Analysis für Informatiker und Lehramt Mathematik

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1 Anlysis für Informtiker und Lehrmt Mthemtik Wintersemester 05 / 06 Dr. Agnes Rdl 6. Oktober 06 Ds L A TEX-Skript wurde von Dipl.-Mth. Ptrici Reuther erstellt und ufbereitet nhnd meines Vorlesungsmnuskriptes Anlysis vom WS 04/05.

2 Inhltsverzeichnis I Grundlgen 3 I. Crshkurs Mengenlehre / Logik I. Häufige Beweistypen I.3 Vollständige Induktion I.4 Reelle Zhlen I.5 Abbildungen II Folgen und Reihen 7 II. Folgen und Konvergenz II. Der Stz von Bolzno-Weierstrß II.3 Cuchyfolgen und Vollständigkeit von R II.4 Bestimmte Divergenz II.5 Reihen und Konvergenz II.6 Potenzreihen II.7 Dezimldrstellung der reellen Zhlen III Stetigkeit 38 III. Grundlgen III. Der Zwischenwertstz und der Stz vom Mximum und Minimum III.3 Funktionenfolgen und -reihen III.4 Umkehrfunktionen IV Differentilrechnung 50 IV. Grundlgen IV. Der Mittelwertstz und Extrem IV.3 Tylorreihen IV.4 Prtielle Ableitungen V Integrtion 65 V. Regelfunktionen V. Ds Integrl von Regelfunktionen V.3 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung V.4 Uneigentliche Integrle V.5 Numerische Integrtion V.6 Differentilgleichungen Literturverzeichnis 87 Index 88

3 Grundlgen I. Crshkurs Mengenlehre / Logik siehe die Folien uf der Webseite zur Vorlesung I. Häufige Beweistypen Mthemtische Sätze sind oft von der Form A B. Es gibt verschiedene Methoden um zu zeigen, dss A B whr ist. Direkter Beweis Setze A vorus und folgere B. Stz I... Flls n N gerde ist, dnn ist n gerde. Beweis. Sei n N gerde. Dnn existiert ein m N, so dss n = m. Dmit erhlten wir n = (m) = 4m = } {{ m }. gerde, d durch teilbr Somit ist n gerde. Beispiel direkter Beweis Kontrposition Zeige B A. A B A B w w w w f f f w w f f w A B B A f f w f w f w f w w w w 3

4 Stz I... Sei n N. Flls n gerde ist, dnn ist n gerde. Beispiel Kontrposition Beweis. Wir zeigen die Behuptung, indem wir zeigen: Flls n nicht gerde ist, dnn ist n nicht gerde. Sei n N nicht gerde, d.h. n ist ungerde. Dnn existiert ein m N, so dss n = m gilt. Wir berechnen n = (m ) = 4m 4m + = (m m) +. gerde ungerde Somit ist n nicht gerde. Bemerkung. Insgesmt hben wir gezeigt (Stz I.. und Stz I..): n N ist genu dnn gerde, wenn n gerde ist. Widerspruchsbeweis Nimm n, dss A B gilt, und führe dies uf einen Widerspruch. Stz I..3 ( ist nicht rtionl). Flls x } {{ = } gilt, so ist x } nicht {{ rtionl }. A B B A {}}{ Beispiel Beweis. Wir nehmen n, dss x rtionl ist und dss x = gilt. Dnn gibt Widerspruchsbeweis es teilerfremde ntürliche Zhlen p und q mit p = x. q D x = gilt, ist uch p q = bzw. p = q, ( ) Also ist p eine gerde Zhl. Nch Stz I.. ist uch p eine gerde Zhl. Es existiert lso eine m N, so dss p = m gilt. Setzt mn dies in ( ) ein, so erhält mn 4m = q, und nch Kürzung mit m }{{ } = q, gerde lso ist q gerde und nch Stz I.. uch q. Es existiert lso ein k N, so dss q = k gilt. Somit besitzen p und q den gemeinsmen Teiler im Widerspruch zu deren Teilerfremdheit. 4

5 I.3 Vollständige Induktion Als beknnt vorusgesetzt wird die Menge der ntürlichen Zhlen N := {,, 3,...}. Nottion: N 0 := N {0} = {0,,, 3,...}. Chrkterisierung der ntürlichen Zhlen durch Peno-Axiome. ist eine ntürliche Zhl.. Jede ntürliche Zhl besitzt genu einen Nchfolger. 3. Es gibt keine ntürliche Zhl mit dem Nchfolger. 4. Ntürliche Zhlen mit gleichem Nchfolger sind gleich. 5. N selbst ist die einzige Teilmenge von N, die die und mit jeder ntürlichen Zhl n uch deren Nchfolger n enthält. Problem Sei n 0 N 0 und sei A(n) für jedes n N, n 0, eine Aussge. Wie zeigt mn, dss A(n) für jedes n N mit n n 0 whr ist? Giuseppe Peno (858 93), itlienischer Mthemtiker Idee: Dzu genügt es, folgende zwei Aussgen zu zeigen: Beweisprinzip der vollständigen Induktionsnfng (IA): A(n 0 ) ist whr. Induktion Induktionsschritt (IS): Für ein beliebiges n N mit n n 0 gilt: Flls A(n) whr ist, dnn ist uch A(n + ) whr. Induktionsvorussetzung (IV) Beispiele. Stz I.3.. Für jedes n N gilt n(n + ) n =. }{{ } A(n) Beweis. Durch vollständige Induktion (n 0 = ) IA n = : l. S.: r. S.: (+) = L. S. und r. S. stimmen überein, lso gilt A(). 5

6 IS (Zu zeigen: Flls n = n (n + ) } {{ } A(n) dnn ist uch n + (n + ) = whr ist für ein n N, (n + ) ((n + ) + ) } {{ } A(n+) n n + : Angenommen, n = n (n+) gilt für ein n N. (IV) Dnn whr. l. S.: n + (n + ) IV = n(n+) + (n + ) = n +n + (n+) = n +3n+ r. S.: (n+) ((n+)+) = n +3n+ L. S. und r. S. stimmen überein, lso gilt A(n + ). Stz I.3.. Für jedes n N enthält P({,..., n}) genu n Elemente. Beweis. n 0 = IA IS n = : P({}) = {, {}}; P({}) ht Elemente, lso stimmt die Behuptung für n =. n n + : Angenommen, für ein n N enthält P({,..., n}) genu n Elemente. P({,..., n, n + }) ist die disjunkte Vereinigung von P({,..., n}) und llen Teilmengen von {,..., n, n + }, die n + enthlten, lso P({,..., n, n+}) = P({,..., n}) n Elemente nch IV {M {n + } : M P({,..., n})} n Elemente nch IV Somit enthält P({,..., n, n + }) genu n = n+ Elemente. Induktive Definition Sei n 0 N 0. Ordne jedem n N 0 mit n n 0 ein Element f(n) einer Menge X folgendermßen zu:. Gib f(n 0 ) n.. Für n n 0 gib eine Vorschrift n, wie mn f(n + ) us f(n 0 ),..., f(n) berechnet. 6

7 Beispiele (Induktive Definitionen). Potenzen Sei x eine reelle Zhl.. x 0 := Fkultät n N 0.. x n+ := x x n, n N 0.. 0! :=. (n + )! := (n + ) n. Summen- und Produktzeichen Sei k für jedes k N eine reelle Zhl. n k := n bzw. n k :=... n. Informelle Definitionen Endliche Summe. k :=. n+ k := n k + n+, n N 0 Formle Definitionen bzw. Endliches Produkt.. n+ k := ( n k := ) k n+, n N 0. Bemerkung. Die Summtion/Produktbildung muss nicht bei k = strten. Entsprechend definiert mn für m N 0, n m.. bzw.. m k=m n+ k=m m k=m k := m k := n k=m k := m k + n+, n N 0 7

8 . n+ k=m ( n k := ) k k=m Flls m > n ist, so setzt mn I.4 Reelle Zhlen n+, n N 0. n k=m k := 0 und n k=m k :=. Die Menge der reellen Zhlen R ist für uns eine Menge, uf der eine Addition + und eine Multipliktion sowie eine Ordnungsreltion < definiert ist mit den nchfolgend vorgestellten Eigenschften. Körperxiome Für x, y, z R gelten die folgenden Eigenschften. (K) x + (y + z) = (x + y) + z, (Assozitivität) (K) x + y = y + x, (Kommuttivität) (K3) Es gibt ein Element 0 R, (Existenz der Null) so dss x + 0 = x (für lle x R), (K4) Es gibt ein x R mit x + ( x) = 0, (Existenz dditiver Inverser) (K5) x (y z) = (x y) z, (Assozitivität) (K6) x y = y x, (Kommuttivität) (K7) Es gibt ein Element R, 0, (Existenz der Eins) so dss x = x (für lle x R), (K8) Flls x 0, dnn existiert ein x R, (Existenz multipliso dss x x =, ktiver Inverser) (K9) x (y + z) = x y + x z, (Distributivität) Folgerungen. (siehe zum Beispiel [For08, Kpitel ]) bkürzende Nottion: y x := x y. 0 und sind eindeutig bestimmt, ebenso dditive und multipliktive Inverse.. (x + y) z = x z + y z 3. x 0 = 0, 4. x = ( ) x, 5. ( x) = x, ( x) ( y) = x y. 6. x y = 0 genu dnn, wenn x = 0 oder y = Für, b R ist die Gleichung + x = b eindeutig lösbr. Flls 0, dnn ist uch x = b eindeutig lösbr. 8. (x ) = x, flls x 0, 8

9 9. (x y) = x y, flls x 0, y 0. Desweiteren sind in R gewisse Elemente ls positiv usgezeichnet. Nottion: > 0 Ordnungsxiome Für x, y R gelten folgende Eigenschften. (O) Es gilt immer genu eine der drei Beziehungen x > 0, x = 0, x > 0. ( Trichotomie) (O) Aus x > 0 und y > 0 folgt x + y > 0 und x y > 0. Definition. Für x, y R definiert mn. x y := x + ( y),. x > y, flls x y > 0, 3. x < y, flls y > x, 4. x y, flls x > y oder x = y, 5. x y, flls x < y oder x = y. Folgerungen. Es ergeben sich nun zum Beispiel folgende Regeln, wobei x, y,, b R, (siehe [For08, Abschnitt 3]):. Für x, y gilt immer genu eine der Reltionen x < y, x = y, y < x.. Flls x < y und y < z, dnn ist x < z. ( Trnsitivität) 3. Flls x < y, dnn ist + x < + y. 4. Flls x < y, dnn ist x > y. 5. Flls x < y und < b, dnn ist x + < y + b. 6. Flls x < y und > 0, dnn ist x < y. Nottion: Sttt x y schreibt 7. Flls x < y und < 0, dnn ist x > y. mn meistens nur xy. 8. Flls 0 x < y und 0 < b, dnn ist x < by. x < y < z bedeutet x < y und y < z. 9. x > 0 genu dnn, wenn x > Flls 0 < x < y, dnn ist x > y. Archimedisches Axiom Für x, y R gilt Folgendes: (A) Sind x, y > 0, so existiert eine ntürliche Zhl n mit n x > y. 9

10 Beweis: Setze x = ε, y = in (A). Folgerung. Zu jedem ε > 0 existiert ein n N mit n < ε. Definition I.4. (Intervlle). Seien, b R und < b. Dnn definiere [, b] := {x R : x b}, (bgeschlossenes Intervll) (, b) := {x R : < x < b}, (offenes Intervll) [, b) := {x R : x < b}, (nch rechts hlboffenes Intervll) (, b] := {x R : < x b}, (nch links hlboffenes Intervll) und b sind die Rndpunkte des Intervlls I und I := b ist die Länge des Intervlls I. Seien, b R. Dnn definiere [, ) := {x R : x}, (, ) := {x R : < x}, (, b] := {x R : x b}, (, b) := {x R : x < b}, (, ) := R. Nottion: (I n ) n N oder (I n ). Definition I.4. (Intervllschchtelung). Eine Intervllschchtelung ist eine Folge bgeschlossener Intervlle I, I, I 3,... mit den Eigenschften. I n+ I n für n N.. Zu jedem ɛ > 0 gibt es ein Intervll I n mit I n < ɛ. Beispiel. I n := [ n, n ]. (IP) Intervllschchtelungsprinzip Zu jeder Intervllschchtelung in R gibt es genu eine reelle Zhl, die llen ihren Intervllen ngehört. Bemerkungen.. Mn knn zeigen, dss es (bis uf Umbenennung der Elemente) genu eine Menge gibt, die die Eigenschften (K)-(K9), (O), (O), (A) und (IP) ht.. R enthält N Z := {0,,,,...} Q := { m : m Z, n N} n (Menge der gnzen Zhlen) (Menge der rtionlen Zhlen) 0

11 3. Die Menge der rtionlen Zhlen Q erfüllt ebenflls die Eigenschften (K)-(K9), (O), (O) und (A). 4. (IP) gilt nicht in Q! Definition I.4.3 (Absolutbetrg). Der Absolutbetrg von x R ist x, flls x 0, x := x, flls x < 0. Bemerkung. Aus der Definition folgt unmittelbr x = x, xy = x y, x x, x 0, x = 0 x = 0. Stz I.4.4 (Dreiecksungleichung). Für beliebige x, y R gilt. x + y x + y Beweis. D x x und y y, folgt (Ordnungsxiome!) x + y x + y. (I.) Desweiteren gelten x x = x und y y = y, und deshlb uch (x + y) = x + ( y) x + y. (I.) Aus (I.) und (I.) folgt die Behuptung. Stz I.4.5 (Bernoullische Ungleichung). Sei x R und x. Dnn gilt für lle n N: Jkob Bernoulli ( ), schweizer Mthemtiker ( + x) n + nx. Beweis. ÜA.3 Stz I.4.6. Sei y R. () Ist y >, so existiert zu jedem K R ein n N, so dss y n > K gilt. (b) Ist 0 < y <, so gibt es zu jedem ε > 0 ein n N, so dss y n < ε gilt. Beweis. () Setze x = y. D y >, ist x > 0. Nch (A) gibt es ein n 0 N mit nx > K, lso y n Stz I.4.5 n = ( + x) + nx > + K = K.

12 (b) D ỹ := y >, gibt es nch () zu K := ε ein n N mit ỹn > ε. Es folgt (Rechenregeln!) ε > ỹ n = y n. Stz I.4.7 ( Q liegt dicht in R. ). Seien x, y R mit x < y. dnn existiert ein q Q mit x < q < y. Beweis.. Fll: x > 0: Nch (A) gibt es ein n N, so dss < y x. Definiere n { M := k N : k } n > x Nch (A) gilt M. Sei m die kleinste Zhl in M, lso x < m n Setze q := m. Dnn gilt n x < m n = q = m n } {{ } x und x (m ) n. + < x + y x = y. n <y x. Fll: x 0: Es existiert ein k N, so dss x + k > 0 ist. Nch Fll gibt es ein q Q mit x + k < q < y + k, und somit x < q k < y. Q Wir hben gesehen (Stz I..3), dss es in Q keine Zhl y gibt mit y =. Mit Hilfe von (IP) können wir zeigen, dss in R ein solches x existiert. Stz I.4.8 ( Existenz von Wurzeln ). Zu jedem x R, x > 0, und jedem Nottion: y = k x bzw. y = k N gibt es genu eine reelle Zhl y > 0 mit x k ; (k = : y = x = x) y k = x. Beweis. Trichotomie Eindeutigkeit: Seien y, ỹ R, y > 0, ỹ > 0 und y k = ỹ k = x. Flls y ỹ, dnn ist entweder y > ỹ und somit y k > ỹ k oder ỹ > y und somit y k < ỹ k. D ber y k = ỹ k ist, muss y = ỹ gelten. Existenz:. Fll: x = ( k = für jedes k N.)

13 . Fll: x > : Betrchte die Intervllschchtelung ([ n, b n ]) n N mit. [, b ] := [, x],. [ n, m], flls m k x, [ n+, b n+ ] := [m, b n ], flls m k < x, wobei n N und m := ( n + b n ) die Intervllmitte bezeichnet. Sei y die nch (IP) in llen Intervllen liegende Zhl. Es gilt lso n y b n für lle n N. Drus folgt k n y k b k n für lle n N. (I.3) Nch Konstruktion der Intervllschchtelung ist uch k n x b k n für lle n N. (I.4) Wegen (I.3) und (I.4) liegen sowohl x ls uch y k in llen Intervllen [ k n, b k n]. D ([ k n, b k n]) n N ebenflls eine Intervllschchtelung ist (ÜA!), ist diese Zhl eindeutig bestimmt nch (IP), lso x = y k. 3. Fll: 0 < x < : Betrchte x :=. D x > ist, existiert nch Fll ein ỹ mit x ỹ k = x. Für y := gilt dnn ỹ yk = ( ) k ỹ = x. Beweis mit (IP) Definition I.4.9. Eine Menge M R heißt nch oben bzw. nch unten beschränkt, wenn es ein s R gibt, so dss für jedes x M gilt x s bzw. s x. s heißt dnn eine obere bzw. eine untere Schrnke für M. Ist M sowohl nch oben ls uch nch unten beschränkt, so heißt M beschränkt. Beispiele. (0, ), [0, ], {}, { n : n N} sind beschränkt. N, [3, ) sind nch unten beschränkt, ber nicht nch oben. R ist weder nch oben noch nch unten beschränkt. Definition I.4.0. Eine Zhl s R heißt Supremum bzw. Infimum der Menge M R, flls s die kleinste obere bzw. die größte untere Schrnke für M ist, d.h. flls 3

14 () s ist eine obere bzw. untere Schrnke für M und Nottion: s = sup M bzw. s = inf M. s = mx M bzw. s = min M. (b) jede Zhl s mit s < s bzw. s > s ist keine obere bzw. untere Schrnke für M. Gilt s M, so heißt s Mximum bzw. Minimum. Beispiel. sup [0, ] = = mx [0, ]; inf [0, ] = 0 = min [0, ] sup (0, ) = ; inf (0, ) = 0; mx (0, ) existiert nicht; min (0, ) existiert nicht M := { n : n N} ; sup M = = mx M; inf M = 0; min M existiert nicht Stz I.4. ( Supremumseigenschft von R ). Jede nch oben bzw. unten beschränkte, nicht leere Menge M R besitzt ein Supremum bzw. Infimum. Beweis.. Fll: Sei M R nch oben beschränkt. Sei b eine obere Schrnke für M und sei keine obere Schrnke (zum Beispiel = x, wobei x ein beliebiges Element us M ist). Betrchte die bgeschlossenen Intervlle (I n ) n N mit. I := [, b ],. [ n, m], flls m ein obere Schrnke für M ist, I n+ := [ n+, b n+ ] := [m, b n ], sonst, wobei n N und m := ( n + b n ) die Intervllmitte von I n bezeichnet. Beobchtungen: (i) (I n ) n N ist eine Intervllschchtelung. (ii) Für jedes n N ist b n eine obere Schrnke für M. (iii) Für jedes n N ist n keine obere Schrnke für M. Nch (IP) gibt es eine llen Intervllen ngehörende Zhl s. bedeutet Widerspruch. Beh. (): s ist eine obere Schrnke für M. Beweis: Angenommen s ist keine obere Schrnke für M. Dnn existieren x M mit x > s und I n mit I n < x s. Es folgt b n s b n n = I n < x s, lso b n < x zu (ii). Beh. (b): s ist die kleinste obere Schrnke für M. Beweis: Angenommen s ist eine obere Schrnke für M und s < s. Dnn existiert ein I n mit I n < s s. Es folgt s n b n n = I n < s s, lso ist n obere Schrnke für M. zu (iii). Somit ist s = sup M.. Fll: M R nch unten beschränkt geht ähnlich. 4

15 Bemerkungen. Flls ([ n, b n ]) n N eine Intervllschchtelung ist und x [ n, b n ] für lle n N, so gilt x = sup{ n : n N} = inf{b n : n N}. Die Supremumseigenschft gilt nicht in Q. Gegenbeispiel: ( ) Sei ([ n, b n ]) n N die Intervllschchtelung us dem Beweis von Stz I.4.8 für k = und x =. Dnn ist M := { n : n N} Q, ber M besitzt kein Supremum in Q. I.5 Abbildungen Definition I.5.. Seien A und B Mengen. Eine Abbildung oder Funktion von A nch B ist eine Vorschrift f, die jedem x A genu ein Element f(x) B zuordnet. A ist der Definitionsbereich von f, B die Zielmenge und f(a) := {f(x) : x A} ist der Bildbereich von f. Die Menge G(f) := {(x, f(x)) : x A} A B heißt der Grph von f. Nottion: f : A B, x f(x) Bemerkung. Funktionen knn mn durch Angbe einer Abbildungsvorschrift definieren. Beispiel: f : R R, x 4x, x Q, + 7x 0 oder f : R {0, }, x 0, x R\Q. } {{ } Dirichlet-Funktion Definition I.5.. Sind f : A B und g : C D Funktionen mit f(a) C, so ist g f : A D, x g(f(x)) die Komposition von g und f. Beispiel. f : R R, x x g : [0, ) R, x x g f : R R, x x }{{ } = x Definition I.5.3. Seien f, g : A R beliebige Funktionen und sei α R. Dnn sind definiert durch f + g : A R, αf : A R, f g : A R 5

16 (f + g)(x) := f(x) + g(x), (αf)(x) := α f(x), (f g)(x) := f(x) g(x). Sei A := {x A : g(x) 0}. Dnn ist f g : A R, x f(x) g(x). 6

17 Folgen und Reihen II. Folgen und Konvergenz Definition II... Sei X eine Menge. Eine Folge in X ist eine Abbildung f : N X, n x n. Flls x n = f(n), n N, so schreibt mn für die Folge uch (x n ) X, (x n ) n N X, (x, x,...) X oder nur (x n ), (x n ) n N, (x, x,...). Beispiel II... (i) (ii) x n :=, n N : n x R, x n := x für lle n N : (x n) = (,,,...) 3 (x n ) = (x, x, x,...) (konstnte Folge) (iii) x n := ( ) n, n N : (x n ) = (,,,,...) (iv) x n := n, n N : (x n ) = (,, 3, 4,...) (v) x :=, x :=, x n+ := x n + x n für n : (x n ) = (,,, 3, 5, 8, 3,,...) Fiboncci-Folge Definition II..3. Eine Folge (x n ) R heißt konvergent gegen einen Grenzwert oder Limes, flls gilt: Zu jedem ε > 0 existiert ein N N, so dss x n x < ε für lle n N. Die Folge heißt divergent, flls sie nicht konvergiert. Stz II..4 ( Eindeutigkeit des Limes ). Der Grenzwert einer konvergenten Folge (x n ) R ist eindeutig bestimmt. Beweis. Seien x und x Grenzwerte von (x n ). Annhme: x x. Sei ε = x x. D lim n x n = x und lim n x n = x existieren N, N N, so dss x n x < ε für lle n N und x n x < ε für lle n N. Also gilt für jedes n mx{n, N } x x = x x n + x n x Nottion: lim x n = x, n lim n x n = x oder x n x, n. Beweis-Trick: Addition einer nhrhften Null Dreiecks-U. x x n + x n x < ε = x x. <ε <ε 7

18 Zu Beispiel II..: (i) Sei ε > 0 beliebig vorgegeben. Beweis mit (A) Nch (A) existiert ein N N, so dss < ε. Für n N folgt N 0 n = < ε. Somit gilt lim n N n = 0. n (ii) Sei ε > 0 beliebig vorgegeben. Für lle n N ist Somit gilt lim n x n = x. x n x = x x = 0 < ε. (iii) Angenommen, (x n ) konvergiert gegen ein x R. Dnn gibt es zu ε := ein N N, so dss für lle n N gilt: x n x < ε. Für n N folgt nun = x n+ x n = (x n+ x)+(x x n ) Dreiecks-U. x n+ x + x x n < <ε= <ε= Definition II..5. Eine Folge (x n ) R heißt beschränkt, wenn es eine Konstnte M R gibt, so dss x n M für lle n N gilt. Bemerkung. Die Folgen (i), (ii), (iii) us Beispiel II.. sind beschränkt, wohingegen (iv) und (v) nicht beschränkt sind. Stz II..6. Jede konvergente Folge (x n ) R ist beschränkt. Addition einer nhrh. Null, Dreiecks-U. Beweis. Sei (x n ) R eine konvergente Folge mit lim n x n = x. Es gibt ein N N, so dss für lle n N gilt: x n x <. Für n N folgt nun x n = x + x n x x + x n x < x +. Sei M := mx{ x, x,..., x N, x + }. Für lle n N gilt nun x n M. Bemerkungen. Die Fiboncci-Folge und die Folge (,, 3, 4,...) sind nicht konvergent, d nicht beschränkt. Die Umkehrung von Stz II..6 im Allgemeinen nicht, siehe Beispiel II.. (iii). Stz II..7. Seien (x n ), (y n ) R konvergente Folgen mit x = lim n x n und y = lim n y n. Dnn gilt: () lim n (x n + y n ) = x + y (b) lim n (x n y n ) = x y (c) Ist y 0, so gibt es ein N N, so dss y n 0 für lle n > N. Für die Folge ( ) x N+n x y N+n gilt lim N+n n n N 0 y N+n = x. y 8

19 Beweis. () ÜA (b) Nch Stz II..6 existiert M y, so dss für lle n N gilt: x n M und y n M. Sei ε > 0 gegeben. D die Folgen konvergieren, existieren N, N N, so dss x n x < ε M für lle n N und y n y < ε M für lle n N. Für lle n mx{n, N } ist dnn x n y n xy = x n y n x n y + x n y xy = x n (y n y) + (x n x)y (c) siehe Litertur. x n y n y + x n x M < ε < ε M M < M ε M + M y M ε M = ε. Folgerung. Flls (x n ) R konvergiert mit lim n x n = x, dnn konvergiert uch (αx n ) R für jedes α R und lim n αx n = αx. ( ) Beispiel. lim n n =? Für n N definiere x n := und y n :=. n Dnn ist lim n x n = und lim n y n = 0 und somit ( lim ) = lim n n n (x n + y n ) = + 0 =. Für n N definiere x n := n und y n := n. Dnn ist lim n x n = 0 = lim n y n und somit lim n n 3n + 4n n lim n + =? ( ) 3n + 4n n + = n n ( ) = n + n = lim n (x n y n ) = 0 0 = 0. ( ) n ( ) + n Für n N definiere x n := und y n n := +. D lim n n x n = 3 und lim n y n =, folgt 3n + 4n lim n n + = 3. Stz II..8. Seien (x n ), (y n ) R konvergente Folgen und x := lim n x n sowie y := lim n y n. () Flls x n y n für lle n N, dnn ist uch x y. 9

20 (b) Ist (z n ) R eine weitere Folge mit x n z n y n für lle n N und ist x = y, so konvergiert uch (z n ) und lim n z n = x. Beweis. () Angenommen, es ist y < x. Dnn ist ε := x y > 0, und es existieren N, N N, so dss x n x < ε für lle n N und y n y < ε für lle n N x ε<x n für lle n N y n<y+ε für lle n N. nch Vor. Für n mx{n, N } gilt dmit x ε < x n durch Umformung folgt x y < ε.. }{{ } =ε y n < y + ε und (b) Zu ε > 0 existieren N, N N, so dss x n x < ε 3 für lle n N und y n y < ε 3 für lle n N. Für n mx{n, N } gilt demnch z n x z n x n + x n x ( ) y n x n + x n x U. y n x + x x n + x n x < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε, wobei ( ) us z n x n zn xn y n z n y n x n = z n x n y n x n = yn x n folgt. Beispiel. Sei k N fest gewählt. Für n N definiere x n := 0, y n :=, z n n :=. Dnn gilt lim n k n x n = 0 = lim n y n. D x n z n y n, folgt = 0. n k lim n Für n N definiere x n :=, y n := ( + n), zn := +. Dnn gilt n lim n x n = = lim n y n. D x n z n y n, folgt lim + =. n n Definition II..9. Eine Folge (x n ) R heißt () monoton wchsend, wenn x n x n+ für lle n N. (b) monoton fllend, wenn x n x n+ für lle n N. Stz II..0. Jede beschränkte monotone Folge (x n ) R konvergiert, und zwr gegen () sup{x n : n N}, flls (x n ) monoton wchsend ist. (b) inf{x n : n N}, flls (x n ) monoton fllend ist. 0

21 Beweis. () Sei s := sup{x n : n N} und sei ε > 0. Nch Definition des Supremums finden wir ein N N, so dss s x N < ε. Für lle n N gilt Somit ist lim n x n = s. (b) ähnlich. x n x N s x n s xn (Monotonie) = s x n s x N < ε. Bemerkung. Sei ([ n, b n ]) eine Intervllschchtelung und x die in llen Intervllen liegende Zhl. Dnn ist ( n ) monoton wchsend, (b n ) monoton fllend und durch x nch oben bzw. unten beschränkt, und lim Stz II..0 Bem. zu I.4. Bem. zu I.4. n = sup{ n : n N} = x = inf{b n : n N} n Stz II..0 = lim n b n. II. Der Stz von Bolzno-Weierstrß Definition II... Sei (x n ) n N und sei (n k ) k N N eine ufsteigende Folge (lso n < n < n 3 <...). Die Folge (x nk ) k N = (x n, x n, x n3,... ) heißt dnn eine Teilfolge (Abkürzung: TF) der Folge (x n ). Beispiel. Flls x n := ( ) n, n N, n k := k, k N, dnn ist (x nk ) k N = (,,,...). Bemerkung. Ist (x n ) R konvergent mit lim n x n = x, so konvergiert uch jede Teilfolge von (x n ) gegen x. Stz II.. ( Bolzno-Weierstrß ). Jede beschränkte Folge (x n ) R besitzt eine konvergente Teilfolge. Beweis. D (x n ) beschränkt ist, existieren, b R, so dss x n b für lle n N. Definiere eine Intervllschchtelung I := [, b ] B. Bolzno (78 848), K. Weierstrß (85 897)

22 n : [ n, m], flls [ n, m] unendl. viele Folgengl. enth.; I n+ := [ n+, b n+ ] := [m, b n ], sonst, wobei m = ( n + b n ). Beweis mit (IP). D die Intervlle jeweils unendlich viele Folgeglieder enthlten, knn mn us ihnen für jedes k N ein x nk I k uswählen, so dss n k+ > n k. Sei x die nch (IP) in llen Intervllen liegende Zhl. D k x nk b k und lim k k = x = lim k b k (siehe Bemerkung zu Stz II..0), folgt mit Stz II..8(b), dss (x nk ) k N konvergiert und lim k x nk = x. Bemerkung. Der Grenzwert einer konvergenten TF einer Folge (x n ) heißt uch Häufungspunkt (Abkürzung: HP) von (x n ). Beispiele. (,,,,...) besitzt die Häufungspunkte und. (,, 3,...) besitzt keinen Häufungspunkt. (,,,, 3,, 4,,...) ist unbeschränkt, besitzt ber trotzdem 0 ls 3 4 Häufungspunkt. Folgerung. Besitzt eine beschränkte Folge (x n ) R nur einen Häufungspunkt x, so konvergiert sie gegen x. Beweis. Angenommen (x n ) konvergiert nicht gegen x. Dnn gibt es ein ε > 0 und eine Teilfolge (x nk ) k N von (x n ), so dss x nk x ε für lle k N. Nch Stz II.. besitzt die Folge (x nk ) k N einen Häufungspunkt x, wobei x x gilt. x ist uch Häufungspunkt von (x n ) im Widerspruch zur Vorussetzung, dss (x n ) nur einen Häufungspunkt besitzt. II.3 Cuchyfolgen und Vollständigkeit von R Definition II.3.. Eine Folge (x n ) n N heißt Cuchyfolge (Abkürzung: CF), wenn zu jedem ε > 0 ein N N existiert, so dss für lle n, m N gilt: x n x m < ε. Stz II.3.. Jede konvergente Folge (x n ) R ist eine Cuchy-Folge. A.-L. Cuchy ( )

23 Beweis. Angenommen (x n ) R konvergiert und x := lim n x n. Sei ε > 0 gegeben. D (x n ) konvergiert, existiert ein N N, so dss für lle n N gilt: Für lle n, m N gilt dnn x n x < ε. x n x m = x n x + x x m U. x n x + x x m < ε + ε = ε. Stz II.3.3. Jede Cuchyfolge (x n ) R ist beschränkt. Beweis. D (x n ) eine Cuchyfolge ist, existiert zu ε = ein N N, so dss gilt. Für n N folgt dnn x n x m < für lle n, m N x n = x n x N + x N U. x n x N + x N < + x N. Insgesmt gilt lso für jedes n N x n mx{ x,..., x N, + x N }. Stz II.3.4 ( Vollständigkeit von R ). Jede Cuchyfolge (x n ) R konvergiert in R. Beweis. Sei (x n ) R eine Cuchyfolge. Nch Stz II.3.3 ist (x n ) beschränkt und nch Stz II.. besitzt (x n ) eine konvergente Teilfolge (x nk ) k N. Sei x := lim k x nk. Sei ε > 0 gegeben. (i) Sei N N so, dss x n x m < ε für lle n, m N. (ii) Sei k N so, dss k N (und somit uch n k N) und x nk x < ε. Dnn folgt für n N x x n = x x nk + x nk x n x x nk + x nk x n < ε wegen (ii) < ε wegen (i) < ε + ε = ε. Bemerkung. Die Behuptung gilt nicht für Q sttt R. Beispiel: Sei ([ n, b n ]) die Intervllschchtelung us Stz I.4.8 für. Dnn ist ( n ) n N Q eine Cuchyfolge, ber lim n n = / Q. 3

24 II.4 Bestimmte Divergenz Definition II.4.. Eine Folge (x n ) R heißt bestimmt divergent gegen (+) bzw., wenn es zu jedem M > 0 ein N N gibt, so dss für lle n N gilt: x n > M bzw. x n < M. Nottion: lim n x n = (+) bzw. lim n x n = oder x n, n bzw. x n, n. Beispiel. x n := n, n N; lim n x n = x n := n, n N; lim n x n = x n := ( ) n, n N; (x n ) ist divergent, ber nicht bestimmt divergent. x n := ( ) n n; n N, (x n ) ist divergent, ber nicht bestimmt divergent. Bemerkung. Sind (x n ) und (y n ) Folgen in R mit x n y n für lle n N, und gilt lim n x n =, dnn gilt uch lim n y n =. lim n y n =, dnn gilt uch lim n x n =. Stz II.4.. () Sei (x n ) R bestimmt divergent gegen + oder. Dnn ( ) gibt es ein n 0 N, so dss x n 0 für lle n > n 0, und konvergiert und x n0 +n n N lim n x n0 +n = 0. (b) Sei (x n ) (0, ) bzw. (x n ) (, 0) und lim n x n = 0. Dnn ist lim n = bzw. lim =. x n n x n Beweis. (). Fll: lim n x n =. Klr: Es gibt ein n 0 N mit x n > 0 für lle n n 0. Sei nun ε > 0 vorgegeben. Definiere M :=. D lim ε n x n existiert ein N N, (n n 0 ), so dss = gilt, Somit folgt x n > M für lle n N. 0 x = < = ε für lle n N. n x n M Die restlichen Aussgen zeigt mn ähnlich. Stz II.4.3. Seien (x n ) und (y n ) reelle Folgen mit lim n x n = und y := lim n y n R. Dnn gelten: 4

25 () lim n (x n + y n ) =. (b) (i) lim n (x n y n ) =, flls y > 0. (ii) lim n (x n y n ) =, flls y < 0. Beweis. () ÜA (b)(i) D (y n ) konvergiert, gibt es ein N N, so dss y n > y für lle n N. Sei M > 0 vorgegeben. Dnn existiert ein N N, so dss x n > M y für lle n N, d lim n x n =. Für n mx{n, N } gilt dnn Somit folgt lim n (x n y n ) =. (ii) geht ähnlich. x n y n > M y y = M. II.5 Reihen und Konvergenz Definition II.5.. Sei (x k ) k N R eine Folge und sei n s n := x k, n N. Die Folge (s n ) n N heißt (unendliche) Reihe. Nottion für (s n ) : x k. (n-te Prtilsumme) Flls (s n ) konvergiert, dnn bezeichnet x k uch den Grenzwert der Folge (s n ), lso x k = lim n s n. Mn sgt in diesem Fll, die Reihe konvergiert. Sie divergiert, flls sie nicht konvergiert. x k heißt bsolut konvergent, flls x k konvergiert. Bemerkung. Entsprechend bezeichnet für m N 0 x k k=m die Folge (x m, x m + x m+, x m + x m+ + x m+,...) = ( n k=m x k ) n m bzw. deren Grenzwert. Beispiel II.5... Geometrische Reihe: q k, wobei q R s n := n k ÜA.(b) q q = n+. q n+ ÜA 4.3 Ist q <, so gilt lim n q = 0, und mit Stz II..7 lim s n = lim n q n+ n q Somit konvergiert die Reihe und 5 q k = q. = q.

26 . Hrmonische Reihe: s n := n. k k Sei n = l für ein l N. Dnn gilt s n = + ( ) ( ) ( l ) l l }{{ 4 }}{{ 8 }}{{ } l = = = = + l. Somit ist (s n ) unbeschränkt, lso divergent. k Bemerkung. Konvergieren die unendlichen Reihen x k und y k, so kon- vergieren nch Stz II..7 uch die Reihen (x k +y k ) und αx k für jedes α R. Es gilt dnn (x k + y k ) = x k + y k und αx k = α x k. Stz II.5.3 ( Cuchy-Kriterium ). Die Reihe x k konvergiert genu dnn, wenn es zu jedem ε > 0 ein N N gibt, so dss für lle n > m N gilt: n x k < ε. k=m+ Beweis. Definiere s n := n x k. Dnn ist n m+ x k = s n s m, und ds Kriterium bedeutet gerde, dss (s n ) eine Cuchyfolge ist. Mit Hilfe von Stz II.3. und II.3.4 folgt die Behuptung. Stz II.5.4. Flls x k konvergiert, dnn gilt lim k x k = 0. Beweis. Sei ε > 0. Nch Stz II.5.3 gibt es ein N N, so dss für lle n > m N gilt n x k < ε. k=m+ Insbesondere für m N und n = m + ergibt sich n ε > x k n=m+ n = x k = x n. Somit ist lim n x n = 0. k=m+ 6 k=n

27 Bemerkung.. Dss die Summnden eine Nullfolge bilden, ist eine notwendige Bedingung für die Konvergenz von x k, ber keine hinreichende, siehe hrmonische Reihe: nch Beispiel II.5.,. divergiert lim k k = 0., obwohl k. Ist q, so divergiert die geometrische Reihe q k nch Stz II.5.4 und ÜA 4.3. Stz II.5.5 ( Mjorntenkriterium ). Ist x k y k für lle k N, und konvergiert y k, so konvergieren uch x k und x k, und es gilt x k x k y k. ( y k heißt Mjornte von x k bzw. x k.) k=m+ n x k k=m+ Ungl., mehrm. ngew. n k=m+ x k n y k k=m+ }{{ } 0 = n y k k=m+ < ε. Nch Stz II.5.3 konvergieren lso x k bzw. x k. D n x k n x k n y k für lle n N gilt, folgt us Stz II..8 n lim x k n = x k n n n lim x k n lim y k. = x k = y k Bemerkung.. Flls x k konvergiert, dnn konvergiert nch Stz II.5.5 uch x k.. Flls y k x k 0 für lle k N, dnn gilt: Ist x k divergent, so ist uch y k divergent. Beweis. Nch Stz II.5.3 gibt es zu jedem ε > 0 ein N N, so dss Beweis mit Cuchy- n Kriterium y k < ε für lle n > m N. Für n > m N folgt nun Minorntenkriterium 7

28 3. Ist x k y k bzw. y k x k 0 bis uf endlich viele k N erfüllt, so ist ds Mjornten- bzw. Minorntenkriterium immer noch nwendbr. (Die Abschätzung für den Limes gilt jedoch nicht mehr.) Beispiel., l N, l konvergiert: kl Sei l N, l. Für lle k N gilt k = k + k k + k = k(k + ), und somit k(k + ) k k, l. l Mit vollständiger Induktion knn mn zeigen, dss für jedes n N gilt: Somit folgt Also ist n k(k + ) = lim n ( k(k + ) = ). n + n ( k(k + ) = lim ) = n n + eine konvergente Mjornte für k(k+) Nch Stz II.5.5 konvergiert k l für l und. k l Stz II.5.6 ( Quotientenkriterium ). Flls es ein n 0 x k 0 für lle k n 0, und flls existiert, so gilt: q := lim k k n 0 () Ist q <, so konvergiert x k. (b) Ist q >, so divergiert x k. Beweis. x k+ x k () Sei q (q, ). Es existiert ein N N, N n 0, so dss Induktiv folgt für lle k > N: x k+ q für lle k N. x k. k l N gibt, so dss x k q x k q x k q k N x N = q N qk x N. D q N x N k=n q k konvergiert (vgl. geometrische Reihe), konvergiert nch Stz II.5.5 uch k=n x k, und dmit uch x k. 8

29 (b) Ist q >, so gibt es ein q (, q) und ein N N, so dss x k+ x k q für lle k N. Dnn bildet ber (x k ) keine Nullfolge, und somit knn x k nicht konvergieren. Bemerkung. Bei q = ist keine llgemeine Aussge möglich: Beispiel. Hrmonische Reihe (divergent): k x k+ x = k+ = k k k + = k k( + ) = + k k k. k(k+) x k+ x k, (konvergent, siehe Beispiel zu Stz II.5.5) = (k+)(k+) k(k+) = k k + = + k, k k Stz II.5.7 ( Wurzelkriterium ). Flls es ein N N sowie ein q [0, ) gibt, so dss k x k q für lle k N, dnn konvergiert x k. Beweis. Es ist x k k q, d.h. x k q k, für lle bis uf endlich viele k N erfüllt. Nch dem Mjorntenkriterium (Stz II.5.5) konvergiert x k. Beispiel. Sei k 0 N ungerde. x k := ( ( 3 ) k, k gerde, ) k, k ungerde. x k0 + x k0 = ( k0 + ( ) 3 ( k0 = 3) ) k0 x Somit existiert lim k0 + k x k0 nicht. Ds Quotientenkriterium ist nicht nwendbr. D k x k für lle k N, konvergiert x k nch dem Wurzelkriterium. Stz II.5.8 ( Leibniz 3 -Kriterium ). Sei (x k ) k N R monoton fllend, wobei x k 0 für lle k N, und sei lim k x k = 0. Dnn konvergieren ( ) k x k 3 G. W. Leibniz (646 76) und ( ) k+ x k. 9

30 Beweis. Siehe [Kön04], Abschnitt 6.. Bemerkung.. Demnch konvergiert die lternierende hrmonische Reihe ( ) k+ k = Sie konvergiert ber nicht bsolut, denn ( )k+ divergiert, k = k siehe Beispiel II.5... Achtung! Es kommt uf die Reihenfolge der Summnden n! Summiert mn beispielsweise ( + ) ( ) , so divergiert die Reihe, siehe [For08], 7. Bei bsolut konvergenten Reihen spielt die Reihenfolge der Summtion hingegen keine 8 Rolle. Stz II.5.9 ( Cuchy-Produkt ). Seien x k und y k bsolut konvergente Reihen und sei n c n := x n k y k = x n y 0 + x n y x 0 y n, n N 0. Dnn konvergiert n=0 c n bsolut, und es gilt ( ) ( ) c n = x k y k. n=0 Beweis. Siehe [For08], 8. II.6 Potenzreihen Definition II.6.. Für z R definiere exp(z) := k! zk Exponentilreihe sin(z) := ( ) k zk+ (k+)! cos(z) := ( ) k zk (k)! Sinusreihe Kosinusreihe Bemerkungen.. Die Reihen konvergieren für jedes z R bsolut: 30

31 Exponentilreihe: x k := zk (z R, z 0, fest gewählt) k! z x k+ x = k+ = z k k + 0, k (k+)! z k k! (Stz II..7) Nch dem Quotientenkriterium (Stz II.5.6) konvergiert lso exp(z) bsolut. (Konvergenz für z = 0 ist klr.) Rest ÜA.. exp(0) =, sin(0) = 0, cos(0) =. 3. cos( z) = ( ) k ( z)k (k)! sin( z) =... = sin(z) = ( ) k zk (k)! = cos(z) (ÜA) 4. exp() heißt Eulersche 4 Zhl und wird mit e bezeichnet. Definition II.6.. Für k, n N 0 heißt Lies n über k Binomilkoeffizient. Bemerkung. Es gelten (ÜA) ( ) ( ) ( ) n n n = =, 0 n ( ) ( ) n n =, k n k Psclsches 5 Dreieck: 4 L. Euler ( ) 5 B. Pscl (63 66) ( ) n := k = n! k!(n k)! ( ) n = n, n ( ) ( ) n n + = k k + ( 0 0) ( ) n +. k + ( ) ( ( ) 0 ( ) ) ( ( ) 0 ( ) ( ) ) ( ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 3) ( )

32 Stz II.6.3 ( Binomischer Lehrstz ). Seien n N und, b R. Dnn gilt ( ) n n ( + b) n = n k b k. k Beweis. Beweis durch vollständige Induktion, siehe Litertur. Bemerkung. Für n = erhält mn gerde die erste binomische Formel: ( + b) = ( ) 0 b ( ) b + ( ) b = + b + b. Stz II.6.4. Seien, b R. Dnn gilt exp( + b) = exp() exp(b). Beweis. D die Exponentilreihe exp(z) für jede reelle Zhl z bsolut konvergiert, ist exp() exp(b) nch Stz II.5.9 durch c n gegeben, wobei c n = Also gilt n n k (n k)! bk k! = n! exp() exp(b) = n n=0 n=0 ( ) n n k b k Binomischer Lehrstz = k n! ( + b)n = exp( + b). n! ( + b)n. Folgerungen.. Wegen gilt für lle z R:. Flls z 0 ist, so ist = exp(0) = exp(z + ( z)) = exp(z) exp( z) exp( z) = exp(z). exp(z) = + k! zk > 0. Ist z < 0, so ist z > 0, lso exp( z) > 0, und dmit exp(z) = exp( z) > 0. Insgesmt: exp(z) > 0 für lle z R. 3. Sei n N. exp(n) = exp( ) = exp()... exp() = exp() n = n ml n Fktoren e n. ( e = exp() = exp n ) = exp ( ) n, n lso }{{ n } n ml e n = exp ( ) n. 3

33 Stz II.6.5. Seien, b R. Dnn gelten:. cos( + b) = cos() cos(b) sin() sin(b),. sin( + b) = sin() cos(b) + cos() sin(b). Beweis. Nchrechnen mit Cuchyscher Produktformel. Folgerung. (cos()) + (sin()) Bem. zu Def. II.6. = cos() cos( ) sin() sin( ) Stz II.6.5 = cos( + ( )) = cos(0) =. Definition II.6.6. Seien k R für k N 0 und sei z 0 R. Dnn heißt P (z) := k (z z 0 ) k, z R, Potenzreihe mit dem Entwicklungspunkt z 0 und den Koeffizienten k. Beispiele.. geometrische Reihe z k (z 0 = 0, k = ). Exponentilreihe k! zk (z 0 = 0, k = ) k! 3. Sinusreihe ( ) n zn+ (n+)! n=0 = 0 z 0 +! z + 0 z + ( ) 3! z z 4 + 5! z5 +..., lso z 0 = 0, 0, k gerde, k =, k = 4m + für ein m N k! 0,, k = 4m + 3 für ein m N k! Kosinusreihe ( ) n zn (n)! n=0 =! z0 + 0 z + ( )! z + 0 z 3 + 4! z4 +..., lso z 0 = 0, 0, k ungerde, k =, k = 4m für ein m N k! 0,, k = 4m + für ein m N k! (z + ) k = (z ( )) k z 0 =, k = Die Reihe konvergiert, flls z + < (geometrische Reihe). Stz II.6.7. Sei P (z) = k (z z 0 ) k eine Potenzreihe. Konvergiert P (z ) für ein z R, z z 0, so konvergiert P (z) bsolut für jedes z R mit z z 0 < z z 0. 33

34 Beweis. Konvergiert P (z ), so ist die Folge ( k (z z 0 ) k ) k N0 eine Nullfolge (Stz II.5.4), lso insbesondere beschränkt (Stz II..6). Es existiert lso ein M > 0, so dss k (z z 0 ) k M für lle k N 0. Flls z z 0 < z z 0, so ist q := z z 0 z z 0 < und k (z z 0 ) k = k (z z 0 ) k z z 0 k z Mq. z }{{ 0 } =q k D Mq k konvergiert, folgt die Behuptung us dem Mjorntenkriterium (Stz II.5.5). Definition II.6.8. Sei P (z) = k (z z 0 ) k eine Potenzreihe. Definiere, flls P (z) für lle z R konvergiert, ρ(p ) := sup{ z z 0 : P (z) konvergiert}, sonst. ρ(p ) heißt Konvergenzrdius der Potenzreihe. Bemerkung. P (z) konvergiert bsolut für lle z R mit z z 0 < ρ(p ) und divergiert für lle z R mit z z 0 > ρ(p ). Flls z z 0 = ρ(p ), dnn ist keine llgemeine Aussge möglich, siehe Bsp. 4 unten. Auch ρ(p ) = 0 knn vorkommen, flls P (z) nur für z = z 0 konvergiert. Beispiele.. ρ(exp) =, ρ(sin) =, ρ(cos) =.. P (z) := z k (geometrische Reihe), ρ(p ) =. 3. P (z) := (z + ) k, ρ(p ) =. 4. P (z) := z k k P () divergiert, lso ρ(p ). P ( ) konvergiert, lso ρ(p ). Insgesmt lso ρ(p ) =. Stz II.6.9. Sei P (z) = k (z z 0 ) k eine Potenzreihe. 34

35 . Sei k 0 für lle k N 0. Flls die Folge ( ) k+ k oder lim k+ k k =, dnn ist k N 0 konvergiert lim k+, flls lim k k+ k existiert und 0, k k ρ(p ) =, flls lim k+ k k = 0, 0, flls lim k+ k k =.. Flls die Folge ( k k ) k konvergiert oder lim k k =, dnn k N 0 ist, flls lim k k k k existiert und 0, lim k k ρ(p ) = k, flls lim k k = 0, k 0, flls lim k k =. Beweis.. ÜA k. Fll : C := lim k k existiert und C 0. Sei z z 0 <. C Dnn ist mit Stz II..7 ( ) k k > C z z 0 = lim k z z 0 = lim k z z 0 k k k k = lim k (z z 0 ) k. ( ) k Die Bedingung us dem Wurzelkriterium ist erfüllt, lso konvergiert P (z). Flls z z 0 > C, dnn ist lim k k k (z z 0 ) k >. Also existiert ein N N, so dss k (z z 0 ) k > für lle k N. Die Summnden von P (z) bilden keine Nullfolge, lso divergiert P (z). Somit ist ρ(p ) =. C k Fll : lim k k = 0 Dnn ist ( ) für jedes z R erfüllt, lso konvergiert P (z) nch dem Wurzelkriterium und ρ(p ) =. k Fll 3 : lim k k = Flls z z 0, dnn bildet ( k (z z 0 )) k N keine Nullfolge und P (z) divergiert. P (z 0 ) konvergiert. Somit ρ(p ) = 0. 35

36 II.7 Dezimldrstellung der reellen Zhlen Vorüberlegung: Sei k {0,..., 9} für jedes k N. ( ) k ( ) k D 0 k für lle k N und d 9 ( ) k 0 konvergiert, konvergiert nch dem Mjorntenkriterium uch ( k gegen eine reelle Zhl. 0 ) k Andere Nottion: ±z, Definition II.7.. Ein unendlicher Dezimlbruch ist eine reelle Zhl der Form ( ( ) ) k ± z + k, 0 wobei z N 0 und k {0,..., 9} für jedes k N. Frge: Lässt sich umgekehrt jede reelle Zhl ls unendlicher Dezimlbruch schreiben? Überlegung: Sei x R, x 0. Antwort: J. z := mx{m N 0 : m x} := mx { {0,..., 9} : z + 0 x} { n+ := mx {0,..., 9} : z + n Nch Konstruktion gilt für jedes n N ) k n ( z + k 0 z+ k( 0) k, n Nch Stz II..8 gilt x = z + k ( 0 ) k ( ) } n+ + 0 x n ( ) k ( n x z + k ) 0, n ( ) k. k 0 z+ k( 0) k, n Flls x R, x < 0, dnn ist x > 0. Wie oben beschrieben gibt es dnn z N 0, k {0,..., 9}, k N, so dss x = z + ( k und somit ( ( ) ) k x = z + k. 0 Bemerkung.. Die Dezimldrstellung ist nicht eindeutig, Beispiel, = 0, } ( {{} = ) = 9( 0) k =9 ( 0) k =9 36 ( 0) k =9 0 9= 0. ) k

37 Fordert mn, dss unendlich viele der k von 9 verschieden sind, so ist die Drstellung eindeutig (ohne Beweis).. Ähnlich knn mn zeigen, dss jede reelle Zhl eine Drstellung der Form ( ( ) ) k ± z + k b mit z Z, b N, b und k {0,,... b } besitzt. 37

38 Stetigkeit III. Grundlgen Definition III... Sei D R und f : D R. f heißt stetig im Punkt D, flls für jede konvergente Folge (x n ) D mit lim n x n = gilt: lim n) = n f(). =f(lim n x n) f heißt stetig, flls f in jedem Punkt von D stetig ist. Beispiele.. Sei c R fest gewählt und f : R R, x c. Sei R und (x n ) R konvergiere mit lim n x n =. Dnn ist f(x n ) = c für lle n N, und somit Somit ist f stetig. lim f(x n) = c = f(). n =c. f : R R, x x. Sei R und (x n ) R konvergiere mit lim n x n =. Dnn ist Somit ist f stetig. lim f(x n) = lim x n = = f(). n n =x n 3. f : R R, x x. Sei R und (x n ) R konvergiere mit lim n x n =. Dnn ist Somit ist f stetig. {, x > 0, 4. f : R R, x 0, x 0. Betrchte die Folge ( n lim f(x ÜA 4. n) = lim x n = = f(). n n = x n Ist f stetig in 0? ) R. Es ist limn n ) ( lim f n n = Somit ist f nicht stetig in = f(0). =0 = 0, ber

39 Stz III... Seien D R, D und f, g : D R Funktionen, die in stetig sind. Dnn sind uch die Funktionen f + g : D R, f g : D R, αf : D R für jedes α R stetig in. Ist g() 0, so ist uch die Funktion stetig in. f g : {x D : g(x) 0} R Beweis. Folgt lles us Stz II..7, Beispiel: Flls x n, n, dnn gilt wegen der Stetigkeit von f und g: lim n f(x n ) = f() und lim n g(x n ) = g(). Aus Stz II..7 folgt dnn lim (f + g)(x n) = lim n n (f(x n ) + g(x n )) Stz II..7 = lim f(x n ) + lim g(x n ) n n =f() + g() = (f + g)(). Folgerungen.. Polynomfunktionen, d.h. Funktionen der Form p : R R, x n x n x + 0, wobei n N 0, 0,..., n R, sind stetig.. Alle rtionlen Funktionen, d.h. Funktionen der Form p q : {x R : q(x) 0} R, wobei p und q Polynome sind, sind stetig. p(x) x q(x), Stz III..3. Seien D, E R und f : D R und g : E R Funktionen mit f(d) E. Flls f in D stetig ist und g in f() E stetig ist, dnn ist uch g f : D R in stetig. Beweis. Sei (x n ) D mit lim n x n =. D f stetig ist, gilt lim f(x n) = f(). n Mit Hilfe der Stetigkeit von g folgt dnn lim (g f)(x n) = lim g(f(x n )) g stetig = g( lim f(x n )) = g(f()) = (g f)(). n n n Somit ist g f stetig. 39

40 Stz III..4 ( ε-δ-stetigkeit ). Seien D R, D und f : D R. f ist genu dnn in stetig, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dss für lle x D gilt: Bemerkungen. Flls x < δ, dnn ist f(x) f() < ε.. δ hängt von ε und von b!. ε-δ-stetigkeit in Quntorenschreibweise: ε > 0 δ > 0 x D : ( x < δ = f(x) f() < ε) (III.) Beweis. : (Mn zeigt stetig ε-δ-stetig indem mn nicht ε-δ-stetig nicht stetig zeigt.) Angenommen (III.) gilt nicht, ds heißt: ε > 0 δ > 0 x D : ( x < δ = f(x) f() < ε). Es existiert lso ein ε > 0 so, dss mn zu jedem δ > 0 ein x D findet, so dss x < δ ist und f(x) f() ε. Insbesondere gibt es für jedes n N ein x n D so, dss x n < n und f(x n ) f() ε. Drus folgt, (x n ) konvergiert gegen, ber (f(x n )) konvergiert nicht gegen f(). Also ist f nicht stetig in. : (Zeige: ε-δ-stetig stetig ) Sei ε > 0 beliebig vorgegeben und sei (x n ) D konvergent mit lim n x n =. Nch Vorussetzung existiert ein δ > 0, so dss us x < δ folgt: f(x) f() < ε. (III.) D (x n ) gegen konvergiert, existiert ein N N, so dss für lle n N gilt: x n < δ. Für n N gilt dnn wegen (III.) f(x n ) f() < ε. D ε beliebig gewählt wr, finden wir lso für jedes ε > 0 ein N N, so dss für lle n N gilt: f(x n ) f() < ε. Ds heißt ber gerde, dss (f(x n )) n N gegen f() konvergiert. Definition III..5. Sei D R. Eine Funktion f : D R heißt gleichmäßig stetig, wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dss für lle x, x D gilt: Flls x x < δ, dnn ist f(x) f(x ) < ε. 40

41 Bemerkungen.. δ hängt nur von ε b!. In Quntorenschreibweise: ε > 0 δ > 0 x D x D : ( x x < δ = f(x) f(x ) < ε). 3. Eine gleichmäßig stetige Funktion ist stetig. Beispiele.. id : R R, x x. Sei ε > 0 gegeben. Für δ := ε gilt nun: Flls x x < δ, dnn ist Also ist id gleichmäßig stetig. id(x) id(x ) = x x < δ = ε.. bs : R R, x x. Sei ε > 0 gegeben. Für δ := ε gilt nun: Flls x x < δ, dnn ist x x Also ist bs gleichmäßig stetig. ÜA 3.3 x x < δ = ε. 3. f : (0, ] R, x x. f ist ls rtionle Funktion stetig. Angenommen, f ist gleichmäßig stetig. Dnn gibt es insbesondere zu ε = ein δ > 0, so dss f(x) f(x ) < für lle x, x (0, ] mit x x < δ. Es gibt ein n N, so dss δ >. Es sind, n n n n n = n < δ, ber ( f f n) ( n ) ) = n n = n = ε (0, ] und Stz III..6. Jede uf einem bgeschlossenen Intervll [, b] stetige Funktion f : [, b] R ist gleichmäßig stetig.. Anwendung von (A) Beweis. Angenommen, f ist nicht gleichmäßig stetig, ds heißt: ε > 0 δ > 0 x [, b] x [, b] : ( x x < δ und f(x) f(x ) ε. Es gibt lso ein ε > 0 so, dss zu jedem n N Punkte x n, x n [, b] existieren mit x n x n < n, 4

42 ber f(x n ) f(x n) ε. Nch dem Stz von Bolzno-Weierstrß (Stz II..) besitzt die beschränkte Folge (x n ) n N eine konvergente Teilfolge (x nk ) k N. Definiere x := lim k x nk. Nch Stz II..8 ist x [, b]. Wegen x n k x x n k x nk + x nk x 0, k < 0,k 0, k n k konvergiert uch (x n k ) k N gegen x. D f stetig uf [, b] ist, folgt Dies widerspricht ( ). ( lim f(xnk ) f(x n k k ) ) = f(x ) f(x ) = 0. ( ) III. Der Zwischenwertstz und der Stz vom Mximum und Minimum Stz III.. ( Zwischenwertstz, ZWS ). Seien f : [, b] R stetig und f() < 0 und f(b) > 0 (bzw. f() > 0 und f(b) < 0). Dnn existiert ein p [, b], so dss f(p) = 0. Beweis mit (IP) Beweis.. Fll: f() < 0, f(b) > 0 Betrchte die Intervllschchtelung ([ n, b n ]) n N mit [, b ] := [, b], [ n, m], flls f(m) 0, [ n+, b n+ ] := [m, b n ], flls f(m) < 0, wobei m = ( n + b n ) die Intervllmitte bezeichnet. Dnn gilt für lle n N f( n ) 0 und f(b n ) 0. Sei p die nch dem Intervllschchtelungsprinzip in llen Intervllen liegende Zhl. D lim n = p = lim b n n n ist (siehe Bemerkung zu Stz II..0) und f stetig ist, folgt Somit ist f(p) = 0.. Fll: f() > 0, f(b) < 0 nlog. lim f( n) = f(p) = n n lim f(b n ) nch Stz II..8 0 nch Stz II..8 4

43 Bemerkungen. Flls c R und f() < c < f(b) (bzw. f(b) < c < f(), dnn existiert ein p [, b] mit f(p) = c. (Beweis: Wende den ZWS uf die Funktion g : [, b] R, x f(x) c n.) Definition III... Sei D R. Eine Funktion f : D R heißt beschränkt, flls die Menge f(d) beschränkt ist im Sinne von Definition I.4.9. Bemerkung. Dies ist gleichbedeutend dmit, dss eine Konstnte C existiert, so dss für lle x D gilt: f(x) C. Stz III..3 ( Stz vom Mximum und Minimum ). Sei f : [, b] R stetig. Dnn ist f beschränkt, und es existieren p, q [, b], so dss und f(p) = sup f ([, b]) (= sup{f(x) : x [, b]}) f(q) = inf f ([, b]) (= inf{f(x) : x [, b]}), (ds heißt, f besitzt ein Mximum und ein Minimum.) Beweis. (nur für Beschränktheit nch oben und ds Mximum) Angenommen, f ([, b]) ist nicht nch oben beschränkt. Dnn gibt es zu jedem n N ein x n [, b], so dss f(x n ) n. ( ) D die Folge (x n ) beschränkt ist, gibt es nch dem Stz von Bolzno- Weierstrß (Stz II..) eine konvergente Teilfolge (x nk ) k N mit x := lim k x nk [, b]. D f in x stetig ist, folgt lim k f(x nk ) = f( x). D konvergente Folgen beschränkt sind (Stz II..6), ist die Folge (f(x nk )) k N beschränkt im Widerspruch zu ( ). Somit ist f([, b]) nch oben beschränkt und besitzt nch Stz I.4. ein Supremum; S := sup f([, b]). Es gibt eine Folge (y n ) [, b] mit lim n f(y n ) = S. Nch Stz II.. existiert eine konvergente Teilfolge (y nk ) k N mit p := lim k y nk [, b]. D f stetig ist, folgt f(p) = lim k f(y nk ) = S. Bemerkungen.. Für die Gültigkeit des Stzes ist es entscheidend, dss der Definitionsbereich der Funktion ein bgeschlossenes Intervll ist. Beispiel : f : (0, ] R, x ist stetig, ber nicht beschränkt. x Beispiel : f : (0, ) R, x x ist beschränkt und stetig, nimmt ber weder ds Infimum 0 = inf f((0, )) noch ds Supremum = sup f((0, )) n.. Zusmmen mit dem ZWS folgt, dss stetige Funktionen f : [, b] R bgeschlossene Intervlle [, b] wieder uf bgeschlossene Intervlle [f(q), f(p)] bbilden. 43

44 III.3 Funktionenfolgen und -reihen Definition III.3.. Sei D R und sei f n : D R für jedes n N eine Funktion. (f n ) heißt dnn Funktionenfolge uf D.. Die Folge (f n ) konvergiert punktweise gegen eine Funktion f : D R, flls für jedes x D die reelle Folge (f n (x)) n N R gegen f(x) konvergiert.. Die Folge (f n ) konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion f : D R, flls zu jedem ε > 0 ein N N existiert, so dss für lle x D und lle n N gilt: f n (x) f(x) < ε. Bemerkungen.. Bei gleichmäßiger Konvergenz hängt N nur von ε, nicht von x b.. Aus gleichmäßiger Konvergenz folgt immer punktweise Konvergenz, ber nicht umgekehrt. Beispiel: f n : [0, ] [0, ], x x n ist für jedes n N stetig. Die Folge (f n ) konvergiert punktweise gegen die nicht stetige Funktion f : [0, ] [0, ], 0, x [0, ) x, x =. Wir zeigen, dss ein δ > 0 existiert, so dss für lle x D mit x < δ folgt f() f(x) < ε. Nch Stz III.3. unten knn die Konvergenz nicht gleichmäßig sein. Stz III.3.. Sei D R und f n : D R stetig für jedes n N. Flls die Folge gleichmäßig gegen eine Funktion f : D R konvergiert, dnn ist uch f stetig. Beweis. Sei D und sei ε > 0 beliebig vorgegeben. D (f n ) gleichmäßig gegen f konvergiert, existiert ein N N, so dss für lle x D gilt f N (x) f(x) < ε 3. () D f N stetig in ist, existiert ein δ > 0, so dss f N () f N (x) < ε 3 für lle x D mit x < δ. () Für lle x D mit x < δ gilt nun f() f(x) -Ungl. f() f N () + f N () f N (x) < ε 3, wegen () 44 + f N (x) f(x) < ε. < ε 3, wegen () < ε 3, wegen ()

45 Stz III.3.3. Sei k R für k N 0 und sei z 0 R. Die Potenzreihe P (z) = k (z z 0 ) k hbe den Konvergenzrdius ρ(p ) 0. Dnn ist (flls ρ(p ) ) P : (z 0 ρ(p ), z 0 + ρ(p )) R, z P (z) bzw. (flls ρ(p ) = ) stetig. P : R R, z P (z) Beweis. Sei r (0, ρ(p )). Definiere F : [z 0 r, z 0 + r] R, z k (z z 0 ) k und F n : [z 0 r, z 0 + r] R, n z k (z z 0 ) k. =:f k (z) Klr: Für lle n N ist F n stetig, (d f k stetig für lle k N 0 ). Sei ε > 0 vorgegeben. D k r k nch Stz II.6.7 konvergiert, existiert ein N N, so dss für lle n N gilt n k r k = k r k k r k < ε. ( ) k=n+ Für lle n N und lle z [z 0 r, z 0 + r] ist dnn F (z) F n (z) = k=n+ k (z z 0 ) k (!) k=n+ k (z z 0 ) k k=n+ k r k ( ) < ε. Somit konvergiert (F n ) gleichmäßig gegen F, und F ist nch Stz III.3. stetig. Folgerung. exp : R R, z z k k! sin : R R, z ( ) k zk+ (k+)! cos : R R, z ( ) k zk sind stetige Funktionen. (k)! 45

46 III.4 Umkehrfunktionen Definition III.4.. Seien A und B Mengen. Eine Funktion f : A B heißt injektiv, wenn us f(x ) = f(x ) stets x = x folgt (bzw. äquivlent dzu: wenn us x x stets f(x ) f(x ) folgt.) surjektiv, wenn es für lle y B ein x A gibt mit y = f(x). bijektiv, wenn f sowohl injektiv ls uch surjektiv ist. f besitzt dnn eine Umkehrfunktion oder Inverse f : B A, wobei f (y) = x genu dnn, wenn f(x) = y. Beispiele. f : R R, x 4x Angenommen, f(x ) = f(x ), lso 4x = 4x. Drus folgt x = x und somit f injektiv. Sei y R beliebig. Für x := y gilt f(x) = y. Somit ist f 4 surjektiv. Fzit: f ist injektiv und surjektiv, lso bijektiv. Umkehrfunktion f : R R, x 4 x. f : R R, x x = f() = f( ), ber, lso f nicht injektiv. f(x) = x 0 für lle x R. Für y < 0 existiert lso kein x R, so dss f(x) = y gilt. Somit f nicht surjektiv. Fzit: f ist weder injektiv noch surjektiv. f : R [0, ), x x ist surjektiv, nicht injektiv. f : [0, ) [0, ), x x ist injektiv und surjektiv, lso bijektiv. Umkehrfunktion f : [0, ) [0, ), x x. Definition III.4.. sei I ein Intervll und f : I R. f heißt (streng) monoton wchsend uf I, flls us x, x I mit x < x folgt: f(x ) f(x ) (bzw. f(x ) < f(x )). f heißt (streng) monoton fllend uf I, flls us x, x I mit x < x folgt: f(x ) f(x ) (bzw. f(x ) > f(x )). 46