O. GRUNDBEGRIFFE. Grundbegriffe

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1 Grundegriffe O. GRUNDBEGRIFFE Versuchen Sie die folgenden Begriffe - durchwegs Begriffe des täglichen Sprchgeruchs - genuer (mthemtisch) zu definieren. Ziffer Zhl Null Rechnen Rechenopertionen Stellenwert Zhlensystem Einheit Uneknnte Vrile Formel Gleichung Ungleichung - 1 -

2 1. ZAHLEN, MENGEN, RECHENGESETZE 1.1. Mengen () Definition Möchte mn eine estimmte Aussge - z.b. üer die Teilnehmer eines Kurses - treffen, könnte mn lle Nmen nennen, oder er, die Teilnehmer unter einem Smmelegriff zusmmenfssen, etw unter Kurs 1. Diese Vorgngsweise ermöglicht eine erste Definition des Begriffs der Menge: Eine Menge entsteht durch eine Zusmmenfssung von eindeutig unterscheidren Dingen (Ojekten) zu einem Gnzen. Diese Dinge nennt mn Elemente der Menge. Mengen ergeen sich oft ufgrund gemeinsmer Eigenschften der Elemente, etw die Menge der Wiener Autokennzeichen, die Menge ller Zhlen eines Würfels... Beispiel: Die Menge der Buchsten des Wortes MATHEMATIK ist gegeen durch die Buchsten : A, E, H, I, K, M, T So er ist die Zeile von Buchsten noch nicht ls zusmmengehörige Menge zu erkennen. Eine Menge wird immer durch einen Großuchsten symolisiert und die Elemente werden immer in geschwungenen Klmmern ngeschrieen: M {A,E,H,I,K,M,T} Aus diesem Beispiel ergeen sich ferner zwei wichtige Eigenschften von Mengen: 1. Die Elemente der Menge müssen nicht geordnet sein.. Jedes Element kommt nur einml vor. - -

3 () Wichtige Mengen N {0,1,,,4,5,...} (zuweilen uch N {1,,,...}) Menge der ntürlichen Zhlen Die ntürlichen Zhlen knn mn in zwei Gruppen teilen: N g {0,,4,6,8,...} N u {1,,5,7,9,...} Menge der gerden ntürlichen Zhlen Menge der ungerden ntürlichen Zhlen Eine weitere interessnte Menge sind die sogennnten Primzhlen: Menge der Primzhlen: Sie sind nur durch 1 und sich selst teilr. P {,,5,7,11,1,17,19,...} Aus dem Alltg sind uns uch Zhlen mit negtivem Vorzeichen durchus geläufig, mn denke etw n die Temperturnzeige: 10 C Z {..., 1,0,1,,...} Z + {+1,+,+,+4,...} Z { 1,,, 4,...} Menge der gnzen Zhlen Menge der positiven gnzen Zhlen Menge der negtiven gnzen Zhlen weitere Zhlenmengen: Q I R C Menge der rtionlen Zhlen (Bruchzhlen) Menge der irrtionlen Zhlen (Zhlen, die nicht durch einen Bruch oder eine endliche Dezimlzhl drstellr sind.) Menge der reellen Zhlen ( lle Zhlen ) Menge der komplexen Zhlen Um die Zugehörigkeit eines Elements zu einer Menge nzugeen, edient mn sich zweier einfcher Zeichen: M: ist ein Element der Menge M oder gehört zur Menge M. M: ist kein Element der Menge M oder gehört nicht zur Menge M. - -

4 (c) Besondere Mengen Unendliche Mengen Bisher hen wir zumeist nur üer unendliche Mengen - lso Mengen mit unendlich vielen (uneschränkt vielen) Elementen - gesprochen (Beispiele siehe vorige Seite). Mengen können er uch - z.b. durch estimmte Vorschriften - eschränkt sein: Endliche Mengen Endliche Mengen sind Mengen, mit einer endlichen (eschränkten) Anzhl von Elementen. Beispiele: - Menge der Buchsten im Wort Mthemtik: eschränkt ddurch, dß mn us den Buchsten nur ds Wort Mthemtik ilden können muß. - Menge der positiven Teiler von 8: T(8) {1,,4,8} - Menge der ungerden ntürlichen Zhlen von is 11: M {,5,7,9,11} Leere Menge Die leere Menge ist jene Menge, die üerhupt kein Element enthält. Bezeichnung: { } oder mit Beispiel: Menge der ntürlichen Zhlen zwischen 4 und 5 { } Die leere Menge knn dher immer ls die Lösungsmenge für eine Aufge ohne Lösung - wie uch im vorigen Beispiel - ngesehen werden

5 1.. Festlegung von Mengen () Aufzählendes Verfhren Alle Elemente einer Menge werden zwischen zwei geschwungenen Klmmern ufgezählt. Die isherigen Mengen wurden derrt ngegeen. () Beschreiendes Verfhren Die Elemente der Menge werden durch ihre gemeinsmen Eigenschften eschrieen. Für ds eschreiende Verfhren verwendet mn folgende Symole: < diese Symol edeutet kleiner ls Beispiel: x < 5, lle Zhlen, die mn für x einsetzt, müssen kleiner ls 5 sein. > diese Symol edeutet größer ls Beispiel: x > 4, lle Zhlen, die mn für x einsetzt, müssen größer ls 4 sein. dieses Symol edeutet kleiner oder gleich Beispiel: x 4, die Zhlen für x können kleiner oder gleich 4 sein. dieses Symol edeutet größer oder gleich Beispiel: x, die Zhlen für x können gleich oder größer ls sein. dieses Symol edeutet ungleich Beispiel: 4 Beispiel: Legen Sie die Menge A {,, 1,0,1,} im eschreienden Verfhren fest. A {x Z x } In Worten: A ist die Menge ller x Element us den gnzen Zhlen (x Z), für die gilt ( ): x ist größer oder gleich und kleiner oder gleich

6 (c) Mengenild - Venn Digrmm (d) Vernschulichung uf der Zhlengerde Zhlenmengen lssen sich uf der sogennnten Zhlengerden gut vernschulichen. Hierei wird uf einer Gerden ein Nullpunkt gewählt; eine Zhl stellt mn dnn durch einen Punkt uf der Gerden dr, der den Astnd vom Nullpunkt ht. Ist positiv, so liegt der Punkt rechts vom Nullpunkt, ist negtiv, so liegt der Punkt links vom Nullpunkt. Die Menge der ntürlichen Zhlen N esteht uf dem Zhlenstrhl us den Punkten mit jeweils Astnd 1 gemessen vom Nullpunkt. Die Menge der gnzen Zhlen Z esteht uf der Zhlengerden us den Punkten im Astnd 1 rechts und links (positiv und negtiv) vom Nullpunkt. Die Menge der rtionlen Zhlen Q läßt sich uf der Zhlengerden mit dem geometrischen Hilfsmittel des Strhlenstzes (siehe späteres Kpitel Plnimetrie) drstellen. Eine wesentliche Erkenntnis schon der griechischen Mthemtiker im Altertum wr in diesem Zusmmenhng, dß zwischen den rtionlen Zhlen noch Löcher leien, die irrtionlen Zhlen, lso jene Zhlen, die sich nicht ls Bruch drstellen lssen. Ein klssisches Beispiel ist die ngedeutete Konstruktion der irrtionlen Zhl. Die irrtionlen Zhlen ergänzen die rtionlen Zhlen zur Menge der reellen Zhlen; diese stellen lle Punkte der Zhlengerde ls einzige Zhlenmenge ohne Löcher dr

7 1.. Reltionen zwischen Mengen () Gleichheit Zwei Mengen sind genu dnn gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthlten. Beispiel: Vergleichen Sie die Mengen A {,,4} und B {²,6:,} B {²4,6:,} {4,,} {,,4} Ergenis: A B () Mächtigkeit Unter der Mächtigkeit einer endlichen Menge M versteht mn die Anzhl ihrer Elemente. Symolisch: z(m) oder M Die Mächtigkeit der leeren Menge ist Null. Bei llen nicht leeren endlichen Mengen ist die Mächtigkeit eine ntürliche Zhl. Beispiel: A {,,5,7} z(a) 4 (c) Gleichmächtigkeit von Mengen Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig (A~B), wenn es eine umkehrre Aildung (Zuordnung) von A uf B git. Bei endlichen Mengen heißt ds einfch, eide Mengen müssen diesele Anzhl von Elementen esitzen. Beispiele: - 7 -

8 - A {,,c,d} und B {1,,,4} z(a) z(b) 4 A ~ B - N g {0,,4,6,8,...}, N u {1,,5,7,9,...} N g ~ N u Jedem Element von N g knn mn genu ein Element von N u zuordnen. (d) Teilmenge Mn ezeichnet eine Menge A ls Teilmenge der Menge B, wenn jedes Element der Menge A uch Element der Menge B ist. Symolisch: A B Beispiel: A {,,5,7,11} und B N A ist eine Teilmenge von B, d lle Elemente von A uch Elemente von B sind. A ist sogr eine echte Teilmenge (symolisch: A Teilmenge, wenn A Teilmenge von B ist, er A B ist. B ); mn spricht von einer echten Weitere Anmerkungen zu Teilmengen: Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge Jede Menge ist Teilmenge von sich selst Ist A B, so nennt mn B die A A { } A Oermenge von A - 8 -

9 1.4. Verknüpfung von Mengen () Durchschnitt von Mengen Die Durchschnittsmenge (der Durchschnitt) zweier Mengen A und B (A B) ist die Menge ller Elemente, die sowohl zur Menge A ls uch zur Menge B gehören. A B : A geschnitten B A B {x (x A) (x B)} : und Beispiel: A {x P x 7}, B { x N x teilt 1} A B {,} Eigenschften der Durchschnittsmenge - Der Durchschnitt ist Teilmenge jeder der gegeenen Mengen: A B A, A B B - Ist A Teilmenge der Menge B gilt: A B A - Für lle A gilt: A A A - Hen zwei Mengen A und B kein gemeinsmes Element, so nennt mn sie elementfremd (disjunkt), die Durchschnittsmenge disjunkter Mengen ist die leere Menge: A B { } - Der Durchschnitt ist immer dersele, egl o mn A geschnitten B oder B geschnitten A ildet. Diese Regel nennt mn Kommuttivgesetz: A B B A - Die Reihenfolge der Durchschnittsildung ei mehreren Mengen ist egl. Diese Regel nennt mn Assozitivgesetz: (A B) C A (B C) - Digrmmdrstellung der Durchschnittsmenge A A B B - 9 -

10 () Vereinigung von Mengen Die Vereinigungsmenge (die Vereinigung) zweier Mengen A und B (A B) ist die Menge ller Elemente, die zur Menge A oder zur Menge B gehören. A B : A vereinigt mit B A B {x (x A) (x B)} : oder Beispiel: A {x P x 7}, B { x N x teilt 1} A B {1,,,4,5,6,7,1} Eigenschften der Vereinigungsmenge - Die Vereinigung ist Oermenge jeder der gegeenen Menge: A B A A B B - Ist A B, dnn gilt: A B B und umgekehrt. - Für lle A gilt: A A A - Kommuttivgesetz A B B A - Assozitivgesetz (A B) C A (B C) - Digrmmdrstellung der Vereinigungsmenge A B A B

11 (c) Differenzmenge Die Differenzmenge A \ B ist die Menge ller Elemente von A, die nicht zu B gehören. A \ B : A ohne B A \ B {x (x A) (x B)} Beispiel: A {x P x 7}, B { x N x teilt 1} A \ B {5,7}, B \ A {1,4,6,1} Eigenschften der Differenzmenge - A \ B A B \ A B (A \ B) (B \ A) { } - A \ B { }, wenn A B - B \ A { }, wenn A B - A \ A { } A \ { } A { } \ A { } - Kommuttívgesetz gilt nicht A \ B B \ A - Assozitivgesetz gilt nicht (A \ B) \ C A \ (B \ C) - Digrmmdrstellung der Differenzmenge A A \ B B \ A B (d) Komplementärmenge Die Komplementärmenge (ds Komplement, die Ergänzung) A der Menge A ezüglich der Grundmenge M ist die Menge ller Elemente, die nicht zu A gehören. { } A Komplementärmenge A M, A x ( x M) ( x A) A ist Teilmenge von M, A ist die Menge ller x, für die gilt: x ist Element von M und x ist nicht Element von A

12 Beispiel: M N A N g A N u Eigenschften der Komplementärmenge - A M \ A M A A A A { } - M {} {} M ( A ) A - Gesetze von De Morgn ( A B) A B ( ) - Digrmmdrstellung der Komplementärmenge A B A B M A A (e) Gesetze der Mengenlger (Zusmmenfssung) Kommuttivgesetze A B B A A B B A Assozitivgesetze (A B) C A (B C) (A B) C A (B C) Distriutivgesetze A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) Verschmelzungsgesetze A (A B) A A (A B) A Idempotenzgesetze A A A A A A Gesetze für die Ver- A M A A M M knüpfung von M und { } A { } { } A { } A Gesetze für A A { } A A M komplementäre Mengen (A ) A, M { }, { } M Gesetze von De Morgn (A B) A B (A B) A B - 1 -

13 1.5. Rechengesetze () Gesetzmäßigkeiten Ageschlossenheit Wenn mn zwei ntürliche Zhlen ddiert, so ist die Summe wieder ein Element der ntürlichen Zhlen, mn sgt, die Addition ist in N geschlossen. Auch für die Multipliktion ht diese Aussge Gültigkeit., NZQR,,, : + N, Z, Q, R N, Z, Q, R Assozitivgesetz In einer Summe von mehr ls zwei Summnden (in einem Produkt von mehr ls zwei Fktoren) knn mn elieig zu Teilsummen (zu Teilprodukten) verinden. Die Summe (ds Produkt) ändert sich ddurch nicht. c,, NZQR,,, : ( + ) + c + ( + c) ( ) c ( c) Kommuttivgesetz Beim Addieren drf mn Summnden vertuschen. Beim Multiplizieren drf mn Fktoren vertuschen. Der Wert der Summe (des Produkts) ändert sich dei nicht., NZQR,,, : + + Distriutivgesetz Wird eine Summe mit einem Fktor multipliziert, drf mn die einzelnen Summnden mit diesem Fktor multiplizieren. c,, NZQR,,, : ( + c) + c ( + ) c c+ c - 1 -

14 Neutrles Element Sowohl ei der Addition, ls uch ei der Multipliktion git es ein Element, ds m Wert der Summe zw. des Produkts nichts ändert: Addition: Multipliktion: N, Z, Q, R N, Z, Q, R Inverses Element Sowohl ei der Addition, ls uch ei der Multipliktion git es ein Element, sodß folgende Beziehung gilt: Addition: + + ( ) ( ) 0 Z, Q, R Multipliktion: QR, Die Verknüpfung eines Elementes mit seinem inversem Element ergit lso ds neutrle Element. Betrg einer Zhl Die eiden Zhlen und ( ) unterscheiden sich jeweils nur im Vorzeichen, zwei derrtige gnze Zhlen nennt mn Gegenzhlen:... Zhl, ( )... Gegenzhl Mn nennt den Astnd einer Zhl vom Nullpunkt den (soluten) Betrg der Zhl. Der Betrg einer gnzen Zhl ist stets eine ntürliche Zhl. Eine Zhl und ihre Gegenzhl hen stets denselen Betrg. Symolisch: Betrg von Beispiel: Folgerung: oder

15 () Grundrechnungsrten Rechenregeln Vorzeichenregeln der Addition und der Sutrktion Addition:, Z +, Q +, R + Summnd plus Summnd (Wert der) Summe gilt: ( + + ( ( ) ( ) + ( + ) ( ) ( + ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( + ) Sutrktion:, Z +, Q +, R + Minuend minus Sutrhend (Wert der) Differenz + + ( ) gilt: ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) Vorzeichenregeln der Multipliktion und der Division Multipliktion:, Z +, Q +, R + Fktor ml Fktor (Wert des) Produkt(s) gilt: ( + ) ( + ) + ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) Division:, Z, Q, R, Dividend durch Divisor (Wert des) Quotient(en) gilt: ( + ) ( + ) + ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( )

16 (c) Verindung der vier Grundrechnungsrten Um einheitliche Ergenisse erzielen zu können, git es in der Mthemtik einige Vorrngregeln; ds sind Regeln, die die Reihenfolge ei der Durchführung ei Berechnungen festlegen. 1. Regel: Punktrechnung vor Strichrechnung Treten in einer Rechnung Additionen und Sutrktionen (sogennnte Rechenopertionen erster Stufe) und Multipliktionen und Divisionen (Rechenopertionen zweiter Stufe) uf, so sind Rechenopertionen zweiter Stufe vor den Rechenopertionen erster Stufe uszuführen. Beispiel: Regel: Klmmern müssen zuerst usgerechnet werden Tritt in einer Rechnung eine Klmmer uf, so sind zuerst die Rechnungsopertionen in der Klmmer nch der 1. Regel uszuführen. Treten in der Rechnung mehrere Klmmern, ineinnder verschchtelt uf, so werden die Klmmern schrittweise von innen nch ußen ufgelöst. Beispiele: + 7 ( 5 + ) ( ) { [ ( )] } ( ) [ ] { [ ] } { } { } { } Klmmernregel: Steht vor einer Klmmer ein + Zeichen, so knn mn die Klmmer ohne Veränderung von Vorzeichen, die innerhl der Klmmer stehen, weglssen. Steht vor der Klmmer ein Zeichen, so müssen eim Weglssen der Klmmern lle Vorzeichen, die innerhl der Klmmer stehen, umgekehrt werden. Beispiel: + ( c) + c, ( ) c + c

17 (d) Rechnen mit Potenzen (mit gnzzhligen Exponenten) Ähnlich, wie mn Multiplizieren ls wiederholtes Addieren interpretieren knn ( ), knn wiederholtes Multiplizieren durch Potenzen drgestellt werden. Beispiel: Der Flächeninhlt des Qudrts erechnet sich us Seitenlänge ml Seitenlänge. knn mn er uch so schreien:... Bsis... n n... Exponent (Hochzhl) Der Exponent git n, wie oft die Bsis mit sich selst multipliziert wird. Es gilt: 0 1 R \{ 0 } n 1 R \ n {} 0, n N (Potenzen mit negtiven Exponenten) Beispiele: 7, , 4 16 Vorzeichen des Potenzwertes Wird die Bsis us den positiven reellen Zhlen R + und die Hochzhl us Z gewählt, so ist n Element us den positiven reellen Zhlen. Wählt mn die Bsis us den negtiven reellen Zhlen: Hochzhl n gerdzhlig us Z: n us R + ( ) ( ) ( ) +4 Hochzhl n ungerdzhlig us Z: n us R ( ) ( ) ( ) ( ) 8 Die Potenzen sind den Multipliktionen und Divisionen noch um eine Stufe üergeordnet, ds heißt, sie müssen noch vor den Punktrechnungen usgerechnet werden. Für Potenzen ergeen sich weitere neue Rechenregeln

18 Addition Mn drf Potenzen nur dnn ddieren, wenn sie in Bsen und Exponenten üereinstimmen. Beispiele: Sutrktion Auch hier gilt wieder, dß eine Üereinstimmung in Bsen und Hochzhlen gegeen sein muß. Beispiel: 6 7 Beispiel: ( ) ? Wie geht mn vor? So knn mn den Ausdruck nicht weiter vereinfchen, deshl: Zuerst Klmmer usmultiplizieren: dnn Zusmmenfssen gleicher Potenzen: Beispiel: + c? Knn nicht erechnet werden, d unterschiedliche Bsen gegeen sind. Multipliktion Mn multipliziert Potenzen gleicher Bsis miteinnder, indem mn ihre Hochzhlen ddiert. Mn multipliziert Potenzen gleicher Hochzhl, indem mn ei gleicher Hochzhl die Bsen multipliziert. R, rs, R: r s r+ s, R, r R: r r ( ) r

19 Division Mn dividiert Potenzen mit gleicher Bsis, indem mn ihre Hochzhlen sutrhiert. r r s R \{ 0 }, rs, R: s r s Mn dividiert Potenzen gleicher Hochzhl, indem mn die Bsen ei gleicher Hochzhl dividiert. n n, R, 0, r R: n Potenzieren Mn potenziert eine Potenz, indem mn die Bsis gleich läßt und die Hochzhlen multipliziert. R, rs R r, :( ) s rs Beispiele: ( ) ( ) ( ) ( ) + + ( ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + )

20 (e) Potenzen mit rtionlen Exponenten Die Umkehrung des Potenzierens ist ds Wurzelziehen, ds sogennnte Rdizieren. Die n-te Wurzel us einer nichtnegtiven Zhl ist jene eindeutig estimmte nichtnegtive Zhl, deren n-te Potenz gleich ist. { } + n, R0, n N\ 0 : n Mn nennt: n... Wurzelexponent... Rdiknt Potenzschreiweise von Wurzeln Aufgrund des Zusmmenhngs zwischen Potenzieren und Wurzelziehen schreit mn uch Wurzeln ls Potenzen n, ws den Vorteil ht, dß mn die Rechenregeln für Potenzen nwenden knn. n 1 n + R, n N\ { } 0 0 q p p q + R0, q N\ { 0}, p Z Rechnen mit Wurzeln n n n Bei gleichen Wurzelexponenten werden die Rdiknten multipliziert Bei gleichen Wurzelexponenten werden die Rdiknten dividiert n n n n n n Aus den einzelnen Fktoren wird die Wurzel gezogen n n ( ) n Aus Zähler und Nenner wird die Wurzel gezogen n r n r Wurzelexponent wird unverändert gelssen, Rdiknt wird potenziert - 0 -

21 n nm m Wurzelexponent wird multipliziert, Rdiknt wird potenziert nm m n Wurzelexponent und Potenzexponent wird durch diesele Zhl dividiert n n n Fktor unter die Wurzel ringen n n n Teilweises (prtielles) Wurzelziehen n m nm Rdizieren von Wurzeln Beispiele: - Addieren/Sutrhieren: Multiplizieren: ( ) ( ) Dividieren:

22 1.6. Rechnen mit Brüchen () Definition und Arten von Brüchen Der Begriff des Bruches ist llen us dem Alltg ein Begriff, etw kuft mn ¼ Butter, oder ein ½ kg Brot. Ein Bruchteil ist immer Teil eines Gnzen. r heißt Zähler des Bruches, er git n, wie viele Teile vom Gnzen genommen werden. heißt Nenner des Bruches, er git n, in wie viele Teile ds Gnze geteilt wird. Der Wert r eines Bruches ist jene endliche oder periodische Dezimlzhl, die sich eim Ausrechnen der Division ergit. Mn unterscheidet einige Arten von Brüchen: Echter Bruch Der Betrg des Zählers ist kleiner ls der Betrg des Nenners, der Wert des Bruches ist dem Betrg nch kleiner 1. Beispiele: ; ; 4 ; ;... Unechter Bruch Der Betrg des Zählers ist größer ls der Betrg des Nenners, der Wert des Bruches ist etrgsmäßig immer größer 1. Beispiele: 4 ; ; ; 8 ;

23 Uneigentlicher Bruch Der Wert des Bruches ist eine gnze Zhl. Beispiele: 4 6 ; ;... Gemischte Zhl Sie esteht us einer gnzen Zhl und einem echten Bruch. Beispiele: (ds edeutet + und nicht ) Stmmruch Im Zähler steht immer die Zhl 1. Dher knn mn den Stmmruch ls Kehrwert der Zhl im Nenner verstehen. Beispiele: 1 ; 1 1 ; 6 ;... () Teilrkeit, Fktorenzerlegung Teiler: Eine Zhl heißt (echter) Teiler der Zhl, wenn durch teilr ist (mn durch ohne Rest dividieren knn). Mn schreit: ( teilt ). Die Zhl 1 nennt mn den trivilen Teiler, d 1 Teiler jeder Zhl ist. - -

24 Teilrkeitsregeln Summenregel: Ein gemeinsmer Teiler zweier Zhlen teilt uch die Summe der Zhlen. Produktregel: Wenn die Zhl eine Zhl teilt, so teilt sie uch jedes Vielfche von. Beispiele: 6 4 und 618 so gilt: 6 ( ) 9 ( 59 ) 45 Spezielle Teilrkeitsregeln: : Eine gnze Zhl ist durch teilr, wenn die Einerziffer 0,, 4, 6 oder 8 ist. : Eine gnze Zhl ist durch teilr, wenn die Ziffernsumme (Quersumme) durch teilr ist. 4: Eine gnze Zhl ist durch 4 teilr, wenn die us Einer- und Zehnerziffer geildete Zhl durch 4 teilr ist. 5: Eine gnze Zhl ist durch 5 teilr, wenn die Einerziffer 0 oder 5 ist. 6: Eine gnze Zhl ist durch 6 teilr, wenn sie durch und durch teilr ist. 8: Eine gnze Zhl ist durch 8 teilr, wenn die us der Hunderter-, Zehnerund Einerziffer geildete Zhl durch 8 teilr ist. 9: Eine gnze Zhl ist durch 9 teilr, wenn die Ziffernsumme durch 9 teilr ist. 11: Eine gnze Zhl ist durch 11 teilr, wenn ihre Wechselquersumme durch 11 teilr ist. 5: Eine gnze Zhl ist durch 5 teilr, wenn die letzten eiden Stellen 00, 5, 50 oder 75 sind. Primzhlen: Eine ntürliche Zhl heißt Primzhl, wenn sie nur durch 1 und durch sich selst teilr ist. Sie esitzt lso keine echten Teiler

25 Primzhlen is 100: Beispiele: 97 wegen , wegen wegen 4 und ( ) ; wegen ,11 11 Primfktorzerlegung Jede ntürliche Zhl n läßt sich (is uf die Reihenfolge der Fktoren) eindeutig ls Produkt von Primzhlen drstellen. Beispiele: 1, 18 Um eine Zhl in ihre Primfktoren zu zerlegen, wird diese Zhl schrittweise durch die Primzhlen mit der kleinsten eginnend (mit ) dividiert. Gemeinsmer Teiler Eine Zhl c 0 heißt gemeinsmer Teiler zweier oder mehrerer Zhlen, wenn c ein Teiler jeder dieser Zhlen ist. Der größte dieser Teiler heißt größter gemeinsmer Teiler (ggt). Der ggt ist ds Produkt ller gemeinsmen Primfktoren. Beispiel: ggt von 1 und 18 ggt(1,18) 1, 18 ggt( 1, 18 ) 6-5 -

26 Gemeinsmes Vielfches Eine Zhl c 0 heißt gemeinsmes Vielfches zweier oder mehrerer Zhlen, wenn c ein Vielfches jeder dieser Zhlen ist. Ds kleinste dieser Vielfchen wird kleinstes gemeinsmes Vielfches (kgv) gennnt. Ds kgv ist ds Produkt ller verschiedenen Primfktoren. Ds kgv muß selstverständlich größer oder gleich sein ls die eiden Zhlen und höchstens so groß wie ds Produkt dieser eiden Zhlen. Ds kgv ist ds Produkt ller verschiedenen uftretenden Primfktoren jeweils in ihrer höchsten Potenz: Beispiel: kgv (1,18) 1, 18 kgv( 1, 18) 6 (c) Rechnen mit Brüchen Erweitern und Kürzen Erweitern: Multipliziert mn Zähler und Nenner eines Bruches mit derselen Zhl (k 0), so ändert sich der Wert des Bruches nicht. Mn sgt, mn erweitert den Bruch mit k. Kürzen: Dividiert mn Zähler und Nenner eines Bruches durch diesele Zhl (k 0), so ändert sich der Wert des Bruches nicht. Mn sgt, mn kürzt den Bruch durch k. k k k k Brüche, die durch Erweitern oder Kürzen useinnder hervorgehen, sind äquivlent; ds heißt, sie stellen diesele rtionle Zhl dr

27 Addition und Sutrktion von Brüchen gleichnmige Brüche: Ds sind Brüche mit gleichem Nenner. Die Zähler werden ddiert (sutrhiert), der Nenner leit unverändert. Ein Bruchstrich wirkt dei wie eine Klmmer! c ± ± c ungleichnmige Brüche: Diese müssen, evor mn sie ddiert oder sutrhiert, erst einml uf gleichen Nenner gercht werden. Der kleinste gemeinsme Nenner ist ds kleinste gemeinsme Vielfche (kgv) ller Nenner. c ± d d ± c d Beispiel: Multipliktion von Brüchen Multipliktion eines Bruches mit einer gnzen Zhl: Mn multipliziert einen Bruch mit einer gnzen Zhl, indem mn den Zähler mit der gnzen Zhl multipliziert und den Nenner unverändert läßt. c c - 7 -

28 Multipliktion eines Bruches mit einem Bruch: Mn multipliziert zwei Brüche miteinnder, indem mn Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. c d c d Division von Brüchen Division eines Bruches durch eine gnze Zhl: Mn dividiert einen Bruch durch eine gnze Zhl, indem der Zähler unverändert leit und der Nenner mit der gnzen Zhl multipliziert wird. c (c 0) c Division eines Bruches durch einen Bruch: Mn dividiert zwei Brüche, indem mn mit dem Kehrwert multipliziert., Kehrwert c d d c d c Beispiel:

29 1.7. Terme () Definition Aus Zhlen, Rechenzeichen (+,, ; ) und Vrilen (Pltzhlter, Leerstellen, für die us einer gegeenen Grundmenge elieige Elemente eingesetzt werden drf) können sinnvolle Rechenusdrücke, sogennnte Terme, geildet werden. Mn unterscheidet: Gnz rtionle Terme In den vorkommenden Nennern tritt keine Uneknnte uf. Beispiele: ( ),, x +, 7 x 4 Gerochen rtionle Termen - Bruchterme Im Nenner tritt mindestens eine Uneknnte uf. Beispiele: 5r + s y + 1,, x 4t y Ferner unterscheidet mn einige häufig vorkommende Termrten: Monome (eingliedrige Ausdrücke):,, 4, y Binome (zweigliedrige Ausdrücke) : + 1,, u v Polynome (mehrgliedrige Ausdrücke): Sonderfll Polynom in einer Vrilen: 4x 4 + 5x x 7-9 -

30 Mn nennt die Zhlen, die vor der Uneknnten stehen, Koeffizienten. Mn ordnet ein Polynom immer nch vorkommenden Potenzen (von links nch rechts fllend); die höchste im Polynom vorkommende Potenz estimmt den Grd des Polynoms. Oiges Polynom knn dher ls Polynom 4. Grdes ezeichnet werden. Um zu üerprüfen für welchen Zhlenereich ein Term sinnvoll formuliert ist, muß mn üerprüfen, welche Zhlen der Grundmenge mn im Term für die Vrile einsetzten knn (drf), sodß die Lösung eine eindeutig estimmte Zhl ergit. Mn sgt, mn estimmt die Definitionsmenge des Terms: Ein Term T(x) mit einer Vrilen x esitzt eine Definitionsmenge D ezüglich der Grundmenge G. Ds ist die Menge jener Elemente us G, mit denen mn die Vrile x elegen knn, sodß der Term eine eindeutig estimmte Zhl ergit. Ein gnz rtionler Term ist für lle Zhlen der Grundmenge definiert. Ein Bruchterm ist nur für jene Zhlen definiert, für die der Nenner des Terms nicht Null ergit. (Grund: Eine Division durch Null ist in der Mthemtik nicht definiert!) Ermittlung der Definitionsmenge: Beispiel: Tx ( ) x 5, G Z Mn estimmt jene Werte, für die der Nenner Null wird, und schließt diese dnn us der Grundmenge us. x 0 x gehört nicht zur Definitionsmenge D Z\ { } () Rechnen mit Termen Prinzipiell knn mn Vrile und Terme ehndeln wie Zhlen; ds Ziel im Umgng mit Termen esteht drin, durch geschickte Umformungen möglichst einfche Termdrstellungen zu ekommen

31 Addition und Sutrktion Bei der Addition sind Kommuttiv- und Assozitivgesetz gültig. Beispiel: Ordnen nch positiven und negtiven Summnden 7x x + 4x 5x Zusmmenfssen 7x + 4x x 5x Zusmmenfssen 11x 7x 4x Beispiel: Ordnen nch gleichnmigen Summnden 4+ 4 Zusmmenfssen Multipliktion Eingliedrige Terme: mit gleichen Vrilen: x x 6x mit ungleichen Vrilen: x 4y 1xy Eingliedriger Term multipliziert mit mehrgliedrigem Term: Der Term vor der Klmmer wird mit jedem Summnden in der Klmmer multipliziert. Beispiel: ( ) x y + 6xy + 4x Mehrgliedriger Term multipliziert mit mehrgliedrigem Term: Jeder Summnd des ersten Terms wird mit jedem Summnd des zweiten Terms multipliziert. Beispiel: ( ) ( ) x + + x + x

32 Besondere Produkte Binomsche Formeln ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) + Vereinfchen eines Terms durch Herusheen eines gemeinsmen Fktors Herusheen Ausmultiplizieren 5 ( + ) Mn trchtet dnch, möglichst viele gemeinsme Fktoren zu erkennen, um sie herusheen zu können. Oft ist es deshl vorher notwendig, den Term zu zerlegen, etw mit Hilfe der Binomschen Formeln. Ist in llen Summnden ein gemeinsmer Fktor vorhnden, so knn mn diesen herusheen. x x y + y x + y x ( ) y ( ) ( ) ( x y ) Beispiel: ( ) ( ) Addieren und Sutrhieren von Bruchtermen Es sind lle Regeln des Bruchrechnens gültig! Addieren und Sutrhieren gleichnmiger Bruchterme: Mn ddiert zw. sutrhiert gleichnmige Bruchterme, indem mn Zähler mit Zähler ddiert (sutrhiert) und den Nenner unverändert läßt. - -

33 Beispiel: x y x + y x y + x + y 5 x + + y Addieren und Sutrhieren ungleichnmiger Bruchterme: Ungleichnmige Bruchterme werden zuerst gleichnmig gemcht; ds heißt, uf gemeinsmen Nenner gercht. Mn estimmt einen sogennnten Huptnenner. Der Huptnenner ist der einfchste Term, der lle vorkommenden Nenner ls Fktoren enthält. Mn stellt deshl lle Nenner ls Produkte nicht weiter zerlegrer Fktoren dr. Der Huptnenner ist ds Produkt ller Fktoren, ei gemeinsmen Fktoren jeweils mit der höchsten Potenz (kgv der vorkommenden Terme). Beispiel: Vereinfchen Sie folgenden Term: x + 4 x x x + x x 9? Zerlegung der einzelnen Nenner: Erweiterungsfktor 1. Nenner: x ( x + ) ( x ). Nenner: x + x x ( x + ) ( x ). Nenner: x 9 ( x ) ( x ) + x Bestimmung des Huptnenners (HN): x ( x + ) ( x ) ( x + ) ( x ) ( + ) ( ) x x x ( x + 4) ( x ) ( + ) ( ) + x x x ( ) ( ) ( x + 4) x ( ) ( ) x x + x ( x 18) + ( x + x 1) ( x + 4x) x x + x x x 0 x x + x ( ) ( ) - -

34 Multipliktion und Division von Bruchtermen Es sind lle Regeln des Bruchrechnens gültig! T T 1 T T 4 T T T T 1 4 T T 1 T T1 T T T T 4 4 Beispiel: xy xy y x y x ( ) ( ) ( ) xy x + y x y y x y x ( ) y x + y x Beispiel: r r r 9 ( + ) ( ) r ( r ) ( ) r (c) Polynomdivision Polynome werden zunächst nch fllenden Potenzen der Vrilen geordnet und dnn schrittweise dividiert. Beispiel: ( 0x 1x 1x ) ( 4 x) + + Ordnen: ( 1x 1x 0x) ( x 4) + Die weitere Division erfolgt ähnlich der Division von Zhlen: Wie oft ist x in 1x enthlten? 4 x ml ( ) ( ) 1x 1x + 0x x 4 4x 5x ( 1x 16x ) 15x + 0x ( 15x + 0x) 0 R

35 Anhng: Üungseispiele zum 1. Kpitel 7 1/1 Gegeen sind die Zhlen: 0; 17; ; 1, ; 8; 16;. 4 Stellen Sie ei jeder Zhl fest, o sie Element der Mengen N, P, N g, N u, Z +, Z, Q ist oder nicht. Trgen Sie ds Ergenis mit Hilfe von zw. in eine Telle ein. 9 1/ Die folgenden Mengen sind im ufzählenden und im eschreienden Verfhren festzulegen: ) die Menge der durch zwei teilren Zhlen, die kleiner ls sind, ) die Menge der ntürlichen Zhlen, die Vielfche von und kleiner ls 9 sind, c) die Menge der Qudrtzhlen zwischen 1 und 101, d) die Menge der Primzhlen zwischen 1 und 50. 1/ Die folgenden Mengen sind im eschreienden Verfhren festzulegen: ) A {4,6,8,10,1,14,16} ) B { 8, 6, 4, } c) C {5,7,9,11,1,15} d) D {, 4, 5, 6,...} 1/4 Die folgenden Mengen sind im ufzählenden Verfhren festzulegen: ) A {x Z x> 10} ) B {x Z <x<5} c) C {x N (x ist Vielfches von 4) (10<x<50)} d) D {x N g (x ist Kuikzhl) (1<x<100)} 1/5 Stellen Sie fest, o die folgenden Mengen gleichmächtig sind oder nicht: ) A {x N x<5}, B {y N y <16} ) C {s Z s 4}, D {t N t³ 15} c) E {r Z 5 r<}, F {z Z <z 6} d) G {v N 6<v<1}, H {w Z 0 w> 5} - 5 -

36 1/6 Welche der folgenden Aussgen ist whr: ) { } {0} ) { { } } { } c) { } {0} d) { { } } {0} 1/7 Gegeen ist die Menge M {x N 0<x<0}. Bestimmen Sie die folgenden Teilmengen von M: ) T 1, die Teilmenge ller ungerden Zhlen von M, ) T, die Teilmenge ller durch 7 teilren Zhlen von M, c) T, die Teilmenge ller Primzhlen von M, d) T 4, die Teilmenge ller Kuikzhlen von M Geen Sie die Teilmengen jeweils im ufzählenden Verfhren und in einem Mengendigrmm n. 1/8 Geen Sie den Durchschnitt der folgenden Mengen im ufzählenden und im eschreienden Verfhren n: ) A {x N x<1}, B {x Z 5 x<6} ) C {x Z 6<x<10}, D {x Z 4 x<15} c) Z N d) Q Z 1/9 Gegeen sind die Mengen A {1,,,4,5,6}, B {,4,6,8,10} und C {1,4,5,6,9,10}. Üerprüfen Sie folgende Aussgen: ) A B B A ) A B C A B c) (A B) C A (B C) d) A B B C - 6 -

37 1/10 Vereinfchen Sie unter Bechtung der Gesetze für die Durchschnittsildung: ) A (B A) ) A [(A B) B] c) (A B) (B C) d) { } (A B) 1/11 Gegeen sind die Mengen A {1,,,4,5,6}, B {,4,6,8,10} und C {1,4,5,6,9,10}. Üerprüfen Sie folgende Aussgen: ) A B B A ) A B C A B c) (A B) C A (B C) d) A B B C 1/1 Vereinfchen Sie unter Bechtung der Gesetze für die Bildung der Vereinigung: ) A (B A) ) A [(A B) B] c) (A B) (B C) d) { } (A B) 1/1 Üerprüfen Sie mittels Zugehörigkeitstfel ds Distriutivgesetz: A (B C) (A B) (A C) 1/14 Ermitteln Sie folgende Differenzmengen: ) N g \ P ) V(6) \ V() c) T(4) \ T(8) d) N \ Q e) Q \ N f) R \ Q - 7 -

38 1/15 Gegeen sind die Mengen A {1,,,4,5,6,7}, B {,4,6,8,10} und C {,6,9}. Üerprüfen Sie die folgenden Aussgen: ) A \ (B C) (A \ B) (A \ C) ) A (B \ C) (A C) \ (A C) 1/16 Gegeen sind die Mengen M {1,,,4,5,6,7,8,9,10}, A {1,,,4,5,6,7,8} und B {,4,5,7,9,10}. Ermitteln Sie folgende Komplementärmengen: ) A B ) A B c) A B 1/17 Üerprüfen Sie die folgende Aussgen: ) A \ B (A B ) ) A \ B A B 1/18 Gegeen sind die Mengen A {,,5,7,11,1,17,19}, B {1,,5,7,9,11,1,15,17,19} und C {1,4,7,10,1,16,19}. Geen Sie die Mengen im eschreienden Verfhren n. Üerprüfen Sie weiters lle Gesetze der Mengenlger (Seite 1). 1/19 Üerprüfen Sie mit den Mengen us Beispiel 1/18 folgende Aussgen ezüglich der Mächtigkeit von Mengen: ) z(a B) z(a) + z(b) z(a B) ) z(a B C) z(a) + z(b) + z(c) z(a B) z(a C) z(b C) + z(a B C) 1/0 Berechnen Sie die Ergenisse folgender Rechenufgen: ) [( 8):7 ] [+8 ( 1)] ) [5:( 5)+5] [48:( 1)+] 1/1 Berechnen Sie die Ergenisse folgender Rechenufgen: ) ( 5) ( 1) 4 ( )+( 1) ( 10) ( ) ( 1) ) [ ( 8) ( 6) ( 7) ( 7)] 5 ( 8) 6-8 -

39 1/ Setzen Sie mit den Zhlen 7,( 8),11, für x in den folgenden Ausdrücken ein: ) x ( x)+x x ) x ( x) ( x) x 1/ Berechnen Sie die Ergenisse folgender Rechenufgen: ) 1 ( ) +9 ( 1) +4 6 [5 ( 6)]:( ) ) ( 10) ( ) 4 ( ).15+( 4) ( 0)+[7 ( 5)]:5 c) ( 5) ( 1) 4 ( ) 4 +( 1) ( 10) ( ) ( 1)³ d) ( 10) ( ) 4 [( ).15+( 4) ( 0)+7 ( 5)]:5 1/4 Berechnen Sie die Ergenisse folgender Rechenufgen: ) ) ( ):(1, 10 ) c) d) ( ):10 1/5 Berechnen Sie die Ergenisse folgender Rechenufgen: 4 ) ) c) d) 1/6 Berechnen Sie die Ergenisse folgender Rechenufgen: ) ( ) ( 10 : 6 1 ) ) ( ) c) d)

40 1/7 Ermitteln Sie den ggt und ds kgv folgender Zhlen: ) 18, 4, 7 ), 81, 4 c) 8, 57, 99 d) 100, 5, 4, 400 1/8 Berechnen Sie die Ergenisse folgender Rechenufgen: ) ) c) : d) : 1 1/9 Versuchen Sie die folgenden periodischen zw. gemischtperiodischen Zhlen ls Brüche nzuschreien: ) 04,. ) 05,... c) 080, d) 0609,.. 1/0 Vereinfchen Sie folgende Terme: ) c {++[ c ( )]} ) ( ) ( )+( ) + ( )+ c) ( 1) {+c+( 1) [ c (+)]} d) {+[ ( )] 7}

41 1/1 Vereinfchen Sie folgende Terme und estimmen Sie - soweit ds derzeit möglich ist - die Definitionsmengen (G R): ) 4 : 5 ) c) d) 5 c x m y z n+ 1 4xy 4 x : 1/ Vereinfchen Sie folgende Terme: ) 5 [(+) ] ) (x +) (x ) (x ) c) (x +y 6 ) (x y 6 ) (x +y 6 ) d) (s t) (s 6 +s t+t ) 1/ Vereinfchen Sie folgende Terme und estimmen Sie - soweit ds derzeit möglich ist - die Definitionsmengen (G R): ) + y y ) 1 x x y c) ( ) d) e) 1 1 x 1 x x 1 x x x x :

42 1/4 Vereinfchen Sie folgende Terme und estimmen Sie - soweit ds derzeit möglich ist - die Definitionsmengen (G R): ) ) c 7 1 c c) d) ( x+ y) ( y x) : 8 x xy x x+ y y x y x 1 1 : + 4 ( x+ y)( y x ) y x 4y ( x y) 1/5 Führen Sie ei folgenden Termen die Polynomdivision durch und estimmen Sie - soweit ds derzeit möglich ist - die Definitionsmengen (G R): ) (6x 10x 4):(x 4) ) (15x +75x +45x+7):(5x+) c) (15x 1x +19x 7):(x x+1) d) (8x +10x x+5):(x +x 5) e) (x 1):(x 1) 1/6 Versuchen Sie nun, nch Durchreiten des 1. Kpitels, erneut die Grundegriffe des 0. Kpitels mthemtisch zu definieren: Ziffer Zhl Null Rechnen Rechenopertionen Stellenwert Zhlensystem Einheit Uneknnte Vrile Formel Gleichung Ungleichung - 4 -