Musterlösung Klausur Mathematik (Sommersemester 2012) 1. Aufgabe 1: (7 Punkte) Bestimmen Sie folgende Grenzwerte (ggf. mit der Regel von l Hospital):

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1 Musterlösung Klusur Mthemtik Sommersemester 22 Aufgbe : 7 Punkte Bestimmen Sie folgene Grenzwerte ggf. mit er Regel von l Hospitl: x x x2 x 2 un 2 x 2 + x x2 2 x + 2x3 x 2 4 x 2. Jeer Grenzwert: Pkt, ges: 2 Pkt. Grenzwert: Terme zunächst uf einen Bruchstrich bringen,.h. mit 2 x bzw. 2 + x erweitern: x x x2 2 x x2 2 x x x 2 x 2 + x x3 x 2 2 4/x 2 2x2 x 3 2x 2 x 3 4 x 2 2x3 4 x 2 KW x 4 x 2 2 +, uch 2x3 4 x 2 > für x > x : 2 KW 2 { } 2x 3 <, 4 x 2 für x > 2 < 2. Grenzwert: Mn knn s Ergebnis er vorhergehenen Bruchrechnung wieerverwenen: x x x2 2 x + 2x3 x 2 4 x 2 2x3 + 2x 3 x 2 4 x 2 x2 4 x 2 x2 x 2 + b x + x 2 + e 2x + e 4x /x 2 un x x 2 + e 2x + e 4x /x 2. 4/x 2 4x 2 Für x + treten sowohl im Zähler ls uch im Nenner Terme uf, ie gegen konvergieren; ie ominnten Terme sin e 3x /x im Zähler un e 4x /x 2 im Nenner, ziehe sie herus: Verwenet: x 2 + e 2x + e 4x /x 2 e3x /x e 4x /x 2 xe 3x + x 2 e 2x + x 4 e 4x + xe 2x + x e x xe 3x + x 2 e 2x + x 4 e 4x + xe 2x x + xp e x für jees p un jees >. Pkt Für x konvergieren jeweils nur ie x 2 -Terme im Zähler u. Nenner gegen, lso herusziehen: Verwenet: e r T + r T c r r x 2 + e 2x + e 4x /x 2 x2 x 2 x x p e x für jees p un jees >. un + e x /x + e 3x /x 3 + e 2x /x 2 + e 4x /x 4 + ex /x + e 3x /x 3 + e 2x /x 2 + e 4x /x e r T + r T r r 2 in Abhängigkeit vom Prmeter T >.. Pkt Erster Grenzwert: Für r entsteht e + T..5 Pkt Dher knn ie Regel von l Hospitl ngewnt weren: Pkt e r T + r T ] e r T + r T r r Stetigkeit r r r r T e T + T 2 r T e r T T + r T 2 T T Zweiter Grenzwert: Für r entsteht ebenflls e + T 2..5 Pkt Dher knn uch hier ie Regel von l Hospitl ngewnt weren: Pkt e r T + r T r r 2 r r e r T + r T ] r r2 r T e r T T + r T 2r T 2 e r T + r T r r. s.. Grenzw. Anmerkung: Beim zweiten Grenzwert effektiv eine iterierte Anwenung er l Hospitl-Regel. T 2 T 2

2 Musterlösung Klusur Mthemtik Sommersemester 22 2 Aufgbe 2: 9 Punkte Ein Unternehmen ht im Jhr einen CO 2 -Ausstoß von 5 Tonnen un reuziert ihn jees Jhr um 5%. Begrünen Sie, ss er über n Jhre ggregierte CO 2 -Ausstoß A n eines Unternehmens mit einer Emission von im Jhr un konstnter Reuktionsrte r gegeben ist urch A n r r n. b Wieviel CO 2 ht s Unternehmen nch Jhren insgesmt emittiert? c Wie groß ist uf Duer ie gesmte CO 2 -Emission es Unternehmens? Wnn ht s Unternehmen insgesmt 7 5 Tonnen CO 2 usgestoßen? Hinweise:.95.6, ln.25.35, ln.95.5 ] Aggregierter Ausstoß über n Jhre: Nch Jhr:, nch 2 Jhren + r,..., nch n Jhren: A n + r r n n r i GSF mit q r i rn r r +r rn r 2 Pkt b Gesmter CO 2 -Ausstoß nch Jhren. Setze 5, r.5, n in ie Formel ein: c Auf Duer: A 5.95 }.5 {{} mit TR: A n r n r r n r n für r <, insbesonere für r.5. Mit Zhlenwerten 5, r.5: Mio Tonnen C 2 n rn r 2 Pkt 5 A Mio Tonnen C Pkt Wnn ht s Unternehmen insgesmt 7 5 Tonnen CO 2 usgestoßen? Löse ie Gleichung A n r n mit A n 7 5, 5, r.5 nch n uf: r A n r n r n r A n r Einsetzen liefert: n ln ln.95 ln ln.95 r n r A n n log r r A n.5 3 ln r An ln r ln ln mit TR 27.3 Also: Es uert 27 Jhre, bis s Unternehmen insgesmt 7.5 Mio Tonnen CO 2 emittiert ht. Ohne ie Reuktion würe es nur 7.5/.5 5 Jhre uern. Anmerkung: Die Formel us smt ihrer Herleitung ist ie Enwertformel mit r sttt +r. 3 Pkt

3 Musterlösung Klusur Mthemtik Sommersemester 22 3 Aufgbe 3: 9 Punkte Gegeben ist ie vom Prmeter R bhängige Funktion fx e 2 x2 +x. Zeigen Sie: f x x e 2 x2 +x, f x x 2 e 2 x2 +x. b Bestimmen Sie ie Bereiche, uf enen ie Funktion monoton wchsen bzw. fllen ist. Welche Extremstellen ht iese Funktion? c Bestimmen Sie ie Bereiche, uf enen ie Funktion konvex bzw. konkv ist. Berechnung er ersten beien Ableitungen von fx e 2 x2 +x : f x f x x 2 x2 + x ] e 2 x2 +x x + e 2 x2 +x x e 2 x2 +x Kett.Reg. Pro.Reg. x x ] e 2 x2 +x + x x e 2 x 2 +x f x e 2 x2 +x + x x e 2 x2 +x + x 2 e 2 x2 +x x 2 e 2 x2 +x ] b Bereiche, uf enen ie Funktion monoton wchsen bzw. fllen ist. f x e... immer > Also: f ist monoton wchsen für x. Genuso: f ist monoton fllen für x.. Abl: Pkt, 2. Abl: 2 Pkte, ges: 3 Pkt x x Es folgt: f ht ein globles Mximum bei x Mximlwert ist f e 2 2. c Bereiche, uf enen ie Funktion konvex bzw. konkv ist. D e... > für lle..., gilt f x! e... immer > x 2 x 2 Monotonie: 2 Pkt Extrem: Pkt x Bechte: , nicht: Die Beingung x liest sich ls: Abstn von zu x größer. Als Beingung für x sin s lle x, ie um minestens kleiner ls oer um minestens größer ls sin,.h. ie beien Intervlle, ], +, +. Oer geometrisch: Der Grph von y x 2 ist eine nch oben offene Prbel mit Scheitelpunkt bei x, y ; ie Nullurchgänge liegen symmetrisch zum Scheitelpunkt bei x un x + ; links un rechts von en Nullurchgängen,.h. für x un x + liegt ie Prbel oberhlb er x-achse. Also ist f ls Fkt konvex uf en Intervllen, ] sowie +, +. Genuso: f ist konkv uf, + ]. Anmerkung: Mn knn hier ntürlich uch mit er p/q-formel rgumentieren: Konvexität: 3 Pkt x 2 x 2 2x + 2 Prbel in Normlform, p 2, q 2 Ds würe zum gleichen Ergebnis führen, wäre hier ber komplizierter, mn mit x 2 schon ie qurtisch ergänzte Form ht, us er mn Scheitelpkt un Nullstellen sofort blesen knn wie?.

4 Musterlösung Klusur Mthemtik Sommersemester 22 4 Aufgbe 4: 8 Punkte Gegeben sei eine stetig ifferenzierbre un bijektive Funktion fx mit Stmmfunktion F x. Beweisen Sie urch Substitution y fx un nschließene prtielle Integrtion ie folgene Formel für s unbestimmte Integrl er Umkehrfunktion gy : f y von fx: f y y x fx F x ] xf y + c. Lösung vgl. Aufg. von Bltt 7: Substitution y fx y f x x führt uf: f y y f fx f x x x f x x fx f x x x 3 Pkt wobei mn rechts eine Funktion von x bekommt, so ss mn noch x vi x f y zurück substituieren muss. Ds entstnene Integrl f x x lässt sich urch prtielle Integrtion mit ux : x, v x : f x umformen: x ux f x x v x x ux fx vx fx x x fx F x + c u x vx Die Re-Substitution Umschreiben ls Funktion von y sttt x führt uf ie ngegebene Formel. b Mit erhält mn eine Möglichkeit, s bestimmte Integrl y y f y y zu zwei Rnpunkten y un y zu berechnen. Zeigen Sie, ss mn mit y : f un y : fx folgenes Ergebnis erhält: fx f f y y Einsetzen er Grenzen in ie Formel von liefert: fx f f y y ] xf fx x fx F x xf f fx fx x. 2 Pkt ] xx x fx F x x x fx f F x F x fx fx x Bechten wir, ss fx x x fx enn fx ist eine Konstnte bzgl. er Integrtionsvriblen x un fssen ie beien Integrle zwischen x un x zusmmen, entsteht ie nchzuweisene Formel: x fx fx x fx x fx x fx fx x Anmerkung: Ds sieht viel komplizierter us ls es ist. Letztenlich muss mn nur x fx ] x fx x un F x ] x fx x in ie Formel von einsetzen. c Zeigen Sie mit b ie folgene Formel für ie Prouzentenrente PS eines Mrktes mit Angebotsfunktion Sp, Preis-Abstz-Funktion es Angebots p D x un Gleichgewichtspreis p p D x : PS p p D Sp p. Die Prouzentenrente, efiniert ls P S p p D x x, ht ie Struktur er rechten Seite er Formel us b mit fx p D x, p p D x. D S ie Umkehrfunktion von p D f ist, ergibt sich irekt us b wobei wir p sttt y schreiben: 3 Pkt PS p Teil b p D x x fx fx fx f f y y Sp p pd x p D Sp p

5 Musterlösung Klusur Mthemtik Sommersemester 22 5 Aufgbe 5: 9 Punkte Gegeben ist ie Mtrix A Die Inverse von A ht folgene Struktur: A x 2 x y.. Bestimmen Sie x un y. Zur Lösung gibt es viele Möglichkeiten, m einfchsten: Es muss A A I gelten. Wähle her geschickt Zeilen von A un Splten von A us, um Beingungsgleichungen für x un y zu bekommen. Wählt mn z.b. ie. Zeile von A un ie 3. Splte von A, entsteht: x! δ,3 x Mit nochmls er. Zeile von A, ber 4. Splte von A ergibt sich ie Beingung: 3 Pkt x + y! δ,4 x y y 4 Nicht gefrgt: Bei Einsetzen von x, y 4 in s ngegebene A entsteht ttsächlich AA I Anmerkung: Mn sollte iese Aufgbe nicht so ngehen, ss mn A vi Guß-Eintion von A, I invertiert un nn x un y bliest obwohl s nicht flsch wäre. Wenn mit systemtischer Mtrix-Inversion, nn wäre es kzeptbler, x un y über ie jungierte Mtrix zu ermitteln. b Lösen Sie mit Hilfe es Ergebnisses von s linere Gl.System Ax b mit b Lösung es LGS mittels A : x A b 2 2 x 2 x y x A b: 2 Pkt c Bestimmen Sie ie Determinnte von A urch eine Lplce-Entwicklung nch er 4. Zeile von A. Lplce nch 4. Zeile: eta } {{ }... 2 } {{ } +2 2 Lplce: 2 Pkt Ermitteln Sie ie folgenen Determinnten: et A, eta 2, eta, et 2 A + A. Die ersten rei Det. lssen sich vi Det.-Multipliktionsstz us er von A bleiten: et A et I 4 A et I 4 eta + eta 4 eta 2 eta A eta eta eta 2 6 eta eta / eta 4 je.5 Pkte, ges. 2 Pkt Bezüglich er vierten Determinnte sollte mn erkennen, ss A symmetrisch ist, so ss A A. Dher ist 2 A + A 2 A + A A un somit et 2 A + A eta 4. Die Symmetrie von A ist entscheien, enn i.. gilt nicht: et 2 A+A 2 eta+ 2 eta oer ähnliches.

6 Musterlösung Klusur Mthemtik Sommersemester 22 6 Aufgbe 6: 8 Punkte Behneln Sie s folgene Problem mit er Lgrnge-Methoe: mx / min fx, y, z : 2 x2 + 2 z2 + x + z y + x z u.. Nb. gx, y, z : x + 2y + z 2. Hinweis: Siehe Aufgbe 5 zur Lösung es entstehenen Gleichungssystems. Aufstellen er Lgrnge-Funktion: Lλ, x, y, z 2 x2 + 2 z2 + x + z y + x z + λ x + 2y + z 2 2 x2 + 2 z2 + x y + z y + x z + λ x + 2λ y + λ z 2 λ Pkt Prtielle Ableitungen er Lgrnge-Funktion: pro Abl..5 Pkte, ges: 2 Pkt L λ x + 2y + z 2 L x x + y + + λ λ x + y + L y x + z + 2λ 2λ + x + z + L z z + y + λ λ + y + z Für ie Hesse-Mtrix von Lλ, x, y, z erhält mn H L λ, x, y, z 2 2 Pkt Dies ist genu ie Mtrix A us Aufgbe 5. Die notwenige Beingung, grl, ist äquivlent zum LGS Ax b mit A, b us Aufgbe 5 un λ x x y z.h. er einzige sttionäre Punkt von L Lösung es LGS ist: Pkt λ, x, y z 2 Hinreichene Beingung: Es sin ie beien Determinnten 2 un 3 von H L zu überprüfen. 2 3 eta > s. Aufgbe 5 4 > 3 Pkt Dies ist weer ie Sitution lternierene Vorzeichen beginnen mit + nch ie Sitution lle Vorzeichen negtiv. Dher ist hier mit er Theorie keine Aussge möglich er ermittelte sttionäre Punkt ist vermutlich, ber nicht sicher, ein Sttelpunkt es Problems.