Ebener Rahmen aus vier Biegebalken, in den Punkten A, B, C durch Loslager abgestützt

Transkript

1 Ebener Rhmen us vier Biegeblken, in den Punkten A, B, C durch Loslger bgestützt Die Belstungen durch die Streckenlst q und die beiden Kräfte F sollen us den sttischen äußeren Belstungen des Rhmens resultieren (Gewichtskräfte von Mssen, die uf den Blken wirken). Ds Eigengewicht des Rhmens ist nicht berücksichtigt. Beim Abbremsen des Rhmens us seiner Bewegung von oben nch unten tritt zusätzlich eine hohe Beschleunigung uf. Zur Berücksichtigung der drus resultierenden Mssenkräfte (uch der Mssenkräfte der mit dem Rhmen verbundenen Konstruktionselemente, z.b. der den Rhmen schließenden Seitenwände) müssen noch zusätzliche Kräfte und Streckenlsten ufgebrcht werden. Diese wirken in die gleiche Richtung wie die sttischen äußeren Belstungen. Die FEM Lösung soll mit einer nlytischen Lösung verglichen werden. Um eine einfche nlytische Lösung zu erhlten, wurden die zusätzlichen Kräfte und Streckenlsten im hier vorgestellten Modell nicht berücksichtigt. F:\Word.dt\Lehre\SuFW\SuFW\FEM_Rhmen_Skizze.doc

2 FEM-Rhmen vordefinierte Vrible zur Umrechnung von Bogen in Grd Nummer des.indexes von Vektoren und Feldern := Grd ORIGIN := Geg.: Querschnittsbmessungen: c:=. Fläche A := ch h :=. Längen: :=. b := Krft: F := F Streckenlst q := Flächenträgheitsmoment I A := ch E-Modul E :=. 5 6 Ges.: Knotenverformungen und Knotenkrftgrößen nch der FEM nlytische Lösung (Stz von Cstiglino ohne Längskrftrbeit), Biegesteifigkeit ller Blken ist gleich: Lgerkrft im Punkt B = Knoten us Momentengleichgewicht um C: F B := F b q F C := F B Gleichungssystem K x b b = k zur Bestimmung der sttisch Unbestimmten des Vektors x (im Punkt D = Knoten ): b ( b) b ( b) K := b ( b) b F C ersetzt und ( b) zusmmengefßt b ( b) ( b) ( b) F Dh F Dv M D M := K k F Dh F Dv M D = M =.89.6 = Schnittmomente in den Blken: Ms () k := := b b b F q b F b q ( b) F b 6 q ( F Dh s M D) ( F Dv F ) s ( F Dh b M D ) s F Dv M D q F C F Dh s F Dv s M D q F:\Mcd.dt\Lehre\SuFW FEM_Rhmen.mcd, Seite.6., Dr.Hellmnn.

3 Um die nlytische Lösung (Cstiglino ohne Längskrft) zu erhlten, muß die Dehnsteifigkeit gegenüber der Biegesteifigkeit strk vergrößert werden: z.b. mit: A := 6 I A := FEM-Lösung (gerder Biegeblken mit Längskrft) Querschnittsflächen A:= ( ) A Knotenkoordinten x:= ( ) y:= ( b b ) Streckenlst q := ( ) q Flächenträgheitsmomente I:= ( ) I A Stbdefinitionen: Anzhl der Knoten n k := Anzhl der Freiwerte/Knoten ( u x und uy, φ) fk:= r = K-Nr. m Anfng Anzhl der Elemente n E := r:=.. n E NrAnf := K-Nr. m Ende NrEnd := Winkel gegen positve x-achse α r := tn x NrEndr x, NrAnfr y ( NrEndr ) y NrAnfr α = ( ) Stblängen L := x x r NrEndr NrAnfr y y NrEndr NrAnfr L = (.... ) Lgerungsbedingungen und sttische Knoten-Belstungen Anzhl der Lgerbedingungen n L := Anzhl der belsteten Knoten (>) (Knoten ist hier nicht belstet) Knoten-Nr. Belstungen n F := KF := Lst := Lgerungen Kräfte (n F x fk) F F Knoten-Nr. Art der RB - Festhltung in x - Richtung - Festhltung in y - Richtung - keine Verdrehung n L = KL := RB := Die loklen Richtungen beim Biegeblken sind: für α= (α positiv in Gegen-Uhrzeigerdrehrichtung) ist die Längsverschiebung u horizontl von links nch rechts, die Querverschiebung w vertikl von oben nch unten, die Verdrehung φ in Uhrzeigerdrehrichtung und die Streckenlst q in Richtung von w. Einfügen der Unterprogrmme zur FE-Berechnung Übersicht:F:\Mcd.dt\Lehre\SuFW\S_u_FW_\FEM_Rhmen_UPs.mcd(R) Stbsteifigkeitsmtritzen in globlen Koordinten x,y K E_globr := K B_glo E, A, I, L, α r r r r Aufstellung der Gesmtsteifigkeitsmtrix Jedes Element ht jeweils Knoten, die n der entsprechenden Stelle in die Gesmtsteifigkeitsmtrix eingeführt werden müssen. F:\Mcd.dt\Lehre\SuFW FEM_Rhmen.mcd, Seite.6., Dr.Hellmnn.

4 FE-Formulierung: F K = Ku f => u = K F K f F K - Vektor der äußeren vorgegebenen Knotenlsten K - Steifigkeitsmtrix u - Vektor der unbeknnten Knotenverformungen f - Vektor der us den vorgegebenen (im Element konstnten) Streckenlsten resultierenden Elementlsten Die Vektoren enthlten für jeden der n k = Knoten entsprechend dem Knotenfreiheitsgrd fk = Werte, hben lso die Länge fk n k =. Vorgbe der Größe der Mtrix wir definieren eine betrgsmäßig große Konstnte K fk nk (,, α r ) f := F EL ( f, KR) F f = C := K C, = 8. 8, fk n k := "Null"-Mtrix Einfügen der Elementsteifigkeiten K:= K Ges KK, E_glob Erstellen des Lstvektors F := fk nk f := "Null"-Füllung fk nk F K := F( F) F K - Knotenlsten f - Elementlsten F K = ( )F Lstsplten der Elemente KR := KR r B q L Lstvektor r r Diese ddieren wir in die Huptdigonle, n den Stellen der vorgegebenen Lgerbedingungen (Feder mit sehr großer Steifigkeit) und zur Kontrolle den Krftvektor der äußeren Lsten: Dmit berechnen wir den K:= KC ( KC, ) Verschiebungsvektor u := K F K f F KC = ( )F F KC := Ku f Nun stellen wir die ursprüngliche Steifigkeitsmtrix wieder her K:= KC K, C und erhlten uch den richtigen Krftvektor us äußeren Lsten und Lgerrektionen: ( Ku f) = ( )F Verformungen und Schnittrektionen in den Blken n den Anfngs- und End-Knoten jeder Knoten eine Zeile (geht uch für viele Knoten): ( ) ( ) u Er := u EL ( ur, ) u Er = F Er := K E_globr u Er KR F r Er = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 F:\Mcd.dt\Lehre\SuFW FEM_Rhmen.mcd, Seite.6., Dr.Hellmnn.

5 jeder Knoten eine Splte: u E = u x u y φ u xe u ye φ e F E = F x F y M F xe F ye M e F:\Mcd.dt\Lehre\SuFW FEM_Rhmen.mcd, Seite.6., Dr.Hellmnn.