Übungen zur Linearen Algebra 1

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1 Übungen zur Lineren Algebr Lösungen Wintersemester 9/ Universität Heidelberg Mthemtisches Institut Lösungen Bltt Dr. D. Vogel Michel Mier Aufgbe 44. b 4 b b 4 ( )b Fll : = ( )b 4 b ( ) b ( ) ( )(b ) b = b Also ist A nicht invertierbr und ds Gleichungssystem ht für b keine Lösung. Für b = streichen wir die Nullzeile und ergänzen die fehlende Stufe in der dritten Splte: Drusfolgt, dss es unendlich viele Lösungen, genuer ist die Lösungsmenge + Lin( ). Fll : R b b (b ) + (b ) ( )(b ) ( ) (b ) b Wir erhlten lso die eindeutige Lösung + b b. ( )(b ) In diesem Fll ist A invertierbr und wir erhlten die Inverse, indem wir

2 die gleichen Umformungen uf die Einheitsmtrix nwenden, die A zur Einheitsmtrix trnsformiert hben: ( ) ( ) ( ) + = = A Aufgbe 45. ) Sei v Kern(φ) Bild(φ), dnn gibt es ein w V mit φ(w) = v. Drus folgt = φ(v) = φ (w) = φ(w) = v und dmit ist die Summe direkt. Für v V gilt v = φ(v) + (v φ(v)) und es bleibt z.z.: v φ(v) Kern(φ). φ(v φ(v)) φ liner = φ(v) φ (v) = φ(v) φ(v) = Ist V endlich dimensionl, so folgt us dem Dimensionstz für linere Abbildungen und Kern(φ) Bild(φ) = {} direkt die Behuptung. b) Sei (u,...,u m ) eine Bsis von U und (w,...,w n ) eine Bsis von W. Aus U W = V folgt dnn, dss (u,...,u m,w,...,w n ) eine Bsis von V ist. Dnn gibt es nch Stz 9. b) genu eine linere Abbildung φ : V V mit φ(u i ) := für i =,...,m und φ(w i ) := w i für i =,...,n. Bleibt noch zu zeigen, dss es sich bei φ um eine Projektion hndelt. Sei v V, dnn gibt es α,...,α m,β,...,β n K : v = m α i u i + n β i w i. Also ist: φ (v) = m n α i φ (u i )+ β i φ (w i ) = m n α i + β i w i = D dies für beliebige v V gilt, folgt lso φ = φ. m n α i φ(u i )+ β i φ(w i ) = φ(v) Weil Stz 9. nicht nur im endlich dimensionlen gilt, erweitert sich dnn die Aussge gnz nlog uf unendlich dimensionle Räume.

3 Aufgbe 46. ) Für v V gilt genu dnn v U, wenn es α,...,α n K gibt mit v = n α i u i. Anlog: v W β,...,β l K : v = l β i w i Also gilt: v U W α,...,α n,β,...,β l K : v = n α i u i = l β i w i α,...,α n,β,...,β l K : v = n α i u i und. = n α i u i l.... α β i w i = u... u n w... w n l β..... β l α,...,β l K : v = n α i u i und α α..... α n Lös( u β... u n w... w l, )..... β l Wir erhlten lso den Schnitt, indem wir für lle Lösungen des homogenen LGS die oberen n Einträge nehmen und diese ls Koeffizienten der Linerkombintion der u i nutzen. Deshlb ergibt ein Erzeugendensystem des Lösungsrumes so ein Erzeugendensystem des Schnittes. Auch wenn wir nch Algorithmus 8..3 eine Bsis (d.h. insbesondere l.u.) des Lösungsrumes erhlten, muss sich dies nicht uf die Erzeuger des Schnittes übertrgen. Ds kommt dher, weil einerseits (u,...,u n ) liner bhängig sein können und ndererseits nur die oberen n Einträge der Bsis des Lösungsrumes verwendet werden (siehe Aufgbe 9 b)). Hinweis: Ob die Fmilie (u,...,u n ) liner unbhängig ist, sieht mn drn, ob in der ZSF in den ersten n Splten Stufen sind. Dnn ergibt sich us dem Guß-Algorithmus ein Lösungsvektor, in welchem in den letzten l Komponenten nur steht. Außerdem stellt mn mit etws Überlegen fest, dss die Vektoren us den ersten n Komponenten liner unbhängig sind, flls die Fmilie (w,...,w l ) liner unbhängig ist. Strtet mn lso mit Bsen für U und W erhält mn direkt eine Bsis. 3

4 Algorithmus: Eingbe: U = Lin((u,...,u n )),W = Lin((w,...,w l )) K m Ausgbe: Eine Bsis von U W. Durchführung:. Bilde us u,...,u n,w,...,w l eine Mtrix A M(m (n + l),k), indem die Vektoren in die Splten geschrieben werden.. Bestimme durch den Guß-Algorithmus eine Bsis (v,...,v o) von Lös(A, ). 3. Von jedem dieser Vektoren v i nimm die ersten n Komponenten α,...,α n und bilde so v i := n α j u j. j= 4. Aus dem Erzeugendensystem (v,...,v o ) von U W erhält mn eine Bsis von U W durch Algorithmus 5. (oder den Algorithmus us Aufgbe 34). Hinweis: Dieser Algorithmus lässt sich leicht erweitern, um den Schnitt von ffinen Räumen zu bestimmen. b) Lös(A, ) = Lin(, ) U W = 3 Lin( + 3, ) = Lin(, 7 ) 3 3 und dies ht ntürlich Bsis ( 7 ). 3 4

5 Aufgbe 47. t + = + t + t,t = + t + t,t + t + = + t + t Die Trnsformtionsmtrix erhlten wir, indem wir diese Koeffizienten jeweils in die Splten schreiben: TB C = M B C(id) = Drus ergibt sich nch.. (c) die Trnsformtionsmtrix: TC B = TB C = Nch Stz.6 erhlten wir dnn: MC B (f) = TC B MB B (f) = E 3 MB(f) C = MB B (f) TB C = 3 MC C (f) = TC B MB B (f) TB C = Die Übungsblätter sowie weitere Informtionen zur Vorlesung Linere Algebr finden Sie unter folgendem Link 5