Vorkurs Mathematik für Physiker und Materialwissenschaftler

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1 Vorkurs Mthemtik für Physiker un Mterilwissenschftler W. Cssing 27. September 2 Inhltsverzeichnis Komplexe Zhlen 2 Elementre komplexe Funktionen 3 3 Differentilrechnung in einer reellen Vrible 5 4 Integrlrechnung in einer reellen Vriblen 7 4. Prtielle Integrtion Beispiele zur prtiellen Integrtion: Die Substitutionsmethoe Polynome Komplexe Zhlen Eine komlexe Zhl z knn ls Vektor in einer zweiimensionlen Ebene (Gußsche Zhlenebene) rgestellt weren. Zweckmäßiger ist ie folgene Drstellung einer komplexen Zhl z := x + iy () mit er Definition i 2 = un x, y R. Wie bei reellen Zhlen ist eine Aition un eine Multipliktion efiniert: Aition: z + z 2 = (x + x 2 ) + i(y + y 2 ) = z 2 + z, (2) Multipliktion: z z 2 = (x x 2 y y 2 ) + i(x y 2 + y x 2 ) = z 2 z. (3) Dbei entsteht ie Multipliktionsformel urch formles Ausmultiplizieren un Berücksichtigung er Definition i 2 =. Sowohl ie Aition ls uch ie Multipliktion sin kommuttiv,.h. es kommt nicht uf ie Reihenfolge er Rechenopertionen n. Zusätzlich ist ie komplexe Konjugtion z = z = x iy (4)

2 ls Spiegelung n er x-achse efiniert. Mit er Abbilung (4) läßt sich er Betrg er komplexen Zhl z = z z = x 2 + y 2 (5) ermitteln. Der Betrg entspricht in er Gußschen em Abstn es Punktes (x, y) vom Ursprung. Mit Hilfe es Betrges läßt sich für z + i := s Inverse einer komplexen Zhl berechnen: Inverse z = z = z zz = x x 2 + y 2 i y x 2 + y 2. (6) Aufgrun es Vektorchrkters einer komplexen Zhl in er Gußschen Zhlenebene knn mn lterntiv uch ie Polrrstellung z = r[cos(φ) + i sin(φ)] (7) verwenen. Dbei ist r = z er Betrg er kopmlexen Zhl un φ er Winkel, er urch cos φ = x/ z un sin φ = y/ z bestimmt wir. Dieser Winkel heißt uch Argument er komplexen Zhl. Definiert mn für φ en Bereich [, 2π[, so ist er s Argument eineutig urch ( ) rccos x z flls y, φ = rg z = ( ) 2π rccos x (8) flls y < gegeben. Mn unterscheiet bei einer komplexen Zhl en Relteil z Re z = x = r cos(φ), (9) welcher er Projektion uf ie x-achse entspricht, un en Imginärteil welcher mit er Projektion uf ie y-achse zu ientifizieren ist. Im z = y = r sin(φ), () Die Multipliktion in Polrrstellung entspricht er reellen Multipliktion er Längen un einer Aition er Winkel : z z 2 = r r 2 [cos(φ + φ 2 ) + i sin(φ + φ 2 )] () mit r j = z j un cos(φ j ) = x j / z j un sin(φ j ) = y j / z j. Dies zeigt mn urch Ausmultiplizieren un Anwenung er Aitionstheoreme er trigonometrischen Funktionen (vgl. ie Übungen): cos(φ + φ 2 ) = cos(φ ) cos(φ 2 ) sin(φ ) sin(φ 2 ), sin(φ + φ 2 ) = sin(φ ) cos(φ 2 ) + cos(φ ) sin(φ 2 ). (2) Die n te Potenz (für n N) einer komplexen Zhl z = r[cos(φ) + i sin(φ)] lutet somit z n = r n [cos(nφ) + i sin(nφ)]. (3) Anlog knn mn für z ie n te Wurzel ziehen, z.b. lutet eine Qurtwurzel [ ( ) ( )] φ φ z = r cos + i sin. (4) 2 2 Wie schon im Reellen ist llerings s Wurzelziehen nicht eineutig! 2

3 Beispiele zur Rechnung mit komplexen Zhlen: Im folgenen seien x j, y j R. i) z z 2 = x +iy x 2 +iy 2 = x +iy x 2 +iy 2 x 2 iy 2 x 2 iy 2 = (x x 2 +y y 2 )+i(y x 2 x y 2 ) x 2 2 +y2 2 ii) 2 (z + z ) = 2 (x + x) = x = Re z iii) 2i (z z ) = 2iy 2i = y = Im z iv) zzz z = zz zz = z 4 = r 4 2 Elementre komplexe Funktionen D Aition un Multipliktion uf en komplexen Zhlen efiniert sin, knn mn folgene Summe bilen (mit! = ): Die enstehene komplexe Funktion + z + z2 2 + z3 3! + z4 4! + z5 5! + z6 6! + z7 7! + z8 8! + = n= z n. (5) exp(z) = e z = Re exp(z) + i Im exp(z) = n= z n (6) wir ls Exponentilfunktion bezeichnet un ist für lle komplexen Zhlen z efiniert. Die Exponentilfunktion (6) ht ie Eigenschft exp(z + z 2 ) = = (z + z 2 ) n = z n ) ( n= ( n= k= n= ) z k 2 k! n k= k!(n k)! zk z n k 2 = = exp(z ) exp(z 2 ). (7) Für z = iφ mit φ R läßt sie sich leicht ufteilen in Rel- un Imginärteil (iφ) n n= = + iφ φ2 2 iφ3 3! + φ4 4! = ( ) n φ 2n (2n)! n= + i n= ( ) n φ 2n+. (8) (2n + )! D z = exp(iφ) eine komplexe Zhl vom Betrg = z z ist,.h. für φ us em Intervll [, 2π[ gere en Einheitskreis rstellt, gilt Re exp(iφ) = 2 [exp(iφ) + exp( iφ)] = cos φ = n= Im exp(iφ) = 2i [exp(iφ) exp( iφ)] = sin φ = n= für ie Reihenentwicklung un Symmetrie von cos φ un sin φ. ( ) n φ 2n (2n)! ( ) n φ 2n+ (2n + )! = cos( φ) (9) = sin( φ) (2) 3

4 Weitere Folgerungen: un n e := exp() = = n= n= e := exp() = + n=, n =, e iφ = exp(iφ) = cos(φ) + i sin(φ) (2) cos 2 φ + sin 2 φ = exp(iφ) exp( iφ) =. (22) Die Polrrstellung er komplexen Zhlen läßt sich folglich uch in er Form z = r[cos(φ) + i sin(φ)] = r exp(iφ) (23) schreiben. Dmit wir ie Multipliktion gegenüber er Drstellung mit trigonometrischen Funktionen vereinfcht: z z 2 = r r 2 e i(φ +φ 2 ) (24) mit r j = z j, cos(φ j ) = x j / z j, sin(φ j ) = y j / z j. Es ergibt sich rus sofort uch (). Eine n-te Wurzel von z berechnet sich ls n z = n r e iφ/n (25) für z. Diese ist ber nicht eineutig bestimmt, enn ie Gleichung w n = z (26) besitzt für w gere n verschieene Lösungen. Dzu bemerken wir, ß mit φ = rg z [, 2π[ für lle k Z uch r exp(iφ + 2πik) = r exp(iφ) exp(2πik) = r exp(iφ)[cos(2πk) + i sin(2πk)] = r exp(iφ) = z (27) ist. Dmit sin neben (25) uch lle Zhlen w k = n ( r exp i φ + 2πk ) n Lösungen er Gleichung (26). Dbei ist efinitionsgemäß ie n-te Wurzel einer reellen positiven Zhl ls ie positive Lösung er entsprechenen Gleichung eineutig efiniert. Voneinner verschieene Lösungen er Form (28) gibt es ber nur für k {,,..., (n )}. Für k = n erhält mn wieer ie Lösung w usw. Im Spezilfll z = ist offenbr r = un φ =. Dnn ergeben sich ie n-ten Einheitswurzeln gemäß (28) zu ( ) 2πik w k = exp mit k {,, 2,..., (n )}. (29) n In er Gußschen Zhlenebene bilen sie ie uf em Einheitskreis gelegenen Eckpunkte eines regelmäßigen n-ecks, wobei einer er Eckpunkte uf er x-achse bei z = zu liegen kommt. Für n = 2 sin ie beien Wurzeln für beliebiges w gemäß (28) urch w = z = ( ) iφ r exp, 2 w = ( ) iφ + 2πi r exp = ( ) iφ r exp exp(iπ) = ( ) (3) iφ r exp = w gegeben, enn es ist exp(iπ) = cos(π) + i sin(π) =. 4 (28)

5 Beispielufgben Im folgenen seien, b R, n Z. i) Zeigen Sie in er Polrrstellung: i = e iπ/2 = e i(π/2+n2π). Lösung: e iπ/2 = e i(π/2+n2π) = e iπ/2 e i2πn = cos(π/2) + i sin(π/2) = + i = i. ii) Zeigen Sie: cos( + b) = cos() cos(b) sin() sin(b) Lösung: Setze ein cos( + b) = (e i(+b) + e i(+b) )/2 sowie cos() = (e i + e i )/2, cos(b) = (e ib + e ib )/2 un zeige ie Ientität urch Ausmultiplizieren. iii) Zeigen Sie: e ±iπ =. Lösung: e ±iπ = cos(±π) + i sin(±π) = + i =. 3 Differentilrechnung in einer reellen Vrible Sei x eine reelle kontinuierliche Vrible un f(x), g(x) beliebige Funktionen. Dnn ist ie Ableitung von f(x) urch x f(x) = f f(x + x) f(x) (x) = lim x x (3) efiniert. Flls er Limes x von (3) existiert, heißt f ifferenzierbr im Punkt x. Es gilt weiterhin für ie Summe von zwei ifferenzierbren Funktionen [f(x) + g(x)] = x x f(x) + g(x). (32) x Für s Proukt zweier Funktionen gilt ie Prouktregel [ ] [ ] x [f(x)g(x)] = x f(x) g(x) + f(x) x g(x) (33) un für einen Quotienten ie Quotientenregel x [ ] f(x) g(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g 2. (34) (x) Für ie Hintereinnerusführung von Abbilungen f[g(x)],.h. bile erst x b uf g(x) un sonn s Ergebnis g uf f(g), läßt sich ie Kettenregel [ [ ] x f[g(x)] = g ]g=g(x) f(g) x g(x) = f g g x (35) nwenen. Höhere Ableitungen er Ornung n {2, 3, 4,...} sin urch n x n f(x) = [ ] n f(x) x xn (36) efiniert. 5

6 Beispiele i) x x2 = 2x. ii) iii) iv) x x = x für R, x >. x ex = x n= xn = n= n xn = m= m! xm = e x. x eix = ie ix = i(cos x + i sin x) = sin x + i cos x = x cos x + i x sin x x cos x = sin x, x sin x = cos x Für en ntürlichen Logrithmus, efiniert ls Umkehrfunktion von e x urch folgt mit z = e x x x = = x ln (ex ) = Dmit hben wir ie Ableitung es Logrithmus zu bestimmt. Beispiele zur Differentition ln(e x ) = e ln x = x, (37) z ln(z) = z Berechnen Sie ie Ableitungen er Funktionen ( j, b j, φ R): i) f(x) = x + 2 x x x 2 Lösung: f (x) = x x x ii) f(x) = tn x = sin x cos x Lösung:. [ ] ( ) [ ] z z ln(z) = x z ln(z) z =. (38) für z > (39) f (x) = cos x sin x( sin x) cos x cos 2 = cos2 (x) (x) cos 2 (x) + sin2 (x) cos 2 (x) = cos 2 (x) iii) f(x) = cos 3 (x) f (x) = 3 cos 2 (x) sin(x). iv) f(x) = x 2 e x2 f (x) = (2x 2x 3 )e x2. v) Beweisen Sie ie Quotientenregel: x [ f(x) g(x) ] = f (x)g(x) f(x)g (x) g 2. (4) (x) Lösung: Schreibe f(x) g(x) = f(x)[g(x)] un nutze ie Proukt- un ie Kettenregel: z {f(x)[g(x)] } = f (x)[g(x) ] f(x)g (x)[g(x)] 2 = f (x)g(x) f(x)g (x) g 2. (4) (x) 6

7 4 Integrlrechnung in einer reellen Vriblen Ds Integrl einer Funktion f(x) über s Intervl [, b] ist efiniert ls: n f(x) x = lim f(x i )x (42) n i= mit x = (b )/n un x i = (i )x +. Die Funktion f heißt integrbel im Intervl [, b], flls er Limes in (42) existiert. Sei F (x) ie urch F (x) = f(x) efinierte Stmmfunktion zu f(x). Dnn gilt: Beispiele i) f(x) = x λ F (x) = λ+ xλ+ + C ii) f(x) = sin(x) F (x) = cos(x) + C iii) f(x) = x = /x F (x) = ln(x) + C iv) f(x) = ln(x) F (x) = x[ln(x) ] + C v) f(x) = e x F (x) = e x + C x f(x) = F (b) F () =: F (x) mit einer (hier reellen) beliebigen Konstnten C. Aitivität es Integrls: b. (43) für b c. c c x f(x) + x f(x) = x f(x) (44) b 4. Prtielle Integrtion Die prtielle Integrtion folgt us er Prouktregel für ie Ableitung [f(x)g(x)] = f (x)g(x)+ f(x)g (x) : oer x [f(x)g(x)] = [f(x)g(x)] b = x f (x)g(x) = [f(x)g(x)] x f (x)g(x) + x f(x)g (x) (45) b x f(x)g (x). (46) 7

8 4.2 Beispiele zur prtiellen Integrtion: i) ii) iii). π/2 x x sin(x) Setze f (x) = sin(x) un g(x) = x. Dnn gilt nch Integrtion: f(x) = cos(x), g (x) =, lso: π/2 x x sin(x) = [ x cos(x)] x xe x = x e x mit f (x) = e x un g(x) = x. π/2 π/2 x( cos(x)) = sin(x) π/2 =. x e x = + x e x = 2 e x = 2 x sin(x)e x = cos(x)e x = x ( cos(x))( )e x x cos(x)e x = [sin(x)e x = 2 x sin(x)e x ( + 2 ) mit f (x) = sin(x) un g(x) = e x. x sin(x)e x = x sin(x)e x = /( + 2 ) x sin(x)( )e x ] 4.3 Die Substitutionsmethoe Die Substitutionsmethoe beruht uf er Kettenregel er Differentition: x f[g(x)] = g(b) g() z z f(z) (47) mit z = g(x) un z = g (x) = g(x) x oer (in lterntiver Form) x g (x)f[g(x)] = x g g(b) x f[g(x)] = g f(g). (48) g() 8

9 Beispiele für ie Anwenung er Substitutionsmethoe Im folgenen seien, b R. i) 2 x x x 2 + =? Setze z = x 2 +. Dnn ist z = 2x = z/x oer x = z/(2x). Die Grenzen sin: z = z() = 2, z b = z(2) = 5. Dnn gilt: 2 ii) für b > ist x x x 2 + = x zb z z 2x x z = 5 z z = z3/2 = 2 3 ( 25 8). (b +) x + = u u = ln(u) (b +) für u = x + u = x, u() =, u(b) = b + iii) 3 x + x = 4 u u = 2 3 u3/2 4 = 2 3 (43/2 ) = 4 3 für u = x + u = x, u() =, u(3) = 4. = ln(b + ) iv) x sinh(x) cosh m (x) = cosh(b) cosh() u u m = m + u(m+) cosh(b) [ ] cosh (m+) (b) m + für u = cosh(x) u = x sinh(x) v) für b < π/2: x tn(x) = mit u = cos(x) u = x sin(x) x sin(x) cos(b) cos(x) = u cos() u = ln(u) cos(b) = ln[cos(b)] vi) π cos(π) x sin(x) cos 2 (x) = u u 2 = cos() 3 u3 = 2 3 für u = cos(x) u = x sin(x) vii) b > 2: 2 x 3x x 2 2 = 3 (b 2 2) 2 u = 3u /2 (b 2 2) u = 3(b 2 2) /2 mit u = x 2 2 u = 2x x, u( 2) =, u(b) = b

10 5 Polynome Ein Polynom ist eine enliche Reihe in x n,.h. n f(x) = i x i (49) i= mit (im llgemeinenen) komplexen Koeffizienten i. Die Ornung es Polynoms ist n N,.h. ie höchste Potenz mit nicht verschwinenem Koeffizienten n. Von besonerem Interesse in vielen Problemen er Physik un Mthemtik sin ie Nullstellen von f(x): Der Funmentlstz er Algebr sgt us, ß ein Polynom er Ornung n genu n Nullstellen z i (i =,.., n) in en komplexen Zhlen ht. Diese Aussge führt uf ie explizite Drstellung f(x) = n (x z )(x z 2 ) (x z n ) = n wobei ie gleiche Nullstelle z i mehrfch uftreten knn. n i= (x z i ), (5) Beispiel. f(x) = (x ) 2 (x i) 3 (x i 2) 2 Ds Polynom ist von er Ornung n = 7, ht lso 7 Nullstellen in en komplexen Zhlen. Hier treten ie Nullstellen z /2 = zweifch, ie Nullstelle z 3/4/5 = i reifch un ie Nullstelle z 6/7 = i 2 zweifch uf. Berechnung er Nullstellen von f(x) i) f(x) = x z = ii) f(x) = x 2 + px + q = Hier führt ie Methoe er qurtischen Ergänzung zum Ziel. Dzu bemerken wir, ß (x + p/2) 2 = x 2 + px + p 2 /4 (binomische Formel!) ist,.h. x 2 + px + q = ( x + p ) 2 (x p q + p ) 2 = p2 2 4 q. Drus ergeben sich urch Wurzelziehen ie beien Lösungen x /2 = p 2 ± p 2 4 q. Flls p, q R, sin ie Lösungen entweer beie reell flls p 2 /4 q ist. Flls q = p / 4, hben wir ie oppelte Nullstelle x = x 2. Für p 2 /4 q < hben wir zwei einfche zueinner konjugiert komplexe Nullstellen.

11 iii) Es ist ein berühmtes Resultt er Algebr, ß i.. für Polynome bis einschließlich 4. Gres geschlossene Lösungsformeln ähnlich er Lösungsformel für ie qurtischen Gleichung existieren. Diese sin ber sehr unübersichtlich. Dher ist es i.. sinnvoller, solche Polynomgleichungen numerisch zu lösen. In einfchen Fällen können wir eine Nullstelle z errten un nn einen Linerfktor x z usklmmern. Der nere Fktor ist nn ein Polynom von einem um geringeren Gr, un wir können versuchen, ie übrigen Nullstellen ieses Polynoms zu berechnen usw.