1 Einführung. 1.1 Zahlenmengen S Mengenlehre. 1.3 Beweismethoden S5 1.4 Spezielle Ungleichungen S Umgebung. 1.
|
|
- Lieselotte Kurzmann
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Anlysis E - Formelsmmlung (v.) Seite von 8 Einführung. Zhlenmengen S N = {,, 3,...} ; N = {,,, 3,...} ; Z = {...,,,,,,..} ; Q = {x x = p / q mit p Z und (q Z {})} ; R = zb, π, φ. Mengenlehre A = {,,,, }, B = {,,, 3, 4} A B = {x x A und x B} A B = {x x A oder x B} A B = {x x A und x / B} Kommuttivgesetz: Assozitivgesetz: Distributivgesetz: A B = {,, } A B = {,,,, } A B = {, } A B = B A (A B) C = A (B C) A (B C) = (A B) (A C) A B = B A (A B) C = A (B C) A (B C) = (A B) (A C).3 Beweismethoden S5.4 Spezielle Ungleichungen S3 Bernoulli-Ungleichung: ( + ) n > + n für n N, n, R, >, Binomische Ungleichung: b ( + b ) Dreiecksungleichung: + b + b b + b b b Geometrisches und rithmetisches Mittel: für i, n N, i {,,..., n} : n... n n i = n n Minim/Mxim: min{ i } n... n mx{ i } Ntürliche Funktionen: + x e x x x ln(x) x.5 Umgebung Jedes offene Intervll, dss die Zhl enthält, heisst eine Umgebung von. Es sei ɛ >. Unter der ɛ-umgebung von versteht mn ds offene Intervll ( ɛ, + ɛ). Eine ɛ-umbebung von ohne die Zhl selbst wird punktierte ɛ-umgebung von gennnt. Schreibweise: U() Schreibweise: U ɛ () Schreibweise: U ɛ () = U ɛ ().6 Summenzeichen S7 mit m n Die Lufvrible i wird immer um ufddiert. i immer kleiner-gleich n (z.b. wenn i R) i = m i + n i ; i = n j i+j ; = n ; (λ i + βb i ) = λ n i + β n i=m+ j.7 Produktzeichen S7 n (x x i ) = n (x x ) (x x )... (x x n ) n.8 Fkultät S3 n! = 3... n für n N, n 3 n! > n b i.9 Binomischer Stz S ( + b) n = n ( ni ) n i b i ; ( ) i= n ( ni ) ( ) n+ i + = i ; ( ni ) ( ni ) = n(n )... (n i+) 3... i ; = n! i!(n i)! ; ( ni ) ( ) n = n i ( n ) =. Einige Wurzeln =.44; 3 =.73; 5 =.36; 6 =.449; 7 =.645; F. Brun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller. Jnur 9
2 Anlysis E - Formelsmmlung (v.) Seite von 8 Funktionen S48. Einleitung Schreibweisen: f : D f W f mit x f(x) f : x f(x) mit x D f y = f(x) mit x D f Definitionen: x Argument oder Vrible von f f(x) Funktionswert, Wert von f n der Stelle x x f(x) oder y = f(x) Zuordnungsvorschrift D f Definitonsmenge oder Definitionsbereich W f Wertemenge oder Wertebereich Achsenbezeichnungen: Abszisse = X-Achse Ordinte = Y-Achse Applikte = Z-Achse. Trnsformtionen ± f( ± b ( x ± c)) ± d. Vertikle Streckung um bzw. Spiegelung n x bei -. b Horizontle Streckung um /b bzw. Spiegelung n y bei -b 3. c Verschiebung nch links (+c) oder rechts (-c) 4. d Verschiebung nch oben (+d) oder unten (-d).3 Spezielle Funktionen Identität: Schreibweise: f(x) = x Definition: Der X-Wert ist gleich dem Y-Wert Signumfunktion: Schreibweise: f(x) = sgn(x), flls x > Definiton: y =, flls x = -, flls x < Guss-Klmmer: Schreibweise: f(x) = [x] Definition: rundet den Y-Wert gnzzhlig b.4 Umkehrfunktion S5 Schreibweise: f Definition: ein Y-Wert drf nur einml vorkommen und W f muss D f sein.5 Verkettung oder mittelbre Funktion Schreibweise: h(x) = g f h(x) = g(f(x)) Sprechweise: g nch f Wertebereiche: W h = W f D h = D g h(x) = f g h(x) = f(g(x)) f nch g W h = W g D h = D f Wichtig: Funktionen sind ncheinnder usführbr, wenn der W f bzw. W g der.funktion im D g bzw. D f der.funktion enthlten ist..6 Beschränktheit S5.7 Monotonie S5 (siehe uch 5.7., Monotonie (S. 7)) monoton wchsend x < x f(x ) f(x ) streng monoton wchsend x < x f(x ) < f(x ) monoton fllend x > x f(x ) f(x ) streng monoton fllend x > x f(x ) > f(x ).8 Gerde/Ungerde Funktionen S5 Funktion ist gerde wenn f( x) = f(x) Achsensymmetrisch Funktion ist ungerde wenn f( x) = f(x) Punktsymmetrisch.9 Gnzrtionle Funktionen (Polynom) S6 u. 64 Aussehen: f(x) = n x n + n x n + + x + Nullstellen bestimmen (siehe uch.7, Produktezeichen (S. )): flls Polynom (x + bx + c) qudrtische Lösungsformel: b± b 4c fktorisieren mit Hilfe von Binomen fktorisieren mit Hilfe des Hornerschems S94 Wichtig: eine gnzrtionle Funktion n-ten Grdes ht höchstens n verschiedene Nullstellen F. Brun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller. Jnur 9
3 Anlysis E - Formelsmmlung (v.) Seite 3 von 8. Hornerschem S94 - Pfeile Multipliktion - Zhlen pro Splte werden ddiert Beispiel: f(x) = x 3 67x 6 x Nullstelle (muss errten werden!!) oberste Zeile = zu zerlegendes Polynom f(x) = (x x )(b x + b x + b ) = (x + )(x x 63). Gebrochenrtionle Funktionen S6 u. 66 Aussehen: f(x) = pm(x) q n(x) = mxm + m x m + + x + nx n + n x n + + x + Definitionen: wenn m < n ist f echt gebrochen, wenn m n ist f unecht gebrochen x ist Nullstelle von f flls p m(x ) = und q n(x ) gilt. x heisst Polstelle von f flls q n(x ) = und p m(x ) gilt. x heisst Lücke von f flls q n(x ) = und p m(x ) = gilt. Jede unecht gebrochene rtionle Funktion lässt sich ls Summe einer gnzrtionlen Funktion und einer echt gebrochenen Funktion schreiben. Dies ist möglich mit der Polynomdivision S5. Prtilbruchzerlegung S5 f(x) = x + x + 49 x 3 + 4x x 3 Anstz: Nenner fktorisieren mit Hornerschem S94, Binom, etc. x 3 + 4x 3 = (x + )(x + x 5) = (8x + )(x + 5)(x 3) f(x) = x + x + 49 x 3 + 4x x 3 = A x 3 + B x + + C A(x + )(x + 5) + B(x 3)(x + 5) + C(x 3)(x + ) = x + 5 (x 3)(x + )(x + 5) Gleichungssystem ufstellen mit beliebigen x i-werten (m Besten Polstellen oder,,- wählen): x = 3 : = A 5 8 A = 5 x = : = B( 5) 3 B = 7 x 3 = 5 : = C( 8)( 3) C = f(x) = 5 x x + x + 5 weitere Ansätze für ndere Typen von Termen: f(x) = 5x 37x + 54 x 3 6x + 9x = A x + f(x) = f(x) =, 5x x 3 6x + x 8 = x x 3 + x x = B x 3 + A x + A x + C (x 3) = A(x 3) + Bx(x 3) + Cx x(x 3) B (x ) + C (x ) = A(x ) + B(x ) + C 3 (x ) 3 Bx + C x + 4x + 6 = A(x + 4x + 6) + (Bx + C)(x ) (x )(x + 4x + 6).3 Trigonometrische Funktionen S76 sin : D f = [ π, π ] W f = [, ] rcsin : D f = [, ] W f = [ π, π ] cos : D f = [, π] W f = [, ] rccos : D f = [, ] W f = [, π] tn : D f = ( π, π ) W f = R rctn : D f = R W f = ( π, π ) cot : D f = (, π) W f = R rccot: D f = [, ] W f = (, π).4 Potenz- und Wurzelfunktionen S8,7 gerde Potenzfunktion: D f = R W f = R + gerde Wurzelfunktion: D f = R + W f = R ungerde Potenzfunktion: D f = R W f = R ungerde Wurzelfunktion: D f = R W f = R F. Brun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller. Jnur 9
4 Anlysis E - Formelsmmlung (v.) Seite 4 von 8.5 Hyperbolische Funktionen S88 sinh(x) = ex e x ; D = R, W = R cosh(x) = ex +e x ; D = R, W = [, ) tnh(x) = ex e x e x +e x ; D = R, W = (, ).6 Logrithmus- und e-funktion S7 e-funktion: D f = R W f = R + Logrtihmus-Funktion: D f = R + W f = R 3 Zhlenfolgen 3. Einführung: rithmetische Folge: = c und n+ = n + d geometrische Folge: = c und n+ = q n d = n+ n q = n+ n Monotonie: bzw. > bzw. bzw. < bzw. bzw. > bzw. bzw. < bzw. 3. Beschränktheit S5 Beschränkt wenn k n K, wobei k bzw. K die untere bzw. obere Schrnke ist 3.. Bolzno-Weierstrss Jede beschränkte, reelle Zhlenfolge (mit unendlich vielen Gliedern) enthält mindestens eine konvergente Teilfolge. 3.3 Grenzwerte von rekursiven Folgen. Monotonie nnehmen (ev. erste Glieder berechnen) mit vollständider Induktion beweisen z.b. Vernkerung: f < f < Vererbung: f n < f n+ f n+ = f n + < f n+ + = f n Hypothetischer Grenzwert usrechnen (indem mn Beschränkheit nnimmt und den Limes zieht) z.b. f n + = f n+ x + = x (fn = f n+ in Unendlichkeit!!) n x = 3± 5 x = 3+ 5 (d der Grenzwert grösser sein muss ls (monoton steigend siehe.)) 3. Beschränktheit mittels des hypothetischen Grenzwertes und vollständiger Induktion beweisen z.b. Vernkerung: f < 3+ 5 < 3 < 3 Vererbung: f n < f n+ = f n + < 3 + < 3 F. Brun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller. Jnur 9
5 Anlysis E - Formelsmmlung (v.) Seite 5 von 8 4 Grenzwerte S53 4. Berechnung von Grenzwerten S56 Technik des Erweiterns: n Binom. Formel: n n = Erweitern mit = n n n n n n = = (siehe uch 5.6, Bernoulli-Hospitl (S. 7)) n n ( n + n)( n + + n) n + n n + n = = = n n n + + n n n + + n Ausserdem gibt es ds Prinzip der Einschliessung: Die zu untersuchende Funktion wird in eine Ungleichung mit beknnten Grenzwerten (siehe uch.4, Spez. Ungleichungen (S. )) eingeschlossen. 4. Links-/Rechtsseitiger Grenzwert S54 Rechtsseitiger Grenzwert: Linksseitiger Grenzwert: 4.3 Konvergenz, Divergenz f(x) = f(x) = g + x x + x x f(x) = f(x) = g x x x x Konvergenz: g + = g = g R oder: monoton und beschränkt Bestimmte Divergenz: g = + oder: g = Unbestimmte Divergenz: Es existiert kein Grenzwert (g für Grenzwert) 4.4 Stetigkeit S59 Wenn mn die Funktion mit einem Strich zeichnen knn : f(x) = f(x x x ) 4.5 Spezielle Grenzwerte S58, 9, 47, 45 sin x x x = x α = ( > ; α, β > ) x βx ( + x x )x = e log (x + ) = x x ln x x ln x x = x = e x x x ( + x) x = e (ln x) α = x x β ln x x ln x = x + { q k + q = q < q k= (ln x) α = x x β x = ln x x x 4 x = ln e x = x x ( + x) α = α α x x n x k = (x > ) x n! x q = (q > ; k N) x p = x x 4.6 Asymptotenbestimmung S5 Ausrechnen der Asymptote einer gebrochen rtionlen Funktion r : x r(x) = Pm(x) Q n(x) : m < n m = n m > n m x ± bn + oder Asymptote x-achse Prllel zur x-achse Gnzrtionler Teil y = g(x) = m b n der Polynomdivision (siehe uch 5.7.5, Asymptote (S. 7)) F. Brun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller. Jnur 9
6 Anlysis E - Formelsmmlung (v.) Seite 6 von 8 5 Differentilrechnung S394 f (x ) = df dx x=x f (x ): Ableitung oder Differentilquotionent von f n der Stelle x = ( d dx f)x=x f(x = Df(x ) = +h) f(x ) h h f r(x f(x ) = +h) f(x ) h h f l f(x (x ) = +h) f(x ) h h Rechtsseitige f r(x ) bzw. linksseitige f l (x ) Ableitung. Flls f r(x ) = f l (x ) und f n der Stelle x stetig, dnn ist f n der Stelle x differenzierbr. 5. Spezielle Ableitungen S396 ( x ) = sgn(x) = x x = x x, x (tn x) = + tn x, x R\ { k+ π } (cot x) = ( + cot x), x R\ {kπ} 5. Höhere Ableitungen S4 ( ln + x x (sin x) (k+) = ( ) k cos x, k N (cos x) (k ) = ( ) k cos x, k N ( ) (n) + x = x ) (n) = ( ) n+ (sin x) (k) = ( ) k sin x, k N (cos x) (k) = ( ) k cos x, k N n! ( x) n+ ( x) (n) = ( ) n (n 3) n x n x (n )! (n )! + ( + x) n ( x) n (x e x ) (n) = n e x + x e x = e x (n + x) 5.3 Differentil, Fehlerrechnung S85/968 bsoluter Fehler: y dy = f ( x) dx f ( x) δ reltiver Fehler: f ( x) dx f ( x) δ = f ( x) δ ȳ ȳ Auf n-stellen nch dem Komm genu bsoluter Fehler: δ = ±.5 n f( x) 5.4 Mittelwertstz S44 f(b) f() b = f (ξ) 5.5 Tylor Polynom S45 (x = Entwicklungspunkt) f(x + h) = f(x ) + f (x )h + f (x ) R n (Lgrnge): R n(x, h) = f (n+) (x + θh) h n+, ( < θ < ); (n + )! McLurinsche-Form (gilt für x =, h = x): f(x) = 5.5. Einige Reihen S9/47/45 k= f (k) () k! h + f (x ) 3! h f (n) (x ) h n + R n(x, h) n! Rn(x, h) = = n f(x + h) = x k + R n; R n = f (n+) (θx) (n + )! n= f (n) (x ) h n n! x n+, ( < θ < ); sin x = x x3 3! + x5 5!... + ( ) n x n (n )! + R n {}}{ ( ) n cos(ϑx) (n + )! xn+ e x = + x + x! xn n! + eϑx (n+)! xn+ ln( + x) = x x + x ( )n xn + ( ) n xn+ n (+ϑx) n+ n+ F. Brun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller. Jnur 9
7 Anlysis E - Formelsmmlung (v.) Seite 7 von Bernoulli-de l Hospitl S56 f (x) = f x x f (x) x x (x), dies gilt für: f (x). Regel, oder ±. Regel; Zähler und Nenner seprt bleiten! ± 5.6. Spezilfälle ± f f = oder f f = ± ± f f f g : f f = eg ln(f) = e e e 5.7 Kurvenuntersuchungen S43. Definitionsbereich S48 D f und Abschätzung des Wertebereichs W f. Symmetrie S5 und Periodizität S5 3. Nullstellen 4. Stetigkeit S58f und Differenzierbrkeit S394 (Berechnung der Ableitungen) 5. Extremwerte, Wendepunkte und Wendetngenten, Monotonie, Krümmungsverhlten 6. Grenzwertussgen (Asymptote, Pole, Verhlten von f m Rnde des Definitionsbereichs) 5.7. Monotonie S43 f (x) ( x (, b)) (monoton steigend) f (x) ( x (, b)) (monoton fllend) f (x) > ( x (, b)) (streng monoton steigend) f (x) < ( x (, b)) (streng monoton fllend) 5.7. Konvexität - Krümmungsverhlten S35f konvex (linksgekrümmt) f f (x) streng konvex f f (x) > konkv (rechtsgekrümmt) f f (x) streng konkv f f (x) < Extremlstelle S45f f (x ) =, potentieller Kndidt für Extremlstelle { f n (x ) > reltives Minimum bei x f (x ) =,..., f n (x ) =, f n n gerde (x ) f n (x ) < reltives Mximum bei x n ungerde Terssenpunkt bei x Zweite Vrinte Flls bei f (x) n der Stelle x ein Vorzeichenwechsel besteht, existiert dort eine Extremlstelle Wendepunkt (Terssenpunkt) S38f f (x ) =, potentieller Kndidt für Wendepunkt. { Gilt für n 3. n ungerde Wendestelle bei f (x ) =,..., f n (x ) =, f n x (flls f (x ) = Terssenpunkt bei x ) (x ) n gerde Flchstelle bei x Zweite Vrinte Flls bei f (x) n der Stelle x ein Vorzeichenwechsel besteht, existiert dort ein Wendepunkt Asymptote S4f Für Funktionen, die nicht gebrochenrtionl(siehe uch 4.6, Grenzwerte (S. 5)) sind, knn die Asymptote wie folgt bestimmt werden. Dies lles gilt sinngemäss uch für x. Asymptote g: y = x + b (f(x) x b) = x f(x) = oder = f (x) x x x b = (f(x) x) x Spezilfll Wenn f(x) existiert, so ist = und b = f(x). x x Existiert jedoch nur, wenn lle drei Grenzwerte existieren. Zweite Vrinte nur möglich, wenn Bedingungen für Bernoulli-de l Hospitl erfüllt sind. F. Brun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller. Jnur 9
8 Anlysis E - Formelsmmlung (v.) Seite 8 von 8 6 Integrlrechnung S Bestimmtes Integrl S457 I = b f( x)d x = S(Z) = d(z) O(Z) = d(z) U(Z) d(z) x: Integrtionsveränderliche, f: Integrnden, [,b]: Integrtionsintervll, /b: untere bzw. obere Integrtionsgrenze 6. Integrierbrkeit 6.3 Flächeninhlt Inhlt der Fläche unter dem Grphen f : A = 6.4 Mittelwertstz S46 b f( x) d x f uf [, b] stetig mind. eine Stelle ξ (, b) mit b f(x)dx = (b )f(ξ) h = b b f(x)dx 6.5 Integrlfunktion x c [, b] und f(x) über [, b] integrierbr: I : x I(x) = f(t)dt 6.5. Differenzierbrkeit Integrlfunktion S459, 46 c d dx b(x) (x) f(t)dt = f(b(x)) b (x) f((x)) (x) d dx x f(t)dt = f(x) 6.6 Unbestimmtes Integrl S444 x I(x) + C = f(x)dx 6.7 Stmmfunktion S444 Jede uf [, b] differenzierbre Funktion F nennt mn Stmmfunktion, wenn F = f. 6.8 Rechenregeln S447 b b b f(x)dx = f(x)dx f(x)dx = f(x)dx ( ) f(x)dx F. Brun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller. Jnur 9
6. Integration 6.1 Das Riemann-Integral
6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Mthemtik für Chemiker 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Flächenberechnung: Problemstellung und Lösungsidee Sei f : [, b] [0, ) eine
MehrWirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere
MehrKapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35
Kpitel 0 Integrtion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion / 35 Flächeninhlt Berechnen Sie die Inhlte der ngegebenen Flächen! f (x) = Fläche: A = f (x) = +x 2 Approximtion durch Treppenfunktion
MehrKapitel 13. Taylorentwicklung Motivation
Kpitel 13 Tylorentwicklung 13.1 Motivtion Sei D R offen. Sie erinnern sich: Eine in D stetig differenzierbre Funktion f : D R wird durch die linere Funktion g(x) = f() + f ()(x ) in einer Umgebung von
Mehr3. Ganzrationale Funktionen
3. Gnzrtionle Funktionen ) Definitionen und Beispiele Definition: Eine gnzrtionle Funktion n-ten Grdes ht ls Definitionsterm ein Polynom n-ten Grdes, d.h. y = f() = n n n-1 n-1 1 0. n 0, i ( i = 1, n)
MehrGrundwissen Abitur Analysis
GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ mthem-technolog u sprchl Gmnsium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 9257 PEGNITZ FERNRUF 0924/48333 FAX 0924/2564 Grundwissen Abitur Anlsis Ws sind Potenzfunktion mit ntürlichen
MehrFormelsammlung. Folgen und Reihen
Lehrstuhl für BWL, insb. Mthemtik und Sttistik Dipl.-Mth. Mrie Hielscher Mthemtik für Betriebswirte II Formelsmmlung Folgen und Reihen en Folge n ) n N0 : D R, n n := n) mit D N 0 n-te Prtilsumme von n
Mehrb f(x)p(x) dx = f(ξ) 2e 2 , Hess f (2, 0) =
Es seien U R n offen und ψ : U R n stetig differenzierbr. Weiter sei f : U R zweiml stetig differenzierbr. Kennzeichnen Sie whre Aussgen mit W und flsche Aussgen mit F. F Flls dψ(x) ein Isomorphismus für
MehrDifferenzial- und Integralrechnung III
Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in
MehrTaylorreihen - Uneigentlische Integrale
Anlysis II für M, LG und Ph, WS 2006/07, Übung 2, Lösungsskizze Gruppenübung Tylorreihen - Uneigentlische Integrle G 5 Berechnen Sie die Tylorreihe mit der Entwicklungsmitte 0 von f (x) = log(x + ), f
MehrLösungen zum Pflichtteil (ohne GTR und Formelsammlung) Gebrochenrationale Funktionen
www.mthe-ufgben.com Lösungen zum Pflichtteil (ohne GTR und Formelsmmlung) Gebrochenrtionle Funktionen Aufgbe : ) wgr. Asymptote: y, b) wgr. Asymptote: y 0 senkr. Asymptote: x - mit VZW senkr. Asymptote:
MehrAbitur - Leistungskurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 1999
Abitur - Leistungskurs Mthemtik Schsen-Anhlt 999 Gebiet L - Anlysis Augbe.. y, D, R,. Die Funktionenschr sei gegeben durch Die Grphen der Funktionen der Schr werden mit G bezeichnet. ) Ermitteln Sieden
MehrMathe Warm-Up, Teil 1 1 2
Mthe Wrm-Up, Teil 1 1 2 HEUTE: 1. Elementre Rechenopertionen: Brüche, Potenzen, Logrithmus, Wurzeln 2. Summen- und Produktzeichen 3. Gleichungen/Ungleichungen 1 orientiert sich n den Kpiteln 3,4,6,8 des
Mehrε δ Definition der Stetigkeit.
ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufge 69. Quizz Integrle. Es sei Höhere Mthemtik für Informtiker II (Sommersemester
MehrVorkurs Mathematik DIFFERENTIATION
Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt
MehrAnalysis mit dem Voyage 1
Anlysis mit dem Voyge 1 1. Kurvendiskussion Gegeben ist die Funktionschr Den Nenner erhält mn mit Hilfe der Funktion getdenom. Zeros liefert die Nullstellen des Nenners und dmit die Werte, die us dem Definitionsbereich
MehrBeispiel-Abiturprüfung
Mthemtik BeispielAbiturprüfung Prüfungsteile A und B Bewertungsschlüssel und Lösungshinweise (nicht für den Prüfling bestimmt) Die Bewertung der erbrchten Prüfungsleistungen ht sich für jede Aufgbe nch
MehrMathematik: Vorwissen und Selbststudium
Mthemtik: Vorwissen und Selbststudium Prof. Thoms Apel Studienjhr 00/ Lerning nything chnges people; lerning mth mkes big chnge it opens minds nd opens doors. [Hirsh Cohen, SIAM president 983-984] Vorwort
MehrVorlesung Mathematik I
Vorlesung Mthemtik I Studiengng Chemieingenieurwesen/Umwelttechnik D. Oestreich 1 1 Grundlgen 1.1 Mengenlehre und mthemtische Logik 1.1.1 Mengen und Mengenopertionen Menge: Gednkliche Zusmmenfssung M von
MehrStetigkeit von Funktionen
9 Stetigkeit von Funktionen Definition 9.1 : Sei D R oder C und f : D R, C. f stetig in a D : ε > 0 δ > 0 mit f(z) f(a) < ε für alle z D, z a < δ. f stetig auf D : f stetig in jedem Punkt a D. f(a) ε a
Mehr9 Die Prinzipien der Analysis
9 Die Prinzipien der Anlysis 9. Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Ds wichtigste Prinzip der Anlysis besgt, dss die Integrtion in gewisser Weise die Umkehrung der Differentition ist. Genuer
Mehr9 Das Riemannsche Integral
1 9 Ds Riemnnsche Integrl 9.1 Definition und Beispiele Sei I = [, ] R mit
Mehr1 Kurvendiskussion /40
009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Kurvendiskussion /0 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung: f ( ) 0 6 = ; mit.. Untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionswerte von f im Unendlichen.
MehrGrundwissen Mathematik 10. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele
Themen Eigenschften Besonderheiten - Beispiele Kreis beknnt us Klsse 8: U Kreis = 2 π r A Kreis = r 2 π Kreissektor Bogenlänge b Flächeninhlt Kreissektor: Die Länge b des Kreisbogens und der Flächeninhlt
Mehr2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken
Übungsmteril 1 Berechnung von Flächeninhlten unter Kurvenstücken.1 Annäherung durch Rechtecke Um die Fläche zu berechnen, die zwischen dem Funktionsgrphen einer Funktion und der -Achse eingeschlossen wird,
Mehr)e2 (3 x2 ) a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie, ermitteln Sie die Nullstellen von f und bestimmen Sie das Verhalten von f für x.
Analysis Aufgabe aus Abiturprüfung Bayern GK (abgeändert). Gegeben ist die Funktion f(x) = ( x )e ( x ). a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie, ermitteln Sie die Nullstellen von f und bestimmen
MehrOrientierungstest Mathematische Grundlagen
Orientierungstest Mthemtische Grundlgen Lösungen:. Welche Zhlenmengen git es? Beispiele? Menge der ntürlichen Zhlen N {,,, } Menge der gnzen Zhlen Z {,, 0,,, } Menge der rtionlen Zhlen Q Menge ller ls
MehrLösungen zu Aufgabenblatt 7P
Analysis Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Sommersemester 205 9. Mai 205 Lösungen zu Aufgabenblatt 7P Aufgabe (Stetigkeit) (a) Für welche a, b R sind die folgenden Funktionen stetig in x 0
MehrAufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6
Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.
MehrWir wollen den Inhalt A der Fläche bestimmen, den der Graph von f mit der x-achse und den zu a und b gehörendenden Ordinaten einschließt.
I. Integrlrechnung 1 ================================================================= 1.1 Oer- und Untersumme -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MehrUNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009
UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis
MehrFalls die Werte von X als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable.
Sttistik I für Sttistiker, Mthemtiker und Informtiker Lösungen zu Bltt 11 Gerhrd Tutz, Jn Ulbricht, Jn Gertheiss WS 7/8 Theorie: Stetige Zufllsvriblen Begriff Stetigkeit: Eine Vrible oder ein Merkml X
MehrUnter einer Partition oder Zerlegung eines Intervalls [a, b] verstehen wir eine endliche Menge P = {x 0, x 1,..., x n } mit der Eigenschaft ...
Kpitel 7 Ds Riemnn Integrl 7.1 Unter und Obersummen 7.2 Riemnn Integrl 7.3 Riemnnsche Summen 7.4 Rechenregeln 7.5 Differentition und Integrtion 7.6 Die L p Normen 7.1 Unter und Obersummen Unter einer Prtition
MehrFunktionsgrenzwerte, Stetigkeit
Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Häufig tauchen in der Mathematik Ausdrücke der Form lim f(x) auf. x x0 Derartigen Ausdrücken wollen wir jetzt eine präzise Bedeutung zuweisen. Definition. b = lim f(x) wenn
Mehr360 2 r. 360 r2. α Bogenmaß. α 360. α 2π. 4 3 r3 V K. 4 r 2 O K
Grundwissen Mthemtik 10. Klsse Kreis Länge eines Kreisbogens b 360 r r r b Fläche eines Kreissektors 360 r r r Bogenmß Bogenmß des Winkels : Umrechnungsformel: b α Bogenmß r α Bogenmß π α 360 Grdmß Kugel
Mehrn 1, n N \ {1}, 0 falls x = 0,
IV.1. Stetige Funktionen 77 IV. Stetigkeit IV.1. Stetige Funktionen Stetige Funktionen R R sind vielen sicher schon aus der Schule bekannt. Dort erwirbt man sich die naive Vorstellung, dass eine stetige
MehrElemente der Analysis II: Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse
Elemente der Anlysis II: Zusmmenfssung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse J. Wengenroth Dies ist die einzige zugelssene Formelsmmlung, die bei der Klusur benutzt werden drf. Es dürfen Unterstreichungen
Mehr4 Stetigkeit. 4.1 Intervalle
4 Stetigkeit Der Grenzwertbegriff für Zhlenfolgen lässt sich uf Funktionen übertrgen. Funktionen (oder Abbildungen) wren bereits im Kpitel über Mengen ufgetreten. Hier wird nun der Fll betrchtet, dss Definitionsbereich
MehrAnalysis 2. Mitschrift von www.kuertz.name
Anlysis 2 Mitschrift von www.kuertz.nme Hinweis: Dies ist kein offizielles Script, sondern nur eine privte Mitschrift. Die Mitschriften sind teweilse unvollständig, flsch oder inktuell, d sie us dem Zeitrum
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaften I Wintersemester 2015/16 Universität Leipzig. Lösungvorschläge Präsenzaufgaben Serien 1-10
Mathematik für Wirtschaftswissenschaften I Wintersemester 05/6 Universität Leipzig Lösungvorschläge Präsenzaufgaben Serien -0 Inhaltsverzeichnis Serie Serie 5 3 Serie 8 4 Serie 9 5 Serie 3 6 Serie 6 7
MehrMusterlösung der Präsenzaufgaben zu Mathematik I für ET/IT und ITS
Musterlösung der Präsenzufgben zu Mthemtik I für ET/IT und ITS WS / Bltt 6. Bestimmen Sie zu vorgegebenem Volumen V > die Dose (Zylinder mit der kleinsten Oberfläche und ds Gls (Zylinder ohne Deckel mit
MehrBestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral als Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhalb bestimmter Grenzen
III. Integrlrechnung : Bestimmtes (Riemnnsches Integrl / Integrl ls Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhl estimmter Grenzen yf( y n y n ( Δ Berechnung der Fläche A unter
MehrIntegralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1
Integrlrechnung Aufgbe Bestimme die Fläche zwischen der Kurve der Funktion f() = und -Achse über dem Intervll I = [; 3] näherungsweise. Bestimme die Obersumme und Teile ds Intervll I in drei gleich große
MehrEin Aufschrieb der Vorlesung Analysis I an der Uni Karlsruhe im Wintersemester 1998/99, gelesen von Priv.-Doz. Dr. G. Herzog.
Anlysis I Ein Aufschrieb der Vorlesung Anlysis I n der Uni Krlsruhe im Wintersemester 1998/99, gelesen von Priv.-Doz. Dr. G. Herzog. GeTEXt von Andres Klöckner (k@ixion.net). Für Kommentre und Berichtigungen
Mehr18 Höhere Ableitungen und Taylorformel
8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a
Mehr8 Integralrechnung. 8.1 Das Riemann-Integral
8 Integrlrechnung Der Integrlbegriff ist wie der Ableitungsbegriff motiviert durch die physiklische Beschreibung von Bewegungsbläufen (Geschwindigkeit, Beschleunigung). Er ist u.. uch von Bedeutung bei
MehrBrückenkurs Mathematik
Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Brückenkurs Mthemtik WS 0/ us und überrbeitet von B. Eng. Sevd Hppel und Dipl.Ing. Jun Rojs Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Inhltsverzeichnis Brüche, Potenzen und Wurzeln. Brüche..
MehrQuadratische Funktionen
Qudrtische Funktionen Definition: Eine Funktion mit der Gleichung y = c (,, c R; 0) heißt qudrtische Funktion oder Funktion. Grdes. qudrtisches Glied;...lineres Glied; c...solutes Glied Der Grph einer
MehrMatheBasics Teil 3 Grundlagen der Mathematik
Fernstudium Guide Online Vorlesung Wirtschaftswissenschaft MatheBasics Teil 3 Grundlagen der Mathematik Version vom 05.02.2015 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form der
MehrANALYSIS II OLIVER C. SCHNÜRER
ANALYSIS II OLIVER C. SCHNÜRER Zusmmenfssung. Bei diesem Mnuskript hndelt es sich um Notizen zu einer Vorlesung Anlysis II. Ich hbe sie im Sommersemester 215 in Konstnz benutzt. Inhltsverzeichnis 4. Differentition
MehrVorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Sommersemester 2016)
1 Vorlesung Mthemtik 1 für Ingenieure (Sommersemester 2016) Kpitel 10: Integrlrechnung einer Veränderlichen Prof. Miles Simon Nch Folienvorlge von Prof. Dr. Volker Kibel Otto-von-Guericke Universität Mgdeburg.
MehrBrückenkurs MATHEMATIK
Brückenkurs MATHEMATIK Professor Dr. rer. nt. Bernd Bumnn Professor Dr. rer. nt. Ulrich Stein Hochschule für Angewndte Wissenschften Hmburg 5. März 008 VO R B E M E R K U N G E N Liebe Studentin, lieber
MehrBruchterme und gebrochen rationale Funktionen ================================================================== Der Quotient zweier Terme
Bruchterme und gebrochen rtionle Funktionen Der Quotient zweier Terme Es ist ist 3 : 4 3 und. 4 : 3 4 3 4 Dehnt mn die Bruchschreibweise uf Terme us, dnn erhält mn sog. Bruchteme. ² ( + ) : (3 + 4) + 3
MehrÜbungen zur Vorlesung MATHEMATIK II
Fachbereich Mathematik und Informatik der Philipps-Universität Marburg Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II Prof. Dr. C. Portenier unter Mitarbeit von Michael Koch Marburg, Sommersemester 2005 Fassung vom
MehrBrückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren
Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Informatik Medieninformatik Wirtschaftsinformatik Wirtschaftsingenieurwesen
MehrThema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen
Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen Wir betrachten jetzt Funktionen zwischen geeigneten Punktmengen. Dazu wiederholen wir einige grundlegende Begriffe und Schreibweisen aus der Mengentheorie.
MehrHöhere Mathematik für Elektrotechniker II
Vorlesungsmnuskript zu Höhere Mthemtik für Elektrotechniker II Werner Blser Institut für Angewndte Anlysis Sommersemester 2009 Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 4 11 Riemnn-Summen und Riemnn-Integrl
MehrA.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( )
A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit A.5 Stetigkeit und Differenzierbrkeit ( ) Eine Funktion ist wenn die Kurve nicht unterbrochen wird, lso wenn mn sie zeichnen knn, ohne den Stift vom Bltt bzusetzen.
MehrFormelsammlung Analysis
Formelsammlung Analysis http://www.fersch.de Klemens Fersch. August 0 Inhaltsverzeichnis Analysis. Grenzwert - Stetigkeit.............................................. Grenzwert von f(x) für x gegen x0...................................
MehrDer Abschluss D ist die Menge, die durch Hinzunahme der Intervallränder entsteht, in den obigen Beispielen also
Festlegung Definitionsbereich 11.1 Festlegung Definitionsbereich Festlegung: Wir betrachten Funktionen f : D Ñ R, deren Definitionsbereich eine endliche Vereinigung von Intervallen ist, also z.b. D ra,
MehrRepetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion
Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Eponentilfunktionen mit Beispielen 2 D) Aufgben Ep.fkt. mit Musterlösungen 6 E) Logrithmusfunktionen
Mehr4 Die Integralfunktion*
Übungsmteril 1 Die Integrlfuntion* In den vorigen Kpiteln hben wir bereits ds unbestimmte und ds bestimmte Integrl und deren Eigenschften ennengelernt. Ersteres liefert die Menge der Stmmfuntionen einer
MehrMathematik Brückenkurs
Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs /86 Mthemtik Brückenkurs im Fchbereich Informtik & Elektrotechnik Rumpfskript V7 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs /86 Inhltsverzeichnis Mengen...
MehrAbiturprüfung 2007. Mathematik, Leistungskurs 0,02
M LK HT Seite von Nme: Abiturprüfung 007 Mthemti, Leistungsurs Aufgbenstellung: Gegeben ist die Funtion f mit Ein Teil des Grphen von f ist für 0,0 t ft () = t e, t IR. 0 t 5 m Ende der Aufgbe uf Seite
MehrZuammenfassung: Reelle Funktionen
Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,
MehrGrundwissen 10. Überblick: Gradmaß rπ Länge eines Bogens zum Mittelpunktswinkels α: b = α
Grundwissen 0. Berechnungen an Kreis und Kugel a) Bogenmaß Beispiel: Gegeben ist ein Winkel α=50 ; dann gilt: b = b = π 50 0,8766 r r 360 Die (reelle) Zahl ist geeignet, die Größe eines Winkels anzugeben.
Mehr9 Riemann-Integral für Funktionen einer Variablen
9 Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen Integrl = (orientierte) Fläche zwischen Funktion f : r, bs Ñ R und der x-achse «ř n px n x n 1 qf pξ n q mit Zwischenpunkten ξ n P rx n 1, x n s x n 1 x n
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 4 Hausaufgaben Aufgabe 4. Gegeben sei die Funktion f : D R mit f(x) :=
Mehrα π r² Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! 1. Kreis und Kugel
Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! Tipps zum Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 10 Folgende Begriffe und Aufgaben solltest Du nach der 10. Klasse kennen und können: (Falls Du Lücken entdeckst,
MehrRESULTATE UND LÖSUNGEN
TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kpitel 3 Mthemtik Kpitel 3.2 Alger Grundrechenrten RESULTATE UND LÖSUNGEN Verfsser: Hns-Rudolf Niedererger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 8772 Nidfurn 055-654 12 87 Ausge:
MehrVorkurs Mathematik für Wirtschaftsingenieure und Wirtschaftsinformatiker
Vorkurs Mathematik für Wirtschaftsingenieure und Wirtschaftsinformatiker Übungsblatt Musterlösung Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Wintersemester 06/7 Aufgabe (Definitionsbereiche) Bestimme
MehrMathematik II Mitschrift
Mthemtik II Mitschrift Thilo Fester Till Helge Helwig 19 Juli 2006 Vorlesung wurde gehlten von Dr Michel Huber im Sommersemester 2006 Ds erste Kpitel der Vorlesung bsiert uf Mthemtik für Informtiker I
Mehr11. Folgen und Reihen.
- Funktionen Folgen und Reihen Folgen Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a: N R Statt a(n) für n N schreibt man meist a n ; es handelt sich also bei einer Folge um die Angabe der Zahlen a, a
Mehr10 Anwendungen der Integralrechnung
9 nwendungen der Integrlrechnung Der Inhlt von 9 wren die verschiedenen Verfhren zur Berechnung eines Integrls Der Inhlt von sind die verschiedenen Bedeutungen, die ein Integrl hen knn Die Integrlrechnung
MehrKurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und Lösungen
Kurvendiskussion Ganzrationale Funktion Aufgaben und http://www.fersch.de Klemens Fersch 9. August 0 Inhaltsverzeichnis Ganzrationale Funktion Quadratische Funktionen f x) = ax + bx + c 8. Aufgaben...................................................
Mehr1 Analysis Kurvendiskussion
1 Analysis Kurvendiskussion 1.1 Allgemeingültige Betrachtungen Die folgenden aufgezeigten Betrachtungen und Rechenschritte gelten für alle Arten von Funktionen. Funktion (z.b. Polynom n-ten Grades) Schreibweise
MehrDifferenzialrechnung
Mathe Differenzialrechnung Differenzialrechnung 1. Grenzwerte von Funktionen Idee: Gegeben eine Funktion: Gesucht: y = f(x) lim f(x) = g s = Wert gegen den die Funktion streben soll (meist 0 oder ) g =
MehrSkript zur Analysis 1. Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen
Skript zur Analysis 1 Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen von Prof. Dr. J. Cleven Fachhochschule Dortmund Fachbereich Informatik Oktober 2003 2 Inhaltsverzeichnis 3 Stetigkeit und Grenzwerte
MehrGrundwissen Mathematik 8. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele
Themen Direkte Proportionlität Eigenschften Besonderheiten - Beispiele Zwei Größen und y heißen direkt proportionl, wenn gilt: Zum k-fchen Wert von gehört der k-fche Wert von y; Der Quotient q = y ht für
MehrZusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius
Zusammenfassung Mathematik Claudia Fabricius Funktion: Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y eines Wertebereiches W zu. Polynom: f(x = a n x n + a n- x n-
MehrTaylor-Entwicklung der Exponentialfunktion.
Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion. Betrachte die Exponentialfunktion f(x) = exp(x). Zunächst gilt: f (x) = d dx exp(x) = exp(x). Mit dem Satz von Taylor gilt um den Entwicklungspunkt x 0 = 0 die
MehrMathematik-Leistungskurs
Mthemtik-Leistungskurs Zusmmenfssung der Inhlte im Leistungskurs Mthemtik bezogen uf die Vorgben für ds Abitur in Nordrhein-Westflen für ds Jhr 2012 Erstellt von: Ptrick Robrecht http://ptrick-robrecht.de/
MehrMathematik 3 für Informatik
Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4
MehrAnalysis II. Universität Stuttgart, SS 06 M. Griesemer
Anlysis II Universität Stuttgrt, SS 06 M. Griesemer Inhltsverzeichnis 9 Ds Riemnnsche Integrl 3 9.1 Definition und Beispiele........................... 3 9.2 Elementre Eigenschften..........................
MehrVorlesungsskript Mathematik I für Wirtschaftsingenieure
Vorlesungsskript Mthemtik I für Wirtschftsingenieure Verfsserin: HSD Dr. Sybille Hndrock TU Chemnitz Fkultät für Mthemtik e-mil: hndrock@mthemtik.tu-chemnitz.de Wintersemester 2005/06 Litertur [] Dllmnn,
MehrÜbungsaufgaben mit Lösungen
Priv. Doz. Dr. A. Wagner Aachen, 9. September 6 S. Bleß, M. Sc. Analysis Übungsaufgaben mit Lösungen im Vorkurs Mathematik 6, RWTH Aachen University Intervalle, Supremum und Infimum Für a, b R, a < b nennen
MehrStetigkeit. Kapitel 4. Stetigkeit. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543
Kapitel 4 Stetigkeit Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 254 / 543 Inhalt Inhalt 4 Stetigkeit Eigenschaften stetiger Funktionen Funktionenfolgen und gleichmäßige Konvergenz Umkehrfunktionen
MehrÜ b u n g s b l a t t 13. Organisatorisches:
MATHEMATIK FÜ INFOMATIKE I WINTESEMESTE 7/8 POF. D. FIEDICH EISENBAND D. KAI GEHS Ü b u n g s b l t t 13 Orgnistorisches: Dieses Übungsbltt wir nicht mehr korrigiert. D ie Aufgben ennoch klusurrelevnt
MehrThema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n
Them 13 Integrle, die von einem Prmeter bhängen, Integrle von Funktionen uf Teilmengen von R n Wir erinnern drn, dß eine Funktion h : [, b] R eine Treppenfunktion ist, flls es eine Unterteilung x < x 1
MehrUrs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2
Urs Wyder, 4057 Basel Urs.Wyder@edubs.ch Funktionen f 3 ( ) = + f ( ) = sin(4 ) Inhaltsverzeichnis DEFINITION DES FUNKTIONSBEGRIFFS...3. NOTATION...3. STETIGKEIT...3.3 ABSCHNITTSWEISE DEFINIERTE FUNKTIONEN...4
MehrDefinition: Differenzierbare Funktionen
Definition: Differenzierbare Funktionen 1/12 Definition. Sei f :]a, b[ R eine Funktion. Sie heißt an der Stelle ξ ]a, b[ differenzierbar, wenn der Grenzwert existiert. f(ξ + h) f(ξ) lim h 0 h = lim x ξ
MehrFunktionen mehrerer Variabler
Funktionen mehrerer Variabler Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Übersicht Funktionsbegriff 1 Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte 2 Partielle Ableitungen
MehrDie Kugel Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10. Definitionen und Regeln. Kugeloberfläche: O Kugel = 4 r² π. Kugelvolumen: - 1 -
10.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10 Die Kugel Beispiele Kugeloberfläche: O Kugel = 4 r² π r Kugelvolumen: V Kugel = 4 3 r³ π - 1 - 10. Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10 Kreissektor
Mehr4 Die rationalen Zahlen
4 Die rtionlen Zhlen Der Ring der gnzen Zhlen ht den Mngel, dß nicht jede Gleichung = X, 0 innerhl Z lösr ist. (Z.B. ist 1 = 2 X unlösr in Z). Zu seiner Beseitigung erweitert mn den Zhlereich zum Körper
MehrStetigkeit. Klaus-R. Loeffler. 1 Vorstellung, Definition und Folgerungen Stetigkeitscharakterisierung durch Folgen... 3
Stetigkeit Klaus-R. Loeffler Inhaltsverzeichnis 1 Vorstellung, Definition und Folgerungen 1.1 Stetigkeitscharakterisierung durch Folgen......................... 3 Regeln zur Stetigkeit an einer Stelle
MehrAnalysis I - Stetige Funktionen
Kompaktheit und January 13, 2009 Kompaktheit und Funktionengrenzwert Definition Seien X, d X ) und Y, d Y ) metrische Räume. Desweiteren seien E eine Teilmenge von X, f : E Y eine Funktion und p ein Häufungspunkt
Mehr1. Übungsblatt zur Analysis II
Fchereich Mthemtik Prof Dr Steffe Roch Nd Sissouo WS 9/ 69 Üugsltt zur Alysis II Gruppeüug Aufge G Bestimme Sie für jede der folgede Fuktioe f : [, ] R ds utere ud oere Itegrl ud etscheide Sie, o die Fuktio
Mehrlim Der Zwischenwertsatz besagt folgendes:
2.3. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit 35 Wir stellen nun die wichtigsten Sätze über stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen zusammen. Wenn man sagt, eine Funktion f:[a,b] R, definiert
Mehr