2 Der Grundgedanke der Methode der Finiten Elemente

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1 Der Grundgednke der Methode der initen Elemente Der Grundgednke der E-Methode sei n einem einfchen chwerk (Bild -) erläutert. ür dieses seien die Verschiebungen der Knotenpunkte und die Normlkräfte unter Wirkung von sttischen äußeren Lsten gesucht. Ein Element wird hier von einem Zug-Druckstb mit gelenkigen Enden gebildet. Sein elstomechnisches Verhlten ist gekennzeichnet durch die Beziehung zwischen den Kräften f, f und den Verschiebungen u, u n den Stbenden. Die Verschiebungen nennt mn uch reiheitsgrde (HG) des Stbelementes. Wir bemerken ferner, dss die reiheitsgrde in Richtung der Stbchse ngetrgen sind. Die Stbchse stellt ds sogennnte lokle Koordintensystem dr. Außerdem definieren wir ein globles xy-koordintensystem, ds die Richtung der reiheitsgrde für ds Gesmtsystem ngibt. In dem loklen Koordintensystem können nun die Krft- Verschiebungsbeziehungen nch den elementren Beziehungen der Mechnik ufgestellt werden. Wenn mn den Stb m linken Ende festhält (d.h. u 0) und eine Krft f nbringt (Bild -c), ergibt sich für die Verschiebung u f u oder f u. () ür die Lgerkrft erhält mn us Gleichgewichtsgründen f f u. (b) Die gleichen Beziehungen knn mn ufstellen, wenn ds rechte Ende festgehlten wird (u 0) und eine Krft f ufgebrcht wird. Mn erhält dnn f u und f u. Die Krft-Verschiebungsbeziehungen können in Mtrixform geschrieben werden: f u f u, (.) oder f k u. (.b) Die Mtrix k heißt Elementsteifigkeitsmtrix in loklen Koordinten. Mtrizen und Vektoren werden im olgenden immer durch fett geschriebene Buchstben gekennzeichnet, um sie von gewöhnlichen Vriblen zu unterscheiden. Ein Blick uf ds Gesmttrgwerk zeigt, dss die loklen Elementkoordinten für jedes Element eine ndere Lge in bezug uf ds globle Koordintensystem hben können. m den M. Link, inite Elemente in der Sttik und Dynmik, DOI 0.007/ _, Springer chmedien Wiesbden 0

2 Der Grundgednke der Methode der initen Elemente Einfluss der Lge des Elements in dem Gesmttrgwerk zu berücksichtigen, können die Krft-Verschiebungsbeziehungen vom loklen in ds globle Koordintensystem trnsformiert werden. Wir betrchten dzu ds Bild -d, in dem die llgemeine Lge des Stbes nch der Verformung, gekennzeichnet durch die vier Verschiebungsfreiheitsgrde -, drgestellt ist. Die loklen Knotenpunktsverschiebungen lssen sich us der Projektion dieser globlen Verschiebungskomponenten uf die Stbchse blesen. Am oberen Knoten gilt die Beziehung u sinα cosα, m unteren entsprechend u sinα cosα. Diese Gleichungen lssen sich in Mtrixform drstellen: u mit (.) sin α cosα sinα cosα. (.b) (Großbuchstben kennzeichnen Größen in globlen Koordinten, Kleinbuchstben solche in loklen Koordinten.) Von einem chwerkstb wissen wir, dss er nur Kräfte in seiner Längschse übertrgen knn, so dss die loklen Kräfte f und f direkt in die globlen Richtungen x und y zerlegt werden können. Mn erhält dnn us Bild -e f sin α, fcosα, f sin α und f cosα. Diese Gleichungen können ebenflls in Mtrixform zusmmengefsst werden: f. (.) Wir bemerken, dss diese rnsformtionsmtrix gerde die rnsponierte der Mtrix ist, die nch Gl. (.) die loklen mit den globlen Verschiebungskomponenten verbindet. Wir benutzen die Gln. (.) und (.) nun dzu, die Krft- Verschiebungsbeziehung zu trnsformieren. Zunächst setzen wir die Gl. (.) in (.) ein und erhlten ku. In dieser Gleichung drücken wir u durch die Gl. (.) us und erhlten K (.) mit K ( k ). (.b)

3 Der Grundgednke der Methode der initen Elemente 5 y x ) Gesmttrgwerk in globlen Koordinten E Elstizitätsmodul A Querschnittsfläche b) inites Stbelement in loklen Koordinten c) reiheitsgrd u 0 y x d) globle reiheitsgrde i Bild - chwerk ls E-Modell e) globle Knotenkräfte i Die Mtrix K bezeichnet die Elementsteifigkeitsmtrix in globlen Koordinten. Wir hben hier noch den Elementindex e eingeführt, um zu zeigen, dss diese Beziehungen für jedes Element im rgwerk zwr forml gleich sind, die Koeffizienten der Mtrix K jedoch bhängig sind von den mechnischen und geometrischen Elementeigenschften.

4 6 Der Grundgednke der Methode der initen Elemente ührt mn die Mtrizenprodukte in der Gl. (.b) us, so erhält mn mit den Abkürzungen c cosα und s sinα: s sc s sc c sc c s sc sym. c. (.c) Im Sonderfll des horizontl gelegenen Stbes (Bild -) mit α 0 und cosα erhält mn us der zweiten Zeile von Gl. (.c) wegen 0 die beknnte Krft-Verschiebungsbeziehung. Bild - Sonderfll α 0 beim Zug-/Druckstb Ds Gesmttrgwerk wird us drei derrtigen Elementen gebildet, die forml lle durch die gleiche Beziehung (.) beschrieben werden können. ür jedes Element wird ntürlich seine durch α e (e,,) beschriebene Lge und seine Dehnsteifigkeit (/) e eingesetzt. Die Krft-Verschiebungsbeziehung für ds gesmte rgwerk muss forml die gleiche orm wie Gl. (.) hben, nur dss die Anzhl der Knotenkräfte und Verschiebungen jetzt größer ist (im Beispiel sind es sechs). Wir schreiben die Gl. (.) für ds Gesmttrgwerk ohne Index e: B 5 6 K K K K K5 K6 K K K K5 K 6 K K K5 K6, A K K5 K6 sym. K K K66 6 oder in Indexschreibweise K, (.5b) A B AB B (A, B,,..., N Anzhl der globlen reiheitsgrde) (.5)

5 Der Grundgednke der Methode der initen Elemente 7 oder in symbolischer Schreibweise K. (.5c) Zur Bentwortung der rge, wo sich die Koeffizienten K ij der Elementmtrizen in den Koeffizienten K AB der sogennnten Gesmtsteifigkeitsmtrix K wiederfinden, wird die Numerierung der loklen reiheitsgrde (i, j bis ) in den Bildern -d, e mit der Nummerierung der reiheitsgrde m Gesmttrgwerk in Bild - (A,B bis 6) verglichen. ür ds Beispiel erhält mn folgende "Übereinstimmungstbelle" (Koinzidenztbelle). belle - Koinzidenztbelle Element Nr. () () () Element HG i Globle HG A Am einfchsten ist ds Einordnen für ds Element Nr. (), d die Nummerierung m Gesmttrgwerk mit der des Elementes übereinstimmt. Mn brucht lso die Elementmtrix K () nur in ds linke obere Qudrt der Gesmtsteifigkeitsmtrix zu übertrgen. Allgemein muss mn nur die Koeffizienten der Elementmtrizen n die Positionen der Gesmtmtrix setzen, die sich us obiger belle - ergeben. ür ds Element Nr. () ergibt sich z.b. drus ds Indexschem der belle -. belle - Indexschem für Element () El. HG El. HG Glob. HG j B 5 6 i A K K ~ K K ~ K K ~ 5 K K ~ 6 K K ~ K K ~ K K ~ 5 K K ~ 6 5 K K ~ 5 K K ~ 5 K K ~ 55 K K ~ 56 6 K K ~ 6 K K ~ 6 K K ~ 65 K K ~ 66 Allgemein gilt für jedes Element : K K. (.6) AB ij (A, B,,..., N Anzhl der globlen HG des rgwerks; i, j,,..., N e Anzhl der HG des e-ten Elementes) ~ Hier bezeichnet K ( e ) die globle Elementsteifigkeitsmtrix in der Indexnummerierung des Gesmttrgwerks. Die Gesmtsteifigkeitsmtrix K setzt sich us den Beiträgen der einzelnen Elemente in der orm

6 8 Der Grundgednke der Methode der initen Elemente K AB K ~ AB (.6b) e (A, B,,..., N; e,,..., N e ) zusmmen. Die Gesmtsteifigkeitsmtrix für ds chwerk nch Bild - ist in der Gl. (.6c) drgestellt. Zur besseren nterscheidung der Elemente sind die Elementindizes e in Klmmern gesetzt. K 5 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K K K K K K K K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K K K K K K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K K K K K K ( ) ( ) ( ) ( ) K K K K 5 () ( ) () ( ) sym. K K K K 6 () ( ) K K. (.6c) Bisher htten wir den Einbu der Elementmtrizen in die Gesmtsteifigkeitsmtrix rein nschulich gedeutet. Im olgenden wollen wir den Zusmmenbuvorgng mechnisch deuten und mthemtisch formulieren. Wir betrchten dzu ds Gesmtwerk in zerlegter Drstellung ("Explosionszeichnung") (Bild -). y x Bild - Zerlegung des Gesmttrgwerks in Elemente

7 Der Grundgednke der Methode der initen Elemente 9 Die Knotenpunkte sind hier durch Schnitte herusgetrennt, wobei ls Schnittgrößen die Stbendkräfte in globlen Koordinten uftreten. Wir bilden nun ds Gleichgewicht der Kräfte ( x 0, y 0) n jedem Knoten. Mn erhält dnn folgende Gleichgewichtsbedingungen: () () () () () () () () () () 5 () () 6,,,,,. (.7) Wenn wir lle Elementknotenkräfte i (i - ; e,, ) in einem Vektor zusmmenfssen, so knn mn die Gl. (.7) in Mtrixform usdrücken: () (e ) (e ) (e ) () () () () ( ) (). (.7b) () 5 () 6 () () () () () () Prtitioniert mn noch die entstehenden Mtrizen elementweise, so knn die Gl. (.7b) symbolisch durch die Summe folgender Mtrizenprodukte beschrieben werden: ~ ~ ~ ~. (.7c) () () () () () () e Die Gl. (.7c) besgt, dss sich die globlen Knotenkräfte us der Summe der Elementknoten zusmmensetzen. Wir drücken nun die Elementknotenkräfte in die Gl. (.7c) durch die Elementknotenverschiebungen nch Gl. (.) us. Mn erhält dnn: e K. (.8)

8 0 Der Grundgednke der Methode der initen Elemente Als nächstes stellen wir den Zusmmenhng zwischen dem Elementverschiebungsvektor und dem Gesmtverschiebungsvektor her. ür ds Element Nr. () erhält mn us der Identität der Elementverschiebungen mit den globlen Verschiebungen n den Knoten folgende Beziehung: 5 () 6 5 6, (.9) bgekürzt ~. (.9b) () () Wie der Vergleich mit der Gl. (.7b) zeigt, ist die Mtrix ~ () gerde die rnsponierte von ~ (). In einem späteren Kpitel wird gezeigt, dss dies kein Zufll ist, sondern mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Verschiebungen hergeleitet werden knn. Allgemein gilt lso für ds Element ~. (.9c) Diese Beziehung wird in die Gl. (.8) eingesetzt und mn erhält K (.0) mit K K K. (.0b) e ( ) e e ( ) Die Gl. (.0b) ist die mthemtische Vorschrift für den Zusmmenbu der ~ Gesmtsteifigkeitsmtrix K us den Elementmtrizen K. Die Mtrizen heißen Koinzidenzmtrizen. Die durch ds Mtrizenprodukt in Gl. (.0b) usgedrückte ~ ~ ~ rnsformtion K ( K ) heißt Koinzidenztrnsformtion. Die Koinzidenzmtrizen ( e) bestehen nur us Einsen und Nullen. Dies ht zur olge, dss die ~ Koinzidenztrnsformtion nichts nderes ls ein Einsortieren der Elementmtrizen in die Gesmtmtrix bewirkt. Wir können dies durch Ausmultiplizieren des Mtrizenprodukts in der Gl. (.0b) zeigen. Ds Produkt für ds Element Nr. (), K ( K ), lutet () () 5 6

9 Der Grundgednke der Methode der initen Elemente 5 6 () () () () K K K K () () () K K K K. (.0c) () 5 () () sym. K K 6 () K Dieses Ergebnis ist ds gleiche wie ds in dem Indexschem der belle - und in der Gesmtsteifigkeitsmtrix (.6c) ngegebene. Ds Indexschem stellt rechentechnisch eine erhebliche Vereinfchung gegenüber der formlen Koinzidenztrnsformtion nch Gl. (.0b) dr, die mn sich selbstverständlich uch bei der Progrmmierung zunutze mcht. Im nächsten Schritt werden die Rndbedingungen eingeführt. Wir wollen den llgemeinen ll betrchten, dss n llen Lgern Verschiebungen vorgegeben seien (im Grenzfll lso uch zu Null). Wir können dnn den Verschiebungsvektor in zwei Klssen einteilen: Klsse : unbeknnte Verschiebungen und 6 ngeordnet im Vektor, Klsse b: beknnte Verschiebungen,, und 5 ngeordnet im Vektor b. Die Kräfte teilen wir uf in: Klsse : beknnte Kräfte und 6 ngeordnet in Vektor. Mn bemerke, dss sich unbeknnte Verschiebungen und beknnte Kräfte in der Klsse befinden, d j nur n den Stellen, n denen eine Verschiebung unbehindert ist, äußere Kräfte vorgegeben werden können, Klsse b: unbeknnte Kräfte (Lgerrektionen),, und 5 ngeordnet im Vektor b. Wir können jetzt die Gl. (.5) noch einml hinschreiben, wobei wir nun ber die Kräfte und Verschiebungen entsprechend der Klsseneinteilung sortiert hben. Symbolisch geschrieben erhält mn: K K, (.) b b Kb Kb Kbb b usgeschrieben:

10 Der Grundgednke der Methode der initen Elemente 6 5 K K K K K K K66 K6 K6 K6 K 65 6 K K K K5 K K K5 b sym. K K 5 K 55 5 b. (.b) Mn sieht, dss sich die Koeffizienten der ntermtrizen K - K bb durch msortieren der Steifigkeitsmtrix K in Gl. (.5) ergeben. Nch diesem Sortierungsvorgng können wir die beiden in Gl. (.) enthltenen Mtrizengleichungen nch den unbeknnten Vektoren uflösen. Aus der ersten Zeile erhlten wir K K. (.c) b Aufgelöst nch liefert b ( K ) ( K b b). (.) Im Sonderfll strrer Lger ( b 0) wird ( K. (.b) ) Alle sttischen EM-Probleme führen m Ende uf ein derrtiges lineres Gleichungssystem zur Berechnung der unbeknnten Verschiebungsgrößen. In der Prxis können dbei viele tusend nbeknnte uftreten. Hierus ergibt sich die Bedeutung der rechentechnischen Verfhren zur Auflösung derrtiger Gleichungssysteme uf dem Computer. Nchdem die Verschiebungen us Gl. (.) berechnet wurden, können ls nächstes die unbeknnten Krftgrößen b us der zweiten Zeile von Gl. (.) bestimmt werden. Mn erhält ( K K. (.) b b) bb b Zur Berechnung der Stbkräfte gehen wir zurück uf die Elementebene. Die Gl. (.) liefert uns die Stbkräfte n den Stbenden in Richtung der Stbchse: f k u. (.b) Mit Hilfe der Gln. (.) drücken wir zunächst den loklen Verschiebungsvektor u durch den globlen Vektor us. Es ergibt sich: f k. (.) Der Verschiebungsvektor wird nun mit Hilfe der Gl. (.9c) durch den Gesmtverschiebungsvektor usgedrückt. Dies liefert dnn den Zusmmenhng zwischen den Normlkräften im Stb und dem nch der Lösung des Gesmtgleichungssystems (.) beknnten Gesmtverschiebungsvektor :

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