ν 2ν Tangentiales Kontaktproblem

Transkript

1 Tngentiles Kontktproblem Bisher hben wir bei Kontktproblemen ngenommen, dss die kontktierenden Körper bsolut gltte und reibungsfreie Oberflächen hben. Dementsprechend entstehen im Kontktgebiet keine Tngentilspnnungen. Hben wir es nur mit einem ormlkontktproblem von zwei Körpern mit gleichen elstischen Eigenschften zu tun, so spielen diese Annhmen keine Rolle, d die Tngentilspnnungen uch unter der Berücksichtigung einer möglichen Hftung im Kontkt nicht uftreten. Bei einem Kontkt von Körpern mit verschiedenen elstischen Eigenschften entsteht im Kontkt im llgemeinen eine reltive Verschiebung in tngentiler Richtung. Somit kommen die Reibungsspnnungen in Kontktflächen ins Spiel. Ds gilt sogr für ein reines ormlkontktproblem. och wichtiger werden die Tngentilspnnungen im Fll eines tngentil benspruchten Kontktes, z.b. bei einem ngetriebenen oder gebremsten Rd. In diesem Kpitel betrchten wir ds klssische Tngentilkontktproblem. Wir rbeiten dbei weiterhin mit der Hlbrumnäherung. Der zu untersuchende Kontkt ist schemtisch im Bild gezeigt: Zwei elstische Festkörper werden neinnder gedrückt und nschließend in tngentiler Richtung bewegt. Im llgemeinen knn es dbei uch zu einer reltiven Bewegung im Kontktgebiet kommen. Im ersten Schritt nehmen wir ber n, dss die Körper im Kontktgebiet fest n einnder hften. Diese Annhme wird nschließend überprüft. Bild. Als vorbereitenden Schritt betrchten wir die Deformtion eines elstischen Hlbrumes unter der Einwirkung einer konzentrierten Krft in einem Punkt uf der Oberfläche, den wir ls Koordintenursprung wählen (Bild. Bild. Die Krft F hbe nur eine Komponente in der -Richtung. Die Verschiebungen der Oberfläche ( z = sind durch die folgenden Gleichungen gegeben [Lndu&Lifshitz]. ν ν u = F ( ν + π E r r ν ν uy = F y (. π E r ν ( ν uz = F π E r

2 Betrchten wir jetzt die Verschiebungen der Oberfläche unter der Wirkung der folgenden Verteilung tngentiler Kräfte (in Richtung der -Achse / z( y, r/ =. (. Wir berechnen die Verschiebungen innerhlb des benspruchten Gebietes ( r : ( ν ν u = ν (, z y ddy π E + s s. (. A mit s = + y y. (.4 Die Bezeichnungen zur Integrtion können dem Bild entnommen werden. ( ', ' y hier wird die Krft vorgegeben (, y hier wird die Verschiebung gesucht Bild Die tngentile Spnnung (. hängt nur von r = + y = + scosφ + y + ssinφ = + y + s + scosφ+ yssinφ (.5 b. Der Winkel Φ ändert sich von bis π, der Abstnd s bei einem gegebenen Winkel von bis s. Die obere Integrtionsgrenze s bekommt mn us der Bedingung r = = + s cosφ + y+ s sin Φ = + y + s + s cosφ+ ys sin Φ (.6 Für die, yz-komponenten, der Verschiebung der Oberfläche ergibt sich π s π s ( π s ν ν u = ν (, z s sdsd π E + Φ Φ s s ν uy = ν z(, s ΦsinΦcosΦdsdΦ π E ν uz = ( ν z( s, ΦcosΦdsdΦ π E Im weiteren berücksichtigen wir uch den Zusmmenhng (.7

3 ν = (.8 π E π G Die Spnnungsverteilung knn wie folgt umgeformt werden / + y / z(, y = = ( y (.9 / = y s scosφyssinφ Mit Bezeichnungen α = y (. β = cosφ+ ysinφ schreiben wir die Spnnungsverteilung (.9 wie folgt um (, / z y = α βs s. (. Die Integrtion bezüglich s ergibt s / π ( α βs s ds= rctn ( β / α (. Offenbr gilt: rctn( Φ =rctn( Φ+ π. Bei der Integrtion über ϕ fällt deshlb der Term mit rctn herus. Somit ist π π π( ν u = {( ν + ν cos Φ} dφ= = konst π G 4G. (. Einfche Symmetrieüberlegungen führen zum Schluss, dss u y =. (.4 Den Ausdruck für u z werden wir im weiteren nicht bruchen, bemerken nur, dss u z offenbr eine ntisymmetrische Funktion der Koordinte ist. Für eine konzentrierte Krft folgt ds unmittelbr us (.. Diese Eigenschft wird uch bei einer symmetrischen Spnnungsverteilung erhlten. Die in der Kontktfläche wirkende Gesmtkrft berechnet sich zu rdr F = z( r π rdr = π = π r /. (.5 Kontktproblem Wir gehen jetzt zur Diskussion des tngentilen Kontktproblems über. Stellen wir uns vor, dss wir in zwei gegenüberliegenden Körpern jeweils in einem Kreis mit dem Rdius eine konstnte Verschiebung u in einem und u im nderen erzeugt hben. Dfür ist die Spnnungsverteilung (. uf einer Seite und dieselbe mit negtivem Vorzeichen uf der nderen Seite erforderlich. Wenn wir jetzt die beiden Spnnungsgebiete zusmmenkleben würden, so würden sie im Gleichgewicht bleiben. Wichtig ist dbei, dss wegen der Antisymmetrie der Verschiebungen in der z- Richtung bezüglich die zu klebenden Flächen uch in der z-richtung genu zueinnder pssen würden. Ds bedeutet, dss bei einer reltiven tngentilen Bewegung von zwei Körpern mit gleichen elstischen Eigenschften genu die Spnnungsverteilung (. entsteht. Zu bemerken ist, dss die tngentile Spnnung m Rnde des Hftgebietes gegen unendlich strebt. Ds bedeutet, dss in den meisten Fällen die Hftbedingung in der ähe des Rndes nicht erfüllt ist und reltives Gleiten entsteht (Schlupf, siehe nächster Abschnitt.

4 Aus den Gleichungen (. und (.5 ergibt sich die tngentile Steifigkeit eines Kontktes zwischen zwei elstischen Körpern, definiert ls Verhältnis der tngentilen Krft zur reltiven tngentilen Verschiebung: F 4G k = =. (.6 u π ν Schlupf m Rnde des Kontktgebietes Betrchten wir jetzt ein kombiniertes Kontktproblem mit einer gleichzeitigen Wirkung von tngentilen und ormlkräften. Wir nehmen n, dss zwei Kugeln neinnder mit einer ormlkrft F gedrückt und nschließend in tngentiler Richtung mit einer Krft F gezogen werden. Zwischen den beiden Körpern wird trockene Reibung mit dem einfchsten Coulombschen Reibgesetz ngenommen: Die mimle Hftreibungsspnnung z,m ist gleich ormlspnnung p multipliziert mit einem konstnten Reibungskoeffizienten μ z,m = μ p. (.7 Wenn wir nnehmen würden, dss die Körper im Kontktgebiet vollständig hften, so würden wir für die Verteilungen von orml- und Tngentilspnnungen die folgenden Gleichungen bekommen ( / p = p r/, F = pπ, (.8 ( ( r / z = /, Diese Verteilungen sind im Bild 4 gezeigt. F = π. (.9 Gleiten Hften c Bild 4. b D die ormlspnnung m Rnde des Hftgebietes gegen ull und die Tngentilspnnung gegen Unendlich strebt, ist die Bedingung (.7 in der ähe des Rndes immer verletzt: Es entstehen ein inneres Hft- und äußeres Gleitgebiet. Der Rdius c der Grenze zwischen dem Hft- und Gleitgebiet bestimmt sich us der Bedingung z = μ p : ( ( c/ μp ( c/ / / oder = (. 4

5 ( ( c/ F = μ = p F. Drus folgt / c F =, μf flsch! (. Dieses Ergebnis ist flsch, d wir nicht berücksichtigt hben, dss ds Einsetzen des Gleitens im Kontktgebiet zu einer Umverteilung der Tngentilspnnungen und somit zur Änderung der Bedingung (. führen wird. Ds richtige Ergebnis lutet / F = μf c. (. Seine Herleitung siehe Aufgbe. Gleichzeitige Wirkung von Tngentil- und ormlkräften Wir betrchten eine uf dem Bild 5 gezeigte elstische Kugel, die dynmisch n eine elstische Ebene gedrückt wird, wobei die Richtung der Anpresskrft immer ungeändert bleibt. F α Bild 5. Zu bestimmen sind die Bedingungen, unter denen ds gesmte Kontktgebiet immer hftet. Wie im vorigen Abschnitt gehen wir von der Annhme us, dss es im Kontktgebiet kein Gleiten gibt und überprüfen nschließend die Gültigkeit dieser Annhme. Ds kontinuierliche Anwchsen der Krft können wir in infinitesiml kleine Schritte ufteilen, wobei in jedem Schritt die ormlkrft um df und die Tngentilkrft um df erhöht wird. Zwischen den Inkrementen df und df besteht der geometrische Zusmmenhng df/ df = tnα. Ein Zuwchs der Tngentilkrft um df unter Hftbedingung bringt einen Zuwchs in der Spnnung / df r d ( r = (. π mit sich. Dbei wächst ber uch die ormlkrft und der dmit zusmmenhängende Rdius des R Kontktgebietes = KF, K =. Drus folgt d= K df /tn * = K df α. Somit knn 4E (. ls df / tn / ( α d r = ( r = ( r d (.4 π π K 5

6 drgestellt werden. Diese Gleichung gibt einen inkrementellen Zuwchs der Verteilung von Tngentilspnnung bei jedem Zuwchs des Rdius des Kontktgebietes um d. Wächst der Rdius des Kontktgebietes infolge der ngebrchten Krft von bis, so erfährt die Tngentilspnnung einen Gesmtzuwchs, den wir mittels Integrtion über berechnen können. Ist r kleiner ls beide Rdien und, so läuft die Integrtion von bis und { } / tnα / / ( (, r πk tnα z( r = r d = r r πk Liegt dgegen r zwischen und, so läuft die Integrtion von r bis : / tnα / (, r πk r tnα z( r = r d = r πk Die Hertzsche Druckverteilung berechnet sich zu p / / / F ( ( π πk. (.5. (.6 p( r = r = r = r. (.7 Im Kontktgebiet gibt es kein Gleiten, wenn überll die Bedingung z( r μ p( r erfüllt ist. Ds ist der Fll wenn tnα μ (.8 ist. Ist der Wirkungswinkel einer Krft kleiner ls der kritische Winkel (.8, so gibt es im Kontkt kein Gleiten und der Verschleiß ist sehr klein. Ist der Winkel größer ls der kritische, gibt es Gleiten im gesmten Kontktgebiet und es tritt ein erhöhter Verschleiß uf. Diese Eigenschft ist im Bild 6 durch eperimentelle Dten von Johnson illustriert. Bild 6. Ds bei großen Winkeln uftretende Gleiten verurscht bei oszillierenden Benspruchungen ein typisches Verschleißbild, ds ls Fretting beknnt ist. 6