Bruchterme I. Definitionsmenge eines Bruchterms

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1 Bruchterme I Definitionsmenge eines Bruchterms Alle zulässigen Einsetzungen in einen Bruchterm ilden die Definitionsmenge D. Einsetzungen, für die der Nenner Null wird, gehören nicht zur Definitionsmenge. Beispiele: l D {; } l ( )( ) D Addition und Sutrktion von Bruchtermen Gleichnmige Bruchterme werden ddiert (sutrhiert), indem mn ihre Zähler ddiert (sutrhiert) und den gemeinsmen Nenner eiehält. Ungleichnmige Bruchterme werden vor dem Addieren oder Sutrhieren gleichnmig gemcht (Huptnenner!). Einzelschritte: l Die gegeenen Nenner werden so weit wie möglich fktorisiert. (GW 7A, S. 7) l Bestimmung des Huptnenners HN: In den Fktorzerlegungen der Nenner wird von jedem Fktor die höchste Potenz herusgesucht. Ds Produkt dieser höchsten Potenzen ist der Huptnenner. (GW 5, S. 8) Bestimmung der Erweiterungsfktoren EWF: Gesucht sind die Fktoren, die in der Fktorzerlegung jedes einzelnen Nenners gegenüer dem HN fehlen. Die Terme werden erweitert und uf einen gemeinsmen Bruchstrich geschrieen. (GW 6, S. ) Der Zähler wird so weit wie möglich vereinfcht und evtl. fktorisiert. Gemeinsme Fktoren von Zähler und Nenner werden gekürzt. Beispiel: 6 T ( ) 6 6 l 6 ( ) l EWF: ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6( ) 6( ) ( ) l HN: 6( )( ) ( ) ( ) ( ) ( T ( ) 6( )( ) ( )( ) ) ( ) 6( ) ( )( ) Aufgen:. Bestimme die Definitionsmenge in G! ) ) 6 ( ) 6 ( )( ) 6 Fchschft Mthemtik des SKG Seite c) 6 6. Vereinfche T ( ) so weit wie möglich! 6 6 6

2 Bruchterme II Fchschft Mthemtik des SKG Seite Multipliktion von Bruchtermen Multipliktionsregel: Bruchterme werden wie gewöhnliche Brüche miteinnder multipliziert (GW 6, S. ), indem mn ds Produkt der Zähler durch ds Produkt der Nenner dividiert. Bechte: Wenn es möglich ist, dnn kürze vor dem Ausmultiplizieren (Nenner und Zähler müssen dei fktorisiert sein)! Beispiel: ( ) ( ) ( ) z z z z z z (Hinweis: Klmmern setzen!!!) Aufgen:. 9. Division von Bruchtermen Divisionsregel: Durch einen Bruchterm wird dividiert, indem mn mit seinem Kehrruch multipliziert. (GW 6, S. ) Beispiel: ( ) : Aufgen:. : 5. : Sonderfälle: ; 0 c c c Aufge: ( ) ( ) 0, ; : c c c Aufge: ( ) 8 : 8 9

3 Funktionen; Direkte Proportionlität Funktion Eine eindeutige Zuordnung zwischen Zhlen heißt Funktion. Begriffe: Funktionsvorschrift: Beispiele: Funktionsterm: f () Funktionsgleichung: f () Geordnetes Pr: ( ) ( 5) Definitionsmenge D: Menge ller Zhlen, die mn für D in die Funktion f einsetzen drf. Wertemenge W: Menge ller Funktionswerte W [ ; [ Grph G f : Jedes Zhlenpr, ds zur 5 Funktion f gehört, estimmt einen Punkt im Koordintensstem. Die Menge ller dieser Punkte wird ls Grph G f ezeichnet. Direkte Proportionlität Eine Funktion f : ist genu dnn eine direkte Proportionlität, wenn sie eine der folgenden Eigenschften ht: Dem n-fchen von entspricht ds n-fche von. Alle Wertepre ( ) sind quotientengleich. Alle Punkte des Grphen liegen uf einer Gerden durch den Ursprung. Die Funktionsgleichung ht die Form m. Beispiel us der Phsik: Ds Hookesche Gesetz Im Gültigkeitsereich des Gesetzes gilt F D s, woei D die Federhärte, F die dehnende Krft und s die Dehnung einer Feder drstellt. Der Quotient us Krft F und Dehnung s ist lso eine Konstnte (). Im s-f-digrmm ergit sich eine Gerde durch den Ursprung (). 6 s in cm F in N 0,,,6,8 6,0 F N s in cm n.def 0, 0, 0, 0, 0, Fchschft Mthemtik des SKG Seite

4 Linere Funktionen Eine Funktion, deren Grph eine Gerde ist, heißt linere Funktion. Funktionsgleichung: m t m: Steigung der Gerden t: -Aschnitt m vertikle Kthete horizontle Kthete im Steigungsdreieck. Für m > 0 steigt die Gerde, für m < 0 fällt die Gerde. Je größer m ist, desto steiler verläuft die Gerde. Der -Aschnitt ewirkt eine Verschieung der Ursprungsgerden um t Einheiten in Richtung der positiven -Achse für t > 0 zw. in Richtung der negtiven -Achse für t < Beispiele: f, 5 ; : f :, f f Die eplizite Gleichung m t knn uf die sogennnte implizite Form c 0 gercht werden und umgekehrt (,, c und 0 ). Beispiel:, Fchschft Mthemtik des SKG Seite

5 Bruchgleichungen Gleichungen heißen Bruchgleichungen, wenn die Gleichungsvrile uch im Nenner vorkommt. Einzelschritte zum Lösen von Bruchgleichungen: Bestimme den Huptnenner (GW, S. ). Bestimme die Definitionsmenge D der Gleichung (GW, S. ). Multipliziere eide Seiten der Gleichung mit dem Huptnenner (ddurch verliert die Gleichung ihre Bruchform). Löse mit Hilfe der ülichen Rechenschritten nch der Gleichungsvrilen uf. Stelle die Lösungsmenge uf. Üerprüfe dei, o der erechnete Wert der Gleichungsvrilen in der Definitionsmenge enthlten ist! Beispiel: ; G HN: ( ) D \ { 0 ; } ( ) ( ) ( ) - ( ) ( ) D L { } Aufge: 6 G Fchschft Mthemtik des SKG Seite 5

6 Betrgsgleichungen Der solute Betrg Der solute Betrg einer Zhl ist festgelegt durch, flls positiv ist 0, flls Null ist, flls negtiv ist Beim Lösen von Gleichungen (und Ungleichungen GW, S. 9) mit Beträgen ist somit eine Fllunterscheidung nötig:. Fll: Ausdruck in Betrgsstrichen größer (oder gleich) Null. Fll: Ausdruck in Betrgsstrichen kleiner Null Lösen von Gleichungen mit Beträgen Beispiel: (vgl. Erklärungen GW, S. 9) ; G. Fll: 5 0,5 D {,5} ( 5) L {}. Fll: 5 < 0 <,5 D { <,5} 5 [ ( 5)] L { } L L L { ; } Aufge: Bestimme die Lösung üer der Grundmenge G. < ( ) Fchschft Mthemtik des SKG Seite 6

7 Produktungleichungen Lösung per Vorzeichenetrchtung Beispiel: ( 5)(,5) 0 ; G Bestimme die Nullstellen der einzelnen Fktoren Kennzeichne uf dem Zhlenstrhl die Intervlle, in denen die jeweiligen Fktoren positiv () zw. negtiv (-) sind. Bestimme mit Hilfe der Vorzeichenregeln für die Multipliktion (GW 7A, S. ) die Lösungsmenge. Rechnerische Lösung ( 5) ( 5) 0 (,5),5 ( 5)(,5) (,5) 0,5 L {,5,5} Beispiel: ( 5)(,5) 0 ; G Führe eine Fllunterscheidung durch nch der Regel: Der Wert eines Produkts mit zwei Fktoren ist kleiner Null, wenn die Fktoren verschiedenes Vorzeichen hen. Der Wert dieses Produkts ist größer Null, wenn die Fktoren gleiches Vorzeichen hen. Der Wert dieses Produkts ist gleich Null, wenn mindestens einer der Fktoren Null ist. Bestimme die Teillösungsmengen L und L (GW 7A, S. 5). Bilde die Gesmtlösungsmenge ls L L L. Fll: (. Fktor negtiv, zweiter positiv) 5 0,5 0 5, 5,5, 5,5 L ] ;,5]. Fll: (. Fktor positiv, zweiter negtiv) 5 0,5 0 5, 5,5, 5,5 L ],5; ] L L L ] ;,5] ],5; ] Schreiweisen für die (zusmmengesetzte) Lösungsmenge: Intervllschreiweise: L ] ;,5] ],5; ] \ ],5;,5 [ Mengenschreiweise: L {,5,5} \{,5 < <,5} Aufgen:. Bestimme die Lösungsmenge mit eiden Verfhren zur Grundmenge G. ) ( 6)( ) 0 ) )( ) < 0 (. ( )( )(5 ) 0 (nur durch Vorzeichenetrchtung!) Fchschft Mthemtik des SKG Seite 7

8 Bruchungleichungen Lösung per Vorzeichenetrchtung Beispiel: 0 ; G Bestimme die Definitionsmenge nch der Regel: X-Werte, für die der Nenner den Wert Null nnimmt, können nicht eingesetzt werden. Verfhre mit Zähler und Nenner wie mit den Fktoren einer Produktungleichung (GW, S. 7). ( ) ( ) 0 D \{ } 0 0 Bestimme die Lösungsmenge. Nimm dei die -Werte herus, die nicht in der Definitionsmenge enthlten sind. L { < } (weil - nicht in D ist!) Rechnerische Lösung Beispiel: 5 ; G Bestimme Huptnenner (GW, S. ) und Definitionsmenge der Ungleichung. Multipliziere eide Seiten mit dem Huptnenner. Unterscheide dei die Fälle: ) Huptnenner positiv ) Huptnenner negtiv Bestimme die Teillösungsmengen L und L (GW 7A, S. 5) unter Berücksichtigung der jeweiligen Gültigkeitsereiche! Huptnenner: ( ) Definitionsmenge: D \{ }. Fll: HN positiv ( ) > 0 < 5 HN L { 6 <. Fll: HN negtiv } ( ) < 0 > Bilde die Gesmtlösungsmenge ls L L L 5 6 L {} L L L { 6 < } Aufge: Bestimme die Lösungsmenge mit eiden Verfhren zur Grundmenge G. 7 ) 0 ) 0, < c) 9 Fchschft Mthemtik des SKG Seite 8

9 Betrgsungleichungen der Form c Grphische Lösung Beispiel: Zeichne die Funktionen f : und g : c Kennzeichne durch senkrechte Linien die -Werte der Schnittpunkte der Grphen G f und G g (flls es welche git!) Kominiere folgende Bereiche zur Lösung: > c G f verläuft üer G g < c G f verläuft unter G g c Schnittpunkte 0 0 L ] ;] [; [ Rechnerische Lösung Unterscheide zwei Fälle:. Fll: Betrgsinhlt 0. Fll: Betrgsinhlt < 0 Bestimme für jeden Fll eine Definitionsmenge. Löse die gegeene Ungleichung:!. Fll: Ersetze die Betrgsstriche durch Klmmern.. Fll: Ersetze die Betrgsstriche durch Klmmern, vor die du ein Minuszeichen setzt. Bestimme für jeden Fll die Ergenismenge. Bestimme für jeden Fll die Lösungsmenge ls Schnitt seiner Definitions- mit seiner Ergenismenge. Bestimme die Gesmtlösungsmenge ls Vereinigung eider Lösungsmengen. Beispiel:. Fll: 0. Fll: < 0 < D [; [ D ] ;[ ( ) ( ) ( ) E [; [ E ] ;] L [; [ L ] ;] L ] ;] [; [ Aufge: Bestimme mit eiden Verfhren die Lösungsmenge zur Grundmenge G. ) ) > c) ( ) Fchschft Mthemtik des SKG Seite 9

10 Linere Gleichungsssteme I Die Verknüpfung von lineren Gleichungen durch und ( ) nennt mn ein lineres Gleichungssstem: c c Meist schreit mn die eiden Gleichungen untereinnder, lässt ds Zeichen weg und nummeriert die Gleichungen. Gleichungsssteme dieser Art esitzen entweder genu eine Lösung oder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Grphisches Lösungsverfhren Beispiel: (I) 0 5 (II) L {(/)} Rechnerische Lösungsverfhren Die rechnerischen Lösungsverfhren zielen druf, us zwei Gleichungen mit je zwei Vrilen durch Äquivlenzumformungen zwei Gleichungen mit je einer Vrilen zu gewinnen. ) Einsetzverfhren Beispiel: (I) 0 (nch uflösen) (II) 5 8 (I ) 0 (in (II) einsetzen) 5 (0 ) (in (I ) einsetzen) 0 6 L {(/)} Eine der eiden Gleichungen wird nch einer Vrilen ufgelöst und dieser Lösungsterm wird dnn in die ndere Gleichung Fchschft Mthemtik des SKG Seite 0

11 Linere Gleichungsssteme II ) Additionsverfhren Aufgen: Beispiel : (I) 0 (II) 5 8 (I ) (II) (I )(II) L {(/)} (in (I) einsetzen) Beispiel : (I) 5 (II) 8 5 () (I ) (II ) (I )(II ) L {( / )} (in (I) einsetzen) Löse die folgenden Gleichungsssteme grphisch und rechnerisch! ) ) ) ) Um eine Vrile zu eliminieren, werden eide Gleichungen ddiert (zw. sutrhiert). Meist müssen dzu vor der Addition die eiden Gleichungen mit je einem geeigneten Fktor multipliziert werden. Fchschft Mthemtik des SKG Seite