Zusammenfassung Analysis 1

Transkript

1 Zusmmenfssung Anlysis 1 Ssch Schleef Reelle Zhlen (1.1) x, y, z R : (x + y) + z = x + (y + z) (Asozitivgesetz) (1.2) x, y R : x + y = y + x (Kommuttivgesetz) (1.3) 0 R x R : x + 0 = x (0 heißt Null) (1.4) x R y R : x + y = 0 (y heißt Negtives von x kurz x) (1.5) x, y, z R : (x y) z = x (y z) (Asozitivgesetz) (1.6) x, y R : x y = y x (Kommuttivgesetz) (1.7) 1 R x R : x 1 = x (1 heißt Eins) (1.8) x R, x 0 y R : x y = 1 (y heißt Inverses von x kurz x 1 ) (1.9) x, y, z R : x (y + z) = x y + x z (Distributivgesetz) (1.37) Beispiel: Regeln ngewndt uf x 2, komplexe Zhlen, F 2 Vollständige Induktion: Zz: n NA(m) richtig. IA: A(1) richtig. IV: n NA(m) richtig. IS: A(n) A(n + 1) (1.38) Definition: Menge K mit den Regeln ist ein Körper (Körperxiome). (1.39) Stz: Anzhl verschiedener Permuttionen: n! = n i i=1 Anzhl verschiedener k-elementiger Teilmengen: ( ) n k = n! (1.40) () ( ) ( n k = n ) n k (b) ( ( n 1) = n, n 0) = 0 (c) ( ) ( n k = n 1 ) ( k 1 + n 1 ) ( k, n ( k) = n n+k) = 0 (1.41) Binomischer LehrStz: (x + y) n = n k=0 ( n ) k x n k y k k! (n k)! 1

2 2 Axiome der Anordnung (2.1) Trichotomie: x N : x > 0 positiv, x = 0 (Null), x < 0 (negtiv) (2.2) Abgeschlossenheit(+) x > 0 y > 0 x + y > 0 (2.3) Abgeschlossenheit( ) x > 0 y > 0 x y > 0 (2.4) Definition: x > y : x y > 0 Rest nlog Für zwei x, y N gilt genu eine Reltion: x < y, x = y, x > y (2.5) Trnsitivität ( ): x < y y < z x > z (2.6) Trnsltionsinvrinz: x < y + x < + y, N (2.7) Spiegelung: x < y ( x) > ( y) (2.8) x < y < b + x < y + b (2.9) x < y > 0 x < y (2.10) 0 x < y 0 < b x < b y (2.11) x < y < 0 x > y (2.12) x 0 : x n > 0, n N insbesondere 1 > 0 (2.13) x > 0 x 1 > 0 (2.14) 0 < x < y x 1 > y 1 (2.15) Definition: Körper mit obigen Axiomen heißt: ngeordneter Körper () F 2 = {0, 1} nicht ngeordnet (b) Wenn K ngeordnet, so enthält er gnz N 0 (c) Sei dzu N kleinste Teilmenge von K mit: 0 N, x N x + 1 N (2.16) Definition: Pemo-Axiome Sei N eine Menge 0 N und einer Nchfolgebbildung ν : N N () x y ν(x) ν(y) (b) 0 / ν(n = {x N x = ν(y), y N } (c) (Induktionsxiom): M N : 0 M x M ν(x) M (2.17) Definition: Absolutbetrg: { x x 0 () x = x x x < 0 (b) x = mx(x, x) (2.18) Stz: Der Absolutbetrg erfüllt: () x 0 x R x = 0 x = 0 2

3 (b) x y = x y (c) -Ungleichung: x + y x + y (2.19) Definition: Körper K mit (2.20) Folgerung: K K x x heißt bewerteter Körper. x x heißt Bewertung. () x = x x K (b) x, y R, y 0: = x (c) x y x y x y x y y x y } x y x y (2.21) Archimediches Axiom: Zu je 2 reellen Zhlen x, y > 0 gibt es eine ntürliche Zhl n N mit: n x > y R, Q sind rchimedisch geordnet. Körper die ngeordnet sind, müssen nicht rchimedisch geordnet sein. (2.22) Folgerung () x R n 1, n 2 N : n 1 > x n 2 < x (b) Gußklmmer: x N n N : n x < n + 1: floor(x)= x x N m N : m 1 < x m: ceil(x)= x (2.23) ε > 0 n N, n > 0 : 1 n < ε (2.24) Stz: Bernulli-Ungleichung: x R, x 1 n N: (1 + x) n 1 + n x (2.25) () b R, b > 0 n N : b n > K (b) 0 < b < 1 : ε > 0 n N : b n < ε 3

4 3 Folgen und Grenzwerte (3.1) Definition: Seinen A, B zwei nichtleere Mengen: () Abbildung f : A B ist Vorschrift, die zu jedem A genu ein f() B zuordnet. A: Argumentbereich, B: Bildbereich. (b) f(a) := {b B A : b = f()} (c) f heißt surjektiv, flls: B = f(a). (d) f heißt injektiv, flls: b f() f(b), (e) f heißt bijektiv, flls f surjektiv und injektiv, b A (3.3) Definition: Eine Abbildung f : N R mit f(n) := n R, n N heißt Folge reller Zhlen. Argumentbereich heißt Indexmenge. Auflistung ( n ) n N = ( 1, 2,..., n ) heißt unendliches Tupel. (Auch ndere Indexmengen möglich) (3.4) Definition: () Folge ( n ) n N heißt konvergent gegen R, flls: ε > 0 N N n N : n < ε N hängt von ε b! ( n ) n N heißt konvergent, wenn es ein soles gibt. Schreibweisen: lim n =, kurz: lim n = n n ist formle Erweiterung von R durch: R : R {, + }, < x < + x R (b) ε > 0 N N n N : n [ ε, + ε d.h. lle n, bis uf endlich viele, liegen in diesem Intervll. (c) Folge ( n ) n N, die nicht gegen irgendein R konvergiert heißt divergent. (3.6) Definition: Folge ( n ) n N heißt beschränkt nch oben/unten, wenn K R: n K n N / n K n N ( n ) n N beschränkt, wenn nch oben und unten beschränkt. (3.7) Stz: Eindeutigkeit des Limes: lim n n = lim n n = b = b (3.8) Stz: Jede konvergente Folge ( n ) n N reeller Zhlen ist beschränkt. (3.10) Stz: Summen und Produkte konvergenter Folgen ( n ) n N bzw. (b n ) n N konvergent mit bzw b : () (b) lim ( n + b n ) = + b n lim ( n b n ) = b n (3.11) Folgerung: Linerkombintion ( n ) n N, (b n ) n N konvergent und α, β R. Dnn konvergiert (α n + β b n ) n N mit: lim n (α n + β b n ) = α lim n ( n) + β lim n (b n) (3.12) Stz: Quotienten reller Folgen ( ( n ) n N, (b n ) n N konvergent. Dnn n 0 N : b n 0 n n 0 n b n, mit lim n )n n 0 n bn = b 4

5 (3.14) Stz: Vergleich reeller Folgen ( n ) n N, (b n ) n N konvergent mit n b n n N () lim n lim b n n n (b) A n B n N A lim n B n (3.15) Definition: Reihe: () (S m ) m N0 = m n heißt Reihe mit Gliedern n. (b) (S m ) m N0 = n heißt unendlcihe Reihe. Konvergiert diese wird ihr Grendwert mit bezeichnet. (3.15) Bemerkung: Teleskopsumme: Jede Folge ( n ) n N lässt sich ls Folge von Prtilsummen drstellen, denn: n = 0 + n ( k k 1 ), n N k=1 (3.17) Beispiel: unendliche geometrische Reihe Für x < 1 gilt: x n = 1 1 x n Prtilsumme: x k = 1 xn+1 1 x k=0 (3.19) Definition: bestimmte Divergenz: ( n ) n N heißt: () bestimmt divergent gegen +, flls K R N N n N : n > K (b) bestimmt divergent gegen, flls ( n ) bestimmt divergent gegen + n Mn schreibt: lim n n = + bzw. lim n n =. Sie sind uneigentlich konvergent gegen ±. 1 (3.20) () ( n ) n N bestimmt divergent gegen ±. Dnn N N : n 0 n N und lim n n = 0 (b) ( n ) n N Nullfolge, d.h. lim n = 0 mit n > 0 n bzw. n < 0 n. n Dnn divergiert ( 1 n ) n N bestimmt gegen + bzw. infty. 5

6 4 Vollständigkeit der reellen Zhlen (4.1) Stz: ε > 0 N N : n m < ε m, n N (4.2) Definition: Cuchy-Folge: Folge ( n ) n N mit (4.1) (4.3) Definition:, b R, < b Dnn ist [, b] = {x R x b} ds bgeschlossene Intervll mit Endpunkten, b. [, b] ht die Länge/Durchmesser(Dimeter): dim([, b]) = b (4.4) Definition: Monotonie: ( n ) n N0 heißt: () monoton wchsend flls n n+1 n N 0 (b) streng monoton wchsend flls n < n+1 n N 0 (c) monoton fllend flls n n+1 n N 0 (d) streng monoton fllend flls n > n+1 n N 0 (4.5) Stz: Für x n+1 = 1 2 (x n + x n ) n N 0 mit, x 0 R + gilt: () x n > 0 und x n Q, flls Q und x 0 Q (b) x n x 2 n, n N (c) x n x n+1 x n+1 x n d.h. (x n ) n N monoton fllend und ( x n ) n N monoton wchsend. Für bgeschlossene Intervlle I n = [ x n, x n ] gilt: I n+1 I n, n N (d) dim(i n ) = x n x n ist monoton fllend mit: lim dim(i n) = 0. n (4.6) Definition: Intervllschchtelung: Sei I 0 I 1... I n I n+1 eine bsteigende Folge bgeschlossener Intervllein R mit lim n dim(i n) = 0. (4.7) Axiom: Vollständigkeit von R Jede Cuchy-Folge konvergiert in R (4.8) Stz: Die Aussgen () R ist vollständig (Axiom 4.7) (b) (I n ) n N!x R n N : x I n (Intervllschchtellungsprinzip) sind äquivlent. (4.9) Definition: b-discher Bruch: ± n b n, b N, b 2, k N 0, 0 n b 1 n= k oft geschrieben: ± k k }{{} V orkomm (4.10) Stz: Sei b N, b 2 dnn gilt:, }{{} Nchkomm () Jeder b-dische Bruch ist eine Cuchy-Folge, d.h. konvergiert gegen eine reelle Zhl. (b) Jede reelle Zhl lässt sich in einem b-dischen Bruch entwickeln (ia. nicht eindeutig). (4.11) Definition: Teilfolge: Sei ( n ) n N0 Folge und (n 0 < n 1 <...) eine ufsteigende Folge ntürlicher Zhlen, dnn heißt ( nk ) k N0 = ( n0, n1,...) Teilfolge von ( n ) n N0. 6

7 (4.12) Proposition: Ist ( n ) n N konvergent mit Limes R dnn konvergiert uch jede Teilfolge (sofern existent) von ( n ) gegen, (4.13) Stz: Bolzno-Weierstrß Jede beschränkte Folge reeller Zhlen ht eine konvergente Teilfolge. (4.14) Stz: Jede beschränkte, monotone Folge (wchsend oder fllend) reeller Zhlen konvergiert. (4.15) Definition: Häufungspunkt Eine Zhl R heit HP einer Folge ( n ) n N wenn es eine Teilfolge von ( n ) gibt, die gegen konvergiert. (4.16) Bemerkung: Die reellen Zhlen sind durch: () Körperxiome (1.1)-(1.9) (b) Anordnungsxiome (2) (c) rchimedisches Axiom (2) (d) Vollständikeitsxiom eindeutig bestimmt. (4.17) Stz: Cuchys-Konvergenzkriterium: Sei ( n ) n N Folge reeller Zhlen, dnn gilt: () n konvergiert ε > 0 N N n, m N : (b) Sei n 0 n N : n konvergiert S n := (4.18) Beispiel: hrmonische Reihe: Sei n = 1 n, n N Dnn divergiert n n k=0 n k=m k < ε (4.19) Stz: Leibnitz-Kriterium für lternierende Reihen: Sei ( n ) n N eine monoton fllende Nullfolge ( n 0 lim n = 0). n Dnn konvergiert ( 1) n n k < K (Prtilsumme beschränkt) (4.21) Stz: Mjorntenkriterium: Sei b n konvergente Reihe mit b n 0 und ( n ) n N eine Folge mit n b n n N Dnn konvergiert n und sogr n b n heißt Mjornte von n (4.22) Definition: bsolute Konvergenz: n bsolut konvergent, flls n (Reihe über den Betrg der Folge) konvergent. (4.23) Proposition: zum Mjorntenkriterium () mit b n = n folgt die normle Konvergenz us der bsoluten. (b) Ist b n 0, b n divergent und ( n ) n N mit n b n so divergiert uch n 7

8 (4.24) Stz: Quotienten-Kriterium: Sei n Reihe mit N N : n 0 n N dnn: q R, 0 < q < 1 : n+1 n < q n > N n konvergiert bsolut (4.26) Definition: Umordnung: Sei n reihe und s : N 0 N 0 bijektive Abbildung. Dnn heißt s(n) Umordnung der Reihe. (4.26) Stz: Umordnungsstz: Sei n eine bsolut konvergente Reihe, dnn konvergiert uch jede Umordnung der Reihe gegen denselben Grenzwert. (4.27) Beispiel: Eine Umordnung der lternierenden hrmonische Reihe divergiert. (4.28) Stz: Exponentilreihe: exp(x) = x n n! x R bsolut konvergent. (4.29) Stz: Cuchy-Produkt von Reihen: Seien n und b n bsolut konvergente Reihen: Für n N 0 : c n = (Achtung: Lufindexwechsel!) Dnn ist uch c n bsolut konvergent mit: n k=0 ( ) ( ) c n = n b n (4.30) Stz: Funktionlgleichung für exp: exp(x + y) = exp(x) exp(y) x, y R (4.31) Folgerung: x R: () exp(x) > 0 (b) exp( x) = 1 exp(x) (c) m Z : exp(m) = e m 4.1 Übungen Stz: Wurzelkriterium: q R, 0 < q < 1 n N : Stz: Sndwich-Theorem: n b n c n n N : N N Wenn n und c n konvergent mit lim uch b n konvergent mit lim n b n =. k b n k n n < q n bsolut konvergent n=1 n = lim c n = dnn ist n n 8

9 5 Teilmengen von R (5.1) Definition: Intervlle () bgeschlossene:, b R, b [, b] := {x R x b} (b) offene:, b R, b ], b[:= {x R < x < b} (c) hlboffene:, b R, b [, b[:= {x R x < b}, ], b] := {x R < x b} (d) uneigentliche:, b R, b [, [:= {x R x > }, ], b] := {x R x < b} (e) R + := {x R x 0}, R :=}x R x 0{, R + := R + R (f) Sei ( n ) n N0 eine Folge d.h. eine Abbildung : N 0 R Dnn heißt die Bildmenge (N 0 ) R die uneigentliche Punktmenge zu ( n ). (5.2) Definition: Abzählbrkeit: Eine nichtleere Menge A heißt bzählbr, wenn es eine surjektive Abbildung s : N 0 A gibt. Die leere Menge sei bzählbr und eine nichtleere Menge heißt überbzählbr, wenn sie nicht bzählbr ist. (5.4) Definition: bzählbr unendlich: Eine nichtendliche bzählbre Menge. (5.5) Stz: Sei M N 0, M. Dnn besitzt M ein kleinstes Element. (5.6) Stz: Jede Teilmenge von N 0 ist entweder endlich oder bzählbr unendlich. Im letzteren Fll gibt es eine bijektive Abbildung: t : M N 0, t(m) := {x M x < m} (5.7) Stz: Die Vereinigung bzählbr vieler bzählbrer Mengen M n, n N 0 ist wieder bzählbr (Digonlmuster). (5.8) Folgerung: Die Menge Q ist bzählbr unendlich. (5.9) Stz: Die Menge R ist überbzählbr. (5.10) Folgerung: Die Menge der irrtionlen Zhlen R \ Q ist überbzählbr. (5.11) Definition: Sei A R Teilmenge und R () heißt Berührpunkt von A, wenn in jeder ε-umgebung von, d.h. U ε () :=] ε, + ε[, mindestens ein Punkt von A liegt. (b) heißt Häufungspunkt von A, flls in jeder ε-umgebung unendlich viele verschiedene Punkte von A liegen. (5.14) Definition: () Eine Teimenge A R heißt nch oben bzw. unten beschränkt, wenn es ein K R gibt mit: x K bzw. x K x A (b) A heißt beschränkt, wenn A nch oben und unten bschränkt ist. (c) Eine Folge ist nch oben/unten beschränkt, wenn die zugrundeliegende Menge nch oben/unten beschränkt ist. (d) K heißt kleinste obere Schrnke von A flls: K R ist obere Schrnke von A Ist K weitere obere Schrnke von A, so gilt: K < K. (e) K heißt Supremum/Infimum von A, flls K kleinste obere/größte untere Schrnke von A ist. Existiert diese, so ist sup(a)/ inf(a) eindeutig bestimmt. 9

10 (5.15) Stz: Jede nichtleere, nch oben/unten beschränkte Teilmenge A R besitzt ein Supremum/Infimum. (5.17) Definition: () Sei A R Flls sup(a) existiert und sup(a) A gilt, dnn heißt sup(a) Mximum mx(a) von A. (Entsprechend für Minimum min(a)) (b) Flls A R nch oben/unten nicht beschränkt, schreibt mn: sup(a) = / inf(a) =. (c) ( n ) n N Folge reeller Zhlen, dnn sei lim sup( n) := lim sup({ k k n}) und lim inf( n) := n n n lim sup({ k k n}) Dies wird uuch ls lim bzw.... bezeichnet. n n (5.19) Definition: (5.20) Stz: () Eine Menge A R heißt bgeschlossene Menge, wenn für jede konvergente Folge ( n ) n N von Elementen n A gilt: lim n n A. (b) Eine Menge heißt offene Menge wenn R \ U bgeschlossen ist. (c) K R heißt kompkte Menge, flls jede Folge ( n ) n N von Elementen n K eine konvergente Teilfolge mit Limes in K besitzt. () U R offen U ε > 0 : ] ε, + ε[ U (b) K R kompkt K ist beschränkt und bgeschlossen. (c) Vereinigungen offener Mengen sind wieder offen und Durchschnitte bgeschlossene Mengen sind wieder bgeschlossen. (d) Endliche Durchschnitte offener Mengen sind wieder offen und endliche Vereeinigungen bgschlossener Mengen sin wieder bgschlossen. 10

11 6 Stetige Funktionen Seien M, N R nichtleere Teilmengen. Eine Funktion f : M N heißt stetig im Punkt m M, flls ε > 0 δ > 0 x : x m < δ : f(x) f(m) < ε Zu einer Umgebung U ε (f(m)) := {x N x f(m) < ε} gibt es eine Umgebung U δ (m) := {x M x m < δ} sodss f (U δ (m)) U ε (f(m)) f : M N heißt stetig in M, wenn f in jedem Punkt m M stetig ist. (6.1) Beispiele () id : R Rid(x) = x ist stetig uf R. Wähle δ = ε = 0 (b) f : R R, f(x) = c R x R (konstnt) ist stetig. (c) Der Betrg : R R + {0} ist stetig, d für m R und lle ε > 0 gilt mit δ = ε: x m < δ x m x m < ε = δ (d) exp(x) ist stetig in x = 0 Abschätzung für N 0 : exp(x) = ( 1 + x 1! xn N! ) (6.2) Stz: Folgenkriterium für Stetigkeit Sei f : M N, M, N R nichtleere Teilmengen. f stetig in m M Für jede Folge (x n ) n R, x n M mit Limes lim n x n = m M gilt: lim n f (x n) = f(m) (6.3) Stz: Seien f, g : M N R, M R, M stetig in M. Ferner seinen c, d R. Dnn gilt: () c f + d g und f g sind wieder stetig in m (b) Ist g(m) 0, so ist uch f g in m stetig. (c) Sei ferner N R mit g : N N Dnn ist die Komposition g f : M N in m stetig, wo (g f)(x) = g (f(x)), x M, wenn f in m M stetig ist und g in f(m) N stetig ist. (d) min(f, g) : M R, wo f, g : M N stetig in m M mx(f, g) : M R, wo f, g : M N stetig in m M ist, sind wieder in m M stetig. Hier ist min(f, g)(x) := min (f(x), g(x)) und mx(f, g)(x) := mx (f(x), g(x)) (6.4) Die Funktionen f : R R, definiert durch f(x) := c n x n +c n 1 x n c 1 +x+c 0, wo c j R und c n 0 heißen Polynomfunktionen. Es gilt: () Polynomfunktionen sind uf R stetig. (b) Sind P und Q Polynome und Q(m) 0, so ist x P (x) Q(x) in x = m stetig. (6.5) Stz: Zwischenwertstz Sei f : [, b] R stetig, < b,, b R. Ferner sei c R mit f() < c < f(b). Dnn gibt es mindestens ein x [, b] mit f(x) = c Grph einer Funktion f: G(f) := {(x, f(x)) x M} M N 11

12 (6.6) Folgerung: Jede Polynomfunktion f(x) := c n x n + c n 1 x n c 1 + x + c 0 mit ungerden Grd n N und Koeffizienten c j R besitzt mindestens eine Nullstelle in R. (6.7) Folgerung: Sei I R ein Intervll (eigentlich oder uneigentlich) und f : I R stetig. Dnn ist f(i) R wieder ein Intervll. (6.8) Definition: Folgenbeschränktheit Eine Funktion f : M R heißt beschränkt, wenn f(m) R beschränkt ist. d.h.: K R + : f(x) K x M (6.9) Stz: ngenommenes Supremum/Infimum Sei M R kompkt (z.b. M = [, b], < < b < ) und F : M R stetig. Dnn ist f(m) kompkt und die Funktion f nimmt ihr Supremum b und Infimum. d.h. x mx M, x min M : f(x mx ) = sup(f(m)), f(x min ) = inf(f(m)) (6.10) Stz: Sei I R ein Intervll und f : I R stetig und monoton wchsend/fllend. Dnn bildet f ds Intervll I bijektiv uf ds Intervll J := f(i) b und die Umkehrfunktion f 1 : J R ist ebenflls stetig und streng monoton wchsend/fllend. (6.11) Stz: Wurzeln und Logrithmen () Sei k 2, k N Dnn ist f : R + R, f(x) = x k streng monoton wchsend und stetig, lso eine Bijektion von R + R + = Die Umkehrfunktion f 1 : R + R +, f 1 (x) = k x ist stren monoton wchsend und stetig. (b) Flls k ungerde ist, ist durch f(x) = x k eine strng monoton wchsende. stetige Bijektion von R R definiert und entsprechend ist die Umkehrfunktion f 1 (x) = k x eine stetige streng monoton wchsende Funktion von R R. (c) Die Funktion exp : R R + ist streng monoton wchsend und eine stetige Bijektion mit streng monoton wchsender, stetiger Umkehrfunktion: log : R + R, x log(x) Es gilt x, y R, x, y > 0 : log(x y) = log(x) + log(y) (6.12) Definition: Allgemeine Potenzen Für die Bsis > 0 definiere die Funktion : R R durch x := exp (x log()) (6.13) Stz: Die Funktion : R R ist stetig und es gilt: () x+y = x y (b) n, n Z ist die in 1 definierte Potenz. (c) p q = q p, p Z, q N, q > 2 (6.14) Stz: Potenzregeln Seien b, R +, x, y R () x+y = x y (b) ( x ) y = x y (c) x b x = ( b) x (d) ( ) 1 x = x (6.15) Definition: Sei D 0 und f : D R. Eine Funktion heißt: () gleichmäßig stetig in D, flls ε > 0 δ > 0 x, y D, x y < δ : f(x) f(y) < ε 12

13 (b) Lipschitz-stetig in D, flls L R x, y D : f(x f(y) < L x y (L heißt Lipschitz-Konstnte) (6.16) Beispiel/Bemerkung: () f Lipschitz-stetig mit L f gleichmäßig stetig (wähle δ = ε L ) (b) x x ist Lipschitz-stetig (L = 1) (c) Polynome sind uf beschränkten Mengen D Lipschitz-stetig. (d) f :]0, 1] R, x 1 x ist stetig, ber nicht gleichmäßig stetig, denn: 1 x 1 y = x y xy > K(x y), flls xy < 1 K (6.17) Stz: Sei D R kompkt (z.b. D = [, b], < b,, b R) Dnn gilt: f : D R stetig in D f ist gleichmäßig stetig. (6.18) Bemerkung: In vielen Fällen ist es möglich eine stetige Funktion f : M R uf eine größere Menge M M zu einer Funktion f festzusetzen, sodss uch f : M R stetig ist. (6.18) Beispiel: f : R R, f(x) = (ex 1) 2 x erweitert. (Zusmmenfssung) wird mithilfe einer Folgenkonvergenz uf f : R R (6.19) Definition: Sei f : M R, M, M R eine Funktion und m ein Häufungspunkt in M. () Dnn ht f(x) in x = m einen Grenzwert b, flls für lle Folgen (x n ) n N, x n M \ {m} lim (x n) = m und lim f(x n) = b gilt. n n Hier muss m nicht us M sein. Mn schreibt dfür: lim = b x m (b) Flls f(x) in x = m einen Grenzwert b nur für Folgen x n M \ {m} mit x n < m, n N (bzw. x n < m, n N) besitzt, so schreibt mn: lim f(x) = b (bzw. lim f(x) = b) x m x m (6.20) Proposition: Sei f : M R, m R ein Häufungspunkt in M. Es gilt: { f(x) x M \ {m} () f : M {m} R mit f (x) = ist genu dnn stetig in x = m, b x = m flls f den Grenzwert b in m ht. f heißt dnn stetige Fortsetzung von f in m. (b) lim f(x) = b ε > 0 δ > 0 x M, 0 < x m < δ : f(x) b < ε (c) lim f(x) existiert ε > 0 δ > 0 x, y M, 0 < x m < δ, 0 < y m < δ : f(x) f(y) < ε lim f(x) existiert, 0 < x m < δ, : f(x) f(y) < ε ε>0 δ>0 x,y M 0 < y m < δ 13

14 7 Differenzierbre Funktionen Sei f : R R eine Funktion und sei {(x, f(x)) x R} R 2 der Grph von f Gleichung der Seknte: Gerde durch die Punkte (x 0, f(x 0 )) und (x 1, f(x 1 )) y = f(x 0 ) + f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 (x x 0 ) (7.1) Sei x 0 fest gewählt und betrchte x 1 ls vribel. Als Funktion von x 1 R \ {x 0 } ist die Sekntensteigung: x 1 s(x 1 ) = f(x1) f(x0) x 1 x 0 ist s(x 1 ) in dem Punkt x 1 = x 0 stetig fortsetzbr, d.h. ht s(x 1 ) einen Grenzwert x 1 x 0 so heißt die Gerde y = f(x 0 ) + s(x x 0 ) (7.2) Grenzgerde der Seknten oder Tngente n den Grphen von f in (x 0, f(x 0 )). (7.1) Definition: Sei f : M N, M, N R, M. f heißt in m M differenzierbr, flls () m ist Häufungspunkt von M. ( ) (b) c := lim f(x) f(m) x x m existiert. s : M \ {m} R, s(x) = f(x) f(m) x m heißt Differenzenquotient ) c := heißt Differenzilquotient oder Ableitung von f m Punkt m M lim x m ( f(x) f(m) x m und wird mit f (m) oder df dx (7.2) Proposition: lterntive Definition (m) bezeichnet. m M Häufungspunkt von M f : M N R, M R differenzierbr. der Differenzilquotient s(x) us (7.3) ist in x = m eindeutig stetig fortsetzbr. f : M N, m M besitzt eine sich nschmiegende linere Approximtion in einer Umgebung von m bzw. der Grph von f besitzt eine Tngente in (m, f(m)) R 2 d.h. f : M N in m M differenzierbr R ε > 0 δ > 0 : x m < δ x M (7.3) f(x) (f(m) + (x m)) < ε x m (7.4) Hier ist x f(m) + c (x m) die linere Tngentenfunktion. (7.4) Definition: f heißt differenzierbr in M, wenn f in jedem Punkt von M differenzierbr ist. (7.5) Proposition: Sei f differenzierbr in m M, dnn ist f stetig in m M (7.6) Beispiel: () id R : R R, id R (x) := x ist in R differenzierbr mit Ableitung 1. Dnn lim x m (b) konstnte Funktion x c ist differenzierbr mit Ableitung 0 ( x m x m ) = 1 14

15 (c) : R R, x x ist in R {\ {0} differenzierbr, lso nicht in x = 0. x 0 Für x 0 : x 0 = x 1 x > 0 x = 1 x < 0 (d) f(x) := x x 2 ist differenzierbr in R lim x 0 x x 2 x = lim x 0 x x = 0 (7.7) Stz: Rechenregeln für Ableitungen Seien f, g : M N differenzierbr in m M () Linerität: Seien c, d R Dnn ist cf + dg differenzierbr in m mit Ableitung (cf + dg) (m) = cf (m) + dg (m) (b) Produktregel: (fg) (m) = f (m)g(m) + f(m)g (m) (c) Quotientenregel: Ist g(x) 0 x M mit x m < δ So ist f g ( ) f g = f (m)g(m) f(m)g (m) g(m) 2 in x = m differenzierbr und (d) Kettenregel: Seien f : M N, g : N N, M, N, N R differenzierbr in m M bzw. in n := f(m) N. Dnn ist f g : M N in x = m differenzierbr und (f g) (m) = (g(f(m))) = g (f(m)) f (m) = g (n) f (m) (7.8) Korollr: () Die Ableitung der Polynomfunktion P (x) = n k=0 k x k ist P (x) = n k=1 k k x k 1 (b) Die Ableitung f(x) := exp(x) ist f (x) = exp(x) (7.9) Definition & Proposition () Sei m M ein Häufungspunkt von M R. Eine Funktion f : M R heißt k-ml in m M differenzierbr, wenn K N, K 2, wenn f in M differenzierbr ist und die Ableitung f : M R ist (k 1)-ml differenzierbr in m. (b) f heißt k-ml differenzierbr in m M, flls f k-ml differenzierbr ist in M und x f (k) (x) stetig in x = m ist. (c) f heißt k-ml stetig differenzierbr in M, wenn f in jedem Punkt m M k-ml stetig differenzierbr ist. (7.10) Stz: Sei f : I M uf dem offenen Intervll I R differenzierbr und streng monoton (wchsend oder fllend). J := f(i) ist nch nch Folgerung 6.7 ein offenes Intervll. Ist f (x) 0 x I, so ist die Umkehrfunktion von f: g : J I mit f g(y) = y: g (y) = 1 f (x) = 1 f (g(y)) (7.11) Korollr: () Die Funktion g(y) := n y, n N ist differenzierbre Bijektion R + R + mit Ableitung: g 1 (y) = n( n y) = n y n 1 n y = 1 n y 1 n 1, denn f(x) := x n ist streng monoton wchsend und f (x) 0, x > 0 (b) f((x) = exp(x) streng monoton wchsend uf R f (x) = exp(x) 0 uf R log : R + R ist differenzierbre Bijektion mit Ableitung (log(y)) = 1 exp(log(y)) = 1 y, y > 0 (c) f(x) = x 3 ist streng monotone Bijektion von R R, f (0) = 0 dher ist ( d dx f 1) (y) = 1 3 y 1 3 1, y 0, ber f 1 (y) ist in y = 0 nicht differenzierbr. 15

16 (7.12) Definition: Extrem m I R, I Intervll, m nicht Endpunkt von I () f ht ein lokles Mximum (bzw. Minimum) in m, flls es ein δ > 0 gibt mit f(m) f(x) (bzw. f(m) f(x)) für lle x ]m δ, m + δ[ I (b) gilt f(m) > f(x) (bzw. f(m) < f(x)) für lle x ]m δ, m + δ[ I, x m so heißt m strenges lokles Mximum (bzw. Minimum). (c) f ht globles Mximum (bzw. Minimum) uf I in m, flls f(m) f(x) (bzw. f(m) f(x)) für lle x I. (d) entsprechend strenges globles Mximum/Minimum. Mxim und Minim heißen Extremlpunkte. (7.13) Stz: Sei m I siehe Def ein lokles Extremum von f : I R und sei f differenzierbr in m. Dnn ist f (m) = 0. (7.14) Stz von Rolle: Sei f : [, b] R, < b stetig und in ], b[ differenzierbr. Sei f() = f(b) dnn gibt es ein < c < b mit f (c) = 0 (7.15) Stz: Mittelwertstz der Diffentilrechnung Sei f : [, b] R, < b stetig und in ], b[ differenzierbr, dnn gibt es ein c ], b[, sodss f (c) = f(b) f() b (mittlere Steigung). (7.16) Stz: Sei f : [, b] R stetig und uf ], b[ differenzierbr () Gilt f (x) 0 (bzw. f (x) > 0, f (x) 0, f (x) < 0) für lle x ], b[, so ist f uf [, b] monoton wchsend (bzw. streng monoton wchsend, monoton fllend, streng monoton fllend). (b) Ist f monoton wchsend (bzw. fllend), so ist f (x) 0 (bzw. f (x) 0 für lle x ], b[). (c) Ist f in m ], b[ zweiml stetig differenzerbr und f (m) = 0 f (m) < 0 (bzw. f (m) > 0), so ht f in m ein strenges lokles Mkimum (bzw. Minimum). (d) Flls für m M, m, M R gilt: f (x) [m, M] x ], b[, so folgt: m(y 2 y 1 ) f(x 1 ) f(x 2 ) M(y 2 y 1 ) x 1, x 2 [, b], x 1 < x 2 (7.17) Bemerkung: f streng monoton wchsend f (x) > 0 x ]x 1, x 2 [ Beispiel: f(x) = x 3 in x = 0 (7.18) Folgerung: Flls f : [, b] R stetig und in ],b[ differenzierbr mit f (x) = 0, x ], b[, so ist f konstnt. (7.19) Lemm: () Sei f :], b[ R differenzierbr mit lim f(x) = 0 und lim f f(x) (x) = c R, dnn lim x 0 x 0 x 0 x = c (b) Sei f :], [ R differenzierbr, lim f f(x) (x) = 0, dnn lim x x x = c (7.20) Stz: Regeln von de l Hospitl Seien f, g : I R differenzierbre Funktionen uf I =], b[, b. Sei g(x) 0 x I und lim (x) = c R existiert, dnn: f x b g (x) f(x) () Flls lim g(x) = lim f(x) = 0, so ist g(x) = 0 x I und lim x b x b x b g(x) = c f(x) (b) Flls lim g(x) = ±, so ist g(x) 0, x x 0, x 0 ], b[ und lim x b x b g(x) = c 16

17 (c) Anloge Definition für x. (7.21) Definition: Die Hyperbelfunktionen cosh(x) := exp(x)+exp( x) 2 = ex +e x 2 sinh(x) := exp(x) exp( x) 2 = ex e x 2 tnh(x) := sinh(x) cosh(x) coth(x) := cosh(x) sinh(x) cosh(0) = 1, sinh(x) = sinh( x), cosh(x) = cosh( x) (7.22) Bemerkung: Mittels exp (x) = exp(x) : cosh (x) = sinh(x), sinh (x) = cosh(x) 17

18 8 Komplexe Zhlen und trigonometrische Funktionen x > 0 x R (8.1) d.h. x = 0 ist nicht lösbr in R dher wird i = 1 ls Lösung von (8.1) definiert. 8.1 Vergleich mit Kpitel 1 ϕ : R 2 C, (, b) + bi ist ein Isomorphismus von Körpern: Dnn gilt für z, w C: 1 C = (1, 0) R 2 i C = (0, 1) R 2 z := + 1b = + bi,, b R (8.2) = Re( + bi) = R( + bi) b = Im( + bi) = I( + bi) conj( + bi) = + bi := bi konjugiert Komplexes + bi = z = 2 + b 2 Betrg z = z z z = z ɛ z, ɛ z = 1 (8.3) z 2 = z z, z w = z w, z + w = z + w, z = z, Bemerkung: 1 z = ( ) 1 z z z z = z z 2, z 0 Vergleiche Betrgseigenschft in Stz 2.4 und Definition 2.5 = 1 z, z 0 (8.4) z + w z + w ( -Ungleichung) (8.5) z w = z w (Multipliktivität) (8.6) C ist ein bewerteter Körper mit: z z = Re(z) 2 + Im(z) 2 z + z = 2Re(z), z z = 2Im(z)i (8.7) Re(z) z Im(z) (8.8) Durch Ersetzen der Betrgsfunktion können lle Definitionen für die Konvergenz von Folgen us (3.) uf C erweitert werden. Wichtiger Unterschied: C ist nicht ngeordnet! In den Definitionen ersetze offenes ε-intervll ] ε, + ε[ R um R durch: {x R x < ε} {z C z < ε}, C Es gelten: Def.: 3.4, 3.6; Stz: 3.7, 3.10, 3.11, 3.12, 3.15; Bsp.: 3.17, 3.18 (8.1) Definition: (z n ) n N Cuchy-Folge in C ε > 0 N N n, m N : z n z m < ε (8.2) Stz: () C ist bezüglich vollständig. (b) Jede beschränkte Folge in C besitzt mindestens einen Häufungspunkt. (z n ) n N beschränkt K > 0 n N : z n K 18

19 Es gelten: Stz: 4.17, (4.18 NICHT!), 4.21(Mjornte), 4.22 (bsolute K.), 4.24, 4.26, 4.29 Definition 5.19: offene/bgeschlossene/kompkte Mengen gelten uch für C. Ferner gilt Stz 5.20b)- d) Stz 5.20i) mit:] ε, + ε[ ersetzt durch K ε () (8.3) Definition: Die Exponentilfunktion exp : C C ist definiert durch die bsolut konvergenze Reihe: exp(z) = z k k! (Quotientenkriterium) k=0 Die Konvergenzbschätzung 6.1d) gilt genuso: exp(z) N z j j! 2 z N+1 N+2 N+1 für z < 2 Die Definitionen für Stetigkeit und Differenzierbrkeit von Funktionen f : M N, M, N C ist nlog zu Def Sätze 6.2, 6.3 gelten nlog. Def.: 6.8, 6.15; Stz: 6.9, 6.17 gelten in C uch. Zwischenwertstz (Stz 6.5) gilt nicht! (8.5) Definition: Für x R sei: cos(x) := Re(exp(ix)) = exp(ix)+exp( ix) 2 sin(x) := Im(exp(ix)) = exp(ix) exp( ix) 2i Dnn sind sin : R R, cos : R R mit x sin(x), x cos(x) lso stetig. Anlog zu Stz 4.30 gilt für z, w C: (8.6) Stz: () exp : C C ist komplex differenzierbr (b) exp(z) = exp(z), z C j=0 exp(z + w) = exp(z) exp(w) (8.9) (8.6) Definition: Mit den Definitionen von sin und cos gilt für x R: (8.7) Stz: x, y R gilt: exp(z) 0 z C (8.10) exp(ix) = cos(x) + i sin(x) Eulerische Formel (8.11) exp(ix) 2 = exp(ix)exp(ix) = exp(ix) exp( ix) nch Stz 8.5 (8.12) = exp(ix ix) = exp(0) = 1 1 n = 4m i n i n = 4m + 1 =, m N 1 n = 4m (8.13) i n = 4m + 3 () cos( x) = cos(x), sin( x) = sin(x) (b) sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 (c) cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) (d) cos(x) = ( 1) k x2k k=0 (2k)! sin(x) = ( 1) k x2k+1 k=0 (2k+1)! 19

20 (8.8) Stz: (e) x sin(x), x cos(x) sind differenzierbr in R mit: sin (x) = cos(x), cos (x) = sin(x) (f) Bemerkung: Hierrus folgt: sin(0) = 0, cos(0) = 1 () x cos(x) besitzt in [0, 2] genu eine Nullstelle τ mit π = 2τ (b) x R gilt: sin(x + π 2 ) = cos(x), sin(x + π) = sin(x) cos(x + π 2 ) = sin(x), cos(x + π) = cos(x) sin(x + 2π) = sin(x) cos(x + 2π) = cos(x) 2π heißt Periode von sin / cos. Sie sind 2π-periodisch (exp(i(x + 2π))) = exp(ix)) (8.9) Korollr: πz := {x R sin(x) = 0} = {kπ k Z} π 2 + πz := {x R cos(x) = 0} = { kπ + π 2 k Z } (8.10) Definition: tn : R \ { π sin(x) 2 + πz} R, tn(x) := cos(x) cot : R \ {πz} R, tn(x) := cos(x) sin(x) (8.11) Die Funktionen [0, π] [ 1, 1], x cos(x) [ π 2, π 2 ] [ 1, 1], x sin(x) [ π 2, π 2 ] R, x tn(x) [0, π] R, x cot(x) sind bijektiv. Ihre Umkehrfunktionen heißen rccos, rcsin, rctn, rccot (Arcus-Funktionen) 20

21 9 Ds Riemnn-Integrl Problem: Die Fläche F A unter einer Funktion f bestimmen. Ist ds für jede Funktion möglich? Antwort: J, zumindest, wenn f stetig ist. Ds Riemnnintegrl, bennnt nch Bernhrd Riemnn ( ) (9.1) Definition: Zerlegung, feinere Zerlegung, Zerlegungsintervll, gemeinsme Verfeinerung Sei < b,, b R I = [, b] kompktes Intervll Eine Zerlegung von I ist ein (n + 1)-Tupel: Z = (x 0, x 1, x 2,..., x n ), n N, = x 0 < x 1 <... < x n = b. Eine weitere Zerlegung Z = (x 0, x 1, x 2,..., x n) heißt feiner ls Z, flls gilt: {x 0,..., x n } {x 0,..., x n}. Wir schreiben Z Z (prtielle Ordnung). Zur Zerlegung Z gehören die Zerlegungsintervlle I k = [x k 1, x k ], k = 1,..., n. Dnn gilt für die Zerlegungsintervlle I j von Z Z: Zu jedem j gibt es ein k(j) mit I j I k(j). Zu Zerlegungen Z, Z von I gibt es stets eine feinere Zerlegung Z mit Z Z Z Z (9.2) Definition: Riemnnsche Obersumme/Untersumme Sei I ein Intervll wie in Def 9.1 und f : I R beschränkt und Z eine Zerlegung von I. Dnn heißen: O Z (f) = n ((x i x i 1 ) sup ({f(x) x i 1 x x i })) i=1 U Z (f) = n ((x i x i 1 ) inf ({f(x) x i 1 x x i })) i=1 Riemnnsche Obersumme bzw. Untersumme bezüglich der Zerlegung Z. Mn pproximiert f lso von oben bzw. unten durch stückweise konstnte Funktionen uf I j (9.2) Bezeichnungen: I k := x k x k 1 (Länge des Intervlls) sup f := sup ({f(x) x A}) A inf f := inf ({f(x) x A}) A O Z (f) = n i=1 U Z (f) = n i=1 I k sup f I k I k inf f I k 21

22 (9.3) Stz: Seien I = [, b] wie oben, f, g : I R beschränkt, Z, Z Zerlegungen von I: () U Z (f) + U Z (g) U Z (f + g) O Z (f + g) O Z (f) + O Z (g) (b) Für λ > 0: U Z (λf) = λu Z (f); O Z (λf) = λo Z (f) (c) Flls f(x) c x I, c R: U Z (f) c I = c(b ); O Z (f) c I = c(b ) (d) Aus Z Z folgt U Z (f) U Z (f) O Z (f) O Z (f). D.h. Untersummen sind monoton wchsend in Z und Obersummen sind monoton fllend in Z. (e) Für beliebige Zerlegungen Z, Z gilt: U ( f) O Z (f) (9.4) Definition:Riemnn-Ober-/Unterintegrl, Riemnnintegrl Sei f : [, b] R beschränkt, I = [, b]. Dnn heißt: U(f) := sup {U Z (f) Z Zerlegung von I} O(f) := inf {U Z (f) Z Zerlegung von I} ds Riemnn-Unter-Oberintegrl von f, es gilt: U(f) O(f) Flls O(f) = U(f), so heißt dieser Wert ds Riemnnintegrl von f und mn schreibt: O(f) = U(f) und sgt: f ist R(iemnn)-integrierbr. (9.4) Schreibweise: Ist f R-integriebr und < b setze: f(x)dx = b b f(x)dx, f(x)dx = 0 U b (f) = sup ({U Z (f) Z Zerlegung von [, b]}) O b (f) = inf ({U Z (f) Z Zerlegung von [, b]}) (9.6) Stz: Seien f, g : I R beschränkt, λ 0 Dnn: () U b (f) + U b (g) U b (f + g) O b (f) + O b (g) (b) U b (λf) = λu b (f), (c) U b ( f) = O b (f) O b (λf) = λo b (f) (d) Für < c < b: U c (f) + U b c (f) = U b (f), O c (f) + O b c(f) = O b (f) (9.7) Stz: Die R-integrierbren Funktionen bilden einen reellen Vektorrum R und f eine linire Abbildung R R mit: b f(x)dx = c f(x)dx + b c f(x)dx, c b (9.8) Stz: f : [, b] R sei beschränkt, c b: f ist uf [, b] R-integrierbr f [,c] R-integierbr und f [c,b] R-integierbr (9.9) Stz: Integrbilitätskriterium f : [, b] R beschränkt. f R-integrierbr ε > 0 Z [,b] : O Z (f) U Z (f) < ε (9.10) Stz: Seien f, g : [, b] R R-integierbr () Dnn sind uch f, mx(f, g), min(f, g), f g, f p, 1 p R-inegrierbr b b b b (b) Flls f(x) g(x) x [, b], so ist f(x)dx g(x)dx, f(x)dx g(x) dx (c) f stetig uf [, b] f ist R-integrierbr b b f(x)dx = f(x)dx ist 22

23 10 Huptstz der Differenzil- und Integrlrechnung (10.1) Stz: Mittelwertstz/Zwischenwertstz der Integrlrechnung Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein c [, b] mit (10.2) Stz: Huptstz Sei I R ein Intervll I = [, b], < b und F : I R stetig. Die Funktion F (x) = b f(x)dx, x I, (10.2) Bemerkung: Stz 10.2 liefert: Die Abbildung f b f(x)dx = (b ) f(c) F : I R ist x I differenzierbr mit: F (x) = f(x). f = F ist eine linere Abbildung vom vektorrum der k-ml differenzierbren Funktionen ϱ k (I) in den Vektorrum der (k + 1)-ml differenzierbren Funktionen ϱ k+1 (I) mit d dx = id : ϱ k (I) ϱ k (I) (10.3) Definition: Stmmfunktion, unbestimmtes Integrl Sei f : [, b] R eine Funktion F : [, b] R heißt Stmmfunktion von f, flls F uf [, b] differenzierbr und F = f ist. F : [, b] heißt unbestimmtes Intgrl von f, flls f uf jedem teilintervll [x o, x] I R- x integrierbr ist und F (x) = f(x)dx = F (x) F (x 0 ) gilt. Schreibe dfür: f(x)dx x 0 (10.4) Stz: () Seien F ; G : [, b] R Stmmfunktionen zu f : [, b]r, wobei f stetig. Dnn gilt: F (x) = G(x) + c x [, b] x (b) Sei f ϱ 1 ([, b]). Dnn gilt x 0, x [, b], x < x : f (t)dt = f(x) f(x 0 ) x 0 (c) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gilt: F Stmmfunktion zu f F uneigentliches Integrl zu f { 0 x 0 (10.4) Beispiel: Betrchte die unstetige Funktion f(x) = 1 x > 0 Diese Funktion ist R-integrierbr uf jedem kompkten Intervll F (x) = F ist jedoch keine Stmmfunktion zu f, d F in x = 0 nicht differenzierbr ist. { 0 x 0 x x > 0 (10.5) Beispiel: < 1 f(x) Stmmfunktion (x ) n 1 1 n (x )n+1, n Z \ {1} exp(x) exp(x) sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) 1 x log(x ), x 1 1 x rcsin(x), x R x 2 rsinh(x), x R 1 1+x rctn(x), x R 2 { 1 rtnh(x) x 1 x 2 rcot(x) x > 1 23

24 (10.6) Stz: Prtielle Integrtion, Substitutionsregel () Sei I R Intervll f, g ϱ 1 (I), b I. b f(x) g (x)dx = (f g) b b f (x) g(x)dx, Für unbestimmtes Integrl: fg = fg f g h b = h(b) h() (b) Sei I R Intervll f : I R stetig, g : [c, d] I, c, d R, c < d stetig differenzierbr. Dnn gilt: d g(d) f (g(x)) g (x)dx = f(y)dy c g(c) 24