Analysis I Ohne Beweise und Beispiele

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1 Anlysis I Ohne Beweise und Beispiele Prof. Kröner 1 Wintersemester 2003 Ü 1 Mitschrift von Ink Benthin und Rimr Sndner mit Dnk n Klus Zimmermnn für die Mithilfe

2 Inhltsverzeichnis Vorwort 2 0 Einleitung 3 1 Reelle Zhlen, Folgen, Grenzwerte 5 1 Die ntürlichen Zhlen Beweisverfhren der vollständigen Induktion Körperxiome und Anordung R Anwendungen Anordnung der reellen Zhlen Grenzwerte von Folgen Motivtion: Vollständigkeit der reellen Zhlen Teilmengen von R und R n Funktionen und Stetigkeit 18 6 Polynome und komplexe Zhlen Stetigkeit Zwischenwertstz und Umkehrfunktion Existenz von Extremlstellen Differentilrechnung für Funktionen einer Vriblen Die Ableitung: Definition und Regeln Mittelwertstz und Anwendungen Reihen Potenzreihen Winkelfunktionen Integrlrechnung Ableitung und Integrl

3 Vorwort Beim vorliegenden Text hndelt es sich um eine inoffizielle Mitschrift. Als solche knn sie selbstverständlich Fehler enthlten und ist dher für Übungsblätter und Klusuren nicht zitierfähig. Korrekturen und Verbesserungsvorschläge sind jederzeit willkommen und können n gerichtet werden. Der Text wurde mit L A TEX2e in Verbindung mit dem AMS-TEX-Pket für die mthemtischen Formeln gesetzt. Copyright c 2003 Rimr Sndner. Es wird die Erlubnis gegeben, dieses Dokument unter den Bedingungen der von der Free Softwre Foundtion veröffentlichten GNU Free Documenttion License (Version 1.2 oder neuer) zu kopieren, verteilen und/oder zu verändern. Eine Kopie dieser Lizenz ist unter erhältlich. 2

4 Kpitel 0 Einleitung In der Mthemtik betrchten wir Aussgen und Verknüpfungen von Aussgen und müssen deren Whrheitsgehlt nlysieren. Bsp.: A : B : Es regnet. Die Strße ist nß. B A flsch 0.1 Definition (Whrheitswerte) ) Negtion einer Aussge A, A, nicht A A A b) UND -Verknüpfung A B A B c) ODER -Verknüpfung A B A B d) Aus A folgt B A B A B A B ist whr, gdw. A whr ist und B whr ist. A B ist whr, wenn mind. eine Aussge whr ist. 3

5 0.2 Definition (Äquivlenz von Aussgen) Zwei Aussgen ϕ und ψ (z.b. ϕ : A B, ψ : B A) heißen äquivlent, wenn sich die Whrheitstfeln gleichen. 0.3 Definition (Quntoren) Betrchte die folgende Aussge: Negtion: Es gibt eine ntürliche Zhl, die größer ist ls 1000 n N : n > 1000 Alle ntürlichen Zhlen sind kleiner oder gleich n N : n Definition (Mengen) Unter einer Menge verstehen wir die Zusmmenfssung von wohl unterscheidbren Objekten zu einem Gnzen. Die Objekte bezeichnen wir ls Elemente. Ist M eine Menge und x ein Element in M, so schreiben wir x M. Flls y kein Element der Menge M: y M 0.5 Definition (Teilmenge) M N gdw. jedes Element us M uch in N liegt. x M impliziert x N M = N gdw. M N und N M 0.6 Definition (Vereinigung, Durchschnitt) 0.7 Definition (Leere Menge) M N := {x x M x N} M N := {x x M x N} = {} = leere Menge 0.8 Definition (Komplement) Sei M, N Mengen mit N M. Komplement von N bezüglich M. M \ N := {x x M x N} 4

6 Kpitel 1 Reelle Zhlen, Folgen, Grenzwerte Im Folgenden nehmen wir n, dss die ntürlichen Zhlen N gnzen Zhlen Z rtionlen Zhlen Q und die reellen Zhlen R bereits gegeben sind. N Z Q R 1 Die ntürlichen Zhlen Die ntürlichen Zhlen sind ddurch chrkterisiert, dss gilt: 1. 1 N 2. jedes n N ht einen Nchfolger n + 1 N Anders formuliert: Sei M N mit den Eigenschften 1. 1 M 2. n M n + 1 M Dnn gilt M = N. Beweisverfhren der vollständigen Induktion Gegeben sei eine Folge von Aussgen A 1, A 2,... Es gelte: 1. A 1 ist whr 5

7 2. A n ist whr A n+1 ist whr Dnn gilt: Es sind lle Aussgen A 1, A 2,... whr. 1.1 Stz Für lle n N gilt: n = n k = k=1 n(n + 1) Stz (Anordnung) Die Anzhl der möglichen Anordnungen von n verschiedenen Objekten ist n =: n! 1.3 Definition (Binomilkoeffizient) Für α R und k N definiere ( ) α α(α 1)(α 2)... (α k + 1) := k k ( ) α := Stz Es sei n, k N. Es gibt genu ( n k) k-elementige Teilmengen einer Menge mit n Elementen. 1.5 Stz Es gilt ( ( n k 1) + n ) ( k = n+1 ) k für n N und k {1, 2,..., n}. 1.6 Definition (Dreieckschem von Pscl) n = 0 ( 0 0 ) = 1 n = 1 n = 2 n = 3 ( 1 ) ( 0 = 1 1 ) 1 = 1 ( 2 ) ( 0 = 1 2 ) ( 1 = 2 2 ) 2 = 1 ( 3 ) ( 0 = 1 3 ) ( 1 = 3 3 ) ( 2 = 3 3 ) 3 = Stz (Prinzip der kleinsten ntürlichen Zhl) Jede nichtleere Menge M N besitzt ein kleinstes Element. 2 Körperxiome und Anordung R 2.1 Definition (Körper) Eine Menge K versehen mit zwei Opertoren + (Addition) und (Multipliktion) heißt Körper, wenn folgende Eigenschften erfüllt sind. Jedem geordneten Pr (, b),, b K wird eindeutig ein Element + b K bzw. b K zugeordnet, so dß die folgenden Gesetze gelten: 6

8 1. + (b + c) = ( + b) + c 2. (b c) = ( b) c 3. + b = b + 4. Es gibt ein neutrles Element 0 K mit + 0 = für lle K (0 neutrles Element der Addition) 5. Es gibt eine 1 K mit 1 = für lle K (neutrles Element der Multipliktion) 6. Zu jedem K gibt es ein ( ) K mit ( ) + = 0 7. Zu jedem K, 0 existiert ein 1 mit 1 = 1 (inverses Element der Multipliktion) 8. (b + c) = b + c (Distributivität) gilt zusätzlich: 9. b = b für lle, b K, so heißt K ein kommuttiver Körper. Anwendungen ( + b) 2 = 2 + 2b + b 2 ( + b) n =? 2.2 Stz (Binomische Formel) Für lle, b R und lle n N gilt: ( + b) n = n k=0 2.3 Stz (Geometrische Reihe) Für lle n N und lle q R, q 1, gilt: n k=0 ( ) n n k b k k q k = 1 qn+1 1 q Anordnung der reellen Zhlen 2.4 Axiom (Anordnungsxiome) (Siehe Ergänzung in Definition 3.5) 1. Für jedes R gilt genu eine der Aussgen < 0, = 0, > 0 2. > 0, b > 0, dnn ist uch + b > 0 und b > 0 7

9 3. (Axiom des Archimedes) Zu jeder reellen Zhl ε > 0 gibt es ein n N mit 0 < 1 n < ε 2.5 Folgerung Für, b R gilt genu eine der Aussgen > b, = b, < b > b, b > c > c Trnsitivität Aus > b folgt 1 < 1 b flls b > 0 + c > b + c für lle c R c > bc für lle c R, c > 0 c < bc für lle c R, c < 0 > b, c > d Für n N gilt n > 0 { + c > b + d c > bd flls c, d > Definition (Betrg) Der Betrg von R ist definiert durch { flls > 0 := flls < Lemm (Rechenregeln für den Betrg) ) + b + b (Dreiecksungleichung) b) b b (umgekehrte Dreiecksungleichung) c) b = b d) 2.8 Stz (Bernoulli-Ungleichung) Für lle x R, x 1, lle n N gilt (1 + x) n 1 + nx 2.9 Stz (Q ist dicht in R) Seien, b R mit < b. Dnn gibt es ein q Q mit < q < b 2.10 Stz (Irrtionlität von 2) Die Gleichung x 2 = 2 ist in Q nicht lösbr. 8

10 3 Grenzwerte von Folgen Motivtion: Definition der Geschwindigkeit eines beschleunigten Zuges im Punkte X. x s(t) x + x s(t + t) mittlere Geschwindigkeit uf [s(t), s(t + t)] Geschwindigkeit in x: s(t + t) s(t) t s(t + t) s(t) lim t 0 t 3.1 Definition (Folge) Sei M eine Menge. Eine Abbildung N M, n n M heißt Folge. Kurzform: ( n ) n N, n : n-tes Folgenglied. 3.2 Definition (Konvergenz von Folgen) Die Folge ( n ) n N konvergiert für n gegen, flls gilt: Für lle ε > 0 gibt es ein N N, so dss gilt: : Grenzwert, = lim n n n > N : n < ε n Existiert ein Grenzwert zu ( n ) n N, so heißt die Folge konvergent. ndernflls heißt sie divergent. Kurzform: ε > 0 N N n > N : n < ε 3.3 Definition (ε-umgebung) Die Menge { } U ε () = x R x < ε heißt ε-umgebung von für ε > Stz (Eindeutigkeit) Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig bestimmt. 9

11 3.5 Definition (Ergänzung zu Axiom 2.4) Es ist < 0 äquivlent zu 0 > < b äquivlent zu b < 0 = b äqu. zu b = Definition (Beschränktheit von Folgen) Eine Folge ( n )n N heißt nch oben bzw. nch unten beschränkt, wenn es ein k R gibt, so dss folgendes n N gilt: n < k k < n (nch oben) (nch unten) Die Folge ( n ) n N heißt beschränkt, flls sie nch oben und unten beschränkt ist. 3.7 Stz (Konvergent beschränkt) Jede konvergente Folge ist beschränkt. 3.8 Stz (Rechenregeln für Grenzwerte) Sei ( n ) n N und (b n ) n N Folgen mit n, b n b für n. Dnn gelten folgende Regeln: ) Für λ, µ R gilt λ n + µb n λ + µb für n b) n b n b für n c) Flls b 0 gibt es ein N N, so dss b n 0 für n > N. Es gilt: n b n b n, n > N 3.9 Definition (Vektorrum) LAI Bemerkung ) Die Menge der Folgen ( n ) n N, n R ist ein Vektorrum über R. λ( n ) n N + µ(b n ) n N := (λ n + µb n ) n N b) Die Nullfolgen (d.h. n 0) bilden einen Untervektorrum. c) Ebenso die konvergenten Folgen und d) die beschränkten Folgen Stz (Grenzwerte und Ungleichungen) Seien ( n ) n N, (b n ) n N, n, b n b. Dnn gilt: ) n b n b b) c n d c d 10

12 c) Sei = b und sei (c n ) n N eine Folge mit n c n b n, dnn konvergiert uch (c n ) n N mit c n. d) Im Allgemeinen gilt nicht: n > b n > b Stz (Existenz der n-ten Wurzel) Sei > 0, n N. Dnn ht die Gleichung x n = immer eine Lösung x R, x > 0. Wir schreiben: x =: n 3.13 Definition (uneigentliche Konvergenz) ( n ) n N konvergiert uneigentlich gegen unendlich ( ), flls gilt: Für lle K > 0, K R gibt es ein N N so dss für lle n > N : n > K. Wir schreiben dnn uch: n lim n = n 3.14 Definition (Intervlle) Sei b { } (, b) =], b[:= x R < x < b { } [, b] = x R x b { } (, b] :=], b] := x R < x b { } [, b) := [, b[:= x R x < b offenes Intervll bgeschlossenes Intervll links offen, rechts bgeschlossen rechts offen, links bgeschlossen Die Intervlllänge ist definiert ls: [, b] = [, b[ = = b 4 Vollständigkeit der reellen Zhlen Problem: Knn mn die Konvergenz einer Folge untersuchen, ohne ihren Grenzwert zu kennen? 4.1 Definition (Cuchyfolge) Eine Folge ( n ) n N, n R heißt Cuchyfolge, genu dnn wenn ε > 0 N N : n m < ε n, m > N Bemerkung: Der Nchweis einer Cuchyfolge knn mit n, m N und n < m geführt werden 4.2 Axiom (Vollständigkeitsxiom) Jede Cuchyfolge ist konvergent. Bemerkung: Mit den Axiomen (KAV), d.h. Körper, Anordnungen und Vollständigkeit 11

13 sind die Axiome für die reellen Zhlen komplett. Im Wesentlichen ist der Körper R der einzige solche Körper Stz (Cuchyfolge gdw. konvergent) Eine Folge ist genu dnn konvergent, wenn sie Cuchyfolge ist. 4.4 Stz (Konvergenz von Dezimlbrüchen) Jeder unendliche Dezimlbruch konvergiert gegen eine reelle Zhl. Ds heißt: sei (k n ) n N Folge in {0, 1, 2,..., 9} und k 0 Z, sowie n = dnn existiert x R mit lim n n = x. n k j 10 j j=0 Nächste Ziele: Folge (1 + x n )n? Bentwortung der Frge us dem Zinseszinsbeispiel: Konvergiert die 4.5 Definition (Monotonie von Folgen) Eine Folge ( n ) n N heißt monoton wchsend, gdw n+1 n n N. 4.6 Stz (Konvergenzkriterium der Monotonie und Beschränktheit) Jede monoton wchsende, nch oben beschränkte Folge ist eine Cuchyfolge und dmit konvergent. 4.7 Stz (Definition der Exponentilfunktion) Die Folge E n (x) := ( 1 + n) x n ist für jedes x R konvergent. Wir bezeichnen diesen Grenzwert mit ( exp(x) := lim 1 + x ) n n n Die Funktion exp : R R, x exp(x) heißt Exponentilfunktion. Der Wert ( e := exp (1) = lim ) n n n = 2, heißt Eulersche Zhl. Es gilt exp (x) exp ( x) = 1 x R. 4.8 Definition (Intervllschchtelung) Eine Folge (I n ) n N von bgeschlossenen Intervllen I n = [ n, b n ] heißt Intervllschchtelung, flls I n+1 I n n N und I n = (b n n ) 0 für n. 4.9 Stz (Intervllschchtelungsprinzip) Sei (I n ) n N eine Intervllschchtelung, dnn gibt es genu ein x n N I n und x = lim n n, x = lim n b n Stz (Existenz der n-ten Wurzel) Sei R, > 0, n N. Dnn gibt es genu ein x R, x > 0 : x n 1 siehe H.-D. Ebbinghus(Herusgeber): Zhlen, Springer-Verlg 3. Aufl =. Wir 12

14 schreiben dnn: x =: n = 1 n Wir betrchten die Folge: n := { n flls n gerde n sonst 4.11 Definition (Teilfolge) Sei ( n ) n N eine Folge und (n k ) k N eine Folge ntürlicher Zhlen und echt monoton wchsend: n 1 < n 2 < < n k <..., dnn heißt ( nk ) k N Teilfolge von ( n ) n N Definition (Häufungspunkt) R heißt Häufungspunkt (HP) der Folge ( n ) n N, wenn es eine Teilfolge ( nk ) k N von ( n ) n N gibt mit: nk k 4.13 Lemm R ist Häufungspunkt von ( n ) n N, gdw die Menge { } M ε := n N n U ε () für jedes ε > 0 unendlich viele Elemente ht Stz (Bolzno-Weierstrß) (x n ) n N sei eine beschränkte Folge, dnn ht (x n ) n N eine konvergente Teilfolge, lso mindestens einen Häufungspunkt Definition (Limes superior) Sei (X n ) n N eine Folge und x, x R {± }. Es gelte: ) Es gibt eine Teilfolge x nk x k { } b) x > x ist n N x n > x endlich. Dnn heißt x limes superior von (x n ) n N. Flls gilt: x =: lim sup x n n c) Es gibt eine Teilfolge x nk x k { } d) x < x ist n N x n < x endlich Dnn ist x heißt Limes inferior. x =: lim inf n x n 13

15 4.16 Lemm Sei x = lim sup n x n und y > x. Dnn ist y kein Häufungspunkt von (x n ) n N Stz (Existenz des limes superior) Sei (x n ) n N eine Folge in R, dnn gibt es genu ein x R {± } mit x = lim sup x n n 4.18 Stz Sei ( n ) n N eine Cuchyfolge. Dnn knn mn nun mit Hilfe des Stzes 4.14 zeigen: Dnn konvergiert die Folge ( n ) n N. 5 Teilmengen von R und R n 5.1 Definition (beschränkte Mengen) Sei M R. M heißt nch oben beschränkt: k R x M : x k nch unten beschränkt: k R x M : k x Dnn heißt k obere bzw. untere Schrnke. M heißt beschränkt: k R x M : x k. 5.2 Definition (Supremum, Infimum) Sei M R, S R. S heißt kleinste obere Schrnke oder Supremum von M (bzw. größte untere Schrnke oder Infimum), wenn gilt: ) S ist obere (bzw. untere) Schrnke von M, d.h. x M : x s b) Ist uch S obere (bzw. untere) Schrnke zu M, dnn gilt: S S (bzw. S S) Wir schreiben S = sup M (bzw. S = inf M). Ist M nicht nch oben (bzw. unten) beschränkt, dnn ist sup M = (bzw. inf M = ). sup :=, inf := 5.3 Stz (Existenz des Supremums) Sei M R nch oben beschränkt, dnn besitzt M eine kleinste obere Schrnke sup M. 5.4 Folgerung Sei M R, M. Dnn gibt es eine Folge (x n ) n N, x n M, so dss x n sup M 5.5 Problem Gibt es mehr rtionle Zhlen ls ntürliche Zhlen? Gibt es mehr reelle Zhlen ls rtionle Zhlen? 5.6 Definition (Gleichmächtigkeit) A, B seien Mengen. A ist gleichmächtig zu B : A B : es gibt eine bijektive Abbildung ϕ : A B. 14

16 5.7 Lemm Die Reltion ist eine Äquivlenzreltion, d.h. ) A A b) A B B A c) A B, B C A C 5.8 Definition Eine Menge M heißt endlich, wenn M {1,..., k} für ein k N. bzählbr unendlich, wenn M N. bzählbr, wenn M endlich oder bzählbr unendlich ist. überbzählbr, wenn sie nicht bzählbr ist. 5.9 Lemm Sei ϕ : N M, ϕ surjektiv, dnn ist M bzählbr Stz Die Mengen Z und Q sind bzählbr Stz R ist nicht bzählbr Definition (Euklidische Norm) Sei x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n, n N. Setze x, y := n x i y i i=1 x := x = x, x ( n ) 1 2 = i= Lemm (Eigenschften des Sklrproduktes) Für x, y, z R n, α, β R gilt: x 2 i (Sklrprodukt) x, y = x y cos α Norm von x ) x, y = y, x Symmetrie b) αx + βy, z = α x, z + β y, z Bilinerität c) x, x 0 x, x = 0 x = 0 Positivität 5.14 Lemm (Eigenschften der Norm) Für x, y R n und α R gilt: ) x 0, x = 0 x = 0 15

17 b) αx = α x c) x + y x + y Dreiecksungleichung 5.15 Lemm (Cuchy-Schwrzsche Ungleichung) Für x, y R n gilt x, y x y x, y = x y x = λy, λ R 5.16 Definition (Konvergenz im R n ) Die Folge (x k ) k N, x k R n konvergiert gegen R n, flls gilt: ε > 0 N N k > N : x k < ε 5.17 Definition (ε-umgebung im R n ) } U ε := {x R n x < ε heißt ε-umgebung oder ε-kugel Definition (beschränkte Mengen im R n ) Eine Menge M R n heißt beschränkt, flls gilt: K R x M : x K 5.19 Stz (Konvergenz im R n ) Für eine Folge ( k ) k N, k R n mit Koordinten i k, i = 1,..., n gilt: ) ( k ) k N ist beschränkt ( i k ) k N ist beschränkt i {1,..., n}. b) ( k ) k N konvergiert gegen R n i k i i {1,..., n}. c) ( k ) k N ist eine Cuchyfolge ( i k ) k N ist Cuchyfolge i {1,..., n} Stz (Vollständigkeit des R n ) Sei (x k ) k N eine Cuchyfolge im R n, ds heißt: ε > 0 N N k, l > N : x k x l ε Dnn existiert ein x R n mit x k x für k Stz (Bolzno-Weierstrß) Jede beschränkte Folge im R n besitzt eine konvergente Teilfolge Definition (Häufungspunkte von Mengen im R n ) Sei M R n, R n. heißt Häufungspunkt von M, wenn für lle ε > 0 die Menge M U ε () unendlich viele Elemente enthält Lemm M ist Häufungspunkt gdw es eine Folge ( k ) k N, k M gibt mit k. 16

18 5.24 Definition (offene und bgeschlossene Mengen im R n ) ) Ω R n heißt offen, flls x Ω ε > 0 U ε (x) Ω b) A R n heißt bgeschlossen, flls x k A, x k x, x R n x A 5.25 Folgerung A R n ist bgeschlossen (x HP von A x A) 5.26 Stz Sei M R n. Dnn gilt M ist offen R n \ M bgeschlossen Bemerkung ) R n und sind offen und bgeschlossen. Dies sind uch die einzigen Mengen im R n mit dieser Eigenschft. b) Sei M r, r R eine Fmilie von offenen Mengen. Dnn ist uch offen. r R M r c) Seien M 1,..., M k offene Mengen. Dnn ist uch offen. k I M k 17

19 Kpitel 2 Funktionen und Stetigkeit 6 Polynome und komplexe Zhlen 6.1 Definition (Funktion) Sei D eine Menge und f eine Abbildung, die jedem Element x D genu ein f(x) R zuordnet. f : D R x f(x) f heißt Funktion, { D ist der Definitionsbereich } von f. f(d) ist der Wertebereich oder ds Bild von f. (x, f(x)) x D heißt Grph von f. 6.2 Definition (Polynome) Eine Funktion p : R R heißt Polynom vom Grd n N 0, wenn es 0, 1,..., n gibt ( n 0) gibt, so dss p(x) = x + 2 x n x n x R 6.3 Lemm (Abspltung von Linerfktoren) Sei p ein Polynom vom Grd n mit Koeffizienten 0, 1,..., n n 0 und p(x 0 ) = 0 für ein x 0 R, dnn gibt es ein Polynom q vom Grd n 1, so dss p(x) = (x x 0 )q(x) x R Wenn q die Drstellung mit b n 1 0 ht, so gilt b n 1 = n. q(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x b n 1 x n Lemm (Nullstellenlemm) Sei p ein Polynom vom Grd n mit n N 0. Dnn ht p höchstens n Nullstellen. 6.5 Stz (Koeffizientenvergleich) Seien p und q Polynome vom Grd n bzw. m. Sei p(x i ) = q(x i ) für x 1,..., x k pr- 18

20 weise verschieden und k > mx {n, m}. Dnn gilt p(x) = q(x) x R 6.6 Folgerung Sei p ein reelles Polynom vom Grd n mit Nullstellen x 1,..., x r R. Dnn gibt es ν 1,..., ν r N (Vielfchkeiten von x i ) mit p(x) = (x x 1 ) ν1 (x x 2 ) ν2 (x x r ) νr q(x) x R Dbei ist q ein Polynom vom Grd n (ν 1 + ν ν r ) und q(x) 0 x R. Diese Drstellung ist eindeutig. Problem Nicht lle Polynome hben reelle Nullstellen. Z.B. x = Definition (komplexe ( ) Zhlen) ( Definiere ) uf dem Vektorrum R 2 noch eine Multipliktion: zu z 1 =, z x1 x2 y 2 = R 1 y 2 2 z 1 z 2 = ( ) x1 x 2 y 1 y 2 x 1 y 2 + x 2 y 1 Wir nennen ( R 2, +, ) die Menge der ( komplexen Zhlen C. Wir ( fssen R ls Teilmenge r r des R 2 uf und identifizieren r mit für lle r R. r = 0) 0) ( ) ( ) x1 x1 Konjugtion: zu z = setze z :=. y 1 y Lemm C ist ein Körper. 6.9 Definition (komplexe Nottion) Setze 1 = ( 1 0 ) und i := ( 0 1 ). ( 1 0 ) ( 0 1 ) bilden eine Bsis des R 2. Also gilt für lle z C: ( ) ( ) ( ) x1 1 0 z = = x y 1 + y = x iy 1 ( x z = = x y) y2 1 ( ) ( ) x1 x2 z 1, z 2 = = x 1 x 2 + y 1 y Folgerung Es gilt i 2 = 1 y 1 ( ) 2 ( ) ( i = = = 1 1 1) y 2 ( ) ( = = ) Zu z = ( x y ) gilt z = x iy ( ( x x z = z = = x iy y) y) 19

21 6.11 Lemm (Rechenregeln für komplexe Zhlen) Es gilt ) z 1 + z 2 = z 1 + z 2 und z 1 z 2 = z 1 z 2 b) z = z z R c) Sei z = x + iy. Dnn ist x = 1 2 (z + z), der Relteil von z. y = 1 2i (z z) der Imginärteil von z 6.12 Lemm (Rechenregeln für komplexe Zhlen) Es gilt z, z 1, z 2 C ) z 2 = z z b) z 1, z 2 = R(z 1 z 2 ) c) z 1 z 2 = z 1 z 2 d) R(z) z, I(z) z 6.13 Bemerkung Sei p : C C p(z) = z n z n, i C für i = 0,..., n ein komplexes Polynom. Für komplexe Polynome gelten die nlogen Aussgen wie für reelle. Abspltung von Linerfktoren Nullstellenlemm Koeffizientenvergleich Die Beweise lssen sich wortwörtlich übertrgen. Der Grd, die Koeffizienten, die Nullstellen und deren Vielfchheit sind nlog definiert. Problem Existenz von Nullstellen Stz (Fundmentlstz der Algebr) Jedes Polynom in C vom Grd 1 ht mindestens eine Nullstelle z 0 C Folgerung Sei p ein Polynom in C vom Grd n mit 0,..., n C und Nullstellen z 1,..., z k C. Dnn gibt es ν 1,..., ν k N 0 mit und ν ν k = n p(z) = n (z z 1 ) ν1 (z z k ) ν k z C ν k : Vielfchheit der Nullstellen z k. 20

22 6.16 Lemm (Fktorisierung reeller Polynome) Sei p(x) = x + + n x n, 0,..., n R ein Polynom vom Grd n mit den reellen Nullstellen x 1,..., x r, r N 0. Dnn besitzt p, ufgefsst ls komplexes Polynom eine Fktorisierung der Form p(z) = n r k (z x i ) ν1 (z z j ) µj (z z j ) µj i=1 j=1 für lle z C und ν ν r + 2(µ µ k ) = n 7 Stetigkeit 7.1 Definition (Stetigkeit) Sei D R m und f : D R n, x 0 D. f heißt stetig in x 0, flls ε > 0 δ > 0 x D x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε 7.2 Definition (Lipschitzstetigkeit) Sei D R m, f : D R n. f heißt lipschitzstetig mit Lipschitzkonstnte L 0, flls gilt: f(x) f(y) L x y x, y D 7.3 Stz (Stetigkeit mittels Folgen) Sei D R m, f : D R n, x 0 D. Dnn sind die folgenden Aussgen äquivlent: ) f ist stetig in x 0 b) Sei (x n ) n N eine Folge in D mit x n x 0. Dnn gilt f(x n ) f(x 0 ). 7.4 Stz (Kombintion stetiger Funktionen) Sei x 0 D R m ; g, f, h : D R seien stetig in x 0 D. Dnn gilt: ) αf + βg ist stetig in x 0 α, β R b) f g, f g(x) := f(x) g(x) x D ist stetig in x 0 c) f h ist stetig in x 0, flls h(x 0 ) 0. f h : { D R, D := x D h(x) 0 } 7.5 Definition Sei f : D R n, D R m. f heißt stetig uf M D, wenn f stetig in x 0 für lle x 0 M ist. } C 0 (M, R) := {f : M R n f stetig uf M C 0 (M) := C 0 (M, R) 7.6 Bemerkung C 0 (M, R) ist ein Vektorrum. 21

23 7.7 Stz (Komposition stetiger Abbildungen) Sei D R m, E R n, sei f : D R n und g : E R k. Sei f(d) E, sei f stetig in x 0 und g stetig in f(x 0 ). Setze g f : D R k x g(f(x)). Dnn ist g f stetig in x Definition (Grenzwert von Funktionen) Sei D R, f : D R und x 0 ein Häufungspunkt von D. Die Funktion f konvergiert gegen für x x 0, flls ε > 0 δ > 0, x x 0 < δ : f(x) < ε lim f(x) := x x Lemm (Stetigkeit und Grenzwert) Sei x 0 R Häufungspunkt von D R und f : D {x 0 } R. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: ) lim x x0 f(x) = f(x 0 ) b) f ist stetig in x Definition (Konvergenz von Funktionen) Sei r R, f :]r, [ R. Dnn ist lim f(x) := R flls x ε > 0 R R x ]r, [, x > R : f(x) < ε Anlog ist lim x f(x) definiert Definition (uneigentlicher Grenzwert) Sei f : D R, x 0 R. Dnn ist lim f(x) = + x x 0 flls K R δ > 0 x D x x 0 < δ : f(x) > K Anlog ist lim x x0 f(x) = definiert. Problem (llgemein) Wnn knn mn f in x 0 N stetig fortsetzen? Dzu sei x 0 N mit p(x) = (x x 0 ) µ p(x), p(x 0 ) 0 q(x) = (x x 0 ) ν q(x), q(x 0 ) 0 f(x) = p(x) q(x) = (x x µ ν p(x) 0) q(x) x R \ N 1. Fll: µ > ν: lim x x0 f(x) = 0 2. Fll: µ = ν: lim x x0 f(x) = p(x0) q(x 0) 3. Fll: µ < ν: In diesem Fll sgen wir, dss f eine Polstelle in x 0 besitzt. Flls 22

24 p(x 0) q(x 0) > 0, dnn gilt: lim f(x) = x x 0 Flls p(x0) q(x 0) < 0 nlog. Untersuchung des Verhltens x : Es gilt und flls µ ν gerde und x x 0 flls µ ν gerde und x x 0 flls µ ν ungerde und x x 0 flls µ ν ungerde und x x 0 lim f(x) = lim f( 1 x y 0 y ) = f(x) = p(x) q(x) = x + + m x m y= 1 x b 0 + b 1 x + + b n x n = y y m y m b 0 + b 1 y 1 + b 2 y b n y n = y m y n 0y m + 1 y m m b 0 y n + b 1 y n b n = y n m 0y m + 1 y m m b 0 y n + b 1 y n b n 0 flls n > m lim f(x) = m x bn flls n = m ± flls n < m 7.12 Stz (Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen) Für den Grenzwert von Funktionen gelten die folgenden Aussgen: ) Sei f(x), g(x) b für x x 0 R {± } αf(x) + βg(x) x x0 α + βb f(x) g(x) x x0 b f(x) g(x) x x 0 b α, β R flls b 0 b) Sei f : D R, g : E R, f(d) E. f(x) und g stetig in. Dnn gilt g(f(x)) x x0 g() = g(f(x 0 )) c) f(x), g(x) b, x x 0 und f, g : D R sowie f(x) g(x) x D. Dnn gilt: b 8 Zwischenwertstz und Umkehrfunktion Problem Sei y [f(), f(b)]. Gibt es zu y ein x mit f(x) = y? 23

25 8.1 Stz (Zwischenwertstz) Sei f : [, b] R stetig. Dnn nimmt f jeden Wert zwischen f() und f(b) n. 8.2 Folgerung Sei I R ein Intervll und f : I R stetig. Dnn ist uch f(i) ein Intervll mit den Rndpunkten: α = inf x I f(x) und β = sup f(x) x I 8.3 Lemm (Einseitige Grenzwerte monotoner Funktionen) Sei D R, f : D R monoton wchsend. Sei x 0 D und es existiert eine Folge x n x 0. Dnn existiert lim x x 0 f(x). Die Aussge gilt uch ls uneigentlicher Grenzwert. 8.4 Stz (Monotonie und Umkehrfunktion) Sei I =], b[ und f : I R streng monoton wchsend (x < y f(x) < f(y)) und stetig. Dnn gilt: ) Die Umkehrfunktion g existiert: g : f(i) R b) g ist uch streng monoton wchsend und stetig. c) f(i) ist ein Intervll mit Rndpunkten α, β und d) lim y α g(y) = und lim y β g(y) = b α := lim x f(x) β := lim x b f(x) Bereits definierte Funktionen Polynome p(x) rionle Funktionen p(x) q(x, q(x) 0 stetig stetig Exponentilfunktion e x, exp (x)? Eigenschften: e x e x = 1 und ( E n (x) := 1 + n) x n, En (x) E n+1 (x) x : x n 8.5 Lemm (Eigenschften der Exponentilfunktion) Für die Exponentilfunktion gilt: ) e x > 0, e 0 = 1 x R b) e x 1 + x x R e x 1 1 x x R, x < 1 24

26 c) x n x lim n ( 1 + x nn ) n = e x 8.6 Stz (Eigenschften der Exponentilfunktion) 1. x, y R gilt Funktionlgleichung exp (x + y) = exp (x) exp (y) e x+y = e x e y 2. exp R ]0, [ ist streng monoton wchsend, stetig, bijektiv. exp(x) x exp(x) x 0 exp(x) = exp(x + 0) = exp(x) exp(0) exp(0) = Abbildung 2.1: Die Exponentilfunktion 8.7 Bemerkung (R, +), (R +, ) sind Gruppen. Durch exp : R R + wird ein Gruppenisomorphismus zwischen (R, +) und (R, ) definiert. 8.8 Definition (Logrithmus) Die Funktion exp : R ]0, [ ht eine streng monoton wchsende, stetige, bijektive Umkehrfunktion: log :]0, [ R y log x Dmit gilt: ) log(exp x) = x für lle x R, exp(log y) = y für lle y R + b) log 1 = 0 25

27 Abbildung 2.2: Die Logrithmusfunktion c) log(y 1 y 2 ) = log y 1 + log y 2 y 1, y 2 R + d) lim y log(y) =, lim y 0 log y = Problem Ws ist x, p/q x R? 8.9 Lemm Für > 0, R und r Q gilt: r = exp(r log ) 8.10 Definition ( x, x R) Für > 0, x R setze x := exp(x log ) 8.11 Lemm (Eigenschften der Exponentilfunktion) Für, b > 0 gilt: ) x y = x+y b) ( x ) y = xy c) ( 1 )x = x d) x b x = (b) x 8.12 Lemm (Chrkterisierung von e x durch die Funktionlgleichung) Sei f : R R mit f(x + y) = f(x) f(y) x, y R und f sei stetig in x = 0. Dnn gilt: f(x) = x, = f(1) oder f(x) = 0 x R. 26

28 9 Existenz von Extremlstellen Problem Wnn hben solche Minimierungsufgben eine (eindeutige) Lösung? 9.1 Definition (kompkte Menge) Ein D R n heißt kompkt (folgenkompkt), flls gilt: Zu jeder Folge (x n ) n N in D existiert eine konvergente Teilfolge (x nk ) k N und ein x 0 D mit x nk x 0 für k. 9.2 Stz (Heine-Borel) Sei D R m. Dnn gilt D kompkt D bgeschlossen und beschränkt. 9.3 Definition (Beschränktheit von Funktionen) Sei D R n und f : D R m. f heißt beschränkt, flls gilt: K R + x D : f(x) K 9.4 Stz (Existenz von Extremstellen) Sei D R m kompkt, D, f : D R stetig. Dnn ist f beschränkt und f nimmt ein Minimum und Mximum n, d.h. es gibt x 0, x 1 D mit f(x 0 ) = inf x D f(x) und f(x 1 ) = sup x D f(x). Mn schreibt dnn uch f(x 0 ) = min x D f(x), f(x 1 ) = mx x D f(x). 27

29 Kpitel 3 Differentilrechnung für Funktionen einer Vriblen 10 Die Ableitung: Definition und Regeln 10.1 Definition (Ableitung) Sei D R offen und f : D R. f heißt im Punkt x 0 D differenzierbr, flls f(x) f(x 0 ) lim exitiert. x x 0 x x 0 Wir schreiben dnn: f (x 0 ) := lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 Ableitung von f in x Definition (Ableitung f : D R m ) Sei D R offen. f : D R m heißt in x 0 D differenzierbr, flls f(x) f(x 0 ) lim existiert. x x 0 x x 0 Wir schreiben nlog zur vorherigen Definition f (x 0 ) Lemm Sei D R offen, f : D R m. Dnn gilt: f in x 0 D differenzierbr lle Koordinten f 1,..., f m sind diff Definition (Ableitungsfunktion) Sei D R, D sei offen. f heißt uf D differenzierbr, flls f (x 0 ) für jedes x 0 D existert. f : D R x f (x) nennen wir die Ableitungsfunktion. 28

30 10.5 Lemm (Ableitung der Exponentilfunktion) exp : R R ist uf R differenzierbr und exp (x) = exp(x) x R Lemm (differenzierbr liner pproximierbr) Liner pproximierbr bedeutet: der Fehler zwischen Funktion und Tngente ist klein (wird umso kleiner, je dichter mn sich m Berührpunkt befindet). Sei f : D R, D offen, x 0 D. Dnn gilt: f ist differenzierbr in x 0 genu dnn wenn: Es gibt ein R und r : R R, r(h) h 0 für h 0 und: f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 ) + r( x x 0 ) 10.7 Lemm (differenzierbr stetig) Sei f : D R differenzierbr in x 0. Dnn ist f uch stetig in x Stz (Differenzierbrkeitsregeln) Seien f, g : D R differenzierbr in x 0 D. Dnn sind uch αf + βg, α, β R, f g und f g für g(x 0) 0 differenzierbr mit den Ableitungen ) (αf + βg) (x 0 ) = αf (x 0 ) + βg (x 0 ) linerität der Ableitung b) (f g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ) Produktregel c) ( f g ) (x0 ) = f (x 0)g(x 0) f(x 0)g (x 0) g 2 (x 0) Quotientenregel 10.9 Stz (Kettenregel) Betrchte die Hintereinnderschltung g f : D f E g R x f(x) g(f(x)) =: (g f)(x) Sei f differenzierbr in x 0 D und g differenzierbr in y 0 := f(x 0 ) E. Dnn ist g f differenzierbr in x 0 und (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 )) f (x 0 ) Stz (Differenzierbrkeit der Umkehrfunktion) Sei I = ], b[, f : I R stetig und streng monoton. Sei f in x 0 I differenzierbr und f (x 0 ) 0. Dnn existiert die Umkehrfunktion g : I := f(i) I und g ist differenzierbr in y 0 := f(x 0 ), und g (y 0 ) = 1 f (g(y 0 )) Bemerkung Die Bedingung für f (x 0 ) 0 ist notwendig, denn f(g(y 0 )) = y 0 f (g(y 0 )) g (y 0 ) = 1 }{{}! 0 29

31 10.12 Bemerkung ) Kettenregel: (g f) (x) = g (f(x)) f (x)y = y(x) := f(x), z = z(x) := g(y) d(z y)(x) dx y (x) = dy(x) dx Also dz dx = dz dy dy dz. = df(x) dx, = dz dx = z (y(x))y (x) = dz(y(x)) dy dy dx = dz dy dy dx z (y) = dz dy b) Umkehrfunktion Sei x = x(y) die Umkehrfunktion zu y = y(x). Dnn gilt: x (x) = dx dy = 1 y (x) = 1 dy(x) dx = 1 dy dx 11 Mittelwertstz und Anwendungen 11.1 Definition (lokles Extremum) Die Funktion f : ], b[ R ht in x 0 ein lokles Minimum, flls gilt: δ > 0 x U δ (x) = ]x 0 δ, x 0 + δ[ : f(x) f(x 0 ) Gilt f(x) > f(x 0 ) x U δ (x 0 ) \ {x 0 }, so heißt f(x 0 ) isoliertes Minimum. Anlog: lokles Mximum Stz (notwendige Bedingung für Extrem) Sei f : ], b[ R differenzierbr in x 0 und f hbe in x 0 ein lokles Extremum. Dnn gilt: f (x 0 ) = Bemerkung f (x) = 0 ist nicht hinreichend für Extremum, denn sei f(x) = x 3, f (x) = 3x 2, f (0) = 0. Problem Steigung der Seknten: Gibt es ein ξ ], b[ : f (ξ) = s? f(b) f() b 11.4 Stz (Mittelwertstz) Sei f : [, b] R stetig und f uf ], b[ differenzierbr. Dnn existiert ein ξ ], b[ mit f f(b) f() (ξ) = b =: s 30

32 11.5 Folgerung [Monotoniekriterium] Sei f : [, b] R stetig und differenzierbr uf ], b[. Dnn gilt: () f (x) > 0 x ], b[ f ist streng monoton wchsend uf [, b]. (b) f (x) < 0 x ], b[ f ist streng monoton fllend uf [, b]. (c) f (x) = 0 x ], b[ f =konstnt uf [, b] 11.6 Definition (Stmmfunktion) Sei f : ], b[ R und F : ], b[ R differenzierbr mit F (x) = f(x) x ], b[. Dnn heißt F Stmmfunktion zu f Folgerung Seien F und G Stmmfunktionen zu f : ], b[ R. Dnn gilt: F G =konstnt, dies folgt us Folgerung 11.5 (c) Bemerkung Sei f : ], b[ R. Finde ein F : ], b[ R mit F = f. Die Gleichung F = f nennt mn uch Differentilgleichung. Weiteres Beispiel: Finde ein u : ], b[ R mit u = u uf ], b[. Eine mögliche Lösung: u(x) = e x. Typische Frgen: Wnn sind solche Differentilgleichungen lösbr? Wie viele Lösungen existieren? 11.9 Folgerung (Schrnkenstz in R) Sei f : [, b] R stetig und f differenzierbr uf ], b[. Dnn gilt für lle x 1 < x 2 b: m f (x) x ], b[ m f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 f (x) M x ], b[ f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 M Bemerkung Für f : ], b[ R n differenzierbr gilt der Mittelwertstz im llgemeinen nicht. Beweis: Übungsufgbe Folgerung (Schrnkenstz im R n ) Sei f : [, b] R n und f differenzierbr uf ], b[ mit f (x) M x ], b[. Dnn gilt: f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 M x 1, x 2 ], b[, x 1 x 2 Problem ex x x? Folgerung Sei f : [, b] R stetig und f uf ], b[ differenzierbr. Sei x 1 < x 2 b und α R. Dnn gilt: f αf uf ], b[ e αx2 f(x 2 ) e αx1 f(x 1 ) f αf uf ], b[ e αx2 f(x 2 ) e αx1 f(x 1 ) 31

33 11.13 Folgerung Es gelten die folgenden Aussgen für jedes s > 0: () (b) lim x x s e x = lim y y s log y = 0 lim x xs e x = 0 lim y s log y = 0 y Definition (k-te Ableitung) Sei D R offen und f : D R. Setze f (0) := f. Sei f (k 1) schon definiert und differenzierbr. Dnn sei f (k) := (f (k 1)) die k-te Ableitung von f Definition (C k (D)) Sei D R offen und k N 0. Setze { } C k (D) := f : D R f (i) : D R definiert und stetig für i = 0, 1,..., k = R Vektorrum der k-ml stetig diff.bren Funktionen C (D) := k N 0 C k (D) Folgerung (Hinreichende Bedingung für Extremwerte) Sei f : ], b[ R zweiml stetig differenzierbr in x 0 ], b[, f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) > 0. Dnn ht f ein isoliertes Minimum in x 0. Motivtion TODO Grfik Definition (konvexe Funktion) Sei f : ], b[ R mit f ( (1 t)x 0 + tx 1 ) (1 t)f(x0 ) + tf(x 1 ) für lle x 0, x 1 ], b[ und für lle t [0, 1]. Dnn heißt die Funktion f konvex Stz (Konvexitätskriterium) Sei f : ], b[ R differenzierbr. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: () f ist monoton wchsend. (b) f ist konvex. (c) f(y) f(x) + f (x)(y x) x, y ], b[ 12 Reihen 12.1 Motivtion n j=0 q j = 1 qn+1 1 q 32

34 Flls q < 1 gilt q n+1 0. Dmit n Dnn schreibt mn: j=0 j=0 q j n N n 1 1 q q j = 1 geometrische Reihe. 1 q f(x) := j=0 x j = 1 1 x x < Definition (Reihe) Sei S n := n j=0 j mit j C. Dnn heißt die Folge (S n ) n N eine Reihe. Die Reihe (S n ) n N heißt konvergent, flls (S n ) n N konvergiert. Dnn schreiben wir k=0 k := lim S n = lim n n (S n ) n N heißt uch Folge der Prtilsummen S n. (S n ) n N 12.3 Lemm (Konvergenzkriterium von Cuchy) Eine Reihe k=0 k konvergiert, gdw. k=0 k n k=0 k ε > 0 N R m n > N : m k < ε 12.4 Stz (Nullfolgentest) Sei k=0 k eine Reihe und ( k ) k N sei keine Nullfolge. Dnn konvergiert die Reihe k=0 k nicht. k=n 12.5 Lemm Die Reihe k=0 k mit k 0 k N konvergiert, gdw. (S n ) n N nch oben beschränkt ist Definition (bsolute Konvergenz) Die Reihe k=0 mit k C konvergiert bsolut, flls k=0 k konvergiert Stz (bsolute Konvergenz Konvergenz) Sei k=0 n konvergent k=0 k konvergiert Stz (Konvergenzkriterien) Sei k=0 k, k C. Ist eine der folgenden Bedingungen erfüllt, so konvergiert die Reihe bsolut. 33

35 () Mjorntenkriterium: k N gilt: k c k [0, [ und c k < k=0 (b) Quotientenkriterium: k 0 N θ ]0, 1[ k k 0 k+1 k θ (c) Wurzelkriterium: k 0 N θ ]0, 1[ k k 0 : k k θ (d) Die Reihe divergiert, flls k+1 k 1 k k 0, k k 1 k k Bemerkung In (b) und (c) von Stz 12.8 reicht nicht k k k+1 0 < 1 oder k k 0 Denn: k k < 1, denn die hrmonische Reihe ist zu beidem ein Gegenbeispiel. k := 1 k k k+1 k = k k + 1 = k k + 1 < 1 k 1 k = k k = k 1 < 1 k Stz (Addition von Reihen, Multipl. von Reihen mit kompl. Zhlen) Sei k=0 k, k=0 b k konvergent, λ, µ C. Dnn konvergiert uch (λ k + µb k ) und k=0 k=0 (λ k + µb k ) = λ k + µ Stz (Cuchyprodukt) Die Reihe k=0 k, k=0 b k seien bsolut konvergent. Dnn konvergiert uch die Reihe c n mit c n := n k b l = k b n k bsolut und n=0 c n = n=0 n=0 k+l=n k+l=n k=0 k=0 k=0 b k ( )( ) k b k = k b k Stz (Umordnungsstz) Sei k=0 k bsolut konvergent, und τ : N 0 N bijektiv (eine Umordnung), dnn konvergiert uch die Reihe k=0 τ(k) und ht denselben Grenzwert wie k=0 k. k=0 k=0 34

36 13 Potenzreihen 13.1 Definition (Potenzreihe) Eine Reihe der Form P (z) := k=0 kz k mit k, z C heißt Potenzreihe. Frgen 1. Für welche z C konvergiert P (z)? 2. Die Prtilsummen P n (z) := n k=0 kz k sind Polynome, lso stetig und unendlich oft differenzierbr. Gilt ds uch für P (z)? 13.2 Definition (gleichmäßige Konvergenz) Sei D R n und (f n ) n N eine Folge von Funktionen f n : D R stetig (f n C 0 (D)). Dnn konvergiert (f n ) n N gleichmäßig gegen f : D R, flls gilt: ε > 0 N N n N : f n f D := sup f n (z) f(z) < ε z D 13.3 Lemm (Abelsches Lemm) Sei k=0 kz k eine Potenzreihe mit k C mit der Eigenschft: zu r [0, [ gibt es ein M [0, [, so dss k N: k r k M Dnn gilt: k=0 kz k konvergiert bsolut und gleichmäßig uf { } K ρ (0) := x C x ρ 0 ρ < r 13.4 Stz (Konvergenzrdius) Sei P (z) := k=0 k z k mit k, z C eine Potenzreihe. Dnn existiert genu ein R [0, ] mit der Eigenschft R heißt Konvergenzrdius. z < R Reihe konvergiert bsolut z > R Reihe divergiert 13.5 Stz (Stetigkeit und gleichmäßige Konvergenz) Sei f n : D R p, D R m stetig und f : D R p mit Dnn ist f stetig uf D. f n f D := sup f n (x) f(x) n 0. x D 35

37 13.6 Folgerung Sei P (z) := k=0 kz k eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius R > 0. Sei P n (z) := n k=0 kz k. Dnn gilt ρ < R: P n P gleichmäßig uf K ρ (0), ds heißt sup P n (z) P (z) n 0. z K ρ(0) Insbesondere: P ist stetig uf K R (0) Stz (Koeffizientenvergleich für Potenzreihen) Seien P (z) := k=0 kz k, Q(z) := k=0 b kz k zwei Potenzreihen mit Konvergenzrdius R > 0. Außerdem existiere eine Folge (z i ) i N mit z i 0 für i mit z i 0 und P (z i ) = Q(z i ) i N. Dnn gilt k = b k k N, lso P = Q. Motivtion lim f n(x) = f(x) n ( ) f (x) = lim f n(x) =? lim f n(x) = g(x) n n 13.8 Stz (Vertuschbrkeit von Konvergenz und Ableitung) Sei (f n ) n N eine Folge in C 1 (I), I = ], b[ und f, g : I R mit Dnn gilt: f C 1 (I) und f = g. f n (x) f(x) x I f n g gleichmäßig uf I 13.9 Stz (Verllgemeinerung für f : I R d ) Stz 13.8 gilt nlog für Abbildungen f : I R d Stz (Differenzierbrkeit von Potenzreihen) Sei P (z) := k=0 kz k mit C eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius R > 0. Dnn gilt: Die Abbildung P : ] R, R[ C x P (x) ist in C (] R, R[) und die Ableitung erhält mn durch gliedweise Differenzierung der Reihe. Für lle x ] R, R[ gilt: P (x) = (k + 1) k+1 x k k= Stz (Potenzreihenentwicklung von e x ) Es gilt e x = k=0 x k k! x R 36

38 Definition Für z C definieren wir Stz Die Potenzreihen e z := k=0 z k k!. k=0 ( 1) k x2k (2k)! hben Konvergenzrdius R = Definition (Sinus,Cosinus) Setze und ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! k=0 cos x = cos(x) := sin x = sin(x) := k=0 ( 1) k x2k (2k)! ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! k= Stz (Potenzreihenentwicklung von log(1 + x)) Es gilt: log(1 + x) = ( 1) k 1 x k = x x2 k 2 + x k= Lemm Die Funktion u(z) := e λz mit z, λ C löst ds Anfngswertproblem u = λu und u(0) = Winkelfunktionen 14.1 Lemm Es gilt sin x = (sin x) = sin (x) = cos x cos x = (cos x) = cos (x) = sin x 14.2 Folgerung sin und cos sind die eindeutigen Lösungen der folgenden Anfngswertprobleme. x + x = 0 x + x = 0 x(0) = 0 bzw x(0) = 1 x (0) = 1 x (0) = 0 37

39 14.3 Folgerung Sei c : R C mit c(t) := cos t + i sin t. Dnn gilt: c = ic c(0) = 1 cos 2 (t) + sin 2 (t) = Lemm Sei τ := sup { t > 0 } cos s > 0 s ]0, t[. Dnn gilt: }{{} =:Q 1. cos t > 0 und sin t > 0 t ]0, τ[. 2. τ ]0, [ und cos τ + i sin τ = i Definition (π) Sei τ wie in Lemm Setze π = 2τ Lemm (Eulersche Formel) Für lle x R gilt: e ix = cos x + i sin x 14.7 Lemm (Funktionlgleichung) Es gilt: e i(α+β) = e iα e iβ 14.8 Folgerung (Additionstheoreme) Es gilt 14.9 Lemm Die Funktionen cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α cos : [0, π] [ 1, 1] sin : [ π 2, π ] [ 1, 1] 2 sind streng monoton fllend bzw. wchsend Definition (rccos, rcsin) Nch Lemm 14.9 existiert die Umkehrfunktion zu sin und cos: rccos : [ 1, 1] [0, π] rcsin : [ 1, 1] [ π 2, π 2 ] Folgerung (Polrdrstellung) TODO: Einheitskreis Zu z = x + iy C 0 gibt es eindeutig bestimmte r R + und ϑ [0, 2π[ mit z = re iϑ. 38

40 14.12 Definition (Tngens) tn x := sin x cos x 15 Integrlrechnung cos x 0 tn x = cos2 x + sin 2 x cos 2 x 15.1 Motivtion TODO: Grfik der Riemnnschen Summe. = 1 cos 2 x 15.2 Definition (Riemnnsche Summe) Sei I = [, b] und x i [, b] für i = 0,..., N mit = x 0 x 1 x N = b I k := [x k 1, x k ] und ξ k I k Dnn heißt {x 0, x 1,..., x N }, {ξ 1,..., ξ N } eine Unterteilung oder Diskretisierung D von I und die ξ k heißen Stützstellen. x k := x k x k 1 (D) := mx x k k=1,...,n Feinheit der Diskretisierung Sei f : I R. Dnn setze S D (f) = N f(ξ k ) x k R =: Riemnnsche Summe k= Definition (Riemnn-Integrl) Sei f : I R und es gelte: S R ε > 0 δ > 0 Diskretisierung D mit (D) < δ Dnn heißt f Riemnnintegrierbr. S D (f) S < ε S : = (bestimmtes) Integrl von f uf [, b] = S(f) = = lim D 0 S D(f) f = 15.4 Lemm Sei I := [, b] und f : I R. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: 1. f ist Riemnn integrierbr, S = f. 2. Für jede Folge von Diskretisierungen (D j ) j N mit (D j ) 0 gilt S Dj (f) S für j. f(x)dx 39

41 15.5 Stz (Linerität des Integrls) Sei { } R(I) := f : I R f ist Riemnn integrierbr Dnn gilt: 1. R(I) ist ein R-Vektorrum. 2. S : R(I) R, f S(f) = f ist ein lineres Funktionl, ds heißt es gilt I insbesondere λ, µ R, f, g R(I): (λf + µg) = λ f + µ 15.6 Lemm Sei f R(I) und f : I R. Es gebe endlich viele Punkte A := { 1, 2,..., r } I mit f(x) = f(x) x I \ A. g Dnn ist f R(I) und f = f Stz Sei f : [, b] R Riemnn integrierbr. Dnn ist f beschränkt Definition (Supremumsnorm) Sei f : D R, D R m. Dnn heißt f D := sup f(x) x D Supremumsnorm Definition (Norm) Sei V ein K-Vektorrum und : V R + mit folgenden Eigenschften: 1. u 0 u V ; u = 0 u = αu = α u u V, α K. 3. u + v u + v u, v V. Dnn heißt Norm uf V und (V, ) normierter K-Vektorrum Lemm Sei D R m und { } B(D) := f : D R f ist beschränkt. Dnn ist (B(D), D ) ein normierter C-Vektorrum. 40

42 15.11 Lemm Sei I = I 1 I 2 I n eine Unterteilung von I = [, b] in Intervlle I k := [ k 1, k ]. Sei f : I R und f sei uf jedem Teilintervll I k integrierbr. Dnn gilt f R(I) und f = n k=1 k k 1 f Definition (Treppenfunktion) Es gebe eine Unterteilung = 0 < 1 < < n = b des Intervlls [, b] und c i R, i = 1,..., n. Sei f : [, b] R mit f(x) = c i für lle x ] i 1, i [, i = 1,..., n. Dnn heißt f Treppenfunktion Folgerung (Integrl von Treppenfunktionen) Sei f eine Treppenfunktion wie in Dnn ist f Riemnn-integrierbr und f = n c i ( i i 1 ) i=1 Sei f beliebig. Es gebe Treppenfunktionen f k f. Es gibt zwei Arten von Konvergenz: punktweise: f k (x) f(x) k x [, b] gleichmäßig: sup f k (x) f(x) 0 x [,b] Im llgemeinen gilt für punktweise Konvergenz nicht: wie ds folgende Beispiel zeigt. f k f pktw. f k Stz (Abschätzung des Integrls durch die Supremumsnorm) Für f R(I), I = [, b] gilt: f f I b Stz (Integrl und gleichmäßige Konvergenz) Sei (f k ) k N eine Foge in R(I), f : I R und f k f gleichmäßig uf I. Dnn gilt: f R(I) und f = lim k f k f Bemerkung lim f k = lim k glm. f k k 41

43 15.16 Definition (gleichmäßige Stetigkeit) Sei f : I R, I = [, b]. Dnn heißt f gleichmäßig stetig, flls gilt: ε > 0 δ > 0 x, y I, x y < δ : f(x) f(y) < ε Lemm Sei f : [, b] R stetig uf I. Dnn ist f uch gleichmäßig stetig Stz Sei I = [, b] und f C 0 (I). Dnn gilt: f R(I) Definition (stückweise stetig) f : [, b] R heißt stückweise stetig, flls es eine Unterteilung = 0 < 1 < < N = b gibt, so dss () f ]i 1, i[ ist stetig uf ] i 1, i [ i = 1,..., N. (b) An den Stellen j existieren die links- und rechtsseitigen Grenzwerte lim f(x) x j lim f(x) j = 0,..., N. x j Folgerung Sei f : [, b] R stückweise stetig. Dnn ist f R(I) Stz (Monotonie des Integrls) Sei f, g R(I), I = [, b], f < g. Dnn gilt: () f g. (b) f R(I) flls f C 0 (I). (c) f f Folgerung (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Seien f, g : [, b] R stetig, ϕ 0. Dnn existiert ein ξ [, b] mit fϕ = f(ξ) ϕ. 16 Ableitung und Integrl 16.1 Definition Sei I := [, b], f R(I). Dnn setze f = b f f = 0 f(x) dx = f 42

44 16.2 Stz (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Sei f : I R stetig, I = [, b], x 0 I und F : I R definiert durch F (x) := x x 0 f(ξ) dξ = x x 0 f. Dnn ist F differenzierbr und F (x) = f(x) für lle x [, b]. F heißt Stmmfunktion zu f uf I Folgerung Sei f C 0 (I), I = [, b], F : I R Stmmfunktion zu f uf I. Dnn gilt x 0 I: x F (x) = F (x 0 ) + f(ξ) dξ x Folgerung (Berechnung von Integrlen mittels Stmmfunktion) Sei F : I R Stmmfunktion uf I, f C 0 (I), I = [, b]. Dnn gilt: 16.5 Stz (Prtielle Integrtion) Sei f, g C 0 (I), I = [, b]. Dnn gilt f(ξ) dξ = F (b) F () = [F (x)] x=b x= = [F (x)]b fg = [fg] b f g Stz (Substitution oder Trnsformtionsregel) Sei I = [, b], I = [α, β], ϕ C 1 (I ), f C 0 (I), ϕ(i ) I. Dnn gilt: ϕ(β) ϕ(α) f(x) dx = β α f ( ϕ(s) ) ϕ (s) ds. Kochrezept f(x) dx, x = x(y). dx dy = x (y) dx = x (y)dy y = x 1 () f(x) dx = x 1 (b)=β x 1 ()=α f(x(y))x (y) dy 43

45 Index rccos, 38 rcsin, 38 ε-kugel, 16 ε-umgebung, 9 im R n, 16, 41 Abelsches Lemm, 35 Ableitung, 28 k-te, 32 im R m, 28 Ableitungsfunktion, 28 Additionstheoreme, 38 Anordnungsxiome, 7 Archimedes Axiom des, 8 Bernoulli-Ungleichung, 8 Betrg, siehe Norm in R, 8 Binomilkoeffizient, 6 Binomische Formel llgemeine, 7 Bolzno-Weierstrß Stz von, 13, 16 Cuchy Konvergenzkriterium, 33 Cuchy-Schwrzsche Ungleichung, 16 Cuchyfolge, 11 Cuchyprodukt, 34 Cosinus, 37 Differentilgleichung, 31 Differenzierbrkeit, 28 der Exponentilfunktion, 28 im R m, 28 linere Approximtion, 29 Regeln für, 29 und Stetigkeit, 29 Dreiecksungleichung, 8, 16 umgekehrte, 8 Durchschnitt, 4 Eulersche Formel, 38 Exponent rtionler, 26 Exponentilfunktion, 12 Ableitung der, 28 Chrkterisierung, 26 Eigenschften der, in C, 36 Extremstellen Existenz von, 27 Extremum lokles, 30 Extremwert hinreichende Bedingung, 32 Folgen Beschränktheit, 10 Definition, 9 Konvergenz, siehe Konvergenz Fundmentlstz der Algebr, 20 Funktion, 18 Funktionlgleichung, 26 Funktionen Beschränktheit, 27 Geometrische Reihe, 7 Gleichmächtigkeit, 14 Grenzwert, 9 Eindeutigkeit des, 9 einseitiger monotoner Funktionen, 24 Rechenregeln, 10 und Stetigkeit, 22 uneigentlicher, 22 Ungleichungen, 10 von Funktionen, 22 Rechenregeln, 23 Häufungspunkt, 13 Häufungspunkte 44

46 im R n, 16 Heine-Borel, Stz von, 27 infimum, 14 Integrl Linerität, 40 und gleichmäßige Konvergenz, 41 Integrl Abschätzung durch Supremumsnorm, 44 Integrtion Prtielle, 43 Intervlle, 11 Intervllschchtelung, 12 Körper, 6 Kettenregel, 29 Koeffizientenvergleich, 18 Komplement, 4, 17 komplexe Nottion, 19 Zhlen, 19 Rechenregeln für, 20 Konvergenz, 9 bsolute, 33 gleichmäßige, 35 im R n, 16 uneigentliche, 11 von Funktionen, 22 Konvergenzkriterien, 33 Konvergenzrdius, 35 konvex, 32 Konvexitätskriterium, 32 Limes inferior, 13 Limes superior, 13 Linerfktoren Abspltung von, 18 Logrithmus, 25 Potenzreihenentwicklung, 37 Mjorntenkriterium, 34 Menge leere, 4 Mengen, 4 beschränkte, 14 im R n, 16 kompkte, 27 Mächtigkeit überbzählbr, 15 bzählbr, 15 bzählbr unendlich, 15 endlich, 15 offene, bgeschlossene im R n, 17 Mittelwertstz, 30 der Integrlrechnung, 42 Monotonie und Umkehrfunktion, 24 von Folgen, 12 Monotoniekriterium, 31 Norm, 40 Eigenschften, 15 Euklidische, 15 Nullfolgen, 10 Nullfolgentest, 33 Nullstellenlemm, 18 Prtilsummen, 33 Pscl Dreieckschem von, 6 Polrdrstellung, 38 Polynome, 18 Fktorisierung reeler, 21 komplexe, 20 Potenzreihe, 35 Quntoren, 4 Quotientenkriterium, 34 Reihe, 33 Addition von, 34 geometrische, 33 multipl. mit kompl. Zhl, 34 Riemnn-Integrl, 39 Riemnnsche Summe, 39 Schrnkenstz, 31 im R n, 31 Schwrzsche Ungleichung, siehe Cuchy- Schwrzsche Ungleichung Sinus, 37 Sklrprodukt, 15 Eigenschften, 15 Stmmfunktion, 31, 43 stetig stückweise, 42 stetige Funktionen Kombintion von, 21 Komposition von, 22 45

47 Stetigkeit, 21 gleichmäßige, 42 Lipschitz-, 21 mittels Folgen, 21 Substitutionsregel, 43 Supremum, 14 Supremumsnorm, 40 Tngens, 39 Teilfolge, 13 Teilmenge, 4 Trnsformtionsregel, 43 Treppenfunktion, 41 Integrl von, 41 Umkehrfunktion, 30 Differenzierbrkeit der, 29 Vektorrum, 10 Vereinigung, 4 Vielfchkeiten, 19 Vollständigkeit des R n, 16 Vollständigkeitsxiom, 11 Wurzel Existenz der n-ten, 11, 12 Wurzelkriterium, 34 Zwischenwertstz, 24 46

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