Die Zufallsvariable und ihre Verteilung

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1 Die Zufllsvrible und ihre Verteilung Die Zufllsvrible In der Whrscheinlichkeitstheorie bzw. Sttistik betrchtet mn Zufllsvriblen. Eine Zufllsvrible ist eine Funktion, die Ergebnissen eines Zufllsexperimentes reelle Zhlen zuordnet. Wenn ds Zufllsexperiment ein Intelligenztest ist, so wird einer Person z.b. der Intelligenzquotient zugeordnet. Der zugeordnete Wert wird uch Ausprägung der Zufllsvrible gennnt. Mn unterscheidet zwischen folgenden Arten von Zufllsvriblen nch ihren Ausprägungen: Quntittive Vriblen, wenn die Ausprägungen Zhlenwerte sind (z.b. die Anzhl der Punkte in einem Intelligenztest). Weiters unterscheidet mn: stetige Vrible: wenn die Anzhl der Ausprägungen unendlich ist (z.b. ds Gewicht einer Person, zwischen zwei Merkmlsusrägungen können beliebig viele ndere liegen) diskrete Vrible: wenn die Anzhl der Ausprägungen endlich ist (z.b. die Anzhl der Zeilen einer Mtrix, hier liegen zwischen zwei Merkmlsusprägungen nur endlich viele ndere) Qulittive Vriblen, deren Ausprägung ein ktegorischer Wert ist. Mn unterscheidet dichotome Vriblen: zwei Ktegorien (z.b. J/Nein) polynome Vriblen: mehr ls zwei Ktegorien (z.b. Afrikner, Asite, Europäer usw.)

2 Vriblen werden mit lteinischen Großbuchstben bezeichnet (z.b. X), deren Relisierungen mit lteinischen Kleinbuchstben (x i ist die i-te Relisierung der Zufllsvrible X). Die Whrscheinlichkeitsverteilung Die Whrscheinlichkeitsverteilung einer Zufllsvrible X ist definiert ls F X (t) = P (X t). D.h. die Whrscheinlichkeit, dß die Zufllsvrible X kleiner ls der fixe Wert t ist, wird durch die Funktion F X (t) beschrieben (X ist der Index von F, weil ddurch hingewiesen wird, dß F die Verteilungsfunktion der Zufllsvrible X ist, und nicht einer nderen Zufllsvrible). Die Whrscheinlichkeitsverteilung ist sozusgen die theroretische Verteilung eines Ereignisses. Wenn mn etw ds Zufllsexperiment Würfelwurf betrchtet, so bestimmt die Whrscheinlichkeitsverteilung, mit welchen Whrscheinlichkeiten die einzelnen Ausprägungen uftreten. Häufig ist die theroretische Whrscheinlichkeitsverteilung einer Zufllsvrible nicht beknnt. Mn führt eine Anzhl von Experimenten durch, um diese Verteilung (näherungsweise) zu bestimmen. Die Verteilungsfunktion ht folgende Eigenschften: 1. F X ist monoton nicht fllend, d.h. wenn t 1 < t 2, dnn ist F (t 1 ) F (t 2 ) 2. F x ist rechtsseitig stetig, d.h. der rechtsseitige Grenzwert lim h 0 F X (t+ h) = F X (t) 3. lim x F X (t) = 1 und lim x 0 F X (t) = 0 Im folgenden unterscheiden wir zwischen der Verteilung einer stetigen und einer diskreten Zufllsvrible.

3 X diskret verteilt Die Verteilungsfunktion ist F X (t) = P (X t) = i:x 1 t P (X = x i ) Summtion über lle x i die kleiner gleich t sind Im diskreten Fll ist die Verteilungsfunktion F X (t) die Aufsummierung der sogennnten Punktwhrscheinlichkeiten P (X = x i ), welche mn uch ls f X (die Whrscheinlichkeitsfunktion) bezeichnet, d.h. X stetig verteilt Die Verteilungsfunktion ist f X = P (X = x). F X (t) = f X (x)dx. Im stetigen Fll wird die sogennnte Whrscheinlichkeitsdichte f X (x) bis t integriert um die Verteilungsfunktion F X (t) = α zu erhlten. Bemerkung: ds Integrl der Whrscheinlichkeitsdichte von bis beträgt 1! Für reelle Zhlen b gilt P (X b) = F (b) = b P ( < X < b) = F (b) F () = P ( < X) = 1 F () = f(x)dx b f(x)dx f(x)dx. Mn bechte: Im Fll einer stetigen Vrible gilt stets P (X = x) = F (x) F (x) = 0, d.h. für eine beliebige feste Zhl x nimmt X den Wert x mit Whrscheinlichkeit 0 n, mn sgt die Punktwhrscheinlichkeit ist stets gleich 0.

4 Beispiel: Wir wollen nun die Verteilung der Zufllsvrible Würfelwurf beschreiben, dzu folgendes Beispiel Link zum Würfelwurf-Beispiel Beispiel: Ein Beispiel einer stetigen Verteilung ist die sogennnte Gleichverteilung, welche die folgende Whrscheinlichkeitsfunktion besitzt: Dzu eine Grfik: f(x) = { 1 b für x b 0 sonst Die Verteilungsfunktion erhält mn durch Integrtion der Dichtefunktion, d.h. F X (t) = für x < : für x b: f(x)dx = = f(x) dx =0 für x< f(x) dx + =0 für x< t b 0dx = 0 b = t b 1 b dx = 0 + x b t

5 für x > b f(x)dx = = f(x) dx + =0 x b b b = b b = 1 f(x)dx + b f(x) dx =0 für x>b d.h. F X (t) = 0 für x < für x b 1 für x > b t b Ein grfische Drstellung der Verteilungsfunktion der Gleichverteilung ist in folgendem Plot zu sehen: