Felder und Wellen WS 2018/2019. Φ = q. 4πǫ 0. q z

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1 Felder und Wellen WS 28/29 Musterlösung zur 6. Übung 5. Aufgbe Die Entfernung eines Punktes von der Ldung wird mit r bezeichnet, drus folgt Φ = q 4πǫ r Aus dem Cosinusstz für ds DreieckqP folgt r 2 = z 2 +R 2 2zRcosϑ Ds durchschnittliche Potentil Φ D ist ds Oberflächenintegrl des Potentils über die Kugeloberfläche geteilt durch den Flächeninhlt der Kugeloberfläche. Φ D = 4πR 2 q 4πǫ 2π π = q 2πR 4πR 2 4πǫ 2z z 2 +R 2 2zRcosϑ R2 sinϑdϑdϕ π 2zR sinϑdϑ z 2 +R 2 2zRcosϑ Der Fktor hinter dem Inversen des Abstndes ist die Ableitung von 2zRcosϑ. Dmit ist ds Integrl die Stmmfunktion von.... Φ D = q [ 2 ] π z 4πǫ 4Rz 2 +R 2 2zRcosϑ = q ((z +R (z R mit 4πǫ 2zR z = 4πǫ q z > R Der Durchschnitt des Potentils uf der Kugeloberfläche ist lso gerde dessen Wert im Nullpunkt. D R beliebig klein sein knn, gilt lso: Ds Potentil im ldungsfreien Rum ist n jedem Punkt gleich dem durchschnittlichen Potentil seiner Nchbrpunkte. Bewiesen wurde ds in dieser Aufgbe ntürlich nur für ds Punktldungspotentil, dieser Stz gilt ber llgemein.

2 6. Aufgbe Wegen der unendlichen Ausdehnung in z-richtung knn nichts von z bhängen. Es hndelt sich lso um ein 2-dimensionles Problem. Gesucht wird die Lösung der Lplce-Gleichung mit folgenden Rndbedingungen Gesucht wird nch Lösungen der Form 2 Φ x Φ y 2 = Φ = für y = Φ = für y = Φ = V für x = Φ für x Φ(x,y = X(xY(y Also nch Produkten us 2 Funktionen, die jeweils nur von einer Vrible bhängen. Ds schränkt die Menge der möglichen Lösungen strk ein, die meisten Lösungen der Lplce- Gleichung hben nicht diese Form z.b. ist Φ(x,y = 5x+6y eine Lösung der Lplce-Gleichung, die nicht in Form eines Produkts geschrieben werden knn. Im Verluf der Rechnung wird klr werden, dß viele Potentilprobleme trotz Einschränkung uf Produktlösungen gelöst werden können. Wenn eine Lösung gefunden wurde, folgt us dem Eindeutigkeitsstz für Potentile, dß es die einzige Lösung ist. Φ in Produktform in die Lplce-Gleichung eingesetzt ergibt 2 X(x x 2 Y(y+X(x 2 Y(y y 2 = Der nächste Schritt ist die eigentliche Vriblenseprtion. Die obige Gleichung wird durch Φ(x,y = X(xY(y geteilt 2 X X x Y Y y 2 = Diese Gleichung ht die llgemeine Form f(x+g(y = D diese Gleichung für beliebigexundy gelten muß, folgt dßf(x undg(y einzeln konstnt sein müssen, lso 2 X X x 2 = C 2 Y Y y 2 = C 2 C +C 2 =

3 C und C 2 müssen lso entgegengesetzte Vorzeichen besitzen. Deshlb wird C = k 2 und C 2 = k 2 gewählt. Also 2 X x 2 = k2 X 2 Y y 2 = k2 Y Die prtielle Differentilgleichung wurde in 2 gewöhnliche Differentilgleichungen umgewndelt. Diese besitzen die beknnten Lösungen X(x = Ae kx +Be kx Y(y = Csinky +Dcosky Φ besitzt lso folgende llgemeine Lösung ( Φ(x,y = Ae kx +Be kx (Csinky +Dcosky A muß sein wegen Φ fürx Φ(x,y = Be kx (Csinky +Dcosky B ist ein konstnter Fktor der in C undd bsorbiert werden knn Φ(x,y = e kx (Csinky +Dcosky n der Stelley = mußφ = sein. D = Φ(x,y = e kx Csinky n der Stelley = muß Φ = sein.e kx knn nicht werden, lso muß gelten sink = k = nπ, (n =,2,3,... Die Lösung für n= knn usgeschlossen werden, d die Lösung sonst überll identisch wäre. Negtive n führen nicht zu neuen Lösungen, nur die Konstnten wären vertuscht (C C,A B. Die Lösung ht lso folgende Form Φ(x,y = Ce nπx sin n =,2,3,... Diese Funktion muß die letzte Rndbedingung Φ = V für x = erfüllen. Hierfür wird die Linerität der Lplce-Gleichung usgenutzt. Linerität bei Differentilgleichungen bedeutet: wenn Φ und Φ 2 Lösungen der Differentilgleichung sind, ist Φ + bφ 2 uch eine Lösung. Die gefundene Lösung hängt von einem Prmeter n b, ist in Wirklichkeit lso eine gnze Lösungsmenge. Weil die Lplce-Gleichung liner ist können lle Lösungen superponiert werden Für x = mußφ = V sein Φ(x,y = V = n= n= C n e nπx sin C n sin

4 Die KonstntenC n sind im Prinzip die Fourierkoeffizienten des PotentilsV. Zur Berechnung der C n werden beide Seiten mit sin multipliziert und von bisintegriert. ( n πy ( n πy V sin dy = n= C n Ds Integrl uf der rechten Seite ht folgende Lösung ( n πy sin sin dy ( n { πy, fürn n sin sin dy = 2, fürn = n C n = 2 V sin mit dieser Formel knnc n für llenberechnet werden. C n = 2V Φ(x,y = 4V π dy sin(nπy/ dy = 2V nπ ( cosnπ {, für gerden = 4V nπ, für ungerden n=,3,5,... ( e nπx nπy sin n Diese Formel liefert einen Wert Φ(x, y für beliebige x,y in beliebiger Genuigkeit. Durch (komplizierte lgebrische Umformungen knn die Lösung uch in geschlossener Form ngegeben werden (siehe J. D. Jckson: Electrodynmics. Φ(x,y = 2V π tn ( sin(πy/ sinh(πx/

5 V y x