Zusammenfassung Analysis II

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1 Zusmmenfssung Anlysis II CC BY: Tim Bumnn, Nottion Im Folgenden seien, b R mit < b und I, J R offene Intervlle Integrtion Def Eine Zerlegung eines Intervlls [, b] R, < b ist eine Menge Z = { = x 0 < x < < x n = b} Die Zhl µ Z := mx{x j x j j {,, n}} heißt Feinheit der Zerlegung Z Wenn Z, Z zwei Zerlegungen von [, b] sind mit Z Z, dnn heißt Z Verfeinerung von Z Def Eine Funktion φ : [, b] R heißt Treppenfunktion bezüglich einer Zerlegung Z = {x 0 < < x n} von [, b], wenn für lle j {,, n} die Funktion φ uf dem offenen Intervll (x j, x j ) konstnt ist Die Menge ller Treppenfunktionen (bezüglich irgendeiner Zerlegung) eines Intervlls [, b] wird mit T [,b] bezeichnet Stz T [, b] ist ein UVR des reellen VR ller reellwertigen Funktionen uf [, b] Def Sei φ : [, b] R eine Treppenfunktion bezüglich einer Zerlegung Z = {x 0 < < x n} Dnn heißt Integrl von φ φ(x) dx := n xj +x φ j (x 2 j x j ) Bem Obige Definition ist unbhängig von der gewählten Zerlegung Z Stz Ds Integrl von Treppenfunktionen ist liner und monoton Def Sei f : [, b] R beschränkt Dnn heißen f(x) dx := inf f(x) dx := sup { } φ(x) dx : φ T [, b], φ f { } φ(x) dx : φ T [, b], φ f Oberintegrl bzw Unterintegrl von f Bem D wir in der Definition vorrussetzen, dss die Funktion f beschränkt ist, existieren Ober- und Unterintegrl im eigentlichen Sinne Für Treppenfunktionen sind Oberintegrl und Unterintegrl gleich dem Integrl für Treppenfunktionen Ds Oberintegrl ist immer größer gleich dem Unterintegrl Stz Für f, f, f 2 : [, b] R beschränkt und λ 0 gilt f(x) dx = f(x) dx 2 (f + f 2 )(x) dx f (x) dx + f 2 (x) dx 3 (f + f 2 )(x) dx f (x) dx + f 2 (x) dx 4 (λf)(x) dx = λ f(x) dx 5 (λf)(x) dx = λ f(x) dx Def Eine Abb f : [, b] R heißt Riemnn-integrierbr, wenn f(x) dx = f(x) dx Bem Für Treppenfunktionen stimmt ds Riemnn-Integrl mit dem vorher definierten Integrl für Treppenfunktionen überein Stz Die Menge ller Riemnn-integrierbren Funktionen uf einem Intervll [, b] ist ein UVR des R-VR ller Funktionen f : [, b] R (gennnt R [,b] ) und ds Riemnn-Integrl verhält sich liner, dh es gilt für lle f, g : R [,b] und λ R: (f + g)(x) dx = f(x) dx + g(x) dx 2 (λf)(x) dx = λ f(x) dx Stz Ds Riemnn-Integrl verhält sich monoton Stz Alle monotonen und lle stetigen Funktionen f : [, b] R sind Riemnn-integrierbr Stz Seien f, g : R [,b], dnn uch Riemnn-integrierbr: f + : [, b] R, x mx{f(x), 0} 2 f : [, b] R, x mx{ f(x), 0} 3 f p : [, b] R, x f(x) p, mit p 4 fg : [, b] R, x f(x)g(x) Stz (Erster MWS für ds Riemnn-Integrl) Seien f, g : [, b] R stetig und g 0 Dnn gibt es ein x 0 [, b], sodss gilt: f(x)g(x) dx = f(x 0 ) g(x) dx Def Sei f : [, b] R beschränkt und Z = {x 0 < < x n} eine Zerlegung von [, b] Dnn heißt R(f, Z, ξ,, ξ n) := n f(ξ j )(x j x j ) Riemnnsche Summe von f bzgl Z und den Stützstellen ξ j [x j, x j ] für j {,, n} 2 O(f, Z) := n (sup{f(x) x [x j, x j ]})(x j x j ) (Drbouxsche) Obersumme von f bzgl Z 3 U(f, Z) := n (inf{f(x) x [x j, x j ]})(x j x j ) (Drbouxsche) Untersumme von f bzgl Z Bem Sei Z eine Verfeinerung von Z, dnn gilt O(f, Z ) O(f, Z) und U(f, Z ) U(f, Z) Stz Seien Z, und Z 2 Zerlegungen von [, b], dnn gilt U(f, Z ) O(f, Z 2 ) Stz (Chrkterisierung des Riemnn-Integrls) Für f : [, b] R beschränkt sind folgende vier Aussgen äquivlent: f ist Riemnn-integrierbr 2 Für lle ɛ > 0 gibt es eine Zerlegung Z von [, b], sodss O(f, Z) U(f, Z) < ɛ 3 Es gibt eine Zhl ι R mit folgender Eigenschft: Für lle ɛ > 0 gibt es ein δ > 0, sodss für jede Zerlegung Z = {x 0 < < x n} von [, b] der Feinheit µ Z δ und jede Whl von Stützstellen ξ,, ξ n gilt: ι R(f, Z, ξ,, ξ n) < ɛ 4 Es gibt eine Zhl ι R mit folgender Eigenschft: Für lle ɛ > 0 gibt es eine Zerlegung Z ɛ = { x 0 < < x m} von [, b], sodss für jede Verfeinerung Z = {x < < x n} von Z ɛ und jede Whl von Stützstellen ξ,, ξ n bzgl Z gilt: ι R(f, Z, ξ,, ξ n) ɛ Stz Sei f : [, b] R und c (, b) Dnn ist f genu dnn Riemnn-integrierbr, wenn f [,c] und f [c,b] Riemnn-integrierbr sind und es gilt in diesem Fll c f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx c Stz ( -Ungleichung für ds Riemnn-Integrl) Für f, g R [,b] : f(x) + g(x) dx f(x) dx + g(x) dx Stz (Vertuschung von Integrtion und Limes bei glm Konv) Sei f n : [, b] R, n N eine Folge Riemnn-integrierbrer Funktionen, welche gleichmäßig gegen f : [, b] R konvergiert Dnn ist f Riemnn-integrierbr und es gilt f(x) dx = lim f n(x) dx Def Eine differenzierbre Funktion F : I R heißt Stmmfunktion von f, wenn die Ableitung von F gerde f ist Bem Zwei Stmmfunktionen einer Funktion f unterscheiden sich nur durch eine dditive Konstnte Stz Sei f : I R stetig Dnn ist eine Stmmfunktion von f: x F : I R, x f(t) dt

2 Stz (HDI) Sei f : I R stetig und F eine Stmmfunktion von f Dnn gilt für lle x, y I y f(x) dx = F (y) F (x) x Stz (Vertuschung von Grenzwerten und Ableitungen) Sei f n : [, b] R eine Folge stetig differenzierbrer Funktionen, welche pktw gegen f : [, b] R konvergiert Wenn die Folge der Ableitungen f n gleichmäßig gegen eine Funktion f : [, b] R konvergiert, dnn ist uch f differenzierbr und es gilt f = f Funktion f(x) Stmmfunktion F (x) x n, n Z\{ } n+ xn+ ln( x ) x sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) exp(x) exp(x) +x 2 rctn(x) x n x ln(x) n+ n+ (ln x n+ ), n log x (x ln x x) ln Stz (Substitutionsregel) Sei f : I R stetig und sei g : J I stetig differenzierbr Dnn gilt für, b J: f(g(t))g g(b) (t) dt = f(x) dx g() Stz (Prtielle Integrtion) Seien f, g : I R stetig differenzierbr Dnn gilt für, b I: f(x)g (x) dx = [f(x)g(x)] b f (x)g(x) dx Def (Riemnn-Integrl für komplexwertige Funktionen) Eine komplexwertige Funktion f : [, b] C heißt Riemnn-integrierbr, wenn ihr Relteil R(f) und ihr Imginärteil I(f) Riemnn-integrierbr sind Wir setzen f(x) dx = R(f) dx + i I(f) dx Def (Uneigentliche Integrle) Sei < b mit b R { } und f : [, b) R eine Funktion, sodss f [,R] für lle R (, b) Riemnn-integrierbr ist Wir setzen R f(x) dx := lim f(x) dx R b flls der Grenzwert existiert Sei < b mit R { } und f : (, b] R eine Funktion, sodss f [R,b] für lle R (, b) Riemnn-integrierbr ist Wir setzen f(x) dx := b lim f(x) dx R R flls der Grenzwert existiert Sei < b mit R { } und b R { } und c (, b) Sei f : (, b) R eine Funktion, sodss für lle < R < c < R 2 < b die f [R,c] und f [c,r2 ] Riemnn-integrierbr sind Wir setzen c R 2 f(x) dx = lim f(x) dx + lim f(x) dx R R R 2 b c flls beide Grenzwerte existieren Def Für zwei Funktionen f, g : [, b] R, eine Zerlegung Z = { = x 0 < < x n = b} von [, b] und Stützstellen ξ,, ξ n bzgl Z heißt die Summe S(f, dg, Z, ξ,, ξ n) := n f(ξ j )(g(x j ) g(x j )) Riemnn-Stieltjes-Summe von f bzgl g und der Zerlegung Z mit Stützstellen ξ,, ξ n Def Seien f, g : [, b] R Die Funktion f heißt Riemnn-Stieltjes-integrierbr (RS-integrierbr) bzgl der Gewichtsfunktion g, wenn gilt: Es gibt ein ι R, sodss für lle ɛ > 0 eine Zerlegung Z ɛ von [, b] existiert, sodss für lle Verfeinerungen Z Z ɛ und Whlen von Stützstellen ξ,, ξ n gilt: ι S(f, dg, Z, ξ,, ξ n) ɛ Dieses (eindeutig bestimmte) ι heißt Riemnn-Stieltjes-Integrl (RS-Integrl) von f bzgl g Bem Für die Identitätsfunktion g(x) = x stimmt ds Riemnn-Stieltjes-Integrl mit dem Riemnn-Integrl überein Stz (Linerität des RS-Integrls) Seien f, f 2 : [, b] R bzgl g : [, b] R RS-integrierbr und λ, λ 2 R Dnn ist uch (λ f + λ 2 f 2 ) bzgl g RS-integrierbr mit (λ f + λ 2 f 2 )(x) dg(x) = λ f (x) dg(x) + λ 2 f 2 (x) dg(x) Sei f : [, b] R bzgl den Funktionen g, g 2 : [, b] R RS-integrierbr und λ, λ 2 R Dnn ist f uch bzgl (λ g + λ 2 g 2 ) RS-integrierbr mit f(x) d(λ g + λ 2 g 2 ) = λ f(x) dg (x) + λ 2 f(x) dg 2 (x) Stz Seien f, g : [, b] R und c (, b), dnn ist f genu dnn bzgl g RS-integrierbr, wenn die Funktionen f [,c] bzgl g [,c] und f [c,b] bzgl g [c,b] RS-integrierbr sind und es gilt c f(x) dg(x) = f(x) dg(x) + f(x) dg(x) c Stz (Prtielle Integrtion beim RS-Integrl) Sei f : [, b] R bzgl g : [, b] R RS-integrierbr, dnn ist uch g bzgl f RS-integrierbr und es gilt f(x) dg(x) = [f(x)g(x)] b g(x) df(x) Stz (Riemnn-Stieltjes- und Riemnn-Integrl) Sei f R [,b] und g : [, b] R stetig differenzierbr, dnn ist f bzgl g RS-integrierbr mit f(x) dg(x) = f(t)g (t) dt Def Die Vrition von g : [, b] R bzgl einer Zerlegung Z = {x 0 < < x n} von [, b] ist die nicht-negtive Zhl V (g, Z) := n g(x j ) g(x j ) Die Totlvrition von g : [, b] R ist V b (g) := sup {V (g, Z) : Z Zerlegung von [, b]} R 0 { } Flls V b (g) <, so heißt g von beschränkter Vrition Stz Alle monotonen und lle Lipschitz-stetigen Funktionen sind von beschränkter Vrition Stz Sei g : [, b] R von beschränkter Vrition und c (, b), dnn sind uch g [,c] und g [c,b] von beschränkter Vrition und es gilt V c (g [,c] ) + Vc b (g [c,b] ) = V b (g) Stz Seien g, g 2 : [, b] R von beschränkter Vrition, dnn gilt V b (g + g 2 ) V b (g ) + V b (g 2 ) Stz Die Menge ller Funktionen g : [, b] R bildet einen UVR des VR der reellwertigen Funktionen uf [, b] Stz Sei g : [, b] R von beschränkter Vrition, dnn ist jede stetige Funktion f : [, b] R bzgl g RS-integrierbr mit f(x) dg(x) f sup V b (g) Stz ( MWS für RS-Integrle) Sei f : [, b] R beschränkt und bzgl einer monoton wchsenden Gewichtsfunktion g : [, b] R RS-integrierbr Dnn gibt es µ [inf f([, b]), sup f([, b])] mit f(x) dg(x) = µ(g(b) g()) Stz (2 MWS für RS-Integrle) Sei f : [, b] R monoton und g : [, b] R stetig, dnn ist f bzgl g RS-integrierbr und es gibt c [, b], sodss f(x) dg(x) = f()(g(c) g()) + f(b)(g(b) g(c)) Stz Sei f n : [, b] R eine Folge stetiger Funktionen, welche gleichmäßig gegen eine (stetige) Funktion f : [, b] R konvergiert und g : [, b] R von beschränkter Vrition, dnn gilt: f(x) dg(x) = lim f n(x) dg(x) Stz (Helly-Bry) Sie f : [, b] R stetig und g n : [, b] R eine Folge von Funktionen von beschränkter Vrition, sodss es eine Konstnte c > 0 mit V b (gn) < c für lle n N gibt Konvergiere gn pktw gegen eine Funktion g : [, b] R, dnn gilt f(x) dg(x) = lim f(x) dg n(x)

3 Metrische und normierte Räume Def Ein metrischer Rum (X, d) ist ein Tupel bestehend us einer Menge X und einer Abbildung d : X X R, gennnt Metrik, die folgende Eigenschften erfüllt: d(x, y) = 0 (x = y) 2 Symmetrie: x, y X : d(x, y) = d(y, x) 3 Dreiecksungleichung: x, y, z X : d(x, y) + d(y, z) d(x, z) Bem Aus den obigen Axiomen folgt: x, y X : d(x, y) 0 Nottion Sei im folgenden (X, d) ein metrischer Rum Def Für r R und m X heißt B r(m) = Br d (m) = {x X : d(x, m) < r} offener Bll oder offene Kugel um m von Rdius r und Br (m) = B,d r (m) = {x X : d(x, m) r} bgeschlossener Bll oder bgeschlossene Kugel um m Def Y X heißt eine Umgebung von m bzgl d, wenn gilt: ɛ > 0 : B ɛ(m) Y Def Eine Menge U X heißt offen in (X, d) (notiert U X), flls U eine Umgebung von llen Punkten u U ist, d h u U : ɛ u > 0 : B ɛu (u) U Eine Menge U X heißt bgeschlossen in (X, d) (notiert U X), flls X\U offen ist Ein Punkt x X heißt Rndpunkt von Y X, flls gilt: ɛ > 0 : (B ɛ(x) Y und B ɛ(x) (X\Y ) ) Die Menge ller Rndpunkte von Y wird mit Y bezeichnet Bem Die Mengen und X sind jeweils sowohl offen ls uch bgeschlossen in X Es gilt ußerdem Y = (X\Y ) für lle Y X Def Sei Y X Dnn heißt Y := Y \ Y ds Innere oder der offene Kern von Y Y := Y Y der Abschluss oder die bgeschl Hülle von Y Stz Obige Definition ergeben Sinn, d h es gilt für lle Y X: Y X und Y X Stz Sei Y X Dnn gilt: (Y X) (Y Y ) = (Y X) ( Y Y ) Stz (Metrische Räume sind husdorffsch) Seien x, y X mit x y, dnn gibt es offene Teilmengen U x, U y X mit x U x, y U y und U x U y = Def Sei x n eine Folge in X Die Folge heißt konvergent in (X, d), wenn gilt x X : ɛ > 0 : N N : n N : d(x n, x) ɛ Die eindeutige Zhl x heißt Grenzwert oder Limes von (x n), notiert x = lim xn Stz (Folgenkriterium für Abgeschlossenheit) Sei A X Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: A ist bgeschlossen in X 2 Für jede in X konvergenten Folge, die vollständig in A liegt, gilt lim xn A Def Eine Folge (x n) heißt Cuchyfolge in (X, d), wenn gilt: ɛ > 0 : N N : n, m N : x n x m < ɛ Stz Jede konvergente Folge (x n) in einem metrischen Rum ist eine Cuchyfolge Def Ein metrischer Rum (X, d) heißt vollständig, wenn jede Cuchyfolge in (X, d) uch in (X, d) konvergiert Def Eine Norm uf einem reellen VR V ist eine Abbildung für die gilt: : V R, x x ( x = 0) (x = 0) 2 x V, λ R : λx = λ x 3 Dreiecksungleichung: x, y V : x + y x + y Ds Tupel (V, ) heißt normierter Vektorrum Bem In jedem normierten Rum gilt x 0 Bem (Wichtige Normen) Die euklidische Norm uf R n : (x,, x n) eukl := x x2 n Die Mximumsnorm uf R n : (x,, x n) mx := mx { x,, x n } Sei X eine nichtleere Menge Dnn ist die Supremumsnorm f sup := sup { f(x) : x X} eine Norm uf V = {f : X R sup f(x) < } x X Sei V = C([, b], R) der VR der reellwertigen stetigen Funktionen uf [, b] und p Dnn ist die p-norm eine Norm uf V f p := p f(x) p dx Seien (V, V ) und (W, W ) zwei normierte (reelle) VR, dnn ist uch Hom(V, W ) := {f : V W f liner } ein reeller VR Die Norm f op := sup{ f(x) W x V x V \{0}} = sup{ f(x) W x V, x V = } uf Hom(V, W ) heißt Opertornorm Def Die Abbildung d : V V R, (x, y) x y ist eine Metrik uf V und heißt von der Norm induzierte Metrik uf V Def Ein vollständiger normierter Vektorrum (V, ) heißt Bnchrum Stz (Bolzno-Weierstrß) Für eine Folge (x n) in (R m, eukl ) gilt: Ist (x n) beschränkt, d h gibt es ein C > 0, sodss x n eukl C für lle n N, dnn ht (x n) eine konvergente Teilfolge Ist (x n) eine Cuchyfolge, so ist (x n) konvergent (d h (R m, eukl )) ist vollständig) Def Sei V ein reeller VR Zwei Normen und 2 uf V heißen äquivlent, wenn es c, C > 0 gibt, sodss für lle x V gilt: c x 2 x C x 2 Stz Alle Normen uf R n (und llen nderen endlich-dimensionlen, reellen VR) sind äquivlent Def Seien (X, d X ) und (Y, d Y ) zwei metrische Räume und f : X Y Die Abbildung f heißt stetig in X, wenn gilt: ɛ > 0 : δ > 0 : d X (x, ) < δ = d Y (f(x), f()) < ɛ Wenn f in llen Punkten x X stetig ist, so heißt f stetig Die Abbildung f heißt folgenstetig in X, wenn gilt: lim f(x) = f(), x d h für jede Folge (x n) in X mit lim (xn) = gilt lim f(xn) = f() Stz Für eine Funktion f : X Y zwischen zwei metrischen Räumen und X gilt: f stetig in f folgenstetig in Stz Seien f : X Y und g : Y Z Abbildungen zwischen metrischen Räumen und X Flls f in und g in f() stetig sind, so ist (g f) : X Z stetig in Stz Seien (V, V ) und (W, W ) zwei normierte VR und f : V W liner Dnn sind äquivlent: f ist stetig

4 C > 0 : x V : f(x) W < C x V f op < Kor Jede linere Abbildung zwischen endlich-dimensionlen normierten reellen VR ist stetig Def Sei X eine Menge und (Y, d Y ) ein metrischer Rum Sei f n : X Y eine Folge von Abbildungen Die Folge (f n) konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion f : X Y, wenn gilt: ɛ > 0 : N N : n N : sup{d Y (f n(x), f(x)) x X} ɛ Stz Seien (X, d X ) und (Y, d Y ) zwei metrische Räume und sei f n : X Y eine Folge stetiger Abbildungen, die gleichmäßig gegen f : X Y konvergiert Dnn ist f stetig Kor Der normierte VR (C([, b], R), sup ) der stetigen reellen Funktionen uf [, b] versehen mit der Supremumsnorm ist vollständig Allgemeiner ist für jeden metrischen Rum (X, d) der Vektorrum C(X, R) bezüglich der Supremumsnorm vollständig Def Sei W X eine Teilmenge eines metrischen Rumes (X, d) Eine Fmilie offener Teilmengen {U i X : i I} heißt offene Überdeckung von W, wenn gilt: W U i i I Def Sei (X, d) ein metrischer Rum Eine Teilmenge K X heißt kompkt in (X, d), wenn gilt: Jede offene Überdeckung {U i X : i I} besitzt eine endliche offene Teilüberdeckung, d h es gibt eine endliche Teilmenge J I, sodss K U j gilt j J Stz Eine kompkte Teilmenge K eines metrischen Rumes (X, d) ist beschränkt und bgeschlossen Achtung Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht Stz (Heine-Borel) Im R n gilt uch die Umkehrung: Eine beschränkte und bgeschlossene Teilmenge K (R n, eukl ) ist kompkt Allgemeiner ist jede beschränkte und bgeschlossene Teilmenge eines endlich-dimensionlen, normierten, reellen VR kompkt Achtung Obige Aussge gilt nicht für unendlichdimensionle, reelle, normierte VR Stz Sei K eine kompkte Teilmenge eines metrischen Rumes (X, d) und A K bgeschlossen in X Dnn ist uch A kompkt Def Seien [ j, b j ], j < b j, j =,, n kompkte Intervlle in R, dnn ist Q := [, b ] [ n, b n] = {(x,, x n) R n j {,, n} : j x j b j } ein bgeschlossener Quder im R n Stz Abgeschlossene Quder im R n sind kompkt Def Eine Teilmenge A X eines metrischen Rumes (X, d) heißt folgenkompkt, wenn jede Folge (x n) in A eine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert in A liegt Stz (Bolzno-Weierstrß) Jede kompkte Teilmenge eines metrischen Rums ist folgenkompkt Bem Es gilt uch die Umkehrung: Jede folgenkompkte Teilmenge eines metrischen Rums ist kompkt Stz Seien (X, d X ) und (Y, d Y ) zwei metrische Räume und f : X Y eine stetige Abbildung Sei K X kompkt Dnn ist f(k) Y kompkt Stz (Weierstrßscher Stz vom Extremum) Sei (X, d) ein metrischer Rum und K X eine nichtleere kompkte Teilmenge Sei f : X R stetig Dnn gibt es m, M K, sodss gilt: f(m) = inf {f(x) : x K}, f(m) = sup {f(x) : x K} Der Vektor ι R n heißt Riemnn-Integrl von f Def Seien (X, d X ) und (Y, d Y ) zwei metrische Räume Eine Abbildung f : X Y heißt gleichmäßig stetig, wenn gilt: Bem Eine Funktion f = (f,, f n) : [, b] R n ist genu dnn ɛ > 0 : δ > 0 : x, y X : (d X (x, y) < δ) = (d Y (f(x), f(y)) < ɛ) Riemnn-integrierbr, wenn jede Komponentenfunktion f j, j =,, n Riemnn-integrierbr ist Es gilt in diesem Fll: Stz Seien (X, d X ) und (Y, d Y ) zwei metrische Räume wobei X kompkt ist und f : X Y stetig Dnn ist f gleichmäßig stetig f(t) dt = f (t) dt,, f n(t) dt Kurven Nottion Sei nun I R ein Intervll, ds mindestens zwei Punkte enthält Wir verwenden in diesem Abschnitt die euklidische Norm Def Eine stetige Abbildung f : I R n heißt Kurve im R n Def Sei I = [, b] R mit Zerlegung Z = { = t 0 < < t m = b} und f : I R n eine Kurve Dnn ht der Polygonzug P f (Z) die Länge L(P f (Z)) = m f(t j ) f(t j ) Def Eine Kurve f : [, b] R n heißt rektifizierbr, wenn gilt: Es gibt ein L R, sodss es für lle ɛ > 0 ein δ > 0 gibt, sodss für jede Zerlegung Z von [, b] der Feinheit µ Z δ gilt: L L(P f (Z)) ɛ Def Sei I = (, b) R ein offenes Intervll Eine Kurve f : I R n heißt in t 0 I differenzierbr, wenn der Limes f (t 0 ) = lim t t 0 f(t) f(t 0 ) t t 0 existiert Wenn f in jedem Punkt t I differenzierbr ist, so heißt f differenzierbr Flls I kein offenes Intervll ist, so heißt die Kurve f : I R n differenzierbr, wenn es ein offenes Intervll J I in R und eine differenzierbre Kurve F : J R n gibt, sodss F I = f gilt Bem Eine Kurve f = (f,, f n) : I R n ist genu dnn in t I differenzierbr, wenn lle Komponentenfunktionen f,, f n in t differenzierbr sind Stz Jede stetig differenzierbre Kurve f : [, b] R ist rektifizierbr mit Länge L = f (t) dt Def (Riemnn-Integrl für Funktionen nch R n ) Eine beschränkte Funktion f : [, b] R heißt Riemnn-integrierbr, wenn gilt: Es gibt ein ι R n, sodss es für lle ɛ > 0 ein δ > 0 gibt, sodss für jede Zerlegung Z = { = t 0 < < t m = b} der Feinheit µ Z δ und Whl von Stützstellen ξ,, ξ m bzgl Z gilt: ι R(f, Z, ξ,, ξ m) ɛ Insbesondere sind stetige Funktionen f : [, b] R n stets Riemnn-integrierbr Stz Sei f : [, b] R n stetig, dnn gilt: b f(t) dt f(t) dt Es gilt Gleichheit, wenn lle f(t) gleichgerichtet sind, d h für lle x, x 2 [, b] mit f(x ) 0 gibt es ein λ 0, sodss f(x 2 ) = λf(x ) Def Eine Kurve f : [, b] R heißt regulär, wenn sie stetig differenzierbr ist und die Ableitung f keine Nullstelle ht Kor Sei f : [, b] R n eine reguläre Kurve, x := f() und y := f(b) Dnn gilt für die Länge L f von f: L f x y Flls hier Gleichheit gilt, dnn gibt es eine stetig differenzierbre bijektive Abbildung φ : [, b] [0, ], sodss f = c xy φ wobei c xy : [0, ] R n, t x + t(y x) die Strecke von x nch y ist Motto: Die Gerde ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte

5 Prtielle Ableitungen Def Sei U R n und v R n mit v = Eine Funktion f : U R m heißt in einem Punkt u U in Richtung v differenzierbr, wenn der Grenzwert f(u + hv) f(u) D vf(u) := lim h 0 h h 0 existiert In diesem Fll heißt D vf(u) die Richtungsbleitung von f im Punkt u U in Richtung v R n Def Sei U R n und j {,, n} Eine Abbildung f : U R m heißt im Punkt u U bzgl der j-ten Koordintenrichtung prtiell differenzierbr, flls die Richtungsbleitung D j f(u) = f x j (u) := D ej f R m existiert In diesem Fll heißt D j f(u) die j-te prtielle Ableitung von f in u (uf U) bzgl der j-ten Koordintenrichtung prtiell differenzierbr, wenn f in jedem Punkt u U bzgl der j-ten Koordintenrichtung prtiell differenzierbr ist im Punkt u U prtiell differenzierbr, wenn f für lle j {,, n} in u bzgl der j-ten Koordintenrichtung prtiell differenzierbr ist (uf U) prtiell differenzierbr, wenn f in jedem Punkt u U prtiell differenzierbr ist Achtung Eine Funktion f : U R m, die in u U prtiell differenzierbr ist, muss noch lnge nicht in u stetig sein! Def Ist f : U R m, U R n, prtiell differenzierbr, so setzen wir D j f = f x j : U R m, x D j f(x) = f x j (x) Flls die Abbildungen D j f für lle j {,, n} wieder prtiell differenzierbr sind, lso für lle j, k {,, n} die Abbildungen D k D j f := D k (D j f) : U R m existieren, so nennen wir f zweiml prtiell differenzierbr Alterntive Schreibweise: D k D j f = 2 f x k x j Anlog definiert mn für l N rekursiv die l-te prtielle Ableitung D jl D jl D j f = l f x jl x jl x j Flls jede l-te prtielle Ableitung stetig ist, so heißt f l-ml stetig prtiell differenzierbr Stz (Schwrz / Clirut) Sei U R n, u U und f : U R m sowie j, k {,, n} Wenn die ersten prtiellen Ableitungen D j f, D k f und die zweiten prtiellen Ableitungen D j D k f und D k D j f im Punkt u stetig sind, dnn gilt D j D k f(u) = D k D j f(u) Die totle Ableitung Def Sei U R n und u U Eine Abbildung f : U R m heißt in u (totl) differenzierbr, wenn gilt: Es gibt eine R-linere Abbildung A u : R n R m und eine Abbildung φ u : B ru (0) R m für ein hinreichend kleines r u > 0, sodss gilt lim η 0 φ u(η) η = 0 2 für lle ξ B ru (0) gilt u + ξ U und 3 f(u + ξ) = f(u) + A u(ξ) + φ u(ξ) Die R-linere Abbildung A u heißt ds totle Differentil von f in u Mn schreibt A u = Df(u) Wenn f in jedem u U totl differenzierbr ist, dnn heißt f totl differenzierbr Bem Seien f, f 2 : U R m in u U totl differenzierbr Dnn ist uch (f + f 2 ) in u totl differenzierbr und es gilt D(f + f 2 )(u) = Df (u) + Df 2 (u) Stz Ist f : U R m in u U totl differenzierbr, so ist f in diesem Punkt u stetig Achtung Wenn f in einem Punkt u prtiell differenzierbr ist, so folgt drus nicht, dss f in diesem u totl differenzierbr ist Selbst wenn in u lle Richtungsbleitungen existieren, muss f in u nicht totl differenzierbr sein Stz Sei f : U R m in u U totl differenzierbr und v R n mit v = Dnn ist f in u in Richtung v bleitbr mit Df(u)(v) = D vf(u) Def Sei f : U R m in u U totl differenzierbr Dnn ist f f Df(u) = J uf := (u),, (u) R m n x x n Die Mtrix J uf heißt Jcobimtrix von f im Punkt u Stz Sei f : U R m prtiell diffbr und lle prtiellen Ableitungen in u U stetig Dnn ist f in u totl differenzierbr Bem Es gelten folgende Impliktionen: f ist stetig prtiell differenzierbr = f ist totl differenzierbr ( = f ist stetig) = f ist prtiell differenzierbr Stz Sie f : U R m k-ml stetig prtiell differenzierbr mit k N Sei l k, dnn sind lle l-ten prtiellen Ableitungen von f stetig Stz (Kettenregel) Sei U R n und V R m sowie g : U V und f : V R l Abbildungen Wenn g in u U und f in g(u) totl differenzierbr ist, dnn ist (f g) : U R l in u totl differenzierbr mit D(f g)(u) = Df(g(u)) Dg(u) Stz (MWS) Sei U R n, u U und f = (f,, f m) : U R m stetig differenzierbr Sei ußerdem ξ R n, sodss ds Bild der Strecke [0, ] R n, t u + tξ gnz in U liegt Dnn gilt f(u + ξ) f(u) = (J u+tξ f) dt ξ = ((J u+tξ f) ξ) dt 0 0 Kor (Schrnkenstz) Sei U R n, u U, f = (f,, f m) : U R m und ξ R n wie eben Sei { } M := sup J u+tξ f op : t [0, ], dnn gilt f(u + ξ) f(u) M ξ Nottion Sei f : U R k-ml stetig differenzierbr, u U und ξ = (ξ,, ξ n) R n Dnn setzen wir d k f(u) ξ k := n n (D jk D j f(u)) ξ j ξ jk und j = j k = d 0 f(u)ξ 0 := f(u) Stz (Tylorformel in mehreren Veränderlichen) Sei U R n und f : U R eine (p + )-ml stetig differenzierbre Funktion Ferner sei u U und ξ R n, sodss für lle t [0, ] gilt h(t) := u + tξ U Dnn gibt es ein τ [0, ], sodss ( p ) f(u+ξ) = F () = k=0 k! dk f(u) ξ k + (p + )! dp+ f(u+τξ) ξ p+ Bem (Tylorformel für p = 2) Sei f : U R zweiml stetig differenzierbr Wir nennen (Hess f)(u) := (D j D k f(u)) j,k D D f(u) D D nf(u) D 2 D f(u) D 2 D nf(u) = Rn n D nd f(u) D nd nf(u) die Hesse-Mtrix von f in u Mit der Tylorformel für p = 2 folgt f(u + ξ) = f(u) + n Df(u) ξ + 2 ξt (Hess f)(u) ξ + R f,u 2 (u + ξ) Def Sei U R n und f : U R prtiell differenzierbr Ein Punkt u U heißt kritischer Punkt von f, wenn D j f(u) = 0 R n j {,, n} Stz Sei U R n und f : U R prtiell differenzierbr Ht f in u U ein lokles Extremum, dnn ist u ein kritischer Punkt von f Def Eine reelle symmetrische Mtrix A R n n heißt degeneriert, wenn det(a) = 0 gilt positiv definit, wenn für lle ξ R n \{0} gilt: ξ T Aξ > 0 Äquivlent ist A positiv definit, wenn lle Eigenwerte von A positiv sind

6 negtiv definit, wenn A positiv definit ist (bzw lle Eigenwerte von A negtiv sind) indefinit, wenn A weder degeneriert, noch positiv, noch negtiv definit ist (d h A besitzt sowohl negtive ls uch positive Eigenwerte) Stz (Hinreichende Bedingung für lokle Extrem) Sei U R n, die Funktion f : U R zweiml stetig differenzierbr und u U ein kritischer Punkt von f Setze H := (Hess f)(u) Dnn gilt Ist H positiv definit, so ht f in u ein isoliertes lokles Minimum 2 Ist H negtiv definit, so ht f in u ein isoliertes lokles Minimum 3 Ist H indefinit, so ht f in u kein lokles Extremum (lso einen Sttelpunkt) Achtung Ist (Hess f)(u) degeneriert, so ist keine Aussge möglich Strtegie (Bestimmung globler Extrem uf Kompkt) Sei K R n ein Kompktum mit K und f : K R eine stetige und uf K prtiell differenzierbre Funktion Als stetige Funktion uf einem Kompktum nimmt f uf K ein Mximum und Minimum n So knn mn Mximum und Minimum bestimmen: Bestimme lle kritischen Stellen von f K 2 Bestimme lle Extrem von f uf dem Rnd K 3 Vergleiche die Funktionswerte von f n den kritischen Stellen in f K und f K Strtegie (Bestimmung globler Extrem) Sei f : R n R m prtiell differenzierbr Bestimme lle Funktionswerte von f in llen kritischen Stellen Sei M der größte und m der kleinste Funktionswert n einer kritischen Stelle 2 Wenn es ein R > 0 gibt, sodss f R n \B R (0) nur Werte kleiner ls M bzw Werte größer ls m nnimmt, dnn ist M ds globle Mximum bzw m ds globle Minimum Stz von der Umkehrfunktion Def Sei U R n und V R m Eine Abbildung f : U V heißt (C -)Diffeomorphismus, wenn f invertierbr ist und sowohl f ls uch f stetig prtiell differenzierbr sind Bem Sei f : U V ein Diffeomorphismus, wobei U R n und V R m Aus der Kettenregel folgt für u U: (J uf) = J f(u) (f ) Stz (Bnchscher Fixpunktstz) Sei K R n kompkt und ψ : K K eine Kontrktion, d h es gibt eine Konstnte κ mit 0 < κ <, sodss für lle x, y K gilt ψ(x) ψ(y) κ x y Dnn ht ψ genu einen Fixpunkt in K Stz (Stz von der loklen Umkehrfunktion) Sei U R n und u U sowie f : U R n stetig prtiell differenzierbr Wenn Df(u) invertierbr ist, so gibt es offene Umgebungen X, Y R n mit u X U, sodss f(x) = Y gilt und f X : X Y ein Diffeomorphismus ist Bem Es ist wichtig, dss f stetig prtiell differenzierbr ist Für Funktionen, die lediglich totl differenzierbr sind, gilt der Stz von der loklen Umkehrbbildungen im Allgemeinen nicht Kor (Offenheitsstz) Sei U R n und f : U R n stetig prtiell differenzierbr Wenn für lle u U die Differentile Df(u) invertierbr sind, dnn ist f(u) eine offene Teilmenge von R n Kor Sei U R n und f : U R n eine injektive stetig prtiell differenzierbre Abbildung, sodss für lle u U die Differentile Df(u) invertierbr sind Dnn ist f ein Diffeomorphismus uf sein Bild, d h f f(u) ist ein Diffeomorphismus Stz über implizite Funktionen Nottion Seien U R n und V R p offene Teilmengen, dnn ist U V eine offene Teilmenge von R n R p = R n+p Sei f : U V R q stetig differenzierbr Für ein festes u U sei Wir definieren bzw ls Mtrix f u : V R q, v f(u, v) D V f(u, v) := D(f u)(v) : R p R q J V f(u, v) := J v(f u) R q p Anlog definieren wir f v : U R q und D U f(u, v) bzw J U f(u, v) Bem Offenbr gilt für u U und v V : J (u,v) f = (J U f(u, v), J V f(u, v)) R q (n+p) Stz Seien U R n und V R p und f : U V R p stetig prtiell differenzierbr, welche in einem Punkt (u 0, v 0 ) U V eine Nullstelle hbe, d h f(u 0, v 0 ) = 0 Wenn in diesem Punkt J V f(u 0, v 0 ) R p p invertierbr ist, dnn gibt es eine offene Menge X U V mit (u 0, v 0 ) X, eine offene Menge Y R n R p mit (u 0, 0) Y, einen Diffeomorphismus G : Y X mit G(u 0, 0) = (u 0, v 0 ), sodss f G = π 2 Stz (Stz über implizite Funktionen) Seien U R n und V R p und f : U V R p stetig prtiell differenzierbr, welche in (u 0, v 0 ) U V eine Nullstelle ht, d h f(u 0, v 0 ) = 0 R p Wenn in diesem Punkt J V f(u 0, v 0 ) R p p invertierbr ist, dnn gibt es eine offene Menge X U V mit (u 0, v 0 ) X, eine offene Menge Ũ U mit u 0 Ũ, eine stetig prtiell differenzierbre Abbildung g : Ũ Rp mit f (0) X = Grph(g) = {(u, g(u)) u Ũ} In nderen Worten: Für lle (u, v) X gilt Die Funktion g erfüllt dbei f(u, v) = 0 v = g(u) g(u 0 ) = v 0 und J u0 g = (J V f(u 0, v 0 )) J U f(u 0, v 0 ) Untermnnigfltigkeiten des R n Def Eine Teilmenge M R n heißt m-dimensionle Untermnnigfltigkeit von R n, wenn gilt: Für lle u M gibt es eine offene Teilmenge U R n mit u U und eine offene Teilmenge V R n mit 0 V, sowie einen Diffeomorphismus Φ : U V mit Φ(u) = 0, sodss gilt: Φ(M U) = V {(x,, x m, 0,, 0) R n } = V R m Die Abbildung Φ heißt Krte von M um den Punkt u Def Sei c : ( ɛ, ɛ) M R n eine differenzierbre Kurve mit c(0) = u M, deren Bild gnz in M liegt, dnn heißt der Vektor c (0) R n Tngentilvektor n M in u M Für u M setzen wir T um := {v R n : v Tngentilvektor n M in u} Die Menge T um heißt Tngentilrum von M im Punkt u Stz Ist M R n eine m-dimensionle Untermnnigfltigkeit von R n und u M, dnn ist T um ein m-dimensionler UVR von R n Def Sei M R n eine m-dimensionle Untermnnigfltigkeit und u M Ds orthogonle Komplement (bzgl des Stndrdsklrprodukts, ) N um = (T um) von T um in R n heißt Normlrum von M im Punkt u Def Sei U R n und f : U R p mit p n stetig prtiell differenzierbr Ein Punkt u U wird regulärer Punkt von f gennnt, wenn die linere Abbildung Df(u) : R n R p Rng p ht (lso surjektiv ist) Sei y R p, dnn heißt sein Urbild f ({y}) = {u U : f(u) = y} reguläres Urbild oder reguläre Niveumenge, wenn lle Punkte in f ({y}) reguläre Punkte von f sind Def Sei U R n und f : U R p mit p n stetig prtiell differenzierbr Ist y Bild(f) und M := f ({y}) ein reguläres Urbild, dnn ist M eine m-dimensionle Untermnnigfltigkeit des R n, wobei m = n p Def Sei U R n und g : U R prtiell diff br Dnn heißt die Abb D g(u) g : U R m, u D ng(u) Grdient von g Ist g in u differenzierbr, so gilt g(u) = (J ug) T Stz Sei U R n und f = (f,, f p) : U R p, p n stetig prtiell differenzierbr Ist y = (y,, y p) Bild(f) und M := f ({y}) ein reguläres Urbild sowie u M, dnn ist { f (u),, f p(u)} eine Bsis von N um Stz (Lokle Extrem unter Nebenbedinungen) Sei U R n offen und f : U R differenzierbr Ferner sei M U R n eine Untermnnigfltigkeit des R n und u 0 M ein Punkt, n welchem f M ein lokles Extremum nnimmt Dnn gilt f(u 0 ) N u0 M Ist M sogr ein reguläres Urbild einer stetig prtiell differenzierbren Abbildung g = (g,, g p) : U R p, dnn gibt es eindeutig bestimmte Zhlen λ,, λ p R, sodss p f(u 0 ) = λ j g j (u 0 ) Die Zhlen λ,, λ p R heißen Lgrnge-Multipliktoren