Musterlösung der Präsenzaufgaben zu Mathematik I für ET/IT und ITS

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1 Musterlösung der Präsenzufgben zu Mthemtik I für ET/IT und ITS WS / Bltt 6. Bestimmen Sie zu vorgegebenem Volumen V > die Dose (Zylinder mit der kleinsten Oberfläche und ds Gls (Zylinder ohne Deckel mit der kleinsten Außenfläche. Lösung. Ein Zylinder mit Rdius r und Höhe h ht ds Volumen V = hπr und die Oberfläche A = πr +πrh (Deckel oben, Deckel unten und Mntel. D ds Volumen V fest vorgegeben ist, knn mn einen der beiden Prmeter Rdius und Höhe durch den nderen usdrücken, z.b. h = V/(πr. Dnn gilt A = πr +πr V πr = πr + V =: f(r. r Gesucht ist ds Minimum der differenzierbren Funktion f uf dem Intervll (,, lso für r >. Es gilt f (r = 4πr V r = πr3 = V r = 3 V π. Die Stelle r := 3 V π könnte lso eine lokle Extremstelle sein. Die Funktion f ist für r > sogr stetig differenzierbr. D lim r f (r = und lim r f (r =, gilt f (r < für r < r und f (r > für r > r. Also ist r ein lokles Minimum und uch ein globles Minimum, d f für r < r streng monoton fällt und für r > r streng monoton wächst. Die zu dieser Minimlstelle r gehörige Höhe h läßt sich leicht berechnen. πr 3 = V = πrh h = r. Bei der optimlen Dose sind Höhe und Durchmesser gleich. Bei der Optimierung des Glses ändert sich im Vergleich zur Optimierung der Dose nur eine Konstnte: Ein Zylinder ohne Deckel mit Rdius r und Höhe h ht ds Volumen V = hπr und die Oberfläche A = πr + πrh (Deckel unten und Mntel. D ds Volumen V fest vorgegeben ist, knn mn wie oben einen der beiden Prmeter Rdius und Höhe durch den nderen usdrücken, lso h = V/(πr. Dnn gilt A = πr +πr V πr = πr + V =: f(r. r Gesucht ist ds Minimum der differenzierbren Funktion f uf dem Intervll (,, lso für r >. Es gilt f (r = πr V r = πr3 = V r = 3 V π. V Die Stelle r := 3 π könnte lso eine lokle Extremstelle sein. Die Funktion f ist für r > sogr stetig differenzierbr. D lim r f (r = und lim r f (r =, gilt f (r < für r < r und f (r > für r > r. Also ist r ein lokles Minimum und uch ein globles Minimum, d f für r < r streng monoton fällt und für r > r streng monoton wächst. Die zu dieser Minimlstelle r gehörige Höhe h läßt sich leicht berechnen. πr 3 = V = πrh h = r. Beim optimlen Gls sind Höhe und Rdius gleich.

2 . Berechnen Sie (x 3 +3x und f(x mit f(x = { x x π/ sin(x x > π/. Lösung. Ds erste Integrl knn mit Hilfe einer Stmmfunktion berechnet werden. Es gilt (x 3 +3x = ] 4 x4 +x 3 = = ( ( 4 +( 3 + = 5 4 Ds zweite Integrl zerlegt mn die Summe zweier Integrle uf Teilintervllen, d die Funktion f eine Sprungstelle in x = π/ ht. f(x = π/ = 3 f(x+ π/ f(x = π/ x + π/ sin(x x 3 ] π/ cos(x]5π π3 π/ = 4 (cos(π cos(π = π3 4 π3 ( ( = Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrle existieren und bestimmen Sie gegebenenflls ihren Wert. ( x 3 (b x Lösung. ( Für jedes > gilt x 3 = ] 4 x = und dieser Ausdruck konvergiert gegen 4 für. Ds Integrl ht lso den Wert 4. (b Für < < gilt = ] x =. x

3 4. ( Zeigen Sie: log x = log bx log b. Lösung. y = log x bedeutet y = x; es folgt yln = ln( y = lnx und somit y = lnx ln, lso log x = lnx ln. Genuso sieht mn log b x = lnx lnb oder lnx = log bx lnb und zusmmen log x = lnx ln = log bx lnb ln = log bx ln lnb = log bx log b. (b Bestimmen Sie log 3 (x und log 7 (x für x = 343 und x = 43. Lösung. Wegen 3 5 = 43 und 7 3 = 343 gilt log 3 43 = 5 und log = 3. Mit der Formel us ( folgt log = log 7343 log 7 3 = 3 ln7 ln3 = 5, und log 7 43 = log 343 log 3 7 = 5 ln3 ln7 =, Zur Berechung von ln7 ln3 bzw. des Kehrwerts brucht mn einen Tschenrechner. 3

4 Musterlösung der Husufgben zu Mthemtik I für ET/IT und ITS WS / Bltt 6. Bestimmen Sie zu vorgegebenem Volumen V > die Schultüte (Kegel ohne Boden mit dem geringsten Mterilverbruch. (Tipp: Suchen Sie die Formeln für Volumen und Mntelfläche eines Kegels us der Formelsmmlung. Minimieren Sie A sttt A. Lösung. Ein Kegel mit Rdius r und Höhe h ht ds Volumen V = 3 hπr und die Mntelfläche A = πr r +h. D ds Volumen V fest vorgegeben ist, knn mn einen der beiden Prmeter Rdius und Höhe durch den nderen usdrücken, z.b. r = 3V/(πh. Wir suchen ds Minimum der Funktion f(h = A (h für h >. Es gilt A = π r (r +h = π 3V πh ( 3V πh +h = 3V D f uf dem Intervll (, differenzierbr ist und f (h = 3V ( 3V h +πh ( 6V 6V h 3 +π = πh 3 = 6V h = 3 π = f(h. 6V gilt, knn die Stelle h := 3 π eine lokle Extremstelle sein. Die Funktion f ist für h > sogrstetigdifferenzierbr.dlim h f (h = undlim h f (h = 3Vπ >, gilt f (h < für h < h und f (h > für h > h. Also ist h ein lokles Minimum und uch ein globles Minimum, d f für h < h streng monoton fällt und für h > h streng monoton wächst. Der zu dieser Minimlstelle h gehörige Rdius r läßt sich leicht berechnen. πh 3 = 6V = πr h h = r. Bei der Tüte mit dem besten Volumen-Mteril-Verhältnis stehen Höhe und Rdius im Verhältnis :.. Es gilt ln3 = 3 x. Bestimmen Sie ds kleinste n N, für ds die Differenz zwischen Ober- und Untersumme einer äquidistnten Zerlegung in n Teilintervlle des Integrls kleiner ls 3 ist. Lösung. D die Funktion f(x = /x streng monoton fllend ist, gilt S Z = n f(x k (x k x k und S Z = k= n f(x k (x k x k für die Obersumme S Z und die Untersumme S Z bezüglich einer Zerlegung Z. Drus folgt für eine äquidistnte Zerlegung des Intervlls, 3] k= S Z S Z = f(x (x x f(x n (x n x n = f( 3 n f(33 n = ( = 4 n 3 3n. Es gilt S Z S Z < 3 genu dnn, wenn n > 4/3, lso n 334.

5 3. ( Ws ist flsch n der Rechnung? x = ] = x + = 3 Lösung. Die Funktion /x ist für x = nicht definiert und uf den Intervllen, und (,] nicht integrierbr. Wenn mn dem Ausdruck einen Wert x zuordnen möchte, dnn. (b Berechnen Sie Lösung. x3 und x. x3 = lim x = lim x3 = lim x ( = lim ( = 8. ] x / = lim x /] 4 ( = lim 4 = Berechnen Sie x us ( log(56 = x 3, (b log x =. Lösung. ( log 56 = x 3 ( x 3 = 56 = 8 x3 = 8 x 3 = 8 x =. (b log x = = x x = 4 = 6.