6 Tiefensuche in ungerichteten Graphen: Zweifache Zusammenhangskomponenten

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1 66 6 ZWEIFACHE ZUSAMMENHANGSKOMPONENEN 6 iefenshe in ngerihteten Grphen: Zeifhe Zsmmenhngskomponenten Der Algorithms ist gnz gen ersele ie im gerihteten Fll! Ailng 1 zeigt noh einml en gerihtete Fll n nh etrhten ir in Ailng 2 en ngerihteten Fll f em nlogen Grphen (Knten " " sin mknten, üer ie entekt ir.) y 3/6 z 2/9 s 1/10 11/16 t F C 4/5 x C 7/8 C 12/13 C 14/15 Ailng 1: Ds Ergenis er iefenshe f einem gerihteten Grphen y z [s] s 3/ 2/ 1/ t 7/ 4/ x 5/ 6/ 8/ Ailng 2: orhergener Grph, ngerihtete Vrinte Im ngerihteten Grphen gilt: eim ersten Gng rh eine Knte stößt mn f einen eißen Knoten (Knte: ) f einen gren Knoten (Knte: ) niht f einen shrzen Knoten (Knte: F oer C)

2 67 G Π s z y x t Π [z] = s, Π [y] = z, Im ngerihteten Fll er iefenshe ist festzhlten: Jee Knte ir zeiml etrhtet: {, } ei DFS-isit() n ei DFSisit(). Mßgelih für en Kntentyp (mknte, Rükärts-, Vorärts-, Krezknte) ist ie etrhtng: (i) {,} mknte eim ersten etrhten on {,} finet sih ein eißer Knoten. (ii) {,} Rükärtsknte eim ersten Gehen on {,} finet sih ein ereits grer Knoten (iii) eim ersten Gehen knn sih kein shrzer Knoten finen. Deshl git es eer Krez- noh Vorärtsknten. Der Weiße-Weg-Stz gilt hier ollkommen nlog. Kreise erkennen ist gnz eenflls nlog mit iefenshe möglih. Der egriff er strken Zsmmenhngskomponente ist niht sinnoll, Weg (, ) im ngerihteten Fll eenso (,) ist. Stttessen: zeifh zsmmenhängen. Untershie zishen G 1 = n G = Löshen ir in G 1 einen elieigen Knoten, hängt er Rest noh zsmmen. Für,, im Grphen G 2 gilt ies niht! Für en Rest ieses Kpitels gilt nn folgene Konention: A jetzt gehen ir nr immer on zsmmenhängenen, gerihteten Grphen s. 2? Definition 6.1(zeifh zsmmenhängen): G\{} ist zeifh zsmmenhängen G ist zsmmenhängen für lle V. G \ {} = (V \ {},E \ {{,} V }). Ws ist ie eetng zeifh zsmmenhängen? Stz 6.1(Menger 1927): G zeifh zsmmenh. Für lle, V, git es zei isjnkte Wege zishen n in G.

3 68 6 ZWEIFACHE ZUSAMMENHANGSKOMPONENEN G: G\{}: G zsmmenhängen, niht zeifh zsmmenhängen G: ehte: strk zsmmenh. G\{}: zeifh zsmmenh. n jzente Knten fehlen G zeifh zsmmen hängen zeifh zsmmenh. G niht zeifh zsmmenhängen, G\{} niht zsmmen hängen G: G\{}: lso G zeifh zsmmenh. Ds heißt, Wege (, 1,2,, m,), (, 1, 2,, m,) mit { 1,, m } { 1,, m} = Ø eeis erfolgt f üerrshene Weise später. Ein inktier eeis im h Grphentheorie on Reinhr Diestel. Die Rihtng ist einfh. ehte noh, ist, so tt es er Weg (,), mit leerer Menge on Zishenknoten (lso nr 1 Weg). Nn gilt es ieerm niht zeifh zsmmenhängene Grphen in seine zeifh zsmmenhängenen estnteile z zerlegen, in ie zeifhen (Zsmmenhngs- )Komponenten. eispiel 6.1:

4 69 Knoten in zei zeifhen Zsmmenhngskomponeten Forml Definition 6.2(zeifhe Komponenten): Ein eilgrph H = (W,F) on G ist eine zeifhe Komponente H ist ein mximler zeifh zsmmenhängener eilgrph on G (mximl ezüglih Knoten n Knten). () Jee Knte ist in gen einer zeifhen Komponente. () Sin H 1 = (W 1,F 1 ),,H k = (W k,f k ) ie zeifhen Komponeten on G = (V,E), so ist F 1,,F k eine Prtition (Einteilng) on E. F i F j = Ø für i j,f 1 F k = E. eeis. () Sei lso H 1 H 2 zeifh zsmmenhängen, nn ist H = H 1 H 2 zeifh zsmmenhängen: Für s H 1,, ist H\{} zsmmenhängen (egen Mximlität). Eenso s H 2. Für = ist, immer noh ist, H \ {} zeifh zsmmenhängen. Also egen Mximlität zeifhe Komponenten H 1 H 2. () F i F j = Ø egen (). D Knte (,) zeifh zsmmenhängen ist, ist nh Definition jee Knte on E in einem F 1. ei Knoten gilt () oen niht:

5 70 6 ZWEIFACHE ZUSAMMENHANGSKOMPONENEN ezeihnng: Eine Knte, ie eine zeifhe Komponente ist, heißt rükenknte gehört z 3 zeifhen Komponenten. ist ein typisher Artikltionspnkt. Definition 6.3(Artikltionspnkt): ist Artikltionspnkt on G G\{} niht zsmmenhängen. emerkng 6.2: ist Artikltionspnkt gehört z 2 zeifhen Komponenten eeis. Ist Artikltionspnkt. Dnn git es Knoten,,,, so ss jeer Weg on nh on er Art (,,,,) ist. (Sonst G \ {} zsmmenhängen) Also, niht in einer zeifhen Komponente. Dnn ist jeer Weg on er Art (,, 1,, 2,,2), so ss 1, 2 niht in einer zeifhen Komponente sin. Sonst ist G \ {} Weg (,, 1, 2,) (ohne ), Wiersprh. Also hen ir 1 2 ershieene Komponenten. Die Knte { 1,} gehört z einer Komponente (eentell ist sie seler eine), eenso {, 2 }. Die Komponenten er Knten sin ershieen, 1, 2 in ershieenen Komponenten liegen. Alos liegt in en eien Komponenten. Gehört lso z > 2 Komponenten. Dnn k n 2 Knten on { i,} in ershieenen Komponenten. Et 1, 2. Aer 1 n 2 in 2 ershieenen Komponenten. Also git es, so ss in G \ {} kein Weg 1 2 existiert. Denn egen 1 2 mss = sein n Artikltionspnkt.

6 71 Grphentheoretishe eeise sin niht gnz so leiht! Artikltionspnkte n iefenshe? (1) (2) Art.Pkt. Art.Pkt. 1/8 2/7 3/6 1/8 2/7 3/6 Art.Pkt G Π 4/5 4/5 Art.Pkt. Rükärtsknte (3) Alternti z (2) 4/5 3/6 1/8 2/7 Rükärtsknte Art.Pkt. G Π Ws hen ie Artikltionspnkte in llen gennnten Fällen gemeinsm? Der Artikltionspnkt (sofern niht Wrzel on G Π ) ht einen Sohn in G Π, so ss es on em Sohn oer Nhfolger keine Rükärtsknte zm ehten Vorgänger git! (1) Gilt ei,. ist kein Artikltionspnkt n s Kriterim gilt h niht. (2) ist Artikltionspnkt, Sohn erfüllt s Kriterim., erfüllen es niht, sin h keine Artikltionspnkte. (3) Hier zeigt er Sohn on n, ss ein Artikltionspnkt ist. Also keinesegs immer ersele Sohn! Ws ist, enn er Artikltionspnkt Wrzel on G Π ist?

7 72 6 ZWEIFACHE ZUSAMMENHANGSKOMPONENEN 6/7 1/8 2/5 3/4 G Π zei Söhne! Stz 6.2(Artikltionspnkte erkennen): Sei ein Knoten on G n sei eine iefenshe gelfen. (Erinnerng: G immer zsmmenhängen). ) Ist Wrzel on G Π. ist Arikltionspnkt G Π 2Söhne. ) Ist niht Wrzel on G Π. ist Artikltionspnkt nr is zrük etl. leer minestens einer existent (knn Wrzel sein) Ds heißt, ht einen Sohn (hier ), so ss on em n llen Nhfolgern in G P i keine (Rükärts-)Knten z ehtem Vorgänger on. eeis. ) G \ {} niht zsmmenhängen, mit Artikltionspnkt. Ht nr einen Sohn, nn Rükärts knten A rh A nn G \{} zsmmenhängen. (Können in G \{} üer sttt gehen.) Also ist kein Artikltionspnkte. Ist ohne Sohn, nn ist er kein Artikltionspnkt.

8 73 ) In G{} kein Weg, lso ist Artikltionspnkt. Gelte ie ehptng niht, lso ht keinen Sohn ie in G Π. 1. Fll ht keinen Sohn. Dnn in G Π Rükärts knten In G \ {} fehlen ie Rükärtsknten n {,}. Also leit er Rest zsmmenhängen. ist kein Artikltionspnkt. 2. Fll ht Söhne, er keinen ie in er ehptng Dnn: G Π Rükärtsknten minestens is oer eiter zrük In G \ {} leien ie eingetrgenen Rükärtsknten, ie niht mit inzient sin, stehen. Also ist G \ {} zsmmenhängen. Also ist kein Artikltionspnkt A rh A. Wie knn mn Artikltionspnkte erehnen? Wir müssen für lle Söhne in G Π issen, ie eit es on ort s zrük geht. Definition 6.4: Sei DFS(G) gelfen, lso G Π orliegen.

9 74 6 ZWEIFACHE ZUSAMMENHANGSKOMPONENEN ) Für Knoten ist ie Menge on Knoten L() gegeen rh L() = oer Vorgänger on n es git eine Rükärtsknte on oer em Nhfolger z. ) l[] = Min{[] L()} ist er Lo-Wert on. (l[] hängt on Lf on DFS(G).) Folgerng 6.1: Sei DFS(G) gelfen n niht Wrzel on G Π. ist Artikltionspnkt ht Sohn in G Π mit l[] []. ehte: l[] = [] Artikltionspnkt. Keine Äqilenz. l [] < [] 6/7/6 1/8/1 2/5/2 3/4/3 Rükärts l [] 6/7/6 1/8/1 2/5/1 3/4/3 6/6/1 1/8/1 2/7/1 3/4/1 Rükärts

10 6.1 erehnng on l[] erehnng on l[] G Π l []=[] l [] s [] Lo Wert er Kiner n Rükärtsknten on. l [] s [] n Rükärtsknten on s. Korrektheit: Inktion üer ie iefe es eilmes 6.2 Algorithms (l-werte) Moifiktion on DFS-isit(): MDFS-isit(). l[]=[] //hier ol[] = eiß. for eh Aj[] o{ if (ol[] == eiß){ Π[] = ; MDFS-isit(); l[] = MIN{l[], l[]} } if (ol[] == gr) n (Π[] ){ l[] = MIN{l[], []} //[]! niht l[], keine Itertion. } } Dmit können ir Artikltionspnkte in Linerzeit erkennen. Es leien ie zeifhen Komponenten z finen. Seien ie l-werte gegeen. Nn 2. iefenshe folgenermßen:

11 76 6 ZWEIFACHE ZUSAMMENHANGSKOMPONENEN Knoten, er entekt ir, f einem Keller speihern. G Π Sei jetzt l[] []. Am Ene on DFS-isit() Keller is (!) sgeen. Ist zeifhe Komponente. ieer oen rf shreien. eispiel 6.3: 1/10/1 2/9/1 3/8/1 e 6/7/6 4/5/4 Kellerinhlt: l[] [] Asge, e Asge e, Asge,, m Ene.

12 6.3 Algorithms (Zeifhe Komponenten) DFS(G); /* moifiziert für l-werte */ DFS(G); /* in erselen(!) Reihenfolge ie 1. mit ol[]= */ NDFS-isit();. foreh Aj[] o if ol[]== then Pi[]=, f Keller; NDFS-isit(); if l[] [] then Asge is inklsie noh hinz sgeen; en en en 6.3 Algorithms (Zeifhe Komponenten) eeis. Korrektheit inkti üer s = # Zeifhe Komponenten on G. Inktionsnfng: s = 1 Asge nr m Ene, kein Artikltionspnkt. Also korrekt. Inktionsshlss Gelte ehptng für lle(!) Grphen mit s 1 zeifhen Komponenten. Zeige ies für G mit s + 1 Komponenten. Wir etrhten ie 2. iefenshe es Algorithms. Die l-werte stimmen lso ereits, egen er Koorektheit er 1. iefenshe. Wir etrhten en m G Π, elher er gleihe ie ei er 1. iefenshe n 2. iefenshe ist. G Π Geht h ei Wrzel l Wert > [] Sei NDFS-isit() er erste Afrf, nh m ie Asge erfolgt. Dnn ist l[] []. Ist l[] = [], nn ist ltt (sonst orher Asge) n, ir sgegeen n kommt f ie Kellerspitze. Ist l[] = [], nn Asge es Kellers is n kommt ieer f ie Kellerspitze. Dmit ir eine zeifhe Komponente sgegeen. (Mehr knn niht z gehören, eniger niht, isher kein Artikltionspnkt). Nh Asge er Komponente

13 78 6 ZWEIFACHE ZUSAMMENHANGSKOMPONENEN liegt eine Sittion or, ie in DFS-isit() ftritt, enn ir en Grphen etrhten, in em {,} n ie neren sgegegenen Knoten gelösht sin. Af iesem ist ie Inktionsorssetzng nenr n er Rest ir rihtig sgegeen.

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