Analysis I* und II* Prof. Dr. Barbara Niethammer. Abschrift von Jana Bielagk, Leonard Kern, Michael Kreikenbaum, Adrian Petrov

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1 Anlysis I* und II* Prof. Dr. Brbr Niethmmer Abschrift von Jn Bielgk, Leonrd Kern, Michel Kreikenbum, Adrin Petrov Version vom 3. März 2008

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3 Inhltsverzeichnis Ntürliche Zhlen vollständige Induktion 7. Vollständige Induktion Fkultät und Binomilkoeffizient Reelle Zhlen 2 2. Körperxiome für Q und R Anordnungsxiome für Q und R Ds Vollständigkeitsxiom für R Weitere Konsequenzen us dem Vollständigkeitsxiom Überbzählbrkeit von R Die komplexen Zhlen C 2 3. Definitionen Geometrische Interprettion Folgen, Konvergenz Folgen Rechenregeln für Grenzwerte Monotone Folgen Stz von Bolzno-Weierstrß Cuchy-Folgen Reihen Konvergente Reihen Konvergenzkriterien Absolute Konvergenz Umordnung von Reihen Potenzreihen Multipliktion von Reihen Exponentilreihe und weitere Verwndte Der euklidische Rum Der Vektorrum R d Der euklidische Rum R d Konvergenz von Folgen in R d Topologie des R d

4 7 Stetigkeit Vektorräume von Funktionen Beschränkte Funktionen und die Supremumseigenschft Grenzwerte von Funktionen Stetige Funktionen Der Zwischenwertstz Exponentilfunktion & Logrithmus Stetige Funktionen uf kompkten Mengen Gleichmäßige Stetigkeit: Punktweise Konvergenz & ihre Problemtik Gleichmäßige Konvegenz und Stetigeit Geometrische Interprettion Weierstrßscher Approximtionsstz Gleichmäßig konvergente Reihen Sinus und Cosinus (uf R) Umkehrfunktion: Differenzierbre Funktionen Die Ableitung Rechenregeln Mittelwertstz und Folgerungen Anwendungen des Mittelwertstzes Chrkterisierung der Exponentilfunktion Rechnung Fehlerbschätzung bei linerer Interpoltion Konvexität Fundmentle Ungleichungen Eine uf gnz R stetige ber nirgends differenzierbre Funktion Ds eindimensionle Riemnn-Integrl Integrierbre Funktionen Eigenschften des Integrls Mittelwertstz der Integrlrechnung Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Prtielle Integrtion Substitutionsregel Integrtion rtionler Funktionen Uneigentliche Integrle I Uneigentliche Integrle II Riemnnsches Integrlkriterium Weitere Vertuschungssätze

5 0 Lokle Approximtion von Funktionen Approximtion mit Tylorpolynomen Verllgemeinerter MWS der Integrlrechnung Tylor-Reihen Die Logrithmusreihe und Abelscher Grenzwertstz Elemente der Topologie 27. Metrische und normierte Räume Konvergenz in metrischen Räumen Offene und bgeschlossene Mengen Stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen Linere stetige Abbildungen, Opertornorm Kompkte Räume Wegzusmmenhängende und konvexe Mengen Differentilrechnung für Funktionen mehrerer Vribler Kurven in R n Prtielle Ableitungen Höhere prtielle Ableitungen und Beispiele von Differentilopertoren (Totle) Differenzierbrkeit Mittelwertstz und Schrnkenstz Approximtion durch Tylorpolynome Lokle Extrem und die Bedeutung der Hesse-Mtrix Konvexe Funktionen Bnchscher Fixpunktstz, lokler Umkehrstz und Stz über implizite Funktionen Bnchscher Fixpunktstz Anwendung I: Nullstellenbestimmung Gewöhnliche Differentilgleichungen Lokler Umkehrstz Stz über implizite Funktionen Motivtion: Extremwertufgben unter Nebenbedingungen Untermnnigfltigkeiten im R n Extrem unter Nebenbedingungen Grundlgen der Vritionsrechnung Motivtion: Extrem von Funktionlen Stetigkeit Differentition prmeterbhängiger Integrle Potentile von Vektorfeldern Ds Fundmentllemm der Vritionsrechnung Euler-Lgrnge Gleichung der (eindimensionlen) Vritionsrechnung Ds Hmiltonsche Prinzip der klssischen (Lgrnge) Mechnik

6 Lizenz Dieses Werk ist unter einem Cretive Commons Nmensnennung-Weitergbe unter gleichen Bedingungen 2.0 Deutschlnd Lizenzvertrg lizenziert. Um die Lizenz nzusehen, gehen Sie bitte zu oder schicken Sie einen Brief n Cretive Commons, 7 Second Street, Suite 300, Sn Frncisco, Cliforni 9405, USA. Dnke Dnke n Henner Gerdes, Len Klleske, Levin Keller und Torlf Niebuhr für erste Korrekturen m Skript. Dnke n die Mitrbeitenden des Lehrstuhls für ngewndte Anlysis unter Koordintion Michel Herrmnns. Sie hben ds gnze Skript vollständig durchgesehen und korrigiert. 6

7 Ntürliche Zhlen vollständige Induktion In diesem Kpitel verwenden wir die folgenden Mengen: N = {, 2, 3,...} N 0 = {0} N. Vollständige Induktion Z = N 0 { x x N} { } p Q = p, q Z, q 0 q Jedem n N sei eine Aussge A(n) zugeordnet. Es existiert ds Beweisprinzip der vollständigen Induktion: Proposition.. (vollständige Induktion). Wenn die beiden folgenden Aussgen whr sind, dnn ist die Aussge A(n) für lle n N whr.. (Induktionsnfng) Die Aussge A() ist whr. 2. (Induktionsschritt) Wenn A(n) whr ist (Induktionsnnhme), dnn ist uch A(n+ ) whr. Beispiele () Für lle n N gilt: n = n i = i= n(n + ) 2 Beweis Es sind zwei Aussgen zu beweisen. I.A. (n = ): = 2 2 = Die Mengen R und C werden in den Kpiteln 2 und 3 eingeführt 7

8 I.S. (n n + ): Es gilt: n+ i = i= = = n i + (n + ) i= n(n + ) + (n + ) = 2 (n + )(n + 2) 2 n(n + ) + 2(n + ) 2 Dmit sind beide Aussgen gezeigt und der Beweis ist erbrcht. Ein elegnterer Beweis hierfür wird Guß zugeschrieben. Addiert mn nämlich mit n, 2 mit n,..., i mit n i +,..., n mit, so ergibt sich jedes Ml die Summe n + und zwr genu n-ml. Es ist lso 2( n) = n(n + ) Dividiert mn nun uf beiden Seiten durch 2, so ergibt sich die obige Formel. (2) Sei x, dnn gilt: + x + x x n = n i=0 x i = xn+ x Beweis Es sind wieder Induktionsnfng und -schritt zu verifizieren. I.A. (n = ): + x = x2 x I.S. (n n + ): Es gilt: = (+x)( x) x = + x n+ x i = i=0 n x i + x n+ i=0 = xn+ x + x ( x n+ ) Ind. Annhme x = xn+ + x n+ x n+2 x = xn+2 x Dmit sind Anfng und Schritt der Induktion gezeigt und der Beweis ist erbrcht. Korollr..2 (nheliegende Vrition). Mnchml ist es sinnvoll, ls Induktionsnfng nicht n = zu wählen, sondern n = k 0 Z. Dnn ist die Aussge A(k) für lle k k 0 whr, wenn nlog zur vollständigen Induktion die folgenden Aussgen whr sind: 8

9 . (Induktionsnfng) Die Aussge A (k 0 ) ist whr. 2. (Induktionsschritt) Wenn A(k) whr ist (Induktionsnnhme), dnn ist uch A(k+ ) whr. Beispiel Für lle n 5 gilt: 2 n > n 2 Beweis Wiederum sind Anfng und Schritt der Induktion zu zeigen, llerdings mit verschobenem Anfng: I.A. (n = 5): 2 5 = 32 > 25 = 5 2 I.S. (n n + ): 2 n+ = 2 2 n > 2 (n 2) > n 2 + 2n + = (n + ) 2 Ds Prinzip der vollständigen Induktion knn nicht nur für Beweise, sondern uch zur Konstruktion von Abbildungen genutzt werden. Korollr..3 (rekursive Konstruktion durch vollständige Induktion). Jedem n N soll eine genu eine Zhl f(n) zugeordnet werden. Dzu muss. der Wert f() festgelegt werden und 2. eine Vorschrift ngegeben werden, um us f(),..., f(n) den Wert f(n + ) zu erhlten. Beispiele () Zu einem gewählten x sei f() := x f(n + ) := x f(n) Dnn gilt: f(n) = x n. (2) (Fiboncci-Zhlen). Definiert mn f für n 0 durch: f(0) = 0, f() =, f(n + 2) = f(n) + f(n + ), so nennt mn f(n) die n-te Fibonccizhl. 9

10 .2 Fkultät und Binomilkoeffizient Definition.2. (Fkultät). Sei n N 0. Dnn ist die Fkultät von n definiert durch: Dmit gilt uch: 0! := (n + )! := (n + ) n! n! := Proposition.2.2 (Kombintorische Interprettion). n! ist die Anzhl der möglichen Anordnungen von n verschiedenen Elementen einer Menge. Beweis D die Fkultät rekursiv definiert ist, bietet es sich n, den Beweis mittels vollständiger Induktion zu führen. n i I.A. (n = ): Es gibt genu eine Möglichkeit, ein Element nzuordnen. (trivil) I.S. (n n+): Ht mn bereits n Elemente ngeordnet (n! Möglichkeiten), so bleiben noch n + Möglichkeiten, ds letzte Element einzuordnen (von der ersten bis zur letzen Stelle). Insgesmt bestehen lso (n + ) n! Möglichkeiten, n + Elemente nzuordnen, ws ber gerde (n + )! ist. Definition.2.3 (Binomilkoeffizient). Sei n N und k N 0. Dnn ist der Binomilkoeffizient ( n k) definiert ls: ( ) Proposition n k := i= n! k!(n k)!.2.4 (Rekursionsformel). Sei n N und k N 0. Dnnn gilt: ( ) ( ) ( ) n n n + + = k k + k + Beweis Hier wird unterschieden, ob k = 0 oder k > 0 ist. Sei zunächst k = 0. Dnn gilt: ( ) ( ) ( ) n n n + + = + n = 0 Für k = 0 ist die Behuptung lso gezeigt. Sei nun k > 0. Dnn gilt: ( ) ( ) n n n(n )... (n k + ) n(n )... (n k) + = + k k + k! (k + )! = (n(n )... (n k + )(k + + n k)) (k + )! (n + )n(n )... (n k + ) = (k + )! ( ) n + = k + 0

11 Proposition.2.5 (Kombintorische Interprettion). Jede n-elementige Menge ht genu ( n k) verschiedene Teilmengen mit k Elementen. Beweis Sei zunächst wieder k = 0. Dnn ist ( n 0) = und in der Tt gibt es genu eine Möglichkeit, eine nullelementige Teilmenge us einer n-elementigen Menge zu bilden, nämlich die leere Menge. Flls k > 0 ist, ht mn n Möglichkeiten, ein Element heruszusuchen. Für ds zweite Element bleiben noch n Möglichkeiten usw. Für ds k-te Element gibt es genu n k + Auswhlmöglichkeiten. D ber die Anordnung der Elemente irrelevnt ist und es (nch Proposition.2.2) k! verschiedene Anordnungen von k Elementen gibt, existieren genu n(n )... (n k + ) k! = ( ) n k Möglichkeiten, eine k-elementige Teilmenge us einer n-elementigen Menge zu bilden. Proposition Dnn gilt.2.6 (Binomischer Lehrstz). Seien n N 0 und, b beliebige Zhlen. ( + b) n = n k=0 ( ) n k b n k k Beweis Für den Fll, dß n = 0 ist, gilt: Flls hingegen n > 0 ist, gilt: ( + b) 0 = = ( ) 0 0 b 0 0 ( + b) n = ( + b)( + b)... ( + b) }{{} n Ml In diesem Produkt gibt es genu ( n k) Möglichkeiten, k Ml und (n k) Ml b zu erhlten, womit sich die obige Summenformel ergibt.

12 2 Reelle Zhlen Motivtion Die ntürlichen Zhlen (N) sind zwr bezüglich der Addition bgeschlossen, nicht jedoch bezüglich der Subtrktion. Erweitert mn sie uf die gnzen Zhlen (Z), so gewinnt mn zwr Abgeschlossenheit bezüglich der Subtrktion und Multipliktion, nicht jedoch bezüglich der Division. Selbst die nächste Erweiterung uf die rtionlen Zhlen (Q), welche bezüglich der Grundrechenrten bgeschlossen sind, lssen noch Wünsche offen. Es gilt nämlich die Behuptung: Die Länge der Digonlen im Einheitsqudrt ( 2) ist irrtionl, d.h. 2 Q. Beweis Dieser Beweis wird m besten durch Widerspruch geführt. Nehmen wir lso n, es wäre 2 Q. Dnn müsste es teilerfremde Zhlen p, q Z geben, so dß 2 ls gekürzter Bruch die Drstellung p q hätte. Dmit würde ber uch gelten: 2 = p2 q 2 p2 = 2q 2 D p 2 lso eine gerde Zhl wäre, wäre uch p = 2k gerde (mit geeignetem k Z) und dmit: (2k) 2 = 4k 2 = 2q 2 q 2 = 2k 2 Also wäre uch q 2 und somit q gerde, ws ber der Annhme widerspricht, dß p und q teilerfremd sind. Offenbr gibt es lso Zhlen, die noch nicht einml in Q enthlten sind. Eine ndere Sichtweise uf dieses Problem ist die folgende. Es sei die Menge M definiert durch: { M := r Q r } 2 Frge: Existiert ein mximles (größtes) Element in M? Antwort: Nein. Wählt mn nämlich zu einem beliebigen q N ds größte p N, so dß gilt: p q 2, dnn gilt nch Konstruktion uch: p+ q > 2. Die Zhl 2 liegt lso in einem Intervll der Länge q. Auf diese Weise kommt mn mit wchsendem q zwr beliebig nhe n die 2 hern, findet ber immer noch eine rtionle Zhl, die noch näher drn liegt. Die Menge der reellen Zhlen R ist nun gegenüber den rtionle Zhlen ddurch usgezeichnet, dß jede beschränkte Teilmenge in R ein Supremum in R besitzt. Auf den Begriff des Supremums wird später noch genuer eingegngen (2.3.2) 2

13 2. Körperxiome für Q und R Wir nehmen im Folgenden die Existenz der reellen Zhlen n und postulieren gültige Aussgen (Axiome), us denen wir dnn weitere Eigenschften bleiten. Auf R sind folgende Opertionen definiert: + (Addition): R R R (Multipliktion): R R R Mit diesen Opertionen erfüllt R die Körperxiome: (K) Kommuttivität. Für beliebige, b R gilt: + b = b + b = b (K2) Assozitivität. Für beliebige, b, c R gilt: ( + b) + c = + (b + c) ( b) c = (b c) (K3) Distributivität. Für beliebige, b, c R gilt: (b + c) = ( b) + ( c) (K4) Existenz eines neutrlen Elements bezüglich Addition und Mulitpliktion. Es existieren die Zhlen und 0 R, so dß für jede Zhl R gilt: 0 + = = (K5) Existenz von inversen Elementen bezüglich Addition und Multipliktion (0 usgenommen). Zu jeder Zhl R existiert eine Zhl R und flls 0 ist eine Zhl so dß gilt: + ( ) = 0 ( ) = Diese Axiome sind zusmmen mit den im Folgenden vorgestellten Anordnungsxiomen und dem Vollständigkeitsxiom lles, ws wir für die reellen Zhlen bruchen. Insbesondere können wir lle weiteren Eigenschften von R drus folgern. Beispiel (Lösungen einfcher Gleichungen) 3

14 i) Für lle reellen Zhlen, b existiert genu eine reelle Zhl x, so dß die Gleichung + x = b erfüllt ist. In Symbolen:, b R!x R : + x = b Beweis Sei x = b. Dnn ist x Lösung der Gleichung, denn es gilt: + x = + b = (K) + b = K5 0 + b = K4 b Die Eindeutigkeit von x ist uch gegeben, denn gäbe es zwei Zhlen x, x R, welche die obige Gleichung erfüllen, so würde gelten: + x = b = + x + x = + x + x = + x (K) + x = + x (K5),(K4) x = x Es sind lso lle Zhlen, die die Gleichung erfüllen, gleich, d.h. es gibt nur eine solche Zhl. ii) Es gilt: R \ {0}, b R!x R : x = b Beweis Anlog zu i). 2.2 Anordnungsxiome für Q und R Es gibt eine Teilmenge R + von R (die positiven Zhlen), so dß für lle R + gilt: > 0. Es gelten die Axiome: A (Trichotomie) Für lle R gilt genu eine der folgenden Aussgen:. > 0 2. = 0 3. < 0 A2 Für lle positiven reellen Zhlen, b gilt: + b > 0 b > 0 Bezeichnungen Eine reelle Zhl heißt negtiv, flls R + gilt. Wir schreiben ußerdem > b, flls b > 0 und b, flls b > 0 oder = b. 4

15 Korollr 2.2. (Folgerungen). Es gilt:. Für, b R gilt genu eine der folgenden Aussgen: Dies folgt us (A) mit b. > b = b < b 2. Wenn > b und b > c, dnn ist uch > c (Trnsitivität). Dies folgt us (A2) mit b bzw. b c. 3. Wenn > b ist, dnn gilt: i) + c > b + c für lle c R, weil > b b > 0 ( + c) (b + c) > 0 + c > b + c ii) c > bc für lle c R +, weil > b b > 0 c( b) > 0 c cb > 0 c > bc iii) < b, flls b > 0. D mit b > 0 uch > 0 gilt, ist uch b > 0. Es gilt lso: > b b > b b b > 4. Flls zusätzlich α > β gilt, so folgt + α > b + β, denn es gilt: + α > + β > b + β Ist b > 0 und β > 0, so folgt uch α > bβ. (nlog) 5. Flls 0 ist 2 > 0. Proposition (Bernoulli-Ungleichung). Sei x R, x 0, x >, n N und n 2. Dnn gilt: ( + x) n > + nx Beweis D die Aussge von n N bhängt, bietet sich ein Beweis durch vollständige Induktion n. I.A. (n = 2): + 2x + x 2 > + 2x, weil j x 2 > 0. I.S. (n n + ): Es gilt: ( + x) n+ = ( + x)( + x) n > ( + x)( + nx) = + x + nx + nx 2 = + (n + )x + nx 2 > + (n + )x Insbesondere ist = 2 > 0 5

16 Definition (Absolutbetrg). Zu x R ist der Absolutbetrg von x definiert durch: { x : x 0 x := x : x < 0 Lemm (Eigenschften des Absolutbetrges). Seien, b R. Dnn gilt: i) b = b ii) + b + b (Dreiecksungleichung) iii) b b Beweis (zu iii) ) Es gilt: Drus folgt: = b + b b + b b b b b = b 2.3 Ds Vollständigkeitsxiom für R Definition 2.3. (Beschränkte Menge; untere, obere Schrnke). Eine nicht-leere Teilmenge M R heißt nch oben (bzw. unten) beschränkt, flls es ein k R gibt, so dß für lle x M gilt: x k (bzw. x k). Dieses k heißt obere (bzw. untere) Schrnke von M. Beispiel Sei M folgendermßen definiert: M := { n } n N Dnn ist M nch oben beschränkt durch lle Zhlen und nch unten durch lle Zhlen 0. Ds Supremum von M ist dmit, ds Infimum ist 0. Definition (Supremum, Infimum). Sei M R nicht leer. Dnn heißt die kleinste obere Schrnke Supremum von M und größte untere Schrnke Infimum von M. Bemerkungen Supremum und Infimum müssen nicht in M enthlten sein. Flls M nicht nch oben (bzw. unten) beschränkt ist, schreiben wir sup M = (bzw. inf M = ). Proposition (Eigenschften des Supremums ). Sei M R, M. Es gilt: Diese Eigenschften lssen sich nlog für ds Infimum zeigen. 6

17 ) Flls sup M <, dnn gilt: ε > 0 x M : x > sup M ε b) Flls sup M =, dnn gilt: Beweis Sei s := sup M. k R x M : x > k ) Sei lso s <. Angenommen, es gäbe ein ε > 0, so dß für lle x M gilt: x s ε. Dnn wäre ber uch s ε obere Schrnke, ws der Ttsche, dß s ds Supremum von M ist, widerspricht. Ein solches ε knn lso nicht existieren. b) Die Aussge folgt unmittelbr us der Definition des Supremums. Definition (Minimum und Mximum). Flls ds Supremum von M in M liegt, nennen wir es Mximum von M und schreiben: mx M := sup M Flls ds Infimum von M in M liegt, nennen wir es Minimum von M und schreiben: min M := inf M Beispiel (Fortsetzung) Sei M wie im obigen Beispiel gegeben. Dnn ist sup M =, ber wegen M existiert kein Mximum von M. D die 0 ber in M enthlten ist, gilt: inf M = min M = 0. Dmit können wir ds Vollständigkeitsxiom formulieren: (V) Jede nicht leere, nch oben beschränkte Teilmenge M in R besitzt eine kleinste obere Schrnke (Supremum). Gleichbedeutend mit dem Vollständigkeitsxiom ist ds Intervllschchtelungsprinzip, ds wir im Folgenden einführen werden. Wir beginnen mit einer Definition (Intervll). Seien, b R und < b. Dnn ist ds bgeschlossene Intervll [, b] definiert durch: Ds offene Intervll (, b) ist definiert ls: [, b] := {x R x b} (, b) := {x R < x < b} Außerdem sind die hlboffenen Intervlle (, b] und [, b) folgendermßen definiert: (, b] := {x R < x b} [, b) := {x R x < b} Die Länge jedes dieser Intervlle wird mit b bezeichnet. Ds Vollständigkeitsxiom gilt in R, ber nicht in Q. 7

18 Dmit lässt sich der Begriff der Intervllschchtelung definieren: Definition (Intervllschchtelung). Seien I, I 2, I 3,... bgeschlossene Intervlle, wobei I n die Länge I n ht. Dnn heißt die Folge (I n ) Intervllschchtelung, flls ) I n+ I n gilt für lle n N b) I n 0, d.h.: ε > 0 n 0 N : I n0 < ε Proposition (Intervllschchtelungsprinzip). Zu jeder Intervllschchtelung (I n ) existiert eine Zhl x R, so dß gilt: x n I n Beweis Sei I n = [ n, b n ] mit 2... n... b n... b 2 b. Definiert mn nun die Menge M wie folgt: M := { n n N} so ist M nicht leer und jedes b n ist obere Schrnke von M (insbesondere ist M beschränkt). Nch (V) existiert eine reelle Zhl s, die ds Supremum von M ist. Dieses s ist nch Konstruktion größer ls jedes n und kleiner ls jedes b n, es gilt lso: n s b n n N Offenbr liegt s in jedem Intervll I n und dmit gilt uch: s n I n Die gesuchte Zhl existiert lso in der Tt. Bemerkung (V) induziert lso ds Intervllschchtelungsprinzip. D die Umkehrung ebenflls gilt, sind die beiden lso äquivlente Beschreibungen für die Vollständigkeit von R. 2.4 Weitere Konsequenzen us dem Vollständigkeitsxiom Proposition 2.4. (Archimedes). Die Menge der ntürlichen Zhlen N R ist nicht nch oben beschränkt, d.h. k R n N : n > k. Diese Annhme knn gemcht werden, d es sich bei (I n) j um eine Intervllschchtelung hndelt. 8

19 Beweis Angenommen, N wäre nch oben beschränkt, dnn gäbe nch (V) es eine Zhl s := sup N <. Nch Definition dürfte dnn s keine obere Schrnke von N sein, es gäbe lso ein n N mit n > s. Dnn wäre ber n + > s, ws der Annhme, dß s ds Supremum von N ist, zuwiderläuft. Proposition (Existenz von Wurzeln). Zu jedem c R mit c 0 existiert genu ein x R mit x 0, ds die Gleichung x 2 = c erfüllt. In Formeln: c R + 0!x R + 0 : x 2 = c Beweis Es sind Eindeutigkeit und Existenz von x zu zeigen. Eindeutigkeit: Seien x und x 2 zwei Zhlen mit der Eigenschft x 2 = c = x2 2. Dnn gilt: 0 = x 2 x 2 2 = (x + x 2 )(x x 2 ) Ein Produkt ist genu dnn Null, wenn mindestens einer der Fktoren Null ist. Es muss lso x = x 2 = 0 oder x = x 2 gelten, insbesondere muss lso x = x 2 sein. Es sind demnch lle Zhlen x, die die Gleichung x 2 = c erfüllen, gleich (es gibt lso mximl eine). Existenz: Die Menge M sei definiert durch: M := { z R + 0 z2 c } Dnn gilt: ) M, denn 0 M b) M ht die obere Schrnke c +, denn es gilt: (c + ) 2 2c + > c z 2 c) Sei x := sup M. Dnn erfüllt x die Gleichung x 2 = c, denn i) Angenommen, x 2 < c, dnn gäbe es ein ε > 0, so dß (x + ε) 2 < c. Dies widerspräche der Annhme, dß x ds Supremum von M ist. ii) Angenommen, x 2 > c, dnn gäbe es ein ε > 0, so dß (x ε) 2 > c. Dmit wäre ber für lle z M x ε > z. Dies widerspräche der Annhme, dß x ds Supremum (die kleinste obere Schrnke) von M ist. D x 2 weder größer, noch kleiner ls c ist, muss nch (A) gelten: x 2 = c. Dmit sind Existenz und Eindeutigkeit von x gezeigt. Bemerkung Der obige Stz ist nicht konstruktiv. Später werden wir Berechnungsverfhren und einen elegnteren Beweis kennenlernen. Proposition (n-te Wurzeln). Für jedes c R + 0 genu ein x R + 0, ds die Gleichung xn = c erfüllt. Beweis Übungsufgbe. n zum Beispiel ε = min zum Beispiel ε = min, c x2 2x+ n x 2 c 2x, x 2 o o und für lle n N existiert 9

20 2.5 Überbzählbrkeit von R Definition 2.5. (Abzählbrkeit). Eine Menge M heißt bzählbr, wenn es eine bijektive Abbildung : N M gibt oder M nur endlich viele Elemente besitzt. Flls eine solche Bijektion nicht existiert, heißt M überbzählbr. Proposition (Cntor). R ist überbzählbr. Beweis Wir führen diesen Beweis durch Widerspruch und nehmen dzu n, es gäbe eine Bijektion, die jeder ntürlichen Zhl n eine reelle Zhl x n zuordnet. Außerdem zeigen wir, dß bereits die [0, ] R überbzählbr ist. Dzu konstruieren wir eine Intervllschchtelung, bei der wir im ersten Schritt I uf eines der Intervlle [ 0, 3], [ 3, 2 3], [ 2 3, ] setzen, ds x nicht enthält. Als nächstes unterteilen wir I wiederum in drei Teile und setzen I 2 uf dsjenige Intervll, ds x 2 nicht enthält etc. Auf diese Weise enthält I n keine der Zhlen x,..., x n. Nch dem Intervllschchtelungsprinzip existiert eine reelle Zhl x mit x n I n. Gemäß der Annhme existiert ein m N mit x m = x. Drus folgt: x m n I n I m D ber die letzte Inklusion der Konstruktion widerspricht, knn ein solches m nicht existieren. 20

21 3 Die komplexen Zhlen C Motivtion Trotz der Vollständigkeit von R existiert kein x R, ds die Gleichung x 2 = erfüllt. Es gilt lso, einen Erweiterungskörper zu konstruieren, so dß die obige Gleichung in diesem Körper erfüllbr ist. Dzu definieren wir uns die Zhl i C, für die gelte i 2 =. Seien nun u, v, x, y R. Dnn liegt x + y i in C und wir definieren folgende Addition und Multipliktion: (A ) (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v) (M ) (x + iy) (u + iv) = ux + i(yu + xv) yv Dmit ist die Menge C bgeschlossen und isomorph zum R Definitionen Definition 3... Eine komplexe Zhl z ist ein Pr (x, y) des R 2. Wir setzen folgende Opertionen ls Addition und Multipliktion fest: (A) (x, y) + (u, v) := (x + u, y + v) (M) (x, y) (u, v) := (xu yv, xv + yu) Proposition C ist zusmmen mit der Addition (A) und der Multipliktion (M) ein Körper. Die neutrlen Elemente sind (0, 0) bezüglich der Addition und (, 0) bezüglich der Multipliktion. Zu einer komplexen Zhl z = (x, y) ist ds dditiv Inverse z gegeben durch: z = ( x, y) und ds multipliktiv Inverse z durch: z = ( x y, ). x 2 +y 2 x 2 +y 2 Beweis Es sind die Körperxiome (K) bis (K5) nchzurechnen (Übungsufgbe). Bemerkungen zu C. C knn nicht ngeordnet werden ( Übungsufgbe). R ist Unterkörper von C; zu jeder reellen Zhl r ist ds Pr (r, 0) entsprechende komplexe Zhl. Es ist i = (0, ), denn es gilt: i heißt imginäre Einheit Es ist lso x, y R i 2 = (0, ) 2 = (0, )(0, ) = (0 0, 0 + 0) = (, 0) 2

22 Wegen (x, y) = (x, 0) + (0, )(y, 0) beschreiben (x, y) und x + iy dieselbe komplexe Zhl. Bezeichnungen Wir führen folgende Bezeichnungen ein: Zu einer komplexen Zhl z = (x, y) = x + iy heißt x R Relteil von z (R(z)) und y R Imginärteil von z (I(z)). Die Zhl z := (x, y) heißt komplex konjugierte zu z. Dmit gilt: z w = z w und z + w = z + w. Der Betrg einer komplexen Zhl z ist definiert durch: z := x 2 + y 2 = z z Proposition ) 0 = 0 und z > 0 für z 0 b) z = z c) R(z) z und I(z) z d) zw = z w e) z + w z + w Beweis Die Behuptungen ) bis c) folgen sofort us den Definitionen. d) Es gilt: zw 2 = zw zw = zwzw = z 2 w 2 = ( z w ) 2 e) Es gilt: z + w 2 = (z + w)(z + w) = (z + w) (z + w) = z 2 + w 2 + zw + zw = z 2 + w 2 + zw + zw = z 2 + w 2 + 2R (zw) z 2 + w R (zw) z 2 + w zw = z 2 + w z w = ( z + w ) 2 22

23 3.2 Geometrische Interprettion Geometrisch werden die komplexen Zhlen ls Punkte in der Gußschen Zhlenebene drgestellt. Die zugehörigen Koordinten sind dbei Relteil (Abszisse) und Imginärteil (Ordinte). Die Addition zweier komplexer Zhlen entspricht der Vektorddition. Die Multipliktion vernschulicht mn sich m Besten, indem mn die zu multiplizierenden Zhlen in Polrkoordinten drstellt. Dnn werden nämlich die Rdien multipliziert und die Winkel ddiert, um ds Produkt zu erhlten. 23

24 4 Folgen, Konvergenz 4. Folgen Definition 4.. (Folge). Eine Folge komplexer Zhlen ist eine Abbildung f : N C. Schreibweisen: f(n) =: n Folge: ( n ) n N oder kurz: ( n ) Definition 4..2 (Konvergenz). Eine Folge ( n ) C heißt konvergent, flls es C gibt, so dß gilt: ε > 0 n 0 N n > n 0 : n < ε (Für lle ε existiert ein n 0, so dß für lle n > n 0 der Abstnd von n zu n0 kleiner ls ε wird.) Bemerkungen () (flls diese Zhl existiert) heißt Grenzwert (Limes) der Folge ( n ). (2) Schreibweisen: lim n = oder n n (3) Im Allgemeinen wird n 0 von ε bhängen. (4) Flls = 0 gilt, heißt ( n ) Nullfolge. Bezeichnung Für lle C und ε > 0 definieren wir die offene ε-kugel (bzw. - Umgebung) um folgendermßen: B ε () := { z C z < ε } Definition 4..3 (fst lle). Wir sprechen von fst llen Elementen einer Folge, wenn b einem bestimmten Index n 0 lle Elemente gemeint sind: n 0 n > n 0. Bemerkung ( n ) konvergiert gegen C genu dnn, wenn jede ε-umgebung von fst lle Elemente von n enthält. Beispiele () Sei n := n s wobei s Q >0. Es gilt: lim n n = 0. 24

25 Beweis Sei ε > 0 gegeben, dnn wählen wir n 0 N so, dß gilt: n 0 >. Mit n > n 0 gilt dnn: 0 n = n = n s < n s 0 (2) Sei n := b n mit b R >0. Dnn gilt: lim n n =. Beweis Flls b ist, setzen wir x n := + b n. Dmit ergibt sich: b = (x n + ) n + nx n und dmit 0 x n b n. Sei nun ε > 0 beliebig, dnn wählen wir n 0 so, dß b n < ε. Für n > n 0 gilt dnn: b n = x n b n b < ε Für den Fll b < zeichnen wir hier zunächst nur den Weg vor. Die dzugehörigen Beweise folgen später. Es gilt nämlich: lim n b n = lim ( n ) n = b (3) Sei q C mit q <. Dnn ist lim n q n = 0. n 0 < ε lim n ( b ) n = Beweis Sei x = q > 0. Dnn gilt (Bernoulli-Ungleichung): q n = ( + x)n + nx Zu beliebigem ε > 0 wählen wir n 0 so, dß gilt: ( ) n 0 > ε x + n 0x > ε Sei nun n > n 0. Dmit gilt: 0 q n = q n < ε (4) Mit n := nk z n, wobei k N und z C liegen und z > ist, gilt: Beweis Übungsufgbe. lim n = 0 n Bezeichnung Jede Folge, die nicht konvergiert bezeichnen wir ls divergent. ε s 25

26 Proposition Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt. Beweis Sei ( n ) eine Folge mit lim n n = und lim n n = ã. Nehmen wir nun n, es gelte ã. Wir wählen ε := 3 ã > 0. Auf Grund der Konvergenz von ( n) gelten die folgenden Aussgen: Sei nun n mx {n, n 0 }, dnn gilt: n 0 N n > n 0 n > 0 ñ 0 N n > ñ 0 ã n > 0 0 < 3ε = ã n + ã n < 2ε Dmit gilt insbesondere: 0 3ε 2ε, ws offensichtlich widersprüchlich ist. Die obige Annhme muss lso flsch gewesen sein und es muss gelten = ã. Definition 4..5 (Beschränktheit). Eine Folge komplexer Zhlen heißt beschränkt, flls es ein M > 0 gibt, so dß n N : ( n ) M gilt. Proposition 4..6 (Konvergente Folgen sind beschränkt.). Jede konvergente Folge ist beschränkt. Die Umkehrung gilt im llgemeinen nicht. Beweis Sei = lim n n. Wir wählen n 0 N so, dß für lle n > n 0 gilt: n <. Dnn gilt für n > n 0 : Dmit gilt für lle n N: n = n + n + + n mx { +,,..., n0 } }{{} =:M 4.2 Rechenregeln für Grenzwerte Proposition Seien ( n ), (b n ) Folgen mit n, b n b. Dnn gilt: Beweis i) n + b n + b ii) n b n b iii) n b n b, flls b 0. 26

27 i) Sei ε > 0 gegeben. Dnn wählen wir n und n b so, dß gilt: n > n n < ε 2 Dnn gilt für lle n > mx {n, n b }: n > n b b b n < ε 2 ( n + b n ) ( + b) = n + b n b n + b n b 2 ε 2 = ε Dmit ist die Konvergenz gezeigt. ii) D ( n ) konvergiert, existiert ein M R mit M n für lle n N. Sei nun zu beliebigem ε > 0 n so gewählt, dß für lle n > n gilt: n ε 2b. Außerdem wählen wir (zu demselben ε) n b so, dß für lle n > n b gilt: b n b ε 2M. Dmit gilt für lle n > mx{n, n b }: n b n b = n b n + n b + b n b n (b n b) + b ( n ) Mit den obigen Vorussetzungen gilt dnn: ε n (b n b) + b ( n ) n + b ε = n ε 2M 2b M 2 + ε 2 ε iii) Zu zeigen ist nur b n b, der Rest folgt mit dem Obigen. D (b n) konvergiert, existiert ein M, so dß für lle n N gilt: b n M. Nun wählen wir ein n 0 so, dß für lle n > n 0 gilt: b n b M b ε. Dmit gilt: b n b = b b n bb n M b ε ε bb n Proposition Aus n folgt: i) n ii) n iii) R ( n ) R() iv) I ( n ) I() Beweis Folgt us den Definitionen und steht im Königsberger. Proposition (Vergleich reeller Folgen). Seien ( n ), (b n ) reelle Folgen mit n und b n b. Flls n b n für lle n N gilt, dnn gilt uch b. Ds geht wegen der Konvergenz von ( n) und (b n). 27

28 Beweis D ( n ) und (b n ) konvergieren, existiert zu jedem ε > 0 ein n 0 N so, dß für lle n > n 0 gilt: n < ε und b n b < ε. Dmit gilt: ε < n b n < b + ε b < 2ε b Bemerkung Aus n < b n folgt im llgemeinen nicht < b. Zum Beispiel, wenn n = 0 für lle n und b n = n. Korollr Flls n [α, β] für fst lle n und n, dnn gilt uch [α, β]. Proposition (Einschlussprinzip reeller Folgen). Seien ( n ), (b n ) Folgen, die beide gegen konvergieren. Sei ferner (c n ) eine Folge, so dß für fst lle n gilt: n c n b n. Dnn konvergiert uch (c n ) gegen. Beweis Zu jedem ε > 0 existiert ein n 0, so dß für lle n n 0 gilt: Drus folgt die Behuptung: ε n c n b n < + ε c n < ε n n 0 Definition (Asymptotische Gleichheit). Zwei reelle oder komplexe Folgen ( n ), (b n ) mit b n 0 für fst lle n heißen symptotisch gleich, flls gilt: Wir schreiben dnn uch n b n. Beispiele n b n ) Es gilt: n 2 n 2 + n, denn n2 +n n 2 = + n. 2) Es gilt: n n+ n 2, denn n+ n n 2 +n = n 2 +n n 2. Definition (Erweiterung R von R). R := R { } { } Dmit ergibt sich uch: (, ] = { x R < x } etc. Definition (Divergenz gegen ± ). ( n ) R divergiert gegen ±, flls gilt: k R n 0 N n n 0 n k ( n k bei Divergenz gegen ) Beispiele ) Für > divergiert n gegen. 2) Für < divergiert n nicht gegen ±, d die Folge oszilliert. Diese Folgen bruchen nicht zu konvergieren. 28

29 4.3 Monotone Folgen Definition 4.3. (Monotonie). Eine reelle Folge ( n ) heißt monoton wchsend (fllend), flls n n+ (bzw. n n+ ) für lle n N gilt. Die Monotonie ist streng, wenn die Gleichheit nicht uftritt. Proposition Jede beschränkte monotone Folge konvergiert. Beweis Wir führen den Beweis hier nur für den Fll einer monoton wchsenden Folge. Sei := sup { n n N} ds Supremum der Folge ( n ). Dieses existiert uf Grund der beschränktheit. Dmit existiert zu jedem ε > 0 ein n 0 mit n0 > ε. D die Folge monoton ist, folgt dmit für lle n > n 0 : n n0 > ε Dmit ist die Konvergenz gezeigt. Bemerkung Unbeschränkte monotone Folgen divergieren gegen ±. Beispiele ) Ds Wllissche Produkt ist definiert ls die Folge ( n ) mit ) Es gilt: b) Es gilt: n = n n 2n = 2k 2k n n ist (streng) monoton fllend: ( n+ n + ( n+ n + 2 n n ) 2 = n n + n n+ ist monoton wchsend: n + n k= ( ) 2n n(n + ) = 2n + (2n + ) 2 = 4n2 + 4n 4n 2 + 4n + < ) 2 = n + ( ) 2(n + ) 2 = n + n + 2 2(n + ) n + 2 4n2 + 8n + 4 4n 2 + 4n + = 4n3 + 2n 2 + 2n + 4 4n 3 + 2n 2 + 9n + 2 > Dmit ergibt sich: n n > n n + > 2 = 2 n n konvergiert lso gegen eine Zhl 2. Nch Definition ist eine Folge genu dnn monoton fllend, wenn für lle n gilt: n n+. Flls lle n 0 sind, ist ds gleichbedeutend mit n+ n. Wir werden später feststellen, dß es sich bei dieser Zhl um π hndelt. 29

30 2) Die Eulersche Zhl e. Es seien die beiden Folgen n := ( + n) n und bn := ( + n) n+ gegeben. Wir zeigen, dß [n, b n ] = I n eine Intervllschchtelung definiert. Die Zhl, die durch diese Intervllschchtelung beschrieben wird, ist die Eulersche Zhl e. i) n ist monoton wchsend: n < n ( ) n n ( ) n + n < n n n ( ) n + n ( ) n n ( n 2 ) n < = n n n n 2 = ( n ) n 2 Mit der Bernoulli-Ungleichung folgt: ( n 2 ) n > n n 2 = n = n n n ist lso in der Tt monoton wchsend. ii) b n ist monoton fllend: b n < b n ( + n) n+ ( < + + n < ( n n ) n n ) n ( n 2 = ) n ( n n + n 2 Wiederum folgt mit der Bernoulli-Ungleichung: ( + ) n n 2 > + n n 2 > + n n 2 = + n ) n ( = + ) n n 2 b n ist lso monoton fllend. iii) Es gilt: I n = b n n = ( + ) n ( + n ) n = n n < b n 0 für n Drus folgt: e n I n Bemerkung Die Zhl e ist uch der Grenzwert ( lim + n! ) n! 30

31 4.4 Stz von Bolzno-Weierstrß Der Stz von Bolzno-Weierstrß besgt, dß jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge besitzt. Zunächst ber einige Vorbemerkungen. Definition 4.4. (Häufungswert). Sei ( n ) eine komplexe Folge, d.h. ( n ) C. h C heißt Häufungswert, flls in jeder ε-umgebung von h unendlich viele Folgenglieder n liegen. Beispiele () Die Folge ( n ) mit n = ( ) n ht die Häufungswerte und. Sie ist nicht konvergent. (2) Die Folge ( n ) mit n = i n ht die Häufungswerte,, i und i und konvergiert nicht. (3) Flls gilt: n, so ist der einzige Häufungswert der Folge. Definition (Teilfolge). Gegeben seien eine Folge ( n ) und eine streng monoton wchsende Folge ntürlicher Zhlen n < n 2 < n 3 <.... Dnn heißt die Folge ( nk ) k N Teilfolge von ( n ). Beispiel ( 2k ) k N Proposition Sei ( n ) eine Folge. Ein Wert h ist genu dnn Häufungswert von ( n ), wenn er Grenzwert einer Teilfolge von ( n ) ist. Beweis Sei h Häufungswert. Nun wählen wir n so, dß gilt: n B (h), n 2 wählen wir so, dß gilt: n2 B (h) und so weiter. D h Häufungswert von ( n ) ist, werden wir 2 in jedem B ε (h) immer noch ein geeignetes Folgenglied finden. Die uf diese Weise konstruierte Folge ( nk ) k N ist eine Teilfolge von ( n ) n N, die gegen h konvergiert. Wenn h Grenzwert einer Teilfolge ist, dnn folgt die Häufungswerteigenschft sofort us der Definition der Konvergenz. Proposition (Bolzno-Weierstrß für reelle Folgen). Sei n R beschränkt. Dnn existiert ein größter Häufungswert h und ein kleinster Häufungswert h. Es gilt lso für fst lle n N: ε + h n h + ε Bezeichnung h =: lim sup n = lim n n n h =: lim inf n = lim n n n 3

32 Beweis Wir beweisen nur den Fll h und zwr mit Hilfe des Intervllschchtelungsprinzips. Die Intervllschchtelung I k = [A k, B k ] soll folgende Eigenschften hben:. n [A k, B k ] für unendlich viele n 2. n B k für fst lle n N. 3. I k 2 k I Sei I = [A, B ] nun so gewählt, dß für lle n gilt: n I k. Dnn konstruieren wir I k+ us I k wie folgt: Sei M die Mitte des Intervlls I k. Wir setzen { [Ak, M] flls [A k+, B k+ ] = n M für fst lle n [M, B k ] sonst Dmit ist jede der obigen Forderungen n die Intervllschchtelung erfüllt. Im Durchschnitt ller I k liegt eine Zhl h, von der wir noch zu zeigen hben, dß es sich dbei um einen Häufungswert von ( n ) hndelt und, dß es der größte Häufungswert ist, d.h. n < h + ε für fst lle n. Zu ε > 0 existiert ein k 0 mit der Eigenschft, dß für lle k > k 0 gilt: I k (h ε, h + ε). D wegen Bedingung ) jedes I k unendlich viele Glieder von ( n ) enthält, ist h Häufungswert der Folge. Aus Bedingung 2) folgt, dß dieses h uch der größte Häufungswert sein muss. Korollr Eine beschränkte reelle Folge konvergiert genu dnn, wenn größter und kleinster Häufungswert übereinstimmen. Proposition (Bolzno-Weierstrß für komplexe Folgen). Jede beschränkte Folge in C ht eine konvergente Teilfolge. Beweis D ( n ) beschränkt ist, ist uch R ( n ) beschränkt. Mit n = x n + iy n gilt, dß eine Teilfolge ( nk ) existiert, so dß (x nk ) x R gilt. D ber uch I ( nk ) beschränkt ist, existiert eine weitere Teilfolge ( nj ), so dß gilt: ( ynj ) y R. Dmit gilt dnn: nj := x + iy C 4.5 Cuchy-Folgen Definition 4.5. (Cuchy-Folge). Eine Folge ( n ) C heißt Cuchy-Folge, wenn für lle ε > 0 ein n 0 N existiert, so dß für lle m, n n 0 gilt: m n < ε Ds geht uf Grund der Beschränktheit von ( n) 32

33 Proposition (Cuchy-Kriterium). Eine Folge ( n ) ist Cuchyfolge genu dnn, wenn sie konvergiert. Beweis Sei ( n ) lso eine konvergente Folge mit n. Dnn existiert zu jedem ε > 0 ein n 0, so dß gilt: n < ε n > n 0 2 Nch Dreiecksungleichung gilt ußerdem für lle m, n > n 0 : m n m + n < ε 2 + ε 2 = ε Sei ( n ) Cuchy-Folge. ) ( n ) ist beschränkt, denn es existiert ein n 0 so, dß für lle m, n n 0 gilt: Drus ergibt sich sofort: m n < m n0 + m n 0 Es sind lso mindestens fst lle Folgenglieder betrgsmäßig kleiner ls n0 +. Alle Folgenglieder, die eventuell noch größer sein könnten, liegen somit vor n0 und es gilt für lle n: n mx {,..., n0, n0 + } b) Nch dem Stz von Bolzno-Weierstrß existiert lso eine konvergente Teilfolge ( nk ). c) Es gilt: n, denn zu gegebenem ε > 0 exstiert ein n k0, so dß gilt: nk0 < ε 2 m n < ε 2 m, n n k0 Mit der Dreiecksungleichung ergibt sich für m n k0 : nk0 m m nk0 + < ε Bemerkung Ds Cuchy-Kriterium ist gleichbedeutend mit dem Vollständigkeitsxiom. 33

34 Beispiele. Wir setzen Dmit gilt: n = n i= i n+k n = = n+k i=n+ i n n + k n + k n + k = k n + k Der letzte Term konvergiert egl, wie groß n gewählt wurde für k gegen und unterschreitet somit nicht jedes ε. ( n ) ist lso keine Cuchy-Folge und konvergiert demnch uch nicht. 2. Wir setzen n = n ( ) k 2k + k=0 und zeigen, dß ( n ) eine Cuchy-Folge ist und ls solche konvergiert. Es gilt nämlich: m m n = ( ) k 2k + k=n+ m = ( )n+ 2n ( ) k 2k + k=n+2 m 2n k + (Dreiecksungleichung) k=n+2 Bemerkung Mn knn R ls Vervollständigung von Q uffssen, indem mn R mit den Cuchy-Folgen in Q identifiziert. 34

35 5 Reihen 5. Konvergente Reihen Definition 5.. (konvergente Reihe). Zu einer Folge ( n ) C definieren wir eine weitere Folge (s n ) C über n s n := Solch eine Folge heißt Reihe mit Gliedern k. s n heißt uch n-te Prtilsumme. Die Reihe heißt konvergent, flls (s n ) konvergiert. Flls s n s, dnn schreiben wir Bezeichnung Mn nennt uch k= k Reihe. s = k= k k. Oft schreibt mn nur k, flls der Summtionsbeginn klr ist. Beispiel k=. Die hrmonische Reihe ist gegeben durch Wir wissen k= k. 2. Die geometrische Reihe ist k= k. z n, z. k= Wir wissen s n := n k= zk = zn+ z. Flls z < ist, so gilt s n z 3. Die Reihe drstellen ls n k= k= k(k+) knn mn über Prtilbruchzerlegung mit k(k+) = k k+ k(k + ) = n k= ( k ) = k + Dies konvergiert für n gegen. n k= n k k + = n +. k= 35

36 4. Die Reihe konvergiert nicht. ( ) k mit s n = k=0 { n gerde 0 n ungerde 5.2 Konvergenzkriterien Proposition 5.2. (Cuchy-Kriterium). n konvergiert genu dnn, wenn es zu jedem ε > 0 ein n 0 N gibt, so dß für lle m > n n 0 gilt. n m < ε Beweis Folgt us dem Cuchy-Kriterium für Folgen (s n ) (Proposition 4.5.2). Bemerkung Aus Proposition 5.2. ergibt sich ls notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe, dß n eine Nullfolge ist. Ds Ändern endlich vieler Folgenglieder n ändert nicht ds Konvergenzverhlten einer Reihe (im llgemeinen ber den Wert). Proposition (Mjorntenkriterium). Ist n b n für lle n und konvergiert bn, so konvergiert uch n und es gilt n bn. bn heißt Mjornte für n. Flls n divergiert, dnn uch b n. Mnn nennt n (divergierende) Minornte für b n. Beweis D b n konvergiert, gibt es für lle ε > 0 ein n 0 N, so dß für lle m > n n 0 gilt b n b m < ε. Dmit ist n m n m b n b m < ε. Nch obiger Proposition (5.2.) konvergiert n und us der Dreiecksungleichung (2.2.4) folgt n n s n = k b k =: s n. k=0 Die Behuptung folgt us der dritten Regel des Stzes 4.2., dem Vergleichsprinzip für Folgen. n = s n s n s s = 0 k=0 36

37 Beispiel. Sei n beliebig mit n. Dnn konvergiert n z n für z < (Vergleich mit geometrischer Reihe). 2. Für (0, ) divergiert d k= k k= k, ls Minornte divergiert. Es ist Minornte, d für lle k N: k k. Proposition (Monotoniekriterium). Sei n Reihe in R mit n 0. n konvergiert genu dnn, wenn die Prtilsummen (s n ) beschränkt sind. Beweis s n ist monoton wchsend, wir wenden die Aussge für monotone Folgen n. Beispiel n s ist { konvergent für s > divergent für s s Q. Beweis Im Fll s > : Zu n N sei n 0 so gewählt, dß n 2 n 0. Dmit ist s n s 2 n 0 ( = + 2 s + ) 3 s + 4 s ( ) s (n 0 )s (2 n 0 ) s s n s 2 (n 0 )s = + 2 s + 2 2(s ) ( ) k 2 s = k=0 2 s 2 (n 0 )(s ) Dmit ist (s n ) beschränkt, lso nch dem Monotoniekriterium konvergent. Im Fll s ist s n = n k= k s n k= k n. 37

38 Bemerkung ζ(s) := n s für s ist die Riemnnsche Zet-Funktion Proposition (Leibniz-Kriterium für lternierende Reihen). Sei ( n ) R monoton fllende Nullfolge. Dnn konvergiert ( ) n n und für den Grenzwert s gilt für lle n N: s s n n+. Beweis Es ist s k s k 2 = ( ) k ( k k ) und dmit s 0 s 2 s 4... und s s 3 s Dnn existiert die Intervllschchtelung [s, s 2 ] [s 3, s 4 ] [s 5, s 6 ]..., ußerdem geht [s k, s k ] = k gegen Null. Somit gibt es nch dem Intervllschchtelungsprinzip ein s [s k, s k ] mit s k s. k k gerde Zur Fehlerbschätzung: Für o.b.d.a. k ungerde ist s [s k, s k+ ] und s k+ s k = k+. Dmit folgt s s k k+. Beispiel ) Leibniz-Reihe: konvergiert gegen π/4. 2) Alternierende hrmonische Reihe: = ( ) k 2k + k=0 konvergiert gegen ln = ( ) k k + k=0 Lemm (Rechenregeln für Reihen). Sei n =, b n = b, c C. Dnn ist ( n + b n ) = + b, c n = c und n =. Beweis folgt us den Rechenregeln für Folgen

39 5.3 Absolute Konvergenz Definition 5.3. (bsolute Konvergenz). Eine Reihe k heißt bsolut konvergent, flls die Reihe der Beträge k k konvergiert. Bemerkung. Aus bsoluter Konvergenz folgt mit dem Mjorntenkriterium Konvergenz. 2. Aus dem Monotoniekriterium folgt: k konvergiert genu dnn, wenn s n := n k= k beschränkt ist. Proposition (Quotientenkriterium). Sei n 0 für fst lle n N. i) Flls es ein q (0, ) gibt mit n+ n q für fst lle n, dnn konvergiert n bsolut. ii) Flls n+ n für fst lle n, dnn divergiert n. Beweis. Nch Vorussetzung gibt es ein n 0, so ds für lle n n 0 gilt n+ n q. Ds ist gleichbedeutend dmit, dß für lle n n 0 : n q n n 0 n0 gilt. Es folgt n n0 q n qn = n 0 0 q n q n n0 0 q n 0 q <. n n 0 n n 0 n n 0 2. Nch Vorussetzung gibt es ein n 0, so dß für lle n n 0 gilt: n n0 > 0. Dmit ist ( n ) keine Nullfolge, die Reihe knn lso nicht konvergieren. Proposition (Wurzelkritierium).. Flls es ein q (0, ) gibt mit n n q für fst lle n, dnn konvergiert n bsolut. 2. Flls n n für unendlich viele n, dnn divergiert n. Beweis. Nch Vorussetzung gilt n q n für fst lle n, lso ist q n Mjornte der Reihe. 2. Nch Vorussetzung ist ( n ) keine Nullfolge. 39

40 Beispiel n np x n konvergiert bsolut für x < und p N: (n p x n ) n = n p n x x <. Bemerkung Flls n+ n < oder n n < für fst lle n ist, so knn nicht uf bsolute Konvergenz geschlossen werden, wie mn n n sieht. Bemerkung ) Siehe uch Übungsufgbe 8: Aus n+ n L folgt n n L. Es gilt ähnlich: n+ n q < impliziert n n q < n n 0. 2) Die Umkehrung gilt nicht: Beispiel: Ds Quotientenkriterium ist nicht erfüllt, ber nch dem Wurzelkriterium konvergiert die Reihe, und zwr nch 2. 2 Hierus knn mn sehen, dß ds Wurzelkriterium zwr llgemeiner ist, ber ds Quotientenkriterium ist oft einfcher nchzuprüfen. 5.4 Umordnung von Reihen Bemerkung Können wir die Elemente einer Reihe beliebig umordnen, ohne dß sich ds Konvergenzverhlten ändert? In nderen Worten: Flls σ : N N bijektiv ist und n konvergiert, ist dnn uch σ(n) konvergent? Beispiel Alternierende hrmonische Reihe: n ( )n n. Diese Reihe konvergiert llerdings nicht bsolut nch dem Leibniz-Kriterium. Vermutung Es gibt eine Umordnung σ : N N, so dß. n= ( )σ(n) σ(n) = unbe- Beweis Wir müssen zeigen: Für ein σ : N N ist s n = n schränkt. Betrchte dzu jeweils die Glieder ungerder Ordnung von 2 n + bis 2 n+ +. Für jedes n gilt 2 n n n+ 2n = = 2 n Dmit folgt s n = ( ) 6 (n = 2) +( ) 8 (n = 3) ( 2 n n n+ ) 2n+2 Jede Zeile ist 4 2n+2, lso 8 für n 3. Somit gehen die Prtilsummen dieser Umordnung gegen. l= ( )σ(n) σ(n) 40

41 Proposition (Umordnungsstz). Sei n eine bsolut konvergente Reihe. Dnn konvergiert uch jede Umordnung σ(s) bsolut gegen denselben Grenzwert. Beweis Sei s = n= n und σ : N N eine Bijektion. Wir zeigen zunächst n k= σ(k) s für n. Nch Vorussetzung gibt es zu jedem ε > 0 ein n 0, so dß k=n 0 + k < ε 2. s n 0 k= k k=n 0 + k < ε 2. Sei nun N so gross, dß {σ(),..., σ(n)} {, 2,..., n 0 }. Dnn folgt für lle m N, dß m k= σ(k) s m k= σ(k) n 0 k= k + n 0 k= k s < k=n 0 + k + ε 2 < ε. Bemerkung Mn knn eine nicht bsolut konvergente reelle Reihe so umordnen, dß sie gegen jede beliebige Zhl c R konvergiert. Bernhrd Riemnn ht dies 867 gezeigt. 5.5 Potenzreihen Definition 5.5. (Potenzreihe). Eine Reihe der Form P(z) = k z k k=0 mit k, z C heißt Potenzreihe in z. Flls k 0 für nur endlich viele k ( k = 0 für fst lle k), dnn heißt P Polynom. Proposition Sei z 0 0 und P(z 0 ) = k z0 k P(z) bsolut für lle z mit z < z 0. konvergent. Dnn konvergiert Beweis ( k z k 0 ) ist Nullfolge, lso gibt es ein c mit kz k 0 c k n 0. Setze q := z z 0 <. Hierus folgt dnn, dß k z k cq k k n 0. Somit ist cq k eine Mjornte, ws zur Konvergenz der Reihe führt. Definition (Konvergenzrdius für Potenzreihen). Zu P(z) = k z k heißt R := sup{r R P(r) konvergiert} [0, ] der Konvergenzrdius von P. B R (0) C heißt Konvergenzkreis zu P. Proposition (Konvergenz im Konvergenzkreis). Sei P eine Potenzreihe und R ihr Konvergenzrdius. i) P(z) konvergiert bsolut für lle z C mit z < R. ii) P(z) divergiert für lle z C mit z > R. Bemerkung Für z mit z = R knn keine llgemeine Aussge gemcht werden. Beweis 4

42 . D z < R ist, gibt es ein r mit z < r < R. Somit konvergiert P(r). Hierus folgt mit Proposition die Behuptung. 2. Wäre P(z) konvergent, dnn uch für r mit R < r < z. Dies ist ein Widerspruch zur Definition von R. Bemerkung := 0, 0 := Proposition (Formeln für den Konvergenzrdius). Ist P eine Potenzreihe und R ihr Konvergenzrdius, so gilt. R = L mit L := lim n n n [0, ]. (Formel von Cuchy-Hdmrd) 2. R = q mit q := lim n n+ n [0, ], flls n+ n in R konvergiert. (Formel von Euler) Beweis. Konvergenz Sei L <. Es gilt n z n n = z n n. Aus z < L folgt, dß z ( + 2ε) < L für ein ε > 0. Außerdem gilt, dß n n < L( + ε) n n 0 für ein n 0 N. Somit folgt, dß n n z < +ε +2ε < n n 0. Hierus folgt mit dem Wurzelkriterium, dß P(z) bsolut konvergiert. Divergenz Sei L > 0, sei z > L. Dnn ist z > L ε n n > L ε > z für unendlich viele n n z n n > für unendlich viele n. (Wurzelkriterium) P(z) divergiert. für ein ε > Konvergenz Sei z < q n+z n+ nz = z n n+ n n z q < n+ z n+ n z z q + ε < für ein ε > 0 und fst lle n n (Quotientenkriterium) P(z) konvergiert bsolut. Divergenz Sei z > q n+ z n+ nz z q > n n+z n+ nz n für fst lle n. (Quotientenkriterium) P(z) divergiert. Beispiel ) Geometrische Reihe: k= zk ht Konvergenzrdius. Ebenso k s z k, d k s k für k. Auf dem Rnd des Konvergenzkreises bei z = gilt: 42

43 z k divergiert, d z k keine Nullfolge ist. k s z k für s < ebenso, ber k s z k konvergiert bsolut für s > (nch Mjorntenkriterium). 2) Binomilreihe: B s (z) := ( s ) k=0 k z k = + sz + ( s 2) z Hierbei ist ( s k) = 0 für s N0, k > s, die Summen sind für s N 0 lso endlich, der Konvergenzrdius lso für s N 0. Flls s N 0, so ist ( n+) s ( n) s = s n n+ für n. Der Konvergenzrdius ist dnn lso. Proposition (Restgliedbschätzung). Sei P(z) = k=0 kz k eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius R > 0. R n (z) := k=n kz k ist ds Restglied der Ordnung n. Dnn gilt für r (0, R), dß Beweis z r R n (z) k=n k z k k=n k r k n z n k=n k r k = z n r n R n (z) C n z n z r =: z n C n Proposition (Nullstellen häufen sich nicht bei Null). Sei P(z) = k z k eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius R > 0. Nicht lle k seien Null. Dnn gibt es ein ε > 0, so dß P(z) 0 z mit 0 < z < ε. Beweis Sei N kleinster Index mit N 0. Sei 0 < r < R, z < r, C N+ := r N+ k=n+ k r k < P(z) = N z N + R N+ (z) und R N+ (z) C N+ z N+ Sei P(z) = 0 N z N C N+ z N+ z = 0 oder z N+ C N+ Proposition (Identitätsstz für Potenzreihen). P = k z k und Q = b k z k seien Potenzreihen mit positivem Konvergenzrdius. Flls eine Nullfolge (z n ) mit (z n ) 0 existiert mit P(z n ) = Q(z n ) n, dnn folgt P(z) = Q(z) z lso k = b k k Beweis Der Beweis folgt us Proposition ngewendet uf ( k b k )z k. 43

44 5.6 Multipliktion von Reihen Sei σ : N N N, eine Abzählung von N N, zum Beispiel. (, ), (2, ), (2, 2), (, 2), (, 3), (2, 3), (3, 3), (3, 2), (3, ), (4, ),... oder 2. (, ), (, 2), (2, ), (3, ), (2, 2), (, 3), (, 4), (2, 3),... Zu j, b k sei (j, k) = σ(n) und c n = j b k. Zu jedem σ heißt c n Produktreihe zu j, b k. Bemerkung Wnn gilt ( j ) ( b k ) = j k jb k = n c n? Proposition 5.6. (Produkte bsolut konvergenter Reihen sind bsolut konvergent). j, b k seien bsolut konvergente Reihen. Dnn konvergiert jede Produktreihe c n bsolut und es gilt j=0 j ( ) b k = Insbesondere gilt die Cuchysche Produktformel ( ) l b k = j b l j (entspricht Beispiel 2) j=0 j k=0 k=0 l=0 j=0 l=0 c l Beweis. Abschätzung der Prtilsummen: s N := N j,k=0 jb k = N j=0 j N k=0 b k j=0 j k=0 b k Für jede Produktreihe gilt lso n l=0 c l j=0 j k=0 b k, sie ist lso bsolut konvergent. 2. Wert berechnen: Sei σ wie in Beispiel ein oben, lso sei {σ(0),..., σ(n 2 )} = {(j, k) 0 j, k n} Dnn folgt n 2 l=0 c l = n j=0 n j k=0 b k n. Nch den Rechenregeln für Folgen gilt l=0 c l = ( j=0 j) ( k b.=0 k) Beispiel Seien z, w C mit z <, w <. Dnn sind z k und w k bsolut konvergent und es folgt k,l=0 zk w l = ( k=0 zk) ( k=0 wk) = ( z)( w). Korollr (Für zwei in B r (0) bsolut konvergente Potenzreihen konvergiert uch ihr Produkt bsolut). Für gegebenes r seien n z n, b n z n in B r (0) = {z C z < r} bsolut konvergente Potenzreihen. Dnn konvergiert uch n=0 ( n j=0 jb n j )z n bsolut in B r (0) und es gilt n z n b n z n = n ( j b n j ) z n n 0 n 0 n j=0 44

45 5.7 Exponentilreihe und weitere Verwndte Definition 5.7. (Exponentilreihe). Zu z C definieren wir e z = exp(z) := Diese Reihe ht den Konvergenzrdius, denn Es gilt e z = n d k=0 zk k=0 z k k! n+ n = z n+ x 0. k! + R n+(z) mit R n+ (z) 2 z n+ (n+)! für z, R n+ (z) z = = z n+ ( + z (n + )! n z 2 ( ) z n+ (n + )! z n+ (n + )! 2 z n+ (n + )! Definition (Logrithmusreihe). L(z) := k= Der Konvergenzrdius ist lim n ( n 2 ) (n + 2)(n + 3) +... ( ) k+ z k = z z2 k 2 + z ) n =. Definition (Trigonometrische Funktionen sin, cos, tn, cot). sin z := 2i (eiz e iz ) = ( ) k z 2k+ (2k + )! k=0 cos z := 2 (eiz + e iz ) = k=0 tn z := sin z cos cot z := cos z sin z ( ) k z2k (2k)! für z mit cos z 0 für z mit sin z 0 45

46 Korollr (Eulersche Formel). Hierus folgt z C : e iz = cos z + i sin z Sinus und Cosinus uf R Sei x R. Dnn ist e ix 2 = e ix e ix = und dmit e ix S = {z C z = }, der -Sphäre. Erinnerung: I(z) = 2i (z z) und R(z) = 2 (z + z). Somit cos x = R(e ix ) und sin x = I(e ix ). und e ix = cos x + i sin x (Eulersche Formel). Aus e ix = folgt, dß cos 2 x + sin 2 x =. Definition (Hyperbolische Funktionen: sinh, cosh, tnh). Es gilt cosh 2 z sinh 2 z = sinh(iz) = i sin z cosh(iz) = cos z e z = cosh z + sinh z sinh(z) := 2 (ez e z ) = k=0 (2k + )! z2k+ cosh(z) := 2 (ez + e z ) = k=0 tnh(z) := sinh(z) cosh(z) coth(z) := cosh(z) sinh(z) (2k)! z2k Mehr zu diesen Funktionen in den Kpiteln zu Stetigkeit und Differenzierbrkeit. Bild des Einheitskreises mit sin,cos 46

47 6 Der euklidische Rum 6. Der Vektorrum R d R d = } R R {{ R } = {x = (x, x 2,..., x d ) x j R; j =,..., d} d ml x heißt Punkt oder Vektor in R d x j heißt i-te Koordinte von x R d Vorsicht: x j knn j-te Komponente eines Vektors x R d sein, oder es knn ein Element einer Folge (x n ) R d sein Für d=2 bezeichnet mn Koordinten oft mit (x, y), d=3: (x, y, z) R d verknüpft mit Addition: zu x, y R definieren wir x + y R d über (x + y) = (x + y, x 2 + y 2 +,..., x d + y d ) Sklre Multipliktion: zu x R d, λ R d definieren wir λx R d über λx = (λx, λx 2,..., λx d ) ist ein reeller Vektorrum über dem Körper R. 6.2 Der euklidische Rum R d Definition 6.2. (Sklrprodukt/inneres Produkt). Sei V ein reeller Vektorrum. Eine Abbildung, : V V R heißt Sklrprodukt, flls für lle u, v, w V und lle λ, µ R gilt: ) u, v = v, u (Symmetrie) 2) λu + µv, w = λ u, w + µ v, w (Bilinerität) 3) u, u 0 und u, u = 0 u 0 (positive Definitheit) Definition (Norm). Sei V ein reeller Vektorrum. Eine Abbildung : V R + {0} heißt Norm, flls u, v V und λ R gilt ) u 0 und u = 0 u 0 2) λu = λ u (Homogenität) 47

48 3) u + v u + v (Dreiecksungleichung) Lemm (Cuchy-Schwrzsche-Ungleichung/CSU). Sei, ein Sklrprodukt uf einem reellen Vektorrum V. Def: u := u, u 2. Dnn gilt: u, v u v u, v V Beweis Sei λ R +. Dnn gilt 0 u λv, u λv = u, u 2λ u, v + λ 2 u, v u, v 2λ u 2 + λ 2 v 2 mit λ = u v u, v u v - ersetze u durch u u, v u v u, v u v Lemm Sei, und wie in Lemm Dnn ist ttsächlich eine Norm. Beweis Übungsufgbe 30 Definition (euklidisches Sklrprodukt, euklidische Norm). Zu x, y R d definieren wir x, y = d j= x j y j (euklidisches SKP) x 2 = x, x 2 (euklidische Norm) d x 2 = Beweis Mn prüft leicht nch, ob ddurch wirklich ein Sklrprodukt definiert ist. Bemerkung. Es gilt nch Lemm 6.2.3: d x, y x 2 y 2 x j y j j= 2 d j= x 2 j d j= y 2 j j= x 2 j (Vergleiche Übungsufgbe *) Bezeichnung. Mn schreibt üblicherweise: x sttt x 2 (wie für z C gilt z = zz für z = (x, y), z = x 2 + y 2 ) Definition (Mximumsnorm). Zu x R d definieren wir x := mx( x, x 2,..., x d ) Bemerkung. Mn prüft leicht nch, dß ddurch wirklich Norm definiert ist. 2 48

49 Definition (äquivlente Norm). Zwei Normen und uf einem reellen Vektorrum V heißen äquivlent, flls es C, C 2 > 0 gibt, so dß u V : C u u C 2 u. Lemm und 2 sind uf R d äquivlent. Beweis Einerseits ist x 2 2 = d x 2 j d mx(x2 j ) = d x 2. Anderseits ist x j 2 i= d j= x x 2 d x x j 2 = x 2 2 mx( x 2 ) x 2 2. Bemerkung. Wir werden später sehen, dß lle Normen uf R d äquivlent sind. 6.3 Konvergenz von Folgen in R d Definition 6.3. (beschränkt, konvergente Folgen). Eine Folge (x n ) R d heißt ) beschränkt, flls ein k R d existiert, so dß x n k n N 2) konvergent gegen ein x 0 R d, flls ε > 0 ein n 0 N ex, so dß x n x 0 < ε n n 0. Bezeichnung. x n x 0 für n oder lim n x n = x 0. Bemerkung. Wie in C gilt: konvergente Folgen sind beschränkt der Grenzwert ist eindeutig bestimmt, denn x n x 0 R d x jn x j0 j =,..., d (j te Komponente von x n bzw. x 0 ) Flls (x n ) beschränkt/konvergent bezüglich der euklidischen Norm, dnn uch bezüglich jeder äquivlenten Norm und dmit bezüglich jeder Norm uf R d. Definition (Häufungswert). x 0 R d heißt Häufungswert einer Folge (x n ) R d, flls ε > 0 gilt x n x 0 < ε für unendlich viele n. Bemerkung. x 0 ist Häufungspunkt einer Folge es eine Teilfolge (x nk ) gibt mit x nk x 0. Es gelten die Rechenregeln: flls (x n ) R d mit x n x 0 und (y n ) R d mit y n y 0, dnn gilt für lle λ, µ R: i) λx n + µy n λx 0 + µy 0 ii) x n, y n x 0, y 0 49

50 iii) x n x 0 iv) λx n λx 0 Proposition (Bolzno-Weierstrß). Jede beschränkte Folge in R d besitzt eine konvergente Teilfolge. Beweis Sei x n = (x n,..., x dn ). (x n ) ist beschränkt, d.h. d x 2 in i= C. Dher ist uch (x n ) R beschränkt und nch dem Stz von Bolzno-Weierstrß für R existiert eine Teilfolge (n k ) und ein x R, so dß x nk x. Ebenso ist (x 2nk ) R beschränkt, wieder existiert eine Teilfolge (n j ) und ein x 2 R, so dß x 2nj x 2. So geht es weiter, bis es eine Teilfolge gibt n j, so dß x dnj x d. Insgesmt folgt: (x nj ) x = (x,..., x d ). Definition (Cuchy-Folge). (x n ) R d heißt Cuchy-Folge, flls für lle ε > 0 ein n 0 N existiert, so dß x n x m < ε n, m n 0. Proposition Folge (Cuchy-Kriterium). (x n ) R d konvergiert (x n ) ist Cuchy- Beweis nlog zu Proposition Topologie des R d Definition 6.4. (r-kugel). Zu x 0 R d und r > 0 definieren wir die offene r-kugel B r (x 0 ) := {x R : x x 0 < r} Definition (offen). Eine Teilmenge Ω R d heißt offen bezüglich des R d, flls es zu jedem x Ω ein ε > 0 gibt, so dß B ε (x) gnz enthlten ist in Ω. Beispiel. ) B r (x 0 ) R d ist offen, denn: Sei x B r (x 0 ) x x 0 < r ϱ := r x x 0 > 0; zz: B ϱ (x) B r (x 0 ), dzu sei z B ϱ (x) z x 0 = z x + x x 0 z x + x x 0 < ϱ + x x 0 = r 2) insbesondere (, b) ist offen in R Definition (bgeschlossen). Eine Menge A R d heißt bgeschlossen, flls für lle Folgen (x n ) A mit x n x 0 R d gilt: x 0 A. : x x 0 r } ist bgeschlos- Beispiel. Die bgeschlossene r-kugel B r (x 0 ) = { x R d sen, denn: Sei (x n ) B r (x 0 ) mit x n x R d. 50

51 zz: x B r (x 0 ), dh x x 0 r. x x 0 x x n + x }{{} n x 0 x x }{{} 0 r n 0 r Definition (Komplement). Zu M R d ist ds Komplement { } M c := x R d : x / M Proposition ) Ist Ω R d offen, dnn ist Ω c bgeschlossen 2) Ist A R d bgeschlossen, dnn ist A c offen Beweis ) Annhme: Ω c nicht bgeschlossen, dh (x n ) Ω c mit x n x R d, ber x / Ω c x Ω ε > 0 mit B ε (x) Ω, ber x n B ε (x) n n 0. Widerspruch 2) Annhme: A c nicht offen x 0 A c : ε > 0 : B ε (x 0 ) A c insbesondere zu n x n A mit x n x 0 < n (x n) A, x n x 0 A bgeschlossen x 0 A. Widerspruch Korollr M R d offen M c bgeschlossen Proposition ) Die Vereinigung einer beliebigen Fmilie offener Mengen ist offen 2) Der Durchschnitt einer endlichen Fmilie offener Mengen ist offen 3) Der Durchschnitt einer beliebigen Fmilie bgeschlossener Mengen ist bgeschlossen 4) Die Vereinigung einer endlichen Fmilie bgeschlossener Mengen ist bgeschlossen Beweis Übungsufgbe Bemerkung. R d und sind sowohl offen ls uch bgeschlossen. Es gibt Mengen, die weder offen noch bgeschlossen sind, zum Beispiel [,b). Definition (innerer -, Rnd-, Häufungs-, isolierter Punkt). Sei M R d. Ein Punkt x 0 R d heißt ) innerer Punkt von M, flls es ein ε > 0 gibt mit B ε (x 0 ) M. 2) Rndpunkt von M, flls jedes B ε (x 0 ) sowohl einen Punkt us M ls uch einen Punkt us M c enthält. 5

52 3) Häufungspunkt von M, flls in jeder ε-kugel um x 0 mindestens ein (und dmit unendlich viele) von x 0 verschiedener Punkt us M liegt. 4) isolierter Punkt von M, flls x 0 M, ber x 0 kein Häufungspunkt von M ist. Beispiel. M = ( 3, 4) {5} innnere Punkte: ( 3, 4) Rndpunkte: 3, 4, 5 HP: [ 3, 4] isolierte Punkte: 5 Definition (Inneres, Rnd, Abschluss, Durchmesser). M R d ) Inneres von M: Bez: Ṁ, Menge der inneren Punkte 2) Rnd von M: Bez: M, Menge der Rndpunkte 3) Abschluss von M: Bez: M := M M 4) M heißt beschränkt: flls M B k (0) für ein k > 0 5) Durchmesser von M, Bez: dim M = sup{ x y : x, y M} Beispiel. M = B r (x 0 ) Ṁ = M M = {x : x x 0 = r} M = B r (x 0 ) dim M = 2r (Durchmesser) Definition (kompkt). Eine Menge heißt kompkt (K R d ), wenn jede Folge (x n ) K eine TF besitzt, die konvergiert und deren Grenzwert in K liegt. Bemerkung. Die Definition ist eigentlich die Definition der Folgenkompktheit. Im llgemeinen sind kompkte Mengen über die Heine-Borel-Eigenschft (.6.) chrkterisiert, ber im R d sind beide Definitionen äquivlent. Anwendung. Wn ist Kompktheit nützlich? Zum Beispiel, wenn mn die Lösung x einer Gleichung G(x) = 0 in einem Vektorrum sucht. Suche zunächst Lösung x n einer pproximierten Gleichung G n (x) = 0. Flls (x n ) K, K kompkt, dnn ist TF (x n ) und x K mit x nk x x ist Kndidt für die Lösung von G(x) = 0. Frge: Wie knn mn kompkte Teilmengen eines Vektorrums chrkterisieren? Proposition 6.4. (Chrkterisierung kompkter Teilmengen in R d ). Eine Menge K R d ist kompkt genu dnn, wenn sie bgeschlossen und beschränkt ist. 52

53 Beweis : K bgeschlosssen folgt us Definition. Annhme: K nicht beschränkt k > 0 n k so dß x nk > k (x nk ) besitzt keine konvergente Teilfolge. Widerspruch zu Annhme, dß K kompkt ist. : Sei (x n ) K, K beschränkt (Bolzno-Weierstrß) konvergente Teilfolge (x nk ) mit x nk x R d für k. K bgeschlossen x K Bemerkung. Diese Proposition ist so nur für endlich-dimensionle Räume richtig. Definition (dicht). S M R d heißt dicht in M, flls x 0 M und ε > 0 ein x S B ε (x 0 ) existiert. Beispiel. Q liegt dicht in R 53

54 7 Stetigkeit 7. Vektorräume von Funktionen Wir definieren den Funktionenrum: F (M, R d ) : {f f : M R d } Bezeichnung. d = : F (M) Wir wollen F (M, R d ) ls Vektorrum uffsssen. Dzu müssen wir Addition und sklre Multipliktion definieren: Addition: f, g F (M, R d ) (f + g)(x) := f(x) + g(x) sklre Mult: λ R, f F (M, R d ) (λf)(x) := λf(x) Bemerkung. Mn prüft leicht nch, dß dmit F (M, R d ) reeller Vektorrum ist. Nullelement: f(x) 0, Inverse: zu f ist f, definiert über ( f)(x) = f(x). Ebenso knn mn zu f, g F (M, R d ) definieren: f, f, g. Beispiel. für Untervektorrum: P = { p : R R p(x) = N k=0 k x k } Rum der Polynome ist Untervektorrum von F (M). 7.2 Beschränkte Funktionen und die Supremumseigenschft Sei M R d Definition 7.2. (beschränkte Funktion). Eine Funktion f : M R d heißt beschränkt, wenn der Wertebereich f(m) in R d beschränkt ist, d.h. flls es k R gibt mit f(x) k x M. Lemm (Unterrum der beschränkten Funktionen). { } B(M, R d ) = f f F (M, R d ); f beschränkt ist Untervektorrum von F (M, R d ) Bezeichnung. d = : B(M) Beweis 54

55 ) Sei f, g B(M, R d ), d.h. f(x) k x M, g(x) k 2 x M (f + g)(x) = f(x) + g(x) f(x) + g(x) k + k 2 x M (f + g) B(M, R d ) 2) Sei f B(M, R d ), λ R, f(x) k x M (λf)(x) = λf(x) = λ f(x) λ k (λf) B(M, R d ) Definition (Supremumsnorm). Zu f B(M, R d ) definieren wir die Supremumsnorm f := sup{ f(x) : x M} = sup f = sup { f(x) } x M Beweis Mn prüft nch, dß ddurch eine Norm uf B(M, R d ) definiert ist. Beispiel. ) f : R R, f(x) = x 2 ist nicht beschränkt uf R 2) f : [, b] R R, f(x) = x 2 ist beschränkt, f = mx( 2, b 2 ) 3) f : R R, f(x) = +x 2 ist beschränkt, f = 4) f : R 2 \{0} R, f(x, y) = xy x 2 +y 2 f(x, y) x y x 2 +y 2 2 (x2 +y 2 ) x 2 +y 2 2 (x, y) = (, ) f = 2 f = 2 ist beschränkt, denn Definition (Oszilltion). Zu f B(M, R d ) und E M definieren wir die Oszilltion von f uf E über osc(f, E) = sup{ f(x) f(y) : x, y E} Bemerkung. Für d = : osc(f, E) = sup f inf f E E Beispiel. (Signumfunktion) x > 0 sgn(x) := 0 x = 0 - x < 0 osc(sgn, (0, )) = 0 osc(sgn, [0, )) = osc(sgn, [, b]) = 2 für < 0 < b 55

56 7.3 Grenzwerte von Funktionen Sei M R d, nicht-leer, x 0 sei HP von M Definition 7.3. (Grenzwert von f). Sei f : M R d. Wir sgen f(x) konvergiert gegen R d für x x 0 in M, flls ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dß f(x) < ε x M mit x x 0 < δ. Bezeichnung. f(x) für x x 0 oder lim x x 0 f(x) = Proposition (Folgenbedingung). Es gilt lim x x 0 lle Folgen (x n ) M mit x n x 0 gilt: f(x). f(x) = genu dnn, wenn für Beweis : : Annhme: lim f(x) existiert nicht ε > 0 so dß n N ein x n existiert mit x x 0 x n x 0 < n ber f(x n) > ε. Widerspruch. Proposition und lim x x (Rechenregeln). Sei f, g F (M; R d ) und es gelte lim x x 0 g(x) = b, dnn gilt: f(x) = i) lim x x 0 (λf + µg)(x) = λ + µb λ, µ R ii) lim f(x), g(x) =, b x x 0 und flls d = : iii) lim x x 0 f(x)g(x) = b iv) lim x x 0 f(x) g(x) = b flls b 0 und g(x) 0 Beweis folgt us Stz und Rechenregeln für Folgen Proposition (Mjornte und Einschlussregel). ) Sei f F (M, R d ) und g F (M, R). Es gelte f(x) k g(x) für ein k R x M. Flls lim g(x) = 0, dnn gilt uch lim f(x) = 0. x x 0 x x 0 2) Sei f, g F (M), es gelte: f(x) g(x) x M und f(x) =, lim g(x) = b. Dnn folgt: b. x x 0 lim x x 0 3) Sei f, g, h F (M), es gelte: g(x) f(x) h(x) x M und lim g(x) = und lim h(x) = lim f(x) =. x x 0 x x 0 x x 0 56

57 Beweis Folgt wieder us Stz und Rechenregeln für Folgen, zur Übung beweisen wir. über ε δ Kriterium: Gegeben: ε > 0 δ > 0 : 0 < g(x) < ε k x mit x x 0 < δ f(x) k g(x) < ε x mit x x 0 < δ. Beispiel. ) z C R 2 (Identität), f : R 2 R 2, f(z) = z. Es gilt lim z z0 f(z) = f(z 0 ) z 0, d.h. f ist stetig, denn f(z) f(z 0 ) = z z 0 zu ε > 0 wähle δ = ε f(z) f(z 0 ) < ε für z z 0 < δ x > 0 2) sgn : R R, sgn(x) = 0 x = 0 - x < 0 lim x x 0 sgn(x) = für x 0 > 0 lim x x 0 sgn(x) = für x 0 < 0 Behuptung. lim x 0 sgn(x) existiert nicht!, denn sgn(x) sgn(y) = 2 für x > 0, y < 0 ber rechts- bzw linksseitiger Grenzwert existiert. Definition (rechtsseitiger Grenzwert). Sei M R, f F (M, R d ), sei (x 0, β) M. Wir sgen, der rechtsseitige Grenzwert von f in x 0 existiert und ist gleich R d, flls ε > 0 ein δ > 0 existiert (mit x 0 +δ < β) so dß f(x) < ε x mit 0 < x x 0 < δ. Bezeichnung. lim f(x) =, lim f(x) =, f(x) für x x x x 0 x x 0 +0 entsprechend linksseitiger Grenzwert: lim x x 0 f(x) =. Beispiel. ) lim x 0 2) lim x 0 x = 0 sgn(x) =, lim x 0 sgn(x) = Proposition Unter der Vorussetzung von Definition 7.3. gilt: lim f(x) x x 0 existiert genu dnn, wenn links- und rechtseitiger Grenzwert existieren und gleich sind. Definition (Grenzwert bei ). Sei M R d und (β, ) M. Sei f F (M, R d ). Wir sgen f(x) strebt gegen ein R d für x, flls für lle ε > 0 ein k R existiert, so dß f(x) < ε x > k. Äquivlent dzu ist lim y 0 f( y ) =. Bezeichnung. f(x) für x oder Beispiel. lim f(x) = x 57

58 ) x n 2) lim x 0 für x 3) Sei > 0 : 2x+ 3x+4 = 2 2x+ 3, denn 3x+4 = 2+ x x x + x = x + + x x + + x ( x + x) = x + + x 2 x x 0 Definition (uneigentlicher Grenzwert). M R d, f F (M), x 0 M, B r (x 0 ) M für ein r > 0. Wir sgen f(x) strebt gegen (bzw. ) für x x 0, flls k R ein δ > 0 existiert, so dß Bezeichnung. lim x x 0 Entsprechend. lim x Beispiel. lim x 0 x =, x Rd f(x) > k (f(x) < k) x B δ (x 0 ) f(x) = (bzw ) f(x) = (bzw ), lim x f(x) = (bzw ) Definition (monotone Funktionen). Sei f : M R R : f heißt ) streng monoton wchsend [fllend], flls f(x) < f(y) [f(x) > f(y)] x < y b) monoton wchsend [fllend], flls f(x) f(y) [f(x) f(y)] x < y Proposition (für monotone Funktionen existieren einseitige Grenzwerte). Für f : [, b] R, f monoton, existiert rechts- und linksseitiger Grenzwert in jedem x 0 (, b). Flls f monoton, so gilt: sup <x<x 0 f(x) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) lim x x 0 f(x) = inf x 0 <x<b f(x) Beweis Sei γ := sup (,x 0 ) f. D x < x 0 : f(x) f(x 0 ), folgt γ f(x 0 ). Nch Definition existiert für lle ε > 0 ein y (, x 0 ), so dß γ ε < f(y) γ Dmit ist x (y, x 0 ) : γ ε < f(x) γ. Es folgt direkt lim x x 0 f(x) = γ. Proposition 7.3. (Cuchy-Kriterium für Existenz des Grenzwertes). Sei f F (M, R d ). Dnn existiert lim x x 0 f(x) genu dnn, flls für lle ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dß x, y B δ (x 0 ) : f(x) f(y) < ε 58

59 In nderen Worten: lim x x 0 osc(f, B δ (x 0 )) = 0 Beweis ähnlich wie Cuchy-Kriterium für Folgen Beispiel. Sei f : R 2 \(0, 0) R, f(x, y) = Frge. Existiert lim? (x,y) (0,0) 2xy x 2 +y 2 Nein, denn: f(0, y) = 0, ebenso f(x, 0) = 0, ber f(x, x) = x sup B δ (0,0) f(x 0, y 0 ) f(x, y) lim existiert nicht nch Cuchy-Kriterium. 7.4 Stetige Funktionen M R m, M, f : M R d Definition 7.4. (stetig). Eine Funktion f : M R d heißt stetig in x 0 M, flls ε > 0 ein δ = δ(ε, x 0 ) > 0 existiert, so dß f(x) f(x 0 ) < ε x mit x x 0 < δ. Bemerkung. meint eukl Norm (jede ndere Norm tut es uch) f : M R d heißt stetig, flls f in jedem Punkt x 0 M stetig ist C 0 (M, R d ) = { f : M R d stetig uf M } ; C 0 (M) = C 0 (M, R d ) Definition für f : N C C nlog Proposition (Folgenstetigkeit). f : M R d ist stetig in x 0 M gdw lim x x 0 f(x) = f(x 0 ). Beweis Bemerkung. Sei x 0 isoliert in M, dnn ist jede Funktion f : M R d in x 0 stetig. Beispiel. ) f : C C; f(z) = z, C, sei z 0 C, 0 f(z 0 ) f(z) = z 0 z ; für gegebenes ε wählen δ := ε ; dnn gilt: z z 0 < δ f(z) f(z 0 ) < ε; f ist stetig in z 0. 2) f : M R R, f(x) = x 2, f ist stetig in jedem x 0 M, denn: x 2 x 2 0 = x+x 0 x x 0. { Für x x} 0 < x+x 0 +2 x 0 für gegebenes ε ε > 0 wählen wir δ = min, +2 x 0, d.h. x x 0 < δ x 2 x 2 0 < ε. 3) jedes Polynom f : M R R ist stetig 59

60 für x > 0 4) f : R R; f = sgn; f(x) = 0 für 0 - für x < 0 { für x Q 5) Dirichlet-Funktion: f : R R; f(x) = 0 für x R\Q Diese Funktion ist nirgends stetig { x für x Q 6) f : R R; f(x) = 0 für x R\Q f ist stetig in x 0 x 0 = 0 Proposition (Rechenregelen). ) f, g : M R d stetig in x 0 λf + µg : M R d stetig in x 0 (λ, µ R) 2) f, g : M R d stetig in x 0 f, g : M R stetig in x 0 3) f, g : M R stetig in x 0 mit g(x 0 ) 0 f g : M R stetig in x 0 Proposition M R m ; N R n ; f : M N, g : N R d ; x 0 M; h : M R d. Sei h = g h. Weiter sei f stetig in x 0, g stetig in f(x 0 ). Dnn ist h stetig in x. Beweis (mit Folgenstetigkeit) Sei (x n ) M mit x n x 0. D f stetig ist, gilt f(x n ) f(x 0 ). D g stetig ist, gilt ebenso g(f(x n )) g(f(x 0 )). Zusmmen gilt h(x n ) h(x 0 ), dmit ist h stetig in x 0. Definition (Umkehrfunktion). Sei f : M R m N R n bijektiv, dnn existiert genu eine Abbildung g : N M, so dß f g = Id : N N, g f = Id : M M. g heißt die Inverse (Umkehrbbildung) zu f. Bezeichnung. g = f, (g(f(x)) = x, f(g(y)) = y) Beispiel. f(x) = e x, g(y) = ln y Proposition Sei f : K R m R d stetig in x 0, sei K kompkt, sei f uf gnz K invertierbr. Dnn ist f : f(k) R d K stetig in f(x 0 ). k Beweis Sei (y k ) k f(k) eine Folge mit y k f(x 0 ). Zu dieser existiert eine Folge (x k ) mit y k = f(x k ) k. Zu zeigen ist: f (y k ) = x k k f (f(x 0 )). l D K kompkt ist, existiert eine Teilfolge (x kl ) l mit x kl x 0 K. Angenommen, k dß x k x 0 wäre flsch, wobei x 0 x 0. Weil ber f stetig ist, gilt f(x kl ) l l f( x 0 ), und ebenflls y kl f(x 0 ). f(x 0 ) = f( x 0 ). Dies ist ein Widerspruch zur Invertierbrkeit von f. 60

61 Beispiel. Kompktheit in Stz 2 wesentlich, wie ds folgende Beispiel zeigt: [0, ) = M R, R d = R 2, f : M R 2 : f(x) = (cos 2πx, sin 2πx) f ist stetig, f : M f(m) R 2 bijektiv. Inverse Abbildung ist unstetig in f(0). Definition (Homöomorphismus). Sei f : M R m N R n bijektiv (d.h. N = f(m)). f heißt Homöomorphismus, flls sowohl f ls uch f : N M stetig sind. Bemerkung. Stz zeigt, sei f : K R m R d stetig und injektiv, dnn ist f : K f(k) ein Homöomorphismus. Definition (Lipschitz-stetig). f : M R m R d heißt Lipschitz-stetig uf M, flls es ein Konstnte L > 0 gibt, so dß Bemerkung. x, y M : f(x) f(y) R d L x y R m. kleinste mögliche Konstnte L heißt Lipschitz-Konstnte von f flls L <, so heißt f uch Kontrktion Lipschitz-Sstetigkeit Stetigkeit ( ) Beispiel. ) f : R m R; f(x) =, x, R m, f Lipschitz-stetig wegen Cuchy-Schwrzscher- Ungleichung:, x, y =, x y x y L = 2) f : R R mit f(x) = x 2 ist nicht Lipschitz-stetig uf R, ber uf jedem kompkten Intervll: x 2 y 2 x y x + y 2(mx x ) x y x I 7.5 Der Zwischenwertstz Proposition Sei f : [, b] R stetig mit (obda) f() f(b). Dnn gibt es zu jedem c [f(), f(b)] mindestens ein x [, b] so dß f(x) = c gilt. Beweis Sei M := {x < x b; f(x) c}. M ist nicht-leer und nch unten beschränkt. n Sei x 0 := inf M. Nun existiert eine Folge (x n ) M mit x n x 0. D f stetig ist, gilt uch f(x n ) n f(x 0 ). Dmit gilt uch f(x 0 ) c. Wir nehmen nun n, es sei f(x 0 ) > c und setzen ε := f(x 0) c > 0. 3 vom griechischen homöos = ähnlich 6

62 Wir wählen ein δ > 0 so dß f(x) f(x 0 ) < ε flls x x 0 < δ, ohne Einschränkung ist δ x 0 2, d.h. x := x 0 δ >. Nun gelten die Ungleichungen f(x ) f(x 0 ) f(x 0) 3 c 3 f(x ) 2 3 f(x 0) + c 3 > c. D.h. x = x 0 δ M. Dies ist ein Widerspruch zu x 0 = inf M, lso ist f(x 0 ) = c. Korollr Jedes Polynom P : R R der Form P (x) = x n α, n N, α R, α > 0 besitzt mindestens eine Nullstelle (in R). Beweis P (0) = α < 0, P ( + α) = ( + α) n α + nα α > 0, P ist stetig I[0, + α] R, 0 [P (0), P ( + α)] Nch ZWS existiert ein x [0, + α] mit P (x) = 0 Korollr (einfcher Fixpunktstz). Sei f : [, b] R [, b] stetig. Dnn besitzt f mindestens einen Fixpunkt in [, b], d.h. es existiert mindestens ein x 0 [, b] mit f(x 0 ) = x 0. Beweis Wir definieren g : [, b] R durch g(x) = f(x) x (x = f(x) g(x) = 0). Es gilt g() = f() 0, g(b) = f(b) b 0, lso 0 [g(), g(b)]. D g eine stetige Abbildung ist, existiert nch dem ZWS ein x 0 [, b] so dß g(x 0 ) = 0. Korollr Sei f : [, b] R stetig mit f() < f(b), und sei f : [, b] [f(), f(b)] bijektiv. Dnn ist f streng monoton wchsend. Beweis Wir führen einen indirekten Beweis: Angenommen, es existiert x, y [, b] mit x < y und f(x) f(y). Dnn gilt: f(x) > f(y) (weil f injektiv) f(y) > f() (weil f : [, b] [f(), f(b)], d.h. f(x) > f(y) > f()) Sei I := [, x], f I : I R ist stetig. Nch dem ZWS existiert ein x [, x] so dß f(x ) = f(y), d.h. f(x ) = f(y) für x < x < y Widerspruch zur Injektivität. 7.6 Exponentilfunktion & Logrithmus Erinnerung: exp(x) := k=0 x k k! = ex 62

63 Proposition exp : R R (ist wohldefiniert nch dem Abschnitt über Potenzreihen) ht die folgenden Eigenschften: ) exp(x) > 0 x 2) exp ist streng monoton wchsend 3) exp ist stetig 4) exp : R R + ist bijektiv Erinnerung: exp(x + y) = exp(x) exp(y) Beweis ) sei x > 0 : k=0 sei x = 0 exp(x) = x k k! = x0 0! + x! +... = + x x > > 0 sei x < 0 : exp(x) exp( x) = exp(x x) = exp(x) = exp( x) > 0 2) sei y > x, d.h. y = x + h mit h = y x > 0 exp(y) = exp(x + h) = exp(x) exp(h) > exp(x) }{{}}{{} >0 > streng monoton wchsend. 3) sei δ > 0 mit δ 2 exp(δ) + 2δ, denn NR: δ k exp(δ) = + δ + k! = + δ + δ k 2 δ2 k! k=2 k=2 ( ) ( ) δ < + δ + δ 2 δ k 2 = + δ + δ δ k=2 ( ) = + δ + δ δ für δ 2 δ 2 δ exp(δ) + δ + δ() = + 2δ seien x 0, x R exp(x) exp(x 0 ) exp(x 0 )(exp(x x 0 ) ) = exp(x 0 ) exp(x x 0 ) exp(x 0 ) exp x x 0 63

64 für x x 0 2 gilt: exp(x) exp(x 0 ) exp(x 0 )( + 2 x x 0 ) exp(x 0 )2 x x 0 D.h. für x x 0 gilt exp(x) exp(x 0 ) 0, lso ist exp im Punkt x 0 stetig. 4) Injektivität von exp : R R + klr, wegen Monotonie zur Surjektivität sei y R + fix, Ziel: finden x so dß exp(x) = y sei y, Betrchten I[0, y], exp(0) = y, exp(y) + y nch dem ZWS existiert ein x [0, y] mit exp(x) = y. sei y < (y > 0); es existiert ein x > 0 so dß exp(x) = y, d.h. exp( x) = exp(x) = y Korollr Es existiert die Inverse zu exp : R R +, gennnt der ntürliche Logrithmus ln : R + R, mit den folg. Eigenschften: ) y = exp(x) x = ln y x R y R +, = exp(0) 0 = ln 2) ln : R + R ist bijektiv & und streng monoton wchsend 3) ln(y y 2 ) = ln y + ln y 2 y, y 2 R + Beweis Bemerkung. lim x + ex = +, lim x ex = 0, lim y e x ln y =, lim = x 0 x ln( + y) lim ln y =, lim = y 0 y 0 y 7.7 Stetige Funktionen uf kompkten Mengen f : K R m R d, K kompkt Proposition f stetig, K kompkt f(k) kompkt Beweis Sei (y n ) n f(k) eine Folge mit y n = f(x n ), wobei (x n ) K. D K kompkt ist, können wir eine Teilfolge wählen (n k ) k so dß x nk x 0 mit x 0 K. D k weiterhin f stetig ist, folgt y nk = f(x nk ) k y 0 = f(x 0 ). Proposition (Stz vom Minimum und Mximum, Weierstrß). Sei f : K R m R stetig und K kompkt. Dnn existieren x, x K so dß 64

65 f(x) = min{f(x) : x K} (d.h. x ist Minimlstelle) f(x) = mx{f(x) : x K} Beweis f(k) R ist kompkt, lso insbesondere beschränkt. Dmit existieren m = inf{f(x) : x K} und m = sup{f(x) : x K}, wobei m, m R. Wir zeigen, dß m ngenommen wird: Es existiert eine Folge (x n ) n K so dß f(x n ) n m. Weil K k kompkt ist, existieren ein Teilfolge (n k ) k und ein x 0 K so dß x nk x 0. Weil f stetig ist, gilt: m k f(x nk ) k f(x 0 ). Also ist x 0 = x. Anlog zeigt mn dies für m. Bemerkung. Kompktheit & Stetigkeit sind wesentlich in Stz Beispiel. ) f : (0, ) R, f(x) = x < f(x) < f ht uch (0, ) weder Mx noch Min. (f stetig, ber nicht kompkt) 2) f : R R Sei f(x) = x, ht weder Mx noch Min. { 3) f : [, ] R, f(x) = x für x 0, wohldefiniert uf [-,] 0 für x = 0 f ht weder Mximum noch Minimum, f ist ber unstetig in 0. Proposition Alle Normen sind uf R n äquivlent Beweis Sei Norm uf R n, genügt zz dß zu äquivlent ist. ) Übungsufgbe 37. Jede Norm ist Lipschitz-stetig x y L x y x, y R n (y = 0) x L x x R n 2) λ := inf{ x : x S n } S n = {x R n : x = } S n ist beschränkt und bgeschlossen S n kompkt (Stz 7.7.2) x 0 S n so dß λ = x 0 ; x 0 R n beliebig, x 0 0 λ = x x λ x x x x Definition (Distnzfunktion). M R n, M heißt Distnzfunktion. dist(x, M) := inf{ x M} Bemerkung. Flls M kompkt, so folgt us Stz 7.7.2, dß ein M existiert, so dß dist(x, M) = x. 65

66 Proposition dist(, M) ist Lipschitz-stetig mit L =, d.h. Beweis dist(x, M) dist(y, M) x y x, y R n dist(x, M) x = x y + y x y + y M. Wähle so, dß y dist(y, M) + ε für ε > 0. dist(x, M) x y + dist(y, M) + ε dist(x, M) dist(y, M) x y + ε nlog zeigt mn dist(y, M) dist(x, M) x y + ε. Definition (Abstnd von Mengen). A, B R n, nicht-leer heißt kleinster Abstnd von A zu B. dist(a, B) = inf{dist(x, B) : x A} Bemerkung. Flls A, B R n kompkt sind, so existieren A, b B, so dß dist(a, B) = b. Beispiel. für A, B nicht kompkt: A = { (x, y) R 2 y 0 } { } B = (x, y) R 2 y +x 2 dist(a, B) = 0, ber ds Infimum wird nirgendwo ngenommen. 7.8 Gleichmäßige Stetigkeit: Definition 7.8. (gleichmäßig stetige Funktionen). Eine Funktion f : M R d heißt gleichmäßig stetig uf M, flls ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dß f(x) f(y) < ε x, y M mit x y < δ gilt. Kurz: ε > 0 : δ > 0 : x, y M mit x y < δ : f(x) f(y) < ε Bemerkung. Gleichmäßig stetige Funktionen sind stetig, insbesondere knn δ unbhängig von x 0 gewählt werden. Lipschitz-stetige Funktionen sind gleichmäßig stetig, insbesondere knn mn δ explizit ngeben: δ = ε L. Beispiel. (stetige Funktion, die nicht gleichmäßig stetig sind) Sei f : I = (0, ] R; f(x) = x Behuptung. f ist uf (0, ] nicht gleichmäßig stetig. Beweis 66

67 Zz: ε > 0 : δ > 0 : x, y mit x y < δ : f(x) f(y) ε. Sei ε = 2, x (0, 2 ], y = 2x x y = x. Somit ist f(x) f(y) = x 2x = 2x > ε Proposition Jede stetige Funktion uf einer kompkten Menge ist dort uch gleichmäßig stetig. Beweis Annhme: Behuptung ist flsch. ε > 0 : δ > 0 : x, y mit x y < δ : f(x) f(y) ε zu δ = n existiert x n, y n mit x n y n < n : f(x n) f(y n ) ε Definitionsbereich K von f ist kompkt Teilfolge n k, so dß x nk x 0, y nk x 0 für k (f ist stetig) f(x nk ) f(y nk ) 0. Widerspruch. Beispiel. f : R R, f(x) = x 2, f ist nicht gleichmäßig stetig uf R, ber uf [, b] R 7.9 Punktweise Konvergenz & ihre Problemtik Sei M R n, wir betrchten Funktionenfolgen f n : M R d Definition 7.9. (Punktweise Konvergenz). Wir sgen (f n ) F (M, R d ) konvergiert punktweise, flls der Limes lim n f n(x) für lle x M existiert. f(x) := lim n f n(x) heißt der punktweise Grenzwert/Limes von f n. Problem. Gute Eigenschften bleiben oft unter punktweiser Konvergenz nicht erhlten, zum Beispiel Stetigkeit. Beispiel. f n : [0, ] R, f n (x) = x n Also ist f n stetig n, ber f nicht. { 0 x [0, ) x = } =: f(x) Beispiel. dfür, dß zwei Grenzprozesse im llgemeinen nicht vertuscht werden können: = lim n lim x f n(x) lim x lim n f n(x) = 0 Einführung eines strengeren Konvergenzbegriffes vermeidet dies. Merkregel. Zwei Grenzprozesse lssen sich vertuschen, wenn einer gleichmäßig im nderen ist. 67

68 7.0 Gleichmäßige Konvegenz und Stetigeit Definition 7.0. (gleichmäßige Konvergenz). Eine Folge (f n ) F (M, R d ) konvergiert gleichmäßig gegen f F (M, R d ), flls Anders usgedrückt bedeutet dies Unterschied zu punktweiser Konvergenz: Bezeichnung. f n f glm f n f = sup f n (x) f(x) n 0. x M ε n 0 : n n 0 x M : f n (x) f(x) < ε. x M : ε n 0 = n 0 (ε, x) n n 0 : f n (x) f(x) < ε. Bemerkung. In Definition 7.0. muss nicht gelten f n <, f < Geometrische Interprettion Gleichmäßige Konvergenz bedeutet, dß lle f n für n n 0 im gnzen Definitionsbereich in ε-streifen um f liegen. Dies gilt nicht für f n (x) = x n uf [0, ]. D us gleichmäßiger Konvergenz die punktweise Konvergenz folgt, kommt ls Grenzfunktion nur { x = f = 0 x [0, ) in Frge. Aber Konvergenz ist nicht gleichmäßig. Beispiel. { -nx x [0, f n : [0, ] R mit f n (x) = n ] 0 x ( n {, ] 0 x (0, ] Dmit bildet wie folgt b: f n (x) x = 0 Frge: f n f gleichmäßig? gleichmäßige Konvergenz: =: f(x) ε > 0 n 0 x [0, ] n n 0 : f n (x) f(x) < ε f n (x) f(x) = nx < ε n > ε x n muss immer gewählt werden, flls x 0 Konvergenz ist nicht gleichmäßig 68

69 ber: f n f gleichmäßig uf [, ] für > 0, denn zu ε > 0 wähle n 0 > ε sup f n (x) f(x) < ε x [,] }{{} =0 Proposition (Cuchy-Kriterium). f n : M R d R d konvergiert gleichmäßig gegen ein f : M R d genu dnn, wenn zu jedem ε > 0 ein n 0 N ex, so dß f n f m < ε n, m n 0. Beweis : D f n gleichmäßig gegen f konvergiert, existiert zu ε > 0 ein n 0, so dß gilt f n f < ε 2 n n 0. Somit gilt weiter f n f m f n f + f m f < ε n, m n 0. : zu ε > 0 : f n f m < ε n, m n 0 Proposition ) (Identifizierung des Grenzwertes) Insbesondere: f n (x) f m (x) < ε n, m n 0 x M (*) (f n (x)) ist Cuchy-Folge in R d x M f(x) := lim n f n(x) existiert 2) (Konvergenz f n f gleichmäßig) Aus (*) folgt f n (x) f(x) = lim m f n(x) f m (x) < ε x M, n n 0. D.h. f n f < ε n n (Der gleichmäßige Limes stetiger Funktionen ist stetig). Sei (f n ) C 0 (M, R d ) und es gelte f n f gleichmäßig uf M. Dnn ist uch f stetig, d.h. f C 0 (M, R d ) Beweis Sei x 0 M, sei ε > 0 n 0 N : n n 0 : f n (x) f(x) < ε 3 für lle x M. D f n0 stetig ist δ : f n0 (x) f n0 (x 0 ) < ε 3 x mit x x 0 < δ. Dmit berechnen wir f(x) f(x 0 ) = f(x) f n0 (x) + f n0 (x) f n0 (x 0 ) f n0 (x 0 ) f(x 0 ) f(x) f n0 (x) + f }{{} n0 (x) f n0 (x 0 ) + f }{{} n0 (x 0 ) f(x 0 ) < ε }{{} < ε < ε < ε für lle x mit x x 0 < δ 69

70 Bemerkung. Flls K R n kompkt, f C 0 (K, R d ) f = sup f(x) = mx f(x) < x K x K C 0 (M, R d ) mit ist Vektorrum. Stz impliziert, dß C 0 (M, R d ) mit vollständig ist, d.h. jede Cuchy- Folge in C 0 (K, R d ) ht einen Grenzwert in C 0 (K, R d ) Die Umkehrung von Stz 2 ist im llgemeinen nicht richtig, d.h. flls f n und f stetig, f n f, dnn muss die Konvergenz nicht gleichmäßig sein. ber es gilt: Proposition (Stz von Dini). K R n sei kompkt, (f n ) sei Folge stetiger Funktionen uf K mit Werten in R : f n (x) f n+ (x) n, x K (oder f n+ (x) f n (x) n) und f n (x) f(x) x K; f sei stetig. Dnn ist die Konvergenz uch gleichmäßig. Beweis Nch Vorussetzung ist f (x) f 2 (x)... x K f n (x) f(x) n, x f(x) f n+ (x) f(x) f n (x) n+ = f f n+ n n ist monoton fllende Folge nicht-negtiver Zhlen n 0 für n. Flls = 0, folgt die Behuptung. Annhme. Es ist > 0. Wegen der Monotonie von ( n ) ist n = f f n > 0. D K kompkt ist und f und f n stetig sind, existiert eine Folge x n K, für die f(x n ) f n (x n ) = f f n > 0 gilt. Weiterhin folgt us der Kompktheit von K, dß es eine Teilfolge gibt (x nk ) und ein x 0 K mit x nk x 0 für k. Wegen der Konvergenz der f n können wir zu ε (0, ) ein n 0 wählen, so dß f(x 0 ) f n (x 0 ) < ε 3 n n 0. Wegen der Stetigkeit von f können wir zu diesem ε ein δ > 0 wählen, so dß ) f(x) f(x 0 ) < ε 3 x mit x x 0 < δ 2) f n0 (x) f n0 (x 0 ) < ε 3 x mit x x 0 < δ 70

71 Es ist: f(x) f n (x) f(x) f n0 (x) n n 0. Dmit gilt für x B δ (x 0 ) : f(x) f n (x) f(x) f n0 (x) f(x) f(x 0 ) + f(x 0 ) f n0 (x 0 ) + f n0 (x 0 ) f n0 (x) D x n x 0 gilt x nk B δ (x 0 ) für k k 0 und somit ist Andererseits ist ber Widerspruch. f n0 (x nk ) f(x nk ) < ε. f nk (x nk ) f(x nk ) = f nk f > ε. 7. Weierstrßscher Approximtionsstz Proposition 7... Sei I = [, b] R, f : I R sei stetig. Dnn existiert ein Folge (p n ) von Polynomen, so dß p n gleichmäßig gegen f konvergiert. Beweis später! (mit Hilfe der Fltung) 7.2 Gleichmäßig konvergente Reihen Hier f : M R n C oder R Definition 7.2. (Gleichmäßig konvergente Reihen). Zu einer Funktionenfolge f n : M C betrchten wir die Reihe f n (x). Wir sgen, die Reihe konvergiert gleichmäßig uf M, flls die Folge der Prtilsummen gleichmäßig uf M konvergiert. s n (x) = n f k (x) k=0 Proposition (Mjorntenkriterium). f n konvergiert gleichmäßig, flls fn < (7.) Beweis über Cuchy-Kriterium n s n (x) s m (x) = f k (x) k=m+ n k=m+ f k (x) n Nch Vorussetzung existiert zu ε > 0 ein n 0, so dß k=m+ f k n k=m+ f n < ε n, m n 0 7

72 s n s m = sup s n (x) s m (x) n f k < ε n, m n 0 x M k+ Bemerkung. Eine Reihe, die (7.) erfüllt, heißt norml konvergent. Proposition (Anwendung uf Potenzreihen). Sei k z k eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius R > 0. Dnn konvergiert k z k norml (und dmit nch Stz uch gleichmäßig) in B r (0) r (0, R). Beweis f k (z) = k z k f k (z) k z k k r k für z B r (0). Nch Definition von R gilt k r k < f k < k Korollr Jede Potenzreihe ist im Inneren ihres Konvergenzkreises eine stetige Funktion. Beispiel. exp(z), sin(z), cos(z) sind stetig uf gnz R bzw C 7.3 Sinus und Cosinus (uf R) Erinnerung: e ix = cos(x) + i sin(x), cos(x) = ( ) k x2k k=0 2k!, sin(x) = ( ) k x2k+ k=0 (2k+)! Proposition 7.3. (Nullstellen des Cosinus). Der Cosinus ht im Intervll (0, 2] genu ein Nullstelle. Diese bezeichnen wir mit π 2. Es gilt sin( π 2 ) =. Beweis ) (Einschliessungslemm) Für x (0, 2] gilt x2 2 < cos(x) < x2 2 + x4 24 x x3 6 < sin(x) < x Es ist cos(x) = x2 2 + ( ) k x2k (lternierende Reihe ) 2k! k 2 }{{} k Es gilt: k+ x k = 2 (2k+)(2k+2) < für lle x 2, k 2 k streng monoton fllende Nullfolge s < s3 < s5... < s <... s4 < s2 72

73 Für (k =, k = 2) ist x2 x2 2 < cos(x) < 2 + x4 24 x (0, 2] Anlog für sin(x) 2) cos(x) ist streng monoton fllend in (0,2] Aus Additionstheorem: cos(x) cos(y) = 2 sin ( x y 2 Sei x, y (0, 2], y < x x y 2 < x+y 2 < 2 Aus. folgt sin(x) > 0 x (0, 2] cos(x) cos(y) < 0 3) cos ht in (0,2] genu ein Nullstelle ) ( sin x+y ) 2 cos 0 =, cos 2 < = 3 ZWS mindestens eine Nullstelle Aus 2) x 0 eindeutig bestimt: π := 2x 0. 4) (sin π 2 = ) Aus cos 2 x + sin 2 x = folgt sin π 2 = ±. Aus ) sin π 2 > 0. Proposition (Periodizität von Sinus und Cosinus). sin und cos sind 2π-periodische Funktionen, d.h. cos x = cos(x + 2kπ) k Z Beweis e i π 2 = i e z+i π 2 = ie z e z+iπ = e z e z+2πi = e z. Aus Additionstheorem folgt cos(z + iπ) = cos z; cos(z + 2π) = cos z sin(z + 2π) = sin z. Korollr e z = z = i2πk, k Z 7.3. Umkehrfunktion: ) tn x und rctn x : tn x = sin x cos x definiert für x π 2 + πz tn x ist streng monoton wchsend uf ( π 2, π ) 2 tn x ± für x ± π 2 tn ( π 2, π 2 ) R ist bijektiv stetige Umkehrfunktion rctn x : R ( π 2, π 2 2) rccos x und rcsin x : cos[0, π] [, ] streng monoton fllend ) 73

74 sin[ π 2, π 2 ] [, ] streng monoton fllend Umkehrfunktion existieren: rccos : [, ] [ π 2, π 2 ], rcsin : [, ] [ π 2, π 2 ] Proposition (Polrkoordinten). Jede Zhl z C besitzt eine Drstellung der Form z = re iϕ mit r = z und ϕ R. Flls z = 0, so ist ϕ beliebig, flls z 0, so ist ϕ bis uf Addition von 2πk eindeutig bestimmt. (r, ϕ) heißen Polrkoordinten zu z. Beweis Sei z 0. Schreibe z z = + ib mit 2 + b 2 =. { rcsin b flls 0 Definiere ϕ := π rcsin b flls < 0 Mn prüft leicht nch: + ib = e iϕ. Flls gilt: z z = eiϕ = e iψ = e i(ψ ϕ) (Korollr) ψ ϕ = 2πk, k Z 74

75 8 Differenzierbre Funktionen 8. Die Ableitung Definition 8.. (Ableitung, differenzierbr, Differenzenquotient). Eine Funktion f : I R R d heißt differenzierbr in x 0 I, wenn f(x) f(x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) lim = lim x x 0 x x 0 h 0 h existiert. Er heißt Ableitung von f in x 0. Der Ausdruck h f(x 0 ) := f(x 0) + h f(x 0 ) h heißt Differenzenquotient von f in x 0. Bezeichnung. f (x 0 ), f(x df 0 ), Df(x 0 ), dx (x 0) f heißt differenzierbr uf I, flls f in jedem x I differenzierbr ist. Kinetische Interprettion. Fsse t f(t) R d ls Kurve in R d uf, dnn ist f (t) die Geschwindigkeit der Bewegung im Punkt t. Geometrische Interprettion. f : R R. Sei P (x 0, f(x 0 )) R 2 und Q (x 0 + h, f(x 0 + h)) R 2. L(x) = f(x 0 ) + f(x 0 + h) f(x 0 ) (x x 0 ) (Gerde durch P und Q) }{{ h } =: h f(x 0 ) Flls f (x 0 ) existiert, dnn konvergiert die Steigung von L gegen f (x 0 ). ist die Tngente n (x 0, f(x 0 )) Beispiel. L(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) ) f(x) = x ist in x 0 = 0 nicht differenzierbr, denn in x 0 knn keine Tngente ngelegt werden. d 2) dxc = 0 (c R) 3) d dx (x) = 75

76 4) d dx (xn ) = nx n xn x n 0 x x 0 = x n + x n 2 x x n 0 nx n 0 für x x 0 5) d dx (ecx ) = ce cx ec(x+h) e cx h = ce cx ech ch }{{} 6) d dx (ln x) = x ln(x+h) ln x h = h 0 ln( x+h x ) h (folgt us Reihendrstellung) ) = ln ( + h x h x }{{} h 0 x Proposition 8..2 (äquivlente Formulierungen der Diffenrenzierbrkeit). Die folgenden Aussgen sind äquivlent (für f : I R R d, x 0 I) ) f ist in x 0 differenzierbr 2) Es existiert R d, so dß lim h 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h h = 0 In nderen Worten, es existiert eine linere Abbildung L : R R d (hier L(h) = h), so dß L heißt Differentil von f in x 0. Bezeichnung. df(x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) L(h) lim = 0. h 0 h 3) Es existiert eine in x 0 stetige Funktion ϕ : R R d, so dß f(x) = f(x 0 ) + ϕ(x)(x x 0 ) für lle x I Beweis. 2. Dies folgt mit = f (x 0 ). { f(x) f(x0 ) Sei ϕ(x) = x x 0 x x 0. x = x 0 Nun folgt us 2), dß ϕ stetig in x 0 ist. 3.. Es folgt f(x) f(x 0) x x 0 f in x 0 differenzierbr. f(x) f(x = ϕ(x), ϕ stetig in x 0 lim 0 ) x x 0 x x 0 existiert ist korrekt so? 76

77 Bemerkung. und ϕ sind eindeutig bestimmt Ist f in x 0 differenzierbr, dnn uch stetig (folgt us 3)) Umkehrung gilt nicht: f(x) = x f : I R R d ist in x 0 differenzierbr Komponentenfunktionen in x 0 differenzierbr f(x) = (f (x),..., f d (x)) ; f (x) = (f (x),..., f d (x)) Differenzierbrkeit ist lokle Eigenschft, d.h. ist f in x 0 differenzierbr und ist g : I R d mit g = f in B ε (x 0 ). Dnn ist g in x 0 differenzierbr mit g (x 0 ) = f (x 0 ). Definition 8..3 (höhere Ableitung). f : I R R d sei in I differenzierbr mit Ableitung f. Flls f in I differenzierbr ist, so nennen wir die Ableitung (f ) die zweite Ableitung von f. Bezeichnung. f, f, d 2 f, d2 d 2 x f Rekursiv definieren wir die n-te Ableitung von f über f (n) := (f (n ) ),..., f (0) := f. d Bezeichnung. n d n x f, dn f. Flls f (),..., f (n) existieren, so heißt f n-ml differenzierbr. Definition 8..4 (stetig differenzierbr). f : I R R d heißt stetig differenzierbr, flls f existiert und stetig ist. f heißt n-ml stetig differenzierbr, flls f (n) existiert und stetig sind. Bezeichnung. C n (I, R d ) : Vektorrum der n-ml stetig differenzierbren Funktionen C (I, R d ) : Vektorrum der beliebig oft differenzierbren Funktionen Beispiel. f(x) = e cx ; f C (R) 8.2 Rechenregeln Proposition 8.2. (Leibniz-Regel). ( ) Seien f, g : I R R differenzierbr in x I. Dnn sind uch (f + g), (fg), f g (für g(x) 0) differenzierbr. ) (f + g) (x) = f (x) + g (x) 2) (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) ( ) 3) f g (x) = (f (x)g(x) f(x)g (x)) g(x) 2 77

78 Beweis ) (f+g)(x+h) (f+g)(x) h 2) (fg)(x+h) (fg)(x) h = ( ) 3) f(x+h) h g(x+h) f(x) g(x) Beispiel. ) d dx (x n ) = d dx = f(x+h) f(x) h + g(x+h) g(x) h ( f(x+h) f(x) h ) g(x + h) + h 0 f (x)g(x) + g (x)f(x) = g(x+h)g(x) h = g(x+h)g(x) h 0 f (x) + g (x) ) f(x) ( g(x+h) g(x) h (f(x + h)g(x) f(x)g(x + h)) ( f(x+h) f(x) h h 0 g 2 (x) (f (x)g(x) f(x)g (x)) ( x n ) = x 2n ( nx n ) = nx n 2) p(x) = n k x k, p (x) = n k kx k k=0 k= 3) cos x = sin x, sin x = cos x g(x) f(x) g(x+h) g(x) h cos x = 2 (eix + e ix ) cos x = 2 i(eix e ix ) = sin x Proposition (Kettenregel). Seien I, J R, f : I R, g : J R d. Es gelte f(i) J. f sei in x 0 I differenzierbr, g sei in y 0 = f(x 0 ) differenzierbr. Dnn ist uch h = g f : I R d in x 0 differenzierbr und es gilt h (x 0 ) = g (f(x 0 ))f (x 0 ). D.h. dh dx (x 0) = dg dy (y 0) df dx (x 0), bzw. Merkregel dz dx = dz dy Beweis Benutze Stz 8..2 Teil 3 f(x) f(x 0 ) = ϕ(x)(x x 0 ), ϕ stetig in x 0 mit Wert f (x 0 ) g(y) g(y 0 ) = ψ(y)(y y 0 ), ψ stetig in y 0 mit Wert g (y 0 ) = g (f(x 0 )) g(f(x)) g(f(x 0 )) = ψ(f(x))ϕ(x)(x x 0 ) g(f(x)) g(f(x)) lim x x 0 x x 0 = lim ψ(f(x))ϕ(x) = g (f(x 0 ))f (x 0 ) x x 0 Beispiel. ) (x ) = x (x > 0, R) Wir wissen bereits: dy dx ) (x n ) = nx n, (e cx ) = ce cx, (ln x) = x Nun ist mit x = e ln x : ( (x ) = e ln x ( ln x) = e ln x ) x = x 78

79 2) f : I R, f differenzierbr in x 0 f n differenzierbr in x 0 mit (f n ) (x 0 ) = nf n f (x 0 ) 3) Sklrprodukt: f, g : I R R d, differenzierbr f, g (x) differenzierbr mit f, g (x) = f, g (x) = f, g (x) = f, g (x) + f, g (x). n f j (x)g j (x) j= n f j(x)g j (x) + j= n f j (x)g j(x) Proposition (Ableitung der Umkehrfunktion). Sei f : I R R invertierbr uf I mit Umkehrfunktion g. Sei f in y 0 I differenzierbr mit f (y 0 ) 0. Dnn ist g in x 0 = f(y 0 ) differenzierbr mit Beweis g (x 0 ) = f (y 0 ) = f (g(x 0 )) Nch Vorussetzung existiert ϕ : I R, ϕ stetig in y 0 mit j= f(y) f(y 0 ) = ϕ(y)(y y 0 ), lim y y 0 ϕ(y 0 ) = f (y 0 ). D f (y 0 ) 0 und f streng monoton ist, folgt ϕ(y) 0 y I. Setze x = f(y), x 0 = f(y 0 ), dnn ist x x 0 = ϕ(g(x))(g(x) g(x 0 )) g(x) g(x 0 ) = D ϕ und g stetig sind, folgt Bemerkung. lim x x 0 ϕ(g(x)) = f (g(x 0 )). Herleitung der Formel: f(g(x)) = x f (x(x))g (x) = Merkregel dy Beispiel. dx = dx dy tn x = sin x ( cos x mit x π 2, π ) 2 Umkehrfunktion: rctn y : tn x = cos2 x + sin 2 x cos 2 x tn(rctn y) = y tn (rctn y) }{{} rctn y = =+y 2 rctn (y) = +y 2 ϕ(g(x)) (x x 0). = + tn 2 x 79

80 8.3 Mittelwertstz und Folgerungen (In diesem Kpitel nur reellwertige Funktionen f : I R R) Definition 8.3. (lokles/globles Mximum/Minimum). f : I R R ht in x 0 ein ) globles Mximum [Minimum], flls f(x) f(x 0 ) [f(x) f(x 0 )] x I 2) lokles Mximum [Minimum], flls es B ε (x 0 ) gibt, so dß f(x) f(x 0 ) [f(x) f(x 0 )] x B ε (x 0 ) I Bemerkung. Mxim und Minim heißen uch Extrem. Proposition (Notwendiges Kriterium für Extrem, Fermt 638). f : I R R besitze in einem inneren Punkt x 0 I ein Extremum und sei in x 0 differenzierbr. Dnn gilt f (x 0 ) = 0 Beweis f hbe in B ε (x 0 ) ein Extremum, zum Beispiel Mximum. Einerseits ist für x B ε (x 0 ) und x > x 0 Andererseits ist für x B ε (x 0 ) und x < x 0 Insgesmt gilt somit f (x 0 ) = 0 Bemerkung. f(x) f(x 0 ) x x 0 0 f (x 0 ) 0. f(x) f(x 0 ) x x 0 0 f (x 0 ) 0. f(x lim 0 +h) f(x 0 ) h 0 h =: f +(x 0 ) heißt rechtsseitige Ableitung f(x lim 0 +h) f(x 0 ) h 0 h =: f (x 0 ) heißt linksseitige Ableitung Flls f in x 0 differenzierbr, dnn f +(x 0 ) = f (x 0 ) = f (x 0 ) (Gegenbeispiel: f(x) = x, x 0 = 0 ist nicht differenzierbr. Im obigen Beweis zeigten wir f +(x 0 ) 0, f (x 0 ) 0. Die Behuptung gilt nicht, flls x 0 Rndpunkt von I ist, lso zum Beispiel f(x) = x uf x [0, ] Flls f ein lokles Mximum (Minimum) im rechten Rndpunkt x 0 ht und flls f (x 0 ) existiert, dnn muss f (x 0 ) 0 (f (x 0 0) gelten. 80

81 Umkehrung von Stz gilt im llgemeinen nicht, d.h. us f (x 0 ) = 0 folgt im llgemeinen nicht, dß f in x 0 ein Extremum ht. Ein Gegenbeispiel wäre: f(x) = x 3, x 0 = 0 Definition (sttionärer/ kritischer Punkt). Sei f : I R R in x 0 I differenzierbr. Dnn heißt x 0 sttionärer oder kritischer Punkt, flls Beispiel. W (x) = ( x 2 ) 2 W (x) = 2( x 2 )( 2x) = 4x( x 2 ) W (x) = 0 x 0 = 0; x /2 = ± f (x 0 ) = 0. W (x /2 ) = 0; W (x 0 ) 0 x x /2 sind globle Minim Nch dem Stz von Weierstrß nimmt W uf [-,] Infimum und Supremum n x 0 ist lokles Mximum Proposition (Mittelwertstz der Differentilrechnung, Lgrnge 797). Sei f : [, b] R stetig und differenzierbr uf (, b). Dnn existiert x 0 (, b) so dß f(b) f() = f (x 0 )(b ). Ein Spezilfll ist der Proposition (Stz von Rolle ). Flls f(b) = f() dnn existiert ein x 0 (, b) mit f (x 0 ) = 0. Beweis ) Beweis des Stzes von Rolle. Sei f() = f(b), f stetig f nimmt uf [, b] Infimum und Supremum n. Wir unterscheiden zwei Fälle: ) f(x) f() x f (x) = 0 x (, b). b) f nicht konstnt mindestens ein Extremum ist von und b verschieden x 0 (, b) so dß f(x 0 ) miniml oder mximl Nch Stz ist dnn f (x 0 ) = 0. 2) Rückführung uf Rolle. Sei F (x) := f(x) f(b) f() b (x ). Dmit ist F () = f() und F (b) = f(). Somit existiert nch dem Stz von Rolle ein x 0 (, b) mit F (x 0 ) = 0. F (x) = f (x) f(b) f() b f (x 0 ) = f(b) f() b Michel Rolle (652-79) wr frnzösischer Mthemtiker[Wl2004]. 8

82 Bemerkung. (lterntive Formulierung des Mittelwertstzes) f wie oben, x [, b], x + h [, b] θ (0, ) so dß f(x + h) f(x) = f (x + θh)h. Korollr f C 0 ([, b]), f differenzierbr in (, b). Dnn gilt: ) Flls f (x) = 0 x (, b), dnn ist f(x) const x [, b] 2) Flls f (x) > 0 [f (x) < 0] x (, b), dnn ist f streng monoton wchsend [fllend] 3) Flls f (x) 0 [f (x) 0] x (, b), dnn ist f monoton wchsend [fllend] 4) Flls f (x 0 ) = 0, so ht f in x 0 ein ) Minimum, flls f (x) 0 x (, x 0 ), f (x) 0 x (x 0, b) b) Mximum, flls f (x) 0 x (, x 0 ), f (x) 0 x (x 0, b) 5) Schrnkenstz. Flls f (x) L x (, b), dnn gilt Beweis f(x) f(y) L x y x, y [, b] D.h. eine differenzierbre Funktion mit beschränkter Ableitung ist Lipschitz-stetig. ) Sei x (, b) bel. Wende MWS uf [, x] n f(x) = f() x [, b]. 2) Sei x, y [, b], y < x. Nch MWS existiert ξ (y, x) mit f(x) f(y) = f (ξ) (x y) }{{} >0 f(x) > f(y) flls f > 0 f streng monoton wchsend f(x) < f(y) flls f < 0 f streng monoton fllend 3) nlog zu 2) 4) folgt us 3) 5) folgt us dem MWS

83 8.4 Anwendungen des Mittelwertstzes 8.4. Chrkterisierung der Exponentilfunktion. Jede differenzierbre Funktion f : R R, die die Reltion f (x) = f(x) x R erfüllt, ist von der Form f(x) = Ce x, C R. Beweis Sei g(x) = f(x)e x, g (x) = (f (x) f(x)) e x = 0. }{{} =0 Nch Korollr Teil ) ist dnn g(x) = C x Bemerkung. Eine Reltion zwischen f und ihrer Ableitung (wie z.b. f Differentilgleichung. = f) heißt Rechnung Sei f(x) = x( x) (Flächeninhlt eines Rechtecks mit Umfng 2), für ein > 0, x 0. Dmit ist f (x) = 2x. Es folgt f (x 0 ) = 0 x 0 = 2. Weiterhin ist f (x) > 0 für x < x 0 und f (x) < 0 für x > x 0. Nch Korollr 8.3.6, Teil 4 ht f in x 0 ein Mximum. Anwendung. ) Unter llen Rechtecken mit gegebenem Umfng ht ds Qudrt den grössten Flächeninhlt. Oben bereits x 0 = 2 berechnet. 2) Unter llen Dreiecken mit gegebenen Umfng 2s und einer Seite mit Länge, ht ds gleichschenklige Dreieck den grössten Flächeninhlt, denn für die Fläche A gilt (hier nicht bewiesen) A = s(s )(s b)(s c); 2s = + b + c; x = b s c = + x s A = s(s )(s x)( + x s) =: F (x) Somit wird Fläche A mximl f(x) := F 2 (x) s(s ) = (s x)( + x s) mximl. Wie oben f mximl s x = + x s x = s 2 c = 2s x = s 2 = b Fehlerbschätzung bei linerer Interpoltion Ziel: Approximiere f : [, b] R durch Gerde L mit L() = f(); L(b) = f(b) Frge: Wie gross ist der Fehler f(x) L(x)? Antwort: Flls f zweiml differenzierbr ist, dnn existiert zu x (, b) ein ξ (, b) mit f(x) L(x) = 2 f (ξ)(x )(x b) 83

84 Korollr Flls f (x) k x (, b), dnn gilt uch f(x) L(x) k 8 (b )2, denn mx x (,b) 2 (x )(x b) = 8 (b )2. Beweis Sei x (, b) fest, ϕ(x) = f(x) L(x). Insbesondere ist ϕ() = ϕ(b) = 0. Sei q(t) ds Polynom 2.Grdes, ds mit ϕ in den Punkten, x und b übereinstimmt. ϕ(x) q(t) = (t )(t b) (x )(x b) (Prbel) Wir wollen den MWS uf ϕ q nwenden: (ϕ q)() = (ϕ q)(x) = (ϕ q)(b) = 0. Nch dem Stz von Rolle t (, x), t 2 (x, b) mit (ϕ q )(t j ) = 0, i =, 2. Weiter existiert nch dem Stz von Rolle ein ξ (t, t 2 ) mit (ϕ q )(ξ) = 0. ϕ (ξ) = q 2ϕ(x) (ξ) = (x )(x b) ; L 0 f (ξ) = ϕ 2ϕ(x) 2(f(x) L(x)) (ξ) = = (x )(x b) (x )(x b) Anwendung. Approximiere f C 2 ([, b); R) durch stückweise ffine Funktion Flls f (x) k x (, b); g n stückweise linere Approximtion zu b n g n (x) f(x) C, dh. der Fehler geht qudrtisch in n 2 n gegen Null Proposition (Verllgemeinerter Mittelwertstz). f, g : [, b] R seien differenzierbr in (, b); g(x) 0 x (, b). Dnn existiert ein ξ (, b) mit Beweis f(b) f() g(b) g() = f (ξ) g (ξ) Sei F (x) = f(x) f(b) f() g(b) g() (g(x) g()) F () = F (b) = f(). Nch Rolle ξ (, b) mit F (ξ) = 0. D F (x) = f (x) f(b) f() g(b) g() g (x), folgt die Bhuptung. 84

85 Proposition L Hospitlsche Regel f, g : (, b) R differenzierbr mit g (x) 0 x (, b). Flls ) ) lim x f(x) = 0 und lim x g(x) = 0 2) b) f(x) ± für x und g(x) ± für x dnn gilt: Entsprechend für x, x ±. f(x) lim x g(x) = lim f (x) x g (x). 85

86 Beweis ) Es ist f() = 0 = g(). Nch dem verllgemeinerten Mittelwertstz existiert ein ξ (, x), so dß f(x) g(x) = f (ξ) g (ξ). Für x ξ. Dmit folgt die Behutung. 2) Sei A := lim f (x) x g (x), wir wollen zeigen: ε > 0 : δ : A f(x) g(x) < ε x (, + δ). Zu gegebenem ε > 0 wähle δ so dß A f (x) g (x) < ε x (, + δ). Beispiel. Nch dem verllgemeinerten Mittelwertstz existiert zu x, y (, + δ), x < y, ein t (x, y) mit f(x) f(y) g(x) g(y) = f (t) g (t) f(x) f(y) g(x) g(y) A < ε x, y (, + δ). Es gilt f(x) g(x) = f(x) f(y) g(x) g(y) g(y) g(x) f(y) f(x) }{{} x für festes y. Dmit existiert zu ε > 0 ein ˆδ, für welches gilt: f(x) f(x) f(y) g(x) g(x) g(y) < ε für x (, + ˆδ). Setze δ = min(ˆδ, δ). Drus folgt f(x) g(x) A f(x) f(x) f(y) g(x) g(x) g(y) + f(x) f(y) g(x) g(y) A ) lim x 0 x ln x = lim ln x x 0 x < 2ε x (, + δ) = lim x 0 x x 2 = 0 ( 2) lim x 0 x ( sin x) = lim sin x x ) x 0 x sin x = lim ( cos x x 0 sin x+x cos x ) 86

87 8.4.3 = lim ( sin x x 0 2 cos x+x sin x ) = 0 Definition (Stmmfunktion). Eine differenzierbre Funktion F : I R heißt Stmmfunktion zu f : I R, flls F (x) = f(x) x I gilt. Bemerkung. F, F 2 Stmmfunktion zu f F F 2 = const, denn F F 2 = Konvexität (hier f : I R R) Eine Funktion f heißt konvex, wenn die Verbindungslinien zweier Punkte (x, f(x)) und (y, f(y)) des Grphen von f immer oberhlb des Grphen im Intervll (x, y) liegt. Definition 8.5. (Konvexe Funktion). Eine Funktion f : I R R heißt konvex, flls für lle x, y I und λ (0, ) gilt: f(λx + ( λ)y) λf(x) + ( λ)f(y) (K) Entsprechend heißt f strikt konvex, flls f(λx + ( λ)y) < λf(x) + ( λ)f(y) konkv, flls f(λx + ( λ)y) λf(x) + ( λ)f(y) strikt konkv, flls f(λx + ( λ)y) > λf(x) + ( λ)f(y) Bemerkung. Eine konvexe Funktion muss nicht differenzierbr sein, Beispiel f(x) = x. Eine konvexe Funktion f : I R R ist stetig, dies folgt us folgender Proposition. Proposition (Äquivlente Formulierungen der Konvexität). f : I R R ist genu dnn konvex, wenn für lle x, y, z I, x < y < z, die folgende Ungleichung gilt. f(y) f(x) x y f(z) f(y) z y (K) Genuer: f(y) f(x) y x f(z) f(x) z x Beweis Aus f konvex folgt für x < z und λ (0, ) f(z) f(y) z y f(λx + ( λ)z) λf(x) + ( λ)f(z) (K2) (K) Setze in (K) ein: y := λx + ( λ)z y (x, z) λ = y z x z = z y z x ; λ = x y x z = y x z x 87

88 Also (K) ist äquivlent zu f(y) z y z x f(x) + y x z x f(z). Durch Division durch (z y) und (y x) und der Multipliktion mit (z x) ist dies weiter äquivlent zu (z x) f(y) (z y)(y x) y x f(x) + z y f(z). Durch Addition von y xf(y) und Umordnung ergibt sich f(y) f(x) y x y x f(y) (z x) (z y)(y x) f(y) + z y f(z) = f(y) ( z x ) + f(z) y x z y z y = f(z) f(y) z y (K) (K2) folgt nlog. Proposition (Konvexitätskriterium für differenzierbre Funktionen). Sei f : [, b] R, f sei in (, b) differenzierbr. Dnn ist f konvex genu dnn, wenn f monoton wchsend ist. (f strikt konvex f streng monoton wchsend) Beweis : f sei konvex (K2) erfüllt. Lsse in (K2) x y konvergieren und y z. f (x) f(z) f(x) z x f (z) x < z : Sei x < y < z. Zu zeigen: (K) Nch dem Mittelwertstz existieren ein ξ (x, y) und ein ξ 2 (y, z) so dß und D f monoton wchsend (K) f(y) f(x) y x f(z) f(y) z y = f (ξ ) = f (ξ 2 ). Korollr Sei f : [, b] R, f sei zweiml differenzierbr. Dnn ist f [strikt] konvex genu dnn, wenn f (x) 0 [f (x) > 0] für lle x (, b). 88

89 Beweis ) f (x) 0 f monoton wchsend f konvex 2) Sei f (x) > 0. Annhme f sei nicht strikt konvex, dnn existieren x, y, z, wobei x < y < z, mit f(y) f(x) f(z) f(x) = y x z x Nch dem Mittelwertstz existieren nun ξ (x, y), ξ 2 (y, z) mit f (ξ ) = f(y) f(x) y x = f(z) f(y) z y = f (ξ 2 ). Widerspruch. Beispiel. ) e x strikt konvex uf R ln x strikt konkv uf R { konvex p >, p < 0 2) x p strikt, x R konkv p (0, ) + Korollr (Tngentenkriterium). f : [, b] R sei in (, b) differenzierbr. Dnn ist f genu dnn konvex, wenn die Tngente in jedem Punkt immer unterhlb des Grphen von f liegt, d.h. Beweis f(y) f(x) + f (x)(y x) x, y (, b) (T) : f sei konvex. Wir benutzen, dß f monoton wchsend ist. Sei x, y (, b), obda x < y : Nch dem Mittelwertstz existiert ein ξ (x, y) mit f(y) f(x) y x = f (ξ) f (x) (T) : Sei (T) erfüllt: Wir zeigen (K). Sei dzu x < y < z : f(y) f(x) y x Definition (Wendepunkt). (T) f (y) (T) f(z) f(y) (K) z y Sei f : [, b] R. (x 0, f(x 0 )) heißt Wendepunkt von f, flls es Intervlle (α, x 0 ) und (x 0, β) gibt, so dß entweder ) f konvex in (α, x 0 ) und konkv in (x 0, β) 2) f konkv in (α, x 0 ) und konvex in (x 0, β) Beispiel. f(x) = x 3 ; (0, f(0)) = (0, 0) ist Wendepunkt 89

90 8.6 Fundmentle Ungleichungen Proposition 8.6. (Jensensche Ungleichung). f : [, b] R sei konvex, λ,..., λ n (0, ) mit f ( n ) λ j x j i= }{{} Konvexkombintionen der x j und = gilt nur dnn, wenn x =... = x n. Beweis (induktiv) n λ j = ; x,..., x n [, b]. Dnn gilt: i= n λ j f(x j ) j= IA: n = 2 (dies ist gerde die Definition der Konvexität) IS: n n + : Wir setzen λ := n λ j und x := j= np λ j x j j= λ n f λ j x j + λ n+ x n+ λf(x) + λ n+ f(x n+ ) j= n = λf j= λ j x j λ. Mit der Konvexität gilt dnn + λ j+ f(x j+ ) Mit der Induktionsnnhme ist dies n n+ λ λ j λ f(x j) + λ n+ f(x n+ ) = λ j f(x j ) j= Korollr (Ungleichung zwischen rithmetischem und geometrischem Mittel). x,..., x n R + ; λ,..., λ n (0, ) mit n λ j =. Dnn gilt: n j= x λ j j n λ j x j ; j= i= insbesondere Gleichheit gilt genu dnn, wenn x =... = x n. n j= x j j= n n Beweis D der ln strikt konkv ist, folgt nch der Jensenschen Ungleichung n n n ln λ j x j λ j ln x j = ln x λ j j= j= j= n j= x j 90

91 Durch Anwendung von exp gilt dnn n n λ j x j exp ln x λ j = j= Definition (p-norm). Zu x R n, p definieren wir die p-norm Bemerkung. x p := j= ( n i= x j t p ) p p ist offensichtlich homogen und positiv definit Dreiecksungleichung zeigen wir mit der Minkowski-Ungleichung p ist Norm n j= x λ j j Korollr (Hölder-Ungleichung). Seien x, y R n, p > und p + p =. Dnn gilt n x j y j x p y p. j= Für p = 2 entspricht dies der Cuchy-Schwrz-Ungleichung. Anwendung. Sei x j p < ; y j p <. j= j= Nch der Hölderungleichung für Prtilsummen gilt dnn x j y j <. Beweis OBdA sind x 0, y 0. Nch Korollr gilt x i y i x p y p = ( x i p x p p n x j y j x p y p j= ) p ( y i p ) p y p p n x j p p x p j= p }{{} = j= x i p p x p + y i p p p y p p + n y j p p j= y p p }{{} = } {{ } = Korollr (Minkowski-Ungleichung). Sei x, y R n, p. Dnn gilt x + y p x p + y p 9

92 Beweis Für p = ist nichts zu zeigen. Sei lso p >. Dnn ist Setze p = x i + y i p = x i + y i s i mit s i = x i + y i p p p. Es ist x i + y i s i x i s i + y i s i. Dmit gilt weiter n x j + y j p j= n x j s j + j= n y j s j x p s p + y p s p, wobei j= n s p = x j + y j (p )p j= p = n x j + y j p j= p p = x + y p p Dividiere Ungleichung durch x + y p p x + y p x p + y p 8.7 Eine uf gnz R stetige ber nirgends differenzierbre Funktion Beispiel. f(x) := n { 4 f n (x); f n (x) = n (x) : x [ k4 n ; (k + ) 2 )4 n 4 n ( x) : x [ (k + 2 )4 n ; (k + )4 n ) mit k N. f n periodisch mit Periode 4 n, f n stückweise offen, Steigung ± Es gilt f n = 4 n f n konvergiert norml f n konvergiert gleichmäßig, f n stetig, f stetig. Behuptung. f ist in keinem Punkt x R n differenzierbr. Beweis Sei x R beliebig. Wir zeigen, dß es eine Nullfolge (h n ) gibt, so dß f(x + h n ) f(x) lim n h n nicht existiert. Zu n N definieren wir h n = ± 4 4 n, so dß f n in (x, x + h n ) liner ist. Dmit ist f k in (x, x + h n ) liner für lle k < n. Für k > n ist h n die Periode von f k, worus f k (x h n ) f k (x) h n = 0 folgt. Für die Differenzenquotienten von f zu h n ergibt sich dnn f(x + h n ) f(x) h n = welche nicht für n konvergiert. k= f k (x + h n ) f k (x) h n = n ±, k= 92

93 9 Ds eindimensionle Riemnn-Integrl Ziel: Flächeninhlte, Flächen unter Kurven Wie: Approximtion Hier: Drboux-Version des Riemnn-Integrls Achtung: in diesem Kpitel gilt: J = [, b] ist kompktes Intervll f : J R sei beschränkt f : J R m uch möglich J nicht kompkt uneigentliches Riemnn-Integrl 9. Integrierbre Funktionen Definition 9.. (Riemnn-Summe, Zerlegung, Feinheit). ) Eine Zerlegung Z von J ist eine endliche Menge von Punkten Z = {x 0, x,..., x k } mit = x 0 < x <... < x k = b die x i heißen Teilpunnkte J i = [x i, x i ] heißen Teilintervlle J i = x i x i ist Länge von J i Z = mx J j ist Feinheit von Z j=,..,k 2) Z wie oben; ξ = (ξ,..., ξ k ) heißt Menge von Stützstellen pssend zu Z, flls ξ j J j (j =,..., k) 3) Z, ξ, wie oben, f B(J) Riemnn-Summe von f bezüglich Z, ξ : 4) m j := sup J j (f) m j := inf J j (f) S Z (f, ξ) = k J j f(ξ j ) S Z (f) = k J j m j Obersumme von f bezüglich Z j= S Z (f) = k J j m j Untersumme von f bezüglich Z j= j= 93

94 Bemerkung. Es gilt stets: S Z (f) S Z (f, ξ j ) S Z (f) Definition 9..2 (Verfeinerung). ) Z heißt Verfeinerung von Z, flls die Teilpunkte von Z uch Teilpunkte von Z sind. 2) Seien Z, Z 2 zwei Zerlegungen. Z Z 2 ist die Zerlegung, deren Teilpunkte die Teilpunkte von Z &Z 2 sind (Z Z 2 heißt gemeinsme Verfeinerung). Lemm Sei Z Verfeinerung von Z, dnn ist S Z (f) S Z (f) S Z (f) S Z (f) Beweis OBdA ht Z einen Teilpunkt mehr ls Z. Z : = x <... < x l < x l < x l+ <... < x k = b Z : = x <... < x l < x l+ <... < x k = b Für die Differenz der Untersummen folgt drus S Z (f) S Z (f) [ ] [ ] = J l inf(f) + J l+ inf (f) ( J l + J l+ ) inf (f) J l J l+ J l J l+ ( ) ( ) = J l inf(f) inf (f) + J l+ inf (f) inf (f) 0. J l J l J l+ J l+ J l J l+ }{{}}{{} 0 0 Mn zeigt S Z S Z (f) nlog. Lemm Seien Z und Z 2 zwei beliebige Zerlegungen. Dnn gilt S Z (f) S Z2 (f). Beweis Sei Z 3 = Z Z 2. Nch Lemm 9..3 gilt: S Z (f) S Z3 (f) S Z3 (f) S Z2 (f) Definition 9..5 (Ober- und Unterintegrl). Sei f B(J). Bemerkung. I(f) := sup S Z (f) Z Zerl I(f) := inf Z Zerl S Z(f) Unterintegrl von f Oberintegrl von f 94

95 I(f), I(f) sind wohldefiniert, weil S Z (f) S Z0 (f) und für lle Z und Z 0 gilt. S Z (f) S Z0 (f) Z läuft liefert I(f) S Z0 (f) und I(f) S Z0 (f). Z 0 läuft liefert I(f) I(f). Lemm Sei f B(J), Z eine Zerlegung. Dnn gilt Beweis S Z (f) Def I(f) Bem I(f) Def S Z (f) Definition 9..7 (Riemnn-integrierbr). f heißt Riemnn-integrierbr, flls I(f) = I(f). Dnn heißt I(f) = I(f) ds Riemnn-Integrl von f überj. Bemerkung. Wir schreiben: I(f) = b f(x) dx = b f dx = [,b] f dx = R(J) = Menge ller integrierbren Funktionen uf J. Proposition 9..8 (Integrierbrkeitsbedingung ). Sei f B(J). Dnn gilt: f R(J) genu dnn, wenn für jedes ε > 0 eine Zerlegung Z existiert, so dß gilt Beweis S Z (f) S Z (f) ε. : Sei ε > 0 beliebig. Wählen Zerlegungen Z, Z 2 so dß [,b] ε 2 + S Z (f) I(f) = I(f) = I(f) S Z2 ε 2. Sei Z = Z Z 2. Nch Lemm 9..4 gilt: S Z (f) S Z (f), S Z (f) S Z2 (f). f. Drus folgt: ε 2 + S Z(f) I(f) S Z ε 2 95

96 : zz: I(f) I(f) ε ε Sei ε > 0 fest. Nch Vorussetzung existiert eine Zerlegung Z mit Somit ist Drus folgt: S Z (f) S Z (f) ε. S Z (f) I(f) I(f) S Z (f) S Z (f) + ε I(t) I(t) ε Proposition 9..9 (Integrierbrkeitsbedingung 2). Sei f B(J). Es gilt f R(J) genu dnn, wenn für lle ε > 0 : ein δ = δ(ε) existiert, so dß S Z (f) S Z (f) ε gilt für lle Z mit (Z) < δ. Beweis : folgt us Stz 9..8 : Sei ε > 0 fix, wähle Z us Stz 9..8 mit S Z (f) S Z (f) ε 2. Sei l Anzhl der Teilintervlle von Z. Sei δ zunächst beliebig und sei Z eine Zerlegung mit (Z) δ. Definiere Z := Z Z. Somit gilt uch S Z(f) S Z(f) ε 2. Die Ober- und Untersummen von f bezüglich Z und Z unterscheiden sich höchstens um l Terme. Dmit ist S Z (f) S Z(f) l δ 2 f, wobei 2 f die Abschätzung der Supremums-Terme ist. Anlog mcht mn dies für die Untersummen. Es folgt S Z (f) S Z (f) = S Z (f) S Z(f) + S Z(f) S Z(f) + S Z(f) S Z (f) Wählen δ = δ(ε) = ε 2 + 2l δ2 f. ε 8l f. Korollr Es sei (Z n ) eine Folge von Zerlegungen von [, b] mit (Z n ) 0. Sei f R([, b]) und (S Zn (f)) sei Folge Riemnnscher Zwischensummen zu (Z n ). Dnn gilt: b f(x) dx = lim n S Z n (f) 96

97 Beweis Zu ε > 0 existiert ein δ > 0, so dß S Z (f) S Z (f) < ε für lle Z mit (Z) < δ (nch Stz 9..9). Nch Vorusetzung existiert ein n 0 N so dß gilt (Z n ) < δ n n 0 und S Zn (f) S Zn (f) < ε n n 0. Per Definition gelten: und: Somit gilt weiter dh. S Zn (f) b f dx. b S Zn (f) I(f) = f dx = I(f) S Zn (f) b S Zn (f) S Zn (f) S Zn (f). f dx S Zn (f) < ε n n 0, 9.2 Eigenschften des Integrls Proposition 9.2. (Linerität des Integrls). R([, b]) ist ein (linerer) reeller Vektorrum und I : f b f dx ist lineres Funktionl uf R([, b]), d.h. zu f, g R([, b]), α, β R, ist uch h = αf + βg R([, b]), und es gilt Beweis b b h dx = α b f dx + β g dx. ) Für x [, b] sei lso h(x) := αf(x) + βg(x). Dnn gilt für lle x, y [, b] h(x) h(y) α f(x) f(y) + β g(x) g(y). Durch Aufsummierung ergibt sich dmit für lle Zerlegungen Z S Z (h) S Z (h) α S Z (f) S Z (f) + β SZ (g) S Z (g). Nch Vorussetzung existieren zu ε > 0 Zerlegungen Z, Z 2 mit S Z (f) S Z (f) < ε und S Z2 (g) S Z2 (g) < ε. 97

98 Setze Z := Z Z 2. Somit ist S Z (h) S Z (h) < α ε + β ε, worus nch Stz 9..8 h R([, b]) folgt. 2) Für jede Riemnnsche Zwischensumme gilt S Z (h, ξ) = αs Z (f, ξ) + βs Z (g, ξ) Für Z n mit (Z n ) 0 gilt nch Korollr 9..0 b S Zn (f) f dx, b S Zn (g) g dx Proposition b b h dx = lim S Z n n (h) = α ) Aus f, g R([, b]) folgt fg R([, b]) b f dx + β g dx 2) Flls zusätzlich g c > 0 gilt, so folgt f g R([, b]). Beweis ähnlich wie Stz 9..8 Proposition (Monotonie des Integrls). Seien f, g R([, b]) mit f(x) g(x) für lle x [, b]. Dnn gilt Insbesondere gilt uch: und b b b f dx f dx b b fg dx g g dx. f dx b f dx. Beweis Sei h := g f 0. Dnn gilt h R([, b]). Aus der Definition des Integrls folgt b h dx 0. 98

99 Nch Stz 9..8 folgt drus 0 b h dx = b b g dx f dx. Drus folgt die erste Behuptung. Die weiteren Behuptungen folgen durch Anwendung uf h = f ± f und h = g f ± gf. Definition (L 2 -Norm, L 2 -Sklrprodukt). Zu f, g R([, b]) definieren wir f L 2 = f L 2 ([,b]) := b b f, g L 2 := f(x) g(x) dx f(x) 2 dx 2 (L 2 -Norm) (L 2 -SKP) Bemerkung. L 2 und, sind Norm und SkP im Sinne von Definition?? und Definition??. Proposition dnn gilt: ( (Cuchy-Schwrzsche-Ungleichung für L 2 ). Seien f, g R([, b]), zur Erinnerung: Beweis. 0 f, g L 2 f L 2 g L 2 b (f λg) 2 dx, wähle λ = f L 2 g L 2 Korollr (Dreiecksungleichung für L 2 ). Für f, g R([, b]) gilt ). f + g L 2 f L 2 + g L 2 Beweis Übungsufgbe Proposition ) f C 0 ([, b]) f R([, b]) 2) f beschränkt und monoton uf [, b] f R([, b]) Beweis Übungsufgbe Beispiel. ) Für lle x [, b] sei f(x) = λ. Dnn ist b f dx = λ(b ). 99

100 2) f(x) = x, x [0, ] äquidistnte Zerlegungen: x j = + b n j, (Z n) = n ; hier x j = j n n S n = f(x)(x j x j ) = n j n n = n 2 2 (n + )n 2 für n j= j= 3) f(x) = x ; f(x) dx für > zu berechnen: Teilpunkte x k = k n, k = 0,..., n S n = = n f(x k )(x k x k ) = k= n k= n ) ) ( n = n ( n k= k n = n n ) ( k k n n n ln Fzit Berechnung des Integrls über Definition mühsm oft einfcher, Huptstz (9.4.) und Stmmfunktion (8.4.4) zu benutzen Ist F beknnt, so knn mn -umgekehrt zum obigen Verfhren- Grenzwerte von Summen über Integrle usrechnen Bemerkung ) Ds Integrl einer Funktion ändert sich nicht, wenn wir die Funktion n endlich vielen Stellen beliebig bändern. 2) Flls f über einem Intervll integrierbr ist, dnn uch über jedem Teilintervll. Proposition Dnn gilt Zerlegt mn I = k I l so dß I l I m = für l m. l= k f dx = f dx I l= I l Beweis Über Folge von Riemnn-Summen, deren Feinheit gegen Null läuft. Definition (Orientiertes Integrl). f R([, b]), α, β [, b] β α f(x) dx = α β f(x) dx flls β < α; 00

101 Proposition β α f(x) dx = 0 flls α = β Seien f R([, b]), α, β, γ [, b]. Dnn gilt β α f dx = γ α β f dx + γ f dx. Beweis OBdA ist γ [α, β]. Wieder über Folge von Riemnn-Summen, deren Feinheit gegen Null läuft. Integrtion vektor- und komplexwertiger Funktionen Definition 9.2. (integrierbr). ) f : [, b] C heißt integrierbr, flls R(f) R([, b]) und I(f) R([, b]) und wir setzen b f dx := b b Re(f) dx + i Im(f) dx 2) f : [, b] R d heißt integrierbr, wenn die Komponentenfunktionen integrierbr sind. Bemerkung. Alle Regeln übertrgen sich nlog. 9.3 Mittelwertstz der Integrlrechnung Definition 9.3. (Mittelwert). Zu f R([, b]) heißt der Mittelwert von f über [, b]. b f dx := b f dx b Proposition (Mittelwertstz). Sei f C 0 ([, b]) ( f R([, b])). Dnn existiert ξ (, b) mit Beweis Offensichtlich gilt b f(ξ) = b inf f [,b] f dx f dx sup f [,b] f stetig nimmt jeden Wert in [inf f, sup f] n Behuptung. 0

102 9.4 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Inhlt: Integrtion ist inverse Opertion zur Differentition. Proposition 9.4. (Huptstz). ) Sei f C 0 ([, b]), x 0 [, b]. Dnn ist durch x F (x) = f(t) dt eine Stmmfunktion zu f gegeben und es gilt F C ([, b]). 2) Ist F C ([, b]) Stmmfunktion zu f, dnn gilt b x 0 f(t) dt = F (b) F () =: F (x) b Beweis ) Die Definition des Differenzenquotienten ergibt für F (x) h F (x) = (F (x + h) F (x)) h = x+h x f(t) dt f(t) dt h = h x 0 x+h x f(t) dt x 0 Drus folgt h F (x) f(x) = h x+h x sup x t h (f(t) f(x)) dt f(t) f(x) h h 0 0, d f stetig x+h dt x }{{} = Dmit existiert F (x) x [, b], F (x) = f(x). 02

103 x 2) Sei Φ(x) = f(t) dt, Teil ) Φ ist Stmmfunktion mit Φ() = 0 b f(t) dt = Φ(b) = Φ(b) Φ() Sei F beliebige Stmmfunktion F (x) = Φ(x) + C, C R b f(x) dx = Φ(b) Φ() = F (b) F () Definition (unbestimmtes Integrl). Zu f C 0 ([, b]) bezeichne ds Symbol f dx die Menge der Stmmfunktionen zu f und heißt unbestimmtes Integrl zu f. Dgegen heißt b f dx ds bestimmte Integrl von f in den Grenzen [, b]. Beispiel. ) f(x) = x n f(x) = n+ xn+ f(x) = x n, x > 0 f(x) = n+ x n+ n 2 f(x) = x, x > 0 f(x) = ln { x f(x) = x α, x > 0 f(x) = α+ xα+ α ln x α = 2) f(x) = sin x, f(x) = cos x 3) f(x) = cos x, f(x) = sin x 4) tn x = cos 2 x dx = tn x cos 2 x 5) f(x) = e cx, f(x) = c ecx 6) f(x) = +x 2, f(x) = rctn x 7) Oder llgemeiner: dx = 2 +(x+b) 2 rctn ( x+b ) 03

104 8) f(x) = x 2 für x <, f(x) = rcsin x rcsin(sin y)) = y rcsin (sin y)) cos y = x = sin y x 2 = sin 2 y = cos 2 y rcsin (x) = x 2 9) f(x) = x 2, x, f(x) = 2 (x x 2 + rcsin x) Flächeninhlt des Hlbkreises: = x 2 dx = 2 (x x 2 + rcsin x) = 2 (rcsin() rcsin( )) = π Prtielle Integrtion Proposition ) Seien f, g C ([, b]). Dnn gilt b f (x)g(x) dx = f(x)g(x) b b f(x)g (x) dx 2) Seien f, g C ([, b], R d ), df(x) = (f (x),..., f d (x)). Dnn gilt Beweis b b Df(x), g(x) dx = f(x), g(x) b ) folgt us (fg) = f g + fg und dem Huptstz f(x), dg(x) dx 2) folgt us f(x), g(x) dx = df(x), g(x) + f(x), dg(x) und Huptstz Korollr Sei f C 0, sei F Stmmfunktion zu f, sei g C. Dnn gilt f(x)g(x) dx = F (x)g(x) F (x)g (x) dx. Beispiel. 04

105 ) π 2 0 sin 2 x dx = ) π 2 0 π 2 0 cos 2 x dx = π 4, denn: sin 2 x dx = cos x sin x π 2 }{{ 0 } =0 b) π 2 = π 2 0 dx = π π 2 0 sin 2 x + cos 2 x dx cos 2 x dx 2) ln x dx = ln x dx = x ln x x x dx = x(ln x ) 3) rcsin x dx = x rcsin x x(rcsin x) dx = x rcsin x x x 2 dx = x rcsin x + ( x 2) dx = x rcsin x + x 2 4) (mehrfche prtielle Integrtion) e x sin(bx) dx = b cos(bx)ex + cos(bx)e x dx b = b cos bxex + b 2 sin(bc)ex 2 b 2 e x sin(bx) dx e x sin(bx) dx = ( b + cos(bx)ex + b ) 2 2 sin(bx)ex b 2 = ex 2 ( sin(bx) b cos(bx)) + b2 5) (Rekursionformeln für Integrle) n N cos n x dx = cos x cos n x dx = sin x cos n x + (n ) = sin x cos n x + (n ) cos n x dx = n (sin x cosn x) n n sin }{{ 2 x} cos n 2 x dx cos 2 x cos n 2 x dx (n ) cos n 2 x dx cos n x dx 05

106 6) rctn x dx = x rctn x 9.6 Substitutionsregel x + x 2 dx }{{} =( 2 ln(+x2 )) = x rctn x 2 ln( + x2 ) Proposition Seien I, I R kompkt, f C 0 (I), ϕ C (I ) mit ϕ : I I. Dnn gilt für lle α, β I ϕ(β) ϕ(α) f(x) dx = β α f(ϕ(t))ϕ (t) dt Beweis Sei F C (I) eine Stmmfunktion zu f. Sei g(t) = F (ϕ(t)) g (t) = F (ϕ(t))ϕ (t) = f(ϕ(t))ϕ (t). β β f(ϕ(t))ϕ (t) dt = g (t) dt = g(β) g(α) α α ϕ(β) = F (ϕ(β)) F (ϕ(α)) = f(x) dx ϕ(α) Bemerkung. Formel gilt für lle Riemnn-integrierbren Funtkionen (f muss nicht stetig sein) Formel gilt ebenso -komponentenweise- für f C 0 ([, b], R d ) bzw Riemnn-integrierbre f : [, b] R d mehrdimensionle Vrinte wird wichtig sein (Koordintentrnsformtion) Merkregel x = ϕ(t), dx dt = ϕ (t) dx = ϕ (t) dt Beispiel. ) b f(x + c) dx t=x+c = b+c +c f(t) dt 2) b f(cx) dx t=cx = cb c c f(t) dt 3) b ϕ (t) ϕ(t) x=ϕ(t) dt = ϕ(b) d x dt ϕ() = ln ϕ(t) 06

107 4) Bt+C dt; B, C, b, c R. Idee: Wir schreiben den Zähler ls Ableitung des t 2 +2bt+c Nenners, um Beispiel 3 benutzen zu können: q(t) = t 2 + 2bt + c q (t) = 2t + 2b = 2(t + b) Bt + C t 2 + 2bt + c = B q (t) 2 q(t) Bb q(t) + C q(t) = B q (t) 2 q(t) + C Bb q(t) Bt + C t 2 + 2bt + c dt = B 2 ln t2 + 2bt + c + C Bb q(t) dt Es bleibt noch q(t) dt zu berechnen..fll: q(t) ht keine reelle Nullstell, d.h. b 2 < c: Idee bringe Integrl durch Substitution uf die Form Stmmfunktion rctn(ϕ(t)). Dzu: ϕ (t) ϕ 2 (t) + q(t) = t 2 + 2t + c = (t + b) 2 + c b 2 = (c b 2 ) [ ( t+b c b 2 ) 2 + ] Mit ϕ(t) = t+b c b 2 berechnet mn q(t) = ϕ (t) c b 2 ϕ 2 (t) + ( q(t) dt = t + b rctn c b 2 c b 2 ) 2.Fll: q(t) ht eine reelle Nullstelle, d.h. c = b 2 t 2 + 2bt + c dt = (t + b) 2 dt = t + b 07

108 3.Fll: q(t) ht zwei reelle Nullstellen, d.h. b 2 > c q(t) = t 2 + 2bt + b 2 (b 2 c) }{{} ( ) = t + b d t + b + d 2d q(t) dt = 2 b 2 c ln t + b b 2 c t + b + b 2 c d 2 = (t + b + d)(t + b d) (PBZ) 5) Sei x = r sin ϕ dx = r cos ϕ dϕ r 0 r 2 x 2 dx = π 2 (r = : Fläche unter Hlbkreis) 0 r 2 r 2 sin 2 ϕ r cos ϕ = r Integrtion rtionler Funktionen Definition 9.7. (rtionle Funktion). Eine Funktion der Form r(x) = p(x) q(x) π 2 0 cos 2 ϕ dϕ = r 2 π 4 mit reellen Polynomen p(x) und q(x) heißt rtionle Funktion. Sie ist ußerhlb der Nullstellen von q(x) definiert. Bemerkung. Mn knn jede rtionle Funktion schreiben ls r(x) = p 0 (x) + p (x) q(x) wobei p (x) kleineren Grd ht ls q(x) ( p q ist sogennnte echt gebrochenrtionle Funktion) es genügt, die Integrtion echt gebrochenrtionler Funktionen zu untersuchen. Prtilbruchzerlegung Es existiert immer eine eindeutige Zerlegung (Beweis Algebr) der Form n P (x) q(x) = n 2 j= k= m A kj (x j ) 2 + m 2 k= l= B kl x + C kl (x 2 + 2b k x + c k ) l 08

109 wobei (x 2 + 2b k x + c k ) irreduzibel, d.h. b 2 k < c k. Es genügt, Integrle der Form i) ii) iii) dx (x ) l dx x + b (x 2 + 2bx + c) l dx (x 2 + 2bx + c) l dx zu berechen, wobei b 2 < c gilt. dx dx i) = ln(x ); (x ) (x ) i = i x i für i > x + b ii) x 2 + 2bx + c dx = 2 ln x2 + 2bx + c x + b (x 2 + 2bx + c) l dx = 2 l (x2 + 2bx + c) l für l > iii) x 2 + 2bx + c = (x + b) 2 + c b 2 ; ϕ(x) = x + b, c b 2 ϕ (x) = c b 2 (x 2 + bx + c) l = (c b 2 ) l (ϕ 2 (x) + ) l = (c b 2 ) l 2 dx (x + 2bx + c) l = (c b 2 ) l 2 Zur Berechnung von I l : I l = prt Int (y 2 dy = + ) l y = (y 2 + ) l + 2lI l 2lI l+ I l+ = 2l y (y 2 + ) l + ϕ (x) (ϕ 2 + ) l dx }{{} R (y 2 +) l dy=:i l y (y 2 + ) l + 2l ( 2l ) I l y 2 (y 2 + ) l+ }{{} (y 2 +) l (y 2 +) l+ I l+ knn sukzessive uf I l zurückgeführt werden ( ) x + b I = rctn y = rctn c b 2 ϕ (x) (ϕ 2 (x) + ) l dy Beispiel. 09

110 Wir wollen berechnen. x 3 x 2 dx = x 2 (x ) dx Anstz. x 3 x 2 = x + b x 2 + c x (*) Wir hben zwei Möglichkeiten. ) Koeffizientenvergleich. x(x ) + b(x ) + cx2 x 3 = x2 x 2 (x ) b =, = b =, c = = 2) Grenzwertmethode. Multipliziere (*) i) mit x 2 ii) mit (x ) iii) mit x i) x = x + b + c x2 x, x 0 b = ii) (x ) = + x2 x iii) x(x ) = + b x + dx x 3 x 2 = 9.8 Uneigentliche Integrle I = x2 ( + c) + x(b ) b x 2 (x ) b(x ) x 2 + c, x c = c, x c + = 0 = x ( x + x 2 + ) x dx = ln + x x x Bisher hben wir noch nicht betrchtet, wenn zum Beispiel eine der Grenzen des Integrls ist: 0 e x2 dx = lim R R 0 e x2 dx Definition 9.8. (uneigentliches Integrl). Seien J = [, ), f R([, b]) für lle b (, ). Wir definieren ds uneigentliche Integrl b f(x) dx := lim f(x) dx b flls der Grenzwert existiert. Ansonsten heißt f(x) dx divergent. 0

111 b Bezeichnung. Flls f(x) dx b ± schreiben wir Proposition f(x) dx = ± (Konvergentes Integrl). Sei f R([, b]). genu dnn, wenn zu jedem ε > 0 ein ξ existiert, so dß b b f(x) dx < ε für lle b, b mit ξ < b < b. f(x) dx konvergiert Definition (Absolut konvergentes Integrl). Ds uneigentliche Integrl f(x) dx heißt bsolut konvergent, flls konvergiert. f(x) dx Proposition (Aus bsoluter Konvergenz folgt Konvergenz). Flls f(x) dx bsolut konvergiert, dnn konvergiert es uch. Beweis folgt mit b b f(x) dx b b f(x) dx < b < b <. Bemerkung. b f(x) dx ist konvergent C : f(x) dx C für b [, ) Proposition (Mjorntenkriterium). Sei f R([, b]). Flls eine uf [, b] integrierbre Funktion g 0 existiert mit g(x) dx < und flls ein y existiert, so dß für lle x > y gilt, dnn ist bsolut konvergent. f(x) g(x) f(x) dx

112 Beweis folgt mit Beispiel. ) 0 sin x x b b f(x) dx b b g(x) dx für y < b < b us Proposition dx ist konvergent, ber nicht bsolut konvergent. sin x cos x Bemerkung. lim x 0 x = lim x 0 = Wir betrchten lso f(x) := Beweis Konvergenz. Sei 0 < b < b : b b b b sin x x sin x x { sin x x, x > 0, x = 0. x dx = cos x dx b b b b cos x x 2 ( b + ) b + b 3 b dx b 0 konvergiert nch Proposition Absolute Konvergenz. Vergleich mit hrmonischer Reihe kπ sin x x dx = 0 = 2 π k lπ l= (l )π k lπ l= k l= lπ (l )π sin x x dx sin x dx } {{ } =2 l k 0 sin x x dx konvergiert nicht bsolut. 2

113 2) Flls f(x) c x α bsolut konvergent, denn mit sin x x α dx, 3) Fresnelsche Integrle 0 b b b b sin(x 2 ) dx, 0 sin(x 2 ) dx t=x2 = für ein c > 0, α > für lle x > x 0 > 0, dnn ist y dx x α = y α+ α cos x x α dx bsolut konvergent für α >. 0 f(x) dx für y > 0 folgt dies us Proposition cos(x 2 ) dx existieren, obwohl für die Integrnden f(x) nicht lim f(x) = 0 gilt. x b 2 b 2 cos(x 2 ) dx nlog sin t 2 t dt 9.5. = cos t 2 b 2 b 2 cos t t dt b }{{ 2 } t 3 2 b } 2 {{} b,b 0 b,b 0 4) Sei Γ(x) := Dnn gilt: 0 t x e t dt. ( Gmmfunktion ) ) Γ() = b) Γ(n + ) konvergiert c) Γ(n + ) = nγ(n) Drus folgt dnn: n! = 0 e t t n dt = Γ(n + ). Beweis ) e t dt = e t 0 = 0 b) e t t n (n + 2)!t 2 d us Reihenentwicklung e t tn+2 (n+2)! ist Mjornte Γ(n + ) konvergiert c) (n+2)! t 2 R e t t n dt = e t t n R R +n e t t n dt 0 }{{} 0 R 0 0 3

114 Frge: Wie definieren wir f(x) dx? Wir sgen, f(x) dx konvergiert, wenn sowohl f(x) dx konvergieren. Dzu setze f(x) dx ls uch f(x) dx = Achtung! Wrum definieren wir nicht f(x) dx + Dieses Integrl knn existieren, ohne dß Beispiel. f(x) = x 3. Bemerkung. f(x) dx f(x) dx = lim R R R f(x) dx und f(x) dx? f(x) dx existieren. Phänomen knn nicht uftreten flls f > 0. R flls lim f(x) dx existiert, so heißt ds Integrl Cuchyscher Huptwert. R R f(x) dx heißt bsolut konvergent, flls Proposition Ds uneigentliche Integrl gilt c > 0 : R R 9.9 Uneigentliche Integrle II f(x) dx c R > 0. f(x) dx existiert. f(x) dx existiert genu dnn, wenn Wir betrchten Funktionen f : (, b] R oder f : [, b) R, die uf kompkten Teilintervllen beschränkt und integrierbr sind, für die ber gilt, dß lim f(x) = x ± bzw lim = ±. x b Bemerkung. Flls lim f(x) =, können wir keine Obersummen uf [, b] definieren. x 4

115 Definition Flls lim b ξ ξ f(x) dx bzw. lim f uf [, b] integrierbr ist und wir setzen b b ξ ξ b b f(x) dx := lim f(x) dx bzw. ξ ξ ξ f(x) dx := lim f(x) dx. ξ b f(x) dx existiert, dnn sgen wir, dß Flls b f(x) dx integrierbr, dnn heißt b f(x) dx bsolut konvergent. Proposition Flls f(x) ϕ(x) für lle x (, b] und flls ξ > : C, dnn ist b f(x) dx bsolut konvergent und es gilt b f(x) dx C. b ξ ϕ(x) dx < Definition f hbe in c (, b) eine singuläre Stelle, d.h. lim f(x) = ±. Dnn x c sgen wir, dß und wir setzen b f(x) dx existiert, flls sowohl b f(x) dx = c c b f(x) dx + f(x) dx ls uch c f(x) dx. Bemerkung. Anders definiert ist der Cuchysche Huptwert über b c f(x) dx existieren b f(x) dx = lim ε 0 (,b)\(c ε,c+ε) f(x) dx. Beispiel. x dx existiert nicht, denn ξ ξ 0 dx dx = ln ξ, ebenso lim x ξ 0 x =. ξ 5

116 Aber (,)\( ε,ε) dx x = ε dx x + ε dx x = ln ε ln + }{{}}{{} ln ln ε = 0. =0 =0 9.0 Riemnnsches Integrlkriterium Proposition f : [, ) R, f sei monoton fllend, f 0 und n = f(n). Dnn konvergiert n genu dnn, wenn f(x) dx konvergiert. n= Beweis f fällt monoton und somit ist f(k + ) k+ k f(x) dx f(k). Mit der Linerität des Integrls 9.2. ist N+ n=2 n N+ f(x) dx n= N n N N. Die Richtung folgt us dem Einschlusskriterium Die ndere Richtung ebenso, wenn mn k+ f(x) dx f(k) k k k f(x) dx verwendet. Beispiel. ) n 2) n n divergent, d n α x dx divergent. konvergiert für α >, d dx x α konvergiert. 6

117 3) f(x) = ln(ln x), f (x) = x ln x n n ln n divergiert f(x) = (ln(x)) s, f (x) = ( s) (ln x) s x, s > 2 n dx = lim x(ln x) s ξ ξ 2 dx x(ln x) s = lim ξ konvergiert für s >. n(ln n) s ξ (ln x) s 2 = (ln 2) s. 9. Weitere Vertuschungssätze Beispiel. s n (x) = s n(x) = n ( ) k x 2k+ (2k + )! n k=0 k=0 ( ) k x2k (2k)! = = n f k (x) k=0 n f k (x) k=0 Frge. Flls s n (x) s(x) und s n(x) t(x), ist dnn s differenzierbr und gilt s (x) = t(x)? Im Bsp. gilt in der Tt s(x) = sin x, t(x) = cos x s (x) = t(x). Allgemeine Frgen. ) (f n ) sei Folge differenzierbrer Funktionen und f n (x) f(x) x. Gilt f n(x) g(x) und flls j, gilt f (x) = g(x)? D.h. wnn können wir die Grenzprozesse und n vertuschen? 2) (f n ) sei Folge integrierbrer Funktionen mit f n (x) f(x) x. Wnn ist f integrierbr und wnn gilt f(x) dx = lim fn dx? n (Gegen-)Beispiel: zu. f n (x) = sin(nx) n sup f n (x) f n 0 gleichmäßig uf R x R n f n(x) = n cos(nx), f n(x) divergiert x 7

118 Proposition 9.. (Vertuschungsstz 2 ). Sei f n R([, b]) und f n konvergiere gleichmäßig gegen f : [, b] R. Dnn ist f R([, b]) und b b f(x) dx = lim f n (x) dx. n Beweis Zu ε > 0 sei n 0 so, dß f f n0 < ε. Drus folgt, dß f(x) f(y) f(x) f n (x) + f n (x) f n (y) + f n (y) f(y) 2ε + f n (x) f n (y) x, y [, b], n n 0. Wähle festes n n 0. Zu diesem n und zu ε > 0 wähle Zerlegung Z, so dß S Z (f n ) S Z (f n ) < ε S Z (f) S Z (f) < 2ε + S Z (f n ) S(f n ) < 3ε. Berechnung des Integrls: b b f(x) dx f n (x) dx = b b (f f n ) dx f f n dx f f n b n 0 Bemerkung. Der Stz gilt nicht für unbeschränkte Integrtionsbereiche. Proposition 9..2 (Vertuschungsstz 3). Sei f n C ([, b]) mit f n (x) f(x) x [, b]. Ausserdem gilt f n g gleichmäßig uf [, b]. Dnn gilt uch f C ([, b]) und es gilt f = g. Beweis Nch Vorussetzung ist f n stetig. Also ist g uch stetig. Nch Huptstz gilt Aus Proposition 9.. folgt x f n (x) = f n () + f n(t) dt (9.) x x f n(t) dt g(t) dt. Der erste Vertuschungsstz wr 7.0.3, siehe [Koe2004],

119 Nch Vorussetzung f n (x) f(x) und f n () f(). Insgesmt erhlten wir durch Grenzübergng von (9.) : x f(x) = f() + g(t) dt. Mit Huptstz folgt die Behuptung. Eine Anwendung uf Potenzreihen: Korollr Sei f(x) = n x n eine reelle Potenzreihe mit Konvergenzrdius R > n=0 0. Dnn ist f in ( R, R) differenzierbr und es gilt f (x) = n nx n. Beweis Sei f n (x) = n k=0 n= k x k. Wir wissen us Proposition 7.2.3, dß für jedes r < R f n in [ r, r] gleichmäßig gegen f konvergiert. f n(x) = n k kx k und diese Reihe ht ebenflls den Konvergenzrdius R. f n konvergiert gleichmäßig uf [ r, r] r < R gegen k= k kx k x < R. k= k kx k. Nch Proposition 9..2 ist lso f differenzierbr und f (x) = k= 9

120 0 Lokle Approximtion von Funktionen 0. Approximtion mit Tylorpolynomen Motivtion. Die Tngente in (x 0, f(x 0 )) knn mn ls (ffine) linere Approximtion n den Grphen von f in (x 0, f(x 0 )) interpretieren, d.h. T f(x, x 0 ) := f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) ist (ffin) liner und erfüllt T f(x 0, x 0 ) = f(x 0 ), (T f) (x 0, x 0 ) = f (x 0 ). Idee. Wir wollen diese Approximtion verbessern, indem wir ein qudrtisches Polynom pproximieren, so dß uch f (x 0 ) mit der Approximtion übereinstimmt. T 2 f(x) = T 2 f(x, x 0 ) := f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0) 2 Beispiel. f(x) = e x, x 0 = 0 T f(x) = + x, T 2 f(x) = + x + 2 x2 Definition 0.. (Tylorpolynom). Zu f C n ([, b]) und x 0 (, b) definieren wir ds n-te Tylorpolynom von f in x 0 über n T n f(x) = T n f(x, x 0 ) = f (k) (x 0 ) (x x 0) k k! Bemerkung. Flls f Polynom vom Grde n, dnn ist T n f(x, x 0 ) = f(x) x, x 0. Frge. Wie gut pproximiert ds Tylorpolynom die Funktion f in einer Umgebung von x 0, d.h. lso lokl um x 0? Dzu definieren wir ds Restglied k=0 R n+ (x) = R n+ (x, x 0 ) := f(x) T n f(x, x 0 ) Ziel ist es, ds Restglied geeignet drzustellen und bzuschätzen. Proposition 0..2 (Stz von Tylor, Integrlformel für R n+ ). Sei f C n+ ([, b]); x 0 (, b), x [, b]. Dnn gilt R n+ (x, x 0 ) = x x 0 (x t) n f (n+) (t) dt n! 2 20

121 Beweis (induktiv:) n = 0 : Aus dem Huptstz folgt: f(x) = f(x 0 ) + n n : Nch Induktionsvorussetzung: x x 0 x f(x) = T n f(x, x 0 ) + x 0 prt Int = T n f(x, x 0 ) f (t) dt = T 0 f(x, x 0 ) + R (x, x 0 ) (x t) n f (n) (t) dt (n )! }{{} = d dt (x t) n n! (x t)n n! = T n f(x, x 0 ) + R n+ (x, x 0 ) f (n) (t) x x + x 0 x 0 (x t) n f (n+) (t) dt n! Mit einer Vrinte des MWS der Integrlrechnung können wir noch eine ndere Form für R n+ herleiten. 0.. Verllgemeinerter MWS der Integrlrechnung Sei f C 0 ([, b]) und p R([, b]), p 0. Dnn existiert ξ (, b) mit b Beweis genu wie einfcher MWS b f(x)p(x) dx = f(ξ) p(x) dx Proposition 0..3 (Lgrngsche Form des Restgliedes). Seien die Vorussetzungen wie in Stz Dnn existiert ein ξ zwischen x 0 und x, so dß f(x) = T n f(x, x 0 ) + f (n+) (ξ) (x x 0) n+ (n + )! Beweis f (n+) ist nch Vorussetzung stetig, us dem verllg MWS folgt dnn, dß es ein ξ gibt zwischen x 0 und x, so dß x x 0 f (n+) (x t) n x (t) dt = f (n+) (x t) n (ξ) dt = f (n+) (ξ) (x x 0) n+ n! n! (n + )! x 0 Mit Stz 0..2 folgt die Behuptung. Wir können Stz 0..2 und 0..3 sowohl zur Abschätzung der Größe des Fehlers ls uch zur Bestimmung des Vorzeichens usnutzen. 2

122 Beispiel. ) f(x) = cos x, cos (n+) (ξ) ξ R, x 0 = 0, T n f(x) = n ( ) k x2k n cos x k=0 ( ) k x2k k=0 (2k)! ; cos (2k)! (n+) x n+ (ξ) }{{} n +! x n+ n +! 2) f C 2 ([, b]), f konvex f (x) 0, x 0 (, b), x [, b] Mit Stz 0..3 folgt: f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x x 0 ) 2 (ξ) }{{}}{{ 2 } 0 0 f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Dies ist gerde ds Tngentenkriterium für konvexe Funktionen. Wir führen eine geeignete Nottion ein, um uszudrücken, wie sich eine Funktion in der Umgebung eines Punktes zu einer nderen Funktion verhält. Definition 0..4 (Lndusche Ordnungssymbole). Sei M R n, x n M, f : M R, g : M R, g(x) 0 x x 0 ; x B ε (x 0 ) M ) Wir sgen f(x) = O(g(x)) ( f ist gross O von g ) für x x 0, flls ein C R existiert, so dß f(x) C x x 0, x M B ε (x 0 ) für ε > 0. g(x) 2) Wir sgen f(x) = o(g(x)) ( f ist klein o von g ) für x x 0, flls lim x x 0 f(x) g(x) = 0. 3) Wir sgen f und g sind symptotisch gleich für x x 0 (f g), flls lim x x 0 f(x) g(x) =. (Spezilfll von.) Beispiel. ) x + x 2 = O( x ) für x 0 2) x 2 = o( x ) für x 0 3) sin x x für x 0 Korollr f C n+ ([, b]), x 0 (, b), x [, b] f(x) = n f (k) (x 0 ) (x x 0) k k! o( x x 0 n ) k=0 Beispiel. f : (, ) R, f(x) = + x f(x) = + x 2 + o( x ) für x 0 22

123 0.2 Tylor-Reihen Definition 0.2. (Tylor-Reihe). f C ([, b]), x 0 (, b). Dnn heißt T f(x) = T f(x, x 0 ) = Tylor-Reihe von f im Punkt x 0. Bemerkung. k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! ) Der Konvergenzrdius von T f muss nicht notwendig positiv sein. 2) Die Tylorreihe konvergiert für x lim n f (n) (x) = 0. 3) Flls die Tylorreihe konvergiert, dnn nicht unbedingt gegen f(x). Beispiel. zu 3. { f(x) = e x 2 : x 0 f (n) (0) = 0 0 : x = 0 Wir zeigen f C (R) mit n N T f(x, 0) 0 f(x) x 0 Wir zeigen, dß es Polynome p n gibt, so dß Induktion: IA: n = 0 f (n) (x) = p n ( x ) e x 2 x 0 IS: n n + : Nch Induktionsvorussetzung existiert ein Polynom p n mit ( ) x 0 : f (n) (x) = p n e x x 2 [ ( ) ( ) f (n+) (x) = e 2 x 2 x 3 p n + p n ( x )] x x }{{ 2 } =p n+( x) x = 0 : Beispiel. f (n+) f (n) (x) f (n) (0) (0) = lim x 0 x = ( ) x p n e x x 2 0 für x 0 (Eigenschften der Exponentilfunktion) ) f(x) = e x, x 0 = 0 : T f(x, 0) = k=0 2) f(x) = sin x, x 0 = 0 : T f(x, 0) = ( ) k x2k+ x k k! k=0 (2k+)! 23

124 3) f(x) = cos x, x 0 = 0 : T f(x, 0) = ( ) k x2k k=0 (2k)! exp, sin, cos sind reell nlytische Funktionen Definition (reell nlytisch). f : I R R heißt reell nlytisch, flls zu jedem x 0 R ein δ > 0 existiert, so dß die Tylorreihe von f in B δ (x 0 ) konvergiert und ihr Wert gleich f(x) ist. Bemerkung. Beispiel f(x) = e x 2 ist. zeigt, dß nicht jede Funktion C () uch reell nlytisch Flls eine Funktion durch eine Potenzreihe gegeben ist, dnn ist die Potenzreihe gleich der Tylorreihe und die Funktion ist reell nlytisch. Aus den Drstellungen des Restgliedes knn mn hinreichende Kriterien herleiten, dß die Tylorreihe gegen f(x) konvergiert. 0.3 Die Logrithmusreihe und Abelscher Grenzwertstz Lemm Für x 0 > 0 gilt: Sei 0 < x 2x 0, dnn gilt ( ) n ( ) x n x0 ln(x) = ln(x 0 ) +. n Beweis ln x = ln(x 0 + x x 0 ) = ln Proposition n= x 0 [ ( x 0 + x x )] ( 0 = ln x 0 + ln + x x ) 0 x 0 x (Abelscher Grenzwertstz). Sei c n n=0 eine konvergente reelle Reihe. Dnn konvergiert f(x) := c n x n gleichmäßig uf [0, ], insbesondere gilt n=0 lim x n=0 c n x n = c n. Beweis Aus der Vorussetzung folgt, dß c n x n einen Konvergenzrdius ht und uch für x = konvergiert. Zu zeigen ist die gleichmäßige Konvergenz, es soll lso geten lim sup c n x n = 0. k Dzu definieren wir x [0,] s n := n=k j=n+ n=0 c j, 24

125 dnn gilt s n s n = c n, lim n s n = 0. D s n C, gilt nch dem Mjorntenkriterium für lle x [0, ). l c n x n = n=k s n x n < n=0 l s n x n + n=k l s n x n n=k }{{} = l P s nx n+ =x l P s nx n n=k n=k l = s l x l + s k x k + (x ) s n x n n=k Der Grenzübergng l liefert: c n x n = s k x k + (x ) s n x n n=k Zu ε > 0 wähle k 0 N so, dß s k < ε k k 0 sup c n x n s x [0,] k x k + sup }{{} n=k n k 2ε für k k 0 n=k s n x x n n=k } {{ } Proposition (Tylorreihe des Logrithmus). Für x (, ] gilt: n xn ln( + x) = ( ) n Beweis Sei zunächst x <. ln( + x) = ln( + t) x 0 = x 0 k= x + t dt = 0 ( ) n t n dt Die geometrische Reihe ht eine Konvergenzrdius, dmit folgt us den Resultten über gleichmäßige Konvergenz von Reihen, dß ( ) n t n in [ x, x ] konvergiert. Mit Vertuschungsstz 2 (Stz 9..) folgt: x 0 ( ) n t n dt = n=0 x n=0 0 n=0 ( ) n t n dt 25

126 ln( + x) = x n=0 0 ( ) n t n dt = ( ) n n + xn+ = n=0 ( ) n xn n Dmit ist der Stz für x < bewiesen. Nch dem Leibniz-Kriterium ist konvergent. Aus dem Abelschen Grenzwertstz folgt dnn: ϕ(x) := ist uf [0, ] stetig, ln( + x) ist stetig ( ) n= n xn n n= n= ( ) n n ( ) n n n= = ln 2. 26

127 Elemente der Topologie. Metrische und normierte Räume Definition.. (Metrik, metrischer Rum, Abstnd). Sei X eine Menge. Eine Metrik d : X X [0, ] ist eine Abbildung mit (M) d(x, x) = 0 und d(x, y) > 0 x, y X, x y (Positive Definitheit) (M2) d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie) (M3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (Dreiecksungleichung) Ein Pr (X, d) heißt metrischer Rum (kürzer: nur X). d(x, y) heißt der Abstnd von x zu y. Beispiel ) X = R n, sei Norm uf R n. d(x, y) := x y Beispiele: x p = ( n i= xp i ) p x = mx{ x,..., x n } x = x 2 (euklidische Norm) 2) diskrete Metrik: X sei eine Menge. d(x, y) = { 0 x = y x y 3) Metrik der { frnzösischen Eisenbhn: X = R 2, x 0 R 2, 0 x = y d(x, y) = x x 0 + y x 0 x y 4) X = C 0 ([, b]), d(f, g) = f g = sup x [,b] f(x) g(x) 5) (X, d) sei ein metrischer Rum, A X. Die induzierte Metrik uf A ist gegeben durch d (x, y) := d(x, y). Dmit ist (A, d A ) metrischer Rum. Beispiel: X = R 2, A = {γ(t) t R} Kurve. d (x, y) = x y. Anderer möglicher Abstnd: Länge der Kurve zwischen x und y. x 0 ist ntürlich Pris... 27

128 Wichtige Beispiele metrischer Räume sind normierte Vektorräume, wie in Beispielen und 4. Definition..2 (Sklrprodukt, euklidischer Vektorrum). Sei V ein reeller Vektorrum. Ein Sklrprodukt ist eine Abbildung, : V V R mit den Eigenschften: (S) u, u 0, u, u = 0 u = 0 u V (Positive Definitheit) (S2) u, v = v, u u, v V (Symmetrie) (S3) λu + µv, w = λ u, w + µ v, w, u, v, w V, λ, µ K (Bilinerität) Ein Vektorrum mit einem Sklrprodukt (V,, ) heißt euklidischer Rum. Definition..3 (Norm). V sei reeller Vektorrum. Eine Norm uf V ist eine Abbildung : V [0, ) mit den folgenden Eigenschften: (N) u 0 u V und u = 0 u = 0 (Positive Definitheit) (N2) λu = λ u, u V λ R(K) (Homogenität) (N3) u + v u + v (Dreiecksungleichung) Ein Vektorrum mit einer Norm (V, ) heißt normierter Vektorrum. Beispiel V = C 0 ([, b]), f L p = ( b f(x) p ) p L p -Norm Proposition..4 (normierter Rum ist metrischer Rum). Sei (V, ) normierter Vektorrum. Dnn wird V mit d(x, y) = x y zum metrischen Rum. Dies ist die durch die Norm induzierte Metrik. Bemerkung Nicht jeder metrische Rum ist ein normierter Rum (siehe Beispiele 2 und 5). Proposition..5 (Sklrprodukt induziert eine Norm). Sei (V,, ) ein euklidischer Rum. Dnn wird durch u := ( u, u ) 2 eine Norm uf V definiert. Dies ist die durch ds Sklrprodukt induzierte Norm. Beweis Siehe Abschnitt Etws schwieriger zu beweisen ist die Dreiecksungleichung. Wichtigstes Hilfsmittel hierfür wr die Lemm..6 (Cuchy-Schwrzsche Ungleichung). Sei (V,, ) ein euklidischer Rum und u := ( u, u ) 2. Dnn gilt für lle u, v V : Beispiel u, v u v 28

129 ) V = R n Sklrprodukt: x, y = n j= x jy j (euklidisches Sklrprodukt) induzierte Norm: x = ( x 2 j ) 2 2) V = C 0 ([, b]) Sklrprodukt: f, g = b f(x)g(x) dx (L2 -Sklrprodukt) induzierte Norm ist die L 2 -Norm: f L 2 = ( b (f(x))2 dx) 2 Definition..7 (äquivlente Normen). Sei V ein Vektorrum und und zwei Normen uf V. und heißen äquivlent, flls Konstnten C, C 2 > 0 existieren, so dß C u u C 2 u u V Bemerkung Hierdurch ist eine Äquivlenzreltion definiert (d reflexiv, symmetrisch, trnsitiv). Beispiel Seien V = R n, x die euklidische Norm und x = mx{ x,... x n }. Behuptung: und sind äquivlent. Beweis: x = x 2 i x = n x x j = x j 2 n j= x j 2 = x j =,..., n x = mx j x j x..8 (Alle Normen uf dem R n sind äquivlent). Siehe hierzu Propo- Proposition sition Bemerkung Eine solche Aussge gilt nur in endlich-dimensionlen Räumen. Folgenräume V = {x = (x i ) i N x i R} (Vektor-)Rum der reellen Folgen. Zu x V sei x l p = ( i= x i p ) p für p < x l = sup i N x i für p = Zu p [, ] sei l p = {x V x l p < }, l p ist lso Vektorrum der beschränkten Folgen. Wir zeigen, dß l ttsächlich ein Vektorrum ist [für p > Übungsufgbe]. ) 0 l 2) zu λ R und x l ist uch λx l, denn λx l = i= λx i = λ n i= x i n 3) zu x l und y l ist uch x + y l, denn: Sei N N. Dnn gilt N i= x i + y i N i= x i + N i= y i x l + y l N i= x i + y i ist monoton beschränkte Folge in N der Grenzwert für N existiert und x+y l = i= x i+y i x l + y l. 29

130 Bemerkung x l x l, denn x j i= x i = x l sup j x j x l Umgekehrt ist nicht jedes x l uch in l, zum Beispiel x = (,,,...) Vermutung..9. Sei V = l. Dnn sind l und l nicht äquivlent. Wir hben gezeigt: x l x l Aber: es existiert keine Konstnte C, so dß x l C x l x l. Dzu: Finde Folge (x n ) l, so dß x n l für n, ber x n l { C. Eine solche Folge x n sei definiert über x n = i i n 0 sonst x n l = n N und x n l = n i= i für n. Die l -Norm l ist lso schwächer ls die l -Norm l..2 Konvergenz in metrischen Räumen Definition.2. (beschränkte / konvergente Folgen). (X, d) sei metrischer Rum, (x k ) X sei Folge in X. Dnn heißt (x k ) ) beschränkt, flls ein x 0 X existiert und ein K > 0, so dß d(x k, x 0 ) K k N. 2) konvergent, flls ein x X existiert, so dß d(x k, x) 0 für k. Bemerkung Exkt wie im R n beweist mn konvergente Folgen sind beschränkt der Grenzwert ist eindeutig bestimmt Wir hben gezeigt: Proposition.2.2. Jede beschränkte Folge im R n besitzt eine konvergente Teilfolge. Bemerkung Dieser Stz gilt nur in endlich-dimensionlen Räumen. Beispiel Der Rum l. Sei e n = (0, 0,..., 0, }{{} n-te Stelle, 0,...) der n-te Einheitsvektor in l. Die Folge ller Einheitsvektoren (e n ) n N ist beschränkt, d e n l =, doch über l besitzt (e n ) n N keine konvergente Teilfolge bezüglich der von l induzierten Metrik, denn e n e k l = 2 n k es existiert keine konvergente Teilfolge. 30

131 Definition.2.3 (Cuchy-Folge). Seien (X, d) metrischer Rum und (x k ) V Folge in V. (x k ) heißt Cuchy-Folge, flls für lle ε > 0 ein k 0 N existiert, so dß für lle k, l > k 0 d(x k, x l ) < ε. Bemerkung Wie in R n zeigt mn: jede konvergente Folge ist Cuchy-Folge. Bemerkung Konvergiert jede Cuchy-Folge eines metrischen Rumes? Bemerkung Im Allgemeinen nicht. Beispiel Seien X = Q und d(p, q) = p q. Dnn ist (X, d) ein metrischer Rum, ber wir hben in Kpitel 2 eine Folge (q n ) Q konstruiert mit q n 2 0 für n. (q n ) ist Cuchy-Folge in R und dmit uch eine Cuchy-Folge in Q, ber 2 ist nicht in Q. Definition.2.4 (vollständiger metrischer Rum, Bnchrum, Hilbertrum). Ein metrischer Rum (X, d) heißt vollständig, wenn jede Cuchy-Folge in X uch in X konvergiert. Ein vollständiger normierter Rum heißt Bnchrum. Flls in einem Bnchrum die Norm durch ein Sklrprodukt induziert wird, so heißt der Rum uch Hilbertrum. Beispiel ) Wir hben gezeigt (Proposition 4.5.2), dß jede Cuchy-Folge in R n uch gegen ein Element us R n konvergiert, lso ist R n ein Bnchrum. Bemerkungen Eigenschften wie Konvergenz, Beschränktheit... hängen von der gewählten Metrik b. Aber: für äquivlente Normen gilt: Konvergenz in einer Norm impliziert uch Konvergenz etc. in jeder äquivlenten Norm. Im R n sind lle Normen äquivlent Wir können sgen: R n ist Bnchrum, ohne Angbe einer Norm. 2) (C 0 ([, b]), ) ist vollständig (C 0 ([, b]), l ) ist nicht vollständig wir können R n ls Vektorrum ohne die Norm schreiben, d lle Normen im R n äquivlent sind 3

132 3) Q ist nicht vollständig Bemerkung einen nicht-vollständigen metrischen Rum knn mn vervollständigen, indem mn lx gesprochen die Grenzwerte der Cuchy-Folgen hinzunimmt. Zum Beispiel knn R ls Vervollständigung von Q ufgefsst werden. Bemerkung[Vorgehensweise, um Vollständigkeit eines metrischen Rumes zu zeigen] ) Identifiziere Kndidten x für Grenzwert b) x X c) d X (x k, x) 0 für k 4) (L, l ) ist vollständig. Sei (x k l ) l Cuchy-Folge, lso gibt es zu jedem ε > 0 ein k 0 N, so dß x k 0 xl l = i= xk i xl i < ε, k, l k 0. Beweis von b) und c) Zu Zeigen x l 0 und x k x l 0 für k. Nch Vorussetzung gibt es für lle ε > 0 ein k 0, so dß N i= xk i xl i < ε k, l > k 0, N N N k0 i= xk i xl i < ε, l k und uch N i= x i < ε + N i= xl i < ε + xl l N x l = i= x und i= x i x l i = x xl l < ε, L > k 0.3 Offene und bgeschlossene Mengen Definition.3. (offene / bgeschlossene r-kugel, Umgebung, offene / bgeschlossene Menge). (X, d) sei metrischer Rum. ) Zu x 0 X und r > 0 heißt B r (x 0 ) = {x X d(x, x 0 ) < r} die offene r-kugel um x 0. 2) Zu x 0 X und r > 0 heißt B r (x 0 ) = {x X d(x, x 0 ) r} die bgeschlossene r-kugel um x 0. 3) U X heißt Umgebung von x 0 X, flls es eine offene Kugel B ε (x 0 ) U gibt. 4) U X heißt offene Menge, flls sie Umgebung eines jeden ihrer Punkte ist. In Formeln: x U : ε > 0 : B ε (x) U. 5) U X heißt bgeschlossene Menge, flls U C = X \ U offen ist. Bemerkung Folgende Eigenschften sind erfüllt: ) und X sind offen und bgeschlossen. 2) B r (x 0 ) ist offen, B r (x 0 ) ist bgeschlossen. 32

133 3) U, V X : U, V offen U V offen (dmit uch der Schnitt endlich vieler offener Mengen) Beweis: Sei x U, V. Nch Vorussetzung ε, ε 2 : B ε (x) U, B ε2 (x) V. Wähle ε = min{ε, ε 2 } B ε (x) U V. 4) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen. Beweis: Sei x i I V i, V i offen j I mit x V j ε > 0 mit B ε (x) V j i I V i 5) Der Durchschnitt beliebig vieler bgeschlossener Mengen ist bgeschlossen. 6) Die Vereinigung endlich vieler bgeschlossener Mengen ist bgeschlossen. Beweis für 6. Über Komplementbildung: Sei A, B X bgeschlossen X \A, X \B offen (X \A) (X \B) = X \(A B) offen A B bgeschlossen. Der Beweis für 5. folgt uch über Komplementbildung. Proposition.3.2 (Husdorffsche Trennungseigenschft). Zu x, y X mit x y existieren Umgebungen U von x und V von y mit U V =. Beweis ε = 2 d(x, y), U = B ε(x), V = B ε (y). Annhme: z U V 2ε = d(x, y) d(x, z) + d(z, y) < 2ε Proposition.3.3. A X ist genu dnn bgeschlossen, wenn zu jeder in X konvergenten Folge (x n ) A uch der Grenzwert in A liegt. Beweis A X bgeschlossen X \ A offen. Sei (x n ) A, x n x in X. Annhme: x A x X \ A ε > 0 mit B ε (x) X \ A, ber x k B ε (x) k k 0 Annhme: A ist nicht bgeschlossen X \ A ist nicht offen x X \ A : ε > 0 : B ε (x) X \ A, lso n N : x n A : x n B n (x n ) A und x n x in X. Nch Vorrussetzung x A. Bemerkung Proposition.3.3 sichert, dß die verschiedenen Definitionen von bgeschlossen äquivlent sind. Definition.3.4 (innerer Punkt, Rndpunkt, Häufungspunkt, isolierter Punkt). Sei (X, d) metrischer Rum, M X ) Ein Punkt x M heißt innerer Punkt von M, wenn eine r-kugel um x in M liegt. ( ε > 0 : B ε (x) M) (x) 33

134 2) x X heißt Rndpunkt von M, wenn in jeder ε-kugel um x sowohl ein Punkt us M, ls uch ein Punkt us M C liegt. 3) x X heißt Häufungspunkt von M, wenn zu jeder ε-kugel um x unendliche viele y M mit y x liegen. 4) x M heißt isolierter Punkt, wenn x kein Häufungspunkt von M ist. Bezeichnung.3.5. Ṁ: innere Punkte von M M: Rndpunkte von M M: Ṁ M Teilrumtopologie Sei (X, d) metrischer Rum, X 0 X. Wir wissen: X 0 wird mit der induzierten Metrik zum metrischen Rum. Wir sgen: U 0 X 0 ist offen (bezüglich der induzierten Metrik), flls es eine offene Menge U X gibt, so dß U 0 = X 0 U gilt. Beispiel Produkttopologie (X, d x ), (Y, d y ) seien metrische Räume. X Y wird mit d((x, y ), (x 2, y 2 )) := mx{d X (x, x 2 ), d Y (y, y 2 )} ein metrischer Rum. B r ((x 0, y 0 )) = B r (x 0 ) B r (y 0 ) W X Y heißt offen : (x, y) W eine Umgebung U von x in X und eine Umgebung V von y in Y, so dß U V W.4 Stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen Definition.4. (stetige Abbildung). Seien (X, d X ) und (Y, d Y ) metrische Räume, f : X Y. ) f heißt stetig in x 0, flls zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dß d Y (f(x), f(x 0 )) < ε für lle x mit d X (x, x 0 ) < δ. 2) f heißt stetig, flls f stetig in jedem x X ist. 3) f heißt Lipschitz-stetig, flls es ein L > 0 gibt, so dß d y (f(x), f(y)) < L d x (x, y) x, y X Bemerkung In Anlysis I* htten wir Lipschitz-Stetigkeit bezüglich der euklidischen Norm definiert, b jetzt bezieht es sich immer uf die jeweilig Metrik. Flls nichts nderes ngegeben wird, bezieht sich Lipschitz-stetig in R n uf die euklidische Metrik. 34

135 Beispiel ) Jede Norm uf einem reellen Vektorrum ist Lipschitz-stetig mit L = bezüglich der durch die Norm induzierten Metrik, denn sei : V R, so gilt u v u v. 2) (X, d) sei metrischer Rum. A X. Dnn ist die Abstndsfunktion d(x, A) := inf{d(x, ) A} Lipschitz-stetig (mit L = ). Beweis: Seien x, y X, A. d(x, ) d(x, y) + d(y, ) d(x, A) d(x, y) + d(y, A) und d(y, ) d(x, y) + d(x, ) d(y, A) d(x, y) + d(x, A), und somit d(x, A) d(y, A) d(x, y) 3) V, W seien endlich-dimensionle Vektorräume, f : V W sei liner. Dnn ist f Lipschitz-stetig. Beweis: Sei e,..., e n Bsis von V, x, y V, x = n i= x ie i, y = n i= y ie i. Dnn ist f(x) f(y) W = fliner dim V < n f(e i )(x i y i ) W i= mx f(e i ) W i }{{} =:M M c x y v. n x i y i i= } {{ } C x y V Anlog zu R n beweist mn folgende Aussgen (hierbei immer X, Y, Z, Y, Y 2 metrische Räume, W normierter Vektorrum): ) Folgenkriterium f : X Y ist stetig in x 0 (x k ) mit x k x 0 folgt: f(x k ) f(x 0 ) konvergiert. 2) Regel I f, f 2 : X W seien stetig in x 0 X. Dnn ist uch f + f 2 stetig in x 0. f : X W, g : X R seien stetig in x 0 X f g ist stetig in x 0. Flls zusätzlich g(x 0 ) 0 gilt, dnn ist uch f g stetig in x 0. Beispiel: p : R n+ \ {0} R n+, p(x) = x x, p stetig. im() = S n = {x R n+ x = } 3) Regel II f : X Y sei stetig in x 0 X, g : Y Z sei stetig in f(x 0 ) Y. Dnn ist h := g f stetig in x 0 Beispiel f : W R, f(x) = x, g : R R, g(y) = e y. Dnn ist h(x) = e x stetig. 35

136 4) Regel III f : X Y Y 2. f = (f, f 2 ) ist stetig f und f 2 sind stetig, Insbesondere für f : R n R m : f = (f, f 2,..., f m ) ist stetig f i : R n R ist stetig i =,..., m. Bemerkung Zum Nchweis der Stetigkeit von f : R n R genügt es nicht, die Stetigkeit nur in den Koordintenrichtungen zu testen. Beispiel: f : R 2 R, f(x, y) = 2xy. x 2 +y 2 Es gilt: f(x, 0) = f(0, y) = 0 lim x 0 f(x, 0) = 0, lim y 0 f(0, y) = 0, ber lim x 0 f(x, x) = Proposition.4.2 (Stetigkeitsnchweis über Umgebungen und Urbilder offener Mengen). X, Y seien metrische Räume, f : X Y ) f ist genu dnn stetig in x 0 X, flls zu jeder Umgebung V von f(x 0 ) in Y eine Umgebung U von x 0 in X existiert, { so dß f(u) V. x > 0 Gegenbeispiel: f : R R, f(x) = 0 x 0, x 0 = 0. Zum Beispiel ist V = { 2, 2 }, ber δ > 0 gilt: f(b δ(0)) V 2) f ist genu dnn stetig, flls ds Urbild jeder in Y offenen Menge V offen in X ist. Äquivlent dzu: ds Urbild jeder bgeschlossenen Menge ist bgeschlossen Beweis ) Sei f stetig in x 0. Sei V Umgebung von f(x 0 ). Nch Vorussetzung gibt es ein ε > 0 mit B ε (f(x 0 )) V. Nch Definition der Stetigkeit gibt es ein δ > 0, so dß f(b δ (x 0 )) B ε (f(x 0 )) V. Zu ε > 0 sei V := B ε (f(x 0 )). Nch Vorussetzung gibt es eine Umgebung U von x 0 mit f(u) V = B ε (f(x 0 )). Nch der Definition einer Umgebung gibt es ein δ > 0, so dß f(b δ (x 0 )) U, insbesondere f(b δ (x 0 )) B ε (f(x 0 )). 2) V sei offen in Y V ist Umgebung eines jeden Punktes in V ) f (V ) ist Umgebung eines jeden Punktes in U f (V ) ist offen. Sei f(x 0 ) Y, V sei Umgebung V V mit f(x 0 ) V und V offen. Vor. f (V ) offen. Für x 0 f (V ) mit U = f (V ) gilt: x 0 U und f(u) V V Bemerkung Ds Bild offener (bgeschlossener) Mengen muss nicht offen (bgeschlossen) sein. Beispiel: ) f : R R, f(x) c, x R, f stetig, ber f((0, )) = {c}. 2) f : (0, 2π) R R, f(x) = sin x f((0, 2π)) = [, ] 36

137 Proposition.4.3. f : X R, f stetig. Dnn ist U := {x X f(x) < c} offen und H := {x X f(x) c} bgeschlossen. Gegenbeispiel Definition.4.4 (Homöomorphismus). Eine bijektive stetige Abbildung f : X Y, deren Inverse stetig ist, heißt Homöomorphismus. X und Y heißen homöomorph, flls es einen Homöomorphismus zwischen X und Y gibt. Bemerkung Die Inverse einer bijektiven stetigen Abbildung muss nicht stetig sein. ( ) cos x Beispiel f : [0, 2π) S, x e ix = sin x Beispiel ) B (0) R n ist homöomorph zu R n. f(x) = x x, f (y) = y + y 2) stereogrphische Projektion N = (0,..., 0, ) Nordpol f(x) = N + t(x N) = N( t) + tx. Um t R zu bestimmen, muss gelten f(x) = Nutze x N: = f(x) 2 = N 2 ( t) 2 + 2t( x) x, N + t 2 x 2 = 2t + t 2 ( + x 2 ) t = 0 oder t = 2 = 2 f(x) = N + 2(x N) + x 2 N+x 2 x N 2 Wir definieren die stereogrphische Projektion σ N : R n S n \{N}, σ N (x)f((x, 0)) 3) Polrkoordinten ( P 2 ): R + ( π, π) R 2 \ S mit S := {(t, 0) t 0} r cos ϕ P 2 (r, ϕ) := ; Umkehrbbildung g(x, y) = ( x r sin ϕ 2 + y 2 x, sgn(y) rccos ) x 2 +y 2 P 3 : R + ( π, π) ( π 2, π 2 ) P 3 (r, ϕ, θ) = r cos ϕ cos θ r sin ϕ cos θ r sin θ.5 Linere stetige Abbildungen, Opertornorm Linere Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen V und W sind stetig, flls dim V <. Dies ist im llgemeinen nicht richtig, flls dim V =. Beispiel V = (C [, ]), ), W = R, D : f f (0), D ist liner Annhme: D ist stetig dnn folgt us f n f bezüglich, dß D(f n ) D(f) in R, ber f n (x) = n sin(n2 x) f n 0 gleichmäßig, ber f n(0) = n für n. 37

138 Proposition.5.. V, W seien normierte Vektorräume. Eine linere Abbildung A : V W ist genu dnn stetig, wenn es ein C 0 gibt, so dß Ax W C x V für lle x V. A ist dnn sogr Lipschitz-stetig. Beweis Nch Vorussetzung gilt Ax Ay W = A liner A(x y) W C x y V A ist lso Lipschitz-stetig und dmit uch stetig. A sei stetig, lso uch stetig in x = 0. Dmit gibt es zu ε = ein δ > 0, so dß A W < für lle y mit y V < δ Ax W = A δx x V W x V δ = x V A δx δ x V δ x V =: C x V Definition.5.2 (Opertornorm). V, W seien normierte Räume. L(V, W ) sei der Rum der lineren, stetigen Abbildungen von V nch W. Auf L(V, W ) definieren wir die Opertornorm Bemerkung A L(V,W ) := sup{ Ax W x V mit x V } { } Ax W = sup x V, x 0 x V nch dem Stz ist dies wohldefiniert Interprettion der Opertornorm: größter Dehnungskoeffizient Eigenschften ) Ax W A L(V,W ) x V 2) U B V A W : ABx W A L(V,W ) B L(U,V ) x U Beweis: ABx W A L(V,W ) Bx V A L(V,W ) B L(U,V ) x U Beispiel TODO: bild 38

139 ) (V,, ) sei euklidischer Rum, sei die induzierte Norm zu v V, v 0. Definiere A : V R, x v, x Ax = v, x v V x V Ax v V Wollen zeigen: A L(V,R) = v V, dzu ist zu zeigen: x V mit x V = und Ax v v dzu sei x := v v v V x V = und Ax = v, v V = v V 2) Zeilensummennorm. Eine m n Mtrix A = ( i,j ) i m, j n repräsentiert ein Element us L(R n, R m ). Wir versehen R n und R m mit der Mximumsnorm, d.h. V = (R n, ), W = (R m, ) Behuptung: A L(V,W ) = mx m i j= i,j (Zeilensummennorm) Beweis: Sei M := mx n i j= i,j Ax = mx i=,...,m n j= i,jx j mx i=,...,m ( n j= i,j x j ) x mx n i=,...,m j= i,j = x M zu zeigen ist: ξ R n mit ξ = und Aξ = M Dzu sei i 0 so, dß M = n j= i 0,j. { i0,j = 0 Sei ξ R n definiert über ξ j = i0,j i0,j ξ = sonst Aξ = mx i m n j= i,jξ j n j= i 0,jξ j = n j= i 0,j = M.6 Kompkte Räume Kompkte Mengen K R n htten folgende wichtige Eigenschften: Jede Folge in K ht eine konvergente Teilfolge. Stetige Abbildungen nehmen uf kompkten Mengen ihr Infimum und Supremum n. Diese Eigenschften sollen uch für kompkte Mengen in unendlich-dimensionlen Räumen gelten. Chrkterisierung K R n kompkt K bgeschlossen und beschränkt. Die Richtung gilt in unendlich-dimensionlen Räumen nicht. Hierus folgt die wichtige (und oft schwierige) Aufgbe, kompkte Mengen in llgemeinen Räumen zu chrkterisieren. i,j x j mx j=,...,n x j P n j= i,j = x P n j= i,j 39

140 Definition.6. ((überdeckungs)kompkt). (X, d) sei metrischer Rum. Zu K X heißt eine beliebige Fmilie offener Mengen U i, so dß jedes Element x K in mindestens einer dieser Mengen liegt, offene Überdeckung von K, in Zeichen K U i. Eine Menge K in X heißt kompkt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung i I U i von K mit U i K eine endliche Teilmenge gibt, die K überdeckt (dies ist die Heine-Borel Eigenschft). Beispiel (x k ) K, x k x 0, x k x 0 k K = {x k k N} {x 0 }, U = {x k k N}. Behuptung: ) K ist kompkt 2) U ist im llgemeinen nicht kompkt zu. Sei U := i I U i eine offene Überdeckung von K. x 0 U i0 für ein i 0 N Ui offen ε > 0, so dß B ε (x 0 ) U x x 0 k 0 N, so dß x k B ε (x 0 ) U i0 k k 0. Außerdem i k, so dß x k U ik k =,..., k 0 x k U i0 U i... U ik0 zu 2. Betrchte zum Beispiel U = { n n N} die Teilmengen U = ( 2, 2), U 2 = ( 3, ),..., U n = ( n+, n ). Dmit ist n U n, lso U i N U i, ber es gibt keine endliche Teilfolge, die U überdeckt. Definition.6.2 (folgenkompkt). (X, d) sei metrischer Rum. K X heißt folgenkompkt, flls jede Folge in K eine in K konvergente Teilfolge besitzt. Proposition.6.3 (kompkt folgenkompkt). (X, d) sei metrischer Rum. K X ist genu dnn kompkt, wenn K folgenkompkt ist. (ohne Beweis, siehe z.b. Hrro Heuser: Anlysis) Proposition.6.4 (kompkt bgeschlossen und beschränkt). (X, d) sei metrischer Rum. K X sei kompkt. Dnn ist K bgeschlossen und beschränkt. Beweis ) Annhme: K sei nicht beschränkt x 0 X und (x k ) K, so dß d(x 0, x k ) > k (x k ) ht keine konvergente Teilfolge K ist nicht folgenkompkt (Stz ) K ist nicht kompkt 40

141 2) Annhme: K ist nicht bgeschlossen (x n ) K mit x n x X, ber x K. zu K folgenkompkt. Achtung! Die Umkehrung von Stz 2 gilt nur in endlich-dimensionlen Räumen. Siehe hierzu Stz Beispiel V = (C 0 ([0, ]), ), d(f, g) = f g = sup x [0,] f(x) g(x) A = {f V f }, A ist bgeschlossen { und beschränkt. 0 x [0, Sei f : [0, ] [0, ] mit f n (x) = n+ ) ( n, ] die Dreiecksfunktion sonst f n f k = n k (f n ) ht keine konvergente Teilfolge A ist nicht kompkt. Proposition.6.5. Jede bgeschlossene Teilmenge einer kompkten Menge ist wieder kompkt Beweis Sei A i I U i, U i offen in X X \ A i I U i ist eine offene Überdeckung von K. (K kompkt) i,..., i k, so dß K X \ A U i,..., U ik A U i... U ik, d.h. A ist kompkt. Proposition.6.6 ( Ds Bild kompkter Mengen unter stetigen Funktionen ist kompkt). f : X Y sei stetig, K X sei kompkt. Dnn ist f(k) Y kompkt. Beweis Sei f(k) i I V i, V i offen in Y (Stz us.4) U i := f (V i ) ist offen in K und K i I U i (K kompkt) i,..., i k mit K U i... U ik f(k) V i... V ik f(k) ist kompkt. Korollr.6.7 (Stz von Minimum und Mximum). f : X R sei stetig, K X sei kompkt. Dnn nimmt f uf K Infimum und Supremum n. Beweis K kompkt (Stz 4) f(k) R kompkt (Stz 2) f(k) ist bgeschlossen und beschränkt Supremum M und Infimum m, (f(k) bgeschlossen!) M, m f(k). Beispiel Die Distnzfunktion K, A X. d(k, A) := inf{d(k, ) k K, A} Flls K kompkt ist, so gibt es ein p K mit d(p, A) = d(k, A) Beweis: x d(x, A) ist stetig. (K kompkt, Korollr) p K mit d(p, A) = d(k, A) Flls zusätzlich A bgeschlossen ist, A K =, dnn d(k, A) > 0 Beweis: Sei p A, A bgeschlossen r > 0 mit B r (p) A = d(k, A) r > 0 Proposition.6.8 (f : X Y stetig, K X kompkt. Dnn ist f gleichmäßig stetig). Beweis: nlog zu R n (über Folgenkompktheit) 4

142 .7 Wegzusmmenhängende und konvexe Mengen Definition.7. (wegzusmmenhängend). Eine Teilmenge M X eines metrischen Rumes heißt wegzusmmenhängend, wenn es zu je zwei Punkten in M eine stetige Verbindungskurve gibt, die gnz in M liegt, d.h. zu, b M gibt es ein stetiges γ : [α, β] : M, so dß γ(α) =, γ(β) = b. Proposition.7.2 (Zwischenwertstz). M X sei wegzusmmenhängend, f : M R sei stetig,, b M. Dnn nimmt f uf M uch jeden Wert zwischen f() und f(b) n. Beweis Sei γ stetige Kurve in M, die und b verbindet, γ : [α, β] M, γ(α) =, γ(β) = b Definiere h := f γ, h : [α, β] R, h(α) = f(), h(β) = f(b), h ist stetig. (Zwischenwertstz uf R) h nimmt jeden Wert zwischen f() und f(b) n. Definition.7.3 (konvexe Mengen). (V, ) sei reeller Vektorrum. M V heißt konvex, wenn zu je zwei Punkten, b M uch ihre Verbindungsgerde in M ist. [; b] := {λ + ( λ)b λ [0, ]} Bemerkung Eine konvexe Menge ist offensichtlich uch wegzusmmenhängend. Beispiel ) Jede ffine Hyperebene im R n ist konvex; E = {x, x = c} für ein R n und ein c R, denn für x, y E, λ [0, ] gilt:, λx + ( λ)y = λ, x + ( λ), y = c. 2) Jeder bgeschlossene Hlbrum H = {x, x c} R n ist konvex. 3) Die Schnittmenge konvexer Mengen ist konvex. Die Schnittmenge endlich vieler Hlbräume heißt konvexes Polytop. 4) Eine Kugel B r (x 0 ) in einem normierten Vektorrum ist konvex. Definition.7.4 (Konvexkombintion). Seien V ein reeller Vektorrum, x,..., x k V und λ,..., λ k [0, ] mit k i= λ i =. Dnn heißt x := k i= λ ix i die konvexe Kombintion von x,..., x k. Proposition.7.5. K V ist genu dnn konvex, wenn K jede ihrer konvexen Kombintionen enthält. Beweis : Dies ist ein Spezilfll mit k = 2. 42

143 : IA: k = ok IS: k k + Für λ k+ gleich Null oder eins ist nichts zu beweisen. Sei lso λ k+ (0, ) λ := k i= λ j > 0. Sei µ j := λ j λ. Nch IV ist y = k i= µ ix i K, (K konvex) λy+( λ)x k+ K, ber λy+( λ)x k+ = k i= λ ix i +λ k+ x k+ = x 43

144 2 Differentilrechnung für Funktionen mehrerer Vribler Bemerkung f : I R R, f ist in x I differenzierbr, flls f(x) f(y) f(x + h) f(x) lim = lim y x x y h 0 h existiert. Der Grenzwert heißt f (x). f ist genu dnn in x differenzierbr, wenn eine linere Abbildung L : R R existiert, so dß f(x + h) f(x) Lh lim = 0. h 0 h Entsprechend f : I R R n, n >, f(x) = (f (x),..., f n (x)), f ist in x I differenzierbr, flls Der Grenzwert heißt f (x). f(x) f(y) f(x + h) f(x) lim = lim y x x y h 0 h existiert. Bemerkung f ist in x I differenzierbr f i : I R R ist in x I differenzierbr, für lle i =,..., n. f ist genu dnn in x differenzierbr, wenn eine linere Abbildung L : R R n existiert und bezüglich der knonischen Bsis ls m -Mtrix drstellbr ist, so dß f(x + h) f(x) Lh lim = 0. h 0 h Bemerkung Punkte in R n sind Spltenvektoren, die wir ber oft ls Zeilenvektoren schreiben. Eine linere Abbildung A : R n R ist ein Zeilenvektor (,..., n ). Eine linere Abbildung A : R n R m ist eine m n-mtrix A = ( j,k )j=,...,m k=,...,n R m n Bevor wir nun zu Funktionen mehrerer Vriblen kommen, betrchten wir zunächst Kurven in R n : 44

145 2,8 2,4 2,6,2 0,8 0,4 0 0,4 0,8,2,6 2 2,4 2,8 3,2 2. Kurven in R n Definition 2.. (((stetig) differenzierbre) Kurve). Eine Kurve in R n ist eine stetige Abbildung γ : I R R n, γ(t) = (γ (t),..., γ n (t)). Die Kurve heißt (stetig) differenzierbr, flls γ (stetig) differenzierbr ist. Kinemtische Interprettion t R sei die Zeit, γ(t) der Pfd, der in der Zeit durchlufen wird. γ (t) ist der Geschwindigkeitsvektor, γ (t) der Absolutbetrg der Geschwindigkeit. Beispiel ) Der Kreis in der Ebene mit dem Rdius r > 0: γ : [0, 2π] R 2, γ(t) = (r cos t, r sin t) γ : [0, 2π] R 2, γ(t) = (r cos t, r sin t) γ : [0, π] R 2, γ(t) = (r cos 2t, r sin 2t) 2) Gerde durch x 0 R n in Richtung v R n \ {0}, γ(t) = x 0 + tv, g (t) = v, γ (t) = v. 3) Schrubenlinie γ : R R 3, r > 0, C R γ(t) = (r cos t, r sin t, ct) 4) Neilsche Prbel γ : R R 2, γ(t) = (t 2, t 3 ) 5) Grph einer Funktion ϕ : I R R, Den Grph von ϕ = {(t, ϕ(t)) t I} knn mn ls Kurve uffssen. Definition 2..2 (Tngentilvektor, Geschwindigkeit, Tngentileinheitsvektor). γ : I R R n sei differenzierbr. Dnn heißt der Tngentilvektor n γ und γ (t) = (γ (t),..., γ n(t)) ( n ) 2 γ (t) = (γ i(t)) 2 die Geschwindigkeit von γ (gegeben durch die Euklidische Norm). i= T γ (t) := γ (t) γ (t) für γ (t) 0 heißt der Tngentileinheitsvektor. Bemerkung Flls γ in x R n einen Doppelpunkt besitzt, d.h. γ(t ) = γ(t 2 ) = x für t t 2, dnn können verschiedene Tngentileinheitsvektoren existieren. 45

146 Beispiel Sei γ(t) = (t 2, t 3 t). Es ist γ() = (0, 0) und γ( ) = (0, 0) ein Doppelpunkt, wo us γ (t) = (2t, 3t 2 ) die beiden Tngentilvektoren γ () = (2, 2) und γ ( ) = ( 2, 2) folgen. Definition 2..3 (reguläre Kurve, singulärer Wert). Eine stetig differenzierbre Kurve heißt regulär, flls für lle t I γ (t) 0. Ein Prmeterwert t I mit γ (t) = 0 heißt singulär. Beispiel ) Neilsche Prbel: γ (0) = (0, 0) t = 0 ist singulär. 2) γ(t) = (t 3, t 9 ), t = 0 ist singulär. Definition 2..4 (Schnittwinkel). γ : I R R n, γ 2 : I 2 R R n seien zwei reguläre Kurven, die sich in einem Punkt x = γ (t ) = γ 2 (t 2 ) schneiden. Unter dem Schnittwinkel bei t, t 2 verstehen wir den Winkel zwischen T γ (t ) und T γ2 (t 2 ), lso cos α = T γ (t ), T γ2 (t 2 ). Frge Wie können wir die Länge einer Kurve bestimmen? Idee Approximtion durch Polygonzüge. Definition 2..5 (Polygonzug). Sei γ : [, b] R n. Sei Z eine Zerlegung von [, b] in Teilpunkte, = t 0 < t <... < t k = b. Verbindet mn γ(t i ) mit γ(t i ) durch Gerden, so erhält mn einen Polygonzug. Die Länge eines Polygonzuges ist gegeben durch p γ (t 0,..., t k ) = k γ(t i ) γ(t i ) i= Definition 2..6 (rektifizierbre Kurve). Eine Kurve γ : [, b] R n heißt rektifizierbr mit Länge L, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dß für jede Zerlegung Z von [, b] mit Feinheit Z < δ gilt: p γ (t 0,..., t k ) L < ε Proposition 2..7 (Bogenlänge). Jede stetig differenzierbre Kurve γ : [, b] R n ist rektifizierbr und ihre Länge, die sogennnte Bogenlänge, ist gegeben durch L = b γ (t) dt Bemerkung Die Kurve γ = {(t, f(t)) t [, b]} ht den Tngentilvektor γ (t) = (, f (t)) und die Geschwindigkeit γ (t) = + (f (t)) 2. Die Bogenlänge berechnet sich ls L = b + (f (t)) 2 dt. 46

147 Lemm Sei γ : [, b] R n eine stetig differenzierbre Kurve. Dnn gibt es zu jedem ε > 0 ein δ > 0, so dß für lle t, s mit t s < δ gilt γ(t) γ(s) γ (t) t s < ε. Beweis ) Sei zunächst n =. γ ist nch Vorussetzung stetig uf dem Kompktum [, b], lso uch gleichmäßig stetig: Es gibt für lle ε > 0 ein δ > 0, so dß für lle t, s mit t s < δ gilt γ (t) γ (s) < ε. Zu t, s [, b] gibt es nch dem Mittelwertstz ein τ (t, s), so dß γ(t) γ(s) = γ (τ)(t s). Für t, s mit t s < δ gilt lso γ(t) γ(s) γ (t) t s = γ (τ) γ (t) < ε. 2) Sei nun n >. Für t s < δ gilt γ(t) γ(s) γ (t) t s n mx i n n ε ) γ i (t) γ i (s) t s γ i(t) Beweis von Proposition 2..7 Sei nun n >. Sei ε > 0 gegeben, γ stetig. Dmit ist uch γ stetig uf [, b] und d [, b] kompktes Intervll ist γ sogr Riemnn-Integrierbr. Dmit gibt es zu ε > 0 ein δ > 0 und eine Zerlegung, so dß für Stützstellen t i t i < δ gilt: b k γ (t) dt γ (t i ) (t i t i ) < ε (2.) 2 i= Nch Lemm 2..8 gibt es ein δ (0, d ], so dß für lle Zerlegungen Z mit (Z) < δ folgt: γ(t i ) γ(t i ) γ (t i ) t i t i < ε 2( b). Hiermit berechnet mn γ (t i ) (t i t i ) γ(t i ) γ(t i ) < γ (t i )(t i t i ) (γ(t i ) γ(t i )) ε 2(b ) (t i t i ) 47

148 und weiter k γ (t i ) (t i t i ) i= k γ(t i ) γ(t i ) i= < k γ (t i ) (t i t i ) γ(t i ) γ(t i ) i= ε 2(b ) k (t i t i ) < ε 2 i= mit (2.) folgt Beispiele b γ (t) dt k γ(t i ) γ(t i ) < ε i= ) Sei γ : [0, ϕ] R 2 gegeben durch γ(t) = (cos t, sin t). Mn berechnet γ (t) = ( sin t, cos t), γ(t) = cos 2 t + sin 2 t = und die Bogenlänge L = ϕ 0 γ (t) dt = ϕ 0 dt = ϕ, dies gilt insbesondere für den Umfng des Einheitskreises 2π. 2) Zykloide Sei hier γ(t) = (t sin t, cos t). Dnn ist γ (t) = ( cos t, sin t) und γ (t) 2 = ( cos t) 2 + sin 2 t = 2 cos t + cos 2 t + sin 2 t = 2 2 cos t = 4 sin 2 t 2. Also ist γ (t) = 2 sin t 2 und schließlich die Bogenlänge L = 2π 0 2 sin t π 2 dt = 4 sin x dx = 8. Definition 2..9 (Prmetertrnsformtion). γ : [, b] R R n sei eine Kurve, ϕ : [α, β] [, b] sei stetig und bijektiv. Dnn ist g : [α, β] R, g := γ ϕ wieder eine Kurve. Wir sgen: g geht us γ durch Prmetertrnsformtion hervor. Flls ϕ, ϕ C, so heißt ϕ uch C -Prmetertrnsformtion. Ds Bild von g und γ ist dßelbe, ber die Kurve wird unterschiedlich durchlufen. Beispiel Sei γ : [0, 2π] R 2 gegeben durch γ(t) = (cos t, sin t). Dnn ist (siehe oben) γ (t) =. Sei die Prmetertrnsformtion ϕ : [0, π] [0, 2π] gegeben durch ϕ(s) = 2s, mit Inverser ϕ (y) = y

149 Dnn ht g(s) = γ(ϕ(s)) = (cos 2s, sin 2s) die Geschwindigkeit g (s) = 2, ds heißt, der Kreis wird doppelt so schnell durchlufen. Bemerkung Flls ϕ (t) > 0, t [, b], so heißt ϕ orientierungstreu. Flls ϕ (t) < 0, t [, b], so heißt ϕ orientierungsumkehrend. Frge Wie verhlten sich Tngentilvektoren, Schnittwinkel und Bogenlänge unter Umprmetrisierung? Tngentilvektoren γ : [, b] R R n sei differenzierbre Kurve, γ C, g = γ ϕ. Mit der Kettenregel ist g (s) = γ (ϕ(s)) ϕ (s). Die Tngentilvektoren sind prllel, die Tngentileinheitsvektoren sind bei orientierungstreuer Prmetrisierung gleich, sonst entgegengesetzt. Schnittwinkel Der Schnittwinkel ändert sich nicht, wenn beide Prmetrisierungen orientierungstreu oder beide orientierungsumkehrend sind. Sonst ist α = π α. Proposition 2..0 (Invrinz der Bogenlänge unter Umprmetrisierung). γ : [, b] R n sei stetig differenzierbr, ϕ : [α, β] [, b] C, g(s) = γ(ϕ(s)). Dnn gilt b γ (ϕ) β dϕ = g (s) ds Beweis Flls ϕ (s) > 0, so ist 2.2 = β α β g (s) ds = Flls ndererseits ϕ (s) < 0, so ist α 2.2 = β α α γ (ϕ(s)) ϕ (s) ds (2.2) b γ (ϕ(s))ϕ (s) ds = Substitution γ (ϕ) dϕ β α b γ (ϕ(s))ϕ (s) ds = ϕ(α)=b γ (ϕ) dϕ Bezeichnung 2... Die Prmetrisierung nch der Bogenlänge wird die ntürliche Prmetrisierung gennnt. 49

150 2.2 Prtielle Ableitungen Wir betrchten im folgenden Funktionen f : Ω R n R m (Ω heißt Gebiet und ist immer offen). Beispiel ) f : Ω R 2 R. Der Grph von f ist ein Flächenstück im R 3. Grph von f: Γ f = {(x, y) Ω R y = f(x)}. Niveumenge zu c R ( Höhenlinien ): N f (c) = {x Ω f(x) = c} 2) f : R 3 \ {x 0 } R 3 ls elektrisches Feld, ds durch die Punktldung q in x 0 R 3 erzeugt wird: f(x) = q x x 0 x x ) f : C C, f(z) = e z ht ls reelle Drstellung: f : R 2 R 2 ( e x ) cos y f(x, y) = e x. sin y 4) Eine beobchtete Größe y (z.b. die Tempertur) hängt von einem Prmeter t b (z.b. der Zeit). Es sind N Messdten (t k, y k ), k =,..., N verfügbr. Ziel: finde eine möglichst relitätsnhe Beziehung y = y(t). Annhme: Die Abhängigkeit ist ffin liner, lso y(t) = t + b. und b sind möglichst gut zu bestimmen, zum Beispiel nch der Methode der kleinsten Qudrte. Hier soll miniml werden. f := N (y j (t j + b)) 2 j= Definition 2.2. (prtiell differenzierbr). Sei Ω R n offen und f : Ω R. Dnn heißt f in x Ω prtiell differenzierbr nch x i (bzw. nch der i-ten Koordinte), flls der Grenzwert f(x + t e i ) f(x) i f(x) := lim t 0 t existiert, wobei e i der i-te Einheitsvektor ist. Diese Größe wird uch mit x i f(x), xi f(x) oder f xi bezeichnet. Also ist die prtielle Ableitung nch x i die gewöhnliche Ableitung von g(t) = f(x + te i ) n der Stelle t = 0. im noch zu präzisierenden Sinne 50

151 Beispiel ) rottionssymmetrische Funktion Sei f : R n \ {0} R, f(x) = x. Dnn ist i f(x) = d i x j 2 + x i + t 2 + dt j= n j=i+ x j 2 2 = 2 x 2x i = x i x 2) Sei f(x) = g(r) mit r(x) = x, g : R + R. Dnn ist i f(x) = g (r) i r(x) = g (r) x i x = g (r) x i r Definition (stetig prtiell differenzierbr). Sei Ω R n offen. f heißt prtiell differenzierbr, flls i f(x) für lle x Ω und für lle i =,..., n existiert. f heißt stetig prtiell differenzierbr, flls zusätzlich i f stetig uf Ω ist für lle i =,..., n. Bemerkung Stetigkeit uf Ω bedeutet im llgemeinen nicht, dß die Funktion stetig fortsetzbr uf Ω ist, für lle i =,..., n. Beispiel einer Funktion, die prtiell differenzierbr, ber nicht stetig ist: f : R n R mit f(x) = x... x n x 2n f(0) = 0 f ist prtiell differenzierbr uf R n \ {0} mit i f(x) = x... x i x i+... x n x 2n 2n x 2n+ (x... x n ) x i x. f(0+te i ) f(0) t f ist in 0 prtiell differenzierbr, denn für lle t 0 ist = 0 0 t = 0 und dmit i f(0) = 0. Aber: f ist in x = 0 nicht stetig, denn für die Folge (x k ) = ( k,..., k ) ist xk = n 0 für k. k Dmit ist f(x k ) = k n ( n k )2n, ws für k gegen geht. Die spätere Verllgemeinerung des Differenzierbrkeitsbegriffs wird Stetigkeit implizieren. Im besonderen sind stetig prtiell differenzierbre Funktionen uch stetig (im Beispiel ist i f(x) nicht stetig in x = 0). 5

152 Definition (Richtungsbleitung). Ω R n offen, f : Ω R, v R n. Dnn heißt v f(x) = lim t 0 f(x + tv) f(x) t flls der Grenzwert existiert, die Richtungsbleitung von f in x Ω in Richtung v. Beispiel Sei f : R n R gegeben durch f(x) = x, sei x 0, v R n \{0}, (v = v i e i ). Dnn ist v f(x) = d x + tv für t = 0 dt = d n dt ( x i + tv i 2 ) 2 für t = 0 = = = 2 x n i= n 2x i v i i= x i x v i i= x x, v Definition (Grdient). f : Ω R n R sei prtiell differenzierbr. Dnn heißt ds Vektorfeld f(x) : Ω R n mit f(x) f(x) :=. n f(x) der Grdient von f in x. im Beispiel: f(x) = x. Für x 0 ist f(x) = und v f(x) = f(x), v x x. x n x = x x Flls f : Ω R n R stetig prtiell differenzierbr ist, dnn existiert für lle v R n \ {0} ein v f(x) und es gilt: v f(x) = n i= if(x)v i = f(x), v Beweis: Übung Definition (Prtielle Ableitung für vektorwertige Funktionen). Sei f : Ω R n R m. Die Funktion f = (f,..., f m ) heißt prtiell differenzierbr, flls lle Komponentenfunktionen f,..., f n prtiell differenzierbr sind. Die prtielle Ableitung schreibt mn uch j f(x) = j f (x). j f m (x). 52

153 Definition (Jcobi-Mtrix). f : Ω R n R m sei prtiell differenzierbr. Dnn heißt f (x)... n f (x) Df(x) :=..... f m (x)... n f m (x) die Jcobi-Mtrix von f in x. Für n = m heißt J f (x) := det Df(x) die Jcobi- oder Funktionldeterminnte. Bemerkung Df(x) = ( f (x)) T. ( f n (x)) T 2.3 Höhere prtielle Ableitungen und Beispiele von Differentilopertoren Definition 2.3. (Prtielle Ableitungen der Ordnung k, C k (Ω, R n )). Sei f : Ω R n R m. Die prtiellen Ableitungen der Ordnung k sind induktiv definiert über: j... jk f(x) := j ( j2... jk )f(x) mit j,..., j k {,..., n} Bezeichnung k j in f(x) oder k j... jk f(x) etc. C k (Ω, R m ) ist der Vektorrum der stetigen Funktionen, deren prtielle Ableitungen bis zur Ordnung k existieren und stetig sind. { } C k (Ω, R m ) = f C k (Ω, R m ) f und lle prtiellen Ableitungen bis zur Ordnung k sind stetig fortsetzbr uf Ω Beispiel f(x) = x, f Ck ((0, )) k N, f C 0 ([0, ]). Proposition (zur Vertuschbrkeit zweier prtieller Ableitungen (Schwrz)). Sei f C 2 (Ω). Dnn gilt für i, j n, dß i j f(x) = j i f(x) Korollr (Für f C k (Ω) knn mn lle prtiellen Ableitungen bis zur Ordnung k vertuschen). Ds heißt für lle Permuttionen σ : {,..., k} {,..., k}: iσ()... iσ(n) f(x) = i... in f(x) Beweis des Stzes von Schwrz Sei j T f(x) = f(x te j) f(x) t der Differenzenquotient von f in x j. Nch Definition gilt i j f(x) = lim(lim i s i T f(x)) s 0 t 0 53

154 Es ist zu zeigen, dß die beiden Grenzwerte vertuscht werden können. Nch dem Mittelwertstz gilt für lle Funktionen g : Ω R, für die die prtielle Ableitung i g(x) existiert, dß 2 i g(x) = i g(x + αse i ) für ein α (0, ). Angewendet für g = j T f und g = s i f folgt drus: s i T j f(x) = i T j f(x + αse i ) für ein α (0, ) = T j ( i f(x + αse i )) = j ( i f(x + αse i + βte j )) für ein β (0, ) j i f ist nch Vorussetzung stetig und konvergiert: j i f(x + αse i + βte j ) s 0 j i f(x + βte j ) t 0 j i f(x). Definition (Vektorfeld). Eine Funktion f : Ω R n R n nennt mn uch Vektorfeld. Mn knn sich den B so vorstellen, In x Ω ist Vektor f(x) R n ngeheftet. Ein Beispiel ist ein Krftfeld, lso elektrische und mgnetische Felder. Beispiel ) Divergenz: Zu f C (Ω, R n ) heißt Divergenz von f div f(x) := n i f i (x) i= 2) Rottion beschreibt lokle Volumenänderungen es gilt div f = tr(df) Physikerschreibweise div f = f Sklrprodukt von mit f ) Ω R 3, f C (Ω, R 3 ). Dnn heißt die Rottion von f. rot f(x) = 2 f 3 3 f 2 3 f f 3 f 2 2 f Physikerschreibweise: rot f = f Vektorprodukt von mit f v 2 w 3 v 3 w 2 (für v, w R 3 ist v w = v 3 w v w 3 v w 2 v 2 w 54

155 b) Ω R 2, f C (Ω, R 2 ) rot f = f 2 2 f ( R) f ist eingebettet in R 3, f(x, x 2, x 3 ) = (f (x, x 2, x 3 )f 2 (x, x 2, x 3 )0) T. Dnn ist 0 rot f = 0 f 2 2 f c) f C 2 (Ω) Dnn gilt rot( f) 0 Beispiele rot( f) = 2 3 f 3 2 f 3 f 3 f 2 f 2 f = ) f : R 3 R 3, f(x) = x. Die Ableitung nch jeder Komponente ist j f. Dmit ist die Divergenz für lle x R 3 : und f ist rottionsfrei: div f(x) = 3 j f j (x) = + + = 3 j= rot f(x) = ( b) f : R 2 R 2 x2, f(x, x 2 ) = x ). = rot f(x) = 2, div f(x) = 0 Bemerkung In R 2 : Eine Drehung eines divergenzfreien Vektorfeldes um 90 ergibt ein rottionsfreies Vektorfeld. 3) Lplce-Opertor Zu f C 2 (Ω), Ω R n heißt f(x) := div( f(x)) = n iif(x) 2 = tr(d 2 f(x)) der Lplce-Opertor von f(x), wobei f... n f D 2 f(x) =..... n f... n n f i= 55

156 Hesse-Mtrix gennnt wird. Für f C 2 (Ω) ist D 2 f(x) nch dem Stz von Schwrz symmetrisch. Bemerkung Der Lplce-Opertor tritt in zhlreichen Gleichungen der Physik uf, zum Beispiel ) Elektrosttik ρ Ldungsdichte, u elektrisches Potentil, es gilt u = ρ. b) Wärmeleitungsgleichung u : R 3 R R, u = u(x, t) ls die Tempertur in x zur Zeit t. f : R 3 R R sei eine Wärmequelle. Ein Modell für die Wärmeusbreitung ist t u K u = f, dbei ist K der Wärmeleitungskoeffizient des Stoffes. Nützlich ist oft der Lplce-Opertor für rottionssymmetrische Funktionen. Sei f : R n \ {0} R mit f(x) = g(r(x)) mit r(x) = x, g : R + R Ziel: f durch Ableitungen von g usdrücken. j f(x) = g (r(x)) j r(x) = g (r(x)) x j x 2 jjf(x) = g (r(x)) x2 j x + g (r(x)) x g (r(x)) x j x 2 x j x = g (r(x)) x2 j x + g (r(x)) x n Dmit ist f(x) = jjf(x) 2 j= = g (r(x)) + n g (r(x)) x = g (r(x)) + (n ) g (r(x)) r = g (r) + n g (r) r g (r(x))x 2 j x 3 g (r(x)) x Wellengleichung Die Funktion u : R 3 \ {0} R R sei durch u(x, t) = cos(r ct) r mit r = x, c R gegeben. Behuptung: u löst die Wellengleichung 2 ttu c 2 u = 0 56

157 Beweis: Betrchte die Funktion ls u(x, t) = g(r, t) mit g(r, t) = r cos(r ct). 2 ttu = 2 ttg ttg(r, 2 2 cos(r ct) t) = c r r g(r, t) = r sin(r ct) cos(r ct) r2 rrg(r, 2 t) = r cos(r ct) + 2 r 2 sin(r ct) + 2 cos(r ct) r3 tt 2 c 2 u = c ( 2 r cos(r ct) + r cos(r ct) 2 r 2 sin(r ct) + 2 sin(r ct) r2 2 r 3 cos(r ct) + 2 ) r 3 cos(r ct) = (Totle) Differenzierbrkeit Idee Approximierbrkeit durch linere Abbildungen. Im folgenden sei Ω R n immer offen. Definition 2.4. (Differenzierbre Abbildung). Eine Funktion f : Ω R n R m, Ω offen, heißt in x Ω differenzierbr, flls es eine linere Abbildung L : R n R m gibt, so dß f(x + h) f(x) L(h) lim = 0 h 0 h Flls solch ein L existiert, so schreibt mn Df(x) = L. Bemerkung ) Bezüglich der knonischen Bsis wird L durch eine Mtrix der Gestlt L = (l jk ) j m k n n (Lh) j = l jk h k j= drgestellt. 2) Schreibweise mit Restglied: f ist in x Ω differenzierbr, flls eine linere Abbildung L : R n R m existiert, R so dß f(x + h) f(x) Lh = R f (h) mit lim f (h) h 0 h = 0 (d.h. R f (h) = o( h )) 3) f : Ω R m ist genu dnn in x Ω differenzierbr, wenn jede Komponentenfunktion f i : Ω R, i =,..., m in x Ω differenzierbr ist. Beispiel 57

158 ) Seien C = (c ij ) M n (R) symmetrisch und f : R n R, f(x) = x, Cx die zu C gehörende qudrtische Form. Sei h R n. f(x + h) f(x) = x + h, C(x + h) x, Cx = x, Cx + h, Cx + x, Ch + h, Ch x, Cx = C sym. 2 Cx, h + h, Ch Dmit ist ein Kndidt für Df(x) = (2Cx) T. f(x + h) f(x) Df(x)h h = Die letzte Ungleichung gilt, d 2 Ch = i j c ij h j 2 CSU CSU h, Ch h h Ch h C h mit C = 0 für h 0 i j c 2 ij j h 2 j n j,k= 2 c 2 j,k 2 = h C. Dmit ist f ist in jedem x R n differenzierbr mit Df(x) = (2Cx) T. 2) f : M n (R) M n (R), f(a) = A 2. Sei H M n (R). Dnn ist f(a + H) f(a) = (A + H)(A + H) A 2 = AH + HA + H 2 Der linere Term ist Kndidt der Ableitung Df(A)H = AH + HA: f(a + H) f(a) (AH + HA) H = = H 0 0. AH + HA + H 2 (AH + HA) H H 2 H Hier ist die Mtrixdrstellung von Df ls n 2 n 2 -Mtrix nicht günstig: Ein Beispiel ist für n = 2: h ( h h 2 ) h 2 h 22 h 2 h 2 Df(A) = h

159 Proposition (Aus (totler) Differenzierbrkeit folgt Stetigkeit und prtielle Differenzierbrkeit). Die Funktion f : Ω R n R m sei in x Ω differenzierbr, lso f(x + h) f(x) Lh = R f (h) mit R f (h) = o( h ) und L = (l j,k ) j m. Dnn gilt: k n ) f ist in x stetig. 2) f ist in x prtiell differenzierbr und es gilt k f j (x) = l j,k. Bemerkung Dies heißt, L ist durch die Jcobimtrix gegeben. Insbesondere ist L eindeutig bestimmt. Beweis ) Dies folgt us lim h 0 (f(x + h) f(x)) = lim h 0 (Lh R f (h)) = 0. 2) Wähle in der Differenzierbrkeitsussge h = te j. Dmit ist und es folgt f i (x + te j ) f i (x) = n l i,k e k + R f (h) = tl i,j + o( t ) k= f i (x + te j ) f i (x) j f i (x) = lim = l i,j t 0 t Proposition (us stetig prtiell differenzierbr folgt (totl) differenzierbr). Die Funktion f : Ω R n R m sei in x Ω stetig prtiell differenzierbr. Dnn ist f in x Ω (totl) differenzierbr. Beweis Nch obiger Bemerkung genügt es, den Fll m = zu betrchten. Ein Kndidt für die Ableitung zu h R n ist Lh = n j= jf(x)h j x 0 = x, x k = x + k j= h je j (x m = x + h) f(x k ) f(x k ) = f(x k + h k e k ) f(x k ) = MWS k f(x k + θ k h k e k )h k mit θ [0, ] Dmit ist f(x + h) f(x) Lh h = = CSU h h h h n n (f(x k ) f(x k )) k f(x)h k k= k= n n k f(x k + θ k h k e k )h k k f(x)h k k= k= ( n ) n 2 ( k f(x k + θ k h k e k ) k f(x)) 2 k= 0 für h 0, k= der Grenzwert existiert, d k f in x stetig ist. 59

160 Korollr Wenn f stetig prtiell differenzierbr ist, dnn ist f stetig. Zusmmenfssung Aus stetig prtiell differenzierbr folgt (totl) differenzierbr folgt prtiell differenzierbr und stetig. Mn sgt sttt stetig prtiell differenzierbr uch nur stetig differenzierbr. Proposition (Kettenregel). Sei Ω R n, V R m, Ω g V f R k. g sei in x Ω differenzierbr und f sei in y = g(x) V differenzierbr. Dnn ist uch die Abbildung f g : Ω R k in x differenzierbr und es gilt D((f g)(x)) = Df(g(x)) Dg(x) lso j ((f g)(x)) i = Beweis Definiere m k f i (g(x)) j g k (x) k= A := Dg(x) M m,n (R) und B := Df(g(x)) M k,m (R) Zu zeigen ist: D(f g)(x) = B A. D g und h differenzierbr sind, gilt g(x + h) = g(x) + Ah + R g (h) mit h R n, R g (h) = o( h ) und f(y + η) = f(y) + Bη + R f (η) mit η R n, R f (η) = o( η ). Wähle η := g(x + h) g(x) = Ah + R g (h). Dmit ist f(g(x + h)) = f(g(x)) + B(Ah + R g (h)) + R f (Ah + R g (h)) und f(y + η) f(y) B A h = B R g (h) + R f (A h + R g (h)) =: ψ(h). Es bleibt zu zeigen: ψ(h) = o( h ) Dzu: und Also geht B R g (h) h B R g(h) h 0 für h 0 A h + R g (h) A h + R g (h) A h + ε h ( A + ) h. R f (A h + R g (h)) h 0 für h 0 Beispiel k = : j ((f g)(x)) = n k= kf(g(x)) j g k (x) = ((Dg(x)) T f(g(x))) j 60

161 Anwendung Ableitung der Umkehrfunktion f : R n R n besitze die Umkehrfunktion g : R n R n, f sei in x differenzierbr, g sei in g = f(x) differenzierbr. Dnn folgt us g(f(x)) = x mit der Kettenregel Dg(f(x)) Df(x) = Dg(f(x)) = (Df(x)) Polrkoordinten in R 2 Sei f : R + (0, 2π) R 2 gegeben durch f(r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ) =: (x, y). Im Ursprung ist f nicht umkehrbr, d ϕ nicht eindeutig bestimmbr ist, nsonsten sei g = f die Umkehrfunktion. Aus ( ) cos ϕ r sin ϕ Df(r, ϕ) = sin ϕ r cos ϕ folgt det Df(r, ϕ) = r > 0. Dnn ist ( ) Dg(x, y) = Df(r, ϕ) cos ϕ sin ϕ = r sin ϕ r cos ϕ = ( x x 2 +y 2 y x 2 +y 2 y x 2 +y 2 x x 2 +y 2 Korollr (Der Grdient steht senkrecht uf Höhenlininen). f : Ω R sei differenzierbr, γ sei reguläre Kurve (α, β) Ω, die gnz in einer Niveumenge verläuft, ds heißt f(γ(t)) = c t (α, β). Dnn gilt ) t (α, β) : f(γ(t)), γ (t) = 0 Bemerkung f(x) zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs in x, ( f(x)) zeigt in Richtung des steilsten Abstiegs. v R n, v = : f(x), v f(x) v = f(x) = f(x) Gleichheit gilt, flls f(x) v, ds heißt v = f(x) f(x). 2.5 Mittelwertstz und Schrnkenstz Ziel Wir wollen Informtionen über die Ableitung nutzen, um drus Informtionen über die Funktion zu gewinnen. Bemerkung Für n = htten wir gezeigt (Mittelwertstz): f(x) f(y) = f (ξ)(x y) für ein ξ (x, y). Dies knn mn jedoch nicht ohne weiteres für vektorwertige Funktionen verllgemeinern, d mn eventuell für jede Komponente ein nderes ξ erhält. Der Huptstz behob diesen Nchteil: f(x) f(y) = y x f (ξ) dξ, gilt in dieser Form uch für vektorwertige Funktionen, ht ber die Beschränkung, dß er nur für f R (I) gilt. 6

162 Proposition 2.5. (Mittelwertstz in R n ). Sei f : Ω R n R differenzierbr, sei x, y Ω, so dß uch die Verbindungsstrecke [x; y] in Ω liegt. Dnn gibt es ein ξ [x; y], so dß f(x) f(y) = Df(ξ)(x y) = f(ξ), x y Beweis Sei γ(t) = x + t(y x), t [0, ], F (t) = f(γ(t)), dnn gilt f(x) = F (0) und f(y) = F (). Nch der Kettenregel ist F differenzierbr mit d dt F (t) = Df(γ(t))γ (t) = f(γ(t)), γ (t) = f(γ(t)), y x Nch dem Mittelwertstz für n = gibt es ein τ (0, ), so dß F () F (0) = F (τ). f(y) f(x) = Df(γ(τ))(y x) = Df(ξ)(y x) Korollr (Ω R n sei offen und wegzusmmenhängend. Flls für f : Ω R gilt: Df(x) = 0, dnn ist f konstnt uf Ω.). Beweis Verbinde zwei beliebige Punkte durch einen Polygonzug und wende den Mittelwertstz uf jedes Teilstück n. Proposition Sei f : Ω R n R m, f C (Ω, R m ). Zu x, y Ω gebe es eine reguläre Verbindungskurve γ : [α, β] Ω, γ(α) = x, γ(β) = y. Dnn gilt f(x) f(y) = β α Df(γ(t)) γ (t) dt R m Beweis Über den Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung für F (t) = f(γ(t)) mit der Kettenregel. Bemerkung ndere Version: Sei x Ω, ξ R n und t [0, ] : x + tξ Ω. Dnn gilt f(x + ξ) f(x) = 0 Df(x + tξ)t dt Proposition (Schrnkenstz). Sei Ω R n offen und konvex und f C (Ω, R m ) mit sup x Ω Df(x) L. Dnn gilt für lle x, y Ω: f ist lso Lipschitz-stetig. Beweis f(x) f(y) L x y, Die Norm ist gegeben durch Df(x) 2 = P n j= P m i= jfi(x) 2. 62

163 Für stetiges γ : [, b] R R n gilt (Übungen) b b γ(t) dt γ(t) dt. (2.3) Nch Vorussetzung ist γ(t) = tx + ( t)y Ω t [0, ]. Mit Stz folgt f(y) f(x) = Df(γ(t))γ (t) dt (2.3) L x y Bemerkung Schreibweise der prtiellen Ableitung. Ordnung i f, x f, f x [mnchml: D f, f x ] 2. Ordnung j i f, ji f, Df(γ(t))(x y) dt Df(γ(t)) (x y) dt 2 f x i x j, xi x j f [mnchml: 2 ij f, ber nicht so üblich. 2 ij f bedeutet i j f] 2.6 Approximtion durch Tylorpolynome Bemerkung Im Fll n = ist für f : I R R mit f C k+ (I), x 0 I ds k-te Tylorpolynom von f in x 0 mit T k f(x, x 0 ) = n j= j! f (j) (x 0 )(x x 0 ) j gegeben. Die Integrlformel für ds Restglied ist: f(x) = T k f(x, x 0 ) + (k + )! x = T k f(x, x 0 ) + f (k+) (ξ) (x x 0) k+ = T k f(x, x 0 ) + o( x x 0 k ) x 0 (t x 0 ) k f (k+) (t) dt (k + )! Für f C (I) ist die Tylorreihe ls T f(x, x 0 ) = j= j! f (j) (x 0 )(x x 0 ) j definiert. Bemerkung Ziel Der Konvergenzrdius ist nicht unbedingt positiv. Auch wenn T f(x, x 0 ) konvergiert, muss nicht gelten f(x) = T f(x, x 0 ). 63

164 Wir wollen f : Ω R n R durch Polynome pproximieren. Durch Einschränkung uf die Verbindungsgerde zwischen x und x 0 uf den Fll n = zurückführen. Definition 2.6. (Multiindex). α = (α,..., α n ) heißt Multiindex, α j N {0}. α := α α n heißt die Ordnung von α. α! = α!... α n! Zu x R n ist x α = (x α,..., xαn n ). Sei k := α, f C k (Ω). Dnn ist D α f(x) = α α αn n f(x) = α f(x) α x... αn x n Ziel Schreibe f C k+ ls Beispiel Für n = 2, k = 2 ist f(x + ξ) = α k α! Dα f(x)ξ α + o( ξ α ) f(x + ξ, x 2 + ξ 2 ) = f(x, x 2 ) + f(x, x 2 )ξ + 2 f(x, x 2 )ξ f(x, x 2 )ξ f(x, x 2 )ξ ξ f(x, x 2 )ξ 2 2 Bemerkung Für k = 2 ist f(x + ξ) = f(x) + f(x), ξ + ξ, D 2 f(x)ξ + o( ξ 2 ) Proposition (Hilfsstz). Sei Ω R n offen, f C k (Ω), x Ω, ξ R n mit x + tξ Ω für t [0, ]. Sei g : [0, ] R definiert durch g(t) := f(x + tξ). Dnn ist g C k ([0, ]) und k t k g(t) = k! α! Dα f(x + tξ)ξ α α k Beispiel Für f : C 2 (R 2 ), g(t) = f(x + tξ) folgt d dt g(t) = f(x + tξ)ξ + 2 f(x + tξ)ξ 2, lso d 2 dt 2 g(t) = 2 f(x + tξ)ξ f(x + tξ)ξ ξ f(x + tξ)ξ 2 2 Beweis ) Mit Induktion über k: k = : d dt g(t) = f(x + tξ)ξ n f(x + tξ)ξ n 64

165 k k: d k dt k = d ( ) d k g(t) dt dtk = IV = = d dt n j= j n... i = n... i = n i k = n... i = i...i k f(x + tξ)ξ i... ξ ik n i k = i...i k f(x + tξ)ξ i... ξ ik ξ j n i...i k f(x + tξ)ξ i... ξ ik i k = 2) Abzählreim: Kommt Index in i...i k genu α -ml vor, dnn gilt nch dem Stz von Schwrz: i...i k f(x + tξ)ξ i... ξ ik = α... αn n f(x + tξ)ξ α... ξn αn k Es gibt! α!... α n! k-tupel (i,..., i n ), in denen der Index l α l -ml vorkommt. (α α n = k), lso (l =,..., n) genu d k dt k g(t) = α =k k!! α n! α... αn n f(x + tξ)ξ α = k k! α! Dα f(x + tξ)ξ α Proposition R n, x + tξ Ω (Tylor-Formel).?? Sei Ω R n offen, f C k+ (Ω), x Ω, ξ t [0, ]. Dnn gibt es ein θ (0, ] mit f(x + ξ) = α k α! Dα f(x)ξ α + α =k+ α! Dα f(x + θξ)ξ α Beweis Sei g : [0, ] R, g(t) := f(x + tξ). Nch Proposition ist g C k+ ([0, ]). Die Tylor-Formel für -Vrible ist g() = = k d l l! dt l g(0) + d k+ g(θ) für einθ [0, ] (k + )! dtk+ l=0 α! Dα f(x)ξ α + α! Dα f(x + θξ)ξ α α k α =k+ 65

166 Korollr Sei f C k (Ω), x Ω, δ > 0 so, dß B δ (x) Ω. Dnn gilt für lle ξ B δ (x): f(x + ξ) = α k α! Dα f(x)ξ α + o( ξ 2 ). Beweis Nch Proposition gibt es ein θ [0, ], θ = θ(ξ) mit f(x + ξ) = α k = α k = α k α! Dα f(x)ξ α + α! Dα f(x)ξ α + α =k α =k α! Dα f(x)ξ α + o( ξ k ) α! Dα f(x + θξ)ξ α α! (Dα f(x + θξ) D α f(x))ξ α d die zweite Summe gegen Null geht für ξ 0, d f C k (Ω). Beispiel f : R 2 \ {(x, y) R 2 x + y = 0} R, f(x, y) = x y x+y, berechne ds Tylorpolynom bis zur zweiten Ordnung im Entwicklungspunkt (, ): x f(x, y) = xf(x, 2 y) = 4y (x + y) 3 yf(x, 2 y) = 2y (x + y) 2 y f(x, y) = 2x (x + y) 2 4x (x + y) 3 xy f(x, y) = 2(x + y)2 4y(x + y) 2(x y) (x + y) 4 = (x + y) 3 f( + x, + x) = f(, ) + x f(, )x + y f(, )y xf(, )x 2 + xy f(, )xy yf(, )y = 2 x 2 y + 4 x2 + 4 y2 + o(( x 2 + y 2 2 ) 2 ) = 2 (x y) 4 (x y)(x + y) + o( x2 + y 2 ) 2.7 Lokle Extrem und die Bedeutung der Hesse-Mtrix Bemerkung Im R ht f in x 0 ein lokles Minimum (Mximum), flls f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) > 0 (f (x 0 ) < 0). Ziel Anloge Aussge für n >. genuer: f ht Minimum in x f (x) = 0, f (x) 0 f (x) = 0, f (x) > 0 f ht Minimum in x 66

167 Definition 2.7. (Lokles Minimum/Mximum). Sei f : Ω R n R. Wir sgen, f ht in x 0 Ω ein lokles Minimum (Mximum), flls es eine Umgebung V um x 0 gibt, so dß für lle x V f(x 0 ) f(x) (f(x 0 ) f(x)) gilt. Flls für lle x V mit x x 0 f(x 0 ) < f(x) (f(x 0 ) > f(x)) gilt, dnn spricht mn von einem isolierten loklen Minimum (Mximum). Proposition (notwendiges Kriterium für lokle Extrem). f : Ω R n R hbe in x 0 Ω ein lokles Extremum und sei in x 0 prtiell differenzierbr. Dnn gilt: i f(x 0 ) = 0 für lle i =,..., n, lso x 0 heißt dnn uch kritischer Punkt von f. f(x 0 ) = 0. Beweis Sei g i (t) := f(x 0 + te i ) für t ( δ, δ), i n. Nch Vorussetzung ht g in t = 0 ein lokles Extremum. Nch Vorussetzung gilt g i (0) = 0 0 = g i (0) = if(x 0 ) i n. Definition (positiv definite Mtrix). Sei A M n (R) symmetrisch. ) A heißt positiv definit, flls ξ, Aξ > 0 ξ R n \ {0}. (Schreibweise: A > 0 ) b) A heißt positiv semidefinit, flls ξ, Aξ 0 ξ R n. (Schreibweise: A 0 ) c) A heißt negtiv definit, flls ξ, Aξ < 0 ξ R n \ {0}. (Schreibweise: A < 0 ) d) A heißt indefinit, flls es ξ, η R n gibt, so dß ξ, Aξ < 0 und η, Aη > 0. (Schreibweise: A < >0 ) Bemerkung A ist genu dnn positiv definit, wenn lle Eigenwerte positiv sind. α,... α,k Kriterium: A ist positiv definit det..... > 0 k =,..., n α k,... α k,k Definition (elliptischer, hyperbolischer, prbolischer, flcher Punkt). Sei f C 2 (Ω), x 0 Ω. Ein Punkt (x 0, f(x 0 )) heißt ) elliptisch, flls D 2 f(x 0 ) positiv oder negtiv definit ist. 2) hyperbolisch, flls D 2 f(x 0 ) nicht singulär und indefinit ist. (x 0 heißt dnn uch Sttelpunkt von f) 3) prbolisch, flls D 2 f(x 0 ) singulär, ber 0 ist. 4) flch, flls D 2 f(x 0 ) = 0. Beispiel Sei f : R 2 R 67

168 ) f(x, y) = ±(x 2 + y 2 ) ist elliptisch in (0, f(0)). 2) f(x, y) = x 2 + y 2 ist hyperbolisch in (0, f(0)). 3) f(x, y) = y 2 ist prbolisch in (0, f(0)). Proposition (hinreichendes Kriterium für Extrem). Ω R n sei offen, f C 2 (Ω), x 0 Ω sei kritischer Punkt von f. Flls ) D 2 f(x 0 ) > 0, dnn ht f in x 0 ein isoliertes lokles Minimum. 2) D 2 f(x 0 ) < 0, dnn ht f in x 0 ein isoliertes lokles Mximum. 3) D 2 f(x 0 ) indefinit, dnn ht f in x 0 kein lokles Extremum. Beweisidee Nch Tylor ist f(x 0 + ξ) = f(x 0 ) + f(x 0, ξ), ξ + ξ, D 2 f(x 0 )ξ ϕ(ξ) mit ϕ(ξ) = o( ξ 2 ) 2 = f(x 0 ) ξ, D 2 f(x 0 )ξ ϕ(ξ) 2 Es bleibt noch zu zeigen, dß ξ, D 2 f(x 0 )ξ α ξ 2, lso dß für kleines ξ gilt: 0 < ϕ(ξ) < α 4. Beweis ) Sei A := D 2 f(x 0 ). Korollr ergibt für lle ξ mit 0 ξ < δ für hinreichend kleines δ: f(x 0 + ξ) = f(x 0 ) + 2 ξ, Aξ + ϕ(ξ) mit ϕ(ξ) = o( ξ 2 ). Außerdem gibt es für lle ε > 0 ein δ 2 > 0, so dß für lle ξ < δ: ϕ(ξ) ε ξ 2. Betrchte uf S n = {x R n x = } die Funktion h : S n R, gegeben durch h(ξ) := ξ, Aξ. D S n kompkt ist, nimmt h uf S n sein Infimum n und d h(ξ) > 0 uf S n ist, gilt uch α := inf ξ S n h(ξ) > 0. 68

169 Es gilt ξ mit ξ = : und dmit ξ R n : oder uch ξ R n : ξ, Aξ α ξ ξ, A ξ α ξ ξ, Aξ α ξ 2. Zu ε = α 4 wähle δ > 0 so klein, dß für lle ξ < δ gilt ϕ(ξ) α 4 ξ 2. Insgesmt folgt für lle ξ mit 0 < ξ < δ f(x 0 + ξ) = f(x 0 ) + ξ, Aξ + ϕ(ξ) 2 f(x 0 ) + α 2 ξ 2 α 4 ξ 2 = f(x 0 ) + α 4 ξ 2 > f(x 0 ). 2) Um A < 0 zu zeigen, wende Teil ) uf A n. 3) Zu zeigen: in jeder Umgebung von x 0 gibt es Punkte z, y mit f(z) < f(x 0 ) < f(y). D A indefinit ist, gibt es ein ξ R n mit ξ, Aξ > 0. Sei β = ξ, Aξ. Für t [0, ] ist f(x 0 + tξ) = f(x 0 ) + 2 tξ, A(tξ) + ϕ(tξ) = f(x 0) + t 2 β 2 + ϕ(tξ) > f(x 0), flls t klein genug ist (wie in Teil ). Anlog zeigt mn: f(x 0 + tη) < f(x 0 ) für hinreichend kleines t, flls η so gewählt ist, dß η, Aη < 0. (Einfche) Beispiele Sei f : R 2 R, (x, y) f(x, y) ) Für f(x, y) = C + x 2 + y 2 ist f(x, y) = (2x, 2y)T und dmit f(0, 0) = 0 für (x, y) = (0, 0), lso (0, 0) kritischer Punkt. Für lle (x, y) ist D 2 f(x, y) = ( ) > 0, insbesondere für (x, y) = (0, 0). Also ht f in (0, 0) ein lokles isoliertes Minimum. 2) Für f(x, y) = C x 2 y 2 ist f(x, y) = ( 2x, 2y) T. Für lle (x, y) ist D 2 f(x, y) = ( ) < 0. f ht in (0, 0) ein lokles isoliertes Mximum. 69

170 3) Für f(x, y) = C + x 2 y 2 ist f(x, y) = (2x, 2y). Für lle (x, y) ist D 2 f(x, y) = ( ) > 0. f ht in (0, 0) einen kritischen Punkt, ber kein lokles Extremum. 4) Beispiele, in denen die Hesse-Mtrix nichts ussgt: i) f(x, y) = x 2 + y 4, D 2 f(x, y) = ( ) y, D 2 f(0, 0) = ( ) 0. Stz erlubt keine Aussge, ber wir sehen, dß f in (0, 0) ein lokles isoliertes Minimum besitzt. ii) f(x, y) = x 2, D 2 f(x, y) = ( ) 0. f ht in jedem Punkt (0, y) ein lokles Minimum (nicht isoliert). iii) f(x, y) = x 2 + y 3, D 2 f(x, y) = ( ) y 0, D 2 f(0, 0) = ( ). f ht in (0, 0) kein lokles Extremum. Proposition (notwendiges Kriterium für lokle Extrem). Ω R n, f C 2 (Ω), x 0 Ω sei kritischer Punkt. ) Flls f in x 0 ein lokles Minimum ht, so ist D 2 f(x 0 ) 0 (positiv semidefinit). b) Flls f in x 0 ein lokles Mximum ht, so ist D 2 f(x 0 ) 0 (negtiv semidefinit). Beweis ) Annhme: D 2 f(x 0 ) sei nicht positiv semidefinit. Dnn gibt es ein ξ R n mit ξ, D 2 f(x 0 )ξ < 0. Somit ht g(t) = f(x 0 + tξ) in t = 0 nch dem Beweis von Stz ein lokles isoliertes Mximum. 2) nlog mit umgekehrtem Vorzeichen. Proposition (Schwches Mximumprinzip für hrmonische Funktionen). Ω R n sei offen und beschränkt, u C 2 (Ω) C 0 (Ω) sei hrmonisch in Ω, lso gilt u = 0 in Ω. Dnn nimmt u Minimum und Mximum uf dem Rnd von Ω n. Beispiel Im R ist mit Ω = (, b) die Funktion u(x) = cx + d hrmonisch. Im R n für n > 2 ist mit Ω = B R (0) \ B r (0) die Funktion u(x) = x 2 n hrmonisch. Beide Funktionen nehmen nch dem schwchen Mximumsprinzip ihr Mximum und Minimum uf dem Rnd n. Beweis Mit u ist uch u hrmonisch, es genügt lso, die Aussge für ds Mximum zu zeigen. 70

171 Sei M := mx x Ω u(x), µ := mx x Ω u(x) Annhme: µ < M. Definiere u ε (x) := u(x) + ε x 2 mit so kleinem ε, dß mx x Ω u ε (x) < M, ußerdem folgt us u ε (x) u(x), dß mx x Ω u ε (x) M. Also nimmt u ε n einem Punkt x 0 Ω sein Mximum n. Hier gilt dnn D 2 u ε (x 0 ) 0 und somit u ε (x 0 ) = tr D 2 u ε (x 0 ) 0, ber u ε (x) = u(x) + (ε x 2 ) = 0 + 2nε = 0 Ds ist ein Widerspruch. Bemerkung Ds strke Mximumsprinzip besgt: Flls ein hrmonisches u in Ω Mximum oder Minimum nnimmt, dnn ist u konstnt. 2.8 Konvexe Funktionen Definition 2.8. (konvex). Sei M R n konvexe Menge. Die Funktion f : M R heißt konvex, flls für lle x, y M und lle λ [0, ] gilt: f(λx + ( λ)y) λf(x) + ( λ)f(y) (2.4) f heißt strikt konvex, flls (2.4) mit < und λ (0, ) gilt. f heißt konkv, flls (2.4) mit gilt. f heißt strikt konkv, flls (2.4) mit > und λ (0, ) gilt. Bemerkung Jede konvexe Funktion ist uf dem Inneren ihres Definitionsbereiches uch stetig. [n = : folgt us der Monotonie des Differenzenquotienten, siehe Anlysis I n > : induktiv, siehe zum Beispiel in Hildebrndt, Anlysis II, S. 75] Bemerkung n = f C (M) konvex f(x + h) f(x) + f (x)h (Tngentenkriterium) f C 2 (M) konvex f (x) 0 x M strikt konvex, flls > gilt. Ziel nloge Aussgen für n > 7

172 -2,4 -,6-0,8 0 0,8,6 2,4 Definition (Epigrph). Die Menge 2,8 2,4 Epi(f) = {(x, z) z f(x), x M} 2,6 heißt Epigrph von f. (Im Bild die weiße Fläche),2 0,8 Proposition (f konvex Epigrph von f ist konvex). (ls Teilmenge des R n+ ) 0,4 Proposition (Tngentenkriterium). Sei Ω R n offen und konvex und f C (Ω). Dnn ist f genu dnn konvex, wenn für lle x, x + h Ω: f(x + h) f(x) + f(x), h Beweis Nch Vorussetzung ist x + th Ω für t [0, ]. f(x + th) = f(( t)x + t(x + h)) f konvex ( t)f(x) + tf(x + h) (f(x + th) f(x)) f(x + h) f(x) t Für t 0 folgt f(x + th) f(x)) f(x), h t : Zu x, y Ω betrchte z = λx + ( λ)y, h := x z uf der Verbindungsgerde. Dnn ist Ds Tngentenkriterium impliziert: y = z λx λ = z λz λh λ = z λ λ h i) f(y) f(z) + f(z), y z = f(z) λ λ f(z), h ii) f(x) f(z) + f(z), x z = f(z) + f(z), h Aus ( λ) ) + λ 2) folgt: ( λ)f(y) + λf(x) f(z) = f(λx + ( λ)y) 72

173 Proposition Sei Ω R n offen und konvex und f C 2 (Ω). Dnn ist f genu dnn konvex, wenn für lle x Ω gilt. D 2 f(x) 0 Beweis Mit x und x + h ist für lle t (0, ) uch x + th Ω. Mit der Tylor-Formel?? folgt f(x + h) = f(x) + f(x), h + 2 h, D 2 f(x + θh)h für ein θ (0, ). (2.5) Sei lso f konvex. Dnn folgt mit dem Tngentenkriterium 2.8.4, dß f(x + th) f(x) + t f(x), h, und vergleicht mn dies mit (2.5), so erhält mn die Bedingung t 2 h, D 2 f(x + θth)h 0. Lässt mn t gegen 0 gehen, folgt mit Stetigkeit von D 2 f: h, D 2 f(x)h 0 für beliebiges h R n. Aus D 2 f 0 folgt Dmit ist Mit dem Tngentenkriterium ist f konvex. h, D 2 f(x + θh)h 0 2 f(x + h) f(x) + f(x), h Bemerkung Proposition und gelten entsprechend mit strikt konvex und >. 73

174 3 Bnchscher Fixpunktstz, lokler Umkehrstz und Stz über implizite Funktionen 3. Bnchscher Fixpunktstz Ziel dieses Abschnitts ist, die Existenz und Eindeutigkeit des Fixpunktes einer Abbildung F : X X sicherstellen. Ein Fixpunkt ist ein x X mit F (x) = x. Definition 3.. ((strk) kontrhierend). (X, d) sei metrischer Rum, M X. F : M X heißt ) kontrhierend, flls d(f (x), F (y)) < d(x, y) x, y M. 2) strk kontrhierend, flls eine Konstnte γ [0, ) existiert, so dß d(f (x), F (y)) γd(x, y) x, y M. Proposition 3..2 (Bnchscher Fixpunktstz). (X, d) sei vollständiger metrischer Rum, M X sei bgeschlossen und nicht-leer. Dnn besitzt jede strk kontrhierende Abbildung F : M M genu einen Fixpunkt in M. Bemerkung Wir überlegen uns zunächst, dß lle Vorussetzungen uch notwendig sind. ) M nicht-leer. Ein Fixpunkt ist u.. Element der Menge. 2) M bgeschlossen. Sei M = (0, ) und F (x) = x 2. Dnn ist F (x) F (y) 2 x y, lso ist F strk kontrhierende Selbstbbildung, ber der Fixpunkt x = 0 ist nicht in M. 3) F : M M. Selbstverständlich knn beispielsweise F : [0, ] [2, 3], gegeben durch F (x) = x + 2, keinen Fixpunkt hben, d x [0, ], F (x) [2, 3], lso immer x F (x). 4) F strk kontrhierend. Sei M = R und F (x) = π 2 + x rctn(x), worus F (x) = [0, ) folgt. +x 2 Dmit ist F (x) F (y) F (ξ) x y < x y. 74

175 F ist lso kontrhierend, ber nicht strk. F ht keinen Fixpunkt in R, d die Gleichung rctn(x) = π 2 keine Lösung besitzt. Bemerkung In Anwendungen erfordert es meist den größten Aufwnd, die Selbstbbildungseigenschft (F : M M) nchzuweisen! Beweis des Bnchschen Fixpunktstzes 3..2 Für beliebiges x 0 M sei x n+ := F (x n ). Nch Vorussetzung (F : M M) gilt x n M für lle n N. Existenz: Wir zeigen zunächst, dß (x n ) eine Cuchy-Folge in M ist. d(x n, x n+m ) d(x n, x n+ ) + d(x n+, x n+2 ) d(x n+m, x n+m ) = d(f (x n ), F (x n )) d(f (x n+m 2 ), F (x n+m )) F strk kontr. γ [d(x n, x n ) d(x n+m 2, x n+m )] γ n d(x 0, x ) γ n+m d(x 0, x ) = γ n ( + γ + γ γ m ) d(x 0, x ) ( ) γ γ n m d(x 0, x ) γ γ n γ d(x 0, x ) 0 für n. = geom. Reihe Dmit ist (x n ) eine Cuchy-Folge und d X vollständig und M bgeschlossen sind, gibt es ein x M mit d(x n, x) 0 für n. D F ls strk kontrhierende Abbildung insbesondere uch stetig ist, knn mn in der Itertionsvorschrift zum Grenzwert übergehen: x x n+ = F (x n ) F (x) für n Also ist F (x) = x. Eindeutigkeit: Annhme: es gebe Fixpunkte x, y. Dnn ist d(x, y) = d(f (x), F (y)) γd(x, y). Hierus folgt d(x, y) = 0, lso x = y. Bemerkung Die Vorschrift x n+ = F (x n ) liefert ein konstruktives Verfhren zur Berechunung des Fixpunktes. Es gelten die folgenden Fehlerbschätzungen: d(x n, x) γn γ d(x 0, x ) d(x n+, x) γ γ d(x n+, x n ) 75

176 d(x n+, x) γd(x n, x) Beweis der Fehlerbschätzungen Der Beweis geschieht ähnlich obiger Rechnung jedes Ml über die Kontrktivität, Definition der Folge und schließlich beidseitigen Grenzübergng von m nch unendlich. Die erste Abschätzung berechnet mn d(x n, x) m d(x n, x n+m ) d(x n, x n+ ) d(x n+m, x n+m ) = d(f (x n, F (x n )) d(f (x n+m 2 ), F (x n+m )) < γ [d(x n, x n ) d(x n+m 2, x n+m )] < γ n [d(x 0, x ) d(x m, x m )] < γ n ( + γ γ m ) d(x 0, x ) = γ n γm γ d(x 0, x ) m γn γ d(x 0, x ), die zweite: d(x n+, x) m d(x n+, x n+m ) = d(f (x n ), F (x n+m )) < γ d(x n, x n+m ) γ [d(x n, x n+ ) d(x n+m 2, x n+m )] < γ ( + γ γ m 2 ) d(x n, x n+ ) = γ γm d(x n, x n+ ) γ m γ γ d(x n, x n+ ) und zuletzt die dritte: d(x n+, x) m d(x n+, x m+ ) = d(f (x n ), F (x m )) < γd(x n, x m ) m γd(x n, x). 3.2 Anwendung I: Nullstellenbestimmung Ziel Nullstelle von f : Ω R n R n finden. 76

177 Vorüberlegung Ds Nullstellenproblem ist äquivlent zum Fixpunktproblem: Flls x 0 Nullstelle von f ist, dnn ist x 0 Fixpunkt von F (x) = x f(x), ber uch von F (x) = x A(x)f(x) mit A(x) invertierbr. Beispiel ) Newton-Verfhren. Hier ist (flls Df existiert) F (x) = x Df (x)f(x). Erinnerung Für n = entspricht ds der Folge, x n+ = x n f(x n) f (x n ), wobei x n+ Nullstelle der Tngentilfunktion (x n, f(x n )) ist, d.h. 0 = f(x n ) + f (x n )(x n x n ). Anlog geht mn für n > vor und betrchtet n (x n, f(x n )) die linere Approximtion L(x) = f(x n ) + Df(x n )(x x n ) Ds Vorgehen ht den Nchteil, dß in jedem Schritt Df(x n ) berechnet werden muss, ws ufwändig ist. Es ht llerdings den Vorteil, dß flls es konvergiert es nhe der Nullstelle sehr schnell konvergiert. 2) Modifiziertes Newton-Verfhren: Hier ist die Itertionsvorschrift gegeben durch F (x) = x Df (x 0 )f(x) Vorteil: Df (x 0 ) muss nur einml berechnet werden. Nchteil: konvergiert im llgemeinen lngsmer. Jetzt Versuche, Nullstelle von f ls Fixpunkt von F (x) = x Af(x), A invertierbr zu finden. Flls f differenzierbr, dnn uch F mit DF (x) = id A Df(x) Flls x 0 nhe Nullstelle von f, dnn x 0 uch nhe Fixpunkt von F, denn F (x 0 ) x 0 = Af(x 0 ) A f(x 0 ). Idee: In Umgebung von x 0 ist F Selbstbbildung und strk kontrhierend. 77

178 Proposition Seien f C (Ω, R n ), A M n (R) invertierbr und für x 0 Ω, r > 0 mit B r (x 0 ) Ω gelte: ) x B r (x 0 ) : id A Df(x 0 ) γ < und 2) f(x 0 ) r( γ) A. Dnn ht f genu eine Nullstelle x B r (x 0 ), die Folge (x k ), definiert über konvergiert gegen x und es gilt: x k+ := x k A f(x k ), x x k γk γ x 0 x = γk γ Af(x 0) γk γ A f(x 0) Beweis Wende den Bnchschen Fixpunktstz 3..2 uf F (x) := x Af(x) n: ) X = R n, M := B r (x 0 ) ist nicht-leer und bgeschlossen. 2) F ist strk kontrhierend in B r (x 0 ), denn DF (x) = id A Df(x). Dmit ist F (x) F (y) sup DF (z) x y z B r(x 0 ) = sup id A Df(z) x y z B r(x 0 ) 3.2..) 3) Für F : B r (x 0 ) B r (x 0 ) und x B r (x 0 ) ist γ x y x, y B r (x 0 ). F (x) x 0 F (x) F (x 0 ) + F (x 0 ) x 0 γ x x 0 + Af(x 0 ) ) = r γr + r( γ) Anwendung (In den Anwendungen). Finde zuerst x 0, so dß f(x 0 ) klein. Setze A := Df (x 0 ) [flls dieses existiert], dmit id A Df(x 0 ) γ <. Flls Df stetig ist, so ist die Vorussetzung ) in der Umgebung von x 0 erfüllt. Prüfe dnn, ob f(x 0 ) r( γ). A Flls beide Bedinungen zutreffen, wende Proposition 3.2. n. 78

179 Beispiel Betrchte f : R 2 R 2, gegeben durch f(x, y) = (x 2 y 2, 2xy ). Im Punkt (x 0, y 0 ) = (, 2 ) ist f(x 0, y 0 ) =. Die Ableitung ist Df(x, y) = ( ) 2x 2y 2y 2x, in diesem Punkt Df(x0, y 0 ) = ( ) 2 2 und ihre Inverse Df (x 0, y 0 ) = ( 2 5 2). A = 0 5 zur Kontrktionseigenschft Bedingung ): Für lle (x, y) B r (x 0, y 0 ) soll gelten: Mn berechnet die Bedingung: Also wähle mn r = zu Bedingung 2): ist äquivlent zu 5 8 ws zum Beispiel γ = 2 erlubt. id A Df(x, y) γ <. ( ) 2 ( x) y 5 8 y2. γ zu noch zu bestimmendem γ <. f(x 0 ) A = 0 4 r( γ) 5 γ( γ), 5 Der Stz liefert lso Existenz und Eindeutigkeit einer Nullstelle von f in B q 5 und die Konstnte γ mit Fehlerbschätzung γ = Gewöhnliche Differentilgleichungen 8 2 ((, 2 )) Ziel Existenz und Eindeutig einer Lösung des Anfngswertproblems: Zu f : R R ist eine differenzierbre Funktion y : I R R gesucht, so dß für t 0 I gilt y (t) = f(y(t)) t I y(t 0 ) = y 0 für ein gegebenes y 0 R Ziel Bnchschen Fixpunktstz nwenden um unter gewissen Vorussetzungen n f eine eindeutige Lösung zu finden. Dzu X = (C 0 (I), ) ist Bnchrum Mn rechnet mit der euklidischen Norm. Jede Norm mit der Eigenschft Ax A x ist zulässig. hier nicht usgeführt 79

180 Proposition 3.3. (einfchste Version von Picrd-Lindelöf). Sei t 0 I und f : R R sei Lipschitz-stetig, d.h. für lle x, y R und für ein L > 0 ist f(x) f(y) L x y. Dnn existiert zu jedem y 0 R eine stetig differenzierbre Funktion y : I R mit Beweis ) Formulierung ls Integrlgleichung: Flls y Lösung ist, dnn gilt uch d.h. y ist Fixpunkt der Abbildung y (t) = f(y(t)) und y(t 0 ) = y 0. t y(t) = y 0 + f(y(s)) ds t 0 (3.) t F (y)(t) = y 0 + f(y(s)) ds. t 0 Flls y C 0 (I), dnn ist uch F (y) C 0 (I), lso F : X X. 2) Zunächst sei I = [t 0 δ, t 0 + δ] für hinreichend kleines δ > 0. Dnn ist F strk kontrhierend uf C 0 (I), denn für y, y 2 C 0 (I) gilt t F (y )(t) F (y 2 )(t) = f(y (s)) f(y 2 (s)) ds t 0 Dmit ist f Lipschitz t t 0 f(y (s)) f(y 2 (s)) ds t L y (s) y 2 (s) ds t 0 L y y 2 t t 0 2 y y 2 flls δ = 2L. F (y ) F (y 2 ) = sup F (y )(t) F (y 2 )(t) t I 2 y y 2 Nch dem Bnchschen Fixpunktstz 3..2 gibt es genu eine Lösung y X der Integrlgleichung uf I. D y stetig ist, ist t t 0 f(y(s)) ds differenzierbr und dmit y C (I). Indem mn (3.) differenziert, erhält mn y = f(y). kurz: y = f(y) 80

181 3) Itertion: Ds bewiesene Ergebnis wendet mn uf t 0 + δ und t 0 δ mit den neuen Anfngswerten y(t 0 + δ) bzw. y(t 0 δ) n. Dies führt zu Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung y C ([t 0 2δ, t 0 + 2δ]). So fährt mn fort, bis eine Lösung uf gnz I konstruiert ist. Bemerkung Der Beweis für ist im Prinzip nlog. f : I R n R n mit y (t) = f(t, y(t)) Globle Lipschitzstetigkeit ist eine strke Vorussetzung. Oft gibt es lokle Lipschitz-Stetigkeit, mn knn lso eine Lösung für kleine Intervlle (Zeiten) konstruieren. Zum Beispiel gibt es für y = y 2 im llgemeinen keine Lösung für beliebige Zeiten. Beispiel Räuber-Beute Modelle λ(t) ist die Größe der Beutepopultion zur Zeit t µ(t) ist die Größe der Räuberpopultion zur Zeit t Annhmen ) Für die Beute steht immer genügend Nhrung zur Verfügung. 2) Es gibt einen Geburtenüberschuss α > 0. 3) Der Wchstum der Beutepopultion λ ist proportionl zu λ, lso λ (t) = αλ(t). Die Lösung hierfür ist λ(t) = λ(0) e αt 4) Flls uch Räuber vorhnden sind, reduzieren sie die Beute: λ (t) = αλ(t) βλ(t)µ(t) 5) Die Räuber ernähren sich usschließlich von Beute, ohne Beute sterben sie mit Rte γ, ws zu µ (t) = γµ(t) + δλ(t)µ(t) führt. Dies ist lso ein System von 2 Differentilgleichungen für λ und µ. Es wird in Anlysis III usführlich betrchtet.. 8

182 3.4 Lokler Umkehrstz Motivtion f : Ω R n R n. Knn mn f(x) = y (lokl) nch x uflösen, d.h. gibt es ein g = f, so dß y = f(x) x = g(y)? Idee Sei x 0 R, y 0 = f(x 0 ) mit invertierbrem Df(x 0 ). Dnn gilt für x x 0, dß y = f(x) y 0 + Df(x 0 )(x x 0 ), lso y f(x) x x 0 + Df(x 0 ) (y y 0 ). Beispiel Sei f : R R definiert durch f(x) := x 2. Für x 0 > 0, y 0 = x 2 0 ist f(x) nhe x 0 invertierbr. Anlog für x 0 < 0. Bei x 0 = 0 gibt es keine lokle Umkehrung, deshlb ist f (0) = 0 M (R) singulär. Definition 3.4. (Diffeomorphismus). Sei f : U R n V R n, U, V offen in R n. f heißt Diffeomorphismus zwischen U und V, flls gilt: f ist bijektiv, es gibt lso ein f : V U und f C (U, V ), f C (V, U). Mn sgt uch, U ist diffeomorph zu V. Bemerkung Flls f, f C k, so heißt f uch C k -Diffeomorphismus. Beispiel Betrchte im R die Abbildung f : (, ) (, ) gegeben durch f(x) = x 3. f ist bijektiv und ht eine Umkehrbbildung f C f : (, ) (, ) gegeben durch f (y) = y 3 f C, f ist in V nicht differenzierbr. Also ist f kein Diffeomorphismus. Bemerkung n =. Sei f : I J Seien I, J offen in R mit g = f C. Es gilt für lle x I, dß g(f(x)) = x. Durch Differenzieren erhält mn für lle x I: g (f(x))f (x) =, oder uch für lle y J: = g (y) f (g(y)). 82

183 Proposition (Stz über die lokle Umkehrfunktion). Sei f C (Ω, R n ), Ω R n offen, sei x 0 Ω fix. Flls Df(x 0 ) invertierbr ist, so gibt es offene Umgebungen U von x 0 und V von y 0 = f(x 0 ) mit f : U V ist Diffeomorphismus, somit: V = f(u) ist offen in R n. Beispiel f(x) = x 2 Für x 0 > 0 können wir U = V = (0, ) betrchten. Für x 0 < 0 können wir U = (, 0), V = (0, ) betrchten. Beweis O.B.d.A. seien x 0 = 0, y 0 = 0. Andernflls betrchte f : Ω\{x 0 } R n, gegeben durch ξ f(x 0 + ξ) y 0 = f(ξ)..schritt Formulierung ls Fixpunktproblem: Sei A := Df(0). Nch Vorussetzung existiert A. Definiere R f : Ω R n durch Dnn gilt: R f (x) = f(x) Ax. y = f(x) = Ax + R f (x) x = A (y R f (x)) Äquivlent hierzu ist, dß x Fixpunkt der Abbildung ϕ y : Ω R n, ist, wobei ϕ y (x) = A (y R f (x)). 2.Schritt Anwendung des Bnchschen Fixpunktstzes ) Bestimme ε > 0 und δ > 0 mit B δ (0) Ω. Für lle y B ε (0) ist strikt kontrhierend. ϕ y : B δ (0) B δ (0) b) Dnn gibt es nch dem Bnchschen Fixpunktstz für jedes y B ε (0) genu einen Fixpunkt x B δ (0). Also gilt y = f(x). c) Mit Ṽ := B ε(0) und Ũ := B δ(0) f [Ṽ ] ist f : Ũ Ṽ bijektiv. Beweis hiervon 83

184 ) Es gibt ein δ > 0, so dß B δ (0) Ω mit DR f (x) 2Λ für lle x B δ(0) mit Λ = A, d R f : Ω R in C ist mit R f (0) = 0 und DR f (0) = 0. Nch dem Schrnkenstz gilt für lle x, x 2 B δ (0): R f (x ) R f (x 2 ) 2Λ x x 2 und deshlb gilt mit x 2 = 0 für lle x B δ (0): Für jedes y R n folgt: R f (x ) 2Λ x. ϕ y (x) = A (y R f (x)) Und somit gilt für jedes y R n : Wähle = A (R f (x ) R f (x 2 )) 2 x x 2 für lle x, x 2 B δ (0) ϕ y (x) = A (y R f (x)) Λ( y + R f (x) ) Λ( y + 2Λ x ) Λ y + 2 x für lle x B δ(0) ε < 2Λ δ. Für lle y B ε (0) und lle x B r (0) ist lso ist für lle y B ε (0) ϕ y (x) < 2 δ + 2 δ = δ, ϕ y : B δ (0) B ε (0). Somit hben wir 0) bewiesen. Hierus folgt??) und drus??). 3.Schritt Stetigkeit und Differenzierbrkeit von g = f : Ṽ Ũ. 84

185 ) Zeige: g ist uf Ṽ (= B ε(0)) stetig. Aus dem vorherigen folgt für lle y Ṽ, dß Für lle y, y 2 Ṽ gilt: oder uch g(y) = ϕ y (g(y)) = A (y R f (g(y))). g(y ) g(y 2 ) Λ( y y 2 + 2Λ g(y ) g(y 2 ) ) g(y ) g(y 2 ) 2Λ y y 2. Also ist g (Lipschitz-) stetig uf Ṽ und es gilt wegen g(0) = 0, dß für lle y B ε (0): g(y) 2Λ y. b) Zeige: y ist in 0 differenzierbr mit Dg(0) = A = (Df(0)). g(y) A y y = ϕ y(g(y)) A y y = A R f (g(y)) y Λ R f (g(y)) g(y) g(y) y f(g(y)) Ag(y) = Λ g(y) g(y) y Λ 0 const für g(y) 0, d A = Df(x 0 ) = 0. c) Zu zeigen: i. Es gibt offene Mengen U und V mit 0 U f : U V bijektiv ist. ii. Auf V ist g differenzierbr mit Ũ, 0 V Ṽ, so dß Df(y) = (Df(g(y))) y V iii. Dnn folgt die Stetigkeit von Df : V M n (R) us Übungsufgbe 29. Beweis i. D Df : Ω M n (R) stetig ist, und uch det : M n (R) R stetig ist, ist uch det Df : Ω R stetig. Außerdem gilt nch Vorussetzung, dß det Df(0) 0, lso gibt es ein γ > 0, so dß B γ (0) Ω mit det Df(x) 0 x B γ (0). Wir setzen Ũ := U B γ (0) V := f(u) Ṽ, dnn sind U und V offen. 85

186 ii. Für lle y V mit x = g(y ) ist g differenzierbr mit zu zeigender Bedingung. D f stetig ist, erfüllen x, y die Vorusssetzungen des Stzes. Wie oben gezeigt, gilt Dg(y ) = (Df(x )). Beispiel f : R + R R 2, gegeben durch (r, ϕ) (r cos ϕ, r sin ϕ) ( ) cos ϕ r sin ϕ Df(r, ϕ) =, dmit det Df(r, ϕ) = r > 0. sin ϕ r cos ϕ (Df(r, ϕ)) = ( ) r cos ϕ r sin ϕ. r sin ϕ cos ϕ f ist stets lokl invertierbr, ber nicht globl. Mn knn lokl die Inverse berechnen: f(r, ϕ) = (x, y) R 2 : sei { ( U = (r, ϕ) ϕ π 2, π )} und V = {(x, y) R 2 x > 0}. 2 f : U V ist C -Diffeomorphismus, wobei g = f : V U gegeben ist durch ( g(x, y) = x 2 + y 2 ; rctn x) y. 3.5 Stz über implizite Funktionen Problem Gibt es in Gleichungen für m+k = n Vriblen k unbhängige und m bhängige Vriblen? Setting R n = R k R m (x,..., x k, y,... y m ) =: (x, y) f : Ω R n R m, (x 0, y 0 ) Ω R n, f(x 0, y 0 ) := z 0 Wir suchen Umgebungen U von x 0 und V von y 0 sowie eine Funktion g : U V, so dß gilt: (x, y) U V : f(x, y) = z 0 = f(x 0, y 0 ) y = g(x) Linerer Fll Sei f(x, y) = Ax + By, A M k,m, B M m. Ax + By = Ax 0 + By 0 knn mn, flls B invertierbr ist, uflösen zu y = y 0 B A(X X 0 ) =: δ(x) 86

187 Nicht-linerer Fll Für f C : Nottion: Df(x, y) L(R k+m, R m ) = (D x f(x, y), D y f(x, y)) Hierbei ist ( ) fj D x f(x, y) = M k,m = L(R k, R m ) x k j,k ( ) fj D y f(x, y) = M m = L(R m ) y k f(x, y) f(x 0, y 0 ) + D x f(x 0, y 0 )(x x 0 ) + D y f(x 0, y 0 )(y y 0 ) + hot j,k f(x 0, y 0 ) + hot flls D x f(x 0, y 0 )(x x 0 ) = D y f(x 0, y 0 )(y y 0 ) Dies ist genu dnn der Fll wenn (D y f(x 0, y 0 ) invertierbr) y = y 0 [D y f(x 0, y 0 )] D x f(x 0, y 0 )(x x 0 ). Proposition 3.5. (Stz über implizite Funktionen). Sei f : Ω R k+m R m C, sei (x 0, y 0 ) Ω mit z 0 := f(x 0, y 0 ). Flls D y f(x 0, y 0 ) invertierbr ist, dnn existieren Umgebungen U von x 0 und V von y 0, sowie eine Funktion g C (U, V ), so dß gilt Beweis {(x, y) U V f(x 0, y 0 ) = z 0 } = {(x, y) x U, y = g(x)}. ) Definiere F : Ω R k+m durch F (x, y) = (x, f(x, y)) worus F (x 0, y 0 ) = (x 0, z 0 ) folgt. D f in C ist und ebenso x x, ist mit seinen Komponenten uch F C. Hierbei ist DF (x, y) M k+m gegeben durch ( DF (x, y) = id R k 0 D x f(x, y) D y f(x, y) ) ( Mk M m,k M k,m Diese Mtrix ist in (x 0, y 0 ) invertierbr, d die identische Abbildung id regulär ist und ebenso nch Vorussetzung D y f(x 0, y 0 ). Also ht DF (x 0, y 0 ) vollen Spltenrng und ist dmit invertierbr. Nch dem Umkehrstz gibt es Umgebungen U 0 V R k R m von (x 0, y 0 ) und W R k+m von (x 0, z 0 ), so dß F : U 0 V W Diffeomorphismus ist: G = F C (W, U 0 V ). M m ). 87

188 b) Sei (x, z) W gegeben mit x R k und z R m. Wähle y V mit (x, z) = F (x, y) = (x, f(x, y)). Dnn ist (x, y) = G(F (x, y)) = G(x, f(x, y)) = G(x, z), es gibt lso eine Funktion g 0 : W V mit G(x, z) = (x, g 0 (x, z)) und g 0 C. Definiere U R k wie folgt: U = {x R k x U 0, (x, z 0 ) W } = U 0 {x (x, z 0 ) W }, lso ist U offene Umgebung von x 0. W ist mit Proposition.4.2 offen, d U 0 und V offen sind und f stetig. Für (x, y) U V gilt f(x, y) = z 0 F (x, y) = (x, z 0 ) (x, y) = G(x, z 0 ) (x, y) = (x, g 0 (x, z 0 )) y = g 0 (x, z 0 ) =: g(x) Mit dieser Definition gilt für dieses G : U V R m, dß g C. Für lle x U ist f(x, g(x)) = z 0. Durch Differenzieren nch x erhält mn: D x f(x, g(x)) + D y f(x, g(x)) Dg(x) = 0 und somit Dg(x) = D x f(x, g(x))(d y f(x, g(x))). Für x = x 0 folgt die zweite Behuptung. Anwendung (Höhenlinien). Sei Ω R 2, (x, y) R 2, f C (Ω, R). Für c R sei N f (c) := {(x, y) Ω f(x, y) = c}. Sei (x 0, y 0 ) N f (0) mit f(x 0, y 0 ) 0. Flls y f(x 0, y 0 ) 0, folgt us dem Stz über implizite Funktionen: Es gibt Intervlle I und J mit x 0 I, y 0 J, sowie ein g C (I, J), so dß Flls x f(x 0, y 0 ) 0 nlog. N f (c) (I J) = {(x, y) x I, y = g(x)}. 88

189 Beispiel f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = 2 ( ) x y Vrinte Die Nullstellenmenge von f : Ω R 2 R ist N f (0). Sei (x 0, y 0 ) Nullstelle mit y f(x 0, y 0 ) 0. Lokl ist die Nullstellenmenge nlog einer Kurve. Der Stz über implizite Funktionen liefert eine Prmetrisierung vi I x (x, g(x)). Anwendung (nichtlineres Gleichungssystem). Gegeben sei die Gleichung ( x f(x, y, y 2 ) = 3 + y 3 + y3 2 7 ) ( ) 0 =. xy + y y 2 + y 2 x Mn berechnet die Nullstellenmenge von f usgehend von der Nullstelle (2,, 0): D y f(x, y, y 2 ) = ( 3y 2 3y 2 2 x + y 2 x + y ) ( 3 0, D y f(2,, 0) = 2 Nch dem Stz über implizite Funktionen existieren Umgebungen I von 2 und V R 2 von (, 0) sowie ein g : I V, so dß f(x, y, y 2 ) = 0 y = (y, y 2 ) = g(x) = (g (x), g 2 (x)). ). 3.6 Motivtion: Extremwertufgben unter Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sind (x, y) R 2 und f, g C (R 2 ). Ziel Mximiere g unter der Nebenbedingung, dß f(x, y) = 0. Die Menge {(x, y) R 2 f(x, y) = 0} definiert eine Kurve Γ in R 2. Sei (x 0, y 0 ) so gewählt, dß für lle (x, y) Γ: g(x 0, y 0 ) > g(x, y). Sei f(x 0, y 0 ) 0, o.b.d.a. sei y f(x 0, y 0 ) 0. Nch dem Stz über implizite Funktionen lässt sich Γ in der Umgebung von (x 0, y 0 ) drstellen ls (x, ϕ(x)) mit x 0 I, ϕ C (I) und ϕ(x 0 ) = y 0. Die Tngente (Ableitung) n Γ ist gegeben durch (, ϕ (x)). Es gilt (, ϕ (x)) f(x, ϕ(x)). 89

190 Definiere G(x) := g(x, ϕ(x)) und betrchte (lokle) Mximierer (x 0, y 0 ) von g uf Γ. Dnn ist ( ) 0 = G (x 0 ) = x g(x 0, y 0 ) + y g(x 0, y 0 ) ϕ (x 0 ) = g(x 0, y 0 ), ϕ. (x 0 ) Dnn gibt es ein λ R, so dß g(x 0, y 0 ) = λ f(x 0, y 0 ). Allgemein Mximiere Funktion g uf einer (gleichungsdefinierten) Mnnigfltigkeit in R n (hier: einer Kurve Γ). 3.7 Untermnnigfltigkeiten im R n Sei f : R n R mit M = {x R n f(x) = 0} = f {0}. Flls Df(x) 0, so knn mn nch dem Stz über implizite Funktionen nch einer Vriblen uflösen und in der Umgebung von x die Menge M ls Grph einer reellen Funktion von (n ) Vriblen drstellen. Verllgemeinerung uf k-dimensionle Mnnigfltigkeiten Definition 3.7. ((gleichungsdefinierte) Untermnnigfltigkeiten des R n ). Sei 0 k n. Eine Menge M R n heißt k-dimensionle Untermnnigfltigkeit des R n, flls zu jedem x 0 M eine Umgebung Ω R n existiert, sowie ein f C (Ω, R n k ), so dß Bemerkung M Ω = f {0} und rg Df(x) = n k x Ω ) Es genügt, rg Df(x) = n k für lle x M Ω zu fordern. 2) Flls n = 3 und k = 2, so heißt M uch Fläche. Beispiel ) Ellipsoidenoberfläche Die Gleichung ist für, b, c, r > 0 gegeben durch { } M = x R 3 f(x) := x2 2 + x2 2 b 2 + x2 3 c 2 r2. ( x f(x) = 2 2, x 2 b 2, x ) 3 c 2 D genu dnn f(x) = 0, wenn x = 0, ist M ist 2-dimensionle Untermnnigfltigkeit in R 3. 90

191 2) Kurven in R n Reguläre Kurven sind ußerhlb der Doppelpunkte eindimensionle Untermnnigfltigkeiten des R n. Die Drstellung t γ(t) nennt mn die Prmetrisierung der Kurve. Ein Beispiel hierfür ist der Einheitskreis in R 2 : Prmetrisierung: γ(t) = (cos t, sin t). Gleichungsdefinition: {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 0}. Lokle Drstellung ls Grph: zum Beispiel y(x) = ± x 2 x [, ]. 3) Hyperboloide: Sei n = 3 und k = 2. Für c R sei f(x) = x 2 + x 2 2 x 2 3 c Der Hyperboloid in Abhängigkeit von c ist dnn H c = {x R f(x) = 0}. f(x) = 2(x, x 2, x 3 ) ist genu dnn gleich 0, wenn x = 0 ist. Für c = 0 gilt für x = 0 H 0, uch rg Df(0) = 0. Dmit ist der Kegel H 0 keine gleichungsdefinierte Fläche in R 3. Abbildung 3.: Kegel Für c > 0 erhält mn ein einschliges Hyperboloid. Für c < 0 erhält mn ein zweischliges Hyperboloid. Definition (regulärer Punkt/ Wert). Sei f : Ω R n R n k. x Ω heißt regulärer Punkt von f, flls Df(x) surjektiv ist, d.h. rg Df(x) = n k. Ansonsten heißt x singulär. y R n k heißt regulärer Wert von f, flls f {y} leer ist oder nur us regulären Punkten besteht, nsonsten heißt y singulärer Wert. Definition (Nullmenge). Eine Menge M R n heißt Nullmenge, flls es zu jedem ε > 0 eine bzählbre Menge offener Quder Q jj I gibt, die M überdeckt, und für die Q j < ε gilt, wobei Q j ds Volumen des Quders Q j ist. Bild einschliges Hyperboloid, konnte ich mit Grpher nicht Bild zweischliges Hyperboloid, konnte ich mit Grpher nicht j 9