Eine endliche Folge von Operationen und Entscheidungen, die ein Problem in endlich vielen Schritten löst.

Transkript

1 Formle Methoen er Informtik WS 00/0 Lehrstuhl für Dtennken un Künstliche Intelligenz ProfDrDrFJRermcher H Ünver T Rehfel J Dollinger Aufgenltt Besprechung in en Tutorien vom 000 ( Üungstermin) is 000 (is Üungstermin) Aufge ( Punkte) Verstännisfrgen: ) Ws ist ein Algorithmus? Eine enliche Folge von Opertionen un Entscheiungen, ie ein Prolem in enlich vielen Schritten löst ) Ws ist eine topologische Sortierung? Informell: Mnche Proleme sin in Schritte ufgeteilt, ie teilweise voneinner hängig sin Beispielsweise ist Schritt von Schritt hängig, wenn Schritt ls Vorussetzung zunächst erfüllt sein muss, mit Schritt usgeführt weren knn Eine topologische Sortierung (eines Prolems) ist eine Reihenfolge, ie lle Ahängigkeiten eines Prolems erücksichtigt etws formler: Unter einer topologischen Sortierung eines Grphen G versteht mn eine linere Anornung er Knoten ieses Grphen, so ss er Knoten u vor em Knoten v in er Anornung erscheint, wenn es eine Knte von u nch v im Grphen git Einfcher usgerckt: Mn schreit lle Knoten es Grphen G so uf eine Linie, ss lle Knten es Grphen von links nch rechts zeigen Aus ieser Definition ergit sich, ss eine solche Anornung nur sinnvoll möglich ist, wenn G gerichtet ist un keine Zyklen enthält, lso zyklisch ist G muss lso ein gerichteter zyklischer Grph sein, mit eine topologische Sortierung sinnvoll un üerhupt möglich ist Gerichtete zyklische Grphen können verwenet weren, um zeitlich hängige Ereignisse rzustellen, zb müssen ei er Herstellung eines estimmten Proukts ie Eukte ereits vorliegen, ie er wieerum erst prouziert weren müssen Ht mn nun einen Grphen, er einen kompletten Prouktionsvorgng rstellt, knn mn eine topologische Sortierung ieses Grphen vornehmen, um eine Liste zu erstellen, ie eine Reihenfolge enthält, in er mn zum gewünschten Ziel kommt (vgl: Mtthis Rolf, Ausreitung zum Proseminr Grphenlgorithmen, S) c) Ist eine topologische Sortierung immer eineutig? Nein Bei Schritten, zwischen enen keine Ahängigkeiten estehen, ist eine Reihenfolge elieig Dmit sin unter Umstänen mehrere korrekte Lösungen möglich ) Ws ist ein Spnnum? Ein Bum, essen Knotenmenge ientisch zu er Knotenmenge eines vorgegeenen Grphen G ist un essen Knten eine Teilmenge ieses Grphen G ist

2 e) Welche Arten von Prolemen löst er Kruskl-Algorithmus? Suche nch einem kleinsten (günstigsten) Verinungsnetz zwischen Knoten in einem Grphen ohne Zyklen, ohne unnötige Wege, unter Verwenung es geringst (zw mximl) möglichen Gesmtgewicht Beispiel: Ein Telekommuniktionsnetz zwischen Stäten soll einerseits lle Stäte miteinner verinen, soll nererseits jeoch möglichst wenig Kellänge verruchen f) Welche Arten von Prolemen löst er Dijkstr-Algorithmus? Der kürzeste Weg (zw ie kürzeste Entfernung) innerhl eines Grphens von einem Strtknoten usgehen zu einem estimmten Zielknoten (zw zu llen neren Knoten)

3 Aufge ( Punkte) Topologische Sortierung: Professor Orentlich ht festgestellt, ss er morgens zu viel Zeit mit em Anziehen verliert Ds liegt rn, ss er immer wieer ie Reihenfolge er Klmotten urcheinner ringt Er will jetzt enlich iesem Prolem uf ie Schliche kommen; für setzt er sich hin un üerlegt sich, welches Kleiungsstück vor welchem ngezogen weren sollte Nch lngem Üerlegen stellt er folgene Telle uf: Kleiungsstück Hem Gürtel Socken Uhr Unterhem Schuhe Skko Unterhose Krvtte Hose Vorrussetzung für Unterhem Hose Hem Socken, Unterhose, Hose Krwtte, Gürtel Hem Unterhose Helfen Sie Professor Orentlich, eine Reihenfolge zu finen, inem Sie: ) Einen Grphen ngeen, er ie Vorussetzungen zwischen en Kleiungsstücken wieergit Gürtel Gü Hem He Ho Hose Socken So Kr Krvtte Uhr Uh Uho Unterhose Unterhem Uhe Sch Schuhe S Skko ) Eine Reihenfolge ngeen, in er ie Kleiungsstücke ngezogen weren Eine mögliche Folge ergit sich, inem mn en Grphen nch folgenem Algorithmus topologisch sortiert: () Git es noch Knoten im Grph? wenn nein fertig, nsonsten fhre fort () Wähle einen Knoten er keine eingehene Knten ht Dieser Knoten kommt ls nächster in er Sortierung (c) Lösche iesen Knoten un lle seine Knten us em Grphen un fnge von vorne n Eine mögliche Reihenfolge, in er er Professor seine Klmotten nziehen könnte: Unterhose Socken Unterhem Hem Krvtte Hose Gürtel Uhr Skko Schuhe

4 Aufge ( Punkte) Spnnum / Algorithmus von Kruskl Gegeen sei er folgene Grph: c e f g h i j k l Ermitteln Sie mit Hilfe es Algorithmus von Kruskl ) einen Spnnum minimlen Gewichts, g j e h k c f i l Strtegie: Es wir zunächst jeweils eine Knte mit nierigstem (noch zur Verfügung stehenen) Gewicht usgewählt (ie Reihenfolge unter gleichem Gewicht spielt ei keine Rolle) Flls ei ein Zyklus entsteht, rf ie etreffene Knte jeoch nicht usgewählt weren Flls mittlerweile lle Knoten miteinner verunen sin, knn gerochen weren ( jetzt würe es ohnehin nur noch Zyklen geen) Es knn mehr ls nur eine mögliche Lösung geen in Ahängigkeit von er Reihenfolge er usgewählten Knten ei gleichen Gewichten In er Musterlösung ieser Aufge ist ies rgestellt urch ie zwei gestrichelten Knten mit Gewicht, ie ls lterntive Lösungsvrinten zu etrchten sin ) einen Spnnum mximlen Gewichts g j e h k c f i l Strtegie: Einziger Unterschie zur Lösung mit em minimlen Spnnum ist, ss hier mit en Knten mit em höchsten Gewicht egonnen wir

5 Aufge ( Punkte) Algorithmus von Dijkstr: c f t s e ) BestimmenSieenkürzesten Weg im Grphen vom Knoten s zum Knoten t mit Hilfe es Dijkstr-Algorithmus () Schreiweise üer L- un K-Liste: L (s, 0) } K (, ), (, ), (c, ), (, ), (e, ), (f, ), (s, 0), (t, ) } (, min(, 0+ )), (, ), (c, ), (, min(, 0+)), (e, min(, 0+)), (f, ), (t, ) } pre() =s pre() =s pre(e) =s (s, 0), (, ) (, min(, + )), (c, ), (, ), (e, ), (f, ), (t, ) } pre() = (s, 0), (, ), (e, ) neue von s us erreichre Knoten neu erechnen } (, ), (c, ), (, min(, + )), (f, ), (t, min(, +)) pre() =e pre(t) =e (s, 0), (, ), (e, ), (, ) (, min(, + )),(c, min(, + )), (f, ), (t, )) } pre() = pre(c) = (s, 0), (, ), (e, ), (, ), (, ) (c, min(, + )),(f, min(, + )), (t, ) } pre(c) = pre(f )= (s, 0), (, ), (e, ), (, ), (, ), (c, ) (f, min(, + )),(t, ) } (kein pre Upte) (s, 0), (, ), (e, ), (, ), (, ), (c, ), (f, ) (t, min(, + )) pre(t) =f (s, 0), (, ), (e, ), (, ), (, ), (c, ), (f, ), (t, )

6 Die Angen von pre(x)(für verschieene x) knn mn sich vorstellen wie eine Telle, in er für jees x, s ngegeen wir, ein Wert eingetrgen (un ggf uch wieer üerschrieen, h geänert) wir Für en vorliegenen Grphen ergäe sich eim lufen es Dijkstr-Algorithmus ie folgene Telle: Vorgängerfkt zugehöriger Wert pre() s pre() pre(c) pre() se pre(e) s pre(f) pre(s) pre(t) ef Ermittlung es kürzesten Weges: Die L- un K-Telle liefert im Grune nur ie kürzeste Entfernung zu jeem Knoten es Grphen von einem estimmten Strtknoten usgehen Um en eigentlichen kürzesten Weg zu ermitteln, geht mn vom Zielknoten us un ließt in er pre(x)-telle zunächst en Vorgänger es Zielknotens un rufhin itertiv en Vorgänger jeweils es letzten ereits ermittelten Vorgängers Zielknoten: t pre(t) f pre(f) pre() pre() e pre(e) s (= Strtknoten) Dmit ergit sich er folgene kürzeste Weg: s e f t Lösung: c f t s e

7 () nere Schreiweise: Vorelegung er Knoten: m() =, m() =, m(c) =, m() =, m(e) =, m(f) =, m(s) =0, m(t) = Knoten mit minimlem Wert streichen (un v 0 neu setzen): (v 0 = s) Untersuche Wege zu neuen Knoten, ie nun von v 0 us erreichr sin: es ex w(s, ) =, w(s, ) =, w(s, e) = (Kniten: k,, e}) prüfe: m(s) + w(s, ) < m() ist erfüllt m() = m(s) +w(s, ) = pre() = s 0 m(s) + w(s, ) } 0 } m(s) + w(s, e) } 0 } < m() < m(e) ist erfüllt m() = m(s) +w(s, ) = pre() = s ist erfüllt m(e) = m(s) +w(s, e) = pre(e) = s in V enthlten sin nun: m() =, m() =, m(c) =, m() =, m(e) =, m(f) =, m(t) = Knoten mit minimlem Wert streichen (un v 0 neu setzen): (v 0 = ) Untersuche Wege zu neuen Knoten, ie nun von v 0 us erreichr sin: es ex w(, ) = (Kniten: k }) prüfe: m() + w(, ) < m() ist erfüllt m() = m() +w(, ) = pre() = in V enthlten sin nun: m() =, m(c) =, m() =, m(e) =, m(f) =, m(t) = usw ) Ws müsste mn änern, wenn mn en kürzesten Weg im Sinne von minimle Anzhl von Knten suchen wollte? Mn müsste lle Kntengewichte uf eins setzen un nn en Algorithmus von Dijkstr gnz norml lufen lssen