Dreiecke können einerseits nach den Eigenschaften ihrer Seiten und andererseits nach ihren Winkeln benannt werden. Einteilung nach den Seiten:

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1 gnz klr: Mthemtik 2 - s Ferienheft mit Erfolgsnzeiger 3 Rettungsring Eigenshften von reieken & Viereken Eigenshften von reieken Ein reiek ht immer 3 Ekpunkte, 3 Seiten un 3 Innenwinkel. ie eshriftung eines reieks erfolgt immer gegen en Uhrzeigersinn. reieke können einerseits nh en Eigenshften ihrer Seiten un nererseits nh ihren Winkeln ennnt weren. Einteilung nh en Seiten: gleihseitiges reiek gleihshenkliges reiek ungleihseitiges reiek Shenkel Shenkel lle rei Seiten sin gleih lng. lle rei Winkel sin gleih groß. sis Zwei Seiten sin gleih lng. (= Shenkel) Zwei Winkel sin gleih groß. (= siswinkel) lle rei Seiten sin untershielih lng. spitzwinkliges reiek Einteilung nh en Winkeln: rehtwinkliges reiek stumpfwinkliges reiek lle rei Winkel sin spitzwinklig, lso kleiner ls 90. ein rehter Winkel (90 ) ein stumpfer Winkel, lso größer ls 90 1 Entsheie, o ie ussgen rihtig oer flsh sin! ie Seite liegt gegenüer em Winkel. rihtig flsh er Winkel wir von en Seiten un eingeshlossen. Zwishen en Ekpunkten un liegt ie Seite. er Seite liegt er Winkel gegenüer. 2 enenne ie reieke ) nh ihren Seiten ) nh ihren Winkeln! Verlg Jugen & Volk GmH, Wien 1

2 gnz klr: Mthemtik 2 - s Ferienheft mit Erfolgsnzeiger 3 Rettungsring Eigenshften von reieken & Viereken 3 Orne ie Nummern er reieke en Nmen zu! spitzwinkliges reiek rehtwinkliges reiek stumpfwinkliges reiek Kominiere ei er reieksenennung ie Eigenshften er Seiten un er Winkel! Seiten / Winkel spitzwinklig rehtwinklig stumpfwinklig gleihseitig spitzwinkliges, gleihseitiges reiek gleihshenklig ungleihseitig Verlg Jugen & Volk GmH, Wien

3 gnz klr: Mthemtik 2 - s Ferienheft mit Erfolgsnzeiger 3 Rettungsring Eigenshften von reieken & Viereken Summe er Innenwinkel im reiek In einem reiek ist ie Summe er Innenwinkel, un immer 180. Zeihnet mn eine Prllele zu urh en Punkt es reieks, erkennt mn, ss sih ie rei Winkel im Ekpunkt uf 180 ergänzen. ie gleihfrigen Winkel jeweils Prllelwinkel sin, muss ie Summe er Innenwinkel es reieks eenflls 180 sein. Rettungseispiel Wie groß ist er fehlene Winkel? u ierst ie zwei gegeenen Winkel = ie Summe er gegeenen Winkel wir von er Summe er Innenwinkel = 180 sutrhiert = 35 Lösung: er fehlene Winkel ht Wie groß sin ie fehlenen Winkel? ) ) ) Von einem reiek sin ie eien Winkel = 48 un = 105 gegeen. erehne ie Größe es fehlenen Winkels! Verlg Jugen & Volk GmH, Wien 3

4 gnz klr: Mthemtik 2 - s Ferienheft mit Erfolgsnzeiger 3 Rettungsring Eigenshften von reieken & Viereken reiekskonstruktionen un Kongruenzsätze mit mn ein reiek eineutig konstruieren knn, müssen rei Größen, von minestens eine Seiten - länge, gegeen sein. Es git vier Kongruenzsätze: rei Seiten eine Seite un ie zwei nliegenen Winkel zwei Seiten un er eingeshlossene Winkel zwei Seiten un jener Winkel, welher er längeren Seiten gegenüerliegt SSS-Stz Seiten-Seiten- Seiten-Stz WSW-Stz Winkel-Seiten- Winkel-Stz SWS-Stz Seiten-Winkel- Seiten-Stz SSW-Stz Seiten-Seiten- Winkel-Stz reieke sin kongruent (ekungsgleih), wenn eren Seiten un Winkel gleih groß sin. Ein reiek ist mit em SSW-Stz nur nn eineutig konstruierr, wenn er gegeene Winkel er längeren Seite gegenüerliegt. Ist s niht er Fll, knn es zwei vershieene Lösungen oer mnhml uh keine Lösung geen! 2 = 2 m = 1,8 m = 2,5 m = 2,5 m = 44 1 = 60 7 Welhe reiekskonstruktionen siehst u hier? ) ) ) ) -Stz -Stz -Stz -Stz 8 Von einem reiek sin zwei Größen eknnt. Gi n, welhe Größe noh fehlt, mit mn s reiek konstruieren knn! Mnhml sin mehrere ntworten möglih! ),,? ),,? ),,? ),,? 9 Entsheie, o eine Konstruktion mit folgenen ngen möglih ist! ) = 3 m = 1 m = 4 m j nein ) = 6 m = 5 m = 2 m j nein ) = 23 mm = 45 mm = 77 mm j nein ) = 11,6 m = 8,1 m = 5,5 m j nein HINWEIS Ein reiek ist nur nn konstruierr, wenn folgene reieksungleihungen gelten: < + < + < + 10 Kennzeihne ie gegeenen Größen in einer Skizze un fine herus, o ie reieke eineutig konstruierr sin! ) = 3 m = 2 m = 54 j nein ) = 6 m = 5 m = 76 j nein ) = 23 mm = 45 mm = 103 j nein ) = 11,6 m = 8,1 m = 92 j nein Verlg Jugen & Volk GmH, Wien

5 gnz klr: Mthemtik 2 - s Ferienheft mit Erfolgsnzeiger 3 Rettungsring Eigenshften von reieken & Viereken ie vier esoneren Punkte im reiek Höhen un Höhenshnittpunkt ie Höhe eines reieks ist ie kürzeste Verinung von einem Ekpunkt zur gegenüerliegenen Seite. ie Höhe steht immer norml uf ie Seite. Jees reiek ht rei Höhen: h, h un h. Sie shneien einner im Höhenshnittpunkt (H). h h h H Seitensymmetrlen un Umkreismittelpunkt er Umkreis ist er kleinstmöglihe Kreis um ein reiek. Er verläuft urh lle rei Ekpunkte. Jeer Punkt er Seitensymmetrlen m, m un m ist von en Enpunkten er zugehörigen reieksseiten gleih weit entfernt. ie Seitensymmetrlen shneien einner im Umkreismittelpunkt (U), er somit von en rei Ekpunkten es reieks gleih weit entfernt ist. er Rius es Umkreises ist gleih er Entfernung zwishen Umkreismittelpunkt un en Ekpunkten es reieks. m r U m m Winkelsymmetrlen un Inkreismittelpunkt er Inkreis ist er größtmöglihe Kreis in einem reiek. Er erührt lle rei Seiten. Jeer Punkt er Winkelsymmetrlen w, w un w ht von en eien Shenkeln es Winkels en gleihen Normlstn. ie Winkelsymmetrlen shneien einner im Inkreismittelpunkt (I), er somit von llen reieksseiten en gleihen stn ht. er Rius es Inkreises ist gleih em Normlstn vom Inkreismittelpunkt zu en reieksseiten. r w w w I Shwerlinien un Shwerpunkt Jee Shwerlinie teilt s reiek in zwei Hälften mit gleih großen Fläheninhlten. ie Shwerlinien eines reieks shneien einner lle im Shwerpunkt (S). ie Shwerlinien, ie von einem Ekpunkt es reieks zur Mitte er gegenüerliegenen Seite gehen, nennt mn s, s un s. s S s s 11 Wie nennt mn en Punkt im reiek, er von llen reieksseiten en gleihen stn ht? 12 Welhe ussgen zu en Höhen in einem reiek sin rihtig, welhe flsh? rihtig flsh ie Höhen stehen immer norml uf ie reieksseiten. ie Höhen hlieren ie Winkel im reiek. ie Höhen eines reieks können uh ußerhl es reieks liegen. 13 Vervollstänige en Stz! ie Shwerlinien verlufen von einem Ekpunkt zur Mitte er gegenüerliegenen Seite. von einem Ekpunkt im rehten Winkel uf ie gegenüerliegene Seite. 14 Mithilfe welher Linien knn er Mittelpunkt es kleinstmöglihen Kreises run um ein reiek konstruiert weren? Verlg Jugen & Volk GmH, Wien 5

6 gnz klr: Mthemtik 2 - s Ferienheft mit Erfolgsnzeiger 3 Rettungsring Eigenshften von reieken & Viereken eshriftung un Winkelsumme von Viereken Viereksezeihnung Eken, Seiten, Winkel weren wie eim reiek gegen en Uhrzeigersinn ezeihnet. ie Verinungsstreke von niht neeneinnerliegenen Ekpunkten nennt mn igonle. In jeem Vierek ist ie Winkelsumme 360. e = = = 360 f Rettungseispiel Wie groß ist er fehlene Winkel? 81? u ierst ie gegeenen Winkel. Üerlege uh immer, o gegenüerliegene Winkel gleih groß sein können oer o sih Winkel uf 180 ergänzen! = ie Summe er gegeenen Winkel wir von er Summe er Innenwinkel = 360 sutrhiert = 111 Lösung: er fehlene Winkel ht rei Winkel eines Viereks sin gegeen: = 30 = 150 = 30 erehne en fehlenen Winkel im Vierek! erehne jeweils en fehlenen Winkel in en Viereken! ) = 37 = 119 = 118 ) = 34 = 124 = 90 ) = 68 = 123 = 23 ) = 16 = 128 = erehne ie fehlenen Winkel er geileten Figuren! ) ) )??? 73? 96 65?? Verlg Jugen & Volk GmH, Wien

7 gnz klr: Mthemtik 2 - s Ferienheft mit Erfolgsnzeiger 3 Rettungsring Eigenshften von reieken & Viereken Üersiht er Viereke ELTOI RUTE LLGEMEINES VIEREK PRLLELOGRMM TRPEZ GLEIHSHENKLIGES TRPEZ REHTEK QURT 18 Um welhes Vierek hnelt es sih jeweils? ) Es esitzt zwei prllele Seiten un zwei gleih lnge Shenkel. ) Es esitzt jeweils zwei prllele, gleih lnge Seiten un vier rehte Winkel. ) Es esitzt jeweils zwei enhrte, gleih lnge Seiten un ie eien igonlen stehen norml ufeinner. ) s Vierek ht vier gleih lnge Seiten un vier gleih große Winkel. e) s Vierek esitzt zwei prllele Seiten un vier vershieen große Winkel. 19 Üerprüfe, o ie ussgen rihtig oer flsh sin! rihtig flsh Jees Qurt ist ein Rehtek. Ein eltoi ist ein Prllelogrmm. Jee Rute ist ein Qurt. Ein Qurt ist ein Trpez. 20 uf welhe Viereke trifft s zu? ) Welhe Viereke hen vier gleih lnge Seiten? ) Welhe Viereke esitzen nur eine Symmetriehse? ) ei welhen Viereken sin ie zwei igonlen gleih lng? ) In welhem Vierek sin ein Pr gegenüerliegener Winkel gleih groß un enhrte Winkel vershieen groß? Verlg Jugen & Volk GmH, Wien 7

8 gnz klr: Mthemtik 2 - s Ferienheft mit Erfolgsnzeiger 3 Rettungsring Eigenshften von reieken & Viereken Eigenshften von Viereken Eigenshften von Rehtek un Qurt: Rehtek Qurt ie gegenüerliegenen Seiten sin gleih lng un prllel es git 4 rehte Winkel ie igonlen sin gleih lng un hlieren einner Ein Qurt ist ein Rehtek mit vier gleih lngen Seiten. Eigenshften eines Prllelogrmms: e f je zwei gegenüerliegene Seiten sin prllel un gleih lng gegenüerliegene Winkel sin gleih groß ie einer Seite nliegenen Winkel sin supplementär ie igonlen hlieren einner Eigenshften einer Rute (Rhomus): e f lle vier Seiten sin gleih lng ie gegenüerliegenen Seiten sin prllel ie igonlen stehen norml ufeinner ie igonlen hlieren einner ie igonlen hlieren ie Winkel Eigenshften eines eltois (rhenvierek): f e je zwei enhrte Seiten sin gleih lng ie er Symmetriehse gegenüerliegenen Winkel sin gleih groß ie igonlen stehen norml ufeinner eine igonle ist ie Symmetriehse un hliert ie nere ie Symmetriehse hliert ie nliegenen Winkel Verlg Jugen & Volk GmH, Wien

9 gnz klr: Mthemtik 2 - s Ferienheft mit Erfolgsnzeiger 3 Rettungsring Eigenshften von reieken & Viereken Eigenshften eines llgemeinen Trpezes: Ein Trpez ht zwei prllele Seiten. + = = _3629_18_01 Eigenshften eines gleihshenkligen Trpezes: e f je zwei gleih große Winkel, ie n einer Prllelseite nliegen ( =, = ) zwei gleih lnge Shenkel eine Symmetriehse, ie norml zu en prllelen Seiten steht ie igonlen sin gleih lng un shneien einner uf er Symmetriehse Eigenshften eines llgemeinen Viereks: e f Ein Vierek, s keine Regelmäßigkeiten ufweist, ezeihnet mn ls llgemeines Vierek oer Trpezoi. llgemeine Viereke hen: vier Seiten, vier Ekpunkte un vier Winkel zwei igonlen 21 Kreuze n, ws zutrifft! Eigenshften elieiges Rehtek Qurt Es git 4 rehte Winkel. E F G ie gegenüerliegenen Seiten sin gleih lng. ie gegenüerliegenen Seiten sin prllel. ie igonlen sin gleih lng. lle Seiten sin gleih lng. ie igonlen hlieren einner. ie igonlen shneien sih im rehten Winkel. 22 Entsheie, o folgene ussgen rihtig oer flsh sin! rihtig flsh Eine igonle teilt eine Rute in zwei kongruente reieke. Eine Rute ht nur eine Symmetriehse. ie igonlen er Rute stehen norml ufeinner. Eine Rute wir urh ie eien igonlen in vier rehtwinklige reieke geteilt Verlg Jugen & Volk GmH, Wien 9

10 gnz klr: Mthemtik 2 - s Ferienheft mit Erfolgsnzeiger 3 Rettungsring Eigenshften von reieken & Viereken 23 ie Eigenshften es eltois treffen noh uf nere Viereke zu. Welhe Viereke sin uh eltoie? 24 Zwei Viereke hen gleihe Seitenlängen. Sin ie eien Viereke immer kongruent (= ekungsgleih)? 25 Entsheie mithilfe er nge, o es sih um ein gleihshenkliges Trpez, ein Rehtek oer ein eltoi hnelt! ) = 3,5 m = = 1,8 m = = 45 ) = = 15 mm = = 31 mm e = 41 mm 26 Welhes Prllelogrmm entsteht, wenn sih... ) zwei untershielih reite Wege im rehten Winkel kreuzen? ) zwei gleih reite Wege im rehten Winkel kreuzen? ) zwei untershielih reite Wege in einem Winkel, er kleiner ls 90 ist, kreuzen? 27 Welhe Figur entsteht, wenn u ein gleihseitiges eltoi konstruierst? 28 Skizziere ein eltoi mit gleih lngen igonlen, ie einner hlieren! Ws entsteht? Verlg Jugen & Volk GmH, Wien

11 gnz klr: Mthemtik 2 - s Ferienheft mit Erfolgsnzeiger 3 Rettungsring Eigenshften von reieken & Viereken Lösungen 1 flsh rihtig flsh flsh 2 1 ) ungleihseitig ) rehtwinklig 2 ) gleihshenklig ) rehtwinklig 3 ) ungleihseitig ) stumpfwinklig 4 ) gleihseitig ) spitzwinklig 3 spitzwinkliges reiek: 2, 4, 8 rehtwinkliges reiek: 1, 5, 7 stumpfwinkliges reiek: 3, 6, 9 4 Seiten / Winkel spitzwinklig rehtwinklig stumpfwinklig gleihseitig spitzwinkliges, gleihseitiges reiek gleihshenklig spitzwinkliges, gleihshenkliges reiek rehtwinkliges, gleihshenkliges reiek stumpfwinkliges, gleihshenkliges reiek ungleihseitig spitzwinkliges, ungleihseitiges reiek rehtwinkliges, ungleihseitiges reiek stumpfwinkliges, ungleihseitiges reiek 5 ) = 71 ) = 26 ) = 52 6 = 27 7 ) SWS-Stz ) WSW-Stz ) SSS-Stz ) SSW-Stz 8 ),, oer ) ), oer ), oer 9 ) nein ) j ) nein ) j 10 ) j ) nein ) j ) nein 11 Inkreismittelpunkt 12 rihtig flsh rihtig Seitensymmetrlen 15 = ) = 86 ) = 112 ) = 146 ) = Verlg Jugen & Volk GmH, Wien 11

12 gnz klr: Mthemtik 2 - s Ferienheft mit Erfolgsnzeiger 3 Rettungsring Eigenshften von reieken & Viereken 17 ) = 109 ) = = 107, = 73 ) = = 47, = = ) gleihshenkliges Trpez ) Rehtek ) eltoi ) Qurt e) llgemeines Trpez 19 rihtig flsh flsh rihtig 20 ) Qurt, Rute ) eltoi, gleihshenkliges Trpez ) Rehtek, Qurt, gleihshenkliges Trpez ) eltoi 21 R, Q R, Q R, Q R, Q E Q F R, Q G Q 22 rihtig flsh rihtig rihtig 23 Rute un Qurt 24 Nein, ie eien Viereke sin nur kongruent, wenn Seitenlängen un Winkel üereinstimmen. 25 ) gleihshenkliges Trpez ) eltoi 26 ) Rehtek ) Qurt ) Prllelogrmm 27 Rute 28 Qurt Verlg Jugen & Volk GmH, Wien