Elemente der Funktionentheorie. Wolfgang Arendt

Transkript

1 Elemente der Funktionentheorie Wolfgng Arendt Skript zur Vorlesung im Sommersemester 24

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3 Inhltsverzeichnis Der Körper der komplexen Zhlen 3 2 Komplexe Differenzierbrkeit 7 3 Die Cuchy-Riemnnschen Differenzilgleichungen 9 4 Potenzreihen 3 5 Stmmfunktionen 9 6 Wegintegrle und der Cuchysche Integrlstz 23 7 Die Cuchysche Integrlformel und der Huptstz 29 8 Der Stz von Liouville 33 9 Punktweiser Grenzwert holomorpher Funktionen 35 Der Identitätsstz 39 Ds Mximumprinzip 4 2 Der Stz von Morer 43 3 Elementrgebiete 45 4 Lurentreihen 49 5 Singulritäten 53 6 Integrlberechnung 57 7 Homotopie und Windungszhl 59 8 Residuenklkül 63 9 Der Riemnnsche Abbildungsstz 67 2 Die Riemnnsche Vermutung 69 Literturverzeichnis 7

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5 Vorwort Die Funktionentheorie fsziniert die Mthemtiker durch ihre elegnten Beweise und verblüffenden Resultte sowie durch die Hrmonie der Theorie. Ihr Huptgegenstnd sind (komplex-) differenzierbre Funktionen einer komplexen Vriblen. Erstunlicherweise hben diese sehr schöne Eigenschften ws Regelmäßigkeit, geometrisches und nlytisches Verhlten nbetrifft. In dieser Vorlesung wollen wir die grundlegenden Eigenschften holomorpher (d.h. komplex-differenzierbrer) Funktionen beweisen und erläutern. So ist eine komplex-differenzierbre Funktion beispielsweise utomtisch unendlich oft differenzierbr und sogr nlytisch, d.h. lokl durch eine Potenzreihe gegeben. Dies ist der Huptstz, den wir beweisen werden. Wir lernen ußerdem einige Anwendungen wie den Residuenklkül kennen. In jedem Fll beschränken wir uns in dieser Elementevorlesung uf ds Essentielle. Als weiterführende Litertur zur Vorlesung verweisen wir uf ds Buch Funktionentheorie von Freitg und Busm [2].

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7 Der Körper der komplexen Zhlen Wir bezeichnen mit R 2 := {( ) } x : x, y R y den reellen Vektorrum, dessen Elemente wir in der Zhlenebene drstellen können. Die Addition ist durch ( ) ( ) ( ) x x2 x + x + := 2 y y 2 y + y 2 definiert, die Sklrmultipliktion für c R durch ( x c := y) Durch ( x y ) ( x2 ) := y 2 ( c x c y ). ( ) x x 2 y y 2 x y 2 + x 2 y wird eine Multipliktion definiert, durch die R 2 zu einem Körper wird, den wir mit C bezeichnen. D ( ) ( ( ) c x cx :=, y) cy ist die Multipliktion konsistent mit der Sklrmultipliktion, wenn wir (c, ) T C mit c R identifizieren. Dies entspricht gerde der geometrischen Identifiktion der reellen Zhlengerde ls Teilmenge des R 2. Insbesondere ist die Abbildung ( ) c c C liner und multipliktiv. Dmit wird R zu einem Unterkörper von C. Die Elemente von C bezeichnen wir oft mit z. Die Körperxiome (z z 2 ) z 3 = z (z 2 z 3 ) (Assozitivgesetz) (z + z 2 ) z 3 = z z 3 + z 2 z 3 (Distributivgesetz) z z 2 = z 2 z nchzurechnen ist leicht, ber lngweilig. D ( ) ( ) x y = ( ) x y für lle (x, y) T C, ist (, ) T ein neutrles Element der Multipliktion. 3 (Kommuttivgesetz)

8 . Der Körper der komplexen Zhlen Wir setzen i := (, ) T. Dmit ist ( i i =. ) Seit L. Euler 777 nennnt mn i die imginäre Einheit. Wir setzen nun ( ) ( ) ( ) x =: x + iy = x + y, y stellen lso (x, y) T über der Bsis {(, ) T, i} des reellen Vektorrums R 2 dr. Für z = x + iy C definieren wir den Rel- und Imginärteil von z ls Re z := x und Im z := y. Somit gilt lso z = Re z + i Im z für lle z C. Mn bechte, dss wir R mit (, ) T C identifizieren. Dmit ist i i = und die oben definierte Multipliktion schreibt sich z z 2 = (x + iy ) (x 2 + iy 2 ) = (x x 2 y y 2 ) + i(x y 2 + x 2 y ), sie entspricht lso genu dem Ausmultiplizieren der Klmmern. Für eine komplexe Zhl z = x + iy nennen wir z = x 2 + y 2, lso den Abstnd von z zu, den Betrg von z. Es gilt: z + z 2 z + z 2, z z 2 = z z 2 und z z 2 z z 2. Außerdem definieren wir die zu z konjugiert komplex Zhl z ls z := z iy. Es gilt z 2 = zz, z = z, z z 2 = z z 2 sowie z + z 2 = z + z 2. Ist z = x + iy, so ist zz = z 2 und lso zz z 2 =. Folglich ist z = z z 2 = x iy x 2 + y 2. (.) Wir wissen nun, dss z ein Körper ist. Ds Inverse einer Zhl z ist durch (.) gegeben. Der Betrg z ist gerde der euklidische Abstnd in der Ebene. Wir sgen, dss eine Folge (z n ) C gegen eine komplexe Zhl z C konvergiert und schreiben dfür lim z n = z, flls sie bzgl. der euklidischen Norm in R 2 konvergiert, d.h. flls lim z n z =. Dnn gilt lim z n = z genu dnn, wenn lim Re z n = Re z und lim Im z n = Im z. Der Grenzwert einer Folge ist, flls er existiert, eindeutig bestimmt. Wir schreiben gelegentlich uch z n z für lim z n = z. Eigenschften.. Die Opertionen +,,, und die Inversenbildung sind stetig, d.h. für Folgen (z n ), (w n ) C mit lim z n = z und lim w n = w gilt: () lim(z n + w n ) = z + w (b) lim(z n w n ) = z w. (c) lim z n = z. (d) lim z n = z. (e) Flls z, so ist uch z n für genügend große Indizes n und es gilt lim z n = z. 4

9 Eine Folge (z n ) C heißt Cuchyfolge, flls zu jedem ε > ein n N derrt existiert, dss z n z m ε für lle n, m n. Jede konvergente Folge ist eine Cuchyfolge. Ferner ist C vollständig, d.h. jede Cuchyfolge in C ist konvergent. Ds wissen wir us Anlysis 2, wo die Vollständigkeit von R d gezeigt wurde. Es sei nun ( n ) n N C. Die Reihe n= n heißt konvergent, flls es ein z C gibt, sodss lim n k= n k = z. In diesem Fll schreiben wir k= k := z. Ds Symbol k= k ht lso zwei Bedeutungen: einml die Reihe selbst, lso die Folge ihrer Prtilsummen, und zum nderen ihren Grenzwert, sofern dieser existiert. Die Reihe k= k heißt bsolut konvergent, flls die reelle Reihe k= k konvergiert. Weil die Folge der Prtilsummen s n := n k= k monoton wchsend ist, ist die Reihe k= k genu dnn bsolut konvergent, flls die Folge (s n ) beschränkt ist. In diesem Fll ist k := lim s n = sup n k= und wir schreiben uch k= k <. Aus der Vollständigkeit von C erhlten wir: Stz.2. Jede bsolut konvergente Reihe ist konvergent. s n n N Beispiel.3 (Geometrische Reihe). Es sei z <. Dnn ist n= zn = n= z n < und es gilt z n = z. n= Beweis. Sei s n := n k= zk und s = lim s n. Wegen ( z)s n = ( z)( + z + z z n ) = z n+ ist ( z)s = lim( z)s n = lim z n+ =. Drus folgt die Behuptung. Beispiel.4. Aus Anlysis wissen wir, dss k= xk k! < für lle x. Also konvergiert die Reihe z k exp(z) := k! für lle z C. Wir wollen nun die in Beispiel.4 definierte Exponentilfunktion exp : C C weiter untersuchen. Mit Hilfe des Cuchyprodukts zeigt mn ds Exponentilgesetz exp(z +z 2 ) = exp(z ) exp(z 2 ) für lle z, z 2 C. Insbesondere ist = exp() = exp(z) exp( z) und folglich exp(z) = exp( z). Wir schreiben uch e z := exp(z). Aus der Stetigkeit der Konjugtion erhält mn, dss exp(z) = exp(z). Insbesondere ist für x R, wegen ix = ix, exp(ix) = exp( ix). Drus folgt, dss k= e ix 2 = e ix e ix = 5

10 . Der Körper der komplexen Zhlen für lle x R. Für x R definiert mn und cos(x) := Re ( e ix) = sin(x) := Im ( e ix) = k= ( ) k x2k (2k)! ( ) k x 2k+! (2k + )!. Somit ist e ix = cos(x) + i sin(x) für lle x R. Die Funktion x e i x ist lso 2π-periodisch und prmetrisiert den Einheitskreis: Für x [, 2π) ist x gerde die Bogenlänge des Bogens zwischen und e ix. Ds Exponentilgesetz e i(x+y) = e ix e iy liefert k= cos(x + y) = Re e i(x+y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y). Diese und ähnliche Formeln sind sehr leicht us der komplexen Exponentilfunktion herzuleiten. Deshlb führt mn sie oft schon in Anlysis I ein, wie es etw in [] drgestellt wird. Mit Hilfe der komplexen Exponentilfunktion erhlten wir uch die Polrdrstellung komplexer Zhlen: Zu jedem z C gibt es ein ϕ R derrt, dss z = z e iϕ. Für z ist diese Drstellung bis uf Addition von k2π zu ϕ (mit k Z) eindeutig. Wählt mn ϕ ( π, π] so spricht mn vom Huptwert und setzt Arg z := ϕ. In Polrkoordinten ist die Multipliktion komplexer Zhlen besonders einfch zu beschreiben. Es seien z = r e iϕ und z 2 = r 2 e iϕ2 mit r, r 2 > und ϕ, ϕ 2 R. Dnn gilt z z 2 = r r 2 e i(ϕ+ϕ2) = e iϕ z r z = r z = r e iϕ Der Ausdruck komplexe Zhl wurde 83 von C.F. Guß eingeführt. Schon seit dem 6. Jhrhundert wurden mit formlen Ausdrücken wie 5 ± 5 gerechnet (G. Crdno 545). Die strenge Definition der komplexen Zhlen ls Pre von reellen Zhlen geht uf W.R. Hmilton (837) zurück. 6

11 2 Komplexe Differenzierbrkeit Eine Teilmenge Ω C heißt offen, flls es zu jedem Punkt z Ω eine Kreisscheibe B r (z ) := {z C : z z < r} gibt, die gnz in Ω enthlten ist. Mit Ḃr(z ) := B r (z ) \ {z } bezeichnen wir die punktierte Kreisscheibe. Es sei g : Ḃ r (z ) C und C. Wir schreiben lim z z g(z) =, flls lim n g(z n ) = für jede Folge (z n ) B r (z ) mit lim z n = z. Dies ist äquivlent zu folgender Aussge: Zu jedem ε > gibt es δ > sodss < z z < δ impliziert, g(z) < ε. Wir kommen nun zum wichtigsten Begriff in dieser Vorlesung. Definition 2.. Es sei Ω C offen. () Eine Funktion f : Ω C heißt komplex-differenzierbr in einem Punkt z Ω, flls existiert. f(z) f(z ) lim =: f (z ) z z z z (b) Flls f in jedem Punkt z Ω komplex-differenzierbr ist und die Ableitung f : Ω C stetig ist, so heißt f holomorph. Erstunlicherweise ist f schon holomorph, wenn f in jedem Punkt us Ω komplex-differenzierbr ist. Mit nderen Worten: Die Stetigkeit der Ableitung f von f ist utomtisch erfüllt. Dies beweist mn mit einem sehr schönen Argument (Integrtion über Dreicheckswege), ds uf E. Gourst 883 zurückgeht. Wir wollen uf diese Subtilität hier nicht eingehen. Der Begriff der holomprhen Funktion ist lso völlig nlog zum Begriff der stetigen Differenzierbrkeit us der reellen Anlysis. Deswegen ist es nicht verwunderlich, dss die folgenden Permnenzeigenschften (mit den gleichen Beweisen) gültig sind. Stz 2.2 (Rechenregeln). Es seien f, g : Ω C holomorphe Funktionen. Dnn gilt: () f ist stetig (d.h. z n z impliziert f(z n ) f(z ) für lle z Ω). (b) f ± g sind holomorph mit (f ± g) = f ± g. (c) f g ist holomorph mit (f g) = f g + f g. (d) Ist g(z) für lle z Ω, so ist uch f g uf Ω holomorph mit ( ) f = f g g f g g 2. 7

12 2. Komplexe Differenzierbrkeit Diese Rechenregeln beweist mn genuso wie die entsprechenden Regeln für reell-differenzierbre Funktionen. Beispiel 2.3 (komplexe Polynome). () Sei f(z) = z. Dnn ist f (z) = lim w z w z w z =. Nun zeigt mn mit Stz 2.2 durch Induktion, dss für f n (z) := z n, f n(z) = nz n gilt. Offenbr gilt die Behuptung für n =. Wenn sie für ein n N richtig ist, so folgt wegen f n+ (z) = zf n (z) us den Rechenregeln, dss f n+(z) = f n(z)z + f n (z) = nz n z + z n = (n + )z n. (b) Sei p(z) = n k= kz k ein komplexes Polynom, wobei,,..., n C. Aus () und Stz 2.2 erhlten wir, dss n p (z) = k k z k. k= Als nächstes wollen wir die Kettenregel notieren. Ihr Beweis erfolgt wie der des entsprechenden Stzes us Anlysis. Stz 2.4 (Kettenregel). Es seien Ω, Ω C offene Mengen und f : Ω C sowie g : Ω C holomorphe Funktionen, wobei g(ω ) Ω. Dnn ist f g : Ω C holomorph und für lle z Ω. (f g) (z) = f (g(z))g (z) Beispiel 2.5. () Es sei f : C C holomorph. Dnn definiert g(z) := f(z 2 ) eine holomorphe Funktion g : C C mit g (z) = f (z 2 )2z. (b) Es sei f : Ω C holomorph und B r (z ) Ω. Sei ußerdem C mit <. Dnn definiert g(z) := f(z + z) eine holomorphe Funktion g : B () C mit g (z) = f (z + z). Insbesondere ist d dt f(z + t) = f (z + t) für lle t ( r, r). 8

13 3 Die Cuchy-Riemnnschen Differenzilgleichungen Im Folgenden wollen wir komplexe und reelle Differenzierbrkeit miteinnder vergleichen. Wir beginnen mit einer einfcheren Überlegung, die linere Abbildungen von R 2 nch R 2 betrifft. Sei T : R 2 R 2 eine linere Abbildung. Dnn gibt es eine eindeutig bestimmte Mtrix ( ) b A := c d sodss ( x T y) ( ( ( ) x b x = A = = y) c d) y ( ) x + by. cx + dy Sei w C. Dnn definiert T w : C C, T z := zw eine Abbildung von C nch C. Wir wollen Abbildungen dieser Form in diesem Abschnitt Multipliktoren nennen. Identifizieren wir C mit R 2 und schreiben w = + ib, so gehört zu T w die Mtrix ( ) b (3.) b d j ( ) x T w = ( + ib)(x + iy) = x by + i(bx + y) = y ( ) ( ) b x. b y Umgekehrt, gehört zu der lineren Abbildung T : R 2 R 2 eine Mtrix der Form (3.), so ist T z = wz für lle z C wobei w = ( + ib), wenn wir wieder R 2 mit C identifizieren. Multipliktoren entsprechen lso genu den Mtrizen der Form (3.). Soweit unsere Überlegungen zu Multipliktoren. Nun wiederholen wir den Begriff der Differenzierbrkeit us der Anlysis 2. Eine Abbildung A: R 2 R 2 heißt ffin, flls es b R 2 und eine Mtrix B R 2 2 gibt, sodss A ( ) x = B y ( ) x + b. y Affine Abbildungen sind lso linere Abbildungen gefolgt von einer Verschiebung. Sei Ω R 2 offen. Mn nennt eine Funktion f : Ω R 2 differenzierbr, wenn sie in jedem Punkt durch eine ffine Abbildung pproximiert werden knn. Die genue Definition lutet wie folgt. Definition 3.. Sei f : Ω R 2 eine Funktion mit Komponenten u, v : Ω R, d.h. ( ) u(x, y) f(x, y) =. v(x, y) 9

14 3. Die Cuchy-Riemnnschen Differenzilgleichungen Dnn heißt f differenzierbr, wenn es zu jedem w Ω eine Mtrix Df(w) R 2 2 gibt, sodss für eine Funktion r mit lim h r(h) h =. f(w + h) = f(w) + Df(w)h + r(h) Wir vergleichen lso im festen Punkt w die Abbildung h f(w + h) und die ffine Abbildung h f(w) + Df(w)h. Die Definition verlngt, dss die Differenz r(h), d.h. der Fehler dbei, klein nämlich von der Größenordnung o(h) ist. Ist f differenzierbr, so existieren die prtiellen Ableitungen u x, u y, v x und v y und Df(w) ist die Jcobi-Mtrix ( ) ux (w) u Df(w) = y (w). v x (w) v y (w) Wir sgen, dss f stetig differenzierbr ist, flls f differenzierbr und die Abbildung w Df(w) R 2 2 uf Ω stetig ist. Es gilt folgender Stz. Stz 3.2. Eine Funktion f : Ω R 2 ist genu dnn stetig differenzierbr, wenn die prtiellen Ableitungen u x, u y, v x und v y existieren und stetig sind. Also ist stetig differenzierbr äquivlent zu stetig prtiell-differenzierbr. Ds beweist mn in Anlysis 2. Sei nun f : Ω C eine Funktion. Dnn ist f komplex-differenzierbr, wenn es in jedem z Ω ein f (z) C gibt, sodss für die in einer Umgebung von definierte Funktion r(h) := f(z + h) f(z) f (z) h r(h) gilt: lim h h =. Wir pproximieren lso die Funktion h f(z + h) durch die C-ffine (d.h. C-linere Abbildung gefolgt von einer Verschiebung) Funktion h f(z) + f (z) h. Sei nun u := Re f und v := Im f, lso ( ) u(z) f(z) = u(z) + iv(z) =. v(z) D uch lim r(h) h Es ist lso = ist f uch reell-differenzierbr und Ds bedeutet ber nch (3.), dss ( ) ux (z) u Df(z) = y (z). v x (z) v y (z) ( ) h Df(z) = f (z) (h h + ih 2 ). 2 u x (z) = v y (z), u y (z) = v x (z) und f (z) = u x (z) + iv x (z). Schreiben wir nun u(x, y) = u(z) für z = x + iy, so hben wir lso gesehen, dss u und v die Cuchy-Riemnnschen Differenzilgleichungen u x = v y und u y = v x (CR)

15 erfüllen. Ist umgekehrt f = u + iv : Ω C mit stetig differenzierbren Komponentenfunktionen u, v : Ω R derrt, dss (CR) gilt, so wissen wir, dss f reell-differenzierbr ist und somit für gilt lim h r(h) h r(h) := f(z + h) f(z) Df(z)h =. Hier ist nun wegen (CR) ( ) ux (z) v Df(z) = x (z). u x (z) v x (z) Dmit gilt Df(z)(h, h 2 ) T = f (z)(h + ih 2 ) für f (z) := u x (z) + iv x (z). Es ist lso r(h) = f(z + h) f(z) f (z)h für lle (genügend kleine) h. Dmit ist f komplex-differenzierbr. Wir hben folgenden Stz bewiesen, der holomorphe Funktionen reell beschreibt. Stz 3.3. Es sei Ω C offen und f = u + iv mit u, v : Ω R. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: (i) Die Funktion f : Ω C ist holomorph. (ii) Die Funktionen u und v sind stetig prtiell differenzierbr mit u x = v y und u y = v x. In diesem Fll ist f (z) = u x (z) + iv x (z). Beispiel 3.4 (Exponentilfunktion). Für die Exponentilfunktion exp: C C gilt exp = u + iv mit u(x, y) = e x cos y und v(x, y) = e x sin y. Dmit ist u x (x, y) = e x cos y = e x sin y = v y (x, y) u y (x, y) = e x sin y = v x (x, y). Die Funktionen u und v sind lso stetig prtiell differenzierbr und erfüllen (CR). Dmit ist die Exponentilfunktion holomorph. Im nächsten Abschnitt werden wir einen weiteren strukturellen Beweis der Holomorphie der Exponentilfunktion kennenlernen. Definition 3.5. Es sei Ω R 2 offen. Eine Funktion u: Ω R heißt hrmonisch, flls die zweiten prtiellen Ableitungen existieren und uf Ω gilt. = 2 x y 2 u := u xx + u yy = heißt Lplceopertor. Stz 3.6. Sei : Ω C holomorph. Sind u = Re f und v = Im f zweiml stetig differenzierbr, so sind u und v hrmonisch. Beweis. D u x = v y und u y = v x, ist u xx = v yx und v yy = v xy. D nch dem Stz von Schwrz v xy = v yx, folgt die Behuptung. Wir werden später sehen, dss der Rel- und Imginärteil einer holomorphen Funktion utomtisch beliebig oft differenzierbr sind, d.h. die prtiellen Ableitungen beliebiger Ordnung existieren. Dmit sind lso Rel- und Imginärteil jeder holomorphen Funktion hrmonisch. Ferner werden wir uf die umgekehrte Frge eingehen: Ist jede hrmonische Funktion uf Ω der Relteil einer holomorphen Funktion? Die Antwort hängt von der Gestlt der Menge Ω b. Mn knn die offenen Mengen Ω genu beschreiben, für die diese Aussge richtig ist. Wir werden im Abschnitt 3 druf zurückkommen.

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17 4 Potenzreihen In diesem Abschnitt untersuchen wir ds Konvergenzverhlten einer Potenzreihe n z n. n= Wchsen die Koeffizienten ( n ) nicht zu strk, dnn stellt sie uf einer Kreisscheibe eine holomorphe Funktion dr. Definition 4.. Es sei g n : Ω C, n N, eine Folge von Funktionen. Wir sgen, dss (g n ) gleichmäßig gegen eine Funktion g : Ω C konvergiert, wenn es für lle ε > ein n N gibt, sodss g n (z) g(z) < ε für lle n n und lle z Ω. Aus Anlysis ist beknnt, dss die Grenzfunktion g stetig ist, sofern lle Funktionen g n stetig sind. In nderen Worten: Der gleichmäßige Grenzwert stetiger Funktionen ist stetig. Besonders interessnt sind gleichmäßig konvergente Reihen. Definition 4.2. Es sei Ω C offen unf f n : Ω C stetig. Wir sgen, dss die Reihe n= f n(z) uf Ω norml konvergiert, flls es Zhlen q n gibt, sodss () f n (z) q n für lle n N und z Ω (b) n= q n <. Konvergiert eine Reihe n= f n norml uf Ω, so konvergiert sie uch gleichmäßig uf Ω und f(z) := n= f n(z) definiert eine stetige Funktion f : Ω C. Wir kommen nun zur Definition einer Potenzreihe. Definition 4.3. Es sei ( n ) C und z C. Der Ausdruck n= n(z z ) n heißt Potenzreihe mit Entwicklungspunkt z und Koeffizienten n. Stz 4.4 (Konvergenzrdius). Für eine Koeffizientenfolge ( n ) C definieren wir R := sup{r : sup n N n r n < } [, ]. Dnn konvergiert die Reihe n= nz n norml in B r () für lle < r < R und divergiert für lle z C mit z > R. Mn nennt die Größe R us Stz 4.4 den Konvergenzrdius der Potenzreihe n= nz n. Wir erinnern drn, dss lim b n = eine notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe n= b n ist. Für eine Zhl q konvergiert die Reihe n= qn genu dnn, wenn q <. Für q > ist lim q n =. 3

18 4. Potenzreihen Beweis. Es sei R > und < r < R sowie r < ϱ < R. Dnn gibt es c derrt, dss n ϱ n c für lle n N. Dmit ist ( n ( ) n r r n r n n ϱ ϱ) n c. ϱ D r/ϱ < konvergiert die Reihe n= nz n norml in B r (). Nun sei R < und z > R. Dnn ist ( n z n ) n N keine Nullfolge, weshlb die Reihe n= nz n divergiert. Aus dem Beweis ziehen wir die Folgerung 4.5. Es sei ( n ) C und z C. Die Reihe f(z) := n (z z ) n konvergiert norml in B r (z ) für lle r < R. Dmit ist f : B R (z ) C stetig. n= Den Konvergenzrdius einer Reihe knn mn durch folgende Formel us den Koeffizienten bestimmen. Stz 4.6 (Hdmrd). Es sei ( n ) C und ϱ := lim sup n n /n. Dnn ist R = ϱ der Konvergenzrdius der Reihe n= nz n. Beweis. Wir zeigen zunächst, dss ϱ R. Ds ist trivil, wenn ϱ =. Sei nun ϱ < und < r < ϱ beliebig. Es genügt zu zeigen, dss r R. D r > ϱ gibt es n N derrt, dss n /n r für lle n n. Deshlb ist r n n für lle n n und somit r R. Wir zeigen nun, dss R ϱ. Ds ist trivil, wenn ϱ =. Sei lso ϱ > und sei r > ϱ beliebig. Es genügt zu zeigen, dss r R. Wähle r < s < ϱ. Dnn gibt es n N derrt, dss n /n s für lle n n. Deshlb ist r n n (rs) n (n ). Drus folgt, dss r R. Lemm 4.7 (Abgeleitete Reihe). Sei R der Konvergenzrdius der Reihe n= nz n. Dnn ht die forml bgeleitete Reihe n n z n = (n + ) n+ z n n= ebenflls den Konvergenzrdius R. n= Beweis. Es sei R der Konvergenzrdius der bgeleiteten Reihe. Wir zeigen zunächst, dss R R. Wir dzu nnehmen, dss R > und wählen r < R und r < s < R. Dnn gibt es d derrt, dss n s n d für lle n N. D r/s < ist { ( r n } c := sup (n + ) <. n N s) Dmit ist ( r ) n (n + ) n+ r n = n+ s n d (n + ) s s c 4

19 für lle n N. Also ist r R und folglich R R. Wir zeigen nun, dss R R. Sei dzu R > und r < R. Dnn gibt es c derrt, dss r n n n c für lle n N. Weil insbesondere r n n rc für lle n N ist lso r R. Drus folgt, dss R R. Theorem 4.8. Es sei n= n(z z ) n eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius R >. Dnn definiert f(z) := n (z z ) n n= eine holomorphe Funktion f : B R (z ) C. Es gilt für lle z B R (z ). f (z) := n n (z z ) n n= Beweis. Es sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit z =. Sei b B R () und b < r < R. Für z B r () ist z n b n = (z b)q n (z) mit q n (z) := z n + bz n 2 + b 2 z n zb n 2 + b n. Insbesondere ist q n (b) = nb n. Betrchte nun die Reihe g(z) := n q n (z). n= Sie konvergiert norml in B r (), d für z B r () gilt n q n (z) n n r n k b k n nr n und n= n nr n < weil r < R. Somit ist g : B r () C stetig. Ferner ist D b B R (), folgt nun n= k= g(z)(z b) = n q n (z)(z b) = ( n z n n b n ) = f(z) f(b). n= f f(z) f(b) (b) = lim = lim g(z) = g(b) = z b z b z b n nb n. n= Korollr 4.9. Die durch eine Potenzreihe f(z) := n= n(z z ) n mit Konvergenzrdius R > gegebene Funktion ist uf B R (z ) beliebig oft komplex differenzierbr und für lle n N. n = f (n) (z ). n! 5

20 4. Potenzreihen 6 Beweis. Induktiv sieht mn, dss für die k-te Ableitung f (k) von f gilt f (k) (z) = n n (n k + )z n k n=k für lle k N. Folglich ist f (k) (z ) = k k (k ) = k k! wie behuptet. Definition 4.. Sei Ω C offen. Eine Funktion f : Ω C heißt nlytisch, flls zu jedem Punkt z Ω eine Kreisscheibe B r (z ) Ω und eine Potenzreihe k (z z ) k k= mit Konvergenzrdius R r existieren, sodss f(z) = k (z z ) k für lle z B r (z ). Mn sgt uch, dss f lokl in eine Potenzreihe entwickelbr ist. k= Wir hben lso gesehen, dss jede nlytische Funktion f : Ω C holomorph ist. Sie ist sogr beliebig oft komplex differenzierbr und lle ihre Ableitungen f (k) : Ω C sind wieder nlytisch und insbesondere holomorph. Beispiel 4.. () Die Exponentilreihe exp(z) = n= zn n! ht den Konvergenzrdius R =. Ds sieht mn m einfchsten us dem Quotientenkriterium: Es zeigt, dss n= rn n! < für lle r >. Aus Theorem 4.8 folgt, dss exp : C C holomorph ist, ws wir uch schon mit Hilfe der Cuchy-Riemnnschen Differenzilgleichungen nchgewiesen hben. Aus Theorem 4.8 folgt uch noch, dss exp (z) = exp(z) für lle x C. Für relle Argumente wissen wir ds schon us Anlysis. (b) Die komplexe Kosinusfunktion cos z := n= ( ) n (2n)! z2n ht den Konvergenzrdius R =, ebenso die Sinusfunktion (c) Die geometrische Reihe sin z := n= f(z) := ( ) n (2n + )! z2n+. ht den Konvergenzrdius. Sie konvergiert in keinem z C mit z =, weil in diesem Fll z n keine Nullfolge ist. (d) Die Reihe ht den Konvergenzrdius. Sie konvergiert in jedem z C mit z =. n= n= z n n 2 z n

21 (e) Die logrithmische Reihe log(z + ) := ( ) n zn n n= ht den Konvergenzrdius. Sie divergiert in z =, weil jedes ndere z C mit z =. n= n =, und konvergiert für 7

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23 5 Stmmfunktionen Aus Anlysis wissen wir, dss jede stetige Funktion, die uf einem reellen Intervll definiert ist, eine Stmmfunktion besitzt. Wir frgen uns nun, ob eine nloge Aussge uch für holomorphe Funktionen gilt. Sei Ω C offen und f : Ω C holomorph. Gibt es eine holomorphe Funktion F : Ω C mit F = f? Wir werden eine positive Antwort uf diese Frge geben, wenn die Menge Ω sternförmig ist. In diesem Fll können wir eine Stmmfunktion sehr leicht durch Integrtion konstruieren. Für beliebige Gebiete (z.b. für C \ {}) ist die Aussge flsch und es ist ein zentrles Them der Funktionentheorie, die Gebiete zu chrkterisieren, uf denen jede holomorphe Funktion eine Stmmfunktion besitzt. Druf werden wir im Abschnitt 3 und 9 wieder eingehen. Zunächst definieren wir ds Riemnnintegrl von komplexwertigen Funktionen einer reellen Vriblen. Definition 5.. Es seien < < b < und f : [, b] C stetig. Wir definieren b f(t) dt := b Re f(t) dt + i b (Im f)(t) dt, wobei uf der rechten Seite die üblichen Riemnnintegrle reellwertiger Funktionen stehen. Eigenschften 5.2. Für lle stetigen Funktionen f, g : [, b] C und lle c C gilt () (b) (c) b b b (f + g)(t) dt = cf(t) dt = c f(t) dt b b b f(t) dt + f(t) dt. f(t) dt. b g(t) dt Beweis. () Folgt unmittelbr us der Additivität des Riemnnintegrls für reellwertige Funktionen. (b) Es sei c = α + iβ und f = u + iv mit u = Re f und v = Im f. Dnn ist b cf(t) dt = = α = c b b b αu(t) βv(t) dt + i u(t) dt β f(t) dt. b b v(t) dt + i αv(t) + βu(t) dt [ α b v(t) dt + β b u(t) dt ] 9

24 5. Stmmfunktionen (c) Wir schreiben b f(t) dt = z = reiϕ mit r = z. Dnn ist nch (b). Folglich ist z = Re b z = r = e iϕ f(t) dt = b e iϕ f(t) dt = b b e iϕ f(t) dt Re ( e iϕ f(t) ) dt b f(t) dt. Definition 5.3. Eine Funktion f : [, b] C heißt stetig differenzierbr, flls Re f und Im f stetig differenzierbr sind. In diesem Fll setzen wir f := (Re f) + i(im f). Eigenschften 5.4. Es seien f, g : [, b] C stetig differenzierbr. Dnn gilt () b f (t) dt = f(b) f() (reeller Huptstz) (b) (f g) = f g + fg (Produktregel) (c) b fg dt = f(z)g(z) Beweis. () Es gilt b z=b z= f (t) dt = b b f g dt (prtielles Integrieren) (Re f)(t) dt + i b (Im f) (t) dt = Re f(b) Re f() + i(im f(b) Im f()) = f(b) f(). (b) Diese Aussge beweist mn wie im reellen Fll oder durch Anwenden der reellen Produktregel uf Rel- und Imginärteil. (c) Es ist b f(t)g (t) dt + b f (t)g(t) dt = b (f g) (t) dt = f(b)g(b) f()g(). Wir wollen nun Integrle studieren, die von einem komplexen Prmeter bhängen. Der folgende Stz besgt, ds wir unter dem Integrl komplex differenzieren dürfen. Stz 5.5 (komplexe Ableitung unter dem Integrl). Es sei Ω C offen, < < b < und f : [, b] Ω C stetig. Es gelte () f(t, ): Ω C ist für jedes t [, b] komplex-differenzierbr und (b) 2 f : [, b] Ω C ist stetig. Dnn ist die durch F (z) := b f(t, z) dt gegebene Funktion F : Ω C holomorph und F (z) = b 2 f(t, z) dt für lle z Ω. Hier ist 2 f die komplexe prtielle Ableitung nch der zweiten Vriblen, d.h. f(t, z) f(t, z ) 2 f(t, z ) = lim. z z z z 2

25 Beweis. Für z Ω sei G(z) := b 2f(t, z) dt. Wir zeigen, dss F = G. Sei dzu z Ω fest und r > derrt, dss B r (z) Ω. D 2 f stetig ist, ist 2 f uf der kompkten Menge [, b] B r (z) gleichmäßig stetig. Es sei ε >. Dnn gibt es < δ < r derrt, dss 2 f(t, z + h) 2 f(t, z) < ε für lle t [, b] und h δ. Für < h δ gilt: (F (z + h) F (z)) G(z) = h Also ist b (F (z + h) F (z)) G(z) h = = = b b b [ ] h (f(t, z + h) f(t, z)) 2f(t, z) dt [ ] f h s (t, z + sh) ds 2f(t, z) dt [ ] 2 f(t, z + sh) h ds 2 f(t, z) dt h b (b ) sup [ 2 (t, z + sh) 2 f(t, z)] ds dt 2 (t, z + sh) 2 f(t, z) ds dt t [,b], s [,] 2 (t, z + sh) 2 f(t, z) (b ) ε. Dmit ist F (z) = lim h h (F (z + h) F (z)) = G(z). Wir zeigen nun, dss F = G stetig ist. Sei dzu (z n ) Ω mit lim z n = z Ω gegeben und ε >. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von 2 f gibt es δ > derrt, dss für lle t [, b] und w B δ (z) gilt Somit ist F (z n ) F (z) = b für n groß genug, dss z n B δ (z). 2 f(t, w) 2 f(t, z) < ε. 2 f(t, z n ) 2 f(t, z) dt (b ) sup 2 f(t, z n ) 2 f(t, z) (b ) ε t [,b] Definition 5.6. Es sei Ω C offen und f : Ω C eine stetige Funktion. Eine holomorphe Funktion F : Ω C heißt Stmmfunktion von f, flls F (z) = f(z) für lle z Ω. Beispiel 5.7. () exp ist eine Stmmfunktion von exp. (b) sin ist eine Stmmfunktion von cos und cos ist eine Stmmfunktion von sin. (c) Es sei f(z) := n= nz n eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius R >. Dnn ht nch Lemm 4.7 die Reihe n F (z) := n + zn+ uch den Konvergenzrdius R und F ist uf B R () eine Stmmfunktion von f. n= 2

26 5. Stmmfunktionen (d) Es sei f(z) := z+ uf B (). Dnn definiert F (z) = log( + z) siehe Beispiel 4. (e) eine Stmmfunktion von f. In der Tt ist und somit für lle z B (). F (z) = z z2 2 + z3 3 z F (z) = z + z 2 z 3 + = Definition 5.8. Es seien, z C. Dnn nennen wir ( z) n = + z n= [, z] := { + t(z ) : t [, ]} ein Segment. Eine offene Menge Ω C heißt sternförmig, flls es ein C gibt, sodss [, z] Ω für lle z Ω. Wenn wir präzisieren wollen, sgen wir uch, dss Ω sternförmig bzgl. ist. Beispiel 5.9. () Eine Kugel B r () ist sternförmig. (b) Jedes Rechteck ist sternförmig. (c) Es sei Ω C und z Ω ein innerer Punkt von Ω. Dnn ist Ω \ {z } nicht sternförmig. Auf sternförmigen Gebieten können wir zu jeder holomorphen Funktion leicht eine Stmmfunktion ngeben. Ds besgt der nächste Stz, der Huptstz dieses Abschnitts. Theorem 5. (Stmmfunktionen). Es sei Ω C eine sternförmige, offene Menge. Dnn besitzt jede holomorphe Funktion f : Ω C eine Stmmfunktion. Beweis. Wir können nnehmen, dss Ω bzgl. sternförmig ist, sonst verschieben wir Ω. Es sei f : Ω C holomorph. Für z Ω definieren wir F (z) = f(tz)z dt. Nch Stz 5.5, ngewndt uf h(t, z) = f(tz)z, ist F holomorph uf Ω mit F (z) = = (f(tz) + f (tz)tz) dt = f(tz) dt wobei wir einml reell prtiell integriert hben. f(tz) dt + f(tz) dt + f(z) = f(z) t f (tz) dt t Theorem 5. ist ds wichtigste Argument im Beweis des Huptstzes der Funktionentheorie (Stz 7.4), der besgt, dss jede holomorphe Funktion nlytisch ist. Insbesondere zeigt dieser, dss die Ableitung einer holomorphen Funktion wieder holomorph ist. Ds erklärt, wrum wir in Theorem 5. vorusgesetzt hben, dss die Funktion f holomorph ist. In der reellen Anlysis ist ds nders: D konstruiert mn zu jeder stetigen Funktion eine Stmmfunktion, die dnn ber nur einml stetig differenzierbr ist. Ist F eine Stmmfunktion von f, so ist uch F +c eine solche. In der Sitution von Theorem 5. werden uf diese Weise lle Stmmfunktionen gefunden. Wir kommen uf die Eindeutigkeit zurück (Korollr 6.4). 22

27 6 Wegintegrle und der Cuchysche Integrlstz In dieser Vorlesung definieren wir Wegintegrle einer holomorphen Funktion. Zentrl ist der Stz von Cuchy, der besgt, dss ds Integrl einer holomorphen Funktion über einen geschlossenen Weg verschwindet, flls ds zugrunde liegende Gebiet sternförmig ist. Definition 6.. Ein Weg ist eine stückweise stetig differenzierbre Funktion γ : [, b] C, d.h. eine stetige Funktion γ, für die es eine Zerlegung = t < t < < t n = b gibt, sodss für lle i =,..., n die Einschränkung γ [ti,t i] stetig differenzierbr ist. Mn nennt sp(γ) := γ([, b]) die Spur von γ. Der Weg γ heißt geschlossen, flls γ() = γ(b). Wir werden im Folgenden ohne weitere Verweise die obige Zerlegung benutzen. Beispiel 6.2. () Es seien z, z 2 C und γ : [, ] C gegeben durch γ(t) := z + t(z 2 z ). Dnn ist sp(γ) = [z, z 2 ], ds Segment zwischen den Punkten z und z 2. (b) Es sei z C und r >. Es sei γ : [, 2π] C gegeben durch γ(t) := z + re it. Dnn ist γ ein geschlossener Weg und sp(γ) ist der Kreis mit Rdius r und um den Mittelpunkt z. Definition 6.3. Es sei γ : [, b] C ein Weg. Wir setzen γ(t) := γ (t) uf den Intervllen (t i, t i ) für i =,..., n. Dmit ht γ eine stetige Fortsetzung uf [t i, t i ]. Wir nennen die Weglänge von γ. L(γ) := n i= ti t i γ(t) dt Bemerkung 6.4. () Diese Definition ist unbhängig von der Zerlegung des Intervlls [, b]. (b) Approximiert mn γ durch Polygone, so wird mn L (γ) := sup n γ(t i ) γ(t i ) i= ls Weglänge definieren, wobei ds Supremum über lle Prtitionen t < t <... < t n = b, n N gebildet wird (mn mche eine Zeichnung!). Es gilt ttsächlich: 23

28 6. Wegintegrle und der Cuchysche Integrlstz Stz. L (γ) = L(γ) Beweis. : Sei t < t <... < t n = b eine Prtition. Dnn ist n γ(t i ) γ(t i ) = i= = n ti γ(t) dt t i i= ti n i= b t i γ(t) dt γ(t) dt = L(γ), : Sei ɛ >. D γ gleichmäßig stetig ist, gibt es δ >, sodss t s δ γ(t) γ(s) ɛ. Sei t < t <... < t n = b eine Prtition mit t i t i δ. Dnn ist Für i {,..., n} ist L(γ) = n i= ti t i γ(t) dt. 24 ti t i γ(t) dt ti t i γ(t) γ(t i ) dt + t i t i γ(t i ) ɛ t i t i + (t i t i ) γ(t i ) = ɛ t i t i + Wenn wir ufsummieren, erhlten wir D ɛ > beliebig wr, folgt L(γ) L (γ). ti t i γ(t i ) dt ti ɛ t i t i + γ(t i ) γ(t) dt + t i 2ɛ(t i t i ) + γ(t i ) γ(t i ). L(γ) 2ɛ(b ) + L (γ). ti t i γ(t) dt Definition 6.5 (Wegintegrl). Es sei γ : [, b] C ein Weg und f : sp(γ) C stetig. Wir definieren n tj f(z) dz := f(γ(t)) γ(t) dt. (6.) γ t j j= Siehe Kpitel 5 für die Definition der Integrle uf der rechten Seite von (6.). Mn sieht leicht, dss die Definitoon nicht von der gewählten Unterteilung bhängt, d.h. wenn = s < s < < s m = b eine weitere Unterteilung von [, b] ist mit der Eigenschft, dss γ uf jedem Intervll [s j, s j ] stetig differenzierbr ist, so erhält mn in (6.) den gleichen Wert.

29 Eigenschften 6.6. Es sei γ : [, b] C ein Weg und f, g : sp(γ) C stetig. () Es gilt sowie für lle w C. γ (f + g)(z) dz = γ f(z) dz + g(z) dz γ w f(z) dz = w f(z) dz γ γ (b) Es gilt die Fundmentlbschätzung mit c := sup z sp(γ) f(z). γ f(z) dz L(γ) c Diese Eigenschften folgen, wie uch die Aussgen des folgenden Lemms, unmittelbr us den Definitionen. Lemm 6.7. Es sei γ : [, b] C ein Weg. () Für den durch γ (t) := γ( + t(b )) gegebenen Weg γ : [, ] C gilt sp(γ) = sp(γ ) und f(z) dz = f(z) dz γ γ für lle stetigen Funktionen f : sp(γ) C. (b) Für den durch γ (t) := γ(b + t) gegebenen Weg gilt f(z) dz = f(z) dz γ γ für lle stetigen Funktionen f : sp(γ) C. (c) Es sei γ : [, b ] C ein Weg mit γ ( ) = γ(b). Weiter sei Ω := sp(γ) sp(γ ) und f : Ω C stetig. Wir definieren γ 2 : [, b + b ] C durch γ 2 (t) := γ(t) für t [, b] und γ 2 (t) := γ (t b + ) für t (b, b + b ). Dnn ist f(z) dz = f(z) dz + f(z) dz. γ 2 γ γ Wir schreiben uch γ γ := γ 2. Lemm 6.8. Es sei γ : [, b] C ein Weg und f : Ω C holomorph mit sp(γ) Ω. Dnn ist uf jedem Intervll [t j, t j ]. d dt f(γ(t)) = f (γ(t)) γ(t) 25

30 6. Wegintegrle und der Cuchysche Integrlstz Beweis. Ds beweist mn wie im Reellen. Alterntiv knn mn uch Anlysis 2 benutzen: Sei γ(t) = x(t) + iy(t) und f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Dnn ist d dt u(γ(t)) = d dt u(x(t), y(t)) = u x(x(t), y(t))ẋ(t) + u y (x(t), y(t))ẏ(t) = Re (f (γ(t)) γ (t)). Der folgende Stz von Cuchy ist der Huptstz dieses Abschnitts. Theorem 6.9 (Cuchyscher Integrlstz). Es sei Ω C offen und sternförmig und f : Ω C holomorph. Ferner sei γ : [, b] Ω ein geschlossener Weg. Dnn gilt f(z) dz =. Beweis. Nch Theorem 5. ht f eine Stmmfunktion F. Dnn gilt γ d F (γ(t)) = f(γ(t)) γ(t) dt uf [t j, t j ]. Es ist lso γ f(z) dz = = n j= tj t j d F (γ(t)) dt dt n [F (γ(t j )) F (γ(t j ))] j= = F (γ(t n )) F (γ(t )) =. Der Stz von Cuchy ht sehr viele Konsequenzen und Anwendungen, wie wir sehen werden. Die Sternförmigkeit ist eine zentrle Vorussetzung wie ds folgende Beispiel zeigt. Beispiel 6. (Punktierte Kreisscheibe). Durch f(z) := z wird eine holomorphe Funktion uf C \ {} definiert. Es sei γ : [, 2π] C \ {} gegeben durch γ(t) := e it. Dnn ist γ f(z) dz = 2π e it ieit dt = 2πi. Definition 6.. Eine Menge Ω C heißt zusmmenhängend, flls folgendes gilt: Für je zwei offene und disjunkte Mengen Ω, Ω 2 C mit Ω Ω Ω 2 folgt, dss entweder Ω Ω = oder Ω 2 Ω =. Eine Menge Ω C heißt wegzusmmenhängend, flls zu je zwei Punkten z, z 2 Ω einen Weg γ : [, b] Ω existiert sodss γ() = z und γ(b) = z 2. Eine offene und zusmmenhängende Menge heißt Gebiet. Stz 6.2. Eine offene Menge Ω C ist genu dnn zusmmenhängend, wenn sie wegzusmmenhängend ist. Beweis. Es sei zunächst Ω C eine zusmmenhängende Menge. Wir fixieren z Ω und zeigen im Folgenden, dss sich jeder Punkt us Ω durch einen Weg mit z verbinden lässt. Dzu betrchten wir die Menge Ω := {z Ω : Es gibt einen Weg γ : [, b] Ω mit γ() = z und γ(b) = z}. 26

31 Bechte, dss z Ω und deshlb Ω. Wir zeigen nun, dss Ω offen ist. Sei dzu z Ω beliebig und γ : [, b] Ω derrt, dss γ () = z und γ (b) = z. Weil Ω offen ist, gibt es einen Rdius r > sodss B r (z ) Ω. Für beliebige z 2 B r (z ) ist die Verbindungsstrecke γ 2 (t) := z + t(z 2 z ) ein Weg γ 2 : [, ] Ω, der z und z 2 verbindet. Die Verknüpfung der Wege γ := γ γ 2 definiert dnn einen Weg von z nch z 2 mit sp(γ) Ω. Dies zeigt, dss B r (z ) Ω und somit, weil z beliebig gewählt wr, dss Ω offen ist. Ds gleiche Argument zeigt ebenflls, dss Ω 2 := Ω \ Ω offen ist. Sei dzu z 2 Ω 2 beliebig und r > derrt, dss B r (z 2 ) Ω. Wir zeigen, dss B r (z 2 ) Ω 2. Angenommen, es gibt w B r (z 2 ) Ω und lso einen Weg γ : [, b] Ω mit γ () = z und γ 2 (b) = w. Dnn definiert die Verbindungsstrecke γ 2 (t) := w + t(z 2 w) wieder einen Weg γ : [, ] Ω, der w mit z 2 verbindet und wir erhlten mir γ γ 2 einen Weg, der z und z 2 verbindet, ws nicht sein knn. Also ist B r (z 2 ) Ω 2 und deshlb Ω 2 offen. Weil Ω zusmmenhängend ist und Ω Ω folgt nun, dss Ω 2 = Ω 2 Ω =. Ds heißt gerde, dss Ω wegzusmmenhängend ist. Nun sei Ω ls wegzusmmenhängend vorusgesetzt und wir nehmen n, dss Ω nicht zusmmenhängend ist. Dnn finden wir offene disjunkte Mengen Ω, Ω 2 C mit Ω Ω Ω 2 und z Ω Ω und z 2 Ω 2 Ω. Aufgrund des Wegzusmmenhngs gibt es einen Weg γ : [, b] Ω mit γ() = z und γ(b) = z 2. Wegen der Stetigkeit von γ sind die disjunkten Mengen I := γ (Ω ) und I 2 := γ (Ω 2 ) reltiv offen in [, b], d.h. es ist I = U [, b] und I 2 = U 2 [, b] für gewisse offene Mengen U, U 2 R. D ußerdem I I 2 = [, b] widerspricht dies dem Zusmmenhng der Menge [, b]. Wir führen dieses letzte Argument noch us: Ohne Beschränkung sei I. Wir setzen c := sup{s > : [, s) I } und unterscheiden folgende zwei Fälle. Ist c I, so gibt es, weil I 2 offen ist, ε > mit (c ε, c] I 2. Dnn ist ber I I 2, ws nicht sein knn. Ist dgegen c I, dnn gibt es ein ε > mit [c, c + ε) I, ws der Definition von c widerspricht. In beiden Fällen erhlten wir lso einen Widerspruch und wir hben gezeigt, dss Ω offen ist. Mit dem Beweis des Stzes 6.2 erhält mn leicht zwei zusätzliche Aussgen. Zum einen lssen sich zwei Punkte einer offenen und zusmmenhängenden Menge sogr stets durch einen Polygonzug verbinden. Zum nderen ist eine offene Menge bereits dnn zusmmenhängend, wenn sich je zwei Punkte durch einen stetigen Weg verbinden lssen. Stz 6.3. Es sei Ω C ein Gebiet und f : Ω C holomorph. Ist f (z) = für lle z Ω, so ist f konstnt. Beweis. Es seien z, z 2 Ω. Dnn gibt es einen Weg γ : [, b] C mit γ() = z und γ(b) = z 2. Nch Vorussetzung ist d dt f(γ(t)) = f (γ(t)) γ(t) = für lle t [, b]. Also ist f(z ) = f(γ()) = f(γ(b)) = f(z 2 ). Korollr 6.4. Es sei Ω C eine Gebiet und f : Ω C holomorph. Für je zwei Stmmfunktionen F, F 2 : Ω C von f gibt es ein c C mit F (z) = F 2 (z) + c für lle z Ω. Ds Korollr ist eine komplexe Version des us der Anlysis 2 beknnten Eindeutigkeitsstzes. Bemerkung 6.5 (Eindeutigkeitsstz us der Anlysis 2). Sei Ω R 2 ein Gebiet und u: Ω R stetig prtiell differenzierbr. Ist grd u =, so ist u konstnt. Korollr 6.6. Sei Ω ein Gebiet und f : Ω C eine holomorphe Funktion, die nur reelle Werte nnimmt. Dnn ist f konstnt. 27

32 6. Wegintegrle und der Cuchysche Integrlstz Beweis. Es ist lso f = u+iv mit v =. D u, v die Cuchy-Riemnnschen Differenzilgleichungen erfüllen, folgt dss grd u =. 28

33 7 Die Cuchysche Integrlformel und der Huptstz In diesem Kpitel werden wir die Cuchysche Integrlformel beweisen, mit deren Hilfe sich die Auswertung einer holomorphen Funktion durch ein Kurvenintegrl berechnen lässt. Diese Formel ist der Schlüssel für viele Ergebnisse der Funktionentheorie wie z.b. den Hupstz, der besgt, dss holomorphe Funktionen und nlytische Funktionen ein und dsselbe sind. Wir führen zunächst folgende Bezeichung ein: Es sei z C, r > und f : B r (z ) C stetig. Dnn setzen wir 2π f(z) dz := f(z + re it )rie it dt. z z =r Dies ist gerde ds Kurvenintegrl f(z) dz mit der durch γ(t) = reit gegebenen Kurve γ γ : [, 2π] C. Ds folgende Beispiel spielt eine entscheidene Rolle in der Funktionentheorie. Im letzten Abschnitt tuchte es bereits in der Rolle eines Gegenbeispiels uf. Beispiel 7.. Es sei z C und r >. () Es ist 2πi z z =r dz = 2π z z 2πi ire it dt =. reit (b) Für m Z \ { } ist (z z ) m dz = 2π z z =r r m e imt dt = rm 2π im eimt t= =. Theorem 7.2 (Cuchysche Integrlformel). Es sei Ω C offen und f : Ω C holomorph. Ferner sei B r (z ) Ω. Dnn gilt f(z) = f(w) 2πi w z =r w z dw für lle z B r (z ) Beweis. Es sei z B r (z ) fest und < ε < r z z beliebig. Durch geschickte Zerlegung des Integrtionsweges wie in Abbildung 7. drgestellt, erhält mn us dem Cuchyschen Integrlstz, dss w z =r f(w) w z dw w z =ε f(w) w z dw = γ 29 f(w) w z dw + γ 2 f(w) dw = +. w z

34 7. Die Cuchysche Integrlformel und der Huptstz Abbildung 7.: Zerlegung des Integrtionswegs im Beweis der Cuchyschen Integrlformel Abbildung 7.2: Sternförmige Umrndung des Integrtionswegs γ Um den Integrlstz 6.9 ttsächlich uf die geschlossenen Wege γ und γ 2 nwenden zu können, müssen wir uns zunächst klr mchen, dss diese jeweils in sternförmigen Gebieten verlufen uf denen der Integrnd holomorph ist. Abbildung 7.2 zeigt exemplrisch die untere Begrenzung eines solchen Gebiets, ds sp(γ ) enthält. Es ist lso f ε (z) := 2πi w z =ε f(w) w z dw = 2πi w z =r f(w) w z dw. Weil f im Punkt z komplex-differenzierbr ist, gibt es M derrt, dss f(z) f(w) z w M für lle w Ω \ {z}. Aus dem Fundmentlbeispiel 7. sehen wir, dss f(z) = f(z) 2πi w z =ε w z dw. Dmit folgt mit der Fundmentlbschätzung, dss f(w) f(z) f ε (z) f(z) = dw 2πi w z M 2π ε = Mε. 2π w z =ε Dies zeigt, dss f(z) = lim f ε (z) = f(w) ε 2πi w z =r w z dw. Die Cuchysche Integrlformel zeigt insbesondere, dss die Werte einer holomorphen Funktion im Inneren eines Kreises durch ihre Werte uf dem Rnd desselben eindeutig bestimmt sind. Sie erlubt uns uch, die Funktion in eine Potenzreihe zu entwickeln. Dzu benutzen wir ds folgende Lemm über ds Vertuschen von Integrl und Summe bei normler Konvergenz. 3

35 Lemm 7.3. Es sei γ : [, b] C ein Weg und f n : sp(γ) C eine Folge stetiger Funktionen. Es seien ferner q n gegeben mit n= q n < derrt, dss f n (z) q n für lle z sp(γ) und lle n N. Dnn definiert eine stetige Funktion f : sp(γ) C und γ f(z) := f(z) dz = f n (z) (7.) n= n= γ f n (z) dz. Beweis. D die Reihe norml konvergiert, ist durch (7.) eine stetige Funktion f : sp(γ) C definiert. Aus der Fundmentlbschätzung erhält mn nun für lle N N, dss N ( ) f(z) dz f n (z) dz γ n= γ = N f(z) f k (z) dz γ n= = f n (z) dz γ n=n+ L(γ) sup f n (z) L(γ) z sp(γ) n=n+ n=n+ Weil die rechte Seite für N nch konvergiert, folgt die Behuptung. Ds folgende Resultt ist eine Konsequenz us der Cuchyschen Integrlformel. Stz 7.4 (Huptstz). Es sei Ω C offen und B r (z ) Ω. Ferner sei f : Ω C holomorph. Dnn ist f(z) = n (z z ) n (7.2) für lle z Ω mit z z < r, wobei für lle n N. n = 2πi n= w z =r q n. f(w) dw (7.3) (w z ) n+ Die Reihe (7.2) ht lso einen Konvergenzrdius R dist(z, Ω). Der Huptstz zeigt insbesondere, dss jede holomorphe nlytisch ist. Anlytisch und holomorph sind lso äquivlente Eigenschften. Beweis. Wir betrchten zunächst den Fll z =. Aus der Cuchyschen Integrlformel erhlten wir, dss f(z) = f(w) 2πi w =r w z dw 3

36 7. Die Cuchysche Integrlformel und der Huptstz für lle z B r (). Nun sei < ϱ <. Für z ϱ gilt w z = w z w = w n= z n w n, d z/w ϱ/r <. Lemm 7.3 erlubt uns nun, Integrtion und Summtion zu vertuschen und wir erhlten f(z) = z n f(w) 2πi w =r w n+ dw = f(w) 2πi w =r w n+ dw zn = n z n n= n= mit Koeffizienten n entsprechend (7.3). Nun sei z Ω beliebig. Wir setzen g(z) := f(z + z ) und n := 2πi ζ =r g(ζ) f(ζ + z ) dζ = ζn+ 2πi ζ =r ζ n+ dζ = 2πi w z =r n= f(w) dw (w z ) n+ Aus der Betrchtung des ersten Flls folgt nun, dss g(z) = n= nz n für lle z < r und lso für lle z z < r. f(z) = g(z z ) = n (z z ) n Korollr 7.5. Eine Funktion f : Ω C uf einer offenen Menge Ω C ist genu dnn holomorph, wenn sie nlytisch ist. Bemerkenswert ist, dss die Funktion in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickelt werden knn, die innerhlb der größten Kreisscheibe konvergiert, die noch in dem Gebiet Ω liegt. Wir schuen uns zum Schluss ein konrektes Beispiel n. Beispiel 7.6. Durch f(z) := +z 2 ist eine holomorphe Funktion f : C \ {i, i} C definiert. Die Potenzreihe von f im Entwicklungspunkt z = ist n= + z 2 = ( ) n z 2n n= für z <, wie mn leicht mit Hilfe der geometrischen Reihe sieht. Der Konvergenzrdius ist. Ttsächlich sind i und i uf dem Konvergenzkreis singuläre Punkte. Wegen lim z ±i f(z) = knn f nicht holomorph in i oder i fortgesetzt werden. Wir notieren noch ein weiteres Korollr, ds us dem Huptstz, Stz 7.4, und Theorem 4.8 folgt. Korollr 7.7. Es sei Ω C offen und f : Ω C holomorph. Dnn ist uch f holomorph. Insbesondere ist f beliebig oft komplex-differenzierbr. 32

37 8 Der Stz von Liouville Die Cuchysche Integrlformel ist n sich schon erstunlich. Sie ht ber ebenflls verblüffende Konsequenzen. In diesem und dem nächsten Abschnitt beschreiben wir zwei besonders interessnte Phänomene. Als erstes wollen wir die Ableitungen einer holomorphen Funktion uch durch eine Version der Cuchyschen Integrlformel usdrücken. Stz 8. (Cuchysche Integrlformel für Ableitungen). Es sei Ω C offen und f : Ω C holomorph. Ferner sei z Ω und r > derrt, dss B r (z ) Ω. Dnn ist f (n) (z) = f(w) dw. (8.) n! 2πi (w z) n+ z w =r Beweis. Für n = ist dies gerde die Aussge von Theorem 7.2, lso f(z) = 2πi 2π f(z + re it ) (z + re it z) dt. Nch Stz 5.5 dürfen wir unter dem Integrl bleiten und erhlten (8.) für n =. Ds mcht mn so für n = 2, 3,... oder korrekt durch vollständige Induktion (mchen Sie s korrekt!). Definition 8.2. Eine holomorphe Funktion f : C C heißt gnze Funktion. Aus der Cuchyschen Integrlformel für Ableitungen erhlten wir folgenden erstunlichen Stz. Stz 8.3 (J. Liouville 847). Jede beschränkte gnze Funktion ist konstnt. Beweis. Es sei z C. Nch Stz 8. für n = und z = z gilt f (z) = f(w) 2πi (w z) 2 dw w z =r für jedes r >. Nch der Fundmentlbschätzung ist dmit f (z) c 2πi r 2 2πr = c r wobei c f(z) für lle z C. D r > beliebig ist, ist f (z) =. Weil z C beliebig gewählt wr, erhlten wir us Stz 6.3, dss f konstnt ist. Wir hben bereits gesehen, dss sin und cos gnze Funktionen sind. Auf R sind sie beschränkt, nicht ber uf C. Ds folgt us dem Stz von Liouville; zeigen Sie es direkt! Aus dem Stz von Liouville knn mn ußerdem sehr leicht den Huptstz der Algebr herleiten. Ds wollen wir im Folgenden tun. 33

38 8. Der Stz von Liouville Stz 8.4 (Huptstz der Algebr). Jedes nicht-kontnte komplexe Polynom besitzt eine Nullstelle in C. Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit betrchten wir ein normiertes Polynom, es sei lso p(z) = + z + + n z n + z n für n. Wir nehmen n, dss p(z) für lle z C. Dnn ist f(z) := p(z) eine gnze Funktion. Es ist p(z) = z n g(z) z n ( g(z) ) mit g(z) = z n + z n + + n. z Wir wählen R > derrt, dss g(z) 2 für lle z C mit z R. Also ist p(z) 2 z n uf C \ B R () und somit f(z) 2 R uf C \ B n R (). D f uf B R () ls stetige Funktion ebenflls beschränkt ist, ist f eine beschränkte gnze Funktion und somit nch Stz 8.3 konstnt. Dies widerspricht der Vorussetzung, dss p nicht konstnt ist. Konstruiert wurden die komplexen Zhlen gerde so, dss ds Polynom + z 2 eine Nullstelle ht. Wir hben jedoch viel mehr erreicht, sogr folgende nützliche Fktorisierung, in der genu n Nullstellen (mit eventueller Wiederholung) vorkommen. Korollr 8.5. Es sei p(z) = + z + + n z n +z n ein normlisiertes komplexes Polynom vom Grd n. Dnn gibt es z,..., z n C sodss für lle z C. p(z) = (z z ) (z z n ) Bevor wir ds Korollr beweisen, wenden wir den Huptstz uf eine gnze Funktion f : C C n. Auf diese Weise erhlten wir, dss für jedes z C f(z) = n (z z ) n n= für lle z C, wobei n = f (n) (z ) n! für n =,,.... Die Funktion f ist genu dnn ein Polynom vom Grd m, wenn f (m) (z ) und f (k) (z ) = für lle k > m. Beweis. Wir beweisen nun Korollr 8.5 durch Induktion. Für n = ist p(z) = + z gerde von der gewünschten Form für z =. Nun gelte die Behuptung für ein n und es sei p ein normlisiertes Polynom vom Grd n +. Nch dem Huptstz ht p eine Nullstelle z n+. Wir entwickeln nun p in eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt z n+ und erhlten n+ p(z) = k (z z n+ ) k k= mit n+ =. D p(z n+ ) = ist =. Also ist p(z) = (z z n+ )q(z) für ein Polynom q vom Grd n. Weil p normlisiert ist, ist uch q normlisiert und deshlb, nch Induktionsvorussetzung, q = (z z ) (z z n ) für gewisse z,..., z n C. Also ht p ebenflls die gewünschte Drstellung. 34

39 9 Punktweiser Grenzwert holomorpher Funktionen In diesem und dem nächsten Abschnitt wollen wir weitere interessnte Folgerungen us der Cuchyschen Integrlformel ziehen. Ist f : Ω C holomorph, Ω C offen und B r (z ) Ω so ist f(z) = f(w) 2πi w z dw. w z =r Wir hben bereits gesehen, dss diese Formel es erlubt, f in eine Potenzreihe zu entwickeln. Wir gehen jetzt umgekehrt vor und definieren eine Funktion über die Cuchysche Integrlformel. Es sei g : B r (z ) C eine Funktion. Wir setzen f(z) := 2πi w z =r g(w) dw (9.) w z für lle z B r (z ). Dieser Ausdruck ht einen Sinn, flls g lediglich ls integrierbr vorusgesetzt wird. Ds soll ntürlich bedeuten, dss die Abbildung t g(z + re it ) uf [, 2π] Lebesgue-integrierbr ist. Dnn erhlten wir mit dem Beweis von Stz 7.4 folgende Aussge. Lemm 9.. Es sei z C, r > und g : B r (z ) C integrierbr. Dnn definiert (9.) eine holomorphe Funktion f : B r (z ) C, die durch die Potenzreihe gegeben ist, wobei f(z) = n (z z ) n n= n = g(w) dw. 2πi z w =r (w z ) n+ Beweis. Wir wiederholen die Argumente um nchzuprüfen, dss die Integrierbrkeit reicht. Ohne Einschränkung können wir nnehmen, dss z =. Es ist lso f(z) = 2πi 2π g(re it ) re it z rieit dt. Sei nun < ϱ < r, z ϱ. Dnn ist z re ϱ it r <. Also ist re it re it z = z re it = 35 n= z n r n e int

40 9. Punktweiser Grenzwert holomorpher Funktionen 36 gleichmäßig in t [, 2π]. Dmit ist mit n = 2π 2π f(z) = n z n n= g(re it ) r n dt = eint 2πi w =r g(w) dw. wn+ Nun erinnern wir uns n den Stz von Lebesgue us der Mßtheorie. Hier ist ein Spezilfll. Stz 9.2 (Lebesgue). Es seien u n : [, b] C stetig, u n (t) c für lle t [, b] und n N. Es existiere u(t) := lim n u n(t) für lle t [, b]. Dnn ist u: [, b] C integrierbr und b u(t) dt = lim n b u n (t) dt. Benutzen wollen wir die vorhergehenden Aussgen, um den folgenden bemerkenswerten Stz über den punktweisen Grenzwert holomorpher Funktionen zu beweisen. Stz 9.3. Es sei Ω C offen und f n : Ω C holomorph. Es gebe c derrt, dss f n (z) c für lle z Ω, n N. Flls f(z) := lim f n (z) für lle z Ω existiert, so ist f : Ω C holomorph. Beweis. Es sei z Ω und r > derrt, dss B r (z ) Ω. Wir zeigen, dss f uf B r (z ) holomorph ist. Es ist f n (z) = f n (w) 2πi w z dw. w z =r Mit Hilfe des Stzes von Lebesgue sieht mn, dss f Br(z ) integrierbr ist und nch Grenzübergng n, dss f(z) = f(w) 2πi w z =r w z dw. Lemm 9. impliziert die Holomorphie von f. Dieser Stz ist insofern bemerkenswert, dss der punktweise Grenzwert beliebig oft differenzierbrer Funktionen im Allgemeinen nicht stetig ist uch wenn die Funktionen gleichmäßig beschränkt sind. Zeichnen Sie ein Beispiel! Beispiel 9.4 (Lplcetrnsformtion). Es sei f : [, ) R stetig und beschränkt. Mn definiert für z C + := {z C : Re z > } die Funktion g(z) := D e tz = e tx e tiy = e tx für z = x + iy, ist e tz f(t) dt c e tz f(t) dt. e tx dt = c x für x >. Dmit existiert ds Integrl ls uneigentliches Riemnnintegrl.