TU Dortmund. Vorname: Nachname: Matr.-Nr.: Aufgabe 1 (Seite 1 von 3)

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Bettina Roth
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1 Aufgbe 1 (Seite 1 von 3) ) Ein ls msselos nzunehmender Blken, bestehend us einem dünnwndigen Z-Profil (t ), ist n der linken Seite eingespnnt und wird n seinem rechten Ende durch eine Krft F belstet, deren Wirklinie durch den Schubmittelpunkt verläuft. Die Abmessungen des Querschnitts sind der Abbildung zu entnehmen. Schnitt A A: F s 1 A s 2 x 2l A y S z t z s s 3 Ds Flächenträgheitsmoment I y = t und die Länge z s = /2 sind für dieses System bereits berechnet. Bestimmen Sie ds sttische Moment S y (s 1 ) bezüglich der Koordinte s 1 für den Teilbereich 0 s 1. (0,5 Punkte) S y (s 1 ) = Bestimmen Sie ds sttische Moment S y (s 2 ) bezüglich der Koordinte s 2 für den Teilbereich 0 s 2 2. (1,0 Punkte) S y (s 2 ) =

2 Aufgbe 1 (Seite 2 von 3) Bestimmen Sie ds sttische Moment S y (s 3 ) bezüglich der Koordinte s 3 für den Teilbereich 0 s 3. (0,5 Punkte) S y (s 3 ) = Zeichnen Sie qulittiv den Verluf der Schubspnnung (Profil zur zeichnerischen Klrheit ufgetrennt). Trgen Sie dbei die Beträge der Werte für die Schubspnnungen n den Stellens 1 = 0,s 1 =,s 3 = 0 unds 3 = in Abhängigkeit vonf,undtein. Kennzeichnen Sie ußerdem die Stelle, n der die betrgsmäßig mximle Schubspnnung uftritt. (3,0 Punkte) y S z Bestimmen Sie den Wert der betrgsmäßig größten Schubspnnung τ mx in Abhängigkeit von F, und t. (1,0 Punkte)

3 Aufgbe 1 (Seite 3 von 3) b) Eine us zwei dünnwndigen, geschlitzten Dreikntwellen zusmmengesetzte Welle wird n den Enden durch die entgegengesetzt wirkenden Momente M T = 1, Ncm belstet. A B M T M T A B l 1 l 2 Schnitt A A: Schnitt B B: t t b Bestimmen Sie den Wert der Schubspnnungen in den Schnitten A A und B B. Nutzen Sie dbei folgende Werte und runden Sie uf zwei Nchkommstellen. (2,0 Punkte) l 1 = 80 cm, l 2 = 50 cm, t 1 = 0,1 cm, t 2 = 0,2 cm, = 8 cm, b = 7 cm, G = N/cm 2 Berechnen Sie die Verdrehwinkel der Querschnitte n beiden Wellenenden reltiv zur Übergngsstelle zwischen den Wellen. (2,0 Punkte)

4 Aufgbe 2 (Seite 1 von 3) ) Gegeben ist ds drgestellte Profil (Abmessungen, b), welches zwei kreisförmige Bohrungen (Rdius r) ufweist. Bestimmen Sie die Flächenträgheitsmomente I y, I z und I yz bezüglich des gegebenen Schwerpunktkoordintensystems. (3,0 Punkte) y r z r b Hinweis: Sie bruchen die Terme dbei nicht zusmmenzufssen. I y = I z = I yz = Berechnen Sie für den Fll b = die Huptflächenträgheitsmomente I 1, I 2 (mit I 1 > I 2 ) und den Winkel ϕ zwischen der y-achse und der ersten Huptrichtung. (1,5 Punkte) I 1 = I 2 = ϕ =

5 Aufgbe 2 (Seite 2 von 3) b) Für konkrete Reltionen der Mße des Profils us ) luten die Flächenträgheitsmomente I y = , I z = , I yz = y z x l F Ein Krgträger, dessen Querschnitt dieses Profil ufweist, ist wie drgestellt mit einer Einzelkrft in z-richtung belstet. Der Elstizitätsmodul sei llgemein durch E gegeben. Bestimmen Sie den Biegemomentenverluf M y (x), die Funktion der Normlspnnung σ xx (x,y,z) und geben Sie drüber hinus die Lge der Nulllinie in der Form y(z) n. (3,0 Punkte) Hinweis: Runden Sie ggf. uf zwei Nchkommstellen. M y (x) = σ xx (x,y,z) = y(z) = Geben Sie weiterhin die Position x der mximlen Durchbiegung v(x ) in Richtung der y-achse sowie deren Betrg v(x ) n. (1,5 Punkte) x = v(x ) =

6 Aufgbe 2 (Seite 3 von 3) c) Betrchtet wird weiterhin der Querschnitt us Aufgbenteil ). Schlgen Sie eine ndere Anordnung der Bohrungen mit 0 < r < /4 b/4 vor, so dss die Durchbiegung sowohl in y- ls uch in z-richtung bei dem in b) gegebenen Lstfll minimiert wird. Skizzieren Sie qulittiv ihren Vorschlg in die folgende Zeichnung und begründen Sie ihn kurz! (1,0 Punkte) Hinweis: Ohne Begründung wird die Aufgbe mit 0 Punkten bewertet. y b z

7 Aufgbe 3 (Seite 1 von 4) Der uf der linken Seite drgestellte Rhmen (Biegesteifigkeit EI) besteht us zwei Teilstücken der Länge 2, welche biegestrr miteinnder verbunden sind. Abmessungen, Lgerungen und Belstung des Systems sind der Zeichnung zu entnehmen. Im rechten Bild ist ein sttisch bestimmtes Erstzsystem mit der sttisch überzähligen Krft X vorgegeben. Anteile us Norml- und Schubverformung sind hier generell zu vernchlässigen. Erstzsystem: X F F x 1 2 z 1 x 2 z 2 2 ) Zeichnen Sie den Biegemomentenverluf M F des sttisch bestimmten Erstzsystems bezüglich der vorgegebenen loklen Koordintensysteme in Abhängigkeit von F und für X = 0 unter Angbe chrkteristischer Werte in die nchfolgende Skizze ein. Geben Sie drüber hinus den jeweiligen Polynomgrd der Funktion n. (1,5 Punkte) M F F

8 Aufgbe 3 (Seite 2 von 4) Zeichnen Sie den Biegemomentenverluf M X des sttisch bestimmten Erstzsystems bezüglich der vorgegebenen loklen Koordintensysteme in Abhängigkeit von X und für F = 0 unter Angbe chrkteristischer Werte in die nchfolgende Skizze ein. Geben Sie drüber hinus den jeweiligen Polynomgrd der Funktion n. (2,5 Punkte) M X X Geben Sie die im System gespeicherte Gesmtenergie Π ls Summe einzelner (nicht zu vernchlässigender) Integrle n. Geben Sie dbei die konkreten Integrtionsgrenzen n und verwenden Sie die llgemeinen Ausdrücke M F (x i ) sowiem X (x i ) für die Schnittgrößenfunktionen. Die ttsächlichen Funktionen der Schnittgrößen sollen hier nicht eingesetzt werden. (2,0 Punkte) Π =

9 Aufgbe 3 (Seite 3 von 4) b) Ds rechts drgestellte Blkentrgwerk mit drei gleich lngen Schenkeln (Länge ) wird durch die Streckenlst q belstet. Die Stbkrft des in Punkt B verbundenen Stbs wurde ls sttisch überzählige Krft X gewählt. Die Funktionen der Biegemomentenverläufe sind wie folgt vorgegeben: in Abhängigkeit von q für X = 0: B z 3 x 3 z 2 x 2 x 1 q M q y (x 1) = 3 8 q [ (4+ 3) 4x 1 ] A z 1 M q y (x 2) = 3 4 qx2 2 Erstzsystem M q y(x 3 ) = 0 X in Abhängigkeit von X für q = 0: M X y (x 1) = 1 2 X [ 2x 1] M X y (x 2) = 0 M X y (x 3) = 1 2 X x 3 Berechnen Sie die sttisch überzählige Krft X. Trgen Sie dzu die wichtigsten Zwischenschritte sowie ds endgültige Ergebnis in ds Kästchen uf der nchfolgenden Seite ein. Es ist druf zu chten, dss der Lösungsweg schlüssig und vollständig drgestellt wird. (4,0 Punkte)

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