HA-Lösung TA-Lösung Diskrete Strukturen Tutoraufgabenblatt 2. Besprechung in KW44

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1 Technische Universität München Winter 08/9 Prof. J. Esprz / Dr. M. Luttenerger, C. Welzel 08//0 HA- TA- Diskrete Strukturen Tutorufgenltt Besprechung in KW Bechten Sie: Soweit nicht explizit ngegeen, sind Ergenisse stets zu egründen! Lesen Sie sich itte uf der Wepge die Bestimmungen zu den Husufgen genu durch. Aufge. () Eine Musikdtennk esteht u.. us den folgenden Reltionen/Tellen: CdDescr = {(cdid i, rtistid i, yer i, title i ) N 0 N 0 N 0 String...} TrckDescr = {(trckid i, title i, cdid i ) N 0 String N 0...} ArtistDescr = {(rtistid i, rtistnme i, isperson i ) N 0 String {0, }...} ArtistToBnd = {(rtistid i, rtistid i ) N 0 N 0...} GuestToTrck = {(rtistid i, trckid i ) N 0 N 0...} Ein reltionles Progrmm ist eine Folge von Definitionen von Reltionen ( Zuweisungen ) der Form X := Y Z, woei Y, Z für Bezeichner von ereits definierten Reltionen stehen, und stellvertretend für eine der ülichen mengentheoretischen Opertionen zuzüglich Join und Projektion (lso {,, \,,, π}) steht; llgemeiner drf die rechte Seite einer Zuweisung uch ein llgemeiner Term üer ereits erechneten Reltionen unter Verwendung der gennnten Opertionen {,, \,,, π} sein. (i) Sei t String ein Trcktitel. Bestimmen Sie die von folgendem reltionlen Progrmm erechnete Reltion Z: U := TrckDescr = {(t)} V := π (U) W := π (U) X := π (GuestToTrck = V ) Y := π (CdDescr = W ) X Z := π (ArtistDesc = Y ) Ausge. (ii) Schreien Sie ein reltionles Progrmm, ds us den oen gegeenen Reltionen/Tellen die Reltion erzeugt, die jeden Künstlernmen, der für eine Person steht, mit den Titeln der Songs in Reltionen setzt, n denen der jeweilige Künstler direkt oder ls Gst eteiligt wr. Stellen Sie zum Vergleich Ihr Progrmm ls einen Term für die gesuchte Reltion uf welchen Vorteil ietet die Drstellung ls Progrmm gegenüer der Drstellung ls Term? () In der Vorlesung wurde der Join R i=j S = {(r,..., r k, s,..., s l ) (r,..., r k ) R, (s,..., s k ) S, r i = s j } eingeführt. Im Allgemeinen erlut mn uch den Test uf Gleichheit in mehreren Komponenten: R i=j,i =j,...,i r=j r S = {(r,..., r k, s,..., s l ) (r,..., r k ) R, (s,..., s k ) S, r i = s j,..., r ir = s jr } Stellen Sie R i=j,i =j S mittels π und i=j und den ülichen mengentheoretischen Opertionen dr.

2 () (i) U := TrckDescr = {(t)} Teilmenge von TrckDescr mit tile = t. (ii) TrckIds := π (U) lle TrckIDs (ls -Tupel) von Trcks mit Titel t. CdIds := π (U) lle CdIDs (ls -Tupel) von Trcks mit Titel t. GuestIds := π (GuestToTrck = TrckIds) lle ArtistIDs von Gästen eines Trcks mit TrckID us TrckIds. ArtistIds := π (CdDescr = CdIds) GuestIds GuestIDs ergänzt um die ArtistIDs, die einer CD zugordnet sind, welche einen Trck mit Titel t enthlten. Artists := π (ArtistDesc = ArtistIds) die Nmen ller Gstkünstler, die einem Trck mit Titel t zugeordnet sind, und ller Künstler, die einer CD, welche einen Trck mit Titel t enthält, zugeordnet sind; llerdings werden Bndnmen nicht weiter in die Bndmitglieder ufgelöst. HumnArtists := π, (ArtistDesc = {()}) GuestToTitle := π, (GuestToTrck = TrckDescr) ArtistToTitle := π,6 (CdDescr = TrckDescr) ArtistToTitle := π, (ArtistToBnd = ArtistToTitle) ArtistToTitle HumnGuestToTitle := π, (HumnArtist = (GuestToTitle ArtistToTitle )) Für die entsprechenden Terme müssen die Definitionen schrittweise ineinnder eingesetzt werden, woei Definitionen u.u. mehrmls repliziert werden, ws () zu einem Explodieren des Ausdrucks/Terms führen knn und () ei niver Auswertung des Terms unnötige wiederholte Berechnungen edeutet: π, (π, (ArtistDesc = {(y)}) = (π, (GuestToTrck = TrckDescr) π, (ArtistToBnd = π,6 (CdDescr = TrckDescr)) π,6 (CdDescr = TrckDescr))) () D es sich um eine Verundung (Konjunktion) von Bedingungen hndelt, knn mn einfch den Schnitt üer die einzelnen Joins verwenden: R i=j,k=l S = (R i=j S) (R k=l S) Aufge. Wir etrchten die eiden inären Reltionen R (linke Aildung, in Rot) und S (mittlere Aildung, in Schwrz) uf der gemeinsmen Grundmenge Ω = [] = {,,,, }. Die rechte Aildung zeigt die Vereinigung R S eider Reltionen: (R) (S) (R S) Geen Sie RS, SR, R S, (RS) + (jeweils einzeln) in grphischer Drstellung n. Verwenden Sie hierei exkt diesele Anordnung der Elemente (Knoten) wie in dieser Aufgenstellung. RS :

3 SR : R S : (RS) + : Aufge. Wir etrchten die folgenden Reltionen uf der Grundmenge A = [0] = {,,..., 0}. Stellen Sie die Reltionen grphisch dr und geen Sie jeweils n, o die jeweilige Reltion reflexiv, symmetrisch, ntisymmetrisch, symmetrisch oder trnsitiv ist. Wenn eine Reltion eine Eigenschft nicht esitzt, elegen Sie dies durch ein Beispiel. () Für x, y [0] gelte x y gdw. Entweder y = x/ und x ist gerde, oder y = x + und x ist ungerde. () Für x, y [0] gelte x y gdw. es gilt x y < 0. (c) Für x, y [0] gelte x y gdw. es gilt x = x+y x y. () Keine der ufgelisteten Eigenschften.

4 () Nur symmetrisch (c) D x, y [0] gilt x + y / = (x + y)/, ws gerde der Mittelpunkt ist. x y / ist die hle Distnz zwischen x und y (in R), dmit ist ( x + y x y )/ gerde ds Minimum von x und y. Z.B. für x = und y = 7 ergit sich x + y / = 6, x y / = und ( x + y x y )/ = = x. Es gilt dher x y gdw. x = min(x, y) gdw. x y. Also ist eine prtielle Ordnung und dher reflexiv, ntisymmetrisch und trnsitiv. Aufge. Sei R A A eine inäre Reltionen mit A. () Entscheiden Sie jeweils, o R = symmetrisch, ntisymmtrisch, symmetrisch, reflexiv zw. trnsitiv ist. Ws ändert sich, wenn A = ngenommen wird? () Geen Sie jeweils ein R mit minimlem A > 0 n, so dss R nicht reflexiv zw. nicht symmetrisch zw. nicht symmetrisch zw. nicht ntisymmetrisch zw. nicht trnsitiv ist. () Dmit R nicht reflexiv ist, muss es mindestens einen Knoten ohne Schleife geen. D R nicht leer sein soll, d.h. d es mindestens eine Knte geen soll, muss es dmit mindestens zwei Elemente geen. Mögliche somit: R = {(, )} für A = {, }. Dmit R nicht symmetrisch ist, muss es mindestens zwei verschiedene Knoten geen, die durch genu eine (gerichtete) Knte verunden sind: R = {(, )} mit A = {, }. Dmit R nicht ntisymmetrisch ist, muss es einen Kreis, ( ) geen. Flls R, ist R somit ntisymmetrisch. R = {(, ), (, )} mit A = {, }.

5 Dmit R nicht symmetrisch ist, muss es entweder eine Schleife oder einen Kreis, geen. R = {(, )} mit A = {}. Dmit R nicht trnsitiv ist, rucht mn mindestens zwei verschiedene Pfeile c, woei die Knte c fehlen muss; ds geht mit = c (z.b. R = {(, ), (, )} mit A = {, }), jedoch nicht für = = c.