Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 2

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1 Lneswettbewerb themtik en-württemberg 001 Rune ufgbe 1 In einem Viereck sin ie Seiten, un gleich lng. ie Seite ht ie gleiche Länge wie ie igonle. iese igonle hlbiert en Winkel. Wie groß können ie Innenwinkel eines solchen Vierecks sein? 1. Lösung Nch en Vorussetzungen ist s reieck gleichschenklig mit er sis, enn es gilt =. Somit sin ie Winkel un gleich weit: w() = w() =. ie igonle en Winkel hlbiert, gilt w() = w() =. ie Geren () un () schließen mit er igonlen Winkel er gleichen Weite ein un sin nch er Umkehrung es Stzes über Wechselwinkel n sich schneienen Geren eshlb zueinner prllel. s reieck ist nch ufgbenstellung ebenflls gleichschenklig mit er sis. Wegen er Winkelsumme in iesem reieck gilt + = 180. lnfigur Im Viereck sin ie Seiten un prllel un ie Seiten un gleich lng. s Vier- eck ist eshlb entweer ein gleichschenkliges Trpez oer ein rllelogrmm. LW 001 Rune Seite 1 von 1

2 Lneswettbewerb themtik en-württemberg Ist ein gleichschenkliges Trpez mit er sis, so sin ie siswinkel un gleich weit. us = + = 180 folgt = 36, = 7. Ist ein rllelogrmm, nn ergänzen sich ie Winkel un zu 180. us = = 180 folgt = 60, = 60.. Lösung Nch ufgbenstellung gilt = = = un = =. ußerem ist ie igonle Winkelhlbierene im Viereck. Für ie Längen un gilt stets genu eine er folgenen ussgen: < oer = oer >. ie igonle nch ufgbenstellung ie Winkelhlbierene es Vierecks ist, ist ie ilgere von () bei er Spiegelung n () ie Gere () un umgekehrt. Im ersten oben gennnten Fll liegt er ilpunkt ' von bei er Spiegelung n () uf er Strecke. s Viereck ' ist eine Rute, lle vier Seiten ie Länge hben. ie beien reiecke un ' sin gleichschenklig mit em gemeinsmen Winkel bzw. ' ls siswinkel. eshlb sin ie Winkel n er Spitze ebenflls gleich groß. Es gilt lso w(') = w() = rus folgt =. Im reieck gilt für ie Winkelsumme emnch + += 180, lso 5 = 180,.h. = 36. ie Innenwinkel in iesem Viereck hben ie ße 7, 108, 108 un 7. s Viereck ist ein gleichschenkliges Trpez. ' LW 001 Rune Seite von 1

3 Lneswettbewerb themtik en-württemberg Im zweiten Fll stimmt er ilpunkt ' von bei er Spiegelung n () wegen = ' = = mit em unkt überein. Wegen = = = ' = = sin ie Teilreiecke un gleichseitig. s Viereck ist eine Rute mit en Innenwinkeln 60, 10, 60 un 10. = ' er oben ngegebene ritte Fll ist nicht möglich. Zur egrünung betrchten wir ie folgene Skizze. s reieck wir n er Winkelhlbierenen es Vierecks gespiegelt. < gilt, liegt uf er Strecke '. Nch ufgbenstellung un Längenmße bei einer Spiegelung erhlten bleiben, würen ie in er nebenstehenen Skizze ngegebenen Seitenlängen gelten. ie reiecke ' un wären gleichschenklig mit en Grunseiten ' bzw. un en siswinkeln ' un ' bzw. un. ls siswinkel in einem gleichschenkligen reieck sin iese Winkel kleiner ls 90. Es würe lso < 90 un λ < 90 gelten. ies ist ber ein Wierspruch zu +λ= 180. Es gibt lso nur ie beien oben bereits gennnten Vierecke. Skizze ' λ 3. Lösung In er nebenstehenen Skizze sin ie Eigenschften us er ufgbenstellung bereits eingetrgen. ußerem wure bei er ngbe er Winkelmße usgenutzt, ss ie reiecke un gleichschenklig sin. Nch em Sinusstz gilt im reieck = sin sin un im reieck = sin sin 180 rus folgt sin = sin ( 180 ). ( ) für ie siswinkel un in en gleichschenkligen reiecken un ie bschätzung 0 <, < 90 gilt, ist ie eziehung zwischen en Sinuswerten erfüllt für = 180 oer = 180 ( 180 ),.h. =. us er Winkelsumme im reieck folgt für en ersten Fll = 180 3= 180 = 60 us er Winkelsumme im reieck erhlten wir für en Winkel ie Weite 60. ie Innenwinkel es Vierecks sin in iesem Fll 60, 10, 60 un 10. LW 001 Rune Seite 3 von 1

4 Lneswettbewerb themtik en-württemberg [nmerkung: s Viereck ist eine spezielle Rute, ie us zwei gleichseitigen reiecken un zusmmengesetzt ist.] us er Winkelsumme im reieck folgt für en zweiten Fll: + += 180 5= 180 = 36 us er Winkelsumme im reieck erhlten wir für en Winkel ie Weite 108. ie Innenwinkel es Vierecks sin in iesem Fll 7, 108, 108 un 7. [nmerkung: s Viereck ist ein gleichschenkliges Trpez.] LW 001 Rune Seite 4 von 1

5 Lneswettbewerb themtik en-württemberg ufgbe Zeige: Ist eine Zhl n ie Summe zweier verschieener positiver urtzhlen, so ht uch jee k otenz k,k> 0 iese Eigenschft. n ( ) 1. Lösung Nch er ufgbenstellung ist ie ntürliche Zhl n ie Summe von zwei verschieenen positiven urtzhlen. Es gibt lso ntürliche Zhlen > b > 0 mit n = + b. ls erstes wollen wir zeigen, ss uch n ls Summe von zwei unterschielichen positiven urtzhlen rgestellt weren knn. Es ist n = ( + b ) = 4 + b + b 4 = 4 b + 4 b + b 4 = (b) + ( b ) eine Summe von zwei urtzhlen. 0 < b < gilt, sin ie beien Zhlen positiv. Wären ie beien urtzhlen gleich, so wären uch ie beien Grunzhlen gleich, beie positiv sin. it x = b = b wäre n = x n un somit wäre = eine rtionle Zhl, ws beknntlich nicht er Fll ist. x Wir wissen lso jetzt, ss es ntürliche Zhlen c > > 0 gibt, mit n = c us n un n können wir urch fortgesetzte ultipliktion mit n jee otenz von n mit ntürlichen Exponenten erhlten, enn us n erhlten wir urch iese ultipliktion n,n,n, bzw. n ie otenzen n,n,n,. k Es wir jetzt gezeigt, ss bei er ultipliktion mit n ie rstellbrkeit einer otenz n ls Summe us zwei verschieenen positiven urtzhlen erhlten bleibt. zu ist zu zeigen, ss us er rstellung von n ls Summe von zwei verschieenen positiven urtzhlen, lso us n = x + y mit x k k > y > 0, ie rstellung von k n n ls Summe von zwei verschieenen positiven urtzhlen folgt ( ) ( ) ( ) k n n = x + y n = x n + y n = x n + y n. ie roukte x n un y n sin wegen x > y > 0 verschieen un positiv. mit ist ie rstellbrkeit für lle otenzen von n ls Summe von zwei verschieenen positiven urtzhlen mit ntürlichen Exponenten gezeigt.. Lösung Wie bei er ersten Lösung wir zunächst gezeigt, ss n ls Summe von zwei verschieenen, positiven urtzhlen rgestellt weren knn, wenn ie ntürliche Zhl n iese Eigenschft besitzt. Jetzt untersuchen wir ls nächstes, ob wir mit uch n 3 ls Summe von zwei verschieenen positiven urtzhlen rstellen können. Es ist n 3 = n n = ( + b ) ( c + ) = c + + b c + b = (c) + cb + (b) + () bc + (bc) (I) = (c) cb + (b) + () + bc + (bc). (II) rus ergeben sich zwei rstellungen für n 3 ls Summe von urten: (I) n 3 = (c + b) + ( bc) (II) n 3 = (c b) + ( + bc). Jetzt müssen wir noch zeigen, ss minestens in einer er beien rstellungen ie beien urtzhlen positiv,.h. ungleich 0, un verschieen sin. LW 001 Rune Seite 5 von 1

6 Lneswettbewerb themtik en-württemberg Vorussetzung für positive urtzhlen Für ie folgenen Überlegungen gilt weiterhin > b > 0 un c > > 0. mit sin ie Summen c + b un + bc positiv un mit uch ie zugehörigen urte. urte us en rstellungen I un II können lso nur nn 0 sein, wenn bc = 0 bzw. c b = 0 ist. Wegen > b un c > ist c > b un mit c b > 0. Von en vier urtzhlen in en beien rstellungen I un II knn llenflls ( bc) en Wert 0 hben. In er rstellung II sin stets beie Summnen positiv. Vorussetzung für verschieene Summnen etrchten wir zunächst ie erste rstellung. Wäre (c + b) = ( bc), so würe (c + b) = ( bc) (*) oer (c + b) = ( bc) (**) gelten. urch Umformen erhlten wir (*) ( c ) b ( c ) = + (**) ( b) c= ( + b) In beien Fällen steht uf er linken Seite ieser Gleichung wegen c > bzw. > c eine positive Zhl, rechts eine negtive, lso ergibt sich ein Wierspruch. In er ersten rstellung sin ie beien urtzhlen lso stets verschieen. ei er zweiten rstellung knn mn uf iesem Weg nicht nchweisen, ss ie beien urtzhlen verschieen sin. Zwischenbilnz: ie erste rstellung knn nicht verwenet weren, wenn bc = 0 gilt. ie zweite rstellung ist nicht möglich, wenn (c b) = ( + bc) ist. Es wir nun nchgewiesen, ss iese beien öglichkeiten nicht gleichzeitig eintreten können. = ( + ) 3 ( ) Wenn beie Eigenschften gleichzeitig gelten würen, so wäre n c b un n = + bc. us ( ) ( c + b c + b = + bc) folgt ber = + bc. s urt einer rtionlen Zhl ber nicht sein knn, können nicht beie Einschränkungen gleichzeitig gelten. In einer er beien rstellungen sin lso ie Summnen beie positiv un verschieen. Genuso wie wir jetzt von er Zerlegung von n uf ie Zerlegung von n 3 geschlossen hben, können wir von er Zerlegung von n 3 uf ie Zerlegung von n 4 schließen, von wieerum uf ie Zerlegung von n 5 usw. llgemein knn mn von er rstellung von n k = c + (c > > 0) ls Summe von zwei verschieenen positiven urten uf eine solche rstellung von n k+1 schließen. n muss im gere geführten eweis nur n k sttt n schreiben un n k+1 sttt n 3. Somit gibt es eine solche gesuchte rstellung für lle otenzen n k von n. 3 LW 001 Rune Seite 6 von 1

7 Lneswettbewerb themtik en-württemberg ufgbe 3 Gegeben sin rei verschieene unkte, un, ie nicht uf einer Geren liegen. Es soll ein urt mit em ittelpunkt konstruiert weren, so ss un uf zwei benchbrten Seiten es urts oer eren Verlängerungen liegen. Wie viele verschieene urte gibt es in bhängigkeit von er gegenseitigen Lge er unkte, un? g 1. Lösung Gruniee er Konstruktion us en gegebenen unkten, un soll ein urt mit en gennnten Eigenschften konstruiert weren. Wir können ie ezeichnung er Eckpunkte es urts so wählen, ss uf er Geren () liegt. er unkt liegt nn uf er Geren () oer uf er Geren (). ie nchfolgenen iler zeigen iese öglichkeiten, wobei ie Lge er unkte un uf en jeweiligen Geren () un () bzw. () vriieren knn. * ' reht mn ie Strecke um mit 90 bzw. 70, nn liegen un bzw. * un uf er Trägergeren er urtseite bzw.. iese Eigenschft folgt us er rehsymmetrie es urts um seinen ittelpunkt ls Zentrum. ie Gere () wir bei er rehung um un em rehwinkel 90 uf ie Gere () un bei rehung um 70 uf ie Gere () bgebilet. er ilpunkt von liegt eshlb uf () bzw. (). Entsprechenes gilt für ie rehung er Strecke um mit 90 bzw. 70. Es entstehen bei Trägergeren es gleichen urts. ie Gere (') un ie Gere ( * ) sin mögliche Trägergeren von urtseiten. it Kenntnis er Trägergeren g einer urtseite un er Lge es unktes knn mn s urt konstruieren, er bstn von zu g ie Länge er hlben urtseite ist. ie Konstruktion ergibt sich us em il uf er folgenen Seite. s urt ist urch ie Trägergere g un en ittelpunkt eineutig bestimmt. LW 001 Rune Seite 7 von 1

8 Lneswettbewerb themtik en-württemberg llgemeiner Fll Liegt er unkt nicht uf er Geren (') = ( * ) = (' * ), so sin ie Verbinungsgeren (') un ( * ) verschieen. Jee ieser Geren ist ie Trägergere einer urtseite. Es gibt lso genu zwei verschieene urte. * Hinweis Liegt uf er Geren (') [oer ( * )], so ist ie Gere () selbst eine Trägergere es urts. Konstruiert mn nun s zugehörige urt, nn sin, ' un * Eckpunkte ieses urts. er unkt liegt ls Eckpunkt gleichzeitig uf zwei benchbrten Seiten. ußerem gibt es ein zweites urt mit einer Seite uf er Trägergeren (*) [oer (')], flls ' * [oer ]. iese usgngslge wir bei en Sonerfällen behnelt. ' * ' LW 001 Rune Seite 8 von 1

9 Lneswettbewerb themtik en-württemberg Sonerfälle 1) Fällt mit ' oer mit * zusmmen, so bilen ie unkte, un ein gleichschenklig-rechtwinkliges reieck. ie Gere (') oer ie Gere (*) ist nicht mehr eineutig bestimmt. Jee Gere urch, ie nicht urch geht, ist Trägergere eines urts. s nebenstehene il zeigt rei öglichkeiten. ei iesen beien Lgen von gibt es jeweils unenlich viele Lösungen. * ) Liegt uf er Geren (') = ( * ) = (' * ) un stimmt weer mit ' noch mit * überein, so ist er bstn er Geren (') = ( * ) von gleich 0. Es existiert kein urt. ' =. Lösung Gruniee er Konstruktion Flls ein solches urt existiert, gibt es einen von verschieenen Eckpunkt S es urts, für en ie Geren (S) un (S) orthogonl sin. urch en ittelpunkt un en Eckpunkt S ist s urt eineutig bestimmt. Es gilt: 1. S liegt uf em Thleskreis über.. Wegen w(s) = 45 oer w(s) = = 135 liegt S uf em Fsskreisbogen über zu 45 bzw Um iese Fsskreise zu erhlten, konstruiert mn über er Strecke nch beien Seiten ein gleichschenklig rechtwinkliges reieck. ie er Strecke gegenüberliegenen unkte 1 un sin ie ittelpunkte er Fsskreise. ie Fsskreise mit en ittelpunkten 1 bzw. un er Thleskreis über mit em ittelpunkt T schneien sich uf Grun er Konstruktion immer in. Für ie übrigen Schnittpunkte er Fsskreise mit em Thleskreis gibt es mehrere öglichkeiten: llgemeiner Fll er unkt liegt nicht uf em Thleskreis über. ie Schnittpunkte S 1 bzw. S er Fsskreise mit em Thleskreis sin nn von verschieen. S Es gibt zwei verschieene urte. s nebenstehene il zeigt eine solche Sitution. T 1 S 1 LW 001 Rune Seite 9 von 1

10 Lneswettbewerb themtik en-württemberg Hinweis Wenn er ittelpunkt eines Fsskreises uf er Geren () liegt, ber nicht mit em ittelpunkt er Strecke zusmmenfällt, nn berührt ieser Fsskreis en Thleskreis über in genu einem unkt. ieser unkt ist. er ittelpunkt es neren Fsskreises liegt nn uf er Orthogonlen zu () urch. S s nebenstehene il zeigt ie beien möglichen urte, wobei in einem Fll er unkt selbst Eckpunkt es urtes ist un zwei Seiten zugeornet weren knn. S 1= 1 Sonerfälle 1. er unkt ist er Schnittpunkt es Thleskreises über un er ittelsenkrechten von. s reieck ist gleichschenklig rechtwinklig. er ittelpunkt es einen Fsskreises fällt mit em ittelpunkt es Thleskreises zusmmen,.h. einer er Fsskreise ist mit em Thleskreis ientisch. In iesem Fll gibt es unenlich viele Lösungen. R Im nebenstehenen il sin zwei ieser urte mit en beliebig uf em Thleskreis gewählten Eckpunkten R 1 un R ngegeben.. er unkt liegt uf em Thleskreis über ber nicht uf er ittelsenkrechten von. ie Fsskreise un er Thleskreis schneien sich in en unkten un. R 1 ie öglichkeit = S scheiet us, in iesem Fll ie Seitenlänge es urts 0 wäre. Für = S wäre ie Gere (S) un mit uch () Trägergere einer urtseite. weiterhin uf em Thleskreis über ber nicht uf er ittelsenkrechten von liegt, ist ie Winkelweite von S von 45 verschieen. Es gibt eshlb kein urt mit em Eckpunkt S un einer Seite mit er Trägergeren (S). LW 001 Rune Seite 10 von 1

11 Lneswettbewerb themtik en-württemberg ufgbe 4 Für ntürliche Zhlen weren ie beien folgenen Opertionen efiniert: () n ie Zhl knn eine er Ziffern 0, 4 oer 8 ngehängt weren. () ie Zhl knn hlbiert weren, wenn sie gere ist. Zeige, ss von 4 usgehen jee positive ntürliche Zhl urch eine enliche nzhl ieser Opertionen erreicht weren knn. Zum eispiel knn ie Zhl 51 erreicht weren urch: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Lösung Iee Es wir gezeigt, ss es zu jeer er gennnten Opertionen eine eineutige Umkehrung gibt un ss mn urch ie nwenung ieser Umkehrungen von jeer beliebigen ntürlichen Zhl n zur Zhl 4 gelngen knn. ieser Nchweis soll in zwei Teilen erfolgen. Im ersten Teil wir gezeigt, ss urch ie nwenung er Umkehropertionen jee ntürliche Zhl n verkleinert weren knn. Nch enlich vielen Schritten gelngt mn nn zu einer einstelligen Zhl. Im zweiten Teil wir nchgewiesen, ss mn von jeer einstelligen Zhl urch ie nwenung er Umkehropertionen zur Zhl 4 gelngen knn. Teil 1 ie rei unter () zusmmengefssten Opertionen weren zur einfcheren rstellung mit 0, 4 bzw. 8 bezeichnet, je nchem ob ie Ziffer 0, 4 oer 8 ngehängt wir. Zu jeer er Opertionen () un () gibt es eine eineutige Umkehropertion: 0 : Von einer ntürlichen Zhl n mit er Einerziffer 0 wir ie Ennull bgeschnitten,.h. 0 (n) = n : 10, 0 ht emnch en Verkleinerungsfktor 0,1. 4 : Von einer ntürlichen Zhl n mit er Einerziffer 4 wir ie Enziffer bgeschnitten,.h. 4 (n) = ( n 4 ) : 10, 4 ht emnch einen Verkleinerungsfktor kleiner ls 0,1, vor er ivision urch 10 ie Zhl 4 subtrhiert wure. 8 : Von einer ntürlichen Zhl n mit er Einerziffer 8 wir ie Enziffer bgeschnitten,.h. 8 (n) = ( n 8 ) : 10, 8 ht emnch einen Verkleinerungsfktor kleiner ls 0,1. : n wir veroppelt,.h. (n) = n, ht emnch en Vergrößerungsfktor. Jee beliebige Verkettung von Opertionen 0, 4, 8 un knn urch Ersetzen von 0 urch 0, 4 urch 4 usw. rückgängig gemcht weren un umgekehrt. Gelingt lso er Nchweis, ss es urch ie nwenung von 0, 4, 8 un einen Weg von einer beliebigen Zhl n zur Zhl 4 gibt, so gibt es urch ie nwenung von 0, 4, 8 un einen Weg von er Zhl 4 zur Zhl n. Es wir nun m eispiel einer Zhl n mit er Einerziffer 1 gezeigt, ss urch eine enliche nwenung er Umkehropertionen ie Zhl verkleinert weren knn. Zweimliges nwenen von, lso zweimliges Veroppeln er Zhl n führt zu einer Zhl mit er Einerziffer 4. ie nschließene nwenung von 4 ergibt eine ntürliche Zhl n'. er Wert von n' ist kleiner ls 0,4 n, enn es gilt: n' = (n 4) :10 = 0,4 n 0,4 < 0,4 n. it en oben ngegebenen ezeichnungen knn mn ies kurz so usrücken: 4 { [ (n)]}= ( n 4) :10 < 0,4 n. LW 001 Rune Seite 11 von 1

12 Lneswettbewerb themtik en-württemberg Für ie übrigen Einerziffern ist ie Folge er Umkehropertionen, ie zu einer Verkleinerung von n führen in Kurzform in er nchfolgenen Tbelle ngegeben. Enziffer von n ( n 10) Verkettung von Opertionen Verkleinerungsfktor 0 0 : n n:10 = 0,1 1 / 6 4 { [ (n)]}: n (n 4):10 < 0,4 / 7 4 [ (n)]: n (n 4):10 < 0, 3 4 ( { [ (n)]}): n (n 4):10 < 0,8 4 4 (n): n (n 4):10 < 0,1 5 0 [ (n)]: n n :10 = 0, 8 8 (n): n (n 8):10 < 0,1 9 8 [ (n)]: n (n 8):10 < 0, ie Tbelle zeigt, ss jee ntürliche Zhl n urch ie nwenung von höchstens vier geeigneten Umkehropertionen in eine kleinere Zhl n' übergeht. Wenet mn nun uf ie jeweils verkleinerte Zhl immer wieer ie gleichen Verfhren n, so gelngt mn schließlich zu einer einstelligen, von 0 verschieenen Zhl. Teil ie folgene Tbelle zeigt, wie mn von einer einstelligen Zhl zur Zhl 4 gelngt: einstellige Zhl Verkettung von Opertionen 1 { [ (1)]} = 4 () = ( { [ (3)]}) =, weiter wie bei [ (5)] = 1, weiter wie bei { [ (6)]} =, weiter wie bei. 7 4 [ (7)] = 1, weiter wie bei ( { [ (8)]}) = 6, weiter wie bei [ (9)] = 1, weiter wie bei 1. mit ist gezeigt, ss von jeer ntürlichen Zhl urch nwenung er Umkehropertionen ie Zhl 4 erreicht weren knn. jeer ieser Wege umkehrbr ist, lässt sich von er Zhl 4 uch urch nwenen er Opertionen un jee ntürliche Zhl erreichen. LW 001 Rune Seite 1 von 1