Streuungsmaße. Grundbegriffe

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1 Grundbegriffe Untersuchungseinheiten U,...,U n Merkml X Urliste x,...,x n geordnete Urliste x (),...,x (n) Es gilt i.llg.: xi x() i, i, Κ, n In einer westdeutschen Großstdt gibt es insgesmt drei Träger für Jugendrbeit. Der erste Träger besetzt 50 Prozent seiner Stellen immer mit Vollzeitkräften (8 Stunden pro Tg) und die übrigen 50 Prozent jeweils mit Hlbtgskräften (4 Stunden pro Tg). Je eine Vollzeit- und eine Hlbtgskrft rbeiten immer projektgebunden zusmmen. Interessiert mn sich für die durchschnittliche Arbeitszeit, so erhält mn bei diesem Träger ein rithm. Mittel von 6 Stunden. Beim zweiten Träger gibt es drei Arten von Stellen, nämlich Vollzeit-, Dreiviertel- und Hlbtgskräfte, die jeweils ein Drittel des Stellenpools usmchen. Die Dreiviertelkräfte rbeiten 6 Stunden pro Tg. Auch hier erhält mn ls rithm. Mittel für die Arbeitsduer 6 Std. Beim dritten Träger existieren die gleichen Stellenformen wie beim.träger. Nur sind hier 80 Prozent ller Mitrbeiter Dreiviertelkräfte und nur je 0 Prozent Vollzeit- bzw. Hlbtgskräfte. Wiederum erhält mn ls rithmetisches Mittel für die tägliche Arbeitszeit 6 Stunden. Beispiel (Filile) Geschäftsstelle Mo Di Mi Do Fr S So Huptstelle Filile bei welcher der beiden Geschäftsstellen konzentriert sich die Bertungshäufigkeit mehr uf einen Wochentg? (geringe Vribiliät) bei welcher der beiden Geschäftsstellen liegt eine gleichmäßigere Verteilung uf mehrere Wochentge vor? (große Vribiliät) 3

2 Sklenprmeter für nominle Dten Minimle Streuung: eine Merkmlsusprägung mit der reltive Häufigkeit h( i ), für lle nderen Merkmlsusprägungen j gilt h( j ) 0 (Einpunktverteilung). Mximle Streuung: die reltiven Häufigkeiten sind bei llen Merkmlsusprägungen gleich groß 4 Sklenprmeter für nominle Dten Abstnd zur Verteilung mit minimler Streuung φd : ( h( mod )) Abstnd zur korrespondierenden Häufigkeitsverteilung mit mximler Streuung k φ : h( ) G i i k Sklenprmeter φ( X ) φ : D φd + φg 5 Beispiel (Filile) Geschäftsstelle Mo Di Mi Do Fr S So Huptstelle Filile φ φ D D ( Huptstelle) ( 0.5) ( Filile) ( 0.4). 6

3 Beispiel (Filile) Geschäftsstelle Mo Di Mi Do Fr S So Huptstelle Filile φ ( Huptstelle) G φ ( Filile) G φ( Huptstelle) Beispiel (Filile) φ( Filile) Die Filile zeichnet sich lso durch eine höhere Vribilität us. Bei der Huptstelle findet die Bertung lso konzentrierter n einem Wochentg, nämlich dem Dienstg sttt. Geschäftsstelle Mo Di Mi Do Fr S So Huptstelle Filile Sklenprmeter für ordinle Dten Minimle Streuung: eine Merkmlsusprägung mit der reltive Häufigkeit h( i ), für lle nderen Merkmlsusprägungen j gilt h( j ) 0 (Einpunktverteilung). Mximle Streuung: für die k geordneten Ausprägungen gilt: ( ) h( k ) 0. 5 ( ) h( ) Λ h( ) 0. h h 3 k 9 3

4 Sklenprmeter für ordinle Dten d X : k F j j k ( ) F ( ) F( ) mx j j j 0.5. Normierung: d d, : X X norm k X : d X Sklenprmeter: φo ( ), norm 0 Beispiel (Bewertung) Note Summe Männer Fruen F(Männer) F(Fruen) d X d X ( Männer) ( Fruen) φ o ( X ) Spnnweite R (Rnge) ( n) x( ) Mximum Minimum R : x Beispiel (Hospiz) R

5 Spnnweite R bei klssierten Dten Differenz zwischen der oberen Klssengrenze der größten Klsse (K k ) und der unteren Klssengrenze der untersten Klsse (K ) R k : b K K ( ) ( ) 3 Spnnweite R bei klssierten Dten Beispiel (Anfhrtszeiten) Klsse H(K j) h(k j) K [0,4] K (4,8] 7 0. K 3(8,] K 4(,6] K 5(6,0] K 6(0,4] K 7(4,8] 0.06 Summe R Interqurtilsbstnd IQR Der Interqurtilsbstnd beschreibt die Spnnweite der mittleren 50% ller (geordneten) Beobchtungen. IQR : ~ x ~ x

6 Interqurtilsbstnd IQR Beispiel (Hospiz) ~ x0.5 x ~ x0.75 x ( 3) 5 ( 8) 78 IQR IQR bei klssierten Dten. Bestimmung der Quntile. Bestimmung des Interqurtilsbstndes us den Quntilen 7 Beispiel (Anfhrtszeiten) Klsse H(K j ) h(k j ) F(K j ) K [0,4] K (4,8] K 3 (8,] K 4 (,6] K 5 (6,0] K 6 (0,4] K 7 (4,8] Summe

7 IQR bei klssierten Dten ~ x ( 8 4) 7. 0 ~ x ( 6 ) IQR MAD (Medin Absolute Devition) Der MAD beschreibt den mittleren (medinen) bsoluten Abstnd ller Beobchtungen zum Medin. yi xi ~ x0.5 i, Λ, n Der MAD ist der Medin der y i 0 CD-Bestnd xi Abstnd zum Medin y x ~ i i x ~.5 x 0 50 MAD (Medin Absolute Devition) Beispiel (Hospiz) y() i : ~ y

8 MAD bei klssierten Dten. Bestimmung des Medins. unter Verwendung der Klssenmittel oder der Klssenmitten werden die bsoluten Abweichungen vom Medin bestimmt. Diese Abweichungen sind mit der jeweiligen Klssenhäufigkeit zu gewichten. Ist z.b. H(K i ) 3 und H(K j ) 5, so sind die entsprechenden Abweichungen mehrmls zu verwenden, nämlich H(K i ) 3-fch bzw. H(K j ) 5-fch 3. Abschließend wird dnn der Medin der Abweichungen gebildet. Beispiel (Anfhrtszeiten) ~ x ( 8) K j m j H(K j ) y m ~ j j x0.5 K K K K K K K ~.5 y Mittlere Absolute Abweichung vom Medin Die mittlere bsolute Abweichung beschreibt den durchschnittlichen bsoluten Abstnd ller Beobchtungen zum Medin. n s0.5 : xi ~ x0.5 n i. 4 8

9 CD-Bestnd x i Abstnd zum Medin y x ~ i i x ~.5 x 0 50 s0.5 0 Mittlere Absolute Abweichung vom Medin Beispiel (Hospiz) ( ) bei klssierten Dten. Bestimmung des Medins. unter Verwendung der Klssenmittel oder der Klssenmitten werden die bsoluten Abweichungen vom Medin bestimmt. Diese Abweichungen sind mit der jeweiligen Klssenhäufigkeit zu gewichten. Ist z.b. H(K i ) 3 und H(K j ) 5, so sind die entsprechenden Abweichungen mehrmls zu verwenden, nämlich H(K i ) 3-fch bzw. H(K j ) 5-fch 3. Abschließend wird dnn ds rithmetische Mittel der gewichteten bsoluten Abweichungen vom Medin gebildet. 6 Beispiel (Anfhrtszeiten) K j m j H(K j ) y m ~ j j x0.5 K K K K K K K s ~.5 x

10 Mittlere Absolute Abweichung vom Mittelwert Es gilt immer sm s 0. 5 Die mittlere bsolute Abweichung beschreibt den durchschnittlichen bsoluten Abstnd ller Beobchtungen zum rithmetischen Mittel. n sm : xi x n i n n c ~ xi xi x0.5 für lle Zhlen c. n i n i 8 Die Vrinz und die Stndrdbweichung Die empirische Vrinz beschreibt den durchschnittlichen qudrtischen Abstnd ller Beobchtungen zum rithmetischen Mittel. n s : x i x n i empirische Vrinz ( ). Stndrdbweichung s s 9 Die Vrinz und die Stndrdbweichung Minimumseigenschft des rithmetischen Mittels n x i n i n x i n i ( x) ( d ) für lle Zhlen d. 30 0

11 Beispiel (Hospiz) 39, 44, 78, 5, 348, 5, 0, 0, 48, 5. x 79,6 s s ,4 0.50,67 9 (( 40,6 ) + ( 64,4 ) + (,6 ) + ( 7,6 ) + ( 68,4 ) + ( 7,6 ) ( 69,6 ) + ( 79,6 ) + ( 3,6 ) + ( 54,6 ) ) 0.50,67 0, bei klssierten Dten Klssenmittel s n ( K x), k H ( K j ) j j Klssenmitten s n ( m x), k H ( K j ) j j 3 Beispiel (Anfhrtszeiten) K j m j H(Kj) K 3 K 6 7 K K K K 6 K 7 6 x.7 unter Verwendung der Klssenmitten s s

12 34 Die getrimmte Vrinz () ( ). : + n i t x i x n t s α α ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) : xw n x n i xw i x xw x n sw Die winsorisierte Vrinz