Einführung in die Mathematik des Operations Research

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1 Universität zu Köln Mthemtishes Institut Prof. Dr. F. Vllentin ufge ( + 7 = 0 Punkte) Einführung in die Mthemtik des Opertions Reserh Sommersemester 0 en zur Klusur (7. Juli 0). Es seien M = {,..., n }, F = {,..., n } zwei Mengen mit n Elementen. Desweiteren seien zwei Mtrizen gegeen, die die Präferenzen der Männer M zw. der Fruen F drstellen. Welhe Eigenshften muss eine ildung σ : M F erfüllen, so dss σ ein stiles Mthing ist?. erehnen Sie ds stile Mthing, ds ei den unten ngegeenen Präferenztellen für die Fruen m esten ist: Männer : : : Fruen : : :. Die ildung σ muss ein niht niht-stiles Mthing sein. Ein Mthing ist eine ijektion von M nh F. Ein Mthing heisst niht-stil, flls es m M und f F git, so dss die folgenden drei edingungen gelten: () σ(m) f, () m evorzugt f gegenüer σ(m), () f evorzugt m gegenüer σ (f).. Der Gle-Shpley lgorithmus erehnet ds este stile Mthing für ds Geshleht, ds die Heirtsnträge mht. lso müssen hier die Fruen den ersten Shritt wgen. Der lgorithmus von Gle und Shpley liefert folgendes: k = k = k = Somit ist (, ), (, ), (, ) ds für die Fruen este stile Mthing.

2 ufge ( = 0 Punkte). Ws ist eine Trennhypereene?. Wie lutet der Stz üer die Existenz einer Trennhypereene?. Es sei R n eine niht-leere, geshlossene und konvexe Menge. Zeigen Sie, dss ls der Durhshnitt seiner stützenden Hlräume drgestellt werden knn, d.h. dss = H gilt. H Stützhypereene von. Es seien, D R n Mengen. Eine Hypereene H = {x R n : T x = δ} mit R n \ {0}, δ R, heißt Trennhypereene von und D, flls H + und D H (zw. H, D H + ) gilt. Dei ist H + = {x R n : T x δ} und H = {x R n : T x δ}.. Sei R n eine niht-leere, geshlossene und konvexe Menge. Sei z R n \. Dnn git es eine Trennhypereene von {z} und.. Die Inklusion folgt unmittelr us der Definition von Stützhypereenen. Zur Inklusion: : Sei z. etrhte die metrishe Projektion y = π (x) und definiere = z π (z). Dnn ist H = {x R n : T x = T y} eine Stützhypereene n mit H, die durh den Punkt y verläuft. Gleihzeitig ist z H.

3 ufge ( + 8 = 0 Punkte) Es seien N Punkte x,..., x N R n gegeen.. Wie ist die konvexe Hülle von x,..., x N definiert?. Es sei P die konvexe Hülle von x,..., x N. ngenommen x ist keine Eke von P. Zeigen Sie: P ist gleih der konvexen Hülle von x,..., x N.. Die konvexe Hülle von x,..., x N ist gegeen durh { N N } onv{x,..., x N } = α i x i : α,..., α N 0, α i =. i=. Es ist x onv{x,..., x n } zu zeigen. D x keine Eke von P ist, git es y, z P mit y x oder z x und α (0, ) mit x = αy + ( α)z. ußerdem git es α i 0 mit n i= α i = und β i 0 mit n i= β i =, so dss gilt. Dnn ist Es ist y = α i x i und z = i= ( αα ( α)β )x = weil α < oder β < (d y x oder z x ). Dnn x = Nun folgt die ehuptung, weil i= β i x i i= i= (αα i + ( α)β i )x i. i= αα ( α)β > 0, () λ i x i mit λ i = αα i + ( α)β i αα ( α)β. λ i 0, wegen () und αα i + ( α)β i 0 und λ i = αα ( α)β i= = =. (αα i + ( α)β i ) i= αα ( α)β (α( α ) + ( α)( β ))

4 ufge 4 ( = 0 Punkte). Es sei G = (V, E) ein ungerihteter Grph und w : E R eine Gewihtsfunktion. Wnn heißt ein Mthing M E extrem?. Ist ds rehtsstehende Mthing, ds durh die fett gedrukten Knten gegeen ist (Kntengewihte stehen immer üer den Knten), extrem? egründen Sie Ihre ntwort.. erehnen Sie ein Mthing mit mximlem Gewiht für diesen Grphen. D d. M heißt extrem, flls für lle M E mit M = M gilt: w(m) = w(e) w(e ) = w(m ). e M e M. Ds rehtsstehende Mthing ist niht extrem, weil ds Mthing M = {{, }, {, d}, {D, }} eenflls Krdinlität ht er Gewiht + + = 8 nsttt von 7.. Ds Mthing M ist sogr extrem, weil es drei Knten mit höhstem Gewiht im Grphen enthält. Somit können Mthings der Krdinlität 0, und niht mximles Gewiht hen. Ein extremes Mthing der Krdinlität 4 knn mn von M us mit Hilfe eines M-ugmentieren Weges estimmen: Es git genu einen M-ugmentierenden Weg: (, d), (d, ), (, ), (, ), (, ) Ds resultierende Mthing {{D, }, {, d}, {, }, {, }} der Krdinlität 4 ht Gewiht 8. lso ist dieses resultierende Mthing eenflls eines mit mximlen Gewiht. 4

5 ufge 5 ( = 0 Punkte) Es sei D = (V, ) ein gerihteter Grph, s, t V Knoten und : R 0 eine Kpzitätsfunktion.. Wie ist ein s-t-shnitt definiert?. Wie lutet ds Mx-Flow-Min-ut-Theorem? Shreien Sie es mit mthemtishen Formeln uf. s t. estimmen Sie einen s-t-shnitt mit minimler Kpzität für den rehtsstehenden Grphen. egründen Sie Ihre ntwort. d 0. Eine Menge ist ein s-t-shnitt, flls es eine Menge U V git mit s U, t U und = δ + (U), woei δ + (U) = {(u, v) : u U, v U}.. mx vlue(f) = min f R 0 s-t Fluss,f U V,s U,t U (δ+ (U)).. Der s-t Shnitt {(, ), (, d), (, d)} ht Kpzität. Gleihzeitig git es einen s-t-fluss f mit Wert, der durh die ngegeene Kpzitätsfunktion eshränkt ist: f((s, ) = 9, f((s, ) =, f((, ) = 0, f((, )) = 6, f((, d)) =, f((, d)) =, f((, d) =, f((, t)) = 5, f((d, t)) = 7. D.h. nh dem Mx-Flow-Min-ut Theorem ist die minimle erreihre Kpzität von s-t-shnitten. 5

6 ufge 6 (5 + 5 = 0 Punkte) Sei G = (V, E) ein iprtiter Grph. Eine Kntenüerdekung von G ist eine Teilmenge der Knten F E, so dss V = e F e gilt. Ds Kntenüerdekungspolytop von G ist definiert ls die konvexe Hülle der Inzidenzvektoren von Kntenüerdekungen.. eshreien Sie ds Kntenüerdekungspolytop mit Hilfe von lineren Ungleihungen.. Es sei G = (V, E) ein iprtiter Grph. ngenommen keine Zusmmenhngskomponente von G esteht nur us einem Knoten, d.h. G esitzt keine isolierten Knoten. Finden Sie eine Min-Mx-Reltion für die estimmung einer Kntenüerdekung von G mit minimler Krdinlität.. Sei R V E die Inzidenzmtrix von G. ehuptung: Ds Kntenüerdekungspolytop P ist gleih P = onv{χ F R E : F E Kntenüerdekung} = {x R E : x 0, x, x }. eweis: Die Inklusion ist klr, weil einerseits P die inklusionsminimle konvexe Menge ist, die die Inzidenzvektoren χ F enthält und weil diese die lineren Ungleihungen erfüllen. χ F 0, χ F, χ F Zur Inklusion : Ds Polyeder {x R E : x 0, x, x } ist eshränkt (lle Koordinten von Punkten im Polyeder liegen zwishen 0 und ). Somit ist es nh dem Theorem von( Minkowski-Weyl ) I ein Polytop. Weil die Mtrix vollständig unimodulr ist, und somit uh die Mtrix vollständig unimodulr ist, ist dieses Polytop gnzzhlig. lso sind die Koordinten von jedem Ekpunkt entweder gleih 0 oder. D sie die Ungleihungen x erfüllen, müssen sie Inzidenzvektoren von Kntenüerdekungen sein.. uf der einen Seite ist die minimle Krdinlität einer Kntenüerdekung gleih { } min T x : x 0, x, weil für eine Eke x n dem ds Minimum T x ngenommen wird, utomtish x ist. Ds Dule dieses lineren Progrmms ist { mx T y : y 0, y T T}, dei ist y T äquivlent zur edingung, dss y u + y v für lle {u, v} E gilt. D es keine isolierten Knoten git, impliziert diese edingung, dss y ist. D.h. die minimle Krdinlität einer Kntenüerdekung ist gleih der mximlen Krdinlität einer unhängigen Menge. 6