Logarithmen zu speziellen und häufig gebrauchten Basen haben eigene Namen: Der Logarithmus zur Basis 10 heißt dekadischer oder Zehnerlogarithmus:

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1 0 Dr Andres M Seifert Sternstunden in Mthe, Physik und Technik wwwsternstunden-odenwldde Logrithmen Die Gleichung vom Typ b wird mit Hilfe des Logrithmus gelöst Der Logrithmus von zur Bsis b ist die Zhl, mit der b potenziert werden muss, dmit mn erhält Es ist lso b Logrithmen zu speziellen und häufig gebruchten Bsen hben eigene Nmen: Der Logrithmus zur Bsis 0 heißt dekdischer oder Zehnerrithmus: 0 lg Der Logrithmus zur Bsis e,8 heißt ntürlicher Logrithmus: e ln Auf Ihrem Tschenrechner finden Sie den Zehnerrithmus meistens ls LOG, den ntürlichen Logrithmus ls LN Der Logrithmus ist unbhängig von der Whl der Bsis nur für positive Werte definiert! Spezilfälle Der Logrithmus von ist immer 0 unbhängig von der Bsis: b 0 Allgemeiner ist < 0 für < b 0 für > 0 für > Weiterhin ist immer b b

2 0 Dr Andres M Seifert Sternstunden in Mthe, Physik und Technik wwwsternstunden-odenwldde Rechenregeln für Logrithmen Die Gleichungen gelten für beliebige, ber identische Bsen + b ( b) b b b b Weitere Regeln gibt es nicht! Also uf keinen Fll Regeln erfinden für ( ± b)! Logrithmen zu beliebiger Bsis berechnen Wie berechnen Sie beispielsweise? Ihr Tschenrechner kennt j unter Umständen nur den ntürlichen und den Zehnerrithmus ist die Lösung der Gleichung Nun rithmiert mn beide Seiten der Gleichung mit dem Logrithmus, den mn zur Verfügung ht, lso beispielsweise mit dem Zehnerrithmus lg Dnn ist und somit lg( ) lg lg lg 0,6989, lg 0,00 Die Probe liefert, So einfch ist ds Allgemein gilt B b b B Aufgbe : Schreiben Sie ls einen Logrithmus ) lg( ) + lg(y) b) (u ) (u) c) lg(b) lg( b) d) (b) ( b) e) (z) f)

3 0 Dr Andres M Seifert Sternstunden in Mthe, Physik und Technik wwwsternstunden-odenwldde g) lg + lg( ) h) () i) lg() + lg(y) lg(z) j) (p) (q) + (r) k) g() + g( + ) l) ( + b) ( b) m) (u) (u) + (u ) + n) g g + g + g() u Aufgbe : Lösen Sie die Gleichung ohne Tschenrechner ) () () b) g() g(6) lg() c) g() lg() + lg() d) () e) lg() lg(6) + lg(9) f) (b ) () + Aufgbe : Lösen Sie nch uf u und v stehen für reelle Zhlen mit u>v>0 ) () (u) + (v) b) () (u + v) (u v) c) () (u) (v) d) () + (u + v ) 0 Aufgbe : Schreiben Sie ls Summe oder Produkt mit einfchen Logrithmen ) lg( ) b) (bc) c) lg( u ) d) (z ) e uv e) (b ) f) g) f w h) lg ( ) i) ( : ) j) ( b ) k) b l) u v m) n) o) v b lg y p) y u v q) b c r) r st u v s) ( b c ) t) lg ( ) yz 9

4 u) ( b ) 0 Dr Andres M Seifert Sternstunden in Mthe, Physik und Technik wwwsternstunden-odenwldde v) w) ( ) Aufgbe : Lösen Sie durch Vergleich der Eponenten ) b) 6 6 c) 6 d) + + e) f) 8 + g) h) Aufgbe 6: Bestimmen Sie ) b) 6 08 c) + d) 0 e) 8 f) ( ) 6 + g) h) Aufgbe : Bestimmen Sie die Lösungsmenge ) b) c) d) Aufgbe 8: Bestimmen Sie die Lösungsmenge ) b) + c) y y d) z+ z 0 e) t t, f) + 0 g) + 6 h) Aufgbe 9: Schreiben Sie ls Eponentilgleichung und lösen Sie dnn ) b) c) + d) Aufgbe 0: Lösen Sie durch geeignete Substitution wie im Beispiel Beispiel: + 0 Mit ( ) folgt zunächst ( ) + 0 und mit z die qudrtische Gleichung z z + 0 Die Lösungen dieser Gleichung sind z und z Dnn bleibt lso noch, die beiden Gleichungen z und z zu lösen

5 0 Dr Andres M Seifert Sternstunden in Mthe, Physik und Technik wwwsternstunden-odenwldde ) + b) + 0 c) d) e) f) g) h) Aufgbe : Fssen Sie erst geschickt zusmmen, und lösen Sie dnn ) b) Aufgbe : Die Intensität weicher Röntgenstrhlung nimmt beim Durchdringen von Aluminiumpltten von mm Stärke um % b Wie viele mm strke Pltten werden benötigt, um nur noch % der Strhlung durchzulssen? Aufgbe : Nch wie vielen Jhren ht sich ein Kpitl bei einem Zinsstz von % verdoppelt? Aufgbe : Stellen Sie die Wchstumsfunktion n (t) / τ n e t 0 n(t) t n 0 w dr in der Form Aufgbe : Krl strtet mit einem Guthben von 00 bei einem Zinsstz von % pro Jhr Petr strtet gleichzeitig mit einem Guthben von nur 00, jedoch mit % Zinsen pro Jhr Wnn hben die Guthben von Petr und Krl einen Gleichstnd erreicht? Aufgbe 6: Krl strtet mit einem Guthben von 00 bei einem Zinsstz von % pro Jhr Petr strtet fünf Jhre später ebenflls mit einem Guthben von 00, jedoch mit % Zinsen pro Jhr Wnn hben die Guthben von Petr und Krl einen Gleichstnd erreicht? t Aufgbe : Wnn holt ein eponentielles Wchstum ( n(t) n e α ) ein lineres Wchstum ( n(t) n + βt ) ein? Es sei dbei n < n