9 Längen- Flächen- und Volumenmessung

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Ella Albrecht
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1 9 Längen- Flächen- und Volumenmessung A Länge einer Kurve B Flächenmessung C Volumenerechnung 56

2 A. Länge einer Kurve ERKLÄRUNG 9.1. (Länge einer Kurve in Funktionsdrstellung.) Es sei f eine uf dem Intervll [, ] definierte stetig differenzierre Funktion. Durch Einfügen von n 1 Teilpunkten x0 x1 xn1 xn wird [, ] in n Teilintervlle [ xi 1, xi] der Länge xi xi 1 ( i 1,, n) zerlegt. Sodnn werden die Sekntenlängen si : ( xi xi1) (f( xi ) f( xi1)) ( i 1,, n) geildet und schließlich die Summe n Ln : s1 sn ( xi xi1) (f( xi ) f( xi1)) i 1 erechnet. Mn knn zeigen, dss der Grenzwert lim L n existiert, sofern nur die mximle n Intervllreite der einzelnen Unterteilungen mit n gegen Null stret. Außerdem ist dieser Grenzwert unhängig dvon, wie die Teilpunkte gewählt werden. Dieser Grenzwert heißt ds Länge der Kurve y f( x) im Intervll [, ] und mn schreit hierfür ds. f f n n i i1 i i1 n ni 1 L ds: lim L lim ( x x ) (f( x ) f( x )). SATZ 9.. (Länge einer Kurve in Funktionsdrstellung.) Es sei f eine uf dem Intervll [, ] definierte stetig differenzierre Funktion. Für die Länge L der Kurve y f( x) im Intervll [, ] gilt L ds 1f ( x) dx. f 57

3 ERKLÄRUNG 9.3. (Länge einer Kurve in Prmeterdrstellung.) x( t) Es sei t r(): t ( t ) eine stetig differenzierre eene Kurve in y( t) Prmeterdrstellung mit dem Prmeter t und dem Prmeterintervll [, ]. (Die eiden Funktionen t x( t) und t y( t) sollen lso eide im Intervll [, ] stetig differenzierr sein.) Durch Einfügen von n 1 Teilpunkten t0 t1 tn1 tn wird [, ] in n Teilintervlle [ ti 1, ti] der Länge ti ti 1 ( i 1,, n) zerlegt. Sodnn werden die Sekntenlängen si : (x( ti) x( ti1)) (y( ti) y( ti1)) ( i 1,, n) geildet und schließlich die Summe Ln : s1 sn n (x( ti ) x( ti1)) (y( ti) y( ti1)) i 1 erechnet. Mn knn zeigen, dss der Grenzwert lim existiert, sofern nur die mximle L n n Intervllreite der einzelnen Unterteilungen mit n gegen Null stret. Außerdem ist dieser Grenzwert unhängig dvon, wie die Teilpunkte gewählt werden. Dieser Grenzwert heißt ds Länge der Kurve r () t im Intervll [, ] und mn schreit hierfür ds. n L ds: lim Ln lim (x( ti ) x( ti1)) (y( ti) y( ti1)).. r n ni 1 r SATZ 9.4. (Länge einer Kurve in Prmeterdrstellung.) x( t) Es sei t r(): t ( t ) eine stetig differenzierre eene Kurve in y( t) Prmeterdrstellung mit dem Prmeter t und dem Prmeterintervll [, ]. Für die Länge L der Kurve r () t im Intervll [, ] gilt L ds r ( t) dt x( t) y( t) r Bemerkung. (Länge einer Rumkurve in Prmeterdrstellung.) x( t) Es sei t r(): t y() t ( t ) eine stetig differenzierre räumliche Kurve in zt () Prmeterdrstellung mit dem Prmeter t und dem Prmeterintervll [, ]. Für die Länge L der Kurve r ( t) im Intervll [, ] gilt L ds r ( t) dt x( t) y( t) z( t) dt. r 58

4 ERKLÄRUNG 9.5. (Polrdrstellung einer Kurve.) Die Spitze eines um den Nullpunkt kreisenden Zeigers, der mit dem Drehwinkel uch seine Länge verändert, r r( ), liegt uf einer Kurve. Die Polrkoordinten der Kurvenpunkte sind (r( ), ) mit. r r( ) mit heißt Polrdrstellung der Kurve; die Achse, von der us gemessen wird, die positive x- Achse, heißt Polrchse. Bemerkung. Eine Prmeterdrstellung einer in Polrdrstellung gegeenen Kurve r r( ), ist x x( ) : r( ) cos, y y( ) : r( ) sin mit dem Polrwinkel, ls Prmeter. SATZ 9.6. (Bogenlänge einer Kurve in Polrdrstellung, r r( ).) Die Bogenlänge einer stetig differenzierren Kurve r r( ), ist gleich dr L r( ) [ ( )] d. d B. Flächenmessung SATZ 9.7. (Fläche zwischen zwei Funktionsgrphen.) Es seien f:[, ] und g : [, ] zwei stetige Funktionen mit f( x) g( x) für lle x [, ]. Dnn eträgt der Flächeninhlt der von den Kurven y f( x), y g( x) und den Gerden x und x erndeten Fläche A (g( x) f( x)) dx. SATZ 9.8. (Fläche unter einer Kurve in Prmeterdrstellung.) x( t) Es sei t r(): t ( t ) eine stetig differenzierre Kurve, woei noch y( t) entweder y( t) 0 für lle t [, ] oder y( t) 0 für lle t [, ] gelte und üerdies t x( t) in [, ] streng monoton sei. Für die Fläche A, die von der Kurve, der x-achse und den Gerden x x( ) und x x( ) erndet wird, gilt A y( t) x( t) (Dei gilt ds Vorzeichen " ", flls der Umlufsinn der Kurve (in Bezug uf den Ursprung O (0,0) ) mthemtisch positiv ist und sonst ds Vorzeichen "+".) 59

5 SATZ 9.9. (LEIBNIZsche Sektorformel für Kurven in Prmeterdrstellung.) x( t) Es sei t r(): t ( t ) eine stetig differenzierre eene Kurve in y( t) Prmeterdrstellung mit dem Prmeter t und dem Prmeterintervll [, ], die von jedem Ursprungsstrhl höchstens einml getroffen wird. Dnn eträgt der Inhlt der durch x x( ) den Kurvengrphen und die Gerden ( ) und y y( ) x x( ) ( ) egrenzten Sektorfläche y y( ) 1 S (x( t) y( t) x( t) y( t)) (Dei gilt ds Vorzeichen "+", flls der Umlufsinn der Kurve (in Bezug uf den Ursprung O (0,0) ) mthemtisch positiv ist und sonst ds Vorzeichen " ".) Bemerkung. Die Sektorformel von LEIBNIZ gilt uch für den Inhlt A einer Fläche, die von einer geschlossenen üerschneidungsfreien stetig differenzierren Kurve in Prmeterdrstellung x x( t), y y( t), t erndet wird. (Dei gilt ds Vorzeichen "+", flls der Umlufsinn der Kurve (in Bezug uf einen im Inneren des von der Kurve erndeten Bereichs) mthemtisch positiv ist und sonst ds Vorzeichen " ".) SATZ (Sektorformel für Kurven in Polrkoordinten.) Ist r r( ), ([, ] [0, ]) eine stetige Kurve in Polrdrstellung mit r( ) 0 für lle [, ]. Dnn eträgt der Inhlt der von der Kurve r r( ), und den x cos Hlgerden y sin Sektorfläche 1 S r( ) d. x cos ( 0) und ( 0) erndeten y sin SATZ (Mntelfläche eines Rottionsköpers.) Für die Mntelfläche M eines Drehkörpers mit der Kontur y f( x), x, woei die Funktion f im Intervll [, ] stetig differenzierr und f( x) 0 für lle x [, ] sei, gilt M f( x) 1 f ( x) dx. (Den Drehkörper knn mn sich entstnden denken durch Rottion von y f( x), x um die x-achse.) 60

6 SATZ 9.1. (Mntelfläche eines Rottionsköpers.) Für die Mntelfläche M eines Drehkörpers mit der Kontur einer stetig differenzierren x( t) Kurve in Prmeterdrstellung t r(): t ( t ), woei noch y( t) 0 für lle y( t) t [, ] gelte und üerdies t x( t) in [, ] streng monoton sei gilt M y() t r () t dt y() t x() t y() t (Den Drehkörper knn mn sich entstnden denken durch Rottion von x x( t), y y( t), t um die x-achse.) C. Volumenerechnung SATZ (Volumen eines Rottionsköpers.) Für ds Volumen V eines Drehkörpers mit der Kontur y f( x), x, woei die Funktion f im Intervll [, ] stetig und f( x) 0 für lle x [, ] sei, gilt V f( x) dx. (Den Drehkörper knn mn sich entstnden denken durch Rottion von y f( x), x um die x-achse.) SATZ (Volumen eines Rottionsköpers.) Für ds Volumen V eines Drehkörpers mit der Kontur einer stetigen Kurve in x( t) Prmeterdrstellung t r(): t ( t ), woei noch y( t) 0 für lle t [, ] y( t) gelte und üerdies t x( t) in [, ] streng monoton sei gilt V y( t) x( t) (Dei gilt ds Vorzeichen " ", flls der Umlufsinn der Kurve (in Bezug uf den Ursprung O (0,0) ) mthemtisch positiv ist und sonst ds Vorzeichen "+".) (Den Drehkörper knn mn sich entstnden denken durch Rottion von x x( t), y y( t), t um die x-achse.) 61

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