Abiturvorbereitung Mathematik Analysis. Copyright 2013 Ralph Werner

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1 Aiturvorereitung Mthemtik Anlysis Copyright 2013 Rlph Werner 1

2 Aleitung einer Funktion Geometrische Entsprechung: Aleitung Die Aleitung einer Funktion f (2) = 4 y = 4 x - 4 n der Stelle x 0 f (x 0 ) git die Tngentensteigung m Punkt (x 0 y 0 ) n f (1) = 2 y = 2 x - 1 Spezilfll: Steigung n einem Extremwert = 0 f (x Mx ) = 0 f (x Min ) = 0 2

3 Summenregel: Fktorregel: Produktregel: Quotientenregel: Aleitungsregeln Allgemeine Aleitungsregeln: (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x) (c f(x)) = c f (x) (f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x) ( f(x) f (x) g(x) f(x) g (x) ) = g(x) (g(x)) 2 Kettenregel: f(g(x)) = f (g(x)) g (x) Umkehrregel: (f -1 1 ) (f(x 0 )) = f (x 0 ) Spezielle Aleitungsregeln: Bedingung: f(x 0 ) differenzierr und f (x 0 ) 0 Konstntenregel: () = 0 Potenzregel: (x n ) = n x n-1 ϵ Reziprokenregel: ( 1 x ) = (x-1 ) = (-1) x -1-1 = (-1) x -2 = 1 x 2 Spezilfll für n = (-1) 1 Wurzelregel: ( x) = (x ) = ( 1 ) x 1-1 = ( 1 ) x- 2 = Spezilfll für n = 2( x) 1 2 Weitere Aleitungsregeln s. Formelsmmlung 3

4 Integrl einer Funktion Geometrische Entsprechung: Integrle Die Integrl einer Funktion in den Grenzen und f(x) dx entspricht dem Flächeninhlt der Fläche, die zwischen dem Grphen der Funktion und der x-achse liegt. Stmmfunktion F (x) = f(x) Unestimmtes Integrl (Menge ller Stmmfunktionen) f(x) dx = [F(x)] + C (C ) Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung f(x) dx = [F(x)] = F() F() 4

5 Integrtionsregeln Allgemeine Integrtionsregeln: Summenregel: ((f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx Fktorregel: ( (f(x)) dx = f(x) dx Null Integrl: f(x) dx = 0 Integrlschnitte: c c f(x) dx + f(x) dx = f(x) dx Negtives Integrl: f(x) dx = f(x) dx Spezielle Integrtionsregeln: Potenzregel: (x n ) dx = ( 1 n+1 ) xn+1 Wurzelregel: ( x) dx = (x ) dx = ( 1 ) x = 2 x = x 3 ) Spezilfll für n = 1 2 Reziprokenregel: ( 1 x ) dx = ln x + C Weitere Integrtionsregeln s. Formelsmmlung 5

6 Spezielle Integrtionsmethoden Produktintegrtion (LK) u v dx = u v - u v dx Uneigentliche Integrle Typ 1: Integrl üer einem uneschränkten Intervll Lösung: 1. Berechnung des Flächeninhlts in Anhängigkeit der vrilen Integrtionsgrenze 2. Grenzwertestimmung für Typ 2: Integrl einer uneschränkten Funktion (n Integrtionsgrenze nicht definiert) Lösung: 1. Berechnung des Flächeninhlts in Anhängigkeit der vrilen Integrtionsgrenze 2. Grenzwertestimmung für Integrtionsgrenze 6

7 Spezielle Integrtionsmethoden Integrtion durch Sustitution: 1 Linere Sustitution: (f(x + ) dx = F(x + ) + C Nichtlinere Sustitution: (LK) Typ 1: Integrl der Gestlt f(g(x)) g (x) dx Mn sustituiert g(x) = z und erhält ds Integrl f(z) dz. Ist F(z) Stmmfunktion von f(z), dnn ergit sich nch Rücksustitution im Ergenis F(g(x)) ls Stmmfunktion des Ausgngsintegrnden. Typ 2: Allgemeines Integrl Lösungsnstz durch Versuch mittels Sustitution von x durch einen Term t(z) ds Integrl f(x) dx in ds Integrl f(t(z)) t (z) dz zu trnsformieren, welches im günstigen Fll einfcher zu lösen ist ls ds Ausgngsintegrl. 7

8 Flächenerechnung mit Integrlen Flächenerechnung vs. Integrlerechnung Beispiel: 2 0 sin(x) dx Integrlerechnung: 0 sin(x) dx = 0 2 Flächenerechnung: F = 0 sin(x) dx + sin(x) dx = 4 Flächeninhlte zwischen Funktionsgrphen A = f(x) dx g(x) dx f(x) g(x) 8

9 Volumenerechnung mit Integrlen Rottion um die x-achse V = (f(x)) 2 dx f(x) Rottion um die y-achse V = (g(y)) 2 dy f(x) g(y) ist die Umkehrfunktion von f(x) 9

10 Definitionsereich Einschränkungen des Definitionsereichs Gerochen-rtionle Funktionen f(x) = Z(x) N(x) Division durch null nicht erlut Definitionslücken in den Nullstellen des Nenners N(x) Lösung: Bestimmung der Definitionslücke durch Nullsetzen des Nenners N(x) = 0 Wurzelfunktionen f(x) = R(x) Negtiver Rdiknd R(x) einer gerde Wurzel nicht definiert Lösung: Bestimmung der Definitionsereichs durch Anstz R(x) 0 Logrithmusfunktionen f(x) = log(t(x)) Logrithmus nur für positive Argumente definiert Lösung: Bestimmung der Definitionsereichs durch Anstz T(x) > 0 10

11 Polstellen Kriterium Gerochen-rtionle Funktionen f(x) = Z(x) N(x) Gilt N(x 0 ) = 0 und Z(x 0 ) 0, so ist x 0 eine Polstelle von f(x) f(x) = 1 (x 3) f(x) = 1 (x 3) 2 Polstelle mit Vorzeichenwechsel (Pol ungerder Ordnung) Polstelle ohne Vorzeichenwechsel (Pol gerder Ordnung) 11

12 Here Definitionslücken Kriterium Gilt N(x 0 ) = 0 und Z(x 0 ) = 0 (Nullstellen gleicher Ordnung), so ist x 0 eine here Definitionslücke von f(x) Beispiel: f(x) = 3 x 2x 2 6x = 3 x 2x (3 x) = 1 2x Here Definitionslücke ei x = 3 12

13 Asymptoten Definition Grph, der sich dem Grphen einer Funktion elieig weit nnähert A(x) ist Asymptote von f(x), wenn gilt: [f(x) A(x)] = 0 Lösung: Bestimmung der Asymptote durch Drstellung von f(x) ls Summe us einem Polynom und einem Restterm (Nennergrd > Zählergrd) mittels Polynomdivision. Zählergrd < Nennergrd Zählergrd = Nennergrd Zählergrd > Nennergrd x-achse ist Asymptote Beispiel: f(x) = 3x+1 x 2 = 0 + 3x+1 x 2 Eine zur x-achse prllele Gerde ist Asymptote Beispiel: f(x) = 10x 20 x 5 = x 5 Ein Polynom vom Grd k > 0 ist Asymptote Beispiel: f(x) = x3 5x x 10 = x2-2x 10 13

14 Kurvendiskussion 1. Definitionsereich (inkl. Polstellen, Lücken) 2. Symmetrieeigenschften y-achsensymmetrie: f(-x) = f(x) Punktsymmetrie zum Ursprung: f(-x) = -f(x) f(x) f(-x) f(x) -x x -x x f(-x) 3. Schnittpunkte mit den Koordintenchsen x-achse (Nullstellen): f(x) = 0 N(x y) y-achse (y-achsenschnitt): S y (0 f(0)) S y N 1 N 2 N 3 14

15 Kurvendiskussion 4. Extrempunkte Notwendige Bedingung: f (x) = 0 Hinreichende Bedingung: f (x) 0 5. Wendepunkte Notwendige Bedingung: f (x) = 0 Hinreichende Bedingung: f (x) 0 Vollständig: f (x W ) = f (2n-1) (x W ) = 0 f (n) (x W ) 0 mit n>2 und n ungerde } Wendepunkt 15

16 Kurvendiskussion 6. Verhlten im Unendlichen Bestimmung der Asymptoten f(x) f(x) Lösung ei komplexen Funktionen: Identifizierung der dominnten Terme 7. Grph Qulittive Zeichnung des Grphen uf Bsis zuvor estimmter geometrischer Eigenschften [8. Monotonie] Gilt für lle x ϵ Intervll I f (x) < 0, so ist f(x) üer I streng monoton fllend f (x) > 0, so ist f(x) üer I streng monoton wchsend 16

17 Rekonstruktion (Prmeterufgen) Prel n-ter Ordnung => f(x) = x n + x n-1 + cx n e => f (x) = nx n-1 + (n-1)x n-2 + (n-2)cx n-3 + => f (x) = n(n-1)x n-2 + (n-1)(n-2)x n-3 + (n-2)(n-3)cx n-4 + Achsensymmetrie Punktsymmetrie => Nur gerde Exponenten => Nur ungerde Exponenten Gegeen: Punkt A(x A y A ) => f(x A ) = y A = x A n + x A n-1 + cx A n e Gegeen: Extrempunkt E(x E y E ) oder uch ht Steigung 0 oder erührt x-achse => Punkt E und f (x E ) = 0 = nx E n-1 + (n-1)x E n-2 + (n-2)cx E n-3 + Gegeen: Wendepunkt W(x W y W ) => Punkt W und f (x W ) = 0 = n(n-1)x W n-2 + (n-1)(n-2)x W n-3 + (n-2)(n-3)cx W n-4 + Gegeen: Sttelpunkt S(x S y S ) => Punkt S und Extrempunkt S und Wendepunkt S Gegeen: Steigung m ei x m => f (x m ) = m 17