Brückenkurs MATHEMATIK

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1 Brückenkurs MATHEMATIK Professor Dr. rer. nt. Bernd Bumnn Professor Dr. rer. nt. Ulrich Stein Hochschule für Angewndte Wissenschften Hmburg 5. März 008

2 VO R B E M E R K U N G E N Liebe Studentin, lieber Student, die ersten Semester des Studiums, für ds Sie sich entschieden hben, sind durch einen reltiv hohen Anteil von Mthemtik-Vorlesungen geprägt. Dies ist begründet in der Ttsche, dß in prktisch llen technischen Fächern Mthemtik-Kenntnisse benötigt werden. Vorussetzung zum Verständnis der Mthemtik- und nderer Vorlesungen ist ein gewisses Mindestmß n Rechentechnik und die Kenntnis einiger elementrer mthemtischer Begriffe. Ds (nch unseren Vorstellungen) Wichtigste ist im vorliegenden Kurs zusmmengestellt. Sie sollten prüfen, inwieweit Sie die folgenden Aufgben lösen können. Wenn Sie mindestens 90% der Aufgben sicher beherrschen, knn uf die Teilnhme m Brückenkurs Mthemtik guten Gewissens verzichtet werden. Andernflls rten wir dringend m Brückenkurs teilzunehmen, dmit Sie einen guten Einstieg in Ihr Studium hben. In einigen Vorlesungen werden Sie von Anfng n mit Differentil- und Integrlrechnung konfrontiert werden. Um Ihnen eine Hilfestellung zu geben, ist dem Skript ein Kpitel mit Rezepten zu diesen Themen beigefügt. Sollte Ihnen die Differentil- und Integrlrechnung nicht geläufig sein, gerten Sie nicht in Pnik. Diese Gebiete werden im Rhmen der Mthemtik-Vorlesungen usführlich behndelt - nur eben nicht gleich zu Beginn. Ds vorliegende Skript ist ursprünglich in Zusmmenrbeit mit Prof. Dr. U. Bnnier uf der Bsis einer Aufgbensmmlung von Prof. Dr. W. Reincke entstnden. Nchdem es forml etws in die Jhre gekommen wr, hben wir die ohnehin notwendige Überrbeitung zu einigen inhltlichen Änderungen genützt. Erfhrungsgemäß hben sich durch die Änderungen Fehler eingeschlichen. Flls Sie Fehler finden oder Verbesserungsvorschläge hben, lssen Sie es uns bitte wissen! Dnk gebührt in diesem Zusmmenhng Herrn B. Costrd und Herrn S. Montrone. Wir wünschen Ihnen einen guten Strt ins Studium! Hmburg, im Frühjhr 008 B. Bumnn (bumnn@rzbt.hw-hmburg.de) U. Stein (stein@rzbt.hw-hmburg.de)

3 I N H A LT S V E R Z E I C H N I S 1 brüche, potenzen und wurzeln Rechenreglen 4 1. Zhlen ls Zehnerpotenzen 6 gleichungen 8.1 Linere Gleichungen mit einer Unbeknnten 8. Qurdrtische Gleichungen 9.3 Kubische Gleichungen 10.4 Biqudrtische Gleichungen 10.5 Wurzelgleichungen 10.6 Linere Gleichungen mit zwei Unbeknnten 11 3 trigonometrische funktionen Winkel 1 3. Trigonometrische Funktionen und ihre Umkehrfunktionen Polrkoordinten Sätze für Sinus und Kosinus 15 4 exponentilfunktion und logrithmus 17 5 einige grundlgen der differentil- und integrlrechnung Ableitung Unbestimmte Integrtion 5.3 Bestimmtes Integrl 6 summenzeichen 4 verschiedenes 6 b lösungen 7 3

4 1 B R Ü C H E, P O T E N Z E N U N D W U R Z E L N 1.1 rechenreglen Rechenregeln für Brüche b = k bk b ± c d ± bc = d bd b c d = c bd b c d = b d c = d bc wenn k = 0 (Kürzen) (Addition ) (Multipliktion) (Division) Rechenregeln für Potenzen Definition: n :=... (n Fktoren) heißt n-te Potenz von. heißt Bsis und n heißt Exponent. Festlegung: 0 = 1 Im Folgenden sei n, m N 1. n m = n+m (Multipliktion von Potenzen mit gleicher Bsis). m n = m n wenn = 0 (Division von Potenzen mit gleicher Bsis) Hiermit und mit 0 = 1 folgt: n = 0 n = 0 n = 1 n 3. ( m ) n = ( n ) m = mn (Potenzieren von Potenzen) 4. n b n = (b) n (Multipliktion von Potenzen bei gleichen Exponenten) 5. n ( ) n b n = (Division von Potenzen bei gleichen Exponenten) b Im Flle > 0 und b > 0 gelten diese Potenzregeln uch für m, n R. Es hndelt sich hier eigentlich um zwei Gleichungen, eine mit dem +-Zeichen, eine mit dem -Zeichen N bezeichnet die Menge der ntürlichen Zhlen, lso die Zhlen 1,, 3,... R bezeichnet die Menge der reellen Zhlen 4

5 Rechenregeln für Wurzeln Definition: Ist x n = für 0, dnn heißt x die n te Wurzel us. heißt Rdiknt, n Wurzelexponent. Schreibweisen: x = n (Wurzelschreibweise) oder x = 1/n (exponentielle Schreibweise). Im Spezilfll n = (Qudrtwurzel) lässt mn den Wurzelexponenten gewöhnlich weg, lso x = =. 1.. n m = m/n = ( n ) m m n ( m = 1/n = 1/n) 1/m = 1/mn = mn 3. n n b = 1/n b 1/n = (b) 1/n = n b 4. n n b = n b für b > 0 und m, n N Binomische Formeln 1. ( ± b) = ± b + b. ( + b)( b) = b Achtung, us der ersten Binomischen Formel sehen Sie, dss ( ± b) = ± b ist. Anlog ist ± b = ± b. Diese Ausdrücke dürfen nicht gleichgesetzt werden. Es sind die häufigsten Anfängerfehler. Merken Sie sich bitte unbedingt diese Fehlerquelle und vermeiden Sie sie. Aufgbe Vereinfchen Sie: ) b) b Aufgbe Vereinfchen Sie: c) b + b b ) ( ) 1 3 b) 3 9b 3 0b c) 1x y 3 8z 4y z 3x 5 : 6z 3 y 4 z d) 4x m y 3m 7z m n : 5zm+n x 3 m 14y 1 m e) (x y )(x + y ) f) (u + v) : u v g) 3z x y : 5 x + y u + v 5

6 Aufgbe Berechnen Sie ohne Tschenrechner: ) b) 5 c) ( b + ) b d) 16 7/4 e) 8 /3 4 5/ f) (8 4) 1/3 Aufgbe Schreiben Sie in die exponentielle Schreibweise um: ) 5 3x + ) 3 (3x + ) 7 c) 1 ( d) (3x + ) 4) 3 1 ( (3x + ) 3) 5 Aufgbe Geben Sie die Ergebnisse in Wurzelform n, z. B. 6 5 = ( 6 ) 5. ) 3/5 1/15 b) /5 5 3 c) ( 3/4) /3 d) 3 : zhlen ls zehnerpotenzen Beispiele 4567 = 4, = 4, , 89 = 5, = 5, Bei der Potenzschreibweise von Zhlen stellt mn diese ls Produkt zweier Zhlen dr. Die erste Zhl ist eine Zhl zwischen 1, 0 und 9, , die zweite eine Potenz von Zehn. Aufgbe Schreiben Sie ls Zehnerpotenzen: ) b) 0, Aufgbe 1... Schreiben Sie ls Zehnerpotenzen und berechnen Sie: 0, 51 0, 08 0, ) 00 3 b) 0, 004 0, Aufgbe In der Prxis ist mn ständig mit Aufgben dieser Art konfrontiert: ) Wie viele Kubikzentimeter enthält ein Kubikmeter? b) ( ) Drücken Sie den Gleitmodul von Sthl G 80 kn in N mm m =: P us. Achtung, häufig hört mn die Behuptung, dss für die Genuigkeit eines Messergebnisses die Anzhl der Nchkommstellen entscheidend sei. Dies ist ber flsch oder zumindest unpräzise usgedrückt. Beispielsweise ist die Genuigkeit der folgenden Längenngben gleich, obwohl die Zhl der Nchkommstellen sehr unterschiedlich ist: L =, 10 m = 10 cm = 0, 0010 km = 100 mm. 6

7 Für die Genuigkeit entscheidend ist die Anzhl der signifiknten Ziffern (im Beispiel sind ds die, die 1 und die nch der 1 folgende erste 0. Die zweite 0 in der Millimeterngbe ist nicht signifiknt, sondern dient nur dzu nzuzeigen, wo ds Komm hingehört. Wie mn im Beispiel sieht, ist hierbei eine signifiknte Null nicht von einer nichsignifiknten Null zu unterscheiden. Eine eindeutige Schreibweise liefert die Dezimlschreibweise: L =, mm. Schreibt mn nämlich L =, mm, so drückt mn dmit us, dss die Angbe um eine Stelle genuer ist ls im ersten Fll. 7

8 G L E I C H U N G E N.1 linere gleichungen mit einer unbeknnten Allgemeine Form einer lineren Gleichung mit einer Unbeknnten (hier x): x + b = 0. Lösungsstrtegie: Umformen nch x =... (Motto: Ws stört muß weg! ) Beispiel: 3x 18 = x x, ds x uf der rechten Seite stört 4x 18 = 6 4x = , die 18 uf der linken Seite stört : 4, der Fktor 4 uf der linken Seite muss weg x = 6 die Gleichung ht die gewünschte Form x =... Aufgbe.1.1. Lösen Sie die folgenden Gleichungen: ) x 3 = 8 b) 4 7x = 3 c) 19 x = 5x 16 d) 7 6x 11 4x 5 x + 1 = 8 e) 5x (3 + x) = 9 f) x/5 + 8 = 13 g) 4x 3(0 x) = 6x 7(11 x) + 11 h) x/ + x/3 = 5 i) x/3 + 1/6 = x/ j) x 3x/ + 9 = x/ x/6 6x/5 + 1/5 Aufgbe.1.. Lösen Sie die folgenden Gleichungen nch x uf., b, c, etc. sind dbei beliebige Zhlen. ) x + b = c b) (x b) = c c) mx + nx = d) ( + b)x = m cx e) ( x)(1 x) = x 1 f) ( b)(x c) ( + b)(c + x) + (b + c) = 0 g) /x b/x = c h) i) + b c + x = b c x j) bx c x b + x = cx b c b x = + b b 8

9 . qurdrtische gleichungen Allgemeine Form: x + bx + c = 0 Normlform: x + px + q = 0 (Die Normlform erhält mn us der llgemeinen Form, indem mn durch dividiert.) Lösung durch qudrtische Ergänzung: x + px + q = 0 x + px = q x + p x = q x + p x + ( p ) = ( p ) q Wendet mn uf die linke Seite die 1. Binomische Formel n erhält mn ( x + p ) ( p ) = q ( x + p ) ( p ) = ± q d.h. ds Wurzelziehen führt uf zwei unterschiedliche Lösungen (eine für + und eine für ), flls die rechte Seite ungleich Null ist. Umformen ergibt schließlich die pq Formel für die beiden Lösungen x 1, x = x 1, = p ± ( p ) q Beispiel: x 4x + 6 = 0 : ( ) (die stört) x + x 3 = 0 (Normlform) x + x = 3 x + x = 3 x + 1x = 3 x + 1x + 1 = (x + 1) = 4 x + 1 = ± x = x 1, = 1 ± lso x 1 = 1 und x = 3 Aufgbe..1. Lösen Sie die folgenden qudrtischen Gleichungen: ) 1 x + x 3 x 3 = 0 b) 1 x x 3 1 x 1 = 0 9

10 .3 kubische gleichungen Allgemeine Form: x 3 + bx + cx + d = 0 Normlform: x 3 + px + qx + r = 0 Spezilfll (r = 0): x 3 + px + qx = x(x + px + q) = 0 Für kubische Gleichungen existieren zwr llgemeine Lösungsverfhren, die ber in der Anwendung recht komplex sind und dher hier nicht behndelt werden. Für den Spezilfll findet mn hingegen die Lösungen sehr leicht: Die erste Lösung ist x = x 1 = 0. Zwei weitere Lösungen erhält mn durch Lösen der qudrtischen Gleichung x + px + q = 0. Aufgbe.3.1. Lösen Sie die folgenden kubischen Gleichungen: ) x 3 x 15x = 0 b) x 3 4x + 3x = 0.4 biqudrtische gleichungen Allgemeine Form: x 4 + bx + c = 0 Normlform: x 4 + px + q = 0 Mit der Substitution z = x erhält mn die qudrtische Gleichung z + pz + q = 0 mit den Lösungen z 1, = p ± ( p ) q. Hierus erhält mn zwei neue Gleichungen für x: x 1, = ± p + ( p ) q und x3,4 = ± p ( p ) q. Offenbr liefern diese Ausdrücke zwei ml zwei Ergebnisse, so dss die ursprüngliche Gleichung vier Lösungen besitzt. Aufgbe.4.1. Lösen Sie die folgende biqudrtische Gleichung: x 4 10x + 9 = 0.5 wurzelgleichungen Beispiel: x + x = 0 x = x x = x Lösungen: x x = 0 x( x) = 0 x 1 = 0, x = Durch Einsetzen der beiden Lösungen in die ursprüngliche Wurzelgleichung sieht mn, dss nur x 1 = 0 eine Lösung ist. x ist keine Lösung, denn + = 4 = 0. 10

11 Achtung, bei Wurzelgleichungen unbedingt Probe durchführen! Aufgbe.5.1. Lösen Sie die folgenden Wurzelgleichungen: ) 7 + x = 1 b) 56 x = x c) x + 5 4x = 0 d) 9x = 5x 1 4x linere gleichungen mit zwei unbeknnten Allgemeine Form für die Unbeknnten x und y: x + by = c dx + ey = f Lösen Sie eine der Gleichungen nch y uf. Setzen Sie ds Ergebnis für y in die ndere Gleichung ein. Sie erhlten eine Gleichung mit der Unbeknnten x. Lösen Sie diese nch x uf. Setzen Sie ds Ergebnis für x in eine der Ausgngsgleichungen ein. Sie erhlten eine Gleichung für y. Bestimmen Sie y. Beispiel: x + y = 0, x y = 1 Auflösen der ersten Gleichung nch y ergibt y = x. Einsetzen in zweite Gleichung führt uf x ( x) = 1, lso x = 1, d. h. x = 1/. Einsetzen in erste Gleichung ergibt schließlich y = 1/. Aufgbe.6.1. Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme: ) 4x + 7y = 7 8x 33y = 115 b) x + 3y x y 7x 13 3y 5 = 8 = 4 11

12 3 T R I G O N O M E T R I S C H E F U N K T I O N E N 3.1 winkel Teilt mn die Bogenlänge s eines Kreisbogens (vgl. Abb. 3.1) durch den zugehörigen Rdius r, so erhält mn eine dimensionslose Zhl α. Für einen ähnlichen Kreisbogen zu einem nderen Rdius r und dher nderer Bogenlänge s ht ds Verhältnis s /r den gleichen Wert α. Dher ist es nhe liegend, die Zhl α ls Winkel des Kreisbogens zu bezeichnen. Um nzuzeigen, dss es sich bei dieser Zhl um einen Winkel hndelt, schreibt mn hinter die Zhl ds Symbol rd, lies: Rdint. Mn sgt, der Winkel α wird im Bogenmß ngegeben. Achtung, rd ist keine Einheit, denn α ist ds Verhältnis zweier Strecken und dher einheitenlos! Auf Tschenrechnern bedeutet die Anzeige DEG üblicherweise, dss Winkel im Grd eingeben werden müssen, wohingegen bei der Anzeige von GRD die Eingbe von Winkeln in Neugrd (rechter Winkel entspricht 100 Neugrd) erforderlich ist. Erscheint hingegen RAD im Disply müssen Winkel im Bogenmß ngegeben werden. Abbildung 3.1: Zur Definition des Winkels α im Bogenmß Umrechnungsformeln In den beiden folgenden Formeln bezeichnet β einen Winkel im Grdmß und α den zugehörigen Winkel im Bogenmß. α = π rd β 180 bzw. β = 180 α π rd Anlog der Untereinteilung einer Zeitstunde in 60 Minuten und diese wiederum in 60 Sekunden, teilt mn ds Grd in 60 Winkelminuten und diese in 60 Winkelsekunden ein. 1

13 mit π = 3, Aufgbe Ergänzen Sie die Tbelle: α α rd π/ 3. trigonometrische funktionen und ihre umkehrfunktionen Definition: Die benötigten Strecken findet mn in Abbildung 3.. Nme Funktion Umkehrfunktion Sinus sin α = c rcsin ( ) c = α ( ) Cosinus cos α = b c rccos bc = α Tngens tn α = b rctn ( ) b = α Cotngens cot α = b wird kum benötigt Abbildung 3.: Zur Definition der trigonometrischen Funktionen. Die dem Winkel α gegenüberliegende Seite des rechtwinkligen Dreiecks heißt Gegenkthete, die kürzere der beiden den Winkel einschließenden Seiten heißt Ankthete, die längere Hypothenuse. Die Umkehrfunktionen heißen Arkus-Funktionen. Auf dem Tschenrechner werden sie häufig mit sin 1 usw. bezeichnet. Aufgbe Berechnen Sie sin(38 49 ). Aufgbe 3... Es ist tn α = 0, 619. Geben Sie α in Grd, Minuten und Sekunden und im Bogenmß n. Gleiche Aufgbe für cot α = 1, 546. Aufgbe Mchen Sie sich klr, dss tn α = sin α cos α und cot α = 1 tn α gilt. Aufgbe Für spezielle Winkel lssen sich die trigonometrischen Funktionen leicht berechnen. Z. B. gilt für α = 45 : c = + = 13

14 Dher gilt c = und folglich sin 45 = = 1. Ergänzen Sie die Tbelle, indem Sie ähnliche Überlegungen nstellen (beginnen Sie dmit, dss Sie ein gleichseitiges Dreieck mit einer Winkelhlbierenden zeichnen): sin α 1 cos α tn α Aufgbe Gegeben seien α = 60, β = α/ und r = k (vgl. Abb. 3.3). Vriiert mn den Prmeter k, so ändern sich die Werte von, b und c gemäß = λk, b = λk und c = λk. Berechnen Sie die Werte von λ. Abbildung 3.3: Zu Aufgbe polrkoordinten Definition: Zur Kennzeichnung eines Punktes in der Ebene benötigt mn zwei Zhlen. Häufig verwendet mn die krtesischen Koordinten x und y (vgl. Abb. 3.4). In mnchen Fällen ist es ber zweckmäßiger, die Lge des Punktes durch Angbe des Winkels ϕ zwischen der Gerden, die den Koordintenursprung mit dem Punkt verbindet, und der x-achse und dem Abstnd r des Punktes vom Koordintenursprung nzugeben. Mn nennt r und ϕ Polrkoordinten. Umrechnungsformeln Gegeben x und y, gesucht r und ϕ: ( y ) r = x + y und ϕ = rctn x 14

15 Abbildung 3.4: Zur Definition von krtesischen und Polrkoordinten. Gegeben r und ϕ, gesucht x und y: x = r cos ϕ und y = r sin ϕ Aufgbe Gegeben seien die krtesischen Koordinten (x, y) einiger Punkte. Berechnen Sie die zugehörigen Polrkoordinten. ) (3, 4) b) ( 3, 4) c) ( 3, 4) d) (3, 4) Aufgbe Gegeben seien die Polrkoordinten (r, ϕ) einiger Punkte. Berechnen Sie die zugehörigen krtesischen Koordinten. ) (1, π/) b) (1, π/) c) (1, 9π/) d) (, 135 ) 3.4 sätze für sinus und kosinus Die folgenden Sätze beziehen sich uf Abb Sinusstz: sin α = Kosinusstz: b sin β = c sin γ = b + c bc cos α b = + c c cos β c = + b b cos γ Trigonometrischer Pythgors : sin α + cos α = 1 Additionstheoreme: sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β tn(α ± β) = tn α ± tn β 1 tn α tn β Aufgbe Die Seiten eines Dreiecks hben die Längen = 4, b = 13 und c = 15. Geben Sie den Winkel zwischen den Seiten und b n (Ergebnis in Grd, Minuten und Sekunden). Meisten verwendet mn die Kurzschreibweise sin α für (sin α) und cos α für (cos α) 15

16 Abbildung 3.5: Im Dreieck sind Winkel und Länge der gegenüberliegen Seite nlog bezeichnet. Mit dieser Bezeichnungsweise knn mn sich die Sätze einigermßen leicht merken. Aufgbe Gegeben seien = 36 cm, β = 7 und γ = 55. Gesucht sind b, c und α (vgl. Abb. 3.5). Aufgbe Gegeben seien = 10, b = 8 und γ = 70. Gesucht sind α, β und c (Ergebnis für die Winkel in Grd, Minuten und Sekunden). Aufgbe Zeigen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme ) sin α = sin α cos α b) cos α = cos α sin α c) sin α = 1 (1 cos α) d) cos α = 1 (1 + cos α) e) sin 3α = 3 sin α 4 sin 3 α Aufgbe Zeigen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme cot(α + β) = cot α cot β 1 cot α + cot β Aufgbe Wie hoch ist ein Turm, der unter dem Winkel von in der Ferne erscheint und nch der Krte 5 km entfernt ist? 16

17 4 E X P O N E N T I A L F U N K T I O N U N D L O G A R I T H M U S In Abschnitt 1.1 wurden Potenzen und die zugehörigen Rechenregeln eingeführt. Dort wurde gezeigt, dss mn z. B. die Zhl 1000 mit Hilfe der Potenzschreibweise in der Form = 10 3 schreiben knn. Umgekehrt lssen sich uch beliebige Wurzelusdrücke mit Hilfe von Potenzen schreiben: = = 10. Auch Kombintionen dieser beiden Formen sind möglich: 10 3 = ( 3 10) = Wie hier zu sehen ist, sind ls Potenzen beliebige Brüche möglich. Es lässt sich zeigen, dss sogr reelle Zhlen ls Potenzen möglich sind. Dmit ist es möglich, die vielleicht m häufigsten benötigte Funktion zu definieren: Definition: Für eine positive reelle Zhl ungleich eins ist durch die Abbildung x x, x R die Exponentilfunktion erklärt. Ihre Umkehrfunktion heißt Logrithmusfunktion zur Bsis : x log x, x R, x > 0. Hndelt es sich bei um die Eulersche Zhl e =, , so schreibt mn uch x e x oder x exp x, x R. Die zugehörige Umkehrfunktion heißt ntürlicher Logrithmus, Bezeichnungsweise x ln x, x R, x > 0. Auch für den Fll = 10 ist eine spezielle Schreibweise üblich: Anstelle von log 10 x schreibt mn häufig lg x (Zehnerlogrithmus). Will mn usdrücken, dss eine Aussge für den Logrithmus zu einer beliebigen Bsis Gültigkeit besitzt, so lässt mn den Index weg: log x. rechenregeln Wie schon in Abschnitt 1.1 erwähnt, gelten die dort ufgeführten Rechenregeln uch für reellwertige Potenzen. Dher gilt für die Exponentilfunktion e x e y = e x+y. Aus den Potenzgesetzen lssen sich leicht einige Rechenregeln für Logrithmen bleiten: 1. log(xy) = log x + log y. ( ) x log = log x log y y 3. log(x y ) = y log x 17

18 Aufgbe 4.1. Berechnen Sie mit Hilfe von lg 3 0, 477 ber ohne Tschenrechner: ) lg 9 b) lg 10 c) lg 0, 9 d) lg ( ) 1 3 e) lg 3 Aufgbe 4.. Erzeugen Sie Wertetbellen und Skizzen von y = e x und y = ln x. Aufgbe 4.3. Lösen Sie die folgenden Gleichungen nch x uf: ) 3 x 1 = 7 b) ( ) 1 x = 0 c) 56 0, 5 5x 4 = x d) 3 4x 4 = 3x+1 e) (b 0x 7) 9 3x = (b 15x 3) 7 4x 3 f) 15 = 1 ( 8 x+1 8 x 1) g) lg(x + 3) = 3 h) x lg x = lg

19 5 E I N I G E G R U N D L AG E N D E R D I F F E R E N T I A L - I N T E G R A L R E C H N U N G U N D 5.1 bleitung Abbildung 5.1: Funktion y = F(x) Gegeben sei eine Funktion y = F(x) (vgl. Abb. 5.1). Wie mn sieht, ändert sich die Steigung der Funktionskurve mit x - d. h. die Steigung ist selbst eine Funktion von x. Diese Funktion heißt Ableitungsfunktion. Zur Bezeichnung der zur Funktion y = F(x) gehörigen Ableitungsfunktion sind verschiedene Schreibweisen üblich: y oder F (x) oder df dx. Der Zhlenwert der Ableitungsfunktion für einen bestimmten Wert der Vrible x heißt Ableitung oder Differentilquotient. Abbildung 5.: Zur Ableitung einer Funktion n der Stelle x = x 0 Wie mn die Ableitung bestimmt, geht us Abbildung 5. hervor. Mn bildet den Quotienten F x. Lässt mn x := x 1 x 0 nun immer kleiner werden, erhält mn eine immer bessere Näherung für die Steigung der Kurve bei x 0. Die Steigung selbst ergibt sich, indem mn den Grenzübergng x 0 usführt. Die letzte der oben ngegebenen Schreibweisen für die Ableitungsfunktion erinnert n die hier beschriebene Bestimmung der Ableitung ( x dx, F df). Wir werden hier keine Grenzwertbetrchtungen durchführen, sondern nur drei Beispiele betrchten. Im Sprchgebruch wird zwischen Ableitung, Ableitungsfunktion und Differentilquotient häufig nicht suber unterschieden. 19

20 Beispiel: y = F(x) = = const (vgl. Abb. 5.3). Offenbr ht diese einfche Funktion für lle Werte von x eine Steigung Null: y = F (x) = df dx = 0. Beispiel: y = F(x) = x + b mit, b = const (vgl. Abb. 5.4). Die Steigung dieser Funktion lässt sich leicht berechnen. Ds Ergebnis lutet: y = F (x) = df dx = = const. Abbildung 5.3: Die konstnte Funktion y = F(x) = Abbildung 5.4: Die linere Funktion y = F(x) = x + b Beispiel: y = F(x) = x (vgl. Abb. 5.5). Die Steigung dieser Funktion lässt sich nicht mehr so leicht berechnen. In der Mthemtik wird gezeigt, dß die Ableitung durch y = F (x) = df dx = x gegeben ist. Dieses Ergebnis ist konsistent mit folgenden Beobchtungen: Für x > 0 gilt F (x) > 0 (positive Steigung) und für x < 0 gilt F (x) < 0 (negtive Steigung) Die Ableitung für x = 0 ist F (x) x=0 = 0 Betrgsmäßig gilt: Die Steigung wächst mit x. Abbildung 5.5: Die qudrtische Funktion y = F(x) = x Weitere Beispiele finden sich in Tbelle 5.1. Bei der Bestimmung von Ableitungsfunktionen brucht mn fst immer einige der folgenden Rechenregeln: Fktorregel: y = cf(x) y = cf (x) für c =const 0

21 Beispiel: y = 3x y = 3 x 1 = 6x Summenregel: y = F(x) + G(x) y = F (x) + G (x) Beispiel: y = x + sin x y = x + cos x Produktregel: y = F(x)G(x) y = F (x)g(x) + F(x)G (x) Beispiel: y = x sin x y = x sin x + x cos x Quotiententregel: y = F(x) G(x) y = F (x)g(x) F(x)G (x) G(x) Beispiel: Kettenregel: y = x sin x y = x sin x x cos x sin x y = F(G(x)) y = F (G(x))G (x) Beispiel: y = sin x y = sin x cos x Bildet mn die Ableitung einer Ableitungsfunktion, so spricht mn von der. Ableitung, usw. Aufgbe Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen: ) y = x b) y = 4x 3 + c) y = 1 7 x7 3x 4 + 4x d) y = x cos x e) y = x sin x f) y = x cos x + x sin x g) y = sin x x cos x h) y = tn x ln x i) y = cos 3x j) y = cos x 3 k) y = cos 3x 3 l) y = cos(3x 3 + x 1) m) y = cos ln x n) y = exp(x) o) y = exp(cos x) p) y = 4 exp( cos x) cos(ln x + 3) 3 cos x 1 cos x 1

22 5. unbestimmte integrtion Die unbestimmte Integrtion ist die Umkehropertion zur Differentition. Die in der Beschreibung von Tbelle 5.1 gemchte Aussge knn mn formelmäßig so usdrücken: df(x) = f (x) dx f (x) = F(x). dx In der Formel mit dem Integrlzeichen nennt mn f (x) den Integrnden und F(x) die Stmmfunktion von f (x). x ist die Integrtionsvrible. F(x) f (x) x n + C nx n 1 (n = 0) sin x + C cos x cos x + C sin x exp x + C exp x Tbelle 5.1: Differentition des Ausdrucks in der linken Splte führt uf den Ausdruck in der rechten Splte. Von rechts nch links gelngt mn durch Integrtion. C ist die Integrtionskonstnte, die so oft vergessen wird. ln x + C 1 x tn x + C 1 cos x.. Zwei elementre Rechenregeln: dx c f (x) = c dx f (x) dx ( f (x) + g(x)) = dx f (x) + dx g(x) Ansonsten gilt: Differenzieren ist ein Hndwerk - Integrieren eine Kunst, eine Kunst, die wir hier nicht erlernen werden. Wir stützen uns, soweit notwendig, uf die umfngreichen Integrltbellen, die mn in mthemtischen Formelsmmlungen findet. Hinweis zur Schreibweise: Anstelle von dx f (x) schreibt mn häufig uch f (x) dx. Aufgbe Berechnen Sie die Stmmfunktionen der folgenden Funktionen. Mchen Sie die Probe durch Bildung der Ableitung. ) f (x) = x 5 b) f (x) = 3x 5 c) f (x) = 4 cos x d) f (x) = cos x + x bestimmtes integrl Kennt mn zu einer Funktion y = f (x) die zugehörige Stmmfunktion F(x), so knn mn den Flächeninhlt, den Funktionskurve und die x-achse einschließen, berechnen (vgl. Abb. 5.6). Es gilt (A ist der Flächeninhlt): A = b f (x) dx = F(x) b = F(b) F(). heißt untere Integrtionsgrenze und b obere Integrtionsgrenze. In der Differenz F(b) F() hebt sich die Integrtionskonstnte weg. Bei der Berechnung bestimmter Integrle lässt mn diese dher immer weg.

23 Abbildung 5.6: Die Fläche zwischen Abszisse (x- Achse), Funktionsgrf und den beiden Senkrechten bei x = und x = b lässt sich mit Hilfe der Stmmfunktion von f (x) berechnen Achtung, wo die Funktionskurve unterhlb der x-achse verläuft, ergeben sich negtive Beiträge zum Flächeninhlt. Integriert mn z. B. sin x von 0 bis π (lso π 0 sin x dx), so lutet ds Ergebnis A =. Ds Integrl der Sinusfunktion, integriert von π bis π, ht den Wert. Folglich: π 0 sin x dx = 0. Aufgbe Berechnen Sie die Flächen zwischen der x-achse und den folgenden Funktionen. ) f (x) = 1 3 x3 im Intervll [0, 1] b) f (x) = cos x + x + 1 im Intervll [0, π/] 3

24 6 S U M M E N Z E I C H E N n i ist die bkürzende Schreibweise für m + m+1 + m mn 1 + n. Die i=m Menge {m, m + 1, m + 1,..., n 1, n} heißt Indexmenge. beispiel 3 i, lso i = 1,, 3 und i = i. D. h. i=1 3 i = = = 6. i=1 rechenregeln für summen Summe gleicher Summnden: Wenn lle i den gleichen Wert besitzen, gilt n i = (n m + 1) i=m Benennung des Index ist beliebig: n n i = i=m k=m k Aufspltung in Teilsummen: Wenn m < k < n, gilt n k n i = i + i=m i=m i=k+1 Herusziehen konstnter Fktoren c: n n c i = c i=m i=m i Zusmmenfssen bzw. Auseinnderziehen zweier Summen n n n ( i + b i ) = i + i i=m i=m i=m b i Doppelsummen (ds sind Summen von Summen) können vertuscht werden: m n n m ik = i=1 k=1 k=1 i=1 ik 4

25 Aufgbe 6.1. Berechnen Sie die folgenden Summen: ) 3 i=1 i b) 5 i=0 i Aufgbe 6.. Berechnen Sie die folgende Summe mit Hilfe des Tricks von Guß (Addition von 1. und letztem Term,. und vorletztem Term, etc.): ) 500 i i=1 Aufgbe 6.3. Schreiben Sie usführlich: ) 3 i b k i=1 k=1 5

26 A V E R S C H I E D E N E S Abschließend seien einige wichtige Begriffe und Bezeichnungsweisen erläutert. Eine Definition ist die genue Beschreibung eines Begriffs, der zur Bezeichnung eines mthemtischen Schverhlts eingeführt wird. Beispiele Oben stehender Stz ist die Definition des Begriffs Definition. Eine Rute ist ein Prllelogrmm mit vier gleichlngen Seiten. Eine whre Aussge über einen mthemtischen Schverhlt nennt mn einen (mthemtischen) Stz. Beispiel Wenn die Quersumme einer Zhl durch 9 teilbr ist, dnn ist uch die Zhl durch 9 teilbr. Eine Gleichung, welche die gesmte Grundmenge ls Lösungsmenge besitzt, heißt Identität. Beispiel Die Grundmenge sei R. Für jede Zhl x R gilt (x + 1)(x 1) = x 1. Mn sgt: Die Gleichung ist identisch erfüllt. Gegenbeispiel x x = 0. Diese Gleichung ist nur für gnz bestimmte Werte von x, nämlich für x = 0 und für x = 1 erfüllt. Solche Gleichungen nennt mn Bestimmungsgleichungen. 6

27 B L Ö S U N G E N Aufgbe b ) 31,33 b) +b c) 3 +b 3 +b Aufgbe 1.1. ( ) 3 ( ) ) 7 b) (3) 0b c) xz 3 y d) 8y y m 5x z e) y4 x 4 f) u3 +uv +vu +v 3 3z x y u v g) 5(x y) Aufgbe ) 1/3 b) 13 c) (+b) b d) 1/18 e) 18 f) 16 Aufgbe ) (3x + ) 1/5 b) (3x + ) 7/3 c) (3x + ) 8/3 d) (3x + ) 6/5 Aufgbe ) ( 3 ) b) c) d) 1 19 Aufgbe 1..1 ), b) 1, Aufgbe 1.. ) 5, b), Aufgbe 1..3 ) 10 6 cm 3 b) 80 GP 7

28 Aufgbe.1.1 ) x = 11 b) x = 3 c) x = 5 d) x = 0 e) x = 4 f) x = 5 g) x = 1 h) x = 6 i) x = 1 j) x = 6 Aufgbe.1. ) x = c b f) x = g) x = b c b) x = b+c c) x = m+n d) x = m h) x = +b b +b+c e) x = 1 i) x = bc j) x = +b +b Aufgbe..1 ) x 1 = 1 x = 3 b) x 1/ = 1 ± 6 Aufgbe.3.1 ) x 1 = 3 x = 0 x 3 = 5 b) x 1 = 0 x = 1 x 3 = 3 Aufgbe.4.1 x 1 = 3 x = 1 x 3 = +1 x 4 = 3 Aufgbe.5.1 ) x = 5 b) x = 49 c) x = 10 d) x = Aufgbe.6.1 ) x = y = 3 b) x = 11 y = 7 8

29 Aufgbe α α rd 45 π/4 (0, 7854) 360 π (6, 83) 30 π/6 (0, 536) 7 0, π/ Aufgbe , 668 Aufgbe Aufgbe sin α cos α tn α Aufgbe 3..5 = 3 k b = 3 k c = 3k (Hinweis: r = k) Aufgbe ) r = 5 ϕ = 53, 1 b) r = 5 ϕ = 16, 9 c) r = 5 ϕ = 33, 1 d) r = 5 ϕ = 306, 9 Aufgbe 3.3. ) x = 0 y = 1 b) x = 0 y = 1 c) x = 0 y = 1 d) x = y = 9

30 Aufgbe Aufgbe 3.4. b = 4, 87 cm c = 36, 9 cm α = 53 Aufgbe α = β = c = 10, 45 Aufgbe h = 175 m Aufgbe 4.1 ) lg 3 = 0, 954 b) 1 c) lg 3 lg 10 = 0, 046 d) 1 lg 3 = 0, 39 e) lg 3 = 0, 477 Aufgbe 4. Vgl. ein Mthemtikbuch oder eine Formelsmmlung. Aufgbe 4.3 ) x = 4 b) x = 4, 3 c) x = d) x = e) x = 1/ f) x = 0, 643 g) x = 1, 31 h) x = 1 Aufgbe ) y = 4x b) y = 1x c) y = x 6 1x d) y = cos x x sin x e) y = x sin x + x cos x f) y = (1 + x ) cos x + x sin x g) y = x sin x h) y = ln x i) y = 3 sin(3x) j) y = 3x sin x 3 k) y = 9x sin(3x 3 ) l) y = (9x + ) sin(3x + x 1) m) y sin(ln x) = x n) y = exp(x) o) y = sin x exp(cos x) p) y = 8 exp( cos x) sin x cos(ln x + 3) 4 x exp( cos x) sin(ln x + 3) + 6x sin(x ) cos tn x x cos x + tn x x Aufgbe 5..1 ) 1 6 x6 + C b) 1 x6 + C c) 4 sin x + C d) sin x + x x + C 30

31 Aufgbe ) A = 1/1 b) A = + π3 1 + π Aufgbe 6.1 ) 3 b) 63 Aufgbe Aufgbe b b + 1 b 3 + b 1 + b + b 3 31