41 Normierte Räume über dem Körper der komplexen Zahlen

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1 41 Normierte Räume über dem Körper der komplexen Zhlen 411 Rechenregeln für komplexe pseudonormierte Räume 412 Stetigkeits-, Differenzierbrkeits- und Integrierbrkeitskriterien für Abbildungen in einen endlich-dimensionlen C-Vektorrum 413 Eigenschften der komplexen Exponentilfunktion Um die Lösungsgesmtheiten von lineren Differentilgleichungssystemen einfcher beschreiben zu können, benötigen wir den C n Hierzu sei zunächst n die Einführung der komplexen Zhlen C erinnert (siehe zb Aufgbe 10 der Lineren Algebr I): In R 2 = R R ist bzgl der knonischen Vektorddition, + b := ( 1 + b 1, 2 + b 2 ) für := ( 1, 2 ), b := (b 1, b 2 ) R 2, (R 2, +) eine belsche Gruppe Ferner definiert mn in R 2 die folgende Verknüpfungsreltion, Multipliktion gennnt: ( 1, 2 ) (b 1, b 2 ) := ( 1 b 1 2 b 2, 1 b b 1 ) Dnn ist C := (R 2, +, ) ein (kommuttiver) Körper, der Körper der komplexen Zhlen gennnt wird Wie üblich bezeichnen e 1 := (1, 0) und e 2 := (0, 1) die beiden Einheitsvektoren des R 2 Mn setzt i := (0, 1) = e 2 C und nennt i die imginäre Einheit Es gilt Die Abbildung i 2 = ( 1, 0) j : R C, definiert durch j( 1 ) = 1 e 1 = ( 1, 0), ist ein injektiver Homomorphismus (dh j ist injektiv und es gilt: j( 1 + b 1 ) = j( 1 ) + j(b 1 ) sowie j( 1 b 1 ) = j( 1 ) j(b 1 ) ) Mn identifiziert dher 1 R mit j( 1 ) = ( 1, 0) Somit schreibt mn ( 1, 2 ) = ( 1, 0) + (0, 1) ( 2, 0) = 1 + i 2 Ist ( 1, 2 ) = 1 + i 2 C, so heißt 1 + i 2 := 1 i 2 die konjugiert komplexe Zhl zu 1 + i 2 C 1 [41] 1

2 Kpitel X Differentilgleichungssysteme und Differentilgleichungen n Ordnung Es gilt für komplexe Zhlen, b C + b = + b, b = b (siehe zb den Beweis des Stzes 187 Linere Algebr I) und ( b ) = b für C, b C \ {0} Der R-Vektorrum R 2 = C besitzt die euklidische Norm 2, die mit bezeichnet wird, dh := 2 = für = ( 1, 2 ) R 2 Dnn gilt nch 332 = 0 = 0; ferner folgt wegen =, C uch b 2 = b b = bb = 2 b 2, lso + b + b ; b = b für, b C C ist ein Körper Wegen i 2 = 1 knn jedoch C zu keinem ngeordneten Körper gemcht werden (siehe 23: In jedem ngeordneten Körper K gilt für jedes Element t K, dß 1 + t 2 > 0 ist) Ist = 1 + i 2 C mit 1, 2 R, so bezeichnet mn 1 ls Relteil und 2 ls Imginärteil von, kurz Also ist = Re() + i Im() Re() := 1, Im() := 2 Ist f : D C, so sind Re(f), Im(f) : D R erklärt durch die punktweisen Festsetzungen (Re(f))(p) := Re(f(p)), (Im(f))(p) := Im(f(p)) für p D Ist lso f = (f 1, f 2 ) = f 1 + if 2 mit reellwertigen f 1, f 2, so ist Re(f) = f 1, Im(f) = f 2 c i 12 Ist c = C n (mit c i C), dh ist c = mit j1, j2 R, c n n1 + i n2 so schreibt mn 11 Re(c) :=, Im(c) := n1 n2 Also ist uch in diesem Fll Re(c 1 ) Im(c 1 ) c = Re(c) + iim(c) = + i Re(c n ) Im(c 1 ) Wichtig (und trivil zu beweisen) ist: Sind, b, c, d R n und gilt + ib = c + id, so folgt = c und b = d [41] 2 C 1 12

3 Normierte Räume über dem Körper der komplexen Zhlen f 1 Für f: D C n, lso f =, definiert mn entsprechend Re(f) und Im(f) wieder punktweise: f n (Re(f))(p) := Re(f(p)), (Im(f))(p) := Im(f(p)) für p D Re(f 1 ) Im(f 1 ) Dher ist Re(f) =, Im(f) = Re(f n ) Im(f n ) Ist V ein Vektorrum über C, so ist wenn mn die Abbildung C V (λ, v) λv uf R V einschränkt V uch ein Vektorrum über R Ist V ein Vektorrum über C mit dim C (V ) = n und ist v 1,, v n eine Bsis des C-Vektorrums V, so ist v 1,, v n, iv 1,, iv n Bsis des R-Vektorrumes V Insbesondere ist dnn dim R (V ) = 2n Beweis Ist v V, so gilt v = n j=1 ( j1 + i j2 )v j mit j1, j2 R Also ist v = n j=1 j1v j + n j=1 j2(iv j ), dh v 1,, v n, iv 1,, iv n ist ein Erzeugendensystem für den R-Vektorrum V Zu zeigen bleibt (1) v 1,, v n, iv 1,, iv n sind R-liner unbhängig Sei hierzu n j=1 j1v j + n j=1 j2(iv j ) = 0, dnn ist n j=1 ( j1 + i j2 )v j = 0 und wegen der C-lineren Unbhängigkeit von v 1,, v n folgt j1 +i j2 = 0 für j = 1,, n Also sind 11,, n1, 12,, n2 lle gleich Null; dies zeigt (1) Sei nun V ein Vektorrum über C Dnn heißt V ein pseudonormierter oder normierter Rum, wenn mn in 331 die Bedingung (ii) für α C n Stelle von α R fordert Ist V ein Vektorrum über C und ein pseudonormierter (bzw normierter) Rum, dnn ist V ein Vektorrum über R, der ein pseudonormierter (bzw normierter) Rum im Sinne von 331 ist Dher knn mn nch 337 indem mn V ls Vektorrum über R uffßt uch in diesem Fll eine Pseudometrik (bzw Metrik) für V gemäß gewinnen d (p, q) = p q Alle metrischen und topologischen Aussgen über Punkte oder Teilmengen von V beziehen sich im folgenden stets uf diese Metrik bzw Topologie Insbesondere ist lso für einen Vektorrum V über C, der pseudonormiert ist, erklärt, wnn f : X 1 V bzw f : D X 2, D V in einem Punkt stetig sind, vorusgesetzt, X 1 und X 2 sind topologische Räume Ist V ein endlich-dimensionler Vektorrum über C, dnn sind, d V dnn uch ein endlich-dimensionler R-Vektorrum ist, je zwei Normen für V äquivlent C 1 [41] 3

4 Kpitel X Differentilgleichungssysteme und Differentilgleichungen n Ordnung V ist dnn stets mit der Topologie versehen, die von irgendeiner dieser Normen herrührt Ist D R, dnn ist gemäß 37 (bzw 38) erklärt, wnn f : D V in t 0 differenzierbr (bzw einseitig differenzierbr) ist, f : [, b] V Riemnn-integrierbr ist Mn ht hierzu jeweils nur V ls endlich-dimensionlen Vektorrum über R ufzufssen: Ist zb V := C = R 2, so ist f = (f 1, f 2 ) = f 1 + if 2 genu dnn in t 0 differenzierbr (bzw einseitig differenzierbr), wenn f 1 und f 2 in t 0 differenzierbr (bzw einseitig differenzierbr) sind Ist f in t 0 differenzierbr, so gilt (siehe 372 (bzw 377 für die einseitige Differenzierbrkeit)): f (t 0 ) = f 1 (t 0) + if 2 (t 0) f = f 1 + if 2 genu dnn über [, b] Riemnn-integrierbr, wenn f 1 und f 2 Riemnn-integrierbr über [, b] sind Ist f Riemnn-integrierbr über [, b], so gilt (siehe 385): f(x) dx = f 1(x) dx + i f 2(x) dx Die Multipliktion mit komplexen Zhlen ermöglicht es, für komplexe pseudonormierte Räume einige zusätzliche Rechenregeln herzuleiten 411 Rechenregeln für komplexe pseudonormierte Räume Sei V ein pseudonormierter C-Vektorrum für (i) und (ii) (i) Seien (v n ) n m eine Folge in V, (λ n ) n m eine Folge in C und v V, λ C Dnn gilt: (v n v, λ n λ) λ n v n λv (ii) Seien D, E X 1, X 1 ein pseudometrischer Rum Dnn gilt: f : D V in p 0 stetig, h : E C in p 0 stetig h f in p 0 stetig Sei V ein endlich-dimensionler normierter Rum für (iii) und (iv) (iii) Es gilt für D, E R: f : D V in t 0 differenzierbr, h : E C in t 0 differenzierbr h f in t 0 differenzierbr mit (h f) (t 0 ) = h (t 0 )f(t 0 ) + h(t 0 )f (t 0 ) Insbesondere ist (λf) (t 0 ) = λf (t 0 ) für λ C (iv) Es gilt: f : [, b] V Riemnn-integrierbr und h : [, b] C Riemnn-integrierbr h f : [, b] V ist Riemnn-integrierbr Insbesondere ist für λ C uch λf integrierbr mit λf(x) dx = λ f(x) dx [41] 4 C 1

5 Normierte Räume über dem Körper der komplexen Zhlen Beweis Sei eine Pseudonorm für V (i) Es ist λ n = α n + iβ n mit α n, β n R und λ = α + iβ Es gilt α n α und β n β (siehe etw 345 mit V := R 2 ) Dmit folgt (siehe 3322(iv)) α n v n αv und β n v n βv, lso uch iβ n v n iβv = i β n v n βv 0, und somit λ n v n = α n v n + iβ n v n αv + iβv = λv (siehe 3322(ii)) (ii) Ist f in p 0 stetig, so ist uch i f in p 0 stetig, wegen f(p) f(p 0 ) = if(p) if(p 0 ) D h = h 1 + ih 2 in p 0 stetig ist, sind h 1, h 2 in p 0 stetig und somit uch h 1 f und h 2 f (siehe 3336(iii)), lso uch h 1 f und ih 2 f Dher ist h 1 f + ih 2 f = h f in p 0 stetig (siehe 3336(i)) (iii) Ist f in t 0 differenzierbr, so folgt us f(t) f(t 0) t t 0 f (t 0 ) uch, dß if(t) if(t 0 ) t t 0 if (t 0 ) Also ist if in t 0 differenzierbr mit (if) (t 0 ) = if (t 0 ) Wegen h f = h 1 f + h 2 i f ist dher uch h f differenzierbr mit (h f) (t 0 ) = (h 1 f) (t 0 ) + (h 2 if) (t 0 ) (benutze 373(iii), (i)) D (h 2 if) (t 0 ) = i(h 2 f) (t 0 ) nch Vorüberlegung ist, folgt die Formel für die Differenzierbrkeit, indem mn 373(iii) uf h 1 und h 2 n Stelle des dortigen h nwendet (iv) Wegen h f = h 1 f + h 2 (i f) sowie der Riemnn-Integrierbrkeit von h 1 und h 2 reicht es (wegen 386 und 384(i)) zu zeigen: Mit f ist uch i f Riemnn-integrierbr Dies folgt mit 383, d us S(f, Z j, ξ j ) f(x) dx die Konvergenz folgt Also gilt ferner uch: S(if, Z j, ξ j ) = i S(f, Z j, ξ j ) (i) i f(x) dx if(x) dx = i f(x) dx Hierus folgt dnn durch Zerlegung von λ = α + iβ in Rel- und Imginärteil uch λf(x) dx = λ f(x) dx 412 Stetigkeits-, Differenzierbrkeits- und Integrierbrkeitskriterien für Abbildungen in einen endlich-dimensionlen C-Vektorrum Seien W ein m-dimensionler C-Vektorrum mit m N und (w 1,, w m ) eine beliebige Bsis von W Sei f : D W Dnn ist f = m j=1 f jw j mit eindeutig bestimmten Funktionen f j : D C und es gilt: (i) Ist D Teilmenge eines pseudometrischen Rumes, so gilt: f ist in p 0 stetig f 1,, f m sind in p 0 stetig C 1 [41] 5

6 Kpitel X Differentilgleichungssysteme und Differentilgleichungen n Ordnung (ii) Ist D R, so gilt: f ist in t 0 differenzierbr f 1,, f m sind in t 0 differenzierbr Gilt eine dieser beiden äquivlenten Aussgen, so ist f (t 0 ) = m j=1 f j (t 0)w j Entsprechendes gilt uch für einseitige Differenzierbrkeit (iii) Ist D := [, b], so gilt: f : [, b] W ist Riemnn-integrierbr f 1,, f m : [, b] C sind Riemnn-integrierbr Gilt eine dieser beiden äquivlenten Aussgen, so ist f(x) dx = m j=1 ( f j(x) dx)w j Beweis D (w 1,, w m ) eine Bsis des C-Vektorrumes W bildet, ist nch einer der obigen einführenden Überlegungen (w 1,, w m, iw 1,, iw m ) eine Bsis des R-Vektorrumes W Zerlegt mn f j : D C in f j = f j1 + if j2 mit f j1, f j2 : D R, so folgen die Behuptungen wegen f = m j=1 (f j1w j + f j2 (iw j )) us den Sätzen über R-Vektorräume: (i) Nch 3414 ist f stetig in p 0 genu dnn, wenn f 11, f 12,, f m1, f m2 stetig in p 0 sind Letzteres ist ber wieder äquivlent zur Stetigkeit von f 1,, f m in p 0 (ii) Nch 372 ist f in t 0 differenzierbr genu dnn, wenn f 11, f 12,, f m1, f m2 differenzierbr in t 0 sind Es gilt dnn f (t 0 ) = m j=1 (f j1 (t 0)w j + f j2 (t 0)(iw j )) = m j=1 (f j1 (t 0) + if j2 (t 0))w j D f j genu dnn in t 0 differenzierbr ist, wenn f j1, f j2 in t 0 differenzierbr sind, und weil dnn f j (t 0) = f j1 (t 0) + i(f j2 (t 0)) ist, folgt die Behuptung Für die einseitige Differenzierbrkeit siehe entsprechend 377 (iii) Nch 385 ist f : [, b] W Riemnn-integrierbr genu dnn, wenn f 11, f 12,, f m1, f m2 : [, b] R Riemnn-integrierbr sind Es gilt dnn f(x) dx = m j=1 ( f j1(x) dx)w j + ( f j2(x) dx)(iw j )) = m j=1 ( f j1(x) dx + i f j2(x) dx)w j D f j genu dnn über [, b] Riemnn-integrierbr ist, wenn f j1 und f j2 Riemnn-integrierbr über [, b] sind, und weil dnn f j(x) dx = f j1(x) dx + i f j2(x) dx ist, folgt die Behuptung [41] 6 C 1

7 Normierte Räume über dem Körper der komplexen Zhlen Die identische Abbildung von C in C bezeichnen wir mit z z : C C ist stetig Also ist uch jedes Polynom P = n j=0 jz j (wobei z 0 := 1) (mit komplexen Koeffizienten j C) stetig: Nch 411(ii) ist zunächst z 2 = z z und dnn z 3 = z z 2 und schließlich z j : C C für j N stetig Dnn sind wiederum nch 411(ii) zunächst j z j, und schließlich uch P stetig (benutze 3336(i)) Für α + iβ C (mit α, β R) definiert mn exp(α + iβ) := exp(α)(cos(β) + i sin(β)) Ist die komplexe Zhl α + iβ reell, so ist β = 0 und wir erhlten exp(α + i0) = exp(α)(cos(0) + i sin(0)) = exp(α) Die neue Definition stimmt lso für α + iβ R mit der lten überein Es ist exp(z) : C C eine Funktion mit folgenden Eigenschften: 413 Eigenschften der komplexen Exponentilfunktion Für α + iβ C (mit α, β R) ist exp(α + iβ) definiert durch Es gilt: exp(α + iβ) := exp(α)(cos(β) + i sin(β)) (i) exp(α + iβ) = exp(α) > 0, lso exp(α + iβ) 0 (ii) Für jedes ϕ R ist exp(iϕ) = cos(ϕ) + i sin(ϕ), lso exp(iϕ) = 1 (iii) exp( + b) = exp() exp(b) für lle, b C (iv) exp( + 2π i n) = exp() für lle n Z und C (v) Die Exponentilfunktion ist lso periodisch mit der Periode 2πi exp : C C ist stetig (vi) Sei λ C Dnn ist R t exp(λt) C differenzierbr mit (exp(λx)) = λexp(λx) An Stelle von exp(α + iβ) schreibt mn uch wieder e α+iβ An Stelle der Funktion exp(z) : C C schreibt mn uch e z Beweis (i) exp(α + iβ) = Def exp(α)(cos(β) + i sin(β)) = exp(α) cos(β) + isin(β) = exp(α) cos 2 β + sin 2 β = exp(α) (ii) Folgt wegen i ϕ = 0+i ϕ (mit 0, ϕ R) us der Definition von exp(0+iϕ) (iii) Seien = 1 + i 2, b = b 1 + ib 2 Dnn gilt: (1) exp( + b) = exp( 1 + b 1 )(cos( 2 + b 2 ) + i sin( 2 + b 2 )) = exp( 1 )exp(b 1 )(cos( 2 )cos(b 2 ) sin( 2 )sin(b 2 ) +isin( 2 )cos(b 2 ) + icos( 2 )sin(b 2 )), C 1 [41] 7

8 Kpitel X Differentilgleichungssysteme und Differentilgleichungen n Ordnung und somit exp() exp(b) = [exp( 1 )(cos( 2 ) + i sin( 2 )][exp(b 1 ) (cos(b 2 ) + i sin(b 2 ))] = exp( 1 )exp(b 1 ) i 2 = 1 (cos( 2 )cos(b 2 )+i sin( 2 )cos(b 2 )+icos( 2 )sin(b 2 ) sin( 2 )sin(b 2 )) = (1) exp( + b) (iv) Ist = 1 + i 2, so gilt: exp(+2πin) = exp( 1 +i( 2 +2πn)) = exp( 1 )(cos( 2 +2πn)+i sin( 2 +2πn)) = exp( 1 )(cos( 2 ) + isin( 2 )) = exp() (v) Mit den stetigen Funktionen x, y : R 2 = C R gilt z = (x, y), lso exp(z) = exp(x)(cos(y) + i sin(y)) = (exp(x)cos(y), exp(x)sin(y)) Hierus folgt die Stetigkeit von exp(z) : R 2 R 2 (vi) Mit λ = α + iβ ist f(t) := exp(λt) = exp(αt)(cos(βt) + i sin(βt)) für t R Also ist nch 372 differenzierbr mit f(t) = (exp(αt)cos(βt), exp(αt)sin(βt)) =: (f 1 (t), f 2 (t)) (1) f (t) = (f 1 (t), f 2 (t)) Die Behuptung folgt nun us: (2) f 1 (t) = αexp(αt)cos(βt) βexp(αt)sin(βt) (3) f 2 (t) = αexp(αt)sin(βt) + βexp(αt)cos(βt) wegen λexp(λt) = (α + iβ)exp(αt)(cos(βt) + i sin(βt)) = αexp(αt)cos(βt) βexp(αt)sin(βt) + iαexp(αt)sin(βt) + iβexp(αt)cos(βt) = (2),(3) f 1 (t) + if 2 (t) = (1) f (t) [41] 8 C 1