die Funktion y log (y) ist für > 1 streng monoton wchsend, und für < 1 streng monoton fllend. Sie bildet in beiden Fällen ]0, [ uf R bijektiv b. Ihre Umkehrfunktion ist x x. (6) Für > 0, 1, gilt log (y 1 y 2 ) = log (y 1 ) + log (y 2 ) für lle y 1, y 2 > 0 sowie log (1) = 0, log () = 1. (7) Für > 0, 1, y 1 > 0, y 2 R gilt log (y y2 1 ) = y 2 log (y 1 ). (8) Für > 0, 1 gilt d dy log 1 (y) = y ln() für lle y > 0. Beweis: Die meisten Beweise sind einfche Rechnungen oder folgen unmittelbr us den Definitionen oder schon bewiesenen Sätzen über die Exponentilfunktion und den Logrithmus. Um zum Beispiel zu beweisen, dss die Funktionen x x und die Funktion y log (y) für > 0, 1 Umkehrfunktionen zueinnder sind, rechnet mn log (y) = e ln(y) ln() ln() = y, log ( x ) = ln(x ) ln() = x ln() ln() = x. Zu (3): ( x1 ) x2 = ( e x1 ln()) x 2 = e x 2 ln(e x 1 ln())) = e x1x2 ln() = x1x2. Oder (6): e log (y1)+log (y2) = e log (y1)) e log (y2) = y 1 y 2. Nimmt mn den Logrithmus uf beiden Seiten, so folgt (6). log 1 mcht keinen Sinn, weil 1 x konstnt gleich 1 ist.

90 90 KAPITEL 5. DIE ABLEITUNG 5.25 Stz: Für lle R gilt ( lim 1 + x = e x x). Beweis: Mn ht ( ln 1 + ) x ( = x ln 1 + ) ln(1 + /x) ln(1) = x x /x Wegen ln (1) = 1 folgt Wegen der Stetigkeit von exp folgt lim (1 ln + ) x =. x x lim x ( 1 + x) x = e. Insbesondere gilt Also ( e = lim 1 + n) 1 n = exp(1). e x = exp(x ln(e)) = exp(x). Die Exponentilfunktion wird oft verwendet, um Wchstum zu modellieren. Flls ein Kpitl oder eine ndere Menge zur Zeit t 0 gleich C ist, so setzt mn K(t) = Ce λ(t t0). Ds Wchstum nch einer Zeiteinheit ist dnn K(t + 1) K(t) = e λ Ds entspricht einem Zinsstz in Prozent P gemäß 1 + P 100 = eλ. Stellt mn etw die Frge, wnn sich ein Kpitl bei einem Zinsstz P verdoppelt, so knn ht K(t + x) 2 = = e λx K(t) Also x = ln(2) λ. Mn knn nun Näherungsweise e λ = 1 + λ für kleine λ setzen, und dmit λ = P/100. Dmit erhält mn die Näherungsformel x 70 P.

91 5.6. DER SATZ VON DE L HOSPITAL Der Stz von de l Hospitl Dieser Stz erlubt die Berechnung von Grenzwerten von Brüchen, deren Zähler und Nenner gegen 0 oder gegen gehen durch Differenzieren Stz: (1) Seien f, g : ], b[ R differenzierbre Funktionen. Es gelte oder lim f(x) = lim g(x) = 0, x x lim f(x) = ±, x lim g(x) = ±. x Außerdem sei vorusgesetzt, dss g (x) 0 für lle x ], b[ ist. Dnn gilt f(x) lim x g(x) = lim f (x) x g (x), (1) sofern der Grenzwert uf der rechten Seite existiert. Ntürlich gilt derselbe Stz nlog für b und x b. (2) Der Stz gilt uch, wenn = oder b = ist. (3) Der Stz gilt uch, wenn der Grenzwert uneigentlich gleich ± ist. Beweis: Sei zunächst der Grenzwert von Zähler und Nenner gleich 0. Dnn können wir f und g stetig uf fortsetzen mit f() = g() = 0. Aus dem zweiten Mittelwertstz folgt für ein ξ x ], x[ f(x) g(x) = f(x) f() g(x) g() = f (ξ x ) g (ξ x ). Mit x folgt die Behuptung, d dnn uch ξ x gilt. Seien nun die Grenzwerte ±. Sei < y < x < b. Es gilt dnn für ein ξ x,y ]y, x[ f(y) g(y) 1 f(x)/f(y) 1 g(x)/g(y) = f(y) f(x) g(y) g(x) = f (ξ x,y ) g (ξ x,y ) Die rechte Seite geht mit x gegen einen Grenzwert η, unbhängig von der Whl von y. Mit y geht ber der zweite Fktor links gegen 1. Es folgt die Behuptung. (2) Dieser Fll knn durch f(x) = f(1/x) und g(x) = g(1/x) uf (1) zurück geführt werden. (3) Flls etw die rechte Seite in (1) gegen 0 geht, so geht der Kehrwert von oben gegen 0. Die Behuptung folgt uf diese Weise ebenflls. Mn chte stets genu druf, ob die Vorussetzungen des Stzes uch wirklich erfüllt sind. Sonst rechnet mn sehr leicht fehlerhft Beispiel: Mn berechnet ln(x) 1/x lim = lim x x x 1 = 0.

92 92 KAPITEL 5. DIE ABLEITUNG Den Stz von de l Hospitl knn mn deswegen nwenden, weil der Zähler und der Nenner den Grenzwert hben, und weil der Grenzwert des Quotienten der Ableitungen existiert. Es folgt ( ) lim n ln(n) n = lim exp = 1. n n n Mn zeigt durch eine Diskussion der Funktion ln(x)/x, dss die Folge n n b n = 3 streng monoton fällt. 5.7 Fixpunkte Der Mittelwertstz knn uch zum Beweis der Konvergenz einer rekursiv gegebenen Folge verwendet werden. Sei g : [, b] R stetig und in ], b[ differenzierbr, und x F ], b[ ein Fixpunkt von g, lso g(x F ) = x F Wir definieren eine Folge durch x 0 ], b[. Dnn gilt Wenn dnn zum Beispiel x n+1 = g(x n ) für lle n N 0 x n+1 x F = g(x n ) g(x F ) = g (ξ)(x n x F ). 0 g (ξ) < 1 für lle ξ ], b[ gilt, ist die Folge (x n ) n N streng monoton fllend im Flle von x 0 > x F und streng monoton wchsend im Flle von x 0 < x F. Außerdem ist sie in jedem Fll durch x F beschränkt. Sie konvergiert lso gegen ein x [, b]. Wegen x = lim n x n = lim n x n+1 = lim n g(x n) = g(x) ist der Grenzwert ebenflls Fixpunkt von g. Wegen x F x = g(x F ) g(x) = f (ξ) x F x < x F x folgt, dss die Folge gegen x F konvergiert. Flls 1 < g (ξ) 0 für lle ξ ], b[ ist, so knn mn ähnlich rgumentieren, wenn etw x F = (+b)/2 ist. In diesem Fll wechselt x n x F in jedem Schritt ds Vorzeichen Beispiel: Wir definieren x n+1 = 1 2 ( x n + 2 ) = g(x n ), x n

93 5.8. KONVEXE FUNKTIONEN 93 und x 0 = 2. x F = 2 ist ein Fixpunkt von g. Es gilt für x ] 2, 2[ 0 < g (x) = 1 (1 2x ) 2 2 < 1 2. Drus folgt gemäß der obigen Überlegung lim x n = 2. n Mn erhält uch x n n x 0 2. In der Tt konvergiert diese Folge jedoch wegen g ( 2) = 0 noch wesentlich schneller. Wenn mit den obigen Bezeichnungen g (x F ) > 1 für eine stetig differenzierbre Funktion g gilt, so knn die rekursive Folge nur konvergieren, wenn zufällig x n = x F für ein n N wird. Jede stetige Funktion g : [, b] [, b] ht einen Fixpunkt. Dies ist eine einfch zu beweisende Version des Browerschen Fixpunktstz in einer Dimension. Mn wendet den Zwischenwertstz uf h(x) = g(x) x n. Wir zeigen später, dss eine Funktion f : A A uf einer bgeschlossenen Menge A R, für die es ein γ < 1 gibt mit f(x 1 ) f(x 2 ) < γ x 1 x 2 für lle x 1, x 2 A einen eindeutigen Fixpunkt in A ht (Bnchscher Fixpunktstz). Solche Funktionen heißen kontrhierend. 5.8 Konvexe Funktionen Die Entscheidung, ob eine Funktion konvex oder konkv ist, beschreibt nicht nur die Form einer Funktion, sondern sie erlubt uch überrschende Abschätzungen der Funktion Definition: Sei I ein Intervll in R. Eine Funktion f : I R heißt konvex in I, wenn gilt f(λx 1 + µx 2 ) λf(x 1 ) + µf(x 2 ) für lle x 1, x 2 I und λ, µ R mit λ, µ 0, λ + µ = 1. Im Fll spricht mn von einer konkven Funktion. Wenn f links von einem Punkt x konvex, und rechts von einem Punkt konkv ist oder umgekehrt, so nennt mn x einen Wendepunkt von x. Die Gerde s x1,x 2 (x) = f(x 1 ) + (x x 1 ) f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 ist die Seknte durch f in x 1 und x 2. Die Ttsche, dss f konvex ist, besgt nun wenn dies für lle x 1, x 2 I gilt. s x1,x 2 (x) f(x) für lle x [x 1, x 2 ],

94 94 KAPITEL 5. DIE ABLEITUNG Abbildung 5.6: Konvexe Funktion 5.30 Stz: Sei I ein Intervll und f : I R zweiml differenzierbr im Innern, m Rnd stetig. Dnn gilt f (ξ) 0 für lle ξ im Innern von I genu dnn, wenn f konvex in I ist. Anlog ist f genu dnn konkv, wenn hier gilt. Beweis: Sei x 1, x 2 I, sowie x I ein weiterer Punkt, x 1 < x < x 2. Dnn betrchtet mn die Hilfsfunktion h(t) = (f(t) s x1,x 2 (t))(x x 1 )(x x 2 ) (f(x) s x1,x 2 (x))(t x 1 )(t x 2 ), wobei s x1,x 2 die Seknte durch f in x 1 und x 2 ist. Es gilt h(x 1 ) = h(x 2 ) = h(x) = 0. Nch dem Stz von Rolle, zweiml ngewendet, gibt es ein ξ ]x 1, x 2 [ mit h (ξ) = 0. Es gilt wegen s x 1,x 2 = 0 Also h (t) = f (t)(x x 1 )(x x 2 ) 2(f(x) s x1,x 2 (x)). f(x) s x1,x 2 (x) = f (ξ) (x x 1 )(x x 2 ), 2 Wenn lso f (ξ) > 0 für lle ξ, so ist f konvex. Sei umgekehrt f konvex, und 0 < f f (ξ) f (x 1 ) (ξ) = lim = lim x1 ξ ξ x 1 x2 ξ f (x 2 ) f (ξ). x 2 ξ

95 5.8. KONVEXE FUNKTIONEN 95 für ein ξ im Innern von I. Dnn gibt es x 1 < ξ < x 2 im Innern von I mit f (x 1 ) > f (ξ) > f (x 2 ). (1) Wir betrchten h(t) = s x1,x 2 (t) f(t). für t [x 1, x 2 ]. Weil f konvex ist, gilt h(t) 0 für lle t [x 1, x 2 ]. Es gilt offenbr uch h(x 1 ) = h(x 2 ) = 0. Also h (x 1 ) 0, h (x 2 ) 0. Nun ist Also wegen (1) Dies ist ein Widerspruch. h (t) = f(x 1) f(x 2 ) x 1 x 2 f (t). h (x 1 ) < h (ξ) < h (x 2 ) Beispiel: Die Wurzelfunktion ist konkv uf ]0, [. Also 1 + λh 1 + λ( 1 + h 1) für lle λ [0, 1] und 1 + h ]0, [. Denn die Seknte in 1 und 1 + h lutet t 1 g(t) = 1 + (t 1) t 1. Einsetzen von t = 1 + λh ergibt die obige Gleichung. Wenn f > 0 im Intervll ist, so gilt nch demselben Beweis f(λx + µy) < λf(x) + µf(y) für lle λ, µ > 0 mit λ + µ = 1, lso f < g in ]x, y[. Solche Funktionen heißen (strikt konvex. Strikt konvexe Funktionen können Stellen hben, in denen die zweite Ableitung gleich 0 wird. Für die Tngente T x (z) n f im Punkt x beweist mn nlog f(t) T (t) = f (ξ) (t x) 2, 2 Aus f 0 in I folgt lso f T. Eine konvexe Funktion liegt lso unterhlb ihrer Tngenten. Entsprechend liegt eine konkve Funktion oberhlb jeder Tngenten.

96 96 KAPITEL 5. DIE ABLEITUNG

97 Kpitel 6 Integrlrechnung In diesem Kpitel behndeln wir ds Riemnn-Integrl in einer Vriblen. Schon us der Schule ist beknnt, dss ds Integrl mit Hilfe der Umkehrung der Ableitung berechnet werden knn. Wir werden diesen Stz und diverse, drus folgende Rechenregeln für Integrle hier herleiten. 6.1 Ds Riemnn-Integrl Die Idee des Riemnn-Integrls ist es, die Fläche unter dem Grphen einer positiven Funktion durch Treppenfunktionen von oben und von unten nzunähern. Abbildung 6.1: Treppenfunktion 6.1. Definition: (1) Sei [, b] ein Intervll. Eine Funktion T : [, b] R heißt Treppenfunktion uf [, b], wenn es eine Unterteilung = x 0 < x 1 <... < x n = b 97

98 98 KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG des Intervlls gibt, so dss T uf ]x k 1, x k [ für lle k = 1,..., n konstnt ist. Wir definieren b T (t) dt := i=1 n T (ξ k )(x k x k 1 ) mit irgendwelchen Punkten ξ k ]x k, x k 1 [ für lle k = 1,..., n. Mn nennt die Feinheit der Unterteilung. δ = mx 1 k n (x k x k 1 ) (2) Für eine beschränkte Funktion f : [, b] R und eine Treppenfunktion T uf [, b] mit T f heißt T eine Untersumme von f. Ds Unterintegrl von f ist ds Supremum ller Untersummen. Also b f(t) dt := sup{ b Anlog definieren wir ds Oberintegrl b f(t) dt := inf{ b T (t) dt : T f ist Treppenfunktion}. T (t) dt : T f ist Treppenfunktion}. (3) Eine beschränkte Funktion f : [, b] R heißt Riemnn-integrierbr, wenn ihr Oberintegrl gleich dem Unterintegrl ist. In diesem Fll setzen wir b f(t) dt := b f(t) dt = b f(t) dt. Wir müssen uns uf beschränkte Funktionen zurück ziehen, weil sonst kein Ober- oder kein Unterintegrl existieren würde. Ds Integrl einer Treppenfunktion hängt nicht von der Unterteilung b, mit der es definiert ist. Mn überlegt sich dzu, dss eine feinere Unterteilung derselben Treppenfunktion ds gleiche Integrl ht. Seien etw x k 1 = x u < x u+1 <... < x v = x k die Unterteilungspunkte der feineren Unterteilung, die in [x k 1, x k ] liegen. Dnn gilt für η j ] x j 1, x j [ v j=u+1 T (η j )( x j x j 1 ) = T (ξ k ) v j=u+1 ( x j x j 1 ) = T (ξ k )(x k x k 1 ), Weil T uf [x k 1, x k ] konstnt ist. Ds gesmte Integrl von T uf [, b] bleibt dher ebenflls gleich. D es zu je zwei Unterteilungen einer gemeinsme, feinere Unterteilung gibt, folgt die Behuptung.

99 6.1. DAS RIEMANN-INTEGRAL 99 Es gibt eine ndere Art, ds Treppenfunktionen und deren Integrl zu definieren. Dzu definieren wir die chrkteristische Funktion einer Menge M R ls { 1, x M, χ M (x) = 0, x / M. Treppenfunktionen sind dnn im Wesentlichen (bis uf endlich viele Punkte) Summen mit der Drstellung m T (x) = α k χ [k,b k [ mit α k R und reellen, hlboffenen Intervllen [ k, b k [. Für diese Treppenfunktion definieren wir b m T (t) dt = α k (b k k ), wobei [, b] ein Intervll sei, dss lle Intervlle enthält. Auch hier muss mn nchweisen, dss ds Integrl nicht von der Drstellung der Treppenfunktion ls Summe bhängt. Ds Argument dzu ist dsselbe wie ds Argument, ds wir oben verwendet hben. Es gilt für jede beschränkte Funktion f : [, b] R b f(t) dt b f(t) dt. Um ds zu zeigen, muss mn die Monotonie des Integrls für Treppenfunktionen zeigen, lso b T 1 (t) dt b T 2 (t) dt für Treppenfunktionen T 1 T 2. Dzu wählt mn wieder eine gemeinsme, feinere Unterteilung. Dmit ist die Behuptung offensichtlich. Zum Beweis der Riemnn-Integrierbrkeit genügt es dher, für jedes ɛ > 0 eine Untersumme U und eine Obersumme O zu finden, so dss O U < ɛ. Ntürlich genügt dmit uch eine Folge von Untersummen U n und eine Folge von Obersummen O n von f mit lim O n U n = 0. n 6.2. Beispiel: (1) Jede Treppenfunktion ist Riemnn-integrierbr, insbesondere die konstnte Funktion f = c, und es gilt b c dt = c(b ). (2) Die Funktion f(x) = x ist uf [, b] Riemnn-integrierbr. Dzu konstruiert mn Untersummen und Obersummen mit gleichem Punktbstnd h n = (b )/n (äquidistnte Unterteilung). = x 0 < x 1 = + h n <... < x n = b = + nh n

100 100 KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG Sei U n eine mximle Untersumme mit dieser Unterteilung, so gilt U n = h n ( + ( + h n ) ( + (n 1)h n )) = h n n h2 n(n 1)n (b ) (b )2 = b , wobei die Konvergenz für n gemeint ist. Die minimle Obersumme O n, die ebenso konvergiert wird, konvergiert gegen denselben Wert. Sie unterscheidet sich nur um O n U n = nh 2 n = (b ) 2 /n 0. Ds ds Unterintegrl ds Supremum der Untersummen, und ds Oberintegrl ds Infimum der Obersummen ist, müssen beide gleich sind. Die Funktion ist lso Riemnn-Integrierbr und b t dt = b Abbildung 6.2: Unter- und Obersumme für monotone Funktion 6.3 Stz: Jede monotone, beschränkte Funktion f : [, b] R ist Riemnn-integrierbr. Beweis: Sei f monoton wchsend. Wir wählen wie im obigen Beispiel eine äquidistnte Unterteilung und die mximle Untersumme n 1 U n = f( + kh n ) h n k=0

101 6.1. DAS RIEMANN-INTEGRAL 101 sowie die minimle Obersumme O n = (h n = (b )/n). Dnn gilt n f( + kh n ) h n. O n U n = (f(b) f()) h n 0 mit n. Wählt mn für f : [, b] R eine Unterteilung und Punkte ξ k [x k 1, x k ], so heißt = x 0 <... < x n = b. S = n f(ξ k )(x k x k 1 ) eine Riemnnsche Zwischensumme der Feinheit h = mx 1 k n (x k x k 1 ). Es gilt ntürlich mit n n C k (x k x k 1 ) S D k (x k x k 1 ) C k = inf f([x k 1, x k ]), D k = sup f([x k 1, x k ]) und mn knn durch Whl der ξ k Riemnnsche Zwischensummen konstruieren, die beiden Summen beliebig nhe kommen. Abbildung 6.3: Riemnnsche Zwischensumme für f(x) = 1 x 2 uf [ 1, 1]

102 102 KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG 6.4 Stz: (Riemnnsche Zwischensummen) Eine Funktion f : [, b] R ist genu dnn Riemnn-integrierbr, wenn jede Folge von Riemnnschen Zwischensummen, deren Feinheiten gegen 0 konvergiert, gegen denselben Wert konvergiert. In diesem Fll ist der Wert ntürlich ds Riemnn-Integrl von f uf [, b]. Beweis: Sei f Riemnn-integrierbr, lso insbesondere beschränkt, etw C f C. Dnn existieren zu ɛ > 0 Treppenfunktionen T 1 f T 2 mit b (T 2 (t) T 1 (t)) dt < ɛ. Sei m die mximle Anzhl der Intervlle in den beiden Unterteilungen. Sei n S n = f(ξ k )( x k x k 1 ) weiter eine Riemnnsche Zwischensumme uf einer Unterteilung mit Feinheit h n und n Intervllen. Alle, bis uf mximl m der Intervlle ]x k 1, x k [ sind dnn Teilmengen der Unterteilungen von T 1 bzw. T 2. Dher gilt T 1 (ξ k ) f(ξ k ) T 2 (ξ k ) für lle bis uf mximl m der Indizes k. Es folgt b T 1 (t) dt 2Cmh n S n b T 2 (t) dt + 2Cmh n. Für eine Folge von solchen Riemnnschen Zwischensummen mit h n 0 gibt es dher ein N N mit für n > N. S n b f(t) dt < 2ɛ Es gelte umgekehrt die Konvergenz der Riemnnschen Zwischensummen gegen einen festen Wert η. Dnn muss f beschränkt sein, weil sonst die Zwischensummen beliebig groß oder klein gewählt werden könnten. Sei ɛ > 0. Sei S n eine Folge Riemnnscher Zwischensummen mit Feinheiten, die gegen 0 konvergieren. Es ist dnn zu gegebenem ɛ > 0 möglich, eine Folge von Riemnnschen Zwischensummen U n uf derselben Unterteilung zu konstruieren, so dss U n ɛ b f(t) dt gilt. Dzu wählt mn die Zwischenpunkt jeweils nhe genug m Infimum der Funktion uf den Teilintervllen und vergleicht mit einer Treppenfunktion, die jeweils gleich dem Infimum ist. Es folgt us der Vorussetzung η ɛ b f(t) dt.

103 6.1. DAS RIEMANN-INTEGRAL 103 Anlog zeigt mn η + ɛ b f(t) dt. Es folgt, dss f Riemnn-Integrierbr ist, und η ds Riemnn-Integrl von f uf [, b]. 6.5 Stz: (1) Ds Integrl ist mit + und vertuschbr. D.h., wenn f, g : [, b] R Riemnn-integrierbr sind, so sind es uch f ± g und b (f(t) ± g(t)) dt = b Ds heißt, Integrl und Summe sind vertuschbr. f(t) dt ± b g(t) dt. (2) Eine Konstnte knn us dem Integrl herusgezogen werden. D.h., wenn f : [, b] R Riemnn-integrierbr ist, so ist es uch λf für jedes λ R und es gilt b λf(t) dt = λ b f(t) dt. Dies wird, zusmmen mit Punkt (1), ls Linerität des Integrls bezeichnet. (3) Wenn f, g : [, b] R Riemnn-integrierbr sind und gilt ( f g ), so gilt f(t) g(t) für lle t [, b] b f(t) dt b Dies wird ls Monotonie des Integrls bezeichnet. g(t) dt. Beweis: Alle diese Aussgen folgen sofort mit Hilfe von Riemnnschen Zwischensummen. Die Eigenschften dieses Stzes zusmmen mit der Normierung b 1 dt = b legen ds Integrl eindeutig fest. Es sind diese Eigenschften, die mn später uf eine möglichst große Klsse von Funktionen erweitern will. Wenn möglich, möchte mn dbei noch zusätzlich die Vertuschung von Integrl und Summe für unendliche Summen erreichen (σ-additivität) Definition: Wir setzen für b < wenn dieses Integrl existiert. b f(t) dt = b f(t) dt,

104 104 KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG 6.7 Stz: Sei f : I R, I ein Intervll. Dnn gilt für lle, b, c I, für die die Integrle existieren, b f(t) dt + c f(t) dt = c b f(t) dt. Wenn die Integrle links existieren, so existiert uch ds Integrl rechts und umgekehrt. Beweis: Es genügt, den Fll < b < c zu betrchten, d mn die nderen Fälle durch Sortieren der Grenzen druf zurückführen knn. f ist uf I genu dnn beschränkt, wenn es uf [, b] und [b, c] beschränkt ist. Sei f uf [, c] integrierbr. Dnn existieren zu ɛ > 0 Treppenfunktionen mit T 1 f T 2 und c (T 2 (t) T 1 (t)) dt < ɛ. Diese Treppenfunktion bilden, eingeschränkt uf [, b] und [b, c] uch Unter- und Obersummen von f uf diesen Intervllen. Wegen T 2 T 1 0 gilt uch b (T 2 (t) T 1 (t)) dt < ɛ, c b (T 2 (t) T 1 (t)) dt < ɛ. Aus diesem Grund ist f uch uf [, b] und [b, c] integrierbr. Umgekehrt knn mn us Ober- und Untersummen uf beiden Teil-Intervllen eine Oberund Untersumme uf [, c] konstruieren, und dmit zeigen, dss ds Integrl uf [, b] existiert, wenn ds Integrl uf den Teil-Intervllen existiert. Für Treppenfunktionen ist die Identität sofort klr. Wir nehmen dzu eine feinere Unterteilung, die den Punkt b enthält. Aufgrund der Definition folgt die Identität nun uch für beliebige Riemnn-integrierbre Funktionen f. Es gilt lso unter den entsprechenden Vorussetzungen b f(t) dt + c b f(t) dt + c f(t) dt = f(t) dt = Der Huptstz Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung besgt, dss die Integrlrechnung die Umkehrung der Differentilrechung ist. Er gilt für stetige Funktionen. Wir werden zunächst nchweisen, dss lle stetigen Funktionen integrierbr sind Definition: Sei M R. Eine Funktion f : M R heißt gleichmäßig stetig uf M, wenn es zu jedem ɛ > 0 ein δ > 0 gibt, so dss gilt x y < δ f(x) f(y) < ɛ

105 6.2. DER HAUPTSATZ 105 für lle x, y M. Dies ist fst wie die Definition von Stetigkeit in x. Nur hängt dort δ von x und ɛ b. Hier soll es nur von ɛ bhängen Beispiel: (1) Die Funktion f(x) = 1/x, definiert uf ]0, 1[ ist uf diesem Intervll nicht gleichmäßig stetig. (2) Für differenzierbre Funktionen f : [, b] R knn mn δ in Abhängigkeit von ɛ berechnen. Denn es gilt f(x) f(y) = f (ξ) x y x y sup f (ξ). ξ ],b[ 6.10 Stz: Jede stetige Funktion f : [, b] R ist gleichmäßig stetig. Beweis: Angenommen nicht. Dnn gibt es zu einem ɛ > 0 kein solches δ, lso Folgen x n, y n in [, b] mit x n y n < 1 n, f(x n) f(y n ) ɛ. (1) Wenn x [, b] ein Häufungspunkt von x n Stetigkeit von f in x. ist, so entsteht sofort ein Widerspruch zur Sei nämlich (x kn ) n N eine Teilfolge, die gegen x konvergiere. Dnn konvergiert wegen (1) uch (y kn ) n N gegen x. Also, wegen der Stetigkeit von f, uch Dies ist ein Widerspruch zu (1). lim n f(x k n ) = lim n f(y k n ) = f(x) Stz: (Huptstz der Differentil und Integrlrechnung) (1) Jede stetige Funktion f : [, b] R ist Riemnn-integrierbr. (2) Sei f : [, b] R stetig und F (x) = x f(t) dt. Dnn ist F : [, b] R nch x differenzierbr (n den Rändern einseitig) und es gilt Mn nennt F eine Stmmfunktion von f. F (x) = f(x). (3) Je zwei Stmmfunktionen einer stetige Funktion f : ], b[ R unterscheiden sich nur durch eine Konstnte, F 1 = F 2 + c.

106 106 KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG (4) Seien f, F : [, b] R stetig, und F (x) = f(x) für lle x ], b[. Dnn gilt b f(t) dt = F (b) F (). Beweis: (1) Dies folgt us der gleichmäßigen Stetigkeit. Sei dzu ɛ > 0. Wir wählen δ > 0 gemäß der gleichmäßigen Stetigkeit, sowie n N mit b n < δ. Nun definieren wir Treppenfunktionen T 1 f T 2 uf der Unterteilung indem wir x 0 = < x 1 = + h <... < x n = + nh = b T 1 (x) = für lle x [x k 1, x k ] setzen. Dnn folgt min f(t), T 2(x) = mx f(t) t [x k 1,x k ] t [x k 1,x k ] b Es folgt die Riemnn-Integrierbrkeit von f. (2) Sei x [, b[. Es gilt (T 2 (t) T 1 (t)) dt < ɛ (b ). min f[x, x + h] f(t) mx f[x, x + h] für lle t [x, x + h]. Links und rechts stehen konstnte Funktionen uf [x, x + h]. Drus folgt ufgrund der Monotonie des Integrls h min f[x, x + h] Wegen der Stetigkeit von f in x folgt = x+h x x+h f(t) dt f(t) dt = F (x + h) F (x) x h mx f[x, x + h]. F (x + h) F (x) lim = f(x). h 0,h>0 h f(t) dt Es folgt die Behuptung für die rechtsseitige Ableitung. Anlog beweist mn die linksseitige Ableitung. Drus folgt die Differenzierbrkeit von F in x ], b[. (3) Es folgt sofort us dem Mittelwertstz, dss eine differenzierbre Funktion, deren Ableitung uf ], b[ überll gleich 0 ist, uf [, b] konstnt sein muss. Dher muss die Differenz zweier Stmmfunktionen konstnt sein.

107 6.3. PARTIELLE INTEGRATION UND SUBSTITUTION 107 (4) Die in (2) definierte Funktion F ist Stmmfunktion von f und stetig in [, b]. Es gilt per Definition F () = 0, F (b) = b f(t) dt. Also gilt die verlngte Gleichung für diese Stmmfunktion. Alle nderen Stmmfunktionen, die in [, b] stetig sind, unterscheiden sich nur durch eine Konstnte. Für sie folgt der Stz ebenflls. Mn schreibt F (b) F () = [F (x)] x=b x=. Außerdem schreibt mn, etws slopp, F (x) := f(x) dx + c für lle Stmmfunktionen von f. Ds Integrl ohne die Grenzen beschreibt lso eine beliebige Stmmfunktion von f und wird unbestimmtes Integrl gennnt Beispiel: (1) Wir erhlten x n dx = 1 n + 1 xn+1 + c für lle n N 0 und dmit für Polynome ( x n x n ) dx = C + 0 x + 1 x 2 x n n n + 1. (2) Für die Funktionen x n, n Z, erhlten wir ds Integrl bis uf den Fll n = 1 wie oben. Für n = 1 müssen wir x 0 vorussetzen. Also x n+1 + c, n 1, x n dx = n + 1 ln x + c, n = 1, x 0. Mn bechte für x < 0 d d ln x = dx dx ln( x) = 1 x = 1 x = x Prtielle Integrtion und Substitution 6.13 Stz: Seien f, g : [, b] R stetige Funktionen, die in ], b[ differenzierbr seien, und deren Ableitungen stetig uf [, b] fortgesetzt werden können. Dnn gilt b b f (t)g(t) dt = [f(x)g(x)] x=b x= f(t)g (t) dt.

108 108 KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG Mn bezeichnet diese Art zu rechnen ls prtielle Integrtion, d mn j nur die Stmmfunktion des einen Fktors f ermitteln muss. Wir können dies ls unbestimmtes Integrl in der Form f (x)g(x) dt = f(x)g(x) f(x)g (x) dx schreiben. Beweis: Der Stz folgt sofort us dem Huptstz und der Produktregel Beispiel: (1) Es gilt xe x dx = xe x e x dx = (x 1)e x + c. Dzu hben wir e x integriert, und x differenziert. In der Tt ist (x 1)e x eine Stmmfunktion von xe x. (2) Es gilt ln(x) dx = x ln(x) 1 dx = x (ln(x) 1) + c. Dzu hben wir die Konstnte 1 integriert, und ln(x) differenziert Stz: Sei f : [, b] R stetig. Sei ußerdem g : [c, d] [, b] eine stetige, in ]c, d[ differenzierbre Funktion, deren Ableitung uf [c, d] stetig fortsetzbr sei. Dnn gilt g(d) g(c) f(t) dt = d c f(g(s))g (s) ds. Dies bezeichnet mn ls Substitution, d prktisch t = g(s) substituiert wird. Beweis: Wenn F gemäß dem Huptstz eine Stmmfunktion von f ist, so ist ufgrund der Kettenregel und der (eventuell einseitigen) Differenzierbrkeit von F in llen Punkten g(s), s ]c, d[ d ds F (g(s)) = f(g(s))g (s) für lle s ]c, d[. Die Stmmfunktion F (g(s)) ist nun ber stetig uf [c, d] fortsetzbr. Aus dem Huptstz folgt g(d) g(c) f(t) dt = [F (t)] t=g(d) t=g(c) = [F (g(s))]s=d d s=c = f(g(s))g (s) ds. Mn bechte, dss sich die Grenzen bei der Substitution ändern. Als Merkregel knn mn die Substitution t = g(s) so durchführen, dss mn ersetzt t g(s), dt d g(s) ds, s = d t = g(d), s = c t = g(c). ds c

109 6.4. UNEIGENTLICHE INTEGRALE 109 Mit unbestimmten Integrlen geschrieben, lutet der Stz f(t) dt = f(g(s))g (s) ds + c, wobei t = g(s) nch dem Integrieren zu substituieren ist, und wieder ls Merkregel geändert wird. Dies knn mn uch ls dt d g(s) ds ds dt = dt ds ds usdrücken, wobei wir llerdings dfür in dieser Vorlesung keine präzise mthemtische Grundlegung hben. Bei der Substitution muss mn genu ufpssen, dss f in llen Punkten g(s) definiert ist. Sonst ist ds Ergebnis flsch Beispiel: (1) Meist wendet mn die Substitution von rechts nch links n. Mit g(s) = s = t gilt beispielsweise 1 Als unbestimmtes Integrl s s2 + 1 ds = 0 s 2 s2 + 1 ds = 1 [ ] t=2 2 t dt = t = 2 1. t= t dt = t + c = s c. Mn bechte die Rück-Substitution t = s 2 + 1, sowie die Merkregel dt/ds = 2s. (2) Mit stetigem f : R R und g(s) = s + d folgt b f(t) dt = b d d f(s + d) ds Bei dieser Formel knn mn eigentlich uf Stetigkeit verzichten. Sie folgt lediglich durch Betrchtung von Riemnnschen Zwischensummen. 6.4 Uneigentliche Integrle Ds Riemnn-Integrl ist in der bisherigen Form n beschränkte Funktionen uf beschränkten, bgeschlossenen Intervllen gebunden. Um mehr dmit nfngen zu können, erweitern wir es nun Definition: (1) Sei f : ], b] R uf jedem bgeschlossenen Teilintervll Riemnnintegrierbr. Dnn definieren wir b b f(t) dt := lim f(t) dt, ɛ 0 +ɛ

110 110 KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG sofern dieser Grenzwert existiert. Anlog für Intervlle [, b[. (2) Sei f : [, [ R uf jedem bgeschlossenen Teilintervll Riemnn-integrierbr. Dnn definieren wir f(t) dt := lim c c sofern dieser Grenzwert existiert. Anlog für ], b]. f(t) dt, Diese Integrle werden ls uneigentliche Integrle bezeichnet Beispiel: (1) 1 [ ] x=c 1 1 dx = lim = 1. x2 c x x=1 (2) 1 0 [ ] x=1 1 1 dx = lim =. x2 ɛ 0 x x=ɛ Dieses Integrl existiert lso nur im Sinne der uneigentlichen Grenzwerte. Auf beidseitigen offenen Intervllen muss mn die Grenzwerte uf jeder Seite einzeln nehmen. Also f(t) dt = lim lim b b f(t) dt. Nimmt mn sttt dessen lim f(t) dt, so erhält mn den Huptwert des Integrls. Es knn sein, dss der Huptwert existiert, die einzelnen Grenzwerte jedoch nicht. Wenn jedoch ds uneigentliche Integrl existiert, so ist es gleich dem Huptwert. Ist die Funktion positiv, so knn mn zeigen, dss us der Existenz des Huptwertes die Existenz des uneigentlichen Integrls folgt. Flls ds beidseitig uneigentliche Integrl existiert, so gilt f(t) dt = f(t) dt + f(t) dt unbhängig von der Whl von R. Anloges gilt für ds uneigentliche Integrl uf offenen Intervllen. Außerdem gilt f(t) dt = lim lim b b f(t) dt.

111 6.5. ALLGEMEINE FUNKTIONEN Stz: Sei f : [1, [ R eine monoton fllende stetige, positive Funktion. Dnn konvergiert die Reihe f(k) genu dnn, wenn ist. 1 f(t) dt < Beweis: In der Tt ist n 1 f(k) n 1 f(t) dt, Denn uf der linken Seite steht einer Untersumme des Integrls. Ebenso n f(k) n k=2 1 f(t) dt. Aus diesen beiden Abschätzungen folgt die Behuptung Beispiel: (1) Es gilt Dher divergiert die Reihe 1 1 dx =. x 1 k. (1) Es gilt Dher konvergiert die Reihe 2 [ ] x= 1 1 x log(x) 2 dx = = 1 log x x=2 log 2 <. 1 k log(k) Allgemeine Funktionen Für llgemeine, nicht unbedingt stetige Funktionen knn mn einige Existenzussgen mchen. Meist ist die Funktion llerdings stückweise stetig, so dss mn ds Integrl us den Stücken berechnen knn.

112 112 KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG 6.21 Stz: Sei f : [, b] R Riemnn-integrierbr. Dnn sind uch die Funktionen f + = mx{f, 0}, f = min{f, 0}, f, f 2 Riemnn-integrierbr. Flls g : [, b] R ebenflls Riemnn-integrierbr ist, so sind uch die Funktionen f g, mx{f, g}, min{f, g} Riemnn-integrierbr. Es gilt b f(t) dt b f(t) dt. Beweis: Die Aussge für f + folgt us der Betrchtung von Unter- und Obersummen. Bildet mn die entsprechenden positiven Anteile von Treppenfunktionen T 1 f T 2, so wird die Differenz der Integrle kleiner. Es gilt f = f + f, f = f + + f. Die Aussge für f 2 folgt us T 2 2 T 2 1 = (T 2 T 1 )(T 2 + T 1 ). Für eine positive Riemnn-Integrierbre Funktion verwendet mn dnn Treppenfunktionen 0 T 1 f T 2. Es gilt ber llgemein f 2 = f f 2. Es gilt uch fg = 1 2 ((f + g)2 f 2 g 2 ), sowie mx{f, g} = 1 (f + g + f g ), 2 min{f, g} = 1 (f + g f g ). 2 Die letzte Aussge folgt mit der Dreiecksungleichung us f = f + + f, f = f + f Stz: Sei f : [, b] R stetig, und g : [, b] R Riemnn-integrierbr mit g 0. Dnn existiert ein ξ [, b] mit f(ξ) Speziell existiert ein ξ ], b[ mit b g(t) dt = f(ξ) (b ) = b b f(t)g(t) dt. f(t) dt. Dieser Stz heißt Mittelwertstz der Integrlrechnung.

113 6.5. ALLGEMEINE FUNKTIONEN 113 Beweis: Mn ht wegen g 0 und der Monotonie des Integrls ( ) b min f(x) g(t) dt x [,b] b ( ) b f(t)g(t) dt mx f(x) g(t) dt. x [,b] Im Fll gilt wegen der Beschränktheit von f b g(t) dt = 0 b f(t)g(t) dt b Mn knn lso ξ ], b[ beliebig wählen. f(t)g(t) dt c b g(t) dt = 0. Andernflls folgt die Aussge us dem Zwischenwertstz für f wegen min f(x) 1 x [,b] b g(t) dt b f(t)g(t) dt mx f(x). (1) x [,b] Der Wert in der Mitte wird lso ls f(ξ) für ein ξ [, b] ngenommen. In der Tt knn mn ξ ], b[ wählen. Im Fll b g = 0 ist ds klr. Wenn in der ersten Ungleichung in (1) eine Gleichheit gilt, so gilt b ( ) f(t) min f(x) g(t) dt = 0. x [,b] Wegen b g > 0 gibt es ber eine Treppenfunktion 0 T g mit b T > 0. Es folgt, dss es c < d b gibt mit f(t) = min x [,b] f(x) für lle t ]c, d[, und ξ knn dnn irgendwo im Intervll ]c, d[ gewählt werden. Mn ht dnn f(ξ) = min f(x) = 1 b x [,b] b g(t) dt f(t)g(t) dt. Dsselbe gilt, wenn die zweite Ungleichung eine Gleichheit ist. Wenn ber beide Ungleichungen keine Gleichheiten sind, so knn mn sicher ξ ]x 1, x 2 [ wählen, wobei x 1 und x 2 die Extremlstellen von f sind.

114 114 KAPITEL 6. INTEGRALRECHNUNG

115 Kpitel 7 Potenzreihen Die numerische Berechnung von Integrlen und Funktionen wie ln(x) und e x knn mn m schnellsten mit Hilfe von Tylorreihen erreichen. 7.1 Die Tylorreihe Die Tylorreihe einer Funktion ist eine Reihe, deren Prtilsummen im Funktionswert und in den Ableitungen bis zu einer gewissen Ordnung in einem gegebenen Punkt mit der Funktion übereinstimmen. Auf diese Weise hofft mn, die Funktion möglichst genu zu pproximieren Definition: Sei f : I R in R unendlich oft differenzierbr, wobei I ein Intervll ist und x im Innern von I liegt. Dnn heißt die formle Reihe k=0 f (k) () k! (x ) k = f() + f ()(x ) + f () 2 die Tylorreihe von f im Punkt. Die Prtilsumme bis n p n (x) = n k=0 f (k) () (x ) k k! (x ) 2 + f () (x ) heißt Tylorentwicklung oder Tylorpolynom n-ten Grdes im Punkt, und wir bezeichnen mit R n (x) := f(x) p n (x) ds Restglied der Tylorentwicklung. Mn bechte, dss wir hier (x ) 0 = 1 setzen. Mn rechnet nch, dss für die Tylorentwicklung n-ten Grdes p n gilt f() = p n (), f () = p n(),..., f (n) () = p (n) n (). Wir werden zeigen, dss p n ds einzige Polynom n-ten Grdes mit dieser Eigenschft ist. Es kommt im Folgenden druf n, ds Restglied bzuschätzen. 115

116 116 KAPITEL 7. POTENZREIHEN Ds Restglied ist lso durch f(x) = n k=0 f (k) () k! + R n (x). definiert. Insbesondere R n+1 (x) = f (n+1) () (n + 1)! + R n (x). (1) 7.2. Beispiel: (1) Die Tylorreihe von e x im Punkt = 0 ist die Exponentilreihe e x = k=0 1 k! xk Wir wissen, dss die Reihe für lle x R gegen e x konvergiert. Ds Restglied konvergiert lso gegen für lle x gegen 0. (2) Mit Hilfe der geometrischen Summe weist mn nch, dss 1 1 x = x k für lle x < 1 k=0 ist. In der Tt ist dies die Tylorreihe der Funktion in = 0. Sie wird geometrische Reihe gennnt. Diese Tylorreihe konvergiert ber nicht mehr überll, wo die Funktion definiert ist, sondern nur in ] 1, 1[. Abbildung 7.1: f(x) = 1/(1 x) und Tylorentwicklungen für n = 1, 2, 5

117 7.1. DIE TAYLORREIHE Stz: Sei f : I R n + 1-ml stetig differenzierbr, I ein offenes Intervll mit, x I. Dnn gilt die Integrldrstellung des Restglieds R n (x) = x (x t) n f (n+1) (t) dt n! bei der Entwicklung von f in. Außerdem gibt es ein ξ zwischen und x, so dss gilt R n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x )n+1, ws mn ls Lgrnge-Form des Restglieds bezeichnet. Beweis: Per Induktion nch n. Für n = 0 gilt Mn erhält wie verlngt f(x) = p 0 (x) + R 0 (x) = f() + R 0 (x). R 0 (x) = f(x) f() = x Mittels prtieller Integrtion erhält mn x (x t) n f (n+1) (x t)n+1 (t) dt = [ f (n+1) (t) n! (n + 1)! = f (n+1) () (n + 1)! (x )n+1 + f (t) dt. ] t=x t= x x + (x t) n+1 f (n+2) (t) dt (n + 1)! (x t) n+1 f (n+2) (t) dt. (n + 1)! Ds Restglied R n hbe lso die gewünschte Drstellung. Nch (1) gilt R n (x) = f (n+1) () (n + 1)! (x )n+1 + R n+1 (x), so dss mn folgern knn, dss uch R n+1 die gewünschte Drstellung ht. Der Beweis der Lgrnge-Drstellung folgt nun us dem Mittelwertstz der Integrlrechnung Mn knn diese Drstellung jedoch lterntiv uch folgendermßen herleiten. Dzu definieren wir die Hilfsfunktion h(t) = (f(t) p n (t)) (x ) n+1 (t ) n+1 (f(x) p n (x)). im Intervll [, x] (bzw. [x, ]). Diese Funktion ht eine (n + 1)-fche Nullstelle in und eine einfche Nullstelle in x. Durch (n + 1)-fche Anwendung des Stzes von Rolle sieht mn, dss h n+1 (t) = f n+1 (t)(x ) n+1 + (n + 1)! (f(x) p n (x)) noch eine einfche Nullstelle ξ in ], x[ ht. Es folgt R n (x) = f(x) p n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x )n+1.

118 118 KAPITEL 7. POTENZREIHEN Mn bechte, dss ξ zwischen und x liegt. Der Fll n = 0 ist uns schon beknnt. Denn es gilt nch dem Mittelwertstz für ein ξ zwischen und x. f(x) = f() + f (ξ)(x ). Wenn f (n + 1)-ml stetig differenzierbr ist, so nimmt f (n+1) in einer Umgebung U von ein Mximum n. Wir erhlten R n (x) C n x n+1 für lle x U. Dies schreibt mn uch in der Form R n (x) = O( x n+1 ) (x ) Es gilt für n-ml stetig differenzierbre Abbildungen f f (n) () n! mit einem ξ zwischen und x. Also Wir erhlten lso ws mn uch in der Form schreibt. (x ) n + R n (x) = R n 1 (x) = f (n) (ξ) (x ) n n! R n (x) = (f (n) (ξ) f (n) ()) R n (x) lim x x n = 0, (x )n. n! R n (x) = o( x n ) (x ) Mn bezeichnet die Nottionen O() und o() uch ls Lndu-Symbole Beispiel: Die Tylorreihe von f(x) = (1 + x) α, α R, bei der Entwicklung um 0 lutet ( ) α x k, k mit für k N und ( ) α = k k=0 α(α 1)... (α (k 1)). k! ( ) α = 1. 0 Mn bechte, dss diese Reihe für α N 0 bbricht und dnn mit der Binomilreihe übereinstimmt. Aus dem Quotientenkriterium folgt leicht, dss die Reihe für lle x 1 konvergiert Die Reihe konvergiert für lle x < 1 in der Tt gegen f(x), wie mn mit Hilfe des Integrlrestgliedes beweist.

119 7.2. POTENZREIHEN Potenzreihen Wir untersuchen nun Reihen vom Typ der Tylorreihen etws llgemeiner. Insbesondere werden wir herusfinden, dss sich diese Reihen gliedweise differenzieren und integrieren lssen, wenn sie konvergieren Definition: Eine formle Reihe der Form k (x ) k k=0 mit, x R oder, x C heißt Potenzreihe um. Dbei ist ( k ) k N eine Folge in R oder C. Die Tylorreihen sind Potenzreihen. Also sind die Ergebnisse dieses Abschnittes uf reelle Tylorreihen nwendbr. Flls die Tylorreihe in einer Umgebung von U ɛ () von konvergiert (ɛ > 0), so nennt mn die Funktion f nlytische Funtion in. Flls sie uf gnz R konvergiert nennt mn sie gnze Funktion. Es wird sich herusstellen, dss sie dnn uch in gnz C konvergiert Definition: Für eine Folge von (x n ) n N, definieren wir den Limes superior ls ds Supremum ller Häufungspunkte der Folge, wobei wir die Häufungspunkte ± zulssen. Anlog definieren wir den Limes inferior ls ds Infimum ller Häufungspunkte. Wir schreiben lim sup x n, n lim inf n x n. Jede reelle Folge ht einen Häufungspunkt, wenn mn ± zulässt. Wenn die Folge konvergiert (uch uneigentlich), dnn ist der Grenzwert ntürlich gleich dem Limes superior und dem Limes inferior. Der Limes Superior s eine Folge ht lso die Eigenschft, dss die Folge keine Häufungspunkte größer ls s ht. Insbesondere gibt es für jedes s > s in [ s, [ nur endlich viele Folgenglieder. Umgekehrt gilt für jedes s < s, dss es in [ s, ] unendlich viele Folgenglieder gibt. Außerdem ist der Limes Superior immer selbst uch Häufungspunkt der Folge. 7.7 Stz: Sei Dnn konvergiert die Potenzreihe für lle s = lim sup k k k. k (x ) k k=0 x < r := 1 s Sie konvergiert nicht für lle x > r. Die Größe r heißt der Konvergenzrdius der Potenzreihe.

120 120 KAPITEL 7. POTENZREIHEN Wir dher für s = 0 den Rdius r =, lso Konvergenz überll, und für s = den Rdius r = 0, lso Konvergenz nur in x =. Beweis: Es gilt k k (x ) k = k k x. Der Stz folgt dher unmittelbr us dem Wurzelkriterium. Wenn etw im Fll s < x < r = 1 s ist, so gibt es ein 0 < ρ < 1 und K N mit (x ) k k < ρ für lle k > K. Es folgt k (x ) k < ρ k und dmit die Konvergenz nch dem Mjorntenkriterium. Wenn ber x > r = 1 s ist, so folgt, dss die Glieder der Reihe nicht gegen 0 konvergieren. Es gilt für den Konvergenzrdius lso 1 r = k lim sup k k = lim inf k 1 k, wobei wir in diesem Fll 1/0 = und 1/ = 0 setzen. Diese Formel für den Konvergenzrdius heißt Formel von Cuchy und Hdmrd Beispiel: (1) Die Reihen k m x k k=0 hben für lle m Z den Konvergenzrdius 1. Denn wir hben mit Hilfe des Stzes von de l Hospitl k lim k = 1. k Drus folgt die Behuptung. Mn knn ds Ergebnis ber uch mit Hilfe des Quotientenkriteriums ohne die Formel von Cuchy und Hdmrd erhlten. (2) D die Exponentilreihe für lle x R konvergiert, muss ihr Konvergenzrdius sein. Wir schließen drus k 1 lim sup k k! = 0. Drus folgt k lim k! =. k Für komplexe Potenzeihen gilt der Stz über den Konvergenzrdius gnz nlog. In diesem Fll konvergieren die Potenzreihen innerhlb eines Kreises mit Rdius r um den Entwicklungspunkt. k

121 7.3. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ Gleichmäßige Konvergenz Ziel dieses Abschnittes ist es, Potenzreihen zu differenzieren und zu integrieren. Wie sich herusstellt, ist dies innerhlb des Konvergenzrdius problemlos möglich Definition: Eine Folge f n : X R von Funktionen heißt uf X R gleichmäßig konvergent gegen eine Funktion f : X R, wenn die Folge für n gegen 0 konvergiert. f f n X := sup f(x) f n (x) x X Die Größe f f n X misst lso den Abstnd von Funktionen. Mn nennt die Norm r X die Supremums-Norm einer Funktion r uf X. Wenn die Funktionen stetig sind und X ein kompktes Intervll, ist ds Supremum ntürlich ein Mximum. Äquivlent zur gleichmäßigen Konvergenz ist, dss es zu jedem ɛ > 0 ein N N gibt mit f(x) f n (x) < ɛ für lle n N, x X Beispiel: Die Funktionen f(x) = x n konvergieren uf [0, ] für lle < 1 gleichmäßig gegen 0, ber nicht uf [0, 1] Stz: Der gleichmäßige Grenzwert einer Folge von stetigen Funktionen ist stetig. Beweis: Sei x X und f n f uf X gleichmäßig. Wir fixieren ɛ > 0. Dzu gibt es ein N N, so dss f(t) f n (t) < ɛ 3 für lle n N und t X. D f n stetig ist, existiert ein δ > 0 mit t x < δ f N (t) f N (x) < ɛ 3 für lle t X. Mit der Dreiecksungleichung folgt f(t) f(x) f(t) f N (t) + f N (t) f N (x) + f N (x) f(x) < ɛ für lle t X mit t x < δ. Der gleiche Stz gilt uch für reell- oder komplex-wertigen Folgen von Funktionen uf X C. Er gilt in der Tt in beliebigen metrischen Räumen. Dort definiert mn die gleichmäßige Konvergenz von Funktionen durch f f n X = sup d(f(x), f n (x)) 0. x X

122 122 KAPITEL 7. POTENZREIHEN 7.12 Stz: Die Potenzreihe k (x ) k k=0 konvergiere in einem Punkt x mit x = r. Dnn konvergiert sie für ρ < r im Intervll [ ρ, + ρ] gleichmäßig. Ds heißt die Folge der Funktionen S n (x) = konvergiert gleichmäßig uf diesem Intervll. n k (x ) k k=0 Flls die Konvergenz in dem Punkt x bsolut ist, so konvergiert die Reihe sogr in [ r, +r] gleichmäßig. Der Stz gilt uch in C, wobei die Intervlle durch entsprechende Kreise zu ersetzen sind. Beweis: D die Reihe in x konvergiert, erhlten wir lim kr k = 0. k Denn eine Reihe knn nur konvergieren, wenn ihre Glieder gegen 0 gehen. Seien die Glieder insbesondere durch C > 0 bsolut beschränkt. Dnn gilt für t < ρ ( ρ ) k k (t ) k C r Es folgt die Konvergenz gegen eine Funktion f(t) für t ρ us dem Mjornten- Kriterium. Für die gleichmäßige Konvergenz berechnen wir f(t) S n (t) = k (t ) k Es folgt C k=n+1 k=n+1 k=n+1 k (t ) k ( ρ r ) k ( ρ ) n+1 C = r 1 ρ/r. f S n [ ρ,+ρ] 0. Flls die Potenzreihe in x bsolut konvergiert, so verwenden wir sttt dessen die Abschätzung f(t) S n (t) k=n+1 k t k k=n+1 k x k

123 7.3. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ 123 und erhlten dsselbe Ergebnis. Es folgt für den Konvergenzrdius r = sup { x : Die Potenzreihe konvergiert in x} Dies gilt sowohl in R ls uch in C. Allerdings lässt sich dieser Schverhlt uch us der Formel von Cuchy und Hdmrd herleiten Stz: Wenn die Folge der Riemnn-integrierbren Funktionen f n : [, b] R gleichmäßig gegen f : [, b] R konvergiert, so ist f uch Riemnn-integrierbr, und es folgt lim n b f n (t) dt = b f(t) dt. Ds heißt, Integrtion und Grenzübergng sind vertuschbr. Beweis: Zunächst ist offenbr f wieder beschränkt, d es sonst nicht gleichmäßiger Limes einer Folge von beschränkten Funktionen sein knn. Sei ɛ > 0. Dnn existiert ein N N mit f f n [,b] ɛ für lle n N. Zu f N gibt es Treppenfunktionen T 1 f N T 2 mit Es folgt (T 2 (t) T 1 (t)) dt < ɛ.,b T 1 = T 1 ɛ < f < T 2 + ɛ = T 2 Und b ( T 2 (t) T 1 (t)) dt < ɛ + 2ɛ (b ). Auf diese Weise folgt, dss f Riemnn-integrierbr ist. Außerdem erhlten wir gemäß Stz 6.21 b b b f n (t) dt f(t) f n (t) f(t) dt < ɛ (b ). für lle n N.

124 124 KAPITEL 7. POTENZREIHEN 7.14 Stz: Sei f(x) = k (x ) k k=0 eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius r > 0, wobei wir r = zulssen. Dnn ist f in x mit x < r differenzierbr und es gilt f (x) = k k (x ) k 1 für lle x < r. Für die Stmmfunktion F von f mit F () = 0 gilt x k F (x) := f(t) dt = k + 1 (x )k+1. für lle x < r. k=0 Diese Potenzreihen hben ebenflls den Konvergenzrdius r. Mn knn lso eine Potenzreihe gliedweise differenzieren und gliedweise integrieren. Die Reihen konvergieren innerhlb des Konvergenzrdius gegen die Ableitung und ds Integrl der Funktion. Insbesondere ist eine Funktion mit einem Konvergenzrdius r > 0 in ] r, + r[ unendlich oft differenzierbr. Umgekehrt ht eine Funktion, die ein einer Umgebung von unendlich oft differenzierbr ist, ber nicht unbedingt einen positiven Konvergenzrdius. Ein Beispiel ist ( f(x) = exp 1 ) x 2. Alle Ableitungen dieser Funktion in x = sind gleich 0. Die Funktion ist ber nicht gleich 0. Beweis: Die Formel für ds Integrl folgt sofort us der gleichmäßigen Konvergenz durch Integrieren der Prtilsummen. Die Potenzreihe, die für f ngegeben ist, ht den gleichen Konvergenzrdius und konvergiert gleichmäßig in [ ρ, +ρ] für ρ < r, wie mn mit Hilfe der Formel für den Konvergenzrdius sieht. Durch gliedweises Integrieren erkennt mn, dss f eine Stmmfunktion der Reihe ist. Es folgt die Behuptung Beispiel: (1) Es gilt kx k = x d x k = x d 1 dx dx 1 x = x (1 x) 2 für x < 1. (2) Es gilt x k k = k=0 x 0 t k dt = x 0 ( ) t k dt = k=0 x 0 ( ) 1 1 dt = ln. 1 t 1 x für x < 1. Die Reihe konvergiert ufgrund des Leibniz-Kriteriums uch für x = 1, ber nicht für x = 1.

125 7.3. GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ Stz: (Abelscher Grenzwertstz) Eine Potenzreihe f(x) = k (x ) k k=0 hbe den Konvergenzrdius r > 0. Wenn die Reihe in + r konvergiert, so konvergiert sie in diesem Punkt gegen eine stetige Fortsetzung der Funktion f. Beweis: Zur Vereinfchung der Nottion nehmen wir = 0 und r = 1 n. Der llgemeine Stz knn uch druf zurückgeführt werden. Es ist dnn zu zeigen. lim f(x) = x 1 k=0 Wir definieren die Prtilsummen dieser Reihe in x = 1 ls S k = k j. j=0 k Diese Folge konvergiert gegen Es gilt für x < 1 Denn S = j. j=0 f(x) = (1 x) S k x k. k=0 n S k x k k=0 n k=0 n 1 n 1 S k x k+1 = 0 + S k+1 x k+1 S k x k+1 S n x n+1 k=0 k=0 n 1 = 0 + k+1 x k+1 S n x n+1 = k=0 n k x k S n x n+1 f(x). k=0 Wir folgern drus für x < 1 mit Hilfe der geometrischen Reihe S f(x) = (1 x) (S S k )x k = (1 x) r k x k k=0 k=0 mit r k = j 0 j=k+1 (k ).

126 126 KAPITEL 7. POTENZREIHEN Wir erhlten drus für N N S f(x) 1 x N k=0 r k + mx k N+1 r k. Bei gegebenem ɛ > 0 lässt sich dher ein δ > 0 finden, so dss gilt x 1 < δ S f(x) ɛ. Setzt mn f(1) = S, so ist dies lso eine stetige Fortsetzung von f nch 1 und S ist der Grenzwert der Potenzreihe in x = 1. Studiert mn den Beweis etws genuer, so stellt mn fest, dss die Reihe für lle ρ < r in [ ρ, + r] gleichmäßig konvergiert Beispiel: Aufgrund dieses Stzes konvergiert die Reihe im vorigen Beispiel in x = 1 gegen eine Fortsetzung von ln(1/(1 x)). Also = ( 1) k ( ) 1 = ln k 2 gilt. In x = 1 konvergiert die Reihe nur uneigentlich gegen, und in der Tt gilt j uch ( ) 1 lim ln =. x 1 1 x Beispiel: Leider liefert der Stz die folgende Identität von Euler π 2 6 = 1 k 2 nicht uf einfche Weise. Wir erhlten durch Integrtion der schon hergeleiteten Reihe (dividiert durch x) lediglich x k x k 2 = ln(1 t) dt 0 t für x < 1. Ds Integrl ist ber nicht elementr uswertbr. Jedoch erhält mn durch zweifche Integrtion (ohne Division durch x) x k+1 = x + ln(1 x) (1 x). k (k + 1) Für x 1 ist der Grenzwert uf der rechten Seite gleich 1. Und in der Tt 1 k (k + 1) = 1. Wir hben dies bereits ls Beispiel einer Teleskop-Summe erknnt. Denn 1 k (k + 1) = 1 k 1 k + 1. Es bleibt noch zu beweisen, dss die Tylorreihe die eindeutig gegebene Potenzreihe ist, die gegen eine Funktion konvergiert.

127 7.4. TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN Stz: Die Potenzreihe f(x) = k (x ) k k=0 hbe den Konvergenzrdius r > 0. Dnn stimmt sie mit der Tylorreihe von f im Entwicklungspunkt überein. D.h. es gilt k = f (k) () k! für lle k N. Beweis: Wir berechnen dzu lediglich lle Ableitungen in x =. Dzu knn mn gemäß dem obigen Stz x = in die gliedweise bgeleitete Reihe einsetzen. Ds konstnte Glied der n-fch bgeleiteten Reihe ist dnn gleich f (n) (). Also f (n) () = n! n. Es folgt die Behuptung Beispiel: Es gilt für lle x R exp(x 2 ) = k=0 x 2k k!. Dher steht uf der rechten Seite die Potenzreihe von f(x) = e x2. Wir erhlten Beispielsweise ist In der Tt 0, k ungerde, f (k) (0) = (2j)!, j! k = 2j. f (4) (x) = (16x x )e x2. f (4) (0) = 4! 2! = Trigonometrische Funktionen D wir nun die Theorie der Potenzreihen zur Verfügung hben, können wir sehr elegnt die Sinus- und die Kosinus-Funktion einführen, sowie die Zhl π definieren.

128 128 KAPITEL 7. POTENZREIHEN Abbildung 7.2: Sinus und Kosinus Definition: Wir setzen für x R (oder uch x C) ( 1) k cos(x) = (2k)! x2k = 1 x2 2 + x4 4! +... sin(x) = k=0 k=0 Diese Funktionen heißen Sinus und Kosinus. ( 1) k (2k + 1)! x2k+1 = x x3 3! + x5 5! +... Es folgt us der Reihendrstellung der Exponentilfunktion und deswegen exp(z) = exp(z) exp(ix) = 1 für lle x R. Setze mn z = ix in die Reihe ein, so erhält mn cos(x) = Re (exp(ix)), sin(x) = Im (exp(ix)). Es ist llerdings immer noch nicht klr, ob dies geometrisch Sinn mcht. Ds können wir erst begründen, wenn wir die Bogenlänge des Kreisbogens von (1, 0) nch (cos(x), sin(x)) berechnen können. Aufgrund der Reihendrstellung sieht mn sofort sowie für lle x R. sin(0) = 0, cos(0) = 1, sin( x) = sin(x), cos( x) = cos(x)

129 7.4. TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN Stz: (1) Es gilt sin (x) = cos(x), cos (x) = sin(x) für lle x R. Zudem gelten die trigonometrischen Identitäten sin(x) 2 + cos(x) 2 = 1, sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y), cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) für lle x, y R. Beweis: Die Ableitungen folgen durch Differenzieren der Potenzreihen. Aufgrund der Fundmentlgleichung für die komplexe Exponentilfunktion gilt 1 = e 0 = e ix e ix = (cos(x) + i sin(x))(cos(x) i sin(x)) = cos(x) 2 + sin(x) 2. Die nderen beiden Identitäten erhält mn durch Berechnen von exp(i(x + y)) Mn knn diese Identitäten uch llein us der Funktionlgleichung und den Ableitungseigenschften herleiten. Differenziert mn sin 2 + cos 2, so wird die Ableitung 0. Die Funktion muss dher konstnt sein. Einsetzen von x = 0 ergibt die erste Identität. Ebenso zeigt mn die Identitäten sin(x + y) sin(x) + cos(x + y) cos(x) = cos(y), sin(x + y) cos(x) + cos(x + y) sin(x) = sin(y) durch Differenzieren nch x für festes y. Die nderen beiden Identitäten folgen drus Definition: Die Zhl π ist die kleinste positive Nullstelle von sin(x). D.h. π = inf{x : sin(x) = 0, x > 0}. Wegen der Stetigkeit von sin ist sin(π) = 0. Mn bechte, dss für x < 1 die Sinusreihe eine lternierende Reihe ist. Es folgt x x3 6 sin(x) x für lle 0 x 1. Also ist π > 1. Mn rechnet mit der Reihe nch, dss sin(3) > 0 und sin(4) < 0 ist. Es gilt in der Tt π = Stz: (1) Die Funktion cos ist in [0, π] streng monoton fllend, in [π, 2π] streng monoton wchsend und es gilt cos(0) = 1, cos(π) = 1.

130 130 KAPITEL 7. POTENZREIHEN Abbildung 7.3: Sinus und Kosinus ls Funktionen cos ht im Intervll [0, π] genu eine Nullstelle in π/2. (2) Die Funktion sin ist in [0, π/2] streng monoton wchsend, und in [π/2, π] streng monoton fllend. Es gilt sin(0) = 0, sin(π/2) = 1, sin(π) = 0. (3) Es gilt für lle x R und für lle k Z. (4) Es gilt sin(x + π) = sin(x), sin(x + 2kπ) = sin(x), cos(x + π) = cos(x) cos(x + 2kπ) = cos(x). sin(x + π 2 ) = cos(x), cos(x + π 2 ) = sin(x). (5) Es gilt sin( x) = sin(x), cos( x) = cos(x). Also ist sin eine ungerde und cos eine gerde Funktionen. Beweis: (1) D sin = cos und sin(x) > 0 für lle x ]0, π[, folgt, dss die Funktion cos in [0, π] streng monoton fällt. Wegen sin(x) 2 + cos(x) 2 = 1 und sin(0) = 0, sin(π) = 0, muss cos(0) = 1 und cos(π) = 1 gelten. Außerdem gilt cos(2x) = cos(x) 2 sin(x) 2 = 1 2 sin(x) 2 = 2 cos(x) 2 1.

131 7.4. TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 131 Es folgt cos(π/2) = 0. (2) Die Monotonie folgt wegen sin = cos. Wegen cos(π/2) = 0 folgt uch sin(π/2) = 1. (3) Mn verwendet die trigonometrischen Identitäten. Etw sin(x + π) = sin(x) cos(π) + cos(x) sin(π) = sin(x), und die entsprechende Identität für cos(x+π). Drus folgt die zweite Behuptung zunächst für k = 1. Per Induktion folgt sie für lle k N. Andererseits hben wir nun für k N sin(x 2kπ) = sin(x 2kπ + 2kπ) = sin(x). (4) Diese Gleichungen folgen wieder mit Hilfe der geometrischen Identitäten. (5) Diese Gleichungen können direkt us der Reihe bgelesen werden. Eine Funktion f : R R mit f(x + kc) = f(x) für lle x R und k Z nennt mn c-periodisch. Sinus und Kosinus sind lso 2π-periodische Funktionen. Wegen der Symmetrieeigenschften von sin und cos genügt es, die Funktionen uf [0, π/2] berechnen zu können. Dort konvergieren die Reihen gut genug. Mn benötigt dennoch etw 10 Glieder der Reihe. D die Reihe lterniert, knn mn ds nächste Folgenglied ls Abschätzung verwenden. Wir erhlten für x [0, π/2]. Die Punkte 10 sin(x) k=0 ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! mπ (π/2)21 < ! sind für m Z die Nullstellen des Sinus. Die ungerden Vielfchen von π/2, lso die Punkte x = (2m + 1) π 2 für lle m Z, sind die Nullstellen des Kosinus Stz: Sei x, y R mit Dnn gibt es genu ein t [0, 2π[ mit x 2 + y 2 = 1. x = cos(t), y = sin(t). Folglich lässt sich jeder Punkt (x, y) R 2 (x, y) (0, 0) eindeutig ls (x, y) = (r cos(t), r sin(t))

132 132 KAPITEL 7. POTENZREIHEN mit r > 0 und t [0, 2π[ schreiben. Jedes z C, z 0 lässt sich eindeutig in der Form mit r > 0 und t [0, 2π[ schreiben. z = re it Beweis: Wir nehmen zunächst den Fll 0 y 1. Wir wählen nun nch dem Zwischenwertstz ein t [0, π] mit cos(t) = x. Wegen x 2 + y 2 = 1, cos(t) 2 + sin(t) 2 = 1 muss nun y = ± sin(t) gelten. Wegen y 0 und sin(t) 0 folgt x = cos(t), y = sin(t). Im Fll 1 y < 0 wählen wir t ]π, 2π[ mit cos(t) = x. Dnn folgt dsselbe. Wir schließen drus, dss für z = 1 ein t [0, 2π[ existiert mit z = e it = cos(t) + i sin(t). Die Eindeutigkeit knn durch genuere Betrchtung der obigen Auswhl us der strengen Monotonie des cos in den betrchteten Intervllen geschlossen werden. Es ist ber uch folgendes Argument möglich. Angenommen 0 t 1 < t 2 < 2π, e it1 = e it2. Dnn folgt mit t = t 2 t 1 e it = 1, t ]0, 2π[. Mn erhält cos(t) = 1, ws nicht möglich ist. Sei z C, z 0. Dnn definieren wir Wegen z = 1 folgt die Behuptung. r = z, z = z z. Es gilt e iπ = Definition: Wo sin und cos streng monoton wchsend sind, hben sie eine Umkehrfunktion. Gewöhnlich definiert mn die Umkehrfunktionen uf folgende Weise. sin : [ π/2, π/2] [ 1, 1], cos : [0, π] [ 1, 1], rcsin : [ 1, 1] [ π/2, π/2], rccos : [ 1, 1] [0, π]. Definiert mn dnn für x 2 + y 2 = 1 { rccos(x), y 0, t = 2π rccos(x), y < 0,

133 7.5. PARTIALBRUCHZERLEGUNG 133 so gilt Es gilt rcsin (y) = x = cos(t), y = sin(t). 1 sin (x) = 1 cos(x) = 1 cos(rcsin(y)) = 1 1 y 2 für sin(x) = y und y < 1. Die letzte Gleichung folgt us cos(rcsin(y)) 2 = 1 sin(rcsin(y)) 2 = 1 y 2 und cos(rcsin(y)) = cos(x) > 0 für x ] π/2, π/2[. Mn bechte, dss die Ableitung von rcsin in der Rändern ±π/2 nicht existiert. Weiterhin gilt rccos (y) = für cos(x) = y und y < Definition: Wir definieren den Tngens in llen Punkten, in denen cos(x) 0 ist. Mn berechnet 1 cos (x) = 1 sin(x) = 1 sin(rccos(x)) = 1 1 y 2 tn(x) := sin(x) cos(x) tn (x) = 1 cos(x) 2. tn ist lso zwischen je zwei Definitionslücken streng monoton wchsend. Außerdem gilt lim tn(x) =, lim x π/2 tn(x) =. x π/2 Dher ht tn eine Umkehrfunktion rctn : R ] π 2, π [. 2 Es gilt mit y = tn(x). rctn (y) = 1 tn (x) = cos(x)2 = cos(rctn(y)) = y Prtilbruchzerlegung Dies ist eine Technik, mit der mn Integrle von rtionlen Funktionen berechnen knn. Wir werden uns uf Beispiele beschränken Beispiel: (1) Gesucht ist 1 x 2 1 dx

134 134 KAPITEL 7. POTENZREIHEN uf den Intervllen ], 1[, ] 1, 1[, ]1, [, wo diese Funktion wohldefiniert ist. Eine Prtilbruchzerlegung ist nun eine Drstellung der Form 1 x 2 1 = A x B x 1. Es folgt durch Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich A = 1/2, B = 1/2. Also 1 x 2 1 = 1 2 ln(x + 1) 1 ln(x 1) + c. 2 Ntürlich knn die Konstnte c in jedem Teilintervll nders gewählt werden, und mn erhält dennoch eine Stmmfunktion. (2) Anlog erhält mn Es folgt x + 1 x(x 2 + 1) = 1 x x x. 1 x(x 2 + 1) dx = rctn(x) 1 x ln(x2 + 1) + ln( x ) + c = ln x c. Allerdings funktioniert ds im folgenden Beispiel nicht mehr. Mn kommt uf ndere Art zum Ziel. ( 1 1 x(x 2 + 1) dx = x x ) x 2 dx = ln( x ) ln(x2 + 1) + c. (3) Mn berechnet 1 x 2 + x + 1 dx = 2 3 mit Hilfe der Substitution 1 y dx = 2 rctn(y) + c = 2 ( ) 1 rctn 3 (2x + 1) + c 3 3 x = 1 2 ( 3y 1). Dmit knn mn uch kompliziertere Nenner behndeln. Die meisten dieser Integrle stehen llerdings in Formelsmmlungen bereit. 7.6 Die Stirlingsche Formel Große Fkultäten n! sind ebenso wie große Binomilkoeffizienten nicht leicht zu berechnen. Die Stirlingsche Formel bietet eine Approximtion, die für viele Zwecke genu genug ist. Zum Beweis der Formel benötigen wir eine Produktdrstellung von π von Wllis. Insgesmt wendet dieses Kpitel die bisher erlngten Kenntnisse trickreich n Definition: Wir sgen, dss ein Produkt konvergiert, wenn die Folge der Prtilprodukte gegen einen Wert b 0 konvergiert. b k

135 7.6. DIE STIRLINGSCHE FORMEL Stz: Sei ( k ) k N eine Folge von positiven reellen Zhlen oder eine Folge von negtiven reellen Zhlen. Dnn konvergiert ds Produkt (1 + k ) genu dnn, wenn die Reihe konvergiert. k Beweis: Wir nehmen zunächst k > 0 für lle k N n. Es gilt ( n ) ln (1 + k ) = n ln(1 + k ) n k. wegen ln(1 + x) x für lle x > 0. Wenn die Summe lso konvergiert, so ist die Folge der Prtilprodukte beschränkt und strikt monoton wchsend. Ds Produkt konvergiert lso. Wenn umgekehrt ds Produkt konvergiert, so ist konvergiert die Summe ln(1 + k ). Es folgt k 0. Wegen ln(1 + x) x/2 für 0 x 1 folgt us dem Mjorntenkriterium, dss uch die Reihe konvergieren muss. Sei nun ( k ) k N eine Folge von negtiven Zhlen. Ds Produkt knn dnn nur konvergieren, wenn k 0 gilt. Wegen k = 1 k 1 + k = 1 + k 1 k konvergiert der Kehrwert des Produktes genu dnn, wenn die ngegebene Reihe konvergiert. Alterntiv knn mn für diesen Fll ds Argument leicht modifiziert wiederholen Stz: Es gilt π 2 = 4k 2 4k 2 1. Diese Drstellung nennt mn ds Wllissche Produkt.

136 136 KAPITEL 7. POTENZREIHEN Beweis: Wir definieren für n > 0 c n := π Dnn erfüllen diese Zhlen die Rekursionsformel für n 2. Folglich c 2n = π 0 sin(x) n dx. c 0 = π, c 1 = 2, c n = n 1 n c n 2 n Es gilt ufgrund der Rekursionsformel Wegen der Monotonie der Folge c n folgt 2k 1 2k, c 2n+1 = 2 c 2n+2 lim = 1. n c 2n n 2k 2k + 1. Mn erhält nun ds Wllissche Produkt. c 2n+1 lim = 1. n c 2n 7.32 Stz: Es gilt n! ( n ) n 2πn. e Dbei bedeutet n b n, dss n /b n 1 konvergiert. Mn nennt die Folgen symptotisch gleich. Die Asymptotik für n! heißt Stirlingsche Formel. Beweis: Sei g k die linere Funktion, die ln(x) in k und k+1 interpoliert. Mittels zweimliger prtieller Integrtion stellt mn für r k (x) = ln(x) g k (x) fest k+1 k (x k)(k + 1 x)r k(x) dx = k+1 Wegen der Konkvität von ln ist r k > 0. Wegen r k (x) = 1/x2 ist Also existiert k+1 k 0 < k+1 k r k (x) dx = lim n ( = lim n = lim n r k (x) dx = r k (ξ) k 2. ( n 0 k r k (x) dx. ) n 1 ln(x) dx g k (x) dx n ln(n) n + 1 n 1 ( n ln(n) n + 1 ln(n!) + ln(n) 2 ) 1 (ln(k + 1) + ln(k)) 2 ).

137 7.6. DIE STIRLINGSCHE FORMEL 137 Folglich existiert uch der Grenzwert c > 0 von c n = n! n ( e n) n. Es gilt mit Hilfe des Wllisschen Produktes. c 2 n 2 2n (n!) 2 2 c = lim = lim n c 2n n (2n)! n = 2π

138 138 KAPITEL 7. POTENZREIHEN

139 Kpitel 8 Der Euklidsche Rum In diesem Kpitel werden Grenzwerte von Folgen und von Funktionen in den mehrdimensionlen Rum verllgemeinert. Dzu müssen wir llerdings einige topologische Begriffe einführen. 8.1 Konvergenz Der R m ist für uns einfch die Menge der m-tupel reeller Zhlen, die wir ls Spltenvektoren x = schreiben. Zu x R m ist lso utomtisch x 1,..., x m definiert. Mit der Addition und der Multipliktion im R m beschäftigt sich die linere Algebr. Gelegentlich werden wir uch den C m erwähnen, der uf die gleiche Weise definiert ist. Sei K = R oder K = C. Die folgenden Definitionen und Sätze lssen sich oft uf beide Fälle übertrgen, so dss wir diese Nottion wählen Definition: Wie definieren für eine Vektor x K m die Euklidsche Norm x := m x i 2. Zu zwei Vektoren x, y K m definieren wir einen Abstnd von x zu y (Euklidscher Abstnd), durch d(x, y) := x y. Der R m, versehen mit dieser Norm, heißt Euklidscher Rum der Dimension m. Ds folgende Sklrprodukt heißt Euklidsches Sklrprodukt. x, y = x 1. x m i=1 m x i y i. i=1 139

140 140 KAPITEL 8. DER EUKLIDSCHE RAUM Dmit gilt für x K n. Mn rechnet leicht nch, dss x = x, x x, y = y, x λx, y = λ x, y x, λy = λ x, y für lle x, y K m und λ K gilt, wobei die Konjugtion im Flle K = R ntürlich weggelssen werden knn. 8.2 Stz: Die Euklidsche Norm ist eine Norm uf dem Vektorrum K m. Ds heißt, es gilt x 0 für lle x K m und die Dreiecksungleichung x + y x + y für lle x, y K m, sowie die Linerität λx = λ x für lle λ K, x K m, und die Positivität x = 0 x = 0 für lle x K m Außerdem gilt die Schwrzsche Ungleichung x, y x y für lle x, y K m, bei der Gleichheit genu dnn gilt, wenn x und y liner bhängig sind. Beweis: Zum Beweis der Schwrzschen Ungleichung verwendet mn und setzt im Fll y 0. Dnn folgt 0 x + λy, x + λy = x 2 + λy, x + x, λy + λy 2. x, y y λ = = x, y, y y 2 0 x 2 x, y 2 x, y 2 2 y 2 + y 4 y 2, worus die Behuptung folgt. Gleichheit knn nur gelten, wenn x + λy = 0 ist. Der Fll y = 0 ist trivil. Es folgt durch einfche Rechnung mit Sklrprodukten die Dreiecksungleichung. Denn x + y 2 = x 2 + x, y + y, x + y 2 x x y + y 2 = ( x + y ) 2.

141 8.1. KONVERGENZ Stz: Der Euklidsche Abstnd ist eine Metrik uf dem K n im Sinne der Definition us Wir hben Stetigkeit und Konvergenz schon in llgemeinen metrischen Räumen betrchtet. Demgemäß ist eine Folge von (x n ) n N in K m konvergent gegen x K m, wenn gilt. lim d(x n, x) = lim x n x = 0 n n Anlog zu der Definition in den reellen Zhlen definieren wir Häufungspunkte von Folgen in metrischen Räumen in nheliegender Weise Definition: Der Punkt x X eines metrischen Rumes X mit Metrik d ist genu dnn Häufungspunkt der Folge (x n ) n N in X, wenn es zu jedem ɛ > 0 und N N ein n N gibt mit d(x, x n ) < ɛ. Äquivlent dzu ist, dss für lle ɛ > 0 die Umgebung U ɛ (x) = {y X : d(y, x) < ɛ} unendlich viele Folgenglieder enthält, oder dss es eine Teilfolge der Folge gibt, die gegen x konvergiert. Die Beweise, die wir dzu im Rhmen der reellen Zhlen gegeben hben, sind wörtlich zu übertrgen. Allerdings können wir die Konvergenz in K n in einfcher Weise uf die Konvergenz in K übertrgen. 8.5 Stz: Sei (x n ) n N eine Folge in K m, und bezeichnen x n,1,..., x n,m die Komponenten von x n. Dnn gilt lim n x n = x genu dnn, wenn für lle Komponenten k = 1,..., m gilt. lim n x n,k = x k Beweis: Der Beweis folgt unmittelbr us den Abschätzungen mx x n,k x k x n x m mx x n,k x k, 1 k m 1 k m die mn leicht beweisen knn. Die Supremums-Norm x = mx 1 k m x k

142 142 KAPITEL 8. DER EUKLIDSCHE RAUM ist ebenflls eine Norm uf dem K m. Die Norm ist äquivlent zu der Euklidschen Norm. Ds heißt, es gibt Konstnten 0 < C < D mit x < C x, x < D x für lle x K n. Bei äquivlenten Normen ist es gleichgültig, welche der Normen mn für die Definition der Konvergenz benutzt. Eine ndere äquivlente Norm ist die L1-Norm x 1 = m x k Beispiel: Viele Rechengesetze mit Folgen ergeben sich dher uf einfche Weise us den entsprechenden Gesetzen in K. Mn knn lso zum Beispiel Summe und Grenzwert vertuschen, weil dies uch in K möglich ist. Ds heißt lim x n ± y n = lim x n ± lim y n. n n n Der Grenzwert uf der linken Seite existiert, wenn der Grenzwert uf der rechten Seite existiert. Anlog für die Multipliktion λx n, und viele ndere Rechenverknüpfungen mit Vektoren. Wenn etw x n x konvergiert, dnn konvergiert x n x, sowie für lle y R m. x n, y x, y 8.7 Stz: (1) Jede beschränkte Folge in K m besitzt einen Häufungspunkt. (2) Der K m ist ein vollständiger metrischer Rum. Ds heißt, jede Cuchy-Folge in K m konvergiert. (3) Jede bsolut konvergente Reihe im K m konvergiert. Beweis: (1) Sei (x n ) m N eine beschränkte Folge, lso etw Dnn gilt uch x n < C für lle n N. x n,k < C für lle n N, 1 k m. Die Komponentenfolgen sind dher ebenflls beschränkt. Per Induktion nch m existiert eine Teilfolge (x un ) n N und ein x 1,..., x m 1, so dss x un,k x k für lle 1 k m 1.

143 8.2. OFFENE MENGEN 143 Wir wählen us dieser Teilfolge eine Teilfolge (u v(n) ) n N us, so dss x uv(n),m x m. Dmit gilt x uv(n) x = (x 1,..., x m ). (2) und (3). Der Beweis für die Vollständigkeit und die Konvergenz von bsolut Konvergenten Reihen knn gnz nlog zum Fll m = 1 geführt werden. Alterntiv überlegt mn sich, dss die Komponenten einer Cuchy-Folge ebenflls Cuchy- Folgen sind, und dher lle konvergieren. Ebenso folgt us uch x n < n=0 x nk < n=0 für lle Komponenten k = 1,..., m. Dher sind die Komponenten wieder bsolut konvergent und konvergieren nch den für K = R oder K = C beknnten Sätzen. 8.2 Offene Mengen Als Erstz für ds offene Intervll könnte mn ds offene Rechteck nehmen. Jedoch benötigen wir uch llgemeinere Mengen, wie etw Kreise Definition: Sei X ein metrischer Rum mit Metrik d. (1) Wir definieren die Kugel ohne Rnd um x R m mit Rdius r > 0 durch Die Kugel mit Rnd schreiben wir ls U r (x) = {y R m : d(x, y) < r}. D r (x) = {y R m : d(x, y) r}. (2) Eine Teilmenge U X heißt Umgebung eine Punktes x U, wenn es ein ɛ > 0 gibt, so dss U ɛ (x) U ist. (3) U X heißt offen, wenn es Umgebung ller seiner Punkte ist. (4) Eine Teilmenge A R m heißt bgeschlossen, wenn der Grenzwert jeder konvergenten Folge in A wieder in A liegt. Wir werden diese Definitionen hier nur für den Fll X = R n verwenden. Es gibt ber viele ndere wichtige metrische Räume, wie etw Räume von Funktionen.

144 144 KAPITEL 8. DER EUKLIDSCHE RAUM 8.9 Stz: Sei X ein metrischer Rum. U X ist genu dnn offen, wenn X \ U bgeschlossen ist. Beweis: Sei U offen, und (x n ) n N eine Folge in A = X \ U, die gegen x X konvergiere. Flls x U wäre, so gäbe es ein ɛ > 0 mit U ɛ (x) A =, weil U offen ist. Ds knn nicht sein, weil die Folge (x n ) n N us A gegen x konvergiert. Also folgt x A, und A ist lso bgeschlossen. Sei umgekehrt A = X \ U bgeschlossen. Angenommen, U ist nicht Umgebung von x U. Dnn wählen wir für lle n N Punkte x n U 1/n (x), x n / U. Es folgt x n x. D (x n ) n N eine Folge in A ist, folgt x A. Ds ist ein Widerspruch zu x U. Wir hben bei der Konstruktion der Folge eine bzählbre Version des Auswhlxioms verwendet. Dies ist für uns kein grundsätzliches Problem. Jedoch ist es eventuell nicht möglich, die Folge konstruktiv nzugeben Beispiel: (1) Nch Definition sind und R m gleichzeitig offen und bgeschlossen. Wie wir noch sehen werden, sind dies die einzigen Mengen, die diese Eigenschft hben. (2) Die Kugeln ohne Rnd U r (x) sind offen. In der Tt gilt ufgrund der Dreiecksungleichung für lle y U r (x). U r x y (y) U r (x) (3) Die Kugeln D r (x) mit Rnd sind bgeschlossen. Es gilt für lle y X \ U r (x). U y x r (y) X \ U r (x) (4) Als Produktmenge der Mengen A 1,..., A n R bezeichnet mn die Menge A 1... A n := {x R n : x i A i für lle i = 1,..., n}. Die Produkte von offenen Mengen sind offen, die Produkte von bgeschlossenen Mengen sind bgeschlossen. (5) Der Schnitt von endlich vielen offenen Mengen ist offen. Die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen ist offen. (6) Die Vereinigung von endlich vielen bgeschlossenen Mengen ist bgeschlossen. Der Schnitt von beliebig vielen bgeschlossenen Mengen ist bgeschlossen.

145 8.2. OFFENE MENGEN 145 Mn bechte, dss der Schnitt von beliebig vielen offenen Mengen nicht offen sein muss, ebenso wenig wie Vereinigung von beliebig vielen bgeschlossenen Mengen bgeschlossen sein muss Definition: Sei X ein metrischer Rum. (1) Für eine Teilmenge M X definieren wir ls ds offene Innere M. M = {x M : Es gibt ein ɛ > 0 mit U ɛ (x) M}, (2) Den Abschluss M der Menge M X definieren wir ls M = {x X : Für lle ɛ > 0 gilt U ɛ (x) M }. (3) Der Rnd M ist definiert ls M = {x X : Für lle ɛ > 0 gilt U ɛ M und U ɛ (R n \ M) }. Andere Nottionen sind M = interior M, M = closure M, M = boundry M Stz: (1) Ds offene Innere von M ist die größte offene Menge, die in M enthlten ist. (2) Der Abschluss von M ist die kleinste bgeschlossene Menge, die M umfsst. (3) Der Abschluss M ist ußerdem die Menge ller Grenzwerte von Folgen in M. (4) Es gilt M = M \ M. Beweis: (1) Wir zeigen zunächst, dss U = M offen ist. Sei dzu y U. Dnn gibt es eine ɛ > 0 mit U ɛ (y) M. Für lle x U ɛ (y) gilt nun ber U ɛ x y (x) U ɛ (y) M, lso x U. Es folgt Also ist U offen. U ɛ (y) U.

146 146 KAPITEL 8. DER EUKLIDSCHE RAUM Angenommen Ũ M ist offen. Dnn gibt es für lle x Ũ ein ɛ > 0 mit U ɛ (x) Ũ M Als x U. Es folgt enthlten ist. Ũ U. Folglich ist U in der Tt die größte offene Menge, die in M (2) Aus der Definition des Abschlusses folgt unmittelbr X \ M = (X \ M). Nch (1) ist dher M bgeschlossen. Flls M à und à bgeschlossen ist. Dnn ist D X \ à offen ist, folgt us (1) Also M Ã. X \ à X \ M. X \ à (X \ M) = X \ M. (3) Wenn x M ist, so folgt nch Definition in x M, weil jedes U ɛ (x) die Menge M nschneidet. M knn ber uch keine Umgebung von x sein, weil kein U ɛ (x) gnz im M liegen knn. Die Umkehrung ist genuso einfch. Wegen M = M \ M = M (X \ M ) ist M ls Schnitt von zwei bgeschlossenen Mengen bgeschlossen Beispiel: Es gilt im K m U r (x) = D r (x), D r (x) = U r (x). Außerdem D r (x) = U r (x) = {y R m : x y = r} für lle r > 0, x K m. Für llgemeine metrische Räume ist nicht so klr, welche dieser Beziehungen noch gelten. 8.3 Stetige Funktionen Wir hben die Stetigkeit schon llgemein in metrischen Räumen definiert (siehe Abschnitt 4.5). Zur Wiederholung und Präzisierung wird die Definition hier nochmls wiedergegeben Definition: Sei f : M R u eine Abbildung, M R m. Dnn schreiben wir für M, b R u lim x f(x) = b, wenn es zu jedem ɛ > 0 ein δ > 0 gibt, so dss x < δ f(x) b < ɛ

147 8.3. STETIGE FUNKTIONEN 147 für lle x M gilt. f heißt stetig in M, wenn lim f(x) = f() x gilt. f heißt stetig in M, wenn es in llen Punkten von M stetig ist. Wie in R knn mn die Konvergenz und die Stetigkeit uch äquivlent durch Folgen definieren. Dies geschieht in der Form x n x f(x n ) f(x). Eine Abbildung f : M R u, M R m, knn mn in Komponentenfunktionen f 1 (x) f(x) =. f u (x) zerlegen. f ist genu dnn stetig in M, wenn lle Komponentenfunktionen stetig sind. Auch die Grenzwerte knn mn komponentenweise berechnen. Aus diesem Grund beschäftigen wir uns zunächst mit Funktionen f : M R, M R m Beispiel: (1) Die Funktion x x i ist für lle i = 1,..., m stetig. (2) Es gelten dieselben Sätze über Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten von Funktionen wie in R. (3) Auch die Hintereinnderusführung von stetigen Abbildungen ist stetig. Als Beispiel ist etw die Funktion x x = x x2 m ufgrund dieser Ttschen stetig Stz: (1) Seien X, Y ein metrische Räume und f : X Y stetig, sowie U Y offen. Dnn ist die f 1 (U) offen in X. (2) Ebenso sind die Urbilder von bgeschlossenen Mengen bgeschlossen. Beweis: (1) Sei x f 1 (U). D U offen ist, existiert ein ɛ > 0 mit U ɛ (f(x)) U. Wegen der Stetigkeit von f existiert ein δ > 0 mit d(x, y) < δ d(f(x), f(y)) < ɛ

148 148 KAPITEL 8. DER EUKLIDSCHE RAUM Ds heißt f(u δ (x)) U ɛ (f(x)) U. Also U δ (x) f 1] (U). Wir hben dmit bewiesen, dss f 1 (U) offen ist. (2) Sei M Y bgeschlossen. Es gilt Nch (1) ist X \ f 1 (M) lso offen. X \ f 1 (M) = f 1 (X \ M) Mn bechte, dss eine Teilmenge M X eines metrischen Rumes X wieder ein metrischer Rum mit derselben Metrik ist. Wie mn sich überlegt, ist Teilmenge U M ist genu dnn offen in M, wenn es eine offene Teilmenge Ũ X gibt mit U = Ũ X. Mn nennt solche Mengen reltiv offen in M. Wenn M nicht offen ist, brucht U nicht offen in X zu sein. Beispiele sind Schnitte von offenen Mengen in R 2 mit einer Gerden M. Ttsächlich ist eine Abbildung f : X Y genu dnn stetig, wenn die Urbilder von offenen Mengen offen sind Beispiel: (1) Wir wissen schon, dss in K m die Abbildung f y : K m K mit f y (x) = x y stetig ist. Ttsächlich ist in jedem metrischen Rum die Abbildung f y (x) = d(y, x) für festes y stetig. Denn es gilt ufgrund der Dreiecksungleichung f y (x) f y ( x) = d(y, x) d(y, x) d(x, x). Die Kugeln mit Rnd sind nch dem obigen Stz dher bgeschlossen, die Kugeln ohne Rnd sind offen. Denn D r (y) = fy 1 [0, r], U r (y) = f 1 [0, r[. (2) Die Niveulinien von stetigen Funktionen f : X R N c = {x X : f(x) = c} sind die Urbilder der bgeschlossenen Menge {c} unter f und dher bgeschlossen. Ebenso sind die Subniveumengen S c = {x X : f(x) c} bgeschlossen. Die Mengen U c = {x X : f(x) < c} sind dgegen offen. Allerdings muss S c nicht immer der Abschluss von U c sein, und N c nicht immer der Rnd von S c. y

149 8.4. KOMPAKTE MENGEN Kompkte Mengen Wir ersetzen in diesem Abschnitt die bgeschlossenen Intervlle [, b] in R durch sogennnte kompkte Mengen im R m. Ein Beispiel ist ds Produkt von Intervllen, lso ein Rechteck im R 2 oder ein Quder im R 3. Wir möchten ber viel llgemeinere Mengen zulssen, uf denen Sätze über die Existenz von Häufungspunkten oder von Extrem einer stetigen Funktion gelten. Es wird sich herusstellen, dss dies genu die bgeschlossenen und kompkten Teilmengen des K m sind Definition: Eine Teilmenge M eines metrischen Rums A heißt folgenkompkt, wenn jede Folge us M einen Häufungspunkt ht Stz: Eine Teilmenge K R m ist genu dnn folgenkompkt, wenn K bgeschlossen und beschränkt ist. Beweis: Wir hben in Stz 7 schon bewiesen, dss beschränkte Folgen in K m einen Häufungspunkt hben. D K bgeschlossen ist, müssen die Häufungspunkte von Folgen in K wieder in K liegen. Also ist jede bgeschlossene und beschränkte Menge in K m folgenkompkt. Sei umgekehrt K K m folgenkompkt. Dnn muss K beschränkt sein, weil es sonst eine Folge in K gibt mit x n. Wir wählen dzu x n K mit x n > n. Diese Folge ht keinen Häufungspunkt. K muss uch bgeschlossen sein, weil es sonst eine Folge in K gibt, die gegen ein x / K konvergiert. Diese Folge hätte keinen Häufungspunkt in K Stz: Seien A und B metrische Räume und K A folgenkompkt, sowie f : K B eine stetige Funktion. Dnn ist uch f(k) folgenkompkt. Beweis: Sei (y n ) n N eine Folge in f(k), und f(x n ) = y n für lle n N. Dnn ht (x n ) n N einen Häufungspunkt in K, und es folgt für eine Teilfolge lim x k(n) = x K. n Also lim y k(n) = lim f(x k(n)) = f(x). n n Dmit ht (y n ) n N den Häufungspunkt f(x) in f(k).

150 150 KAPITEL 8. DER EUKLIDSCHE RAUM 8.21 Stz: Sei K A folgenkompkt. Dnn nimmt eine stetige Funktion f : K R uf K ein Mximum und ein Minimum n. Beweis: D f(k) R folgenkompkt ist, ist es bgeschlossen und beschränkt, und besitzt ls beschränkte Menge ein endliches Supremum und ein endliches Infimum. Bei bgeschlossenen Mengen müsse diese Punkte zur Menge gehören. Dher ht f(k) ein Mximum und ein Minimum Definition: Seien A und B metrische Räume. Die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion f : M B, M A, wird gnz nlog zum eindimensionlen Fll definiert. Es muss lso zu jedem ɛ > 0 ein δ > 0 geben, so dss gilt für lle x, y M. d(x, y) < δ d(f(x), f(y)) < ɛ 8.23 Stz: Jede stetige Funktion uf einer folgenkompkten Menge ist gleichmäßig stetig. Beweis: Angenommen nicht, dnn gibt es Folgen (x n ) n N und (y n ) n N, sowie ein ɛ > 0 mit d(x n, y n ) < 1 n, d(f(x n), f(y n )) > ɛ D die beiden Folgen, sowie jede Teilfolge, Häufungspunkte hben, erhlten wir eine Teilfolge Aus der Stetigkeit von f folgt Dies ist ein Widerspruch. lim x k(n) = lim y k(n). n n lim f(x k(n)) = lim f(y k(n)). n n Wir definieren nun llgemeine kompkte Mengen durch eine für viele Beweise nützliche topologische Eigenschft. Es stellt sich herus, dss in metrischen Räumen diese Eigenschft äquivlent zur Folgenkompktheit ist Definition: Eine Überdeckung einer Menge K ist eine Menge von Mengen U i, i I, so dss K U i i I ist. Wenn die Indexmenge I endlich ist, so sprechen wir von einer endlichen Überdeckung Definition: Eine Teilmenge K eines metrischen Rumes heißt kompkt, wenn zu jeder Überdeckung us offenen Mengen eine endliche Teilüberdeckung existiert Beispiel: Sei ɛ > 0 fest. Die Mengen U ɛ (x), x R m, sind offenbr eine offene Überdeckung für lle Teilmengen von R m. Mn sieht leicht, dss lle beschränkten Mengen eine endliche Teilüberdeckung us diesen Mengen hben.

151 8.4. KOMPAKTE MENGEN 151 Dennoch sind beschränkte Mengen nicht immer kompkt. Die offenen Mengen ] n, 1 1 [, n N, n sind eine offene Überdeckung des beschränkten Intervlls ] 1, 1[. Aber es gibt keine endliche Teilüberdeckung. Dies liegt drn, dss ds Intervll nicht bgeschlossen ist Stz: Eine Teilmenge K eines metrischen Rumes ist genu dnn folgenkompkt, wenn sie kompkt ist. Beweis: Sei K folgenkompkt. Angenommen, die Menge der U i, i I, ist eine offene Überdeckung ohne endliche Teilüberdeckung. Dnn gibt es ein ɛ > 0, so dss für jeden Punkt x K ein i x I existiert mit U ɛ (x) U ix. Denn sonst könnte mn eine Folge von (x n ) n N finden so dss U 1/n (x n ) in keinem U i enthlten ist. Diese Folge knn keinen Häufungspunkt hben. Denn ein Häufungspunkt wäre in einer der offenen Mengen U i enthlten, und dmit uch U 1/n (x n ) für n groß genug. Weil wir nnehmen, dss es keine endliche Teilüberdeckung gibt, knn mn mit dem so gefundenen ɛ > 0 eine Folge von y n, n N konstruieren, so dss für lle i j gilt. Denn die Mengen d(y i, y j ) ɛ U ɛ (x 1 ),..., U ɛ (x n ) überdecken K nicht. Also gibt es ein x n+1 K, ds in keiner dieser Mengen liegt. Eine Folge mit dieser Eigenschft knn ber keinen Häufungspunkt hben. Angenommen K ist kompkt. Sei (x n ) n N eine Folge in K ohne Häufungspunkt. Dnn gibt es zu jedem x K ein ɛ x > 0, so dss U ɛx (x) nur endlich viele Folgenglieder enthält. Die Menge dieser offenen Kugeln überdeckt K. Es knn ber keine endliche Teilüberdeckung geben, d die Folge sonst nur endlich viele Folgenglieder hätte. Im K m ist sind lso äquivlent: K ist bgeschlossen und beschränkt. K ist folgenkompkt. K ist kompkt. Weil die Urbilder von offenen Mengen unter stetigen Abbildungen f : X Y wieder offen sind, knn mn uch leicht folgern, dss ds stetige Bild einer kompkten Menge kompkt ist. Dies folgt llerdings uch us dem obigen Stz.

152 152 KAPITEL 8. DER EUKLIDSCHE RAUM 8.28 Stz: Seien X, Y metrische Räume, K A folgenkompkt, und f : K Y stetig und injektiv. Dnn ist f(k) folgenkompkt, und f ht eine stetige Umkehrbbildung f 1 : f(k) K Beweis: Wir hben nur noch zu zeigen, dss f 1 stetig ist. Dzu sei (y n ) n N eine Folge in f(k) mit y n f(x). Sei x n = f 1 (y n ). für lle n N. Wenn x ein Häufungspunkt von (x n ) n N ist, so folgt us der Stetigkeit von f sofort f(x) = y, lso x = f 1 (y). Die Folge (x n ) n N ht lso nur einen Häufungspunkt x X. D M kompkt ist, folgt lim f 1 (y n ) = lim x n = x = f 1 (y). n n Also ist f 1 stetig. Alterntiv knn mn zum Beweis uch die Ttsche verwenden, dss f 1 genu dnn stetig ist, wenn f(u) für lle offenen U X wieder offen ist. Dies folgt drus, dss f(u) = Y \ f(x \ U) und X \ U bgeschlossen und dher kompkt ist. Dmit ist f(x \ U) ebenflls kompkt und dher bgeschlossen. Folglich ist f(u) offen. 8.5 Zusmmenhängende und konvexe Mengen Wir ersetzen in diesem Abschnitt Intervlle durch zusmmenhängende Mengen. Intervlle sind ddurch chrkterisiert, dss zu je zwei Punkten, b I uch [, b] I gilt. Für Mengen im R m ersetzen wir dies durch die Bedingung, dss je zwei Punkte durch eine Kurve verbunden werden können. Bei konvexen Mengen fordern wir, dss die Strecke zwischen zwei Punkten in der Menge liegt Definition: Eine Kurve ist eine stetige Abbildung γ : I R n, wobei I ein Intervll in R ist. Flls I = [, b], so heißt die Kurve geschlossen, wenn γ() = γ(b) ist, wenn lso ihr Anfngspunkt γ() gleich dem Endpunkt γ(b) ist. Die Kurve heißt einfch, wenn γ injektiv ist. Ds Bild der Kurve wird mnchml mit der Kurve identifiziert. In diesem Fll heißt γ die Prmetrisierung der Kurve Beispiel: γ(t) = (cos(t), sin(t)) R 2

153 8.5. ZUSAMMENHÄNGENDE UND KONVEXE MENGEN 153 für t [0, 2π[. Ds Bild der Kurve (bzw. die Kurve) ist in diesem Fll der Einheitskreis. Die Kurve ist geschlossen (γ(0) = γ(2π)) und einfch, wie wir bewiesen hben Beispiel: γ v,w (t) = v + t(w v), t [0, 1], prmetrisiert die Strecke S v,w von v nch w. Jeder Punkt uf der Strecke ht eine eindeutige Drstellung x = λv + µw, λ + µ = 1, λ, µ 0. λ, µ heißen bryzentrische Koordinten von x. Der Zusmmenhng ist lso λ = 1 t, µ = t Definition: (1) Eine Teilmenge M R n heißt zusmmenhängend, wenn es zu je zwei Punkten us M eine Kurve in M gibt, die die Punkte verbindet. (2) M heißt konvex, wenn die Strecke zwischen je zwei Punkten us M wieder in M liegt. (3) Sie heißt sternförmig, wenn es einen Punkt in v M gibt, so dss die Strecke S v,w für lle w M in M liegt. Konvexe Mengen sind sternförmig. Sternförmige Mengen sind zusmmenhängend Beispiel: Kreise D r (x) K m sind konvex, ebenso wie Hlbebenen H = {x R n : φ(x) c} wobei φ : R n R liner ist. Ntürlich sind uch Unterräume konvex, ebenso wie Strecken. Linere Bilder und Urbilder von konvexen Mengen sind konvex Beispiel: Die zusmmenhängenden Teilmengen von R sind die Intervlle. Denn wir wissen schon, dss Intervlle zusmmenhängend sind. Wenn umgekehrt I R m zusmmenhängend ist, dnn muss für, b I uch [, b] I sein. Denn nch dem Zwischenwertstz nimmt jede Kurve von nch b jeden Wert in diesem Intervll n. Ntürlich ist es egl, uf welchen Intervll mn einen Weg definiert. Mn knn γ : [, b] K m immer zu γ : [c, d] K m umprmetrisieren, so dss ds Bild gleich ist Stz: Der Durchschnitt von konvexen Mengen ist konvex. Die Vereinigung von konvexen Mengen ist sternförmig, sofern ein Element im Schnitt existiert. Die Vereinigung von zusmmenhängenden Mengen ist ebenflls zusmmenhängend, sofern ein Element im Schnitt existiert. Beweis: Zum Beweis muss mn lediglich bemerken, dss mn zwei Wege γ 1, γ 2 : [0, 1] R zu einem zusmmen hängen knn, wenn γ 1 (1) = γ 2 (0)

154 154 KAPITEL 8. DER EUKLIDSCHE RAUM gilt. Dzu definiert mn γ : [0, 2] X durch { γ 1 (x), 0 x < 1, γ(x) = γ 2 (x 1), 1 < x 2. γ ist dnn ein stetiger Weg von γ 1 (0) nch γ 2 (1) Stz: Ds stetige Bild von zusmmenhängenden Mengen ist zusmmenhängend Beispiel: Als Folgerung erhlten wir, dss ds stetige Bild einer zusmmenhängenden Menge M unter eine Abbildung f : M R ein Intervll in R ist Definition: Sei M R n konvex. Eine Abbildung f : M R heißt konvex, wenn für lle x, y M ist. Dies ist äquivlent dzu, dss die Menge f(λx + µy) λf(x) + µf(y) {(x, f(x)) : x M} R n+1 über dem Grphen von f konvex ist. Wir hben dieselbe Definition schon für Funktionen einer Vriblen verwendet Stz: Sei U R n konvex und offen, sowie f : U R konvex. Dnn ist f stetig. Der Beweis dieses Stzes ist etws technisch und wird hier nicht wiedergegeben. Wir benötigen den Stz im Folgenden uch nicht Stz: Sei M R n zusmmenhängend und f : M R stetig. Flls dnn f(v) = < b < c = f(w) für v, w M und, b, c R, so existiert ein ξ M mit f(ξ) = b. Dies ist eine Verllgemeinerung des Zwischenwertstzes im R n. Beweis: Mn wendet den Zwischenwertstz uf die Funktion f γ n, wobei γ ein Weg von v nch w ist.

155 8.6. DIE NORM VON LINEAREN ABBILDUNGEN Die Norm von lineren Abbildungen Wir betrchten in diesem Abschnitt normierte Vektorräume über K = R oder K = C. Wie wir wissen, ist K n ein normierter Vektorrum über dem Körper K mit der Euklidschen Norm. Es stellt sich herus, dss die Whl der Norm für Konzepte wie Konvergenz und Stetigkeit unerheblich ist Stz: Seien V und W zwei normierte Vektorräume. Dnn ist eine linere Abbildung φ : V W genu dnn stetig, wenn φ := sup φ(v) < v 1 gilt. In diesem Fll definiert φ eine Norm uf dem Vektorrum L(V, W ) der stetigen lineren Abbildungen von V nch W. Beweis: Wenn φ stetig ist, so ist es in 0 stetig, und es existiert zu ɛ = 1 ein δ > 0 mit φ(u δ (0)) U 1 (0). Es folgt für lle v V v 1 φ(v) = 1 δ φ(δv) 1 δ. Es folgt φ <. Sei umgekehrt φ <. Dnn gilt w v < δ φ(w v) = δ φ( 1 (w v)) < δ φ. δ Es folgt, dss φ stetig in v ist. Der Beweis dfür, dss φ eine Norm ist, ist eine Übungsufgbe. Es gilt für die Hintereinnderusführung zweier stetiger linerer Abbildungen φ ψ φ ψ. Außerdem gilt für die identische Abbildung id = 1. Es folgt für für lle v V φ(v) φ v φ ist die kleinste Konstnte, so dss dies für lle v V gilt. Jede linere Abbildung φ von K m (mit der Euklidschen Norm) in einen normierten Vektorrum W ist stetig. Es gilt nämlich mit den Einheitsvektoren e 1,..., e m. φ(λ) = φ(λ 1 e λ n e m ) λ 1 φ(e 1 ) λ m φ(e m ) C ( λ λ m ) C n λ. Die letzte Ungleichung folgt us der Schwrzschen Ungleichung. Aufgrund des obigen Stzes ist φ lso stetig.

156 156 KAPITEL 8. DER EUKLIDSCHE RAUM 8.42 Stz: Seien V, W zwei normierte Vektorräume und V endlich dimensionl. Dnn ist jede linere Abbildung φ : V W stetig. Beweis: Sei v 1,..., v m eine Bsis von V, und ψ : K m V definiert durch ψ() = 1 v m v m, wobei der K m mit der Euklidschen Norm versehen sei. Dnn ist ψ eine bijektive linere Abbildung. Aufgrund der obigen Bemerkung wissen wir bereits, dss f ψ : K m W stetig ist. Wegen f = (f ψ) ψ 1 genügt es zu zeigen, dss ψ 1 stetig ist. Wir wissen ufgrund der obigen Bemerkung uch, dss ψ stetig ist. D K 1 = { R m : = 1} kompkt und jede Norm ls Abbildung wegen stetig ist, existiert v ṽ v ṽ. c = min{ ψ() : K m, = 1}. Weil ψ bijektiv ist, knn nicht c = 0 sein. Es gilt lso c > 0. Esi gilt nun für lle K m > 1 ψ() = ψ ( ) 1 > c. Drus folgt Es folgt nun leicht und ψ 1 ist stetig. w c ψ 1 (w) 1. ψ 1 < 1 c, Insbesondere ist die Inverse einer lineren Abbildung zwischen endlich dimensionlen Vektorräumen immer stetig Stz: Alle Normen uf einem endlich-dimensionlen Vektorrum V sind äquivlent. Ds heißt, zu zwei Normen v 1 und v 2 existieren Konstnten 0 < c < d mit v 1 c v 2, v 2 d v 1 für lle v V. Die Metriken, die zu den beiden Normen gehören, erzeugen dieselben konvergenten Folgen, dieselben bgeschlossenen, offenen oder kompkten Mengen.

157 8.6. DIE NORM VON LINEAREN ABBILDUNGEN 157 Beweis: Mn knn d = id wählen, wobei id die Abbildung von V versehen mit der Norm v 2 nch V versehen mit der Norm v 1 ist. Wir schließen drus, dss jeder endlich dimensionle normierte Vektorrum der Dimension m bezüglich seiner Konvergenz-Eigenschften äquivlent zum K m mit der Euklidschen Norm ist. Er ist lso zum Beispiel vollständig und jede bsolut konvergente Reihe konvergiert Beispiel: Der Rum der reellen Polynome P n vom Grd kleiner oder gleich n ht die endliche Dimension n+1. Versieht mn ihn für < b zum Beispiel mit der Supremums-Norm p [,b] = mx x [,b] p(x), so wird er zu einem endlich dimensionlen normierten Vektorrum. Jede beschränkte Folge von Polynomen ht dher einen Häufungspunkt. Dies ist nicht mehr der Fll, wenn wir den Rum ller Polynome uf R betrchten, wie ds Beispiel uf [0, 1] zeigt. p n (x) = x n Definition: Fixiert mn eine Norm uf K m und K u, so erhält mn eine Norm uf dem Rum der Mtrizen K u m ls Norm der zugehörigen lineren Abbildung Beispiel: (1) Nimmt mn die Mximumsnorm v = mx v k k sowohl uf K u, ls uch uf K m, so ist die Zeilensummennorm m A = mx i,j die zugehörige Mtrixnorm. 1 i u j=1 (2) Für die l 1 -Norm v 1 = v k k uf Quell- und Zielrum ist es die Spltensummennorm u A = mx i,j. (3) Für die Euklidsche Norm ist es der Spektrlrdius 1 j m i=1 v = v k 2 A = k ρ(a T A) Dbei steht ρ(m) für den betrgsgrößten (komplexen) Eigenwert der Mtrix M. Mn bechte, dss A T A nur nicht-negtive reelle Eigenwerte ht.

158 158 KAPITEL 8. DER EUKLIDSCHE RAUM 8.7 Der Bnchsche Fixpunktstz 8.47 Stz: Sei X ein vollständiger metrischer Rum und A X bgeschlossen, sowie f : A A eine kontrhierende Abbildung, d.h. es gibt eine Konstnte c < 1 mit d(f(x), f(y)) cd(x, y) für lle x, y A. Dnn ht f genu einen Fixpunkt f(x) = x in A, und jede Folge konvergiert gegen x. x 0 A, x n+1 = f(x n ) Beweis: Mn erhält zunächst für m n per Induktion Drus folgt d(x m+1, x m ) c m n d(x n+1, x n ) d(x m, x n ) d ( x n+1, x n ) + d ( x n+2, x n+1 ) +... cn 1 c d(x 1, x 0 ). Es folgt, dss die x n eine Cuchy-Folge bilden, und dher konvergieren. D A bgeschlossen ist, liegt der Grenzwert x in A. D f utomtisch stetig ist, ist x ein Fixpunkt von f. Es gilt die Abschätzung d(x n, x) 1 1 c d(x n+1, x n ) Stz: Folgenkompkte metrische Räume sind vollständig. Beweis: sei (x n ) n N eine Cuchy-Folge in dem folgenkompkten metrischen Rum X. Dnn ht die Folge einen Häufungspunkt x X. Zu ɛ > 0 sei N N mit d(x n, x m ) < ɛ für lle n, m > N Dzu existiert ein m N mit d(x m, x) < ɛ. Folglich d(x, x n ) < d(x, x m ) + d(x m, x n ) < 2ɛ für lle n N.

159 Kpitel 9 Differentilrechung mehrerer Vriblen Wir erweitern hier die Differentilrechung uf Funktionen, die von mehreren Veränderlichen bhängig sind, und uf vektorwertige Funktionen. Die Funktionen bilden lso Teilmengen des R m in den Rum R u b. 9.1 Prtielle Ableitungen Zunächst leiten wir Funktionen von mehreren Vriblen nch jeder Vriblen einzeln b, wobei die nderen fest bleiben. Dnch erst setzen wir diese prtiellen Ableitungen zu einer totlen Ableitung zusmmen. In diesem Abschnitt werden ußerdem Richtungsbleitungen definiert, bei denen sich die Funktion nur in eine Richtung ändert Definition: Sei U R m offen. Dnn heißt eine Funktion f : U R prtiell differenzierbr nch x i in x U, wenn die Abbildung definiert uf der offenen Menge g x,i (t) := f(x 1,..., x i 1, t, x i+1,..., x m ) T x,i := {t R : (x 1,..., x i 1, t, x i+1,..., x m ) U} nch t differenzierbr ist. In diesem Fll schreiben wir D i f(x) = x i f(x) := g x,i(x i ). f heißt prtiell differenzierbr in x wenn es nch llen Vriblen prtiell differenzierbr ist, und prtiell differenzierbr in U, wenn es in llen Punkten x U prtiell differenzierbr ist. f heißt stetig prtiell differenzierbr in U, wenn die Funktionen f(x),..., f(x) x 1 x m 159

160 160 KAPITEL 9. DIFFERENTIALRECHUNG MEHRERER VARIABLEN stetig in U sind. Wenn diese Funktionen prtiell differenzierbr sind, so schreiben wir für diese zweifchen prtiellen Ableitungen 2 x i x j f(x), Entsprechend definiert mn zweiml stetig prtiell differenzierbre Funktionen etc. Wir definieren den m-dimensionlen Zeilenvektor ( ) grd f(x) := f(x)... f(x) R 1 m, x 1 x m den mn den Grdienten von f in x nennt. 2 x 2 i f(x) Bei Funktionen, die durch einen Ausdruck gegeben sind, wie etw u(x, y) = x 2 + y 2 Schreibt mn für die prtiellen Ableitungen uch u x und u y, und für zweite prtielle Ableitungen u xx etc. Abbildung 9.1: u(x, y) = xy Beispiel: Die Ableitung ht die prtiellen Ableitungen x u(x, y) = y2, Im Punkt (x, y) = (1/2, 1/2) berechnet mn u(x, y) = xy 2 u(x, y) = 2xy. y u x (1/2, 1/2) = 1/4, u y (1/2, 1/2) = 1/2.

161 9.1. PARTIELLE ABLEITUNGEN 161 In Abbildung 9.1 sind die Richtungen, in die jeweils bgeleitet wurde erkennbr. Auch die verschiedenen Steigungen in die beiden Richtungen sind erkennbr. Mn knn genu wie im Eindimensionlen uch einseitige Ableitungen betrchten. Wir wollen jedoch hier dvon bgesehen und nnehmen, dss die Definitionsmenge U offen ist Definition: Sei U R m offen und f : U R eine Funktion. Für h R m definieren wir g x,h (t) := f(x + th), sofern x + th U. Dnn heißt D h f(x) = g x,h(0) die Richtungsbleitung von f in x in Richtung h, sofern diese Ableitung existiert. Die prtielle Ableitung ist offenbr die Richtungsbleitung in Richtung der Einheitsverktoren e 1,..., e m, lso D i f(x) = f(x) = D ei f(x). x i Die Richtungsbleitung hängt von der Länge des Vektors h b. Es gilt nämlich D λh f(x) = λd h f(x). Die ntürliche Steigung der Funktion f in Richtung h 0 definiert mn dher m besten ls m h := 1 h D hf(x). Dies ist die nschulich sichtbre Steigung m Grphen von f. Es ist offensichtlich, dss die Existenz der prtiellen Ableitungen nicht genügt, um die Existenz der Richtungsbleitung in ndere Richtungen ls die Einheitsvektoren sicher zu stellen. Der folgende Stz besgt ber, dss genu dies möglich ist, wenn die prtiellen Ableitungen stetig sind. 9.4 Stz: Sei U R m offen und f : U R eine stetig prtiell differenzierbre Funktion. Dnn existiert für lle x U und h R m die Richtungsbleitung, und es gilt D h f(x) = m i=1 Für die Funktion R(h), die für festes x durch x i f(x) h i = grd f(x) h. f(x + h) = f(x) + grd f(x) h + R(h) definiert ist, gilt R(h) lim h 0 h = 0.

162 162 KAPITEL 9. DIFFERENTIALRECHUNG MEHRERER VARIABLEN Beweis: Mit dem Mittelwertstz gilt f(x 1 + th 1, x 2,..., x m ) f(x 1,..., x m ) = th 1 f(η 1, x 2,..., x m ) x 1 mit η 1 zwischen x 1 und x 1 + th 1. Weiter f(x 1 + th 1, x 2 + th 2,..., x m ) f(x 1 + th 1, x 2,..., x m ) = th 2 f(x + th 1, η 2,..., x m ). x 2 Durch sukzessive Anwendungen des Mittelwertstzes erhält mn lso mit Punkten f(x + th) f(x) = t m i=1 h i x i f(ξ i ) ξ i U t h (x) für lle i = 1,..., m. Mit t 0 folgt die Existenz der Richtungsbleitung und die erste Behuptung us dem Stz. Mit t = 1 erhlten wir m R(h) = f(x + h) f(x) f(x) h i x i = m i=1 i=1 ( x i f(x) mit Punkten ξ i U h (x). Aufgrund der Schwrzschen Ungleichung lso R(h) h m i=1 ( x i f(x) ) 2 f(ξ i ). x i ) f(ξ i ) h i x i Wegen der Stetigkeit der prtiellen Ableitungen folgt die Behuptung. Der Stz besgt, dss es im Flle der stetig prtiellen Differenzierbrkeit in x U eine von x bhängige linere Abbildung L(h) = grd f(x) h gibt, so dss f(x + h) = f(x) + L(h) + R(h) gilt, wobei R(h) = o(h) ist. Die ffine Abbildung T (y) = f(x) + L(y x) verläuft tngentil n die Funktion f. Den Grph der tngentilen ffinen Abbildung ist die Tngentilebene n f. Die tngentile linere Abbildung ist eindeutig bestimmt. Wir werden ds später llgemeiner beweisen. Wir hben lso D h f(x) = g x,h(0) = grd f(x) h.

163 9.1. PARTIELLE ABLEITUNGEN 163 Die Funktion g x,h (t) ist unter den Bedingungen des Stzes in llen Punkten differenzierbr, in denen sie definiert ist. Es gilt g x,h(t) = grd f(x + th) h. Ds knn us dem Stz hergeleitet werden, wenn mn die Richtungsbleitung in Richtung h im Punkt x + th verwendet. Es gilt nämlich g x+th,h (s) = g x,h (t + s). Also nch dem Stz g x,h(t) = g x+th,h(0) = grd f(x + th) h Beispiel: (1) Die Funktion f(x) = x x 2 2 ht im Punkt x = (2, 3) den Grdienten grd f(x) = (2x 1, 2x 2 ) = (4, 6). und die tngentile linere Abbildung T (y) = f(x) + grd f(x) (y x) = (y 1 2) + 6 (y 2 3). Der Fehler berechnet sich exkt ls R(h) = f(x + h) (f(x) + grd f(x) h) = (x 1 + h) 2 + (x 2 + h) 2 (x x h 1 x 1 + 2h 2 x 2 ) = h h 2 2 = h 2. In der Tt R(h) lim h 0 h = 0. (2) In der Schreibweise u(x, y) ist die Drstellung etws nders. Die Funktion u(x, y) = xy 2 ht im Punkt x = y = 1/2 die Tngentilebene z = T (x, y) = (x 1 2 ) (y 1 2 ). Die Ebene ht lso die Gleichung 8z 2x 4y = 2. Die ntürliche Steigung ist definiert ls m h = 1 (grd f(x) h). h Aufgrund von Sätzen der lineren Algebr wird dieser Ausdruck mximl für h = grd f(x). Also ist der Grdient die Richtung des mximlen Anstiegs der Funktion f im Punkt x. Dort ist m grd f(x) = grd f(x).

164 164 KAPITEL 9. DIFFERENTIALRECHUNG MEHRERER VARIABLEN Abbildung 9.2: Niveulinie u(x, y) = 1 und Grdienten die Gegenrichtung h = grd f(x) ist die Richtung des stärksten Abstiegs. Zum Grdienten senkrechte Richtungsbleitungen sind gleich 0. Dort ist die Funktion tngentil n eine Konstnte Beispiel: Die Funktion ht den Grdienten Die Niveulinie der Funktion u(x, y) = y2 + xy + x 3 + x ( y + 3x 2 + 2x grd u(x, y) =, 2y + x ). 2 2 N 0 (f) = {(x, y) : u(x, y) = 0} sieht mn in Abbildung 9.2 zusmmen mit nderen Niveulinien. In einigen Punkten ist sind die Grdienten eingezeichnet. Beispielsweise gilt grd u( 1, 2) = (3/2, 3/2) = grd u( 1, 1) = (0, 3/2) = 3 2 = 1.5.

165 9.2. LOKALE EXTREMA 165 Abbildung 9.3: Grph der Funktion u(x, y) Diese Punkte sind uch ttsächlich in N 0 (f). Der dreidimensionle Grph der Funktion ist im Bild 9.3 wiedergegeben. Mn rechnet nch, dss der Grdient genu in zwei Punkten gleich (0, 0) wird. grd u(0, 0) = grd u( 1/2, 1/4) = (0, 0). In diesem Punkt ist der Grdient ttsächlich gleich (0, 0). Die Tngentilebene verläuft prllel zur x-y-achse. Wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden, liegt in (0, 0) ttsächlich ein lokles Minimum von u(x, y) vor, nicht ber in ( 1/2, 1/4). 9.2 Lokle Extrem Wir können nun die Richtungsbleitung usnutzen, um notwendige Bedingungen für lokle Minim und Mxim zu erhlten. Für hinreichende Bedingungen müssen wir llerdings die zweite Ableitung zu Hilfe nehmen.

166 166 KAPITEL 9. DIFFERENTIALRECHUNG MEHRERER VARIABLEN 9.7 Stz: Sei U R m offen und f : U R eine prtiell differenzierbre Funktion. In x U liege ein lokles Extremum von f. Dnn sind lle prtiellen Ableitungen gleich 0, lso grd f(x) = 0. Beweis: Der Beweis ist trivil, weil lokle Extrem uch lokle Extrem der Funktion sind, wenn mn lle, bis uf eine Vrible festhält. Genu wie im eindimensionlen ist dies nur eine notwendige Bedingung für Extrem. Um eine hinreichende Bedingung zu erhlten, müssen wir die zweiten Richtungsbleitungen berechnen Beispiel: Wenn wir jedoch wissen, dss ein Minimum existieren muss, so können wir ds Minimum mit diesem Stz berechnen. Ein Beispiel ist die Berechnung von minimlen Abständen zu prmetrisierten Flächen. Sei G = {(x, y, x 2 + y 2 ) : x, y R} der Grph der Funktion z = x 2 + y 2. Im Bild 9.4 ist G gezeichnet, ebenso wie Niveulinien von x 2 + y 2. Abbildung 9.4: Die Menge G Wir suchen den Punkt P uf dem Grphen, der den minimlen Abstnd zum Punkt Q = (1, 1, 0) ht. Der Punkt Q befindet sich in der Abbildung in der rechten unteren Ecke. Dzu minimieren wir die Funktion f(x, y) = d(p, G) 2 = (x 1) 2 + (y 1) 2 + (x 2 + y 2 0) 2

167 9.2. LOKALE EXTREMA 167 uf dem R 2. D 0 G ist und d(0, Q) = 1 bruchen wir zum Auffinden des Minimums nur die Menge G = D 2 (Q) G zu betrchten. Diese Menge ist bgeschlossen und beschränkt und dher kompkt. Folglich muss es einen Punkt mit minimlem Abstnd geben, und f muss deswegen ein globles Minimum hben. Es gilt grd f(x, y) = (4x(x 2 + y 2 ) + 2(x 1), 4y(y 2 + x 2 ) + 2(y 1)). Setzt mn den Grdienten gleich 0, so entstehen die Gleichungen 2x(x 2 + y 2 ) = 1 x, 2y(x 2 + y 2 ) = 1 y. Es folgt x 0 und y 0. Division durch x bzw. y ergibt sofort x = y. Drus folgt x = y = 1 2. Der gesuchte Punkt ist dher P = ( 1 2, 1 2, 1 ) G Definition: Wir schreiben für die zweiten prtiellen Ableitung, zuerst nch x j, dnn nch x i D i,jf(x) = 2 x i x j f(x). Die Mtrix Hf(x) := heißt Hesse-Mtrix von f in x. 2 x 1 x 1 f(x) f(x)... x 1 x m 2 f(x) x m x 1. 2 f(x) x m x m 9.10 Stz: (Stz von Schwrz) Sei U R m offen und f : U R eine zweiml stetig prtiell differenzierbre Funktion. Dnn gilt 2 x i x j f(x) = 2 x j x i f(x) für lle 1 i, j m. Die Hesse-Mtrix ist lso symmetrisch.

168 168 KAPITEL 9. DIFFERENTIALRECHUNG MEHRERER VARIABLEN Beweis: Zur Vereinfchung der Nottion sei m = 2. Wir schreiben lso nur die Vriblen uf, die sich ändern. Wir verwenden die Funktion g(t) = f(t, x 2 + h 2 ) f(t, x 2 ). Wie mn mit Hilfe der Definition der Ableitung sieht, gilt g (t) = lim dt 0 g(t + dt) g(t) dt f(t + dt, x 2 + h 2 ) f(t, x 2 + h 2 ) = lim dt 0 dt = x 1 f(t, x 2 + h 2 ) x 1 f(t, x 2 ). lim dt 0 f(t + dt, x 2 ) f(t, x 2 ) dt Es folgt nch dem Mittelwertstz ( g(x 1 + h 1 ) g(x 1 ) = g (ξ 1 ) h 1 = h 1 f(ξ 1, x 2 + h 2 ) ) f(ξ 1, x 2 ) x 1 x 1 Auf diese Funktion wenden wir in gleicher Weise den Zwischenwertstz erneut n. Dnn erhält mn f(x 1 + h 1, x 2 + h 2 ) f(x 1 + h 1, x 2 ) f(x 1, x 2 + h 2 ) + f(x 1, x 2 ) mit Zwischenwerten ξ 1, ξ 2. Es folgt speziell = g(x 1 + h 1 ) g(x 1 ) = h 1 h 2 2 x 2 x 1 f(ξ 1, ξ 2 ) f(x 1 + h, x 2 + h) f(x 1 + h, x 2 ) f(x 1, x 2 + h) + f(x 1, x 2 ) lim h 0 h 2 = 2 f(x 1, x 2 ). x 2 x 1 Vertuscht mn nun die Reihenfolge von x 1 und x 2 in dem obigen Argument, so folgt die Behuptung us der Stetigkeit der zweiten prtiellen Ableitungen Beispiel: Wir verwenden die Funktion Wir erhlten und f(x, y) = x 2 y 3 xy. grd f(x, y) = (2xy 3 y, 3x 2 y 2 x) ( ) 2y 3 6xy Hf(x, y) = 2 1 6xy 2 1 6x 2. y Wir rechnen zur Demonstrtion noch den Grenzwert us dem obigen Beweis nch. f(x + h, y + h) f(x + h, y) f(x, y + h) + f(x, y)) h 2 = 6xy 2 + 3hy 2 + 6hxy + 3h 2 y + 2h 2 x + h 3 1 6xy 2 1. Für mehrfch stetig prtiell differenzierbre Funktionen folgt, dss die Reihenfolge der Ableitungen keine Rolle spielt. Die prtielle Ableitung hängt lediglich von den Vriblen b, nch denen differenziert wird. Also zum Beispiel u xxy = u xyx = u yxx mit der schon eingeführten Kurzschreibweise für prtielle Ableitungen.

169 9.2. LOKALE EXTREMA Stz: Sei U R m offen und f : U R eine zweiml stetig prtiell differenzierbre Funktion. Dnn existiert für x U und h R die zweite Ableitung der Funktion g x,h (t) := f(x + th) in llen Punkten mit t mit x + th U, und es gilt g x,h(t) = 1 i,j m 2 x i x j f(x + th) h i h j = h T H(x + th) h. Beweis: Gemäß dem vorigen Abschnitt ist g x,h(t) = m i=1 Die Behuptung folgt durch erneutes Differenzieren. h i f(x + th). x i Beispiel: Wir betrchten die Funktion Es gilt und In der Tt gilt Also g f(x, y) = x 2 + y 2 xy. grd f(x, y) = (2x y, 2y x) Hf(x, y) = ( ) g 0,h (t) = f(th 1, th 2 ) = t 2 (h h 2 2 h 1 h 2 ). ( ) 0,h(0) = 2(h h 2 2 h 1 h 2 ) = h T 2 1 h. 1 2 Dss die zweite Ableitung hier konstnt ist, liegt drn, dss die Funktion ein Polynom mit totlem Grd 2 ist. Wie verwenden nun den Stz von Hurwitz über positiv definite Mtrizen. Eine reelle, qudrtische, symmetrische m m-mtrix H heißt positiv definit, wenn h T H h > 0 für lle h 0, h R m gilt. Nch dem Kriterium von Hurwitz ist dies genu dnn der Fll, wenn det H i > 0 für lle i = 1,..., m gilt, wobei H i die linken oberen i i-untermtrizen von H bezeichnet. Dmit knn mn nchrechnen, ob eine Mtrix positiv definit ist. Äquivlent zu dieser Bedingung ist, dss die Eigenwerte der Mtrix H lle positiv sind. Mn bechte, dss die Eigenwerte einer

170 170 KAPITEL 9. DIFFERENTIALRECHUNG MEHRERER VARIABLEN symmetrischen Mtrix immer reell sind. Die Mtrix besitzt ußerdem eine Orthogonlbsis us Eigenvektoren. H heißt negtiv definit, wenn H positiv definit ist. Dies ist genu dnn der Fll, wenn det H 1 < 0, det H 2 > 0, det H 3 < 0,... gilt. Äquivlent dzu ist, dss die Eigenwert der Mtrix H lle negtiv sind. Wir hlten ußerdem fest, dss eine positiv definite Mtrix nur positive Digonlelemente, und eine negtive definite Mtrix nur negtive Digonlelemente enthlten knn. Dies folgt us der Betrchtung von e T i He i mit den Einheitsvektoren e i. Die Mtrix H heißt indefinit wenn der Ausdruck h T H h sowohl positive, ls uch negtive Werte nnehmen knn. Nch Sätzen der Lineren Algebr ist dies genu dnn der Fll, wenn die Mtrix H sowohl positive, ls uch negtive Eigenwerte ht. Flls lso det H 0 ist und ds Hurwitz-Kriterium versgt, muss die Mtrix indefinit sein Stz: Sei U R n offen und f : U R eine zweiml stetig prtiell differenzierbre Funktion. Sei für x U grd f(x) = 0 und sei H(x) positiv definit. Dnn liegt in x ein lokles Minimum vor. Wenn H(x) negtiv definit ist, so hndelt es sich um ein lokles Mximum. Wenn die Mtrix indefinit ist, so liegt weder lokles Mximum, noch ein lokles Minimum vor (Sttelpunkt). Beweis: Aufgrund des Kriterium von Hurwitz gilt die positive Definitheit in einer Umgebung V von x. Also sind lle oben berechneten zweiten Ableitungen positiv, wenn x+th V ist. Es folgt, dss x eindeutiges Minimum uf V ist. Flls H indefinit ist, so gibt es eine Richtung h 0, in der f ein lokles Mximum ist, und eine ndere Richtung, in der es lokles Minimum ist. Im indefiniten Fll geben die Eigenvektoren der Mtrix Richtungen n, in die die Funktion ein Mximum oder Minimum ist Beispiel: Wir kommen zurück uf ds Beispiel des letzten Abschnittes u(x, y) = y2 + xy + x 3 + x Der Grdient wird in den Punkten (0, 0) und ( 1/2, 1/4) gleich (0, 0). Die beiden Punkte sind lso die einzigen Kndidten für lokle Extrem (kritische Punkte). Es gilt Hf( 1/2, 1/4) = ( ) 1/2 1/2, Hf(0, 0) = 1/2 1 ( ) 1 1/2. 1/2 1

171 9.2. LOKALE EXTREMA 171 Abbildung 9.5: Niveulinien von u(x, y) in der Nähe von (0, 0) Im ersten Fll ist die Mtrix indefinit, weil sie positive und negtive Digonlelemente ht. Im zweiten Fll ergibt ds Hurwitz-Kriterium, dss die Mtrix positiv definit ist. In (0, 0) liegt dher ein lokles Minimum von u(x, y) vor. In Abbildung 9.5 sind die beiden kritischen Punkte eingezeichnet, sowie einige Niveulinien der Funktion u(x, y). Gnz nlog zum reellen Fll ist ein lokles Minimum von f : R m R globl, wenn die Funktion überll positiv definite Hessemtrizen besitzt. Dies knn mn noch uf Funktionen f : U R, U R m offen, verllgemeinern, wenn U die Eigenschft ht, dss jeder Punkt vom Minimum us durch eine Strecke zu erreichen ist (Solche Mengen heißen sternförmig). Die Begründung ist einfch, dss in diesem Fll ds lokle Minimum x ein globles Minimum uf jeder Gerden G v = {x + λv U : λ R} ist, weil die Abbildung f(x + tv) konvex ist. Eine zweiml stetig prtiell differenzierbre Funktion f : U R, die uf einer konvexen Menge definiert ist, ist genu dnn konvex, wenn Hf(x) über ll positiv semi-definit ist. Wenn Hf(x) überll positiv definit ist, so ist die Funktion strikt konvex. Dies ergibt sich wieder us der Bedingung für die Konvexität einer Funktion in einer Vriblen.

172 172 KAPITEL 9. DIFFERENTIALRECHUNG MEHRERER VARIABLEN 9.3 Die totle Ableitung In diesem Abschnitt erweitern wir die Differentilrechnung uf Abbildung vom R m in den R k Definition: Sei U R m offen und f : U R k eine Abbildung. Dnn heißt f totl differenzierbr (oder einfch differenzierbr) in x U, wenn es eine linere Abbildung L : R m R k gibt, so dss für die durch definierte Restfunktion R(h) f(x + h) = f(x) + L(h) + R(h) R(h) lim h 0 h = 0 gilt. Die zu L gehörige Mtrix heißt Jocobi-Mtrix und wird mit Df(x) oder mit J(x) bezeichnet, lso f(x + h) = f(x) + Df(x) h + R(h). f heißt differenzierbr in U, wenn es in llen x U differenzierbr ist. f heißt stetig differenzierbr, wenn die Elemente der Jcobimtrix stetig von x bhängen Stz: Sei f : U R k in x U totl differenzierbr, U R m offen. Dnn sind uch lle Komponentenbbildungen f 1,..., f k in x totl differenzierbr. Sie sind ußerdem prtiell differenzierbr in x und es gilt für die Jcobimtrix von f f 1 (x)... x 1 Df(x) =. f k (x)... x 1 f 1 (x) x m. = f k (x) x m grd f 1 (x). grd f k (x). Beweis: Sei f(x + h) = f(x) + Df(x) h + R(h) mit einer geeigneten Restfunktion R. Seien d i die Zeilen von Df(x) und R i die Komponenten von R. Dnn gilt f i (x + h) = f i (x) + d i h + R i (h) Offenbr ist R i ist wieder eine geeignete Restfunktion für f i, und dher ist f i wieder totl differenzierbr. Außerdem muss nun d i = grd f i (x) gelten. Wir hben uf diese Weise bewiesen, dss die Jcobi-Mtrix eindeutig bestimmt ist. Dies hätte mn uch direkt einsehen können. Aus f(x + h) = f(x) + A h + R(h) = f(x) + Ã h + R(h)

173 9.3. DIE TOTALE ABLEITUNG 173 folgt nämlich R(h) R(h) h ( ) 1 = (A Ã) h h. Setzt mn hier h = λv mit v = 1 und λ 0, λ > 0, dnn folgt us der verlngten Eigenschft der beiden Restfunktionen R und R (A Ã) v = 0. Dies ist ber nur dnn für lle v = 1 möglich, wenn A = Ã ist Stz: Sei U R m offen und f : U R k eine Abbildung mit den Komponenten f 1,..., f k : U R. Seien lle Komponentenbbildungen stetig prtiell in x U differenzierbr. Dnn ist f in x totl differenzierbr. Beweis: Seien lle Komponenten stetig prtiell differenzierbr. Dnn wissen wir bereits, dss es Restfunktionen R i gibt mit f i (x + h) = f i (x) + grd f i (x) h + R i (h) und der Bedingung R i (h) lim = 0. h 0 h für i = 1,..., k. Es folgt unter Verwendung der im Stz ngegebenen Mtrix Df(h) mit f(x + h) = f(x) + Df(x) h + R(h), R 1 (h) R(h) =.. R k (h) f ist lso totl differenzierbr in x wegen R(h) lim = lim h 0 h h Beispiel: Liner ffine Abbildungen sind differenzierbr mit Jcobimtrix A. f(x) = A x + b i R i (h) 2 h 2 = 0. Wenn U R ist (n = 1), dnn ist f genu dnn differenzierbr, wenn lle f i differenzierbr sind. In diesem Fll knn mn lso uf die Vorussetzung der stetigen Differenzierbrkeit verzichten. Wenn f in x U differenzierbr ist, ist es in x stetig. Wir verllgemeinern nun die eindimensionle Kettenregel uf Funktionen mehrerer Vriblen. (g f) (x) = g (f(x)) f (x).

174 174 KAPITEL 9. DIFFERENTIALRECHUNG MEHRERER VARIABLEN 9.20 Stz: Sei U R n, V R k offen, sowie f : U V, g : V R m Abbildungen. Sei f in x U differenzierbr, und g in f(x). Dnn ist g f in x differenzierbr und es gilt D(g f)(x) = Dg(f(x)) Df(x). Dies ist die Kettenregel für vektorwertige Abbildungen. Beweis: Dnn gilt Sei x U, sowie R und R die Restfunktionen des Differentils in x und f(x). g(f(x + h)) = g(f(x) + Df(x)h + R(h)) = g(f(x)) + Dg(f(x))(Df(x)h + R(h)) + R(Df(x)h + R(h)) = g(f(x)) + (Dg(f(x))Df(x))h + Dg(R(h)) + R(Df(x)h + R(h)). Wir müssen diese Restfunktion noch untersuchen. Es gilt ber Dg(R(h)) h Dg R(h) h 0 mit h 0. Außerdem R(Df(x)h + R(h)) h R(Df(x)h + R(h)) Df(x)h + R(h) ( Df(x) + R(h) ) h Mit h 0 geht der erste Fktor gegen 0, und der zweite ist beschränkt Beispiel: Ds für uns wichtige Beispiel ist eine Kurve im R n, die durch eine Abbildung f : I R m mit Komponentenfunktionen f 1,..., f m : I R gegeben ist, wobei I ein reelles Intervll ist. Mn schreibt, wenn f differenzierbr ist, f 1(x) f (x) := Df(x) =.. f m(x) Wenn f(i) U, U offen, und g : U R eine differenzierbre Funktion ist, so erhlten wir d dx g(f 1(x),..., f m (x)) = grd g(f(x)) f (x) = m i=1 f i(x) x i g(x i ). Mn bechte dbei, dss die Ableitung der Funktion g f : I R eine 1 1-Mtrix ist, die genu die gewöhnliche eindimensionle Ableitung ls Element ht.

175 9.3. DIE TOTALE ABLEITUNG 175 Der Mittelwertstz f(b) f() = f (ξ)(b ) lässt sich nicht in gleicher Weise uf Funktionen mehrere Vriblen oder uch nur uf Kurven verllgemeinern. Beispielsweise knn mn einml im Kreis herum gehen, so dss f(b) f() = 0 wird, ohne dss der Geschwindigkeitsvektor f (ξ) jemls gleich 0 wird. Es gilt ber die folgende Abschätzung Stz: Sei f : [, b] R m stetig und in ], b[ differenzierbr. Dnn gilt ( ) f(b) f() sup f (ξ) ξ ],b[ Gleichheit gilt nur dnn, wenn f uf ], b[ konstnt ist. b Beweis: Mit v = f(b) f() setzen wir Dnn gilt g(t) := f(t) f(), v g (t) = g (t), v Es folgt us dem eindimensionlen Mittelwertstz und der Schwrzschen Ungleichung f(b) f() 2 = g(b) g() = g (ξ)(b ) f (ξ) f(b) f() (b ). Drus folgt die Behuptung. Dmit die Gleichheit gilt, muss ufgrund des eindimensionlen Flles g (t) konstnt sein, und ufgrund der Schwrzschen Ungleichung f (ξ) ein Vielfches von f(b) f(). Drus folgt, dss f (ξ) konstnt sein muss. Für m = 1 folgt der Stz us dem Mittelwertstz der Differentilrechung. Im Fll m = 3 bedeutet er physiklisch, dss der zurückgelegte Weg mit der mximlen Geschwindigkeit bgeschätzt werden knn. Mn knn den Stz lso die physiklische Dreiecksungleichung nennen. Also Konsequenz folgt für llgemeine differenzierbre Abbildungen f : U R m, U R n offen, ( ) f(x 1 ) f(x 2 ) sup Df(x 1 + ξ(x 2 x 1 )) ξ ]0,1[ wobei wie nnehmen, dss die Strecke zwischen x 1 und x 2 in U liegt. x 1 x 2, Eine stetig differenzierbre Funktion f : I R, wobei I ein offenes Intervll in R ist, für die f (x) 0 für lle x I gilt, ist streng monoton und dher invertierbr. Wir wissen us der eindimensionlen Theorie f 1 (y) = 1 f (x) für x I und y = f(x). Diesen Schverhlt verllgemeinern wir nun uf Funktionen mehrerer Vriblen. Allerdings knn mn ntürlich nicht mehr mit Monotonie rgumentieren.

176 176 KAPITEL 9. DIFFERENTIALRECHUNG MEHRERER VARIABLEN 9.23 Stz: Sei U R n offen und f : U R n stetig differenzierbr, sowie x U mit det Df(x) 0. Dnn existiert eine offene Umgebung V U von x, so dss f(v ) ebenflls offen ist und f : V f(v ) bijektiv ist. f 1 ist in V stetig differenzierbr, und es gilt Df 1 (f(x)) = Df(x) 1. f ist lso lokl invertierbr, wenn Df(x) invertierbr ist. Beweis: Sei y = f(x). Wir wählen ɛ, δ > 0 mit später zu spezifierenden Eigenschften. Es soll zunächst gelten U 2ɛ (x) U. Sei s U δ (y). Wir suchen t = f 1 (s) U ɛ (x) mit Hilfe der Fixpunktitertion t 0 = x, t n+1 = φ(t n ) := t n Df(x) 1 (f(t n ) s). Der Opertor φ ist stetig und dher ist jeder Grenzwert t der Folge (t n ) n N ein Fixpunkt von φ. Es folgt f(t) = s. Um den Bnchschen Fixpunktstz nzuwenden, müssen wir zunächst φ(d ɛ (x)) D ɛ (x) nchweisen. Dzu berechnen wir mit Hilfe der Differenzierbrkeit von f in x und der Restfunktion R φ(t) x = t x Df(x) 1 (f(x) + Df(x)(t x) + R(t x) s) = Df(x) 1 (y s + R(x t)) Df(x) 1 (δ + R(t x) ) < ɛ. wenn wir zunächst ɛ > 0 so klein wählen, dss ist, und dnn R(t x) t x δ < < 1 2 Df(x) 1 ɛ 2 Df(x) 1. Dnn müssen wir nchweisen, dss φ uf D ɛ (x) kontrhiert. Es gilt φ(t) φ( t) mx Dφ(ξ) t t. ξ D ɛ(x) Außerdem Dφ(ξ) = I Df(x) 1 Df(ξ).

177 9.3. DIE TOTALE ABLEITUNG 177 Diese Mtrix konvergiert mit ξ x gegen die Nullmtrix. Wählt mn ɛ > 0 klein genug, so ist lso die Kontrktion gesichert. Wir hben lso nchgewiesen, dss jedes s U δ (y) genu ein Urbild t D ɛ (x) ht. Wegen der obigen Abschätzung ist dieses Urbild in der Tt in U ɛ (x). Also ist f(u ɛ (x)) Umgebung von f(x). D die Determinnte einer Mtrix stetig von der Mtrix bhängt, gibt es eine offene Umgebung V von x, so dss Df( x) für lle x V invertierbr ist. Indem wir die obigen Betrchtungen in jedem x V nstellen, folgt, dss f(v ) offen ist. Wählen wir V U ɛ (x), so folgt, dss f : V f(v ) bijektiv ist. Wir müssen nun noch nchweisen, dss f 1 in y differenzierbr ist, und Df 1 (y) = Df(x) 1 gilt. Dzu betrchten wir den Rest R der Umkehrfunktion unter der Annhme, dss Df(x) 1 die Jcobi-Mtrix der Umkehrfunktion ist. R(s y) = f 1 (s) f 1 (y) Df(x) 1 (s y) = t x Df(x) 1 (f(t) y) = t x Df(x) 1 (f(x) + Df(x)(t x) + R(t x) y) = Df(x) 1 R(t x). Also Es gilt worus R(s y) s y Df(x) 1 R(t x) t x t x s y. s y = f(t) f(x) = Df(x)(t x) + R(t x), ( ) t x 1 Df(x) 1 R(t x) t x ( ) t x 1 Df(x) 1 1 R(x t) t x t x 1 t x (t x) 1 Df(x) 1 R(t x) t x = t x Df(x) 1 R(t x) = Df(x) 1 (s y) Df(x) 1 s y folgt. Es folgt für t x klein genug t x C s y. Drus folgt die Differenzierbrkeit von f 1 in y. Es folgt, dss ds Bild von offenen Mengen offen ist, wenn die Abbildung überll eine invertierbre Jcobi-Mtrix ht. Deswegen heißt dieser Stz uch Stz von der offenen

178 178 KAPITEL 9. DIFFERENTIALRECHUNG MEHRERER VARIABLEN Abbildung. Mn bechte, dss solche Abbildung llerdings nur lokl injektiv sein müssen, nicht globl. Mn bechte uch, dss die Funktion lokl invertierbr sein knn, ohne dss die Umkehrfunktion differenzierbr ist. Ein Beispiel ist f(x) = x 3 im Punkt x = Beispiel: (1) Ds einfchste Beispiel ist eine linere Abbildung f(x) = A x + b, deren Ableitung Df(x) = A für lle x R n ist. Wenn A invertierbr ist, so ist die Umkehrbbildung f 1 (y) = A 1 y + A 1 b mit Ableitung Df 1 (y) = A 1 = Df(x) 1 für lle y R m und f(x) = y. (2) Die Abbildung z z 2 für z C lutet ls Abbildung f : R 2 R 2 f(x, y) = (x 2 y 2, 2xy). Es gilt ( ) 2x 2y Df(x, y) = 2y 2x mit der Determinnte 4(x 2 + y 2 ). Die Abbildung ist lso in llen Punkten (x, y) (0, 0) lokl invertierbr. Im Punkt (0, 0) ist die Funktion in der Tt nicht lokl invertierbr. Die lokle Umkehrung ist ntürlich eine komplexe Wurzelfunktion w w. Allerdings tritt jedes w 0 ls Qudrt zweier z 0 uf, so dss die Abbildung nicht globl bijektiv ist. Die Abbildung wird llerdings injektiv, wenn sie uf die rechte Hlbebene einschränkt. Dnn gilt H = {x + iy C : x > 0} f(h) = {x + iy C : y 0 oder x > 0}. Dies ist die geschlitzte Ebene, lso C ohne die negtive reelle Achse. Aus dem obigen Stz leitet mn ( ) Df 1 (x 2 y 2 1 2x 2y, 2xy) = 4(x 2 + y 2 ) 2y 2x her.

179 9.4. IMPLIZITE FUNKTIONEN 179 Abbildung 9.6: Auflösung von x 2 + y 2 = 1 nch y 9.4 Implizite Funktionen Versucht mn die Gleichung f(x, y) = x 2 + y 2 = 1 nch y ufzulösen, so erhält mn zwei Zweige von Funktionen y = ± 1 x 2. Lokl um einen Punkt (x, y) ist dies ber eindeutig möglich, flls y 0 ist. Für y > 0 ist zum Beispiel g(t) = 1 t 2 eine lokle Auflösung. Es gilt lso in einer Umgebung von (x, y) f(t, s) = 1 s = g(t). In der Tt gilt ds in der gnzen oberen Hlbebene. Die Auflösung g ist sogr differenzierbr. Dies folgt im llgemeinen Fll us dem folgenden Stz Stz: Sei U R m offen und f : U R eine stetig prtiell differenzierbre Funktion. Sei x U und f(x) = c. Wir setzen weiter vorus, dss x m f(x) 0

180 180 KAPITEL 9. DIFFERENTIALRECHUNG MEHRERER VARIABLEN ist. Dnn gibt es eine Umgebung V von x und eine Umgebung Ṽ von x = (x 1,..., x m 1 ) R m 1, uf der eine stetig prtiell differenzierbre Funktion definiert ist mit g : Ṽ R f(t 1,..., t m ) = c t m = g(t 1,..., t m 1 ) für lle t V. Es gilt für lle i = 1,..., m 1 x i g(x 1,..., x m 1 ) = Der Stz gilt entsprechend für lle nderen Vriblen. f(x) x i f(x) x m. Beweis: Für t U definieren wir die Abbildung h(t) = (t 1,..., t m 1, f(t)). Mn rechnet nch, dss det Dh(x) 0 ist. Dher besitzt h eine lokle Umkehrfunktion h 1 : Ṽ Ũ, wobei Ũ eine Umgebung von x ist. Wir definieren g durch h 1 (t 1,..., t m 1, c) = (t 1,..., t m 1, g(t 1,..., t m 1 )), lso ls m-te Komponente von h 1 (t 1,..., t m 1, c). Es gilt dnn lso f(t 1,..., t m 1, g(t 1,..., t m 1 )) = c für lle t Ṽ. Differenzieren gemäß der Kettenregel für vektorwertige Abbildungen ergibt x i f(x) + worus die Behuptung folgt. x m f(x) x i g(x 1,..., x m 1 ) = 0, Im obigen Beispiel gilt in der Tt Dies ist in der Tt richtig. g (x) = 2x 2y = x. 1 x 2 Der Stz knn so gelesen werden, dss bei Lösbrkeit der Gleichung f(x) = c, die Gleichung für in einer Umgebung beliebig vorgegebene x 1,..., x n+1 ebenflls eine eindeutige Lösung ht.

181 9.4. IMPLIZITE FUNKTIONEN 181 Der Stz lässt sich erheblich verllgemeinern. Dzu sei f : U R u eine stetig differenzierbre Funktion, und U R m offen mit m > u. Zur Abkürzung setzen wir m = k+u und schreiben f(x, y) = f(x 1,..., x k, y 1,..., y u ) Die Mtrix f 1 (x, y)... f 1 (x, y) y 1 y u D y f(x, y) =.. f u (x, y)... f u (x, y) y 1 y u ist der rechte qudrtische Teil von Df(x, y). Sie ist die Ableitungsmtrix der Funktion (y 1,..., y u ) f(x 1,..., x k, y 1,..., y u ), lso qusi die prtielle Ableitung nch y. Wenn D y f(x) invertierbr ist, so gibt es eine lokle Auflösung g der Gleichung f(x) = c nch diesen Vriblen, lso und es gilt f(x, y) = c y = g(x), Dg(y) = D y (x, y) 1 D x f(x, y), mit der nlog definierten prtiellen Ableitungsmtrix nch x. Im obigen Beispiel wr u = 1, k = m 1, und wir erhlten 1 grd g(y) := grd f(x). f(x) x m Abbildung 9.7: Schnitt von zwei Kugeln Beispiel: Wir betrchten den Schnitt S R 3 der beiden Kugeln mit Rdius 5 um (0, 0, 4) und (0, 0, 4). S ist durch f x ( ) ( ) y x = 2 + y 2 + (z 4) 2 25 x z 2 + y 2 + (z + 4) 2 = 25