7.9A. Nullstellensuche nach Newton

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1 7.9A. Nullstellensuche nch Newton Wir hben früher bemerkt, dß zur Auffindung von Nullstellen einer gegebenen Funktion oft nur Näherungsverfhren helfen. Eine lte, ber wirkungsvolle Methode ist ds Newton-Verfhren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen. Wie der Nme sgt, stmmt es von dem genilen Mthemtiker und Physiker Isk Newton, der unbhängig von Leibniz um 1670 die moderne Infinitesimlrechnung entwickelte. Die Grundidee bsiert uf der Beobchtung, dß eine Tngente n die gegebene Kurve meist die x-achse in der Nähe eines Schnittpunktes der Kurve mit der x-achse schneidet, flls der Tngentilpunkt nicht llzu weit von der Nullstelle entfernt ist. Hben wir irgendwie nch k Schritten eine Näherung k für die gesuchte Nullstelle konstruiert, so ergibt sich die x-koordinte des Schnittpunktes der durch T k, 1 f( x = f ( k ( x k beschriebenen Tngente mit der x-achse ls Lösung der Gleichung 0 = f ( k ( x k, und diese lutet n 1 = k (* f ( k sofern die Ableitung im Punkt k nicht Null wr. Es steht lso zu hoffen, dß die durch (* rekursiv definierte Folge ( k gegen eine Nullstelle konvergiert, sofern der Strtwert nicht zu ungünstig gewählt wurde.

2 Dies bestätigt sich eindrucksvoll in Beispiel 1: Nullstellen des Polynoms f( x = x 4 x 1. Es gibt, wie früher erwähnt, zwr monströse Formeln zur exkten Lösung von Gleichungen 4. Grdes, ber uch ds sehr versierte MAPLE streicht hier die Wffen. Und selbst wenn irgend ein nderes Progrmm die exkte Lösungsformel zustndebringen sollte - sie ist so unüberschubr, dß niemnd etws dmit nfngen knn. Versuchen wir es lso näherungsweise - für die Prxis brucht mn ohnehin Dezimldrstellungen und nicht irgendwelche chotischen Wurzelusdrücke. Stichprobenrtig eingesetze Werte liefern zunächst 0 < f( 1, f 1 < 0, f( 0 < 0, f( 1 < 0, 0 < f 3, und der Zwischenwertstz verrät uns, dß sowohl zwischen 1 und 1 ls uch zwischen 1 und 3 eine Nullstelle liegen muß. Es ist lso vernünftig, diese Zhlen ls Strtwerte zu nehmen. Für den Strtwert = 1 berechnet MAPLE bei schrittweise verdoppelter Stellenzhl k = 0, k = -1., = 1. k = 1, k = -0.80, = k =, k = , = k = 3, k = , = k = 4, k = , = k = 5, k = , = k = 6, k = , = Und für den Strtwert b 0 = 1 kommt herus: k = 0, b k = 1., f( b k = -1. k = 1, b k = 1.3, f( b k = k =, b k = 1.36, f( b k = k = 3, b k = , f( b k = k = 4, b k = , f( b k = k = 5, b k = , f( b k = k = 6, b k = , f( b k =

3 Mit Digits:=30 und fsolve liefert MAPLE die beiden Nullstellen uf 30 Stellen genu: , Die Newton-Approximtionen konvergieren so rsnt gegen je eine Nullstelle, dß bereits nch drei Schritten die Tngenten im Bild sich nicht mehr von der Kurve unterscheiden lssen und die Zhl der korrekten Dezimlstellen nch dem Komm sich pro Schritt etw verdoppelt. Ds ist kein Zufll, wie die folgende rffinierte Anwendung des Mittelwertstzes llgemein zeigt: Konvergenz des Newton-Verfhrens Ist f stetig differenzierbr und die Ableitung nirgends Null, so gibt es zu einer Nullstelle von f und jeder Vorgbe ε > 0 ein δ > 0, so dß für Strtwerte, die weniger ls δ von entfernt sind, lle Itertionen k die folgende Abschätzung erfüllen: k ε. Induktiv folgt dnn k ε k < δ ε k. Flls f zweiml stetig differenzierbr ist, knn δ > 0 sogr so gewählt werden, dß die Itertionsfolgen k "qudrtisch" konvergieren, d.h. γ k mit einer geeigneten Konstnte γ. Durch Logrithmieren zur Bsis 10 wird drus log ( k 1 log ( k log( γ, und ds ist im Wesentlichen (bis uf die dditive Konstnte log( γ die Aussge, dß sich die Anzhl der korrekten Nchkommstellen beim Schritt von k zu k 1 ungefähr verdoppelt. So frppierend und effektiv ds Newtonsche Verfhren ist - es klppt nicht immer.

4 Beispiel : Ein Hlbkreis Es knn pssieren, dß die Glieder der Itertionsfolge us dem Definitionsbereich der Funktion hinusrutschen. Ds ist zum Beispiel bei der Hlbkreisfunktion 1 x schon im ersten Schritt der Fll, wenn mn nicht gerde mit einer der beiden Nullstellen strtet. Beispiel 3: Ein Flip-Flop Es knn uch vorkommen, dß mn einen Strtwert erwischt, von dem us ds Verfhren ständig zwischen zwei Werten hin und her springt, etw bei der Funktion f( x = x x 3 mit der Ableitung f ( x = 3 x 1 und dem Strtwert = 15. Denn dnn ergibt sich 5 1 = 0, 6 = 1, 0 ( 1 3 = 1 = = und = ( 1 1 = 1 = , Ds ist ber nicht schlimm - wir verschieben den Strtwert einfch etws und nehmen z.b.

5 := und schon konvergiert die Folge wie der Wirbelwind gegen , , , , , 0. Beim Strtwert =.5 ergibt sich zufällig schon ls erste Itertion die Nullstelle 1, ber ds ist die von.5 m weitesten entfernte! Ds Auffinden eines günstigen Strtwertes für ds Newton-Verfhren ist nicht immer einfch. Mn wird zunächst versuchen, gewisse Bereiche einzugrenzen, innerhlb derer eine Nullstelle liegen muß. Ht mn zum Beispiel zwei Stellen gefunden, n denen die Funktion verschiedenes Vorzeichen ht, so sichert der Zwischenwertstz die Existenz einer dzwischen liegenden Nullstelle. Sollte die Funktion im gesmten Definitionsbereich keinen Vorzeichenwechsel hben, so muß bei einer Nullstelle ein Extremum liegen, und die Ableitung ht dort eine Nullstelle. Mn knn dnn mit f ebenso verfhren wie mit f. Der folgende Stz ist deshlb nützlich, weil mn unter den gennnten Vorussetzungen sicher sein knn, dß ds Verfhren konvergiert, ohne bereits nhe n einer Nullstelle zu strten. Konvergenzstz Gegeben sei eine uf dem kompkten Intervll [, b] zweiml stetig differenzierbre Funktion f, so dß zwr f, ber weder f noch f in [, b] eine Nullstelle ht. Liegen die Itertionswerte 1 für = und b 1 für b 0 = b ebenflls in [, b], so liegt für jeden Strtwert x 0 us [, b] uch die zugehörige Itertionsfolge gnz in diesem Intervll und konvergiert qudrtisch gegen eine Nullstelle von f. Berechnung von Wurzeln Schließlich soll nicht unerwähnt bleiben, dß ds urlte Bbylonische Wurzelziehen (siehe 4.4 ein Spezilfll des Newton-Verfhrens ist: Für f( x = z x lutet die Itertion = k k z k = k z k.

6 Ebenso knn mn mit dem Newton-Verfhren uch Wurzeln höheren Grdes sehr schnell näherungsweise berechnen: Um die n-te Wurzel us einer positiven Zhl z zu finden, sucht mn die Nullstelle der Funktion f( x = x n z. Dß es eine solche Nullstelle gibt, sichert der Zwischenwertstz, denn f( 0 = z ist kleiner ls 0 und f ( z 1 ist größer ls 0. Dß es genu eine gibt, folgt us der strengen Monotonie der Funktion im positiven Bereich. Wir leiten lso b: f ( x = n x ( n 1 und erhlten die Rekursion = k k n z ( n 1 n k 1 = 1 n k z ( n 1 n k. Beispiel 4: Vierte Wurzel us 5 Wir strten mit dem (schon recht guten Wert 3 := und iterieren, wobei wir beim k-ten Schritt k 1 Nchkommstellen von k ngeben: k = 0, k = 1.50 = k = 1, k = = k =, k = = k = 3, k = = k = 4, k = = k = 5, k = = k = 6, k = = Ds ist nch 6 Itertionen bereits uf 64 Stellen genu! MAPLE bestätigt: 5 ( / 1 4 = ber uch ds ist ntürlich nur ein Näherungswert, denn die vierte Wurzel us 5 ist irrtionl.