EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER skript05-temp.doc

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1 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER skript05-temp.do 5 Dreiekslehre 5.1 edeutung der Dreieke Durh Tringultion lssen sih Vieleke in Dreieke zerlegen ( n Ek in n- Dreieke) eweis von Sätzen mittels Sätzen üer Dreieke (z.. Winkelsumme, Fläheninhlt, Kongruenz) 5. Winkelsumme im Dreiek Experimentell gewinnr z.. eim Prkettieren üer Punktspiegelungen durh Winkelsätze n Prllelen Stz 5.1 Die Winkelsumme im n-ek eträgt (n-) esondere Punkte im Dreiek esonderheit eim Dreiek: 3 "gleihrtige Gerden gehen durh 1 Punkt! Stz 5. (esondere Linien im Dreiek) In einem Dreiek shneiden sih ) die Mittelsenkrehten im Umkreismittelpunkt U; Dreiek spitzwinklig: U innerhl des Dreieks Dreiek rehtwinklig: U uf der längsten Dreieksseite Dreiek stumpfwinklig: U ußerhl des Dreieks ) die Winkelhlierenden im Inkreismittelpunkt; ) die Seitenhlierenden im Shwerpunkt S; dieser teilt die Seitenhlierenden im Verhältnis :1; d) die Höhen im Höhenshnittpunkt. Stz 5.3 (Stz vom Mittendreiek) Verindet mn die Seitenmitten eines Dreieks, so liegen die Seiten des entstehenden Dreieks prllel zu Seiten des usgngsdreieks und sind hl so lng. eweise (eispiele) evor wir den Stz 5. eweisen, eweisen wir zunähst Stz 5.3 vom Mittendreiek: Spiegle ds Mittendreiek n seinen Seitenmitten. ei Punktspiegelung gilt: ildstreke Originlstreke. M M Hinweis: Eigentlih wird nur ewiesen, dss mn, usgehend von M M M ein Dreiek erhält, dessen Mittendreiek M M M ist. Es wäre zu zeigen, dss mn - usgehend von und dessen Mittendreiek M M M - durh diese Spiegelung wieder zu gelngt. M

2 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER skript05-temp.do Stz 5. ): Umkreismittelpunkt Sei U = m m Wegen U = U und U = U ist U = U U m U liegt uf llen Mittelsenkrehten und ht von llen Eken denselen stnd m m U m Stz 5. d): Höhen im Dreiek Zeihne Dreiek so, dss Mittendreiek von wird! Höhen von sind Mittelsenkrehten von. ' ' Stz 5. ): Seitenhlierende ' ildung 1 ildung ildung 3 M M M M M M S s s s M M M Zur Seitenhlierenden s werden die Prllelen durh und gezeihnet; diese hen den gleihen stnd von s, d s durh die Seitenmitte von geht (ildung 1). Dnn zeihnet mn die Prllelen zu s durh M und M. Diese sind Mittelprllelen zu den zuvor gezeihneten Prllelenpren, es liegt jetzt eine Shr von Prllelen mit gleihen ständen vor (ildung ). Zeihnet mn die Seitenhlierende s = M, so teilt der Shnittpunkt S von s und s die Streke s im Verhältnis :1. Diese rgumenttion knn sttt für s und s für jedes Pr von Seitenhlierenden wiederholt werden und zeigt dher: Der Shnittpunkt einer Seitenhlierenden mit einer zweiten teilt diese im Verhältnis :1. Drus folgt unmittelr, dss lle Seitenhlierenden durh einen gemeinsmen Punkt S gehen müssen, der die Seitenhlierenden im Verhältnis :1 teilt.

3 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 05 5 DEISSLER skript05-temp.do Euler-Gerde (L.Euler, 1765): Umkreismittelpunkt U, Shwerpunkt S und Höhen- Shnittpunkt H liegen uf einer Gerden. (Genuigkeits-Prüfer!) Es ist SH = US Der eweis verwendet die Ttshe, dss ds Dreiek durh zentrishe Strekung mit Zentrum S und Strekfktor ½ in ds Mittendreiek M M M üergeht, woei die Höhen von Dreiek uf die Höhen des Mittendreieks M M M üergehen. Diese sind gerde die Mittelsenkrehten von Dreiek. Dmit geht H durh Strekung mit Zentrum S und Strekfktor -½ in U üer. Detillierte egründung siehe z.. KIRSHE, PETER, S M F H F F S M U M 5.4 Kongruenzsätze Die Kongruenzsätze hen wir zu eginn ls xiome in der folgenden Form vorusgesetzt: Stimmen zwei Dreieke in den drei Seiten (sss), oder einer Seite und den nliegenden Winkeln (wsw), oder zwei Seiten und dem eingeshlossenen Winkel (sws), oder zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüer liegenden Winkel (Ssw), üerein, dnn stimmen sie in llen Mßen üerein. Wir hen mit Stz.9 gezeigt, dss je zwei in llen estimmungsstüken üereinstimmenden Dreieke durh genu eine Kongruenzildung ufeinnder geildet werden können. 5.5 Geometrishe Orte Gegeen:. wird festgehlten; wird so ewegt, dss - der Fläheninhlt ( uf Prllele zu, genuer zwei Prllelen im gleihen stnd zu ) - der Umfng ( uf Ellipse mit rennpunkten und ) - Winkel ( uf einem Kreisogen üer ) unverändert leit. Mn nennt diese Kurven (Punktmengen) den geometrishen Ort der Punkte mit einer gewissen Eigenshft. Im eispiel: Der geometrishe Ort ller Punkte, für die ds Dreiek mit den festen Punkten, den gleihen Fläheninhlt wie ds Dreiek ht, ist eine Prllele zu, Der geometrishe Ort ller Punkte, für die ds Dreiek mit den festen Punkten, den gleihen Umfng wie ds Dreiek ht, ist eine Ellipse. ufge Definieren Sie die folgenden Kurven jeweils ls geometrishen Ort : - Der Kreis mit Mittelpunkt M und Rdius r.

4 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER skript05-temp.do - Die Mittelsenkrehte der Streke. - Die Winkelhlierende des Winkels h f,h g mit den Hlgerden h f, h g ls Shenkel. - Die Seitenhlierende s zur Seite im Dreiek. Welhe Definition einer Ellipse ls Ortslinie ergit sih us der. Eigenshft der eispiele oen? 5.6 Winkelsätze: Umfngswinkelstz und Sehnen-Tngenten-Winkelstz Stz 5.4 () Die Umfngswinkel (Peripherie-Winkel ) uf einem Kreisogen üer einer Streke sind lle gleih groß (und ½ so groß wie der zugehörende Mittelpunktswinkel µ) () Die Sheitel ller Dreieke mit gleihem Winkel ei üer einer Streke liegen uf einem Kreisogen, der durh und verläuft. Kurz: Der geometrishe Ort ller Punkte, für die die Streke unter dem gleihen Winkel ersheint, ist ein Kreisogen durh die Punkte und. () Der Winkel zwishen der Sehne und der Tngente in (Sehnen-Tngenten-Winkel) ist eenso groß wie der Peripheriewinkel (und ½ so groß wie der zugehörende Mittelpunktswinkel). Sonderfll: Stz des Thles zu (): ϕ ψ ε ϕ µ ψ t Umfngswinkel = ϕ + ψ Mittelpunktswinkel = µ ϕ+ε = 180 ψ+ = 180 µ = ε - = (180 -ϕ) - (180 -ψ) = ϕ + ψ ndere Lgen des Punktes? Umfngswinkel = 1 µ konstnt! zu (): Sei K der Kreis üer zum Winkel us (). Offenr ist für lle Punkte, die ußerhl des Kreises K liegen, der Winkel ei kleiner ls, für innerhl von K größer ls (egründung?). Zu (): Die Winkelhlierende des Mittelpunktswinkels µ steht senkreht uf der Sehne, der erührrdius steht senkreht uf der Tngente t in. D Winkel, deren Shenkel prweise senkreht ufeinnder stehen, gleih sind, folgt die ehuptung. emerkung: Es ist in der oen gewählten Formulierung niht gnz eindeutig, welher Mittelpunktswinkel zu einem gegeenen Umfngswinkel gehört. Die folgenden Skizzen sollen den Shverhlt verdeutlihen. M M M

5 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER skript05-temp.do 5.7 Flähensätze: Pythgors-Stzgruppe Stz 5.5 Im rehtwinkligen Dreiek ist ds Hypotenusenqudrt so groß wie die Summe der Kthetenqudrte, ist ein Kthetenqudrt so groß wie ds Rehtek us Hypotenuse und nliegendem Hypotenusenshnitt ist ds Qudrt üer der Höhe so groß wie ds Rehtek us den eiden Hypotenusenshnitten Stz des Pythgors + = Kthetenstz (Stz des Euklid) Höhenstz h = p = p q, = q h q p Zu kum einem Stz git es so viele vershiedene eweise und Vernshulihungen wie zum Stz des Pythgors. Hier wird zunähst ein eweis für lle Sätze der Gruppe mit Hilfe des Ähnlihkeitsegriffes ngegeen. Weitere eweise folgen im Kpitel üer den Fläheninhlt 3. Während jene eweise die Sätze ls ussgen üer Fläheninhlte uffssen steht hier die ussge üer den Zusmmenhng von Strekenlängen im Vordergrund. eweis ller drei Sätze mit Hilfe ähnliher Dreieke Im neenstehenden Dreiek identifiziert mn leiht drei zueinnder ähnlihe Dreieke: ~ H ~ H Mit diesen Dreieken knn mn viele Verhältnisgleihungen für entsprehende Seiten ufstellen. Suht mn nur diejenigen herus, in denen nur 3 vershiedene Stüke vorkommen, so erhält mn durh Umformen leiht den Kthetenstz und den Höhenstz. Der Stz des H Pythgors folgt unmittelr us den eiden Formen des Kthetenstzes durh ddition. q h p Kthetenstz: : = :p = p : = :q = q Höhenstz: h:p = q:h h = p q Shulishe ehndlung: Dreieke us Ppier usshneiden, pssend ufeinnder legen Pythgors: + = p + q = (p+q) = 3 Vergl. S.58 und S.65

6 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER skript05-temp.do 6 Vierekslehre 6.1 Hus der Viereke Ordnung in der Menge der Viereke nh der nzhl und rt der Symmetrien. ndere rt der Ordnung: rt, nzhl und Lge gleihlnger Seiten, gleihgroßer Winkel, Winkel zwishen Digonlen. Niht so systemtish, er für die Shule esser geeignet. 6. Winkelsumme im Vierek experimentell gewinnr z.. eim Prkettieren Punktspiegelungen Tringultion 6.3 Viereke mit Umkreis ( Sehnen-Vierek ) Stz 6.1: Ein Prllelogrmm ht genu dnn einen Umkreis, wenn es ein Rehtek ist. (Thles) Stz 6.: Ein Vierek esitzt genu dnn einen Umkreis, wenn zwei gegenüerliegende Winkel zusmmen 180 groß sind. () Ds Vierek möge einen Umkreis esitzen. α α β β Mn verindet die Ekpunkte des Viereks mit dem Mittelpunkt des Umkreises. Es entstehen vier gleihshenklige Dreieke, die dher gleihe siswinkel hen. Die Summe einnder gegenüer liegender Winkel ist lso jeweils α+β++. Kürzerer eweis: Verwende den Stz vom Umfngswinkel üer einer Digonlen ndere Lgen der Punkte,? () Die Summe einnder gegenüer liegender Winkel des Viereks zusmmen etrgen 180. Es ist zu zeigen, dss ds Vierek einen Umkreis esitzt. Sei K der Umkreis des Dreieks. Nh () ist für D uf K die Summe β+ = 180. Liegt D niht uf K, dnn ist kleiner oder größer ls, lso β+ 180 (K ist die Ortslinie für die Sheitel ller Winkel üer der Größe 180 -β). β K D' D

7 EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER skript05-temp.do 6.4 Viereke mit Inkreis ( Tngenten-Vierek ) Stz 6.3: Ein Vierek esitzt genu dnn einen Inkreis, wenn die Summe der Längen gegenüerliegender Seiten gleih groß ist. () Ds Vierek möge einen Inkreis esitzen. Dnn ist die Summe der Längen gegenüer liegender Seiten offensihtlih +++d. d d () Die Summe der Längen gegenüer liegender Seiten sei gleih. Es ist zu zeigen, dss ds Vierek einen Inkreis ht. Üung. 6.5 Ds Mittenvierek Stz 6.4: Die Mitten der Seiten eines Viereks ilden stets ein Prllelogrmm. D M M1 eweis: Stz vom Mittendreiek (Stz 5.3, S.50) ufge: eweisen Sie, dss der Fläheninhlt des Mittenprllelogrmms die Hälfte des Inhltes der Viereksflähe eträgt.