Skript zur Vorlesung Analysis 1

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1 Skript zur Vorlesung Anlysis Wintersemester 202/203 Prof. Dr. Benjmin Schlein Diese Notizen sind eine Zusmmenfssung der Vorlesung Anlysis, die ich im Wintersemester n der Universität Bonn gehlten hbe, und sie sind nur ls Hilfsmittel für die Studenten dieser Vorlesung gemeint. Die Notizen wurden us verschiedenen Quellen zusmmengestellt, z.b. us den folgenden Büchern: O. Forster. Anlysis, Vieweg Verlg. S. Hildebrndt. Anlysis, Springer Verlg. K. Knigsberger. Anlysis, Springer Verlg. C. Bltter. Anlysis, Springer Verlg. Inhltsverzeichnis Grundbegriffe 3. Logik Mengen Funktionen Reltionen Zhlen 9 2. Die ntürlichen Zhlen Die rtionlen Zhlen Die reellen Zhlen Abzählbre und überbzählbre Mengen Die komplexen Zhlen Die Vektorräume R m Konvergenz von Folgen Konvergenz: Definition und elementre Eigenschften Monotone Folgen, Limessuperior und Limesinferior Häufungspunkte und Teilfolgen Cuchy-Folgen Uneigentliche Grenzwerte Reihen Definition und elementre Eigenschften Konvergenzkriterien und Anwendungen Umordnungen von Reihen Reihen mit bzählbren Indexmengen

2 5 Metrische Räume Konvergenz uf metrischen Räumen Offene und bgeschlossene Mengen Kompktheit Stetigkeit 6 6. Definition und elementre Eigenschften Grenzwerte von Funktionen Zwischenwertstz Stetigkeit und Topologie Stetige Funktionen uf kompkten Mengen Funktionenfolgen und Stetigkeit Potenzreihen und Elementrfunktionen Potenzreihen Die Exponentilfunktion Der Logrithmus Hyperbolische Funktionen Trigonometrische Funktionen Differentilrechnung Grundbegriffe Ableitungen und Optimierung Mittelwertstz Höhere Ableitungen Konvexität Tylor Polynome Tylorreihen und nlytische Funktionen Riemnn sches Integrl 9. Definition und elementre Eigenschften Huptstz der Integrlrechnung Integrtionsmethoden Integrtion von rtionlen Funktionen: Prtilbruchzerlegung Vertusch von Grenzübergng und Integrl Uneigentliche Integrle

3 Grundbegriffe. Logik In der Mthemtik versucht mn die Whrheit von Aussgen zu überprüfen. Axiom vom usgeschlossenen Dritten: Jede Aussge ist entweder whr oder flsch. Triviles Beispiel: die Aussge > 0 ist whr, die Aussge > 2 ist flsch. Ein weniger triviles Beispiel: Die Aussge > b + > b + ist whr, unbhängig von der Whl der Zhlen, b. Diese Aussge besgt nicht, ob > b whr ist; sie besgt nur, dss die Impliktion whr ist. Für zwei Aussgen A, B definieren wir die weitere Aussgen: A ist die Verneigung von A A B ist die Aussge: A und B A B ist die Aussge: A oder B (oder beide) A B ist die Aussge: A impliziert B A B ist die Aussge: A genu dnn wenn B Diese Aussgen werden durch die folgende Whrheitstfel definiert (w steht für whr, f für flsch) A B A A B A B A B A B w w f w w w w w f f f w f f f w w f w w f f f w f f w w Bemerke, noch einml, dss die Whrheit von A B nichts über die Whrheit von A besgt. Flls A flsch ist, so ist die Aussge A B immer whr. Stz.. Es gelten die Aussgen Beweis. Betrchte verschiedene Fälle. (A B) A B (A B) A B A B B A. Es werden oft Aussgen untersucht, die von einer Vriblen bhängen. Z.B. die Whrheit der Aussge n + 5 n 2 für n N, hängt von dem Wert von n b. Die Aussge ist whr für n = 0,, 2, sie ist flsch für n 3. Aussgen der Form A(n), die von einem Prmeter n bhängen (im 3

4 Beispiel n N, im Allgemeinen knn der Prmeter in irgendeiner Menge sein) heissen Aussgenformen. Zur Formulierung von mthemtischen Aussgen werden oft die Quntoren benutzt. Z.B. die Aussge es existiert! es existiert genu ein für lle A(x) x R trifft zu, flls die Aussgeform A(x) whr ist, für lle x R. Die Aussge x R : A(x) trifft dgegen zu, flls ein x R existiert, so dss A(x) stimmt. Bemerkung: Es gilt.2 Mengen (A(x) x X) x X : A(x) Eine Menge ist eine ungeordnete Zusmmenfssung von Elementen, Objekten. Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die selben Elemente enthlten. Mn knn Mengen durch Angben von llen Elementen oder durch eine Aussge definieren. Z.B.: M = {0,, 2} oder M = {n N : n + 5 > n 2 } Besonderes Beispiel: bezeichnet die leere Menge, die kein Element enthält. Die Nottion x A bedeutet, dss x Element der Menge A ist. Die Nottion A B bedeutet, dss A eine Teilmenge von B ist. Diese Aussge trifft zu, flls x A x B Bechte, dss A B whr ist, flls A = B. Bemerke uch, dss A, für lle Mengen A. Ferner gilt A = B A B B A Konstruktion von Mengen: Seien A und B zwei Mengen. Dnn definieren wir A B := {x : x A x B} = Vereinigung von A und B A B := {x : x A x B} = Durchschnitt von A und B A\B := {x : x A x B} = Differenz A B := (A\B) (B\A) = Symmetrische Differenz Sind lle Menge unter Betrchtung Teilmenge einer gemeinsme Menge X, so bezeichnen wir mit A c := X\A ds Komplement von A in X. Bemerke, dss (A B) c = A c B c und (A B) c = A c B c Diese Beziehungen werden ls Morgn sche Regeln bezeichnet. 4

5 Definition.2. Sei M eine Menge. Dnn bezeichnet P (M) = {A : A M} die Potenzmenge von M; ds ist die Menge ller Teilmengen von M. P (M) ist nie leer, weil sie immer die leere Menge enthält. Mnchml wird P (M) uch mit 2 M bezeichnet, weil, flls m < die Anzhl Elementen in M bezeichnet, so enthält P (M) 2 m Elemente. Beispiel: Sei M = {0, }. Dnn gilt P (M) = {, {0}, {}, {0, }}. Für zwei Mengen A, B, definieren wir ds Produkt (oder ds Kreuzprodukt) der Mengen A und B ls die neue Menge A B := {(x, y) : x A y B} Elemente der Produktmenge A B sind geordnete Pre (x, y) wobei x A und y B. Zwei Pre (x, y ) und (x 2, y 2 ) sind genu dnn gleich, wenn x = x 2 und y = y 2. Bemerke, dss (, 2) (2, ) (dgegen stimmen die zwei Mengen {, 2} und {2, } überein). Also A B B A. Bespiel: ist die euklidische Ebene..3 Funktionen R R = {(x, y) : x R, y R} Definition.3. Seien M und N zwei Mengen. Eine Funktion f : M N ist eine Abbildung, eine Vorschrift, die jedem m M genu einen Wert f(m) N zuordnet. M heisst der Definitionsbereich von f, N der Zielbereich. Die Bildmenge oder der Wertebereich von f ist die Menge Rn f f(m) = {f(m) : m M} und besteht us llen Werten in N, die ttsächlich ngenommen werden. Ein einfches Beispiel ist die Identitätsfunktion. Sei M eine Menge. Dnn bezeichnet id M : M M die Funktion id M (x) = x für lle x M. Ein nderes Beispiel von Funktionen sind Folgen. Sei M eine Menge. Eine Folge uf M ist eine Abbildung f : N M definiert uf der Menge der ntürlichen Zhlen. Mn knn eine Folge ls eine strukturierte Liste von Elementen us M interpretieren. Mn benutzt mnchml die Nottion (f n ) n N. Sei nun f : M N eine Funktion. Dnn definieren wir für X M, Y N f(x) = {f(x) N : x X} Bild von X f (Y ) = {x M : f(x) Y } Urbild von Y Ds definiert zwei Abbildungen φ : P (M) P (N) und φ 2 : P (N) P (M) (φ bildet jede Teilmenge X M in f(x) N b, φ 2 bildet dgegen jede Teilmenge Y Y in f (Y ) b). 5

6 Beispiel: Seien M = {, 2, 3, 4, 5} und N = {, 2, 3}. Wir definieren die Funktion f : M N durch die Angben f() = f(2) = f(4) = und f(3) = f(5) = 2. f ist wohldefiniert, weil jedem m M genu ein Wert zuordnet wird. Die Bildmenge ist f(m) = {, 2}. Weiter f ({}) = {, 2, 4}, f ({2}) = {3, 5}, f ({3}) = Gegeben Funktionen f : M N und g : N P so knn mn die Verknüpfung g f : M P durch die Angbe definieren. (g f)(x) = g(f(x)) Stz.4. Die Verknüpfung von Funktionen ist ssozitiv, d.h. f (g h) = (f g) h Bemerkung: Die Verknüpfung von Funktionen ist dgegen im Allgemeinen nicht kommuttiv, d.h. f g g f. Definition.5. Eine Funktion f : M N heisst surjektiv, flls f(m) = N, d.h. flls Zielbereich und Bildmenge übereinstimmen und jeder Wert in N ngenommen wird. f heisst injektiv, flls f(x) = f(y) x = y f heisst bijektiv, flls f surjektiv und injektiv ist. Ist f : M N bijektiv, so n N! m M mit f(m) = n Mn knn lso in diesem Fll eine neue Funktion durch f : N M durch die Angbe f (n) = m flls f(m) = n definieren. Die Funktion f heisst die Inverse von f. Sie erfüllt f f = id M und f f = id N (diese zwei Eigenschften chrkterisieren f eindeutig). Bechte: Ds Urbild f (Y ) einer Teilmenge Y N ist immer wohldefiniert. Die inverse Funktion f dgegen ist nur wohldefiniert, flls f bijektiv ist. Sei f : M N eine Funktion. Dnn definiert G(f) := {(x, f(x)) M N : x M} den Grphen der Funktion f. Per Definition G(f) M N. 6

7 .4 Reltionen Definition.6. Sei M eine Menge. Eine Reltion uf M ist eine Teilmenge R von M M. Mn schreibt x y oder x R y und mn sgt x sei in Reltion mit y bezüglich R, flls (x, y) R. Beispiel: Der Grph jeder Funktion f : M M ist eine Reltion. Grphen von Funktionen sind spezielle Reltionen mit der Eigenschft, dss für lle x M, (x, y) G(f) genu für ein y M stimmt. Im Allgemeinen ist ds für Reltionen nicht der Fll. Eine wichtige Rolle spielen sogennnten Äquivlenzreltionen. Definition.7. Sei M eine Menge. Eine Teilmenge R M M heisst eine Äquivlenzreltion, flls: i) x R x für lle x M (R heisst in diesem Fll reflexiv). ii) x R y y R x, für lle x, y M (R heisst dnn symmetrisch). iii) x R y und y R z x R z, für lle x, y, z M (R heisst dnn trnsitiv). Beispiel: Sei M eine Menge. Dnn ist R = {(x, x) : x M} eine Äquivlenzreltion. Definition.8. Sei R eine Äquivlenzreltion uf einer Menge M. Für m M definiert dnn [m] := {x M : x R m} die Äquivlenzklsse von m. Ein beliebiges x [m] heisst ein Repräsentnt der Äquivlenzklsse [m]. Wir definieren die Quotientenmenge von M bezüglich R ls die Menge ller Äquivlenzklssen, d.h. M/ = {[m] : m M} Stz.9. Sei R eine Äquivlenzreltion uf einer Menge M. Dnn gilt [x] [y] [x] = [y] Es folgt, dss M = [m] M/ [m] eine disjunkte Zerlegung von M definiert. Eine ndere Art von Reltionen die in der Anlysis eine sehr wichtige Rolle spielen sind sogennnte Ordnungsreltionen. Definition.0. Eine Reltion R uf M heisst eine Ordnungsreltion, flls i) x R x für lle x M (reflexiv). ii) x R y und y R z x R z für lle x, y, z M (trnsitiv). iii) x R y und y R x x = y für lle x, y M (identiv). Ist R eine Ordnungsreltion, so schreiben wir x y sttt x R y. 7

8 Eine Menge M, versehen mit einer Ordnungsreltion, heisst eine geordnete Menge. Eine Ordnung uf M heisst totl, flls, für lle x, y M entweder x y oder y x gilt. Beispiele: (R, ) ist eine totl geordnete Menge. Für eine beliebige Menge M ist (P (M), ) eine geordnete, ber im Allgemeinen nicht totl geordnete Menge. Definition.. Sei (M, ) eine geordnete Menge, A M, A. m A heisst mximl in A, flls (x A) (m x) x = m m A heisst miniml in A, flls (x A) (x m) x = m Bemerke, dss, im Allgemeinen, mximle und minimle Elemente weder existieren noch eindeutig sein müssen. Ist ber die Ordnung uf M totl, so sind mximle und minimle Elemente, flls sie existieren, eindeutig. In der Tt, sind x, x 2 A zwei mximle Elemente von A M für eine totl geordnete Menge M, so muss entweder x x 2 oder x 2 x gelten. Gilt x x 2, so finden wir durch Anwendung der Ttsche, dss x mximl ist, x 2 = x. Gilt dgegen x 2 x, so folgt us der Mximlität von x 2, dss x = x 2. Also x = x 2 muss uf jedem Fll gelten. Anlog knn mn die Eindeutigkeit von minimlen Elementen zeigen. Definition.2. Sei (M, ) eine geordnete Menge, A M, A. m M heisst eine obere Schrnke für A, flls x m für lle x A. m M heisst eine untere Schrnke für A, flls m x für lle x A. Die Menge A heisst nch oben (bzw. unten) beschränkt, flls eine obere (bzw. untere) Schrnke existiert. Bemerke, obere und untere Schrnken für eine Menge A, im Gegenstz zu mximlen und minimlen Elementen, müssen nicht in der Menge A enthlten sein. Sei nun (M, ) eine totl geordnete Menge und A M eine nch oben beschränkte Menge. Sei B = {x M : x ist obere Schrnke für A} Nch Vorussetzung B. Enthält B ein minimles Element x B, so heisst x ds Supremum von A und wird mit x = sup A bezeichnet. Aus der Eindeutigkeit von mximlen und minimlen Elementen (in totl geordneten Mengen), erhlten wir, dss ds sup A, flls es existiert, eindeutig ist. Im Allgemeinen muss ds Supremum x = sup A nicht zur Menge A gehören (per Definition gehört sup A zur Menge der obere Schrnken von A). Gehört x = sup A zu der Menge A, dnn heisst x ds Mximum von A und wird mit mx A bezeichnet. Anlog knn mn ds Infimum von A, bezeichnet mit inf A, ls die grösste untere Schrnke von A definieren. Ist inf A A, so heisst inf A ds Minimum von A, bezeichnet mit min A. 8

9 2 Zhlen 2. Die ntürlichen Zhlen Wir kennen die ntürlichen Zhlen vom Zählen. Alle Eigenschften der ntürlichen Zhlen lssen sich us der Nchfolge-Abbildung ν(n) = n + herleiten. Ds ist die Idee der Peno-Axiome, die die Einführung der ntürlichen Zhlen formlisieren. Definition 2. (Peno Axiome). Die ntürlichen Zhlen bilden eine Menge N mit einem usgezeichneten Element 0 und mit einer Abbildung ν : N N mit den folgenden Eigenschften: P) ν ist injektiv und 0 Rn ν. P2) Prinzip der vollständigen Induktion: Ist A N, s.d. 0 A und, s.d. so ist A = N. n A ν(n) A Die Zhlen ν(0), ν(ν(0)),... werden ls, 2,... bezeichnet. Alle Eigenschften von N lssen sich us den Peno-Axiomen herleiten. Z.B. können wir uf N eine Ordnung definieren: Wir sgen k m, flls m = k oder flls m durch wiederholte Anwendung von ν uf k erreicht werden knn. Es ist einfch, sich zu überzeugen, dss dnn eine (totle) Ordnungsreltion definiert. Aus den Axiomen folgt, dss 0 n, n N. Auch die Summe uf N lässt sich durch wiederholte Anwendung von der Abbildung ν definieren. Stz 2.2 (Wohlordnungsprinzip). Jede nicht leere Teilmenge M N ht ein Minimum. Beweis. Wir betrchten die Menge A = {k N : k m, m M} der unteren Schrnken von M. Wir wissen, dss 0 A, weil 0 m, m N. Aus Annhme wissen wir, dss M nicht leer ist; d.h. m 0 M. Dnn gilt m 0 + A. Also A N. Ds Prinzip der vollständigen Induktion besgt, dss D ber 0 A, erhlten wir A N (0 A) ((n A) (n + ) A) ((n A) (n + ) A) n 0 A : (n 0 + ) A Wir behupten nun, n 0 ist ds gesuchte Minimum von M. Um diese Behuptung zu zeigen, bemerken wir, dss (n 0 + ) A p M : p < n 0 + p M : p n 0 D ber n 0 A, muss n 0 p. Also n 0 = p M. Ds impliziert, dss k n 0 für lle k A. D.h. n 0 ist ein mximles Element von A. D.h. n 0 = inf M. D n 0 M ist lso n 0 = min M. 9

10 Die Peno-Axiome liefern eine nützliche Methode, um die Whrheit von Aussgenformen über N zu beweisen. Proposition 2.3 (Induktiver Beweis). Es sei A(n) eine Aussgeform über N. Trifft A(0) zu und gilt die Aussge A(n) A(n + ) für lle n N so trifft A(n) für lle n N zu. Beweis. Sei B = {n N : A(n) trifft zu}. Wegen (P2) folgt us dss B = N. (0 B) (n B (n + ) B), Der Beweis von A(0) heisst die Induktionsvernkerung. Der Beweis der Impliktion A(n) A(n + ) ist der Induktionschritt. Verllgemeinerungen: Induktive Beweise können uch mit n = n 0 > 0 beginnen. D.h. es gilt: A(n 0 ) (A(n) A(n + ) für lle n n 0 ) A(n) für lle n n 0 Bei dem Induktionsschritt knn mn uch die Gültigkeit ller Aussgen A(k) für k n nnehmen. D.h. A(0) (A(0) A(n) A(n + ) für lle n N) A(n) für lle n N Beispiele: Für n sei A(n) die Aussge, dss (2n ) = n 2 Um A(n) für lle n N zu zeigen, genügt es zu bemerken, dss A() zutrifft und dss A(n) A(n + ) für lle n N zutrifft. Die Vernkerung ist klr. Um den Schritt zu zeigen, nehmen wir n, dss A(n) zutrifft und wir zeigen A(n+). Dzu bemerken wir, dss +3+ +(2(n+) ) = +3+ +(2n )+(2n+) = n 2 +(2n+) = (n+) 2 wobei wir die Annhme A(n) in der zweite Gleichheit benutzt hben. Wir behupten, jedes n N knn ls Produkt von Primzhlen geschrieben werden. Um diese Behuptung zu beweisen, definieren wir für n N\{0}, A(n) ls die Aussge, dss n ls Produkt von Primzhlen geschrieben werden knn. A() trifft offenbr zu (weil eine Primzhl ist). Wir nehmen nun n, dss A() A(n) zutrifft (d.h., dss A(k) für lle k n zutrifft) und wir zeigen, dss A(n + ) zutrifft. Dzu unterscheiden wir zwei Fälle: Ist (n + ) eine Primzhl, so sind wir fertig. Ist dgegen (n + ) keine Primzhl, so existieren p, q N mit n + = p q. D ber p, q < n sind, folgt us der Induktionsnnhme, dss p und q ls Produkt von Primzhlen fktorisiert werden können. Aus n + = p q können wir dnn uch n ls Produkt von Primzhlen schreiben. 0

11 Ds Prinzip der vollständigen Induktion knn mn benutzen, um induktive (oder rekursive) Definitionen zu formulieren. n!, gennnt n Fkultät, wird ls die Multipliktion ller gnzen Zhlen zwischen und n definiert, d.h. n! = 2 3 n mit der Konvention, dss 0! =. Dieselbe Grösse knn mn uch induktiv wie folgt definieren: Mn setzt 0! = und (n + )! = (n + ) n! für lle n N. D.h., (n + )! ist durch Verwendung von n! definiert, n! durch Verwendung von (n )!, usw. Die Ttsche, dss in dieser Weise n! wirklich für jede n N definiert wird, ist eine Folgerung us dem Prinzip der vollständigen Induktion. Proposition 2.4 (Rekursive Definitionen). Sei S eine Menge (im Beispiel oben S = N) und s 0 S (im Beispiel s 0 = ). Für jedes n N sei F n : S S eine Funktion (oben F n (m) = (n + ) m). Dnn existiert genu eine Funktion f : N S mit den Eigenschften f(0) = s 0 und f(n + ) = F n (f(n)) (im Beispiel f(n) = n!). Z.B. für eine Folge ( n ) n N mit Werten in irgendeiner Menge, wo eine Addition definiert ist, definieren wir die Summe n j für lle n N durch die rekursive Definition 0 n+ n j := 0 und j := j + n+ Ähnlich für eine Folge ( j ) j N mit Werten in irgendeiner Menge, wo eine Multipliktion definiert ist, definieren wir n j durch die rekursive Definition 0 j := Die rtionlen Zhlen und n+ j := n j n+ Problem bei den ntürlichen Zhlen: Summe und Multipliktion können im Allgemeinen nicht invertiert werden. Gegeben n, m N ist es i.a. nicht möglich, x, y N mit n = m + x und n = m y zu finden. Aus diesem Grund erweitert mn die Menge N und betrchtet grössere Zhlensysteme. Mn führt zunächst die Menge der gnzen Zhlen Z = {..., 2,, 0,, 2,... } ein. Auf Z ist die Summe invertierbr. Die Multipliktion ist ber immer noch nicht invertierbr. So geht mn weiter und führt die Menge der rtionlen Zhlen Q ein. Dmit mn uf Q die Multipliktion invertieren knn, muss Q Zhlen der Form p/q für lle p Z und q Z\{0} enthlten (x = p/q bezeichnet die Lösung der Gleichung p = x q). Mn könnte lso überlegen, Q ls den Kreuzprodukt Z (Z\{0}) einzuführen. Ds Problem dmit ist ber, dss die Drstellung p/q nicht eindeutig ist (weil z.b. die Gleichungen p = xq und 2p = x2q die selbe Lösung hben). Ds bedeutet, wir müssen einige Elemente in Z (Z\{0}) miteinnder identifizieren. Auf der Menge Z (Z\{0}) definieren wir dzu die Reltion (p, q ) (p 2, q 2 ) : p q 2 = p 2 q

12 Es ist einfch zu überprüfen, dss eine Äquivlenzreltion definiert. Die Äquivlenzklsse [(p, q)] = {(r, s) Z (Z\{0}) : rq = sp} enthält genu lle Pre (r, s) mit der Eigenschft p/q = r/s, lso lle Pre, die dieselbe rtionle Zhl drstellen sollen. Deswegen definieren wir Q = (Z (Z\{0}))/ = {[p/q] : p Z, q Z\{0}} Auf Q knn mn dnn eine Ordnung sowie eine Addition, eine Multipliktion, eine Subtrktion (die Inverse der Addition) und eine Division (die Inverse der Multipliktion) definieren. Alle beknnten Rechenregeln in Q werden dnn us dem folgenden Theorem zusmmengefsst. Theorem 2.5. Q ist ein geordneter Körper. Ds Theorem werden wir nicht beweisen, ber wir wollen zumindest seine Bedeutung erklären. Definition 2.6. Eine Menge K, versehen mit einer Addition + : K K K und einer Multipliktion : K K K heisst ein Körper, flls: A) x + y = y + x x, y K (Kommuttivität). A2) x + (y + z) = (x + y) + z x, y, z K (Associtivität). A3) 0 K (Null) mit x + 0 = x x K (Existenz eines neutrlen Elements). A4) x K y K mit x + y = 0. M) x y = y x, x, y K (Kommuttivität). M2) x (y z) = (x y) z x, y, z K (Associtivität). M3) ein Element 0 so dss x = x x K (Existenz eines neutrles Elements). M4) x 0 y K mit x y = (Existenz der Inverse). D) x (y + z) = x y + x z, x, y, z K (Distributivität). Bemerkungen: Die neutrlen Elemente sind eindeutig. Gibt es in der Tt 0, 0 K mit + 0 = und + 0 = für lle K, so gilt insbesondere = 0, = 0. Aus der Kommuttivität folgt, dss 0 = 0 (ähnlich ist eindeutig). Für beliebige x K ist die dditive Inverse eindeutig. Existieren in der Tt y, y 2 K mit x + y = x + y 2 = 0, so muss y = y + 0 = y + (x + y 2 ) = (y + x) + y 2 = (x + y ) + y 2 = 0 + y 2 = y 2 Die eindeutige y K mit x+y = 0 bezeichnet mn mit x. Für beliebige, b K definieren wir dnn die Subtrktion b := + ( b). 2

13 Ähnlich zeigt mn die Eindeutigkeit der multipliktiven Inverse zu jeder x K\{0}. Die eindeutige multipliktive Inverse zu x K\{0} bezeichnet mn mit /x. Für beliebige, b K, mit b 0 definieren wir dnn die Division /b = (/b). Die Rechenregeln ( ) =, /(/) = (für 0), 0 = 0, ( ) =, ( ) ( ) =, (b c) = b c, b = 0 = 0 b = 0 folgen lle us den Axiomen von Körpern. Definition 2.7. Ein geordneter Körper ist ein Körper K, versehen mit einer totlen Ordnung, bezeichnet mit, mit folgenden Kongruenzeigenschften O) b + c b + c, für lle, b, c K. O2) ( b) (0 c) c bc, für lle, b, c K. Die Nottion b bedeutet b, < b bedeutet b und b, > b bedeutet b <. Die folgenden beknnten Rechenregeln für Ungleichungen folgen us den Axiomen von geordneten Körpern (Beweis: Übung). Seien, b, c K. Dnn b + c b + c. < b + c < b + c. < b 0 < b. Insbesondere < 0 0 <. > 0 b > 0 b > > 0. > 0. > 0 / > 0. Auf geordneten Körpern knn mn den bsoluten Betrg { flls 0 := flls < 0 definieren. Aus der Rechenregel folgt, dss 0 für lle K. Aus Theorem 2.5 folgt, dss lle beschriebenen Rechenregeln uf Q gelten. 2.3 Die reellen Zhlen Auf Q sind Addition und Multipliktion invertierbr. Ds bedeutet, es ist immer möglich uf Q linere Gleichungen zu lösen. Mit nderen Worten, für beliebige Q\{0} und b Q gibt es genu eine Lösung x Q der Gleichung x + b = 0. Schon bei qudrtischen Gleichungen ist ber die Lge mit rtionlen Zhlen nicht so befriedigend, wie bei lineren Gleichungen. Stz Q, d.h. es existiert keine x Q mit x 2 = 2. 3

14 Beweis. Der Stz wird durch Widerspruch bewiesen. Wir nehmen n, es existiert x Q mit x 2 = 2. Dnn existiert q N\{0} mit q x Z. Setze M = {q N\{0} : q x Z} D M, impliziert ds Wohlordnungprinzip (Stz 2.2), dss M ein Minimum ht. Sei g M ds minimle Element und p = g x Z. Dnn gilt x = p/g. Die Minimlität von g impliziert, dss p und g Teilerfremde sind. Es gilt 2 = p 2 /g 2 p 2 = 2g 2 Ds impliziert, dss p 2 gerde ist. Deswegen muss uch p gerde sein (weil (2n + ) 2 = 4n 2 + 4n + immer ungerde ist). Ds bedeutet, dss ein m Z mit p = 2m existiert. Dnn 4m 2 = (2m) 2 = p 2 = 2g 2 g 2 = 2m 2 Also ist uch g gerde. Ds ergibt einen Widerspruch zu der Ttsche, dss g, p teilerfremd sind (oder, äquivlent, ein Widerspruch zur Minimlität von g in M). Die rtionlen Zhlen hben lso bei 2 eine Lücke. Es ist einfch, sich zu überzeugen, dss die rtionlen Zhlen viele Lücken hben. Wegen dieser Lücken gibt es Schwierigkeiten mit Q. Eine erste Schwierigkeit ist, dss einfche qudrtische Gleichungen, wie x 2 = 2 (und viele Gleichungen höherer Ordnung) keine Lösung hben. Ausser dieser lgebrischen Schwierigkeit gibt es uch nlytische Schwierigkeiten mit den rtionlen Zhlen; wir werden sie diskutieren, wenn wir den Begriff von Konvergenz von Folgen betrchten werden. Es gibt lso mehrere Gründe, um die rtionlen Zhlen zu erweitern und die Lücken zu füllen. Dzu führen wir die reellen Zhlen ein. Definition 2.9. Eine totlgeordnete Menge (M, ) heisst ordnungsvollständig, flls die folgende Bedingung erfüllt ist: Sind A, B M mit b für lle A und b B, dnn existiert c M mit c für lle A und c b für lle b B. Bemerkung: Q ist nicht ordnungsvollständig. Mit A = {x Q : x > 0 und x 2 < 2} und B = {x Q : x > 0 und x 2 > 2}, existiert kein c Q mit c b für lle A und b B. Würde so ein c existieren, dnn wäre c = 2. Stz 2.0. Es existiert ein ordnungsvollständig geordneter Körper und dieses Objekt ist eindeutig bis uf den Isomorphismus. In Stz 2.0 bedeutet der Ausdruck eindeutig bis uf den Isomorphismus, dss flls (K, +,, ) und (K 2, + 2, 2, 2 ) zwei ordnungsvollständig geordnete Körper sind, so müssen sie isomorph sein. Zwei geordnete Körper (K, +,, ), (K 2, + 2, 2, 2 ) heissen isomorph, flls eine Bijektion φ : K K 2 existiert, mit φ( + b) = φ() + 2 φ(b), φ( b) = φ() 2 φ(b), b φ() 2 φ(b) D.h. flls eine Bijektion φ existiert, die lle relevnten Strukturen von K uf den entsprechenden Strukturen uf K 2 bbildet. Wir werden in der Vorlesung Stz 2.0 nicht beweisen. Ein Beweis knn zb. in dem Buch von Bltter gefunden werden. 4

15 Definition 2.. Wir bezeichnen mit R den eindeutig ordnungsvollständig geordneten Körper. Bemerkung: Mn knn N, Z und Q mit Teilmengen von R identifizieren. Aus den Körperxiomen folgt in der Tt die Existenz von 0, R. Durch wiederholte Anwendung der Addition mit bekommt mn dnn N R. Aus der Existenz der dditiven Inversen folgt die Existenz von Z R. Aus der Existenz der multipliktiven Inverse folgt dnn die Existenz von Q R. Die Ordnung uf R ist us den Axiomen der geordneten Körper (siehe Def. 2.7) mit der Ordnung uf Q verträglich (und dmit uch mit der Ordnung uf N und Z). Seien, b R, mit < b. Wir benutzen die Nottionen (; b) = {x R : < x < b} [; b] = {x R : x b} (; b] = {x R : < x b} [; b) = {x R : x < b} Proposition 2.2 (Supremumprinzip). Jede nicht leere nch oben beschränkte Teilmenge A R ht ein Supremum. Beweis. Sei A R nicht leer und nch oben beschränkt. Sei B = {b R : b für lle A} = {Menge ller oberen Schrnken von A} Dnn gilt b für lle A und lle b B. Die Ordnungsvollständigkeit von R impliziert, dss c R mit c b für lle A, b B existiert. c für lle A bedeutet, dss c eine obere Schrnke von A ist, d.h. c B. c b für lle b B impliziert, dss c ein minimles Element von B ist. Ds bedeutet, dss c = sup A. Ähnlich ht jede nch unten beschränkte Teilmenge von R ein Infimum. Um Suprem zu berechnen, ist ds folgende Kriterium oft wichtig. Proposition 2.3. Sei A R nicht leer und nch oben beschränkt. Dnn ist s = sup A genu dnn, wenn s für lle A und ε > 0 existiert ein A mit s ε < s. Beweis. Sei s = sup A. Dnn ist s eine obere Schrnke von A, und lso s für lle A. Wir behupten nun, dss ε > 0 existiert A mit s ε < s. Wenn nicht, so würde ε > 0 existieren, s.d. s ε für lle A. Dnn wäre s ε eine obere Schrnke für A, in Widerspruch zur Ttsche, dss s die kleinste obere Schrnke ist. Nehmen wir nun n, dss für lle A s und dss ε > 0 ein A mit s ε < s existiert. Wir behupten, dss s = sup A. Die Bedingung s für lle A impliziert, dss s eine obere Schrnke ist. Wir müssen noch zeigen, dss s die minimle obere Schrnke ist. Nehmen wir n, es existiert eine obere Schrnke t < s. Dnn gilt t und deswegen uch s (s t) für lle A. Setzen wir ε = s t > 0, so existiert kein A mit s ε <, in Widerspruch zur Annhme. Ein ähnliches Kriterium gilt ntürlich uch für ds Infimum. Wir benutzen die Nottionen sup A = +, flls A nch oben unbeschränkt ist und inf A =, flls A nch unten unbeschränkt ist. Weiter schreiben wir sup = und inf = +. 5

16 Stz 2.4 (Archimedes Prinzip). N R ist nch oben unbeschränkt. Beweis. Nehmen wir n, N R ist nch oben beschränkt. Sei s = sup N. Dnn existiert für jeden ε > 0 n N mit s ε < n s. Insbesondere, für ε = finden wir s < n, d.h. s < n +, in Widerspruch zu der Ttsche, dss s = sup N. Korollr 2.5. Für lle ε > 0 existiert n N\{0} mit 0 < /n < ε Proposition 2.6. Sei x R. Dnn! n Z mit n x < n +. Beweis der Existenz. Nehmen wir zunächst n x 0. Sei M = {j N : j > x}. Dnn ist M. Wir setzen m = min {j N : j > x}. Es gilt x < m, und deswegen m. Also m N und (m ) M (sonst wäre m nicht ds Minimum). Es folgt, dss x (m ). Den Fll x < 0 knn mn ähnlich behndeln. Proposition 2.7. Seien x, y R, mit x < y. Dnn existiert r Q mit x < r < y. Beweis. Sei q N\{0} mit 0 < /q < (y x). Dnn ist qy > qx +. Sei nun p Z mit (p ) qx < p. Dnn ist qy > (p ) + = p. Ds bedeutet, dss qx < p < qy. Division mit q gibt x < (p/q) < y. Bemerkung: Es folgt us Prop. 2.7, dss für jedes x R und ε > 0 ein r Q mit x r < ε existiert. Mn sgt deswegen, dss Q dicht in R liegt. Bemerkung: Gilt x < y, so existieren unendlich viele r Q zwischen x, y R. Mn knn nämlich x < < r 3 < r 2 < r < y rekursiv definieren. Nun kommen wir zurück zur Frge, die die Einführung von R motivierte. Proposition 2.8. Es existiert c R, c > 0, mit c 2 = 2. Beweis. Sei A = {x R : (x 0) (x 2 2)} A ist offenbr nch oben beschränkt. Sei c = sup A. Wir behupten, dss c 2 = 2. Nehmen wir n, c 2 < 2. Wir wählen nun 0 < ε < mit ε < (2 c 2 )/(2c + ). Dnn gilt (c + ε) 2 = c 2 + 2cε + ε 2 c 2 + (2c + )ε 2. Deswegen (c + ε) A, im Widerspruch zur Ttsche, dss c eine obere Schrnke für A ist. Nehmen wir nun n, dss c 2 > 2. Für 0 < ε < (c 2 2)/2c gilt (c ε) 2 = c 2 2εc + ε 2 > c 2 2εc > 2 Ds impliziert, dss (c ε) eine obere Schrnke für A ist, in Widerspruch zur Ttsche, dss c die kleinste obere Schrnke von A ist. Es folgt, dss c 2 = 2. 6

17 Bemerkung (siehe Übungen): Sei R, mit > 0, und p N\{0}. Dnn existiert genu ein reelles x > 0 mit x p =. Zu gegebenem x R, existiert n Z mit n x < n +. n ist der gnzzhlige Teil von x. Sei nun x 0 = x n. Per Definition x 0 [0; ). Wir zeigen nun, wie die Zhl x 0 durch eine Dezimlbruchdrstellung beschrieben werden knn. Die Bezeichnung x 0 = für eine Folge : N {0,,..., 9} bedeutet, dss x 0 = (Wir werden später in der Vorlesung unendliche Summen genuer betrchten). Es gibt ein kleines Problem mit der Beschreibung von reellen Zhlen in [0, ) durch Folgen mit Werten in {0,,..., 9}. Z.B. die Folge (4, 9, 9, 9,... ) und die Folge (5, 0, 0,... ) entsprechen der selben Zhl, weil = = 45 und deswegen = 45/90 = 0.5. Wir sgen eine Folge : N {0,,..., 9} ist zulässig, flls es unendlich viele j N mit j 9 gibt. Dnn ist die Folge (4, 9, 9,... ) nicht zulässig, während die Folge (5, 0, 0,... ) zulässig ist. Wir bezeichnen die Menge der zulässigen Folgen mit A. Dnn ist die Behuptung, dss jedes x 0 [0, ) genu einer zulässigen Folge in A zugeordnet werden knn. Definition 2.9 (Dezimlbruchdrstellung). Sei x 0 [0, ). Wir definieren x = 0x 0 und wir bezeichnen mit den gnzzhligen Teil von x. Offenbr ist {0,,..., 9}. Wir setzen dnn x = x [0, ). Rekursiv, für beliebige n N, definieren wir x n+ = 0x n, n+ = gnzzhligen Teil von x n+ und x n+ = x n+ n+. Ds definiert die Folge A(x) = (, 2,... ). Es ist einfch, sich zu überzeugen, dss die konstruierte Folge A(x) immer zulässig ist. Ds heisst, wir hben eine Abbildung A : [0, ) A definiert. Stz Die Abbildung A : [0, ) A, die die Dezimlbruchdrstellung von reellen Zhlen in [0, ) definiert, ist bijektiv. 2.4 Abzählbre und überbzählbre Mengen Wie knn mn die Krdinlität von unendlichen Mengen vergleichen? Definition 2.2. Wir sgen, zwei Mengen A und B hben die gleiche Krdinlität (sind gleichmächtig), flls eine Bijektion φ : A B existiert. Ist A eine nicht leere endliche Menge, so existiert eine n N und eine Bijektion φ : A {, 2,..., n} (ds knn ls Definition für eine endliche Menge genommen werden). Die Zhl n ist dnn eindeutig bestimmt und wird ls die Krdinlität von A bezeichnet. Definition Eine Menge A heisst unendlich bzählbr, flls sie mit N gleichmächtig ist. A heisst bzählbr, flls sie endlich oder unendlich bzählbr ist. 7

18 Eine Bijektion N A knn ls eine Aufzählung der Elemente von A interpretiert werden. Abzählbre Mengen sind Mengen, deren Elemente in einer strukturierten Liste orgnisiert werden können. Beispiele: Die Abbildung φ : N {n 2 : n N} bildet N uf der Menge der Qudrtzhlen bijektiv b. Deswegen ist die Menge der Qudrtzhlen mit N gleichmächtig. Z ist bzählbr. 0,,, 2, 2, 3, 3,... ist eine Aufzählung der Elemente von Z. Mit nderen Worten, die Funktion f : N Z, die durch f(2n) = n und f(2n ) = n definiert wird, ist eine Bijektion. Wir diskutieren nun einige wichtige Rechenregeln für Abzählbrkeit. Proposition Alle Teilmengen von N sind bzählbr. Beweis. Sei A N. Ist A nch oben beschränkt, so ist A endlich. Ist A nch oben unbeschränkt, so definieren wir die Funktion φ : N A rekursiv durch φ(0) = min A und φ(n + ) = min { A : > φ(n)}. Die Funktion ist wohldefiniert, weil jede nichtleere Teilmenge von N ein Minimum ht (die Teilmenge { A : > φ(n)} ist nicht leer, weil A unbeschränkt ist). Wir behupten nun φ ist bijektiv. φ ist offenbr injektiv, weil φ(n + ) > φ(n) für lle n N. Wir zeigen nun die Surjektivität. Sei A und setze B = {n N : φ(n) } B ist nicht leer. Deswegen existiert m = min B. Es gilt φ(m) (weil m B). Anderseits, flls m > 0, ist (m ) N (ist dgegen m = 0, so muss φ(0) min A ; ds gibt φ(0) = und zeigt, dss Rn φ). D (m ) B (ds würde der Minimlität von m widersprechen), muss φ(m ) <. Nch Definition von φ gilt ber φ(m) = min {b A : b > φ(m )} φ(m) Hier benutzen wir, dss A. Also = φ(m) und φ ist injektiv. Verllgemeinerung: Jede Teilmenge einer bzählbren Menge ist bzählbr. Proposition Sei B bzählbr und ψ : B A surjektiv. Dnn ist A bzählbr. Beweis. O.B.d.A. dürfen wir nnehmen, dss B N (weil B sich bijektiv uf einer Teilmenge von N bbilden lässt). Für A definieren wir φ() = min {b B : ψ(b) = } Dnn ist φ : A B N. φ offenbr injektiv. φ bildet lso A uf der Teilmenge B = Rn φ B bijektiv b. D.h. A ist mit B gleichmächtig. D B B N, ist B sicher bzählbr. Also ist A uch bzählbr. Stz Ds Produkt N N ist bzählbr. 8

19 Beweis. Es ist einfch, die Elemente von N N in einer Liste zu orgnisieren. Verllgemeinerung: Seien A,..., A n bzählbre Mengen. Dnn ist A A n uch bzählbr. Beweis. Wir können O.B.d.A. nnehmen, dss A,..., A n N. Wir benutzen nun die Induktion über n. Für n = 2, impliziert A, A 2 N, dss A A 2 N N sicher bzählbr ist. Nehmen wir nun n, dss A A n bzählbr ist. Dnn ist ber A A n+ = (A A n ) A n+ ls Produkt zweier bzählbrer Mengen, nch der Überlegung für n = 2, bzählbr. Eine Folgerung von Stz 2.25 ist die Abzählbrkeit von Q. Stz Q ist bzählbr. Beweis. Z, Z\{0} sind beide bzählbr. Z Z\{0} ist uch bzählbr. Die Abbildung φ : Z Z\{0} Q, die durch φ(p, q) = p/q definiert ist, ist surjektiv. Also ist Q uch bzählbr. Eine ndere interessnte Bemerkung ist, dss bzählbre Vereinigungen bzählbrer Mengen wieder bzählbr sind. Stz Für lle n N, sei A n eine bzählbre Menge. Dnn ist uch bzählbr. n= A n Beweis. Für jede n N existiert B n N und eine Bijektion φ n : B n A n. Nun setzen wir B := {(n, m) N N : m B n } Es gilt B N N, lso ist B bzählbr. Wir definieren nun die Abbildung φ : B n= A n durch die Angbe φ(n, m) = φ n (m). Die Abbildung ist surjektiv, deswegen ist n= A n bzählbr. Anwendung: Sei S 0 = {( i ) i N : i Z für lle i N und, s.d. ein n N existiert, mit i = 0 i n} die Menge der Folgen mit Werten in Z, die nur endlich viele nicht verschwindende Elemente hben. Wir behupten, S 0 ist bzählbr. Sei, in der Tt, S (n) = {( i ) i N S 0 mit i = 0 i > n}. Dnn ist S (n) mit Z Z (n Kopien) gleichmächtig. S (n) ist deswegen für lle n N bzählbr. D S 0 = n= S (n) ist uch S 0 ls Vereinigung bzählbr vieler bzählbrer Mengen bzählbr. Welche Mengen sind nicht bzählbr? 9

20 Stz 2.28 (Cntor). Sei M eine Menge. Dnn sind M und P (M) nicht gleichmächtig. Beweis. Wir beweisen den Stz indirekt durch Widerspruch. Nehmen wir n φ : M P (M) ist eine Bijektion. Setze B = {x M : x φ(x)} Dnn gilt φ(y) B für lle y M. Ist in der Tt y φ(y), so ist per Definition y B, und deswegen ist φ(y) B. Ist nderseits y φ(y), so ist per Definition y B. Auch in diesem Fll ist φ(y) B. Ds impliziert, dss im Widerspruch zur Annhme φ nicht surjektiv ist. Definition Eine nicht bzählbre Menge heisst überbzählbr. Z.B.: P (N) ist eine überbzählbre Menge. Proposition R ist überbzählbr. Beweis. P (N) ist überbzählbr. Sei {0, } N die Menge der Folgen mit Werten 0 und. Wir definieren nun eine Abbildung φ : P (N) {0, } N wie folgt: (φ(x)) i = flls i X, (φ(x)) i = 0 sonst Es ist einfch zu sehen, dss φ eine Bijektion ist. Deswegen ist {0, } N überbzählbr. Sei nun X 0 [0, ) die Teilmenge ller reellen Zhlen in [0, ) deren Dezimlbruchdrstellung nur die Zhlen 0 und enthält (erinnere, die Dezimlbruchdrstellung einer reellen Zhl x [0, ) ist eine Folge A(x) = (, 2,... ), wobei j {0,,..., 9} für lle j N (und j 9 für unendlich viele n)). Dnn gibt es eine Bijektion {0, } N X 0. Es folgt, dss X 0 überbzählbr ist. D R X 0, ist uch R überbzählbr. Ttsche: R ist mit X 0 gleichmächtig. Frge: Ist die Krdinlität von R die kleinste überbzählbre Krdinlität? Oder gibt es Teilmengen von R, die nicht bzählbr sind, ber die nicht mit R gleichmächtig sind? Kontinuumhypothese (Cntor): jede Teilmenge von R ist entweder bzählbr oder gleichmächtig mit R selbst. P. Cohen (960): Weder die Kontinuumhypothese noch ihre Verneigung lssen sich uf Grund der üblichen Axiome der Mengelehre beweisen. 2.5 Die komplexen Zhlen Die Ordnungsvollständigkeit von R ist für die Anlysis sehr nützlich. Wir werden in dieser Vorlesung meistens mit reellen Zhlen rbeiten. Mnchml gibt es ber mit R lgebrische Schwierigkeiten, die mit der Ttsche zu tun hben, dss in R viele Polynome keine Nullstellen hben. Aus diesem Grund ist es mnchml nützlich, komplexe Zhlen zu betrchten. Einer der Gründe, die reellen Zhlen einzuführen wr, dss mn in R die Gleichung x 2 = 2 (und llgemeiner, die Gleichung x p =, für beliebige > 0 und p N\{0}) lösen knn (ws nicht in Q möglich wr). Es bleiben ber viele qudrtische Gleichungen (und 20

21 ntürlich uch Gleichungen höherer Ordnung), die in R keine Lösung hben. Z.B. ht die Gleichung x 2 = keine Lösung uf R. Um dieses Problem zu lösen, führen wir die komplexen Zhlen ein. Die komplexen Zhlen bilden einen Körper, den wir mit C bezeichnen, welcher R enthält, und der uch ein Element i, mit der Eigenschft i 2 =, enthält. Es ist einfch zu sehen, dss der kleinste Körper mit diesen Eigenschften us llen Zhlen der Form x + iy, mit x, y R, besteht: versehen mit der Summe und der Multipliktion C = {x + iy : x, y R} (x + iy ) + (x 2 + iy 2 ) = (x + x 2 ) + i(y + y 2 ) (x + iy ) (x 2 + iy 2 ) = (x x 2 y y 2 ) + i(x y 2 + x 2 y ). Formell, wird C ls ds Produkt C = R R = {(x, y) : x, y R} definiert. Summe und Multipliktion werden dnn durch (x, y ) + (x 2, y 2 ) = (x + x 2, y + y 2 ) und gegeben. (x, y ) (x 2, y 2 ) = (x x 2 y y 2, x y 2 + x 2 y ) Proposition 2.3. C, versehen mit den Opertionen +, ist ein Körper. Beweis. Die Null ist us (0, 0) gegeben. Die dditive Inverse ist us (x, y) = ( x, y) gegeben, die Eins us (, 0). Die einzige Eigenschft, die nicht gnz trivil ist, ist die Existenz der multipliktiven Inverse. Aus können wir rten, dss x + iy = (x iy) (x + iy)(x iy) = x (x, y) = x 2 + y 2 i y x 2 + y 2 ( ) x x 2 + y 2, y x 2 + y 2 flls x 2 + y 2 0 (d.h. flls (x, y) (0, 0)). Mn knn dnn in der Tt zeigen, dss (x, y) die Inverse von (x, y) ist. Bemerkung: Es gibt uf C keine Ordnung (unmöglich, weil i 2 = < 0). Die Abbildung R x (x, 0) C identifiziert R mit einer Teilmenge (sogr einem Unterkörper) von C. Wir definieren dnn i = (0, ). Per Definition gilt i 2 = (0, ) (0, ) = 2

22 (, 0). Sttt (x, y) werden wir einfch x + iy schreiben; diese Schreibweise hilft bei der Berechnung von Produkten von komplexen Zhlen. Gegeben z = x+iy, sgt mn x ist der Relteil von z, y der Imginärteil. Sie werden mit x = Re z und y = Im z bezeichnet. Die komplexe Konjugierte von z ist dnn us z = x iy gegeben. Es gelten dnn die Regeln: z + z 2 = z + z 2. z z 2 = z z 2. z z = zz = x 2 + y 2 0 (insbesondere ist z z R). Definition Der Absolutbetrg von z = x + iy C wird durch definiert. Es gelten die Eigenschften: z z 2 = z z 2. z = 0 z = 0. Für x R ist x C = x R. Re z z. Im z z. z = zz = x 2 + y 2 Dreieckungleichung: z + z 2 z + z 2. D C = R R, lssen sich komplexe Zhlen uf der euklidischen Ebene drstellen. Die x-achse ist die reelle Achse, die y-achse die imginäre Achse. Die geometrische Bedeutung der Summe ist dnn einfch zu beschreiben: Die Summe z + z 2 ist us der vektoriellen Summe der Vektoren in R 2, die z, z 2 zugeordnet sind. Die komplexe Konjugtion entspricht geometrisch der Spiegelung um die x-achse. z ist einfch der (euklidische) Abstnd zwischen z und dem Ursprung 0. Allgemeiner: z z 2 gibt den euklidischen Abstnd zwischen z und z 2. Um die Multipliktion geometrisch zu interpretieren, führen wir Polrkoordinten ein. Für z C sei r = z der Abstnd zu 0 und ϕ [0, 2π] der Winkel zwischen der reellen Achse und z. Dnn z = r (cos ϕ + i sin ϕ) Die Multipliktion von z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) und z 2 = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) ist us z z 2 = r r 2 [(cos ϕ cos ϕ 2 sin ϕ sin ϕ 2 ) + i (cos ϕ sin ϕ 2 + sin ϕ cos ϕ 2 )] = r r 2 [cos(ϕ + ϕ 2 ) + i sin(ϕ + ϕ 2 )] 22

23 gegeben. Also ist der Abstnd von z z 2 zum Ursprung us der Mulitpliktion der Abstände z z 2 gegeben. Der Winkel zwischen z z 2 und der x-achse ist dgegen us der Summe der Winkel ϕ und ϕ 2 gegeben. Wir werden nch Einführung der Exponentilfunktion sehen, dss e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. D.h., ist r = z und ϕ der Winkel zwischen z und der x-achse, so gilt z = re iϕ. Eine wichtige Eigenschft der Exponentilfunktion ist e x e y = e x+y. Ds gibt eine ndere, einfchere Erklärung der Ttsche, dss bei der Multipliktion von zwei komplexen Zhlen die Winkel ddiert werden sollen. Die Drstellung z = re iϕ erlubt uns uch die Gleichung w p = z, für gegebene z C zu lösen. Ist z = re iϕ, für r > 0 und ϕ [0, 2π), so ist w = r /p e iϕ/p offenbr eine Lösung (weil (e x ) n = e nx für jede n N, x R). D ber (ϕ + 2πj) den selben Winkel wie ϕ drstellt, ist w j = r /p e i(ϕ+2πj)/p für jede j = 0,,..., (p ) eine Lösung von der Gleichung w p = z (die Lösung mit j = p ist äquivlent zur Lösung mit j = 0, und so weiter). D.h. für beliebige z C hben wir genu p Lösungen der Gleichung w p = z (in R gibt es mnchml gr keine Lösung, zb. flls p = 2 und z = ). Allgemeiner knn mn zeigen, dss jede polynomische Gleichung uf C mindestens eine Lösung ht (ds impliziert uch, dss jede polynomische Gleichung der Ordnung n genu n Lösungen ht, flls mn jede Lösung mit der korrekten Vielfchkeit zählt). Ds erklärt die Nützlichkeit der komplexen Zhlen. Stz 2.33 (Fundmentlstz der Algebr). Jedes Polynom p(x) = n x n + n x n + + x + 0 mit komplexen Koeffizienten, von Grd n ( n 0) ht mindestens eine Nullstelle in C. 2.6 Die Vektorräume R m Der Rum R m = {x = (x,..., x m ) : x j R für lle j =,..., m} besteht us llen m-tupeln von reellen Zhlen. Diese Räume spielen eine extrem wichtige Rolle in der Mthemtik und in Anwendungen in ntürlichen Wissenschften (z.b. die Position eines Teilchens wird durch einen Punkt x = (x, x 2, x 3 ) R 3 beschrieben, ihr Zustnd wird durch die Position und die Geschwindigkeit, lso durch einen Punkt (x, x 2, x 3, v, v 2, v 3 ) R 6 beschrieben). Auf R m knn mn eine Addition definieren. Für x = (x,..., x m ), y = (y,..., y m ) R m setzen wir x + y = (x + y, x 2 + y 2,..., x m + y m ) Mn knn uf R m uch eine sklre Multipliktion einführen. Ist α R und x = (x,..., x m ) R m, so setzen wir αx = (αx, αx 2,..., αx m ) R m 23

24 Definition Eine Menge V, versehen mit einer Addition + : V V V und einer sklren Multipliktion : R V V heisst ein Vektorrum über R, flls x + y = y + x für lle x, y V.. (x + y) + z = x + (y + z) für lle x, y, z V. Es existiert 0 V mit x + 0 = x für lle x V. Für lle x V existiert y V, bezeichnet mit x, mit x + y = 0. α (β x) = (αβ) x, für lle α, β R und lle x V. α (x + y) = α x + α y für lle α R, x, y V. (α + β) x = α x + β x für lle α, β R, x V. x = x für lle x V. Mn knn ähnlich Vektorräume über einen llgemeinen Körper K definieren. R m ist dnn ein Vektorrum über R, für lle m N\{0} (und ähnlich ist C m ein Vektorrum über C). Bemerke, dss, für m 2, R m kein Körper ist, weil keine Multipliktion von zwei Vektoren in R m definiert ist (R 2 C knn ber zu einem Körper gemcht werden). Auf R m, m 2, ist keine Ordnung definiert. Es ist sehr nützlich, uf R m eine Funktion zu definieren, die die Länge von Vektoren misst. Für x = (x,..., x m ) R m setzen wir m x = j= Dnn ht die Funktion. : R m R die Eigenschften i) x 0 für lle x R n, mit x = 0 genu dnn, wenn x = 0. ii) αx = α x für lle α R und x R m. iii) x + y x + y für lle x, y R m. Eine Funktion. mit den Eigenschften i)-ii)-iii) heisst eine Norm. Ein Vektorrum, in welchem eine Norm definiert ist, heisst ein normierter Rum. R m, versehen mit der Norm (), ist ein Beispiel eines normierten Rumes. Bemerkung: Die Definition der Norm ist nicht eindeutig. Z.B. uf R m definiert für lle p > eine Norm. x 2 j /2 m x p = x j p j= /p () 24

25 3 Konvergenz von Folgen Nchdem wir jetzt die nötigen Werkzeuge eingeführt hben, beginnen wir die wichtigen Begriffe der Anlysis zu betrchten. In diesem Kpitel untersuchen wir Folgen und ihre Konvergenz. Erinnere, dss eine Folge uf einer Menge M eine Funktion : N M ist. Wir schreiben üblicherweise n oder ( n ) n N, um die Elemente der Folge zu bezeichnen. In diesem Kpitel werden wir Folgen uf R betrchten, d.h. Folgen : N R. Wir werden später Folgen uf llgemeineren Räumen (sogennnten metrischen Räume) untersuchen. Beispiele: Die einfchsten Folgen sind die konstnten Folgen, definiert durch n = c, für lle n N, und für ein c R. Andere Beispiele sind n = n, oder n = /n. Mnchml werden Folgen durch Summen definiert, z.b. oder n = n n = n 2 Diese Folgen heissen Reihen. Wir werden Reihen detillierter im nächsten Kpitel betrchten. 3. Konvergenz: Definition und elementre Eigenschften Einer der wichtigsten Begriffe der Anlysis ist der Begriff von Konvergenz von Folgen. Betrchte z.b. die Folge n = /n. Flls wir n sehr gross wählen, so kommt n immer näher zu 0 (obwohl n immer verschieden von 0 bleibt). In diesem Fll sgen wir, dss n gegen 0 konvergiert, lso n gegen Unendlich strebt. Mn brucht hier eine genuere mthemtische Definition. Die Definition von Konvergenz übersetzt, in der Sprche der Mthemtik, die Idee, dss n gegen konvergiert ( = 0 im Beispiel oben), flls n beliebig nh zu kommt, für n genügend gross. Definition 3.. Sei n eine Folge uf R. Wir sgen n konvergiert gegen R, dss der Limes der Folge n ist, oder dss der Grenzwert von n ist, und wir schreiben n, oder lim n n =, flls Bemerkungen: für lle ε > 0 existiert n 0 = n 0 (ε), s.d. n > n 0 n < ε. Sei n eine Folge uf R. Dnn gilt n genu dnn, wenn n 0 genu dnn, wenn n 0. Ds folgt direkt us der Definition. Wir hben n < ε ε < n < + ε n ( ε, + ε) Der Absolutbetrg n misst den Abstnd zwischen n und. Die Bedingung n < ε besgt lso, dss der Abstnd zwischen n und kleiner ls ε ist. D 25

26 Beispiele: ε > 0 beliebig klein sein knn, bedeutet n, dss der Abstnd zwischen n und kleiner ls eine beliebige Fehlergrenze ist, flls wir n gross genug wählen. Wie gross n sein muss, wird us n 0 bestimmt. Bemerke, dss n 0 von ε bhängt. Um so kleiner ε > 0 gewählt wird, um so grösser wird (typischerweise) n 0 sein. Sei n = c für lle n ( n ist eine konstnte Folge). Dnn gilt n c. In diesem Fll gilt n c < ε für lle n N und lle ε > 0 (d.h. mn knn immer n 0 = wählen). Sei n = /n. Dnn n 0. Beweis. Sei ε > 0 fest gewählt. Nch Stz 2.4 existiert n 0 N\{0} mit n 0 > (/ε). Für n > n 0 gilt Ds impliziert n < ε, für lle n > n 0. 0 n = n < n 0 < ε Sei n = n /n. Wir behupten, dss n. Beweis. Sei ε > 0 fest. Dnn gilt (+ε) n = n ( ) n ε j = +nε+ j Ist (n )ε 2 /2 >, so gilt D für lle n N ist n /n > folgt, dss flls (n )ε 2 /2 >. Also n(n ) ε 2 + +ε n 2 ( + ε) n > n n /n < ( + ε) < n /n < + ε n /n < ε n(n ) ε 2 = n 2 [ ] (n )ε 2 flls (n )ε 2 /2 >. Um diese Bedingung zu erfüllen, wählen wir einfch n > +(2/ε 2 ). Zusmmenfssend setzen wir n 0 (ε) = +(2/ε 2 ). Dnn impliziert n > n 0, dss n /n < ε. D ε > 0 beliebig ist, folgt die Behuptung. Sei n = ( ) n. Die Folge oszilliert zwischen und. Sie konvergiert nicht. Die Folge n = n wird immer grösser, d n gegen Unendlich strebt. Also konvergiert sie nicht. Die erste wichtige Eigenschft von Konvergenz ist die Eindeutigkeit des Grenzwertes. Proposition 3.2. Jede Folge ht höchstens einen Grenzwert. 2 26

27 Beweis. Nehmen wir n, n und n, mit, R und. Sei ε = /2. Für n, existiert n 0 mit n < ε für lle n > n 0. Für n, existiert uch n mit n < ε für lle n > n. Also, für n > mx {n 0, n }, gilt n < ε und n < ε. Dnn muss ber ws unmöglich ist. = n + n n + n < 2ε = Eine ndere wichtige Eigenschft von konvergenten Folgen uf R ist ihre Beschränktheit. Definition 3.3. Eine Folge n in R heisst nch unten beschränkt, flls b R existiert, mit b n für lle n N. Sie heisst nch oben beschränkt, flls b R existiert, mit n b für lle n N. Sie heisst beschränkt, flls sie nch unten und nch oben beschränkt ist, d.h. flls b > 0 existiert, mit n < b für lle n N. Proposition 3.4. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Beweis. Sei n eine Folge, mit n. Per Definition existiert mit ε = n 0 N mit n < für lle n > n 0. Ds impliziert, dss für lle n > n 0. Also für lle n N. n = + ( n ) + n + n mx {, 2,..., n0, + } Ordnungsreltionen (ber nicht strikte Ordnungsreltionen) werden durch den Limes erhlten. Lemm 3.5. Seien n und b n zwei Folgen, mit n und b n b und mit n b n für lle n N (eigentlich genügt es, dss ein n 0 N existiert, mit n b n für lle n > n 0 ). Dnn gilt b. Beweis. Nehmen wir n > b. Dnn setzen wir ε = ( b)/2 > 0. Für n, existiert n N mit n < ε für lle n > n. Für b n b, existiert n 2 N mit b n b < ε für lle n > n 2. Für n mx{n, n 2 } gilt lso b n = b + (b n b) < b + ε = + b 2 in Widerspruch zur Annhme n b n für lle n N. = ε < n Bemerkung: Gilt n, b n b und n < b n für lle n N, so muss < b nicht gelten. Im Allgemeinen knn mn us n < b n für lle n N nur folgen, dss b (z.b. n = /n > 0 für lle n N, ber lim n n = 0). Wir untersuchen nun die Beziehung zwischen Limes und den Körperopertionen, die uf R definiert sind. 27

28 Proposition 3.6. Nehmen wir n, n und b n sind zwei Folgen in R, mit n und b n b. Dnn gilt: i) n + b n + b. ii) n b n b. iii) n b n b. iv) Ist b n 0 für lle n N, und b 0, so gilt uch n /b n /b v) Ist n 0 für lle n N, p Z und q N\{0}, dnn gilt p/q n p/q Beweis. i) Sei ε > 0 fest. Dnn existiert n N s.d. n < ε/2 für lle n > n, und n 2 N s.d. b n b < ε/2 für lle n > n 2. Für n > mx{n, n 2 } gilt lso ii) Ähnlich. ( n + b n ) ( + b) ( n ) + (b n b) n + b n b < ε. iii) n impliziert, dss n beschränkt ist. D.h. es existiert c > 0 mit n c für lle n N. Dnn n b n b = n b n n b + n b b n (b n b) + b( n ) n b n b + b n c b n b + b n (2) Sei nun ε > 0 fest. Dnn existiert n N mit n < ε/(2 b ) für lle n > n. Weiter existiert n 2 N mit b n b < ε/(2c) für lle n > n 2. Für n > mx{n, n 2 } folgt us (2), dss n b n b < ε. iv) Es genügt zu zeigen, dss /b n /b (dnn folgt iv) us iii)). Aus b n b folgt, dss ein n N existiert, mit b n b b /2 für lle n > n. Ds impliziert, dss b n = b + (b n b) b b n b b b /2 = b /2 für lle n > n. Also hben wir, wieder für n > n, b n b = b b n bb n = b b n b n b 2 b 2 b n b (3) Sei nun ε > 0 fest. Dnn finden wir n 2 N mit b n b < b 2 2 ε für lle n > n 2. Wir setzen nun n 0 = mx{n, n 2 }. Für n > n 0 gilt, us (3), b n b < ε 28