4.2 Potentialtopf. Gruppe Neumann: Sebastian Guttenbrunner Dario Knebl Maria Kortschak Cornelia Reinharter Peter Schantl Gerald Schwarzbauer

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1 4. Potentiltopf Gruppe Neumnn: Sebstin Guttenbrunner Drio Knebl Mri Kortschk Corneli Reinhrter Peter Schntl Gerld Schwrzbuer Ein rechteckiger, eindimensionler Potentiltopf ist ein einfches Modell, ds ls Näherung bei kurzreichweitige, nziehende Kräfte verwendet werden knn. Zum Beispiel bei der Wirkung von Störstellen uf Elektronen in Festkörpern. Ausgegngen wird hier von der eindimensionlen, sttionären Schrödingergleichung: ћ m d x V x x =E x V...Potentil, dx E...Energieeigenwert H =E, H = ћ m d V x H...Hmiltonopertor dx Zuerst zwei Forderungen für die zu lösende Wellenfunktion φ(x): 1. φ(x) sei überll endlich.. φ(x) sei überll stetig. Um die Schrödingergleichung bei stückweise konstnte Potentile systemtisch zu lösen ist folgende Fllunterscheidung sinnvoll: ) Der klssisch erlubte Fll (E>V) b) Der klssisch verbotene Fll (E<V) c) Klssische Umkehrpunkte (E=V) d ) ħ m d V =E, E V dx ħ d ħ = E V, Substitution : E V m dx m q E V Gruppe Neumnn 1

2 d dx = q, q= m ħ E V Anstz : x = Ae bx b = q b=±iq { e iqx, e iqx } oder die reelle Vrinte {sin qx, cos qx } x = Ae iqx Be iqx Beim klssisch erlubtem Fll ht die Wellenfunktion ein oszillierendes Verhlten. Nebenbemerkung: ein freies Teilchen (V=0 für lle x) ht keine normierbre Wellenfunktion. d b) ħ m d V =E, E V dx V E ħ d ħ = V E, Substitution :V E m dx m k d dx =k, k= m V E ħ Anstz : x = Ae bx b =k b=±q { e kx, e kx } oder { sinh qx, cosh qx } x = Ae kx Be kx Dbei muss bechtet werden, dss bei x der e kx Term verschwinden muss und bei x der e kx Term verschwinden muss. d c) ħ m d V =E, E=V dx d dx =0 Dies ist die Bedingung für einen Wendepunkt. Gruppe Neumnn

3 Zustz: Prität (Bezeichnet eine Symmetrieeigenschft) x x...rumspiegelung P x >= x > P...Pritätsopertor Qudrierung der Gleichung führt zu P x >=P x >= x >. Drus folgt die Eigenwertgleichung P x >= x > P= +><+ >< D der Opertor schon in Digonlstellung gegeben ist sind die Eigenwerte sofort blesbr. Die Eigenwerte luten lso ±1. P >= >, P >= >, >ist der Eigenzustnd zum Eigenwert +1 von P >ist ein Eigenzustnd zum Eigenwert -1 von P Aus dem > Ket folgt eine symmetrische Wellenfunktion x = x und us dem > Ket eine schiefsymmetrische (ntisymmetrische) Wellenfunktion x = x. Somit lässt sich jede ösung eines Potentiltopfes in eine symmetrische und schiefsymmetrische ösung zerlegen. Gruppe Neumnn 3

4 Beispiel 1) V x =0 für 0 x und V x = sonst Unter einem unendlich hohen Potentiltopf knn mn ds Innere eines Kstens verstehen, ds für die Begrenzung eines Teilchens sorgt. Dieses System ist durch seine besondere Einfchheit usgezeichnet, dennoch erkennt mn drin bereits die typische Eigenwertgleichung des Hmiltonopertors. Dieses Beispiel beschreibt den eindimensionlen Fll, der sich leicht uf mehrere Dimensionen verllgemeinern lässt. (siehe Kpitel 4.6) x=0 x= Bild 1.1: unendlicher Potentiltopf x Aufgrund der unendlich hohen Potentilbrriere muss die Wellenfunktion x 0 = x =0 sein. Im Bereich wo V = 0 ist verwendet mn die ösung für ein freies Teilchen. Allerdings sind die Rndbedingungen zu berücksichtigen. x = A sin q x B cos q x Die Rndbedingungen sind φ(0) = 0 und φ() = 0 0 =B=0 und = A sin =0 D mn uf eine ösung interessiert ist wo A ungleich 0 ist muss ds Argument vom Sinus ein Vielfches von π sein. q=n, mit n N Durch umformen erhält mn q n = n So erhält mn die noch nicht normierten Wellenfunktionen: n 0 x = A sin n x, mit n N und A C Achtung! bei n=0 ist φ=0, ds heißt es befindet sich kein Teilchen im Potentiltopf! Deswegen lutet die Wellenfunktion im Grundzustnd (bei n=1) 1 0 x = A sin x. Aus den quntisierten Wellenfunktionen ergeben sich rücksubstituiert die quntisierten Energieniveus, die die Eigenwerte des Hmiltonopertors sind. E n = ħ m q n= ħ n m Gruppe Neumnn 4

5 Normierung: = dx x =! 1 R A 0 dx sin n n = A x du sin u 0 Dbei wurde wie folgt substituiert u= n x, du= n dx, für die Grenzen x= u= n =n und x=0 u=0 Nebenrechnung (prtielle Integrtion): du sin u = sin u cos u du cos u = sin u cos u du 1 sin u du sin u = sin u cos u du du sin u du sin u = sin u cos u du du sin u = 1 [sin u cos u u] const Somit ist = A n n [u sin u cos u ] = A 0 n n =1 Umgeformt ergibt sich A= Die normierte ösung lutet nun wie folgt: n 0 x = sin n x, mit n N Bild 1.: Grphen der Wellenfunktionen φ n mit = und n=1,,3,4,5 Gruppe Neumnn 5

6 Dmit wurde ds Eigenwertproblem H =E für den Hmiltonopertor gelöst. Es gibt für jeden Eigenwert genu eine Eigenfunktion. Die Eigenschwingung einer Seite oder eine stehende elektromgnetische Welle im Hohlrum sind mit dem Problem des unendlichen Potentiltopfs eng verwndt. Allgemeine Eigenschften der ösung: Die ösung des unendlichen Potentiltopfs beschreibt bereits wesentlich quntenmechnische Eigenschften, die bei relistischen Problemen uftreten (z.b.: Elektronen im Atom). Wichtig ist ds loklisierte ösungen immer zu diskreten Eigenwerten gehören. Dgegen knn jedoch ein klssisches Teilchen eine beliebige Energie hben, selbst wenn es durch ein Potentil uf einen endlichen Rum begrenzt ist. Wenn eine ösung loklisierbr ist wird sie uch ls gebundene ösung bezeichnet. Zu den nicht-loklisierbren oder nicht-gebundenen ösungen der Quntenmechnik gehören die kontinuierlichen Energiewerte. Die diskreten ösungen werden durch die sogennnten Quntenzhlen n=1,,3,... spezifiziert. Der niedrigste Zustnd, uch Grundzustnd gennnt, ht eine endliche kinetische Energie (Nullpunktsenergie), die us der Unschärfereltion folgt. Wenn die Energie zunimmt wächst uch die Anzhl der Knoten der Wellenfunktion (siehe Bild 1.1 bzw. 1.). Bild 1.: Grphen der Wellenfunktionen φ n mit = und n=1,,3,4,5; Energieniveudrstellung Gruppe Neumnn 6

7 Beispiel ) V 0 V 0 I II III V=0 x=- x= Bild.1: endlicher Potentiltopf E x V x =V 0 für x V x =0 für x V x =V 0 für x Bei diesem Beispiel hndelt es sich um einen endlichen Potentiltopf bei dem die Eigenschft der Symmetrie usgenutzt wird, wodurch sich ds Problem vereinfcht, weil es dnn nur symmetrische und ntisymmetrische ösungen gibt (Prität). So wird dbei die Dimension des zu lösenden lineren Gleichungssystem von 4 uf reduziert. Zuerst der llgemeine Anstz: I) 1 x = A 1 e kx B 1 e kx,k= m ħ V 0 E II) x = A sin qx B cos qx,q= m ħ E III) 3 x =A 3 e kx B 3 e kx Aus der Rndbedingungen x ± =0 folgt, dss A 1 =B 3 =0 ist. Die symmetrischen ösungen luten folgendermßen: 1 x =B 1 e kx x = A sin qx B cosqx 3 x = A 3 e kx Auf Grund der Symmetrie muss B 1 = A 3. Gruppe Neumnn 7

8 Anschlussbedingungen: 1 = B 1 e k = A sin q B cos q = 3 B 1 e k = A sin q B cos q A sin q B cos q = A sin q B cos q A =0 Somit luten die noch nicht normierten Wellenfunktionen 1 x =B e k cos q e kx x =B cos qx 3 x =B e k cos q e kx Normierung: = R dx = dx 1 =, dx 1 dx dx 3 = =! 1 dx =, dx 3 = Aufgrund der Symmetrie ist =. Durch Integrtion und Umformen nch B ergibt sich: B =+ ( 1 q sin q cos q cos q k 1 ) Bild.: Grph der Wellenfunktion der symmetrischen ösung für =π, k=1, q=1 Gruppe Neumnn 8

9 Die ntisymmetrischen ösungen luten folgendermßen: 1 x =B 1 e kx x = A sin qx B cosqx 3 x = A 3 e kx Auf Grund der Antisymmetrie muss B 1 = A 3 sein. Anschlussbedingungen: 1 = A 3 e k = A sin q B cos q = 3 A 3 e k =A sin q B cos q A sin q B cos q = A sin q B cos q B =0 A 3 = A e k sin q Somit luten die noch nicht normierten Wellenfunktionen 1 x = A e k sin q e kx x = A sin qx 3 x = A e k sin q e kx Normierung: = R dx = dx 1 = ', dx 1 dx dx 3 = ' ' '=! 1 dx = ', dx 3 = ', Auch hier gilt '= ' Durch Integrtion und Umformen nch A ergibt sich: A =+ ( 1 q sin q cos q sin 1 q ) k Gruppe Neumnn 9

10 Bild.3: Grph der Wellenfunktion der schiefsymmetrischen ösung für =3π/, k=1, q=1 Gruppe Neumnn 10

11 Beispiel 3) V 0 I V=0 x=0 x= Bild 3.1: Potentiltopf mit Stufenfunktion II E x V x = für x 0 V x =0 für 0 x V x =V 0 für x Allgemeiner Anstz: I) 1 0 x = A 1 sin q x B 1 cos q x, q= m ħ E II) x = A e k x B e k x, k= m ħ V 0 E Rndbedingung: 1 0 =0 B 1 =0 x =0 A =0 Anschlussbedingung: 1 = A 1 sin q =B e k B = A 1 sin q e k Die noch nicht normierte ösung lutet: 1 0 x = A 1 sin q x x =A 1 sin q e k e k x k x = A 1 sin q e Gruppe Neumnn 11

12 Normierung: = = 0 1 Zuerst ds Integrl von 0 bis : A 1 sin q x dx =, Substitution: 0 u=q x du=q dx q A 1 1 q 0 dusin u = A 1 1 q [1 u sin u cos u ] q = A q sin q cos q 0 q Ds Integrl von bis : A 1 sin q dx e k x = e k x 1 k =, A 1 sin q 0 e k 1 k = k Einsetzen der beiden Integrle: 0 1 = A 1 1 q q sin q cos q q sin =1 k 1 q q sin q cos q sin q k A 1 = 1 A 1= 1 Bild 3.: Wellenfunktion zu Beispiel 3 d Bild: =, E=ħ m q=1, V 0= ħ m, k=1 = 4 1 A 1= 1 0 x = sin x x = e x Gruppe Neumnn 1

13 Quellenngbe: Mitschrift der Vorlesung Quntenmechnik bei Univ.-Prof. Dr.phil Christin B. ng Thorsten Fließbch Quntenmechnik ISBN X Wolfgng Nolting Grundkurs Theoretische Physik 5/1 ISBN Gruppe Neumnn 13