Uneigentliche Integrale & mehrdim. Differenzialrechnung

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1 Mthemtik I für Biologen, Geowissenschftler und Geoökologen Uneigentliche Integrle & mehrdimensionle Differenzilrechnung 25. Jnur 2010

2 Uneigentliche Integrle Unendlich Integrnd divergiert Grenze Prtielle Ableitungen Richtungsbleitungen Totle Ableitung, Tngentilebene

3 Unendlich Integrnd divergiert Grenze Definition: Die Zhlenfolge n geht gegen unendlich, n, flls r > 0 n 0 N n > n 0 : n > r, d.h. wenn jeder noch so große Wert r schließlich überschritten wird. n geht gegen minus unendlich, n, wenn n. Beispiel: Für die Funktion (Sättigungskurve) f(x) = 1 e λx mit λ > 0 gilt: f( n ) 1 für jede Zhlenfolge n mit n. Mn schreibt lim f(x) = 1 oder f(x) 1. x x

4 Unendlich Integrnd divergiert Grenze Bisher können wir f(x)dx, mit,b R und f stetig. Nun divergiere der Integrnd bei c [,b]. Dnn definieren wir f(x)dx = c := lim ε 0+ f(x)dx + c ε flls lle Grenzwerte existieren. c f(x)dx f(x)dx + lim δ 0+ c+δ f(x)dx, Beispiel: 2 0 dx x

5 Unendlich Integrnd divergiert Grenze Ist dgegen eine Integrtionsgrenze gleich ±, so definieren wir nlog f(x)dx := lim b g(x) dx := lim f(x)dx g(x) dx bzw. (für f stetig uf [, ) und g stetig uf (,b]). Beispiel: 1 dx x 2

6 Prtielle Ableitungen Richtungsbleitungen Totle Ableitung, Tngentilebene Hlten wir in der Funktion f(x,y), d.h. f : R 2 R, die Vrible y fest ( behndeln y ls Zhl ) und leiten dnn (nch x) b, so bilden wir die prtielle Ableitung von f nch x, Bemerkung: f x : R2 R. Umgekehrt: f f(x + h,y) f(x,y) (x,y) = lim x h 0 h f f(x,y + h) f(x,y) (x,y) = lim y h 0 h Beispiel: f(s,t) = se t + sin(st), f s =, f t =

7 Prtielle Ableitungen Richtungsbleitungen Totle Ableitung, Tngentilebene f : R d R; prtielle Ableitung nch x 1 ist Ableitung in Richtung von e 1 = (1,0,...,0), f f( x + h e 1 ) f( x) ( x) = lim. x 1 h 0 h Richtungsbleitungen in beliebiger Richtung: e R d mit e = 1, f( x + h e) f( x) lim h 0 h ( =: f ) e ( x) Richtungsbleitung lässt sich us den prtiellen Ableitungen berechnen, z.b. f : R 2 R, e = (e 1,e 2 ), f e = e f 1 x + e f ( ) ( ) 2 y = f x, f e 1 y. e 2

8 Prtielle Ableitungen Richtungsbleitungen Totle Ableitung, Tngentilebene Der Vektor mit den Komponenten f x i heißt Grdient von f, ( f grd f = f =,..., f ), x 1 x d und ist ein Vektorfeld, d.h. eine Funktion f : R d R d. f(x): Richtung des steilsten Anstiegs f(x) : Steigung (Richtungsbleitung) in dieser Richtung Tngentilebene T n den Grphen von f im Punkt ξ: T( x) = f( ξ) + f( ξ) ( x ξ) = f( ξ) d f + ( ξ)(x x i ξ i ). i wobei u v für u, v R d ds Sklrprodukt (R d R d R) ist, ( ) d v1 u v = u i v i = (u 1,...,u d ) = u T v i=1 i=1. v d

9 Prtielle Ableitungen Richtungsbleitungen Totle Ableitung, Tngentilebene f : R d R ht d erste prtielle Ableitungen und d 2 zweite prtielle Ableitungen 2 f = f, x i x j x i x j die die sogennnte Hesse-Mtrix H bilden. Beispiel: f(x,y) ) H = ( 2 f x 2 2 f y x 2 f x y 2 f y 2 Stz: Wenn die Funktion f : R 2 R zweiml prtiell differenzierbr ist und die zweiten prtiellen Ableitungen stetig sind, dnn gilt 2 f x y = 2 f y x. Folgerung: H ist dnn eine symmetrische Mtrix, H T = H.

10 Prtielle Ableitungen Richtungsbleitungen Totle Ableitung, Tngentilebene Stz: Ht die differenzierbre Funktion f : R d R in x R d ein (lokles) Minimum oder Mximum, so ist f( x) = 0. Ist umgekehrt f( x) = 0 und die Hesse-Mtrix H( x) positiv-definit, so ht f in x ein lokles Minimum. negtiv-definit, so ht f in x ein lokles Mximum. Definition: Eine symmetrische Mtrix A M(n,n) heißt positiv-definit, wenn für lle u R n mit u 0 gilt u T A u > 0. negtiv-definit, wenn für lle u R n mit u 0 gilt u T A u < 0.

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