Analysis I, WS 04/05 Verzeichnis der wichtigsten Definitionen und Sätze

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1 Anlysis I, WS 04/05 Verzeichnis der wichtigsten Definitionen und Sätze Lorenz Schwchhöfer 8. Februr 2005 Inhltsverzeichnis 1 Mthemtische Grundlgen 1 2 Folgen und Reihen 6 3 Stetigkeit 12 4 Differenzierbrkeit 19 5 Integrle 25 1 Mthemtische Grundlgen Definition 1.1 Sei M eine Menge. Eine innere Komposition oder Verknüpfung uf M ist eine Abbildung : M M M. Sttt (x,y) schreiben wir uch x y. Definition 1.2 Sei eine Verknüpfung uf der Menge M. 1. heißt ssozitiv, flls für lle x, y, z M gilt: (x y) z = x (y z). 2. heißt kommuttiv, flls für lle x, y M gilt: x y = y x. 3. Ein Element e M heißt neutrles Element bzgl., flls für lle x M gilt: e x = x e = x. 1

2 4. Sei e M ein neutrles Element bzgl., und sei x M. Ein Element y M heißt invers zu x oder Inverses von x bzgl., flls gilt: x y = y x = e. Flls ein neutrles Element existiert, dnn ist es eindeutig bestimmt. Ist ssozitiv, so ht jedes Element höchstens ein Inverses, ds dnn mit x 1 bezeichnet wird. Definition 1.3 Ein Körper ist eine Menge K mit zwei Verknüpfungen die folgende Eigenschften hben: (A1) + ist ssozitiv und kommuttiv. + : K K K und : K K K, (A2) Es existiert ein neutrles Element bzgl. +, ds wir mit 0 bezeichnen. (A3) Jedes Element x K ht ein Inverses bzgl. +, ds wir mit x bezeichnen. (M1) ist ssozitiv und kommuttiv. (M2) Es existiert ein neutrles Element bzgl., ds wir mit 1 bezeichnen. (M3) Jedes Element x K mit x 0 ht ein Inverses bzgl., ds wir mit x 1 bezeichnen. (D) Für lle x,y,z K gilt ds Distributivgesetz: (T) Es gilt 1 0. (x + y) z = (x z) + (y z). Die in der vorstehenden Definition beschriebenen Eigenschften heißen uch die Körperxiome. Definition 1.4 Eine geordnete Menge ist eine Menge M mit einer Ordnungsreltion <, d.h. einer Reltion uf M, die folgende Bedingungen erfüllt: (O1) (Trichotomie) Sind x,y M, so gilt genu eine der folgenden Aussgen: (i) x < y (ii) y < x (iii) x = y (O2) (Trnsitivität) Für x, y, z M gilt die Impliktion: (x < y) (y < z) = (x < z). Ist < eine Ordnungsreltion uf M, so definieren wir uch die folgenden Reltionen: 1. x y soll bedeuten: (x < y) (x = y) 2. x > y soll bedeuten: y < x, 2

3 3. x y soll bedeuten: (x > y) (x = y). Definition 1.5 Ein geordneter Körper ist ein Körper (K, +, ) mit einer Ordnungsreltion <, so dß folgende Aussgen gelten: (OA) Sind x,y,z K mit x < y, dnn folgt x + z < y + z. (OM) Sind x,y,z K mit x < y und 0 < z, dnn folgt xz < yz. Definition 1.6 Sei (K, +,, <) ein geordneter Körper. Eine Teilmenge A K heißt induktiv oder ein induktives System, flls gilt: 1. 1 A, 2. x K,x A = x + 1 A. Definition 1.7 Sei (K,+,,<) ein geordneter Körper. Die ntürlichen Zhlen in K ist die Menge N K := A = {x K A K induktiv gilt: x A}. A K induktiv N K ist dnn selbst ein induktives System, und ist A K eine beliebiges induktives System, dnn folgt N K A. Beweisprinzip der vollständigen Induktion. Gegeben sei eine Menge von Aussgen A(n), die von n N bhängen. Um nun zu zeigen, dß A(n) für lle n N gilt, geht mn wie folgt vor: 1. Induktionsnfng: Zeige A(1). 2. Induktionsschritt: Zeige: Für lle n N: A(n) A(n + 1). Definition 1.8 Sei (K,+,,<) ein geordneter Körper, und seien N K K die ntürlichen Zhlen in K. Dnn bezeichnet 1. (N 0 ) K := N K {0}, 2. Z K := N K {0} { n n N K }. Diese Menge wird die Menge der gnzen Zhlen von K gennnt. 3. Q K := {n m 1 n,m Z K,m 0}. Diese Menge wird die Menge der rtionlen Zhlen von K gennnt. Definition 1.9 Sei (M, <) eine geordnete Menge, und sei N M. 1. S M heißt obere Schrnke von N, flls gilt: x N,x S. 2. s M heißt untere Schrnke von N, flls gilt: x N, x s. 3. N heißt nch oben (bzw. nch unten) beschränkt, flls N eine obere (bzw. untere) Schrnke ht. Ist N sowohl nch oben ls uch nch unten beschränkt, so heißt N beschränkt. 3

4 4. Ein Mximum von N ist eine obere Schrnke von N, die in N enthlten ist. 5. Ein Minimum von N ist eine untere Schrnke von N, die in N enthlten ist. 6. Ein Element S M heißt Supremum von N, flls gilt: () S ist eine obere Schrnke von N, (b) Ist S M eine obere Schrnke von N, so ist S S. 7. Ein Element s M heißt Infimum von N, flls gilt: () s ist eine untere Schrnke von N, (b) Ist s M eine untere Schrnke von N, so ist s s. Flls N M ein Mximum ht, so ist dies eindeutig; gleiches gilt für ds Minimum, Supremum und Infimum. Definition 1.10 Eine geordnete Menge (M, <) heißt wohlgeordnet, flls gilt: Jede nichtleere Teilmenge N M ht ein Minimum. Stz 1.11 Ist (K,+,,<) ein geordneter Körper, so ist N K wohlgeordnet. Definition 1.12 Eine geordnete Menge (M,<) heißt vollständig geordnet, flls gilt: (SUP) Jede nichtleere, nch oben beschränkte Teilmenge N M ht ein Supremum. Definition 1.13 Die reellen Zhlen R sind ein vollständiger, geordneter Körper, d.h. in R gelten die Axiome (A1), (A2), (A3), (M1), (M2), (M3), (D), (T), (O1), (O2), (OA), (OM), (SUP). Bemerkung: R ist durch diese Axiome vollständig chrkterisiert, d.h. jeder ndere vollständige geordnete Körper ist äquivlent zu R. Stz 1.14 In R gilt uch die folgende Eigenschft: (INF) Jede nichtleere, nch unten beschränkte Teilmenge N R ht ein Infimum. Definition 1.15 Ein Intervll ist eine Teilmenge I R mit der Eigenschft: x,y,z R, x < y < z und x,z I = y I. Stz 1.16 Sei I R ein Intervll. Dnn gibt es Zhlen,b R, so dß I von genu einem der folgenden Typen ist: 1) I = 5) I = (,b) 8) I = [,b), < b 2) I = R 6) I = (,b] 9) I = (,b], < b 3) I = (, ) 7) I = (,b), < b 10) I = [,b], b 4) I = [, ) 4

5 Definition 1.17 Die komplexen Zhlen ist die Menge C := R R mit folgenden Verknüpfungen: : C C, (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) := (x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) : C C, (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) := (x 1 x 2 y 1 y 2,x 1 y 2 + x 2 y 1 ). Stz (C,, ) ist ein Körper. 2. Die Abbildung R C, x x := (x,0) ist ein Homomorphismus, d.h. es gilt für lle x,y R: x y = x + y und x y = xy. 3. Sei i := (0,1). Dnn gilt für lle x,y, R: (x,y) = x y i. Außerdem ist i 2 = i i = 1. Wegen dieses Stzes ist es unnötig, die Unterscheidung von und + bzw. und beizubehlten. Mn betrchtet lso R ls eine Teilmenge von C, und knn dnn jede komplexe Zhl ls x + yi mit x, y R schreiben. Bei Addition und Multipliktion knn mn dnn lle Körperxiome verwenden (Assozitivität, Kommuttivität, Distributivität) und muß beim Multiplizieren nur die Beziehung i 2 = 1 bechten. Definition 1.19 Sei z = x + yi C mit x,y R. Dnn ist die Konjugierte von z die Zhl z := x yi. x heisst der Relteil von z, x = Re(z). y heisst der Imginärteil von z, y = Im(z). Stz 1.20 Für lle z,w C gilt: 1. (z) = z, 2. z + w = z + w, 3. zw = z w, 4. Ist z = x + yi mit x,y R, so ist zz = x 2 + y Re(z) = 1 2 (z + z), Im(z) = 1 2i (z z). Stz 1.21 Für z C definiere z := zz. Dnn gilt für lle z,w C: 1. z 0, und z = 0 genu dnn, wenn z = 0, 2. zw = z w, 3. z + w z + w (Dreiecksungleichung), 4. Für x R C ist x = x flls x 0, und x = x flls x < 0. Definition 1.22 Seien M, N Mengen, f : M N eine Funktion. 1. f heißt injektiv, flls gilt: x 1,x 2 M, f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x f heißt surjektiv, flls gilt: y N, x M mit f(x) = y. 3. f heißt bijektiv, flls f injektiv und surjektiv ist. 5

6 4. Ist f : X Y bijektiv, so gibt es eine Umkehrbbildung f 1 : Y X mit f(f 1 (y)) = y für lle y Y und f 1 (f(x)) = x für lle x X. 5. M heißt bzählbr, flls es eine bijektive Abbildung f : N M gibt, oder flls M endlich ist. 6. M heißt überbzählbr, flls M nicht bzählbr ist. Stz Jede Teilmenge einer bzählbren Menge ist bzählbr. 2. Die Menge Q ist bzählbr. 2 Folgen und Reihen Definition 2.1 Sei M eine Menge. Eine Folge in M ist eine Abbildung : N M, n n. Definition 2.2 Seien (M, <) und (N, <) geordnete Mengen, f : M N. Dnn heißt f 1. monoton steigend, flls gilt: n,m M, n < m f(n) f(m). 2. streng monoton steigend, flls gilt: n,m M, n < m f(n) < f(m). 3. monoton fllend, flls gilt: n,m M, n < m f(n) f(m). 4. streng monoton fllend, flls gilt: n,m M, n < m f(n) > f(m). 5. monoton, flls f monoton steigend oder monoton fllend ist. 6. streng monoton, flls f streng monoton steigend oder streng monoton fllend ist. Definition 2.3 Sei ( n ) n N eine Folge in M. 1. Eine Teilfolge von ( n ) ist eine Folge (b n ), wobei b n = ϕ(n) mit einer streng monoton steigenden Funktion ϕ : N N. 2. Eine Umordnung von ( n ) ist eine Folge (b n ), wobei b n = ϕ(n) mit einer bijektiven Funktion ϕ : N N. Definition 2.4 Eine Nullfolge in K, wobei K = R oder K = C, ist eine Folge ( n ) n N, so dß ε > 0, n 0 N, n N,n n 0 n < ε. Stz 2.5 Seien ( n ) und (b n ) Nullfolgen in K = R oder C, und sei c K. Dnn sind uch ( n ±b n ) und (c n ) Nullfolgen. Definition 2.6 Sei ( n ) n N eine Folge in K = R oder C. K heißt Grenzwert von ( n ), flls ( n ) eine Nullfolge ist. ( n ) heißt konvergent, flls es einen Grenzwert ht. ( n ) heißt beschränkt, flls C R, n N, n C. 6

7 Stz Jede Folge ( n ) n N in K = R oder C ht höchstens einen Grenzwert. Flls lso ( n ) konvergent ist, dnn schreibt mn für den (eindeutigen) Grenzwert: = lim n. 2. Ist ( n ) n N konvergent, dnn ist ( n ) uch beschränkt. 3. Ist ( n ) konvergent, dnn ist uch jede Teilfolge und jede Umordnung von ( n ) konvergent mit dem gleichen Grenzwert. Stz 2.8 (Grenzwertsätze) Seien ( n ) n N und (b n ) n N konvergente Folgen in K = R oder C, und sei c K. Dnn gilt: 1. lim( n ± b n ) = lim n ± lim b n, 2. lim( n b n ) = (lim n )(lim b n ), 3. lim(c n ) = clim n, 4. Flls b n 0 für lle n und lim b n 0, so ist lim n b n = lim n lim b n. Stz 2.9 (Stz von der monotonen Konvergenz) Sei ( n ) n N eine monotone beschränkte Folge in R. Dnn ist ( n ) konvergent. Weiterhin gilt: Ist ( n ) monoton steigend, so ist lim n = sup{ n n N}. Ist ( n ) monoton fllend, so ist lim n = inf{ n n N}. Stz 2.10 (Vergleichssätze) 1. Seien ( n ) n N und (b n ) n N konvergente Folgen in R. Wenn n b n für lle n N, dnn folgt lim n lim b n. 2. Seien ( n ) n N, (b n ) n N und (c n ) n N Folgen in R, und es gelte n b n c n für lle n N. Flls ( n ) und (c n ) beide konvergent sind und lim n = lim c n, dnn ist uch (b n ) konvergent, und lim b n = lim n = lim c n. Definition 2.11 Sei ( n ) n N eine Folge in K = R oder C. Dnn heißt L K ein Häufungspunkt von ( n ), flls es eine Teilfolge ( ϕ(n) ) von ( n ) gibt mit lim ϕ(n) = L. Wegen Stz 2.7, 3. ht eine konvergente Folge genu einen Häufungspunkt, nämlich ihren Grenzwert. Definition 2.12 Sei ( n ) n N eine beschränkte Folge in R. Für n N definiere die Menge A n := { m m n}, so dß A 1 A 2 A 3... Definiere s n := sup(a n ) und s n := inf(a n ). Dnn ist (s n ) monoton fllend und (s n ) monoton steigend, und beide Folgen sind beschränkt. Der Limes Superior und der Limes Inferior von ( n ) sind dnn definiert ls lim n := lim s n, und lim n := lim s n. 7

8 Stz 2.13 Sei ( n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dnn gilt: 1. lim n lim n. 2. Flls lim n = lim n, dnn ist ( n ) konvergent, und lim n = lim n = lim n. 3. lim n und lim n sind Häufungspunkte von ( n ). 4. Ist L R ein Häufungspunkt von ( n ), so ist lim n L lim n. (D.h.: lim n bzw. lim n sind der kleinste bzw. der größte Häufungspunkt von ( n ).) Stz 2.14 (Stz von Bolzno-Weierstrß) Sei (x n ) n N eine beschränkte Folge in K = R oder C. Dnn ht (x n ) eine konvergente Teilfolge. Definition 2.15 ˆR := R {, } ist eine geordnete Menge mit der Ordnung: < x < für lle x R. Stz 2.16 Sei X ˆR eine beliebige Teilmenge. Dnn ht X ein Infimum und ein Supremum in ˆR. Definition 2.17 Sei ( n ) n N eine Folge in R. Mn sgt lim n =, flls gilt: Mn sgt lim n =, flls gilt: C R n 0 N n N, n n 0 = n > C. C R n 0 N n N, n n 0 = n < C. Sei ( n ) n N eine Folge in R. Definiert mn die Mengen A n R wie in Definition 2.12, so existiert s n := sup(a n ) ˆR und s n := inf(a n ) ˆR. Dher existieren lim n := lim s n und lim n := s n in ˆR, selbst wenn ( n ) nicht beschränkt ist. Stz 2.18 Sei ( n ) n N eine beliebige Folge in R. Dnn gelten lle Folgerungen von Stz 2.13 uch für den Fll lim n,lim n ˆR. Außerdem sind lim n,lim n ˆR Häufungspunkte, d.h. ist lim n = ±, oder lim n = ±, so gibt es eine Teilfolge von ( n ), die gegen ± konvergiert. Stz 2.19 (Grenzwertsätze) Seien ( n ) n N, (b n ) n N Folgen in R. Dnn gilt: 1. Ist lim n = und lim b n >, so ist lim( n + b n ) =. 2. Ist lim n = und lim b n <, so ist lim( n + b n ) =. 3. Ist lim n = ± und lim b n > 0, so ist lim( n b n ) = ±. 4. Ist lim n = ± und lim b n < 0, so ist lim( n b n ) =. 5. Ist lim n =, so ist lim 1 n = 0. Definition 2.20 Sei ( n ) n N eine Folge in K = R oder C. ( n ) heißt Cuchyfolge, flls gilt: ε > 0 n 0 N, n,m N, n,m n 0 = n m < ε. 8

9 Stz 2.21 Sei ( n ) n N eine Folge in K = R oder C. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: 1. ( n ) konvergiert, 2. ( n ) ist eine Cuchyfolge. Definition 2.22 Sei ( n ) n N eine Folge in K = R oder C. Die zu ( n ) gehörige Reihe ist die Folge (s n ) n N, wobei s n := n k=1 k. Mn sgt, die Reihe konvergiert, flls (s n ) konvergiert. Den Grenzwert nennt mn den Wert der Reihe, und er wird ls n bezeichnet. Stz 2.23 Seien ( n ) n N und (b n ) n N Folgen in in K = R oder C, und sei c K. Dnn gilt: 1. Flls n und b n konvergieren, dnn uch ( n + b n ), und es gilt: ( n + b n ) = n + b n. 2. Flls n konvergiert, dnn uch (c n), und es gilt: (c n ) = c n. Stz 2.24 (Cuchykriterium) Sei ( n ) n N eine Folge in K = R oder C. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: 1. n konvergiert, 2. ε > 0, n 0 N, n,k N, n n 0 = n+k j=n+1 j < ε. Stz 2.25 (Nullfolgenkriterium) Sei ( n ) n N eine Folge in K = R oder C. Wenn n konvergiert, dnn ist ( n ) eine Nullfolge. Stz 2.26 (Geometrische Reihe) Sei q K, wobei K = R oder C. Dnn heißt die Reihe n=0 qn = 1 + q + q 2 + q die Geometrische Reihe. 1. Flls q < 1, dnn konvergiert die Geometrische Reihe, und 2. Flls q 1, dnn divergiert die Geometrische Reihe. Stz Die Reihe 1. Die Hrmonische Reihe 1 n divergiert. 1 konvergiert für lle k N mit k 2. nk n=0 q n = 1 1 q. 9

10 Stz 2.28 (Leibnitzkriterium) Sei ( n ) n N eine monoton fllende Nullfolge. Dnn konvergiert die lternierende Reihe ( 1) n+1 n = Stz 2.29 (Absoluter Konvergenztest) Sei ( n ) n N eine Folge in K = R oder C. Flls konvergiert, so konvergiert uch n. n Definition 2.30 Sei ( n ) n N eine Folge in K = R oder C. Die Reihe n heißt bsolut konvergent, flls n konvergiert. Sie heißt reltiv konvergent oder bedingt konvergent, flls konvergiert, ber n divergiert. Demnch besgt lso der Absolute Vergleichstest, dß jede bsolut konvergente Folge uch konvergent ist. n Stz 2.31 (direktes Vergleichskriterium) Sei ( n ) n N eine Folge in K = R oder C und (b n ) n N eine Folge in R mit b n 0 für lle n N. 1. Flls n b n für lle n N und 2. Flls n b n für lle n N und b n konvergiert, so konvergiert n bsolut. b n divergiert, dnn divergiert uch n. Stz 2.32 (Quotientenvergleichstest) Sei ( n ) n N eine Folge in K = R oder C und (b n ) n N eine Folge in R mit b n > 0 für lle n N. 1. Flls lim n b n 2. Flls lim n b n < und > 0 und b n konvergiert, so konvergiert n bsolut. b n divergiert, dnn divergiert uch Stz 2.33 (Wurzelkriterium) Sei ( n ) n N eine Folge in K = R oder C. 1. Flls lim n n < 1, dnn konvergiert 2. Flls lim n n > 1, dnn divergiert n bsolut. n. n. 10

11 Stz 2.34 (Quotientenkriterium) Sei ( n ) n N eine Folge in K = R oder C mit n 0 für lle n N. 1. Flls lim n+1 n < 1, dnn konvergiert n bsolut. 2. Flls lim n+1 n > 1, dnn divergiert n. Definition 2.35 Sei ( n ) n N0 eine Folge in K = R oder C. Die zu dieser Folge gehörige Potenzreihe ist die Reihe n x n = x + 2 x n=0 Definition 2.36 Sei ( n ) n N eine Folge in K = R oder C. Der Konvergenzrdius ρ der zugehörigen Potenzreihe ist definiert ls ρ :=, flls lim n n = 0, 0, flls lim n n =, 1 lim n n sonst. Stz 2.37 Sei ( n ) n N eine Folge in K = R oder C, und sei ρ der Konvergenzrdius der zugehörigen Potenzreihe. 1. Für lle x K mit x < ρ konvergiert n x n = x + 2 x bsolut. 2. Für lle x K mit x > ρ divergiert n=0 n x n = x + 2 x n=0 Definition 2.38 Die Potenzreihe n=0 1 n! xn heißt Exponentilreihe. Sie ht Konvergenzrdius ρ =, d.h. sie konvergiert für lle x K. Wir definieren den Wert dieser Reihe ls exp(x) := n=0 1 n! xn = 1 + x + 1 2! x ! x Definition 2.39 Sei x R, x 0. Eine Dezimlentwicklung von x ist eine Folge (z n ) n=n 0 in Z := {0,1,...,9} für ein n 0 Z, so dß x = n=n 0 z n 10 n, z n0 0. Stz Jedes x R, x 0 ht eine Dezimlentwicklung. 11

12 2. Jedes x R, x 0 ht höchstens zwei Dezimlentwicklungen. In der Tt ht x R zwei Dezimlentwicklungen genu dnn, wenn k N mit 10 k x N. Sind in diesem Flle x = z n 10 n = z n 10 n n=n 0 n=n 0 die beiden Dezimlentwicklungen von x, so gibt es ein k Z, k n 0 mit der Eigenschft: () z n = z n für lle n < k. (b) z k = z k + 1. (c) für lle n > k gilt: z n = 0 und z n = 9. Stz 2.41 (Cuchyprodukt) Seien ( n ) n N0 und (b n ) n N0 Folgen in K = R oder C, so dß die zugehörigen Reihen bsolut konvergieren. Definiere c n := i+j=n ib j = n i=0 ib n i für n N 0. Dnn ist c n bsolut konvergent, und es gilt: n=0 ( ) ( ) n b n = n=0 n=0 c n. n=0 Stz 2.42 Für lle x, y C gilt: exp(x + y) = exp(x) exp(y). Stz 2.43 (Umordnungsstz) Sei ( n ) n N eine Folge in K = R oder C, so dß die zugehörige Reihe bsolut konvergiert. Dnn konvergiert jede Umordnung der Reihe gegen den gleichen Wert, d.h.: Ist ϕ : N N eine bijektive Abbildung, so gilt: ϕ(n) = n. Bemerkung 2.44 Ist ( n ) n N eine Folge in R so dß die zugehörige Reihe bedingt konvergiert, so knn mn zeigen, dß es für jedes C R eine Umordnung gibt, so dß ϕ(n) = C. D.h.: Durch Umordnung einer bedingt konvergenten Reihe knn jeder Wert ngenommen werden. 3 Stetigkeit Definition 3.1 Sei X K, K = R oder C. Ein Element K heißt Häufungspunkt von X, flls es eine Folge (x n ) n N in X gibt, so dß lim x n = und x n für lle n N. Ist X R, so sgt mn, dß ein Häufungspunkt von X ist, flls X nicht nch oben beschränkt ist. Ist X R, so sgt mn, dß ein Häufungspunkt von X ist, flls X nicht nch unten beschränkt ist. Definition 3.2 Sei X K und f : X K eine Funktion. Sei K ein Häufungspunkt von X. Mn sgt lim x f(x) existiert, flls L K, ε > 0, δ > 0, x X,0 < x < δ = f(x) L < ε. In diesem Flle nennt mn L den Grenzwert, und schreibt L = lim x f(x). 12

13 Flls lim x f(x) existiert, so ist der Grenzwert eindeutig bestimmt. Definition 3.3 Sei X R, f : X R. Mn sgt: 1. lim x f(x) =, flls C R, δ > 0, x X,0 < x < δ = f(x) > C. 2. lim x f(x) =, flls C R, δ > 0, x X,0 < x < δ = f(x) < C. 3. lim x f(x) = L, flls ε > 0, C R, x X,x > C = f(x) L < ε. 4. lim x f(x) = L, flls ε > 0, C R, x X,x < C = f(x) L < ε. 5. lim x f(x) =, flls C 1 R, C 2 R, x X,x > C 2 = f(x) > C lim x f(x) =, flls C 1 R, C 2 R, x X,x > C 2 = f(x) < C lim x f(x) =, flls C 1 R, C 2 R, x X,x < C 2 = f(x) > C lim x f(x) =, flls C 1 R, C 2 R, x X,x < C 2 = f(x) < C 1. Stz 3.4 Sei X K, f : X K und K ein Häufungspunkt von X, und sei L K. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: 1. L = lim x f(x) 2. Für jede Folge (x n ) n N in X mit lim x n = und x n für lle n N gilt: lim f(x n ) = L. Diese Äquivlenz gilt uch, wenn X R und = ± oder L = ±. Definition 3.5 Sei X R. Dnn heißt R 1. rechtsseitiger Häufungspunkt von X, flls ein Häufungspunkt von X (, ) ist, 2. linksseitiger Häufungspunkt von X, flls ein Häufungspunkt von X (, ) ist, 3. beidseitiger Häufungspunkt von X, flls sowohl ein rechtsseitiger ls uch ein linksseitiger Häufungspunkt von X ist. Definition 3.6 Seien X,Y beliebige Mengen und f : X Y eine Funktion. Sei Z X. Die Einschränkung von f uf Z ist die Funktion f Z : Z Y mit f Z (x) = f(x) für lle x Z. (D.h. f Z ist die gleiche Funktion mit verkleinertem Definitionsbereich). Definition 3.7 Sei X R, f : X R. 1. Ist R ein linksseitiger Häufungspunkt von X, so ist lim f(x) := lim f X (,)(x). x x 2. Ist R ein rechtsseitiger Häufungspunkt von X, so ist lim f(x) := lim f X (, )(x). x + x 13

14 Stz 3.8 Sei X R und R ein linksseitiger (bzw. rechtsseitiger) Häufungspunkt von X. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: 1. lim x f(x) = L (bzw. lim x + f(x) = L) 2. Für jede Folge (x n ) n N in X mit lim x n = und x n < (bzw. x n > ) gilt: lim f(x n ) = L. Stz 3.9 Sei X R, f : X R eine Funktion und R ein beidseitiger Häufungspunkt von X. Dnn existiert lim x f(x) genu dnn, wenn lim x f(x) und lim x + f(x) beide existieren und gleich sind. In diesem Flle ist lim x f(x) = lim x ± f(x). Definition 3.10 Sei X R, f : X R eine Funktion und R ein Häufungspunkt von X. L ˆR heißt Häufungswert von f bei, flls es eine Folge (x n ) n N in X gibt mit lim x n =, x n für lle n N und L = lim f(x n ). Wir definieren lim x f(x) := sup{l L ist Häufungswert von f bei } ˆR, lim x f(x) := inf{l L ist Häufungswert von f bei } ˆR. Stz 3.11 Sei X R, f : X R eine Funktion und R ein Häufungspunkt von X. Dnn gilt lim x f(x) lim x f(x). Außerdem existiert lim x f(x) genu dnn, wenn lim x f(x) = lim x f(x), und in diesem Fll ist lim x f(x) = lim x f(x) = lim x f(x). Bemerkung 3.12 Der vorstehende Stz gilt uch, flls = ± oder flls lim x,lim x = ±. Stz 3.13 (Grenzwertsätze; vgl Stz 2.8) Sei X K, wobei K = R oder C, und seien f,g : X K Funktionen. Sei K ein Häufungspunkt von X. Dnn gilt: 1. lim x (f ± g)(x) = lim x f(x) ± lim x g(x), 2. lim x (fg)(x) = (lim x f(x))(lim x g(x)), 3. lim x (cf)(x) = clim x f(x) 4. Flls g(x) 0 für lle x X und lim x g(x) 0, so ist lim x f g (x) = lim x f(x) lim x g(x). Bemerkung 3.14 Es gelten uch die Grenzwertsätze für Grenzwerte ±. Diese sind vollkommen nlog zu denen in Stz 2.19 Definition 3.15 Sei X K mit K = R oder C, sei f : X K eine Funktion und sei X. Dnn heißt f stetig in, flls gilt: ε > 0, δ > 0, x X, x < δ = f(x) f() < ε. f heißt stetig, flls f stetig in ist für lle X. Stz 3.16 Sei X K mit K = R oder C, sei f : X K eine Funktion und sei X. Dnn gilt: 1. Flls ein Häufungspunkt von X ist, so ist f stetig in genu dnn, wenn lim x f(x) = f(). 14

15 2. Flls kein Häufungspunkt von X ist, dnn ist f stetig in (vgl. Husufgbe 4.d, Bltt 9). Stz 3.17 Sei X K mit K = R oder C, sei f : X K eine Funktion und sei X. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: 1. f ist stetig in, 2. Für jede Folge (x n ) n N in X mit lim x n = gilt: f() = lim f(x n ). D.h.: Eine Funktion ist stetig genu dnn, wenn f(lim x n ) = lim f(x n ), d.h. flls f mit Grenzwerten vertuschbr ist. Stz 3.18 Sei X K mit K = R oder C, sei c K und X. 1. Sind f,g : X K stetig in, dnn sind uch f ± g, cf, fg und f g flls g(x) 0 für lle x X). stetig in (letzteres nur, 2. Sind f,g : X K stetig in, dnn uch f g und f g, wobei (f g)(x) := mx(f(x),g(x)) und (f g)(x) := min(f(x),g(x)). 3. Seien f : X K und g : Y K, wobei Y K so gewählt ist, dß f(x) Y für lle x X. Flls f stetig in X und g stetig in f() Y ist, dnn ist uch (g f) : X K stetig in. Definition 3.19 Sei X K mit K = R oder C. Dnn heißt X 1. bgeschlossen, flls gilt: Ist K ein Häufungspunkt von X, dnn ist X. 2. offen, flls K\X bgeschlossen ist. 3. kompkt, flls gilt: Für jede Folge (x n ) n N in X existiert eine konvergente Teilfolge (x ϕ(n) ) mit lim x ϕ(n) X. Definition 3.20 Sei x K = R oder C und r > 0. Dnn ist B r (x) := {y K y x < r}. Stz 3.21 Sei X K, K = R oder C. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: 1. X ist offen, 2. x X, ε > 0,B ε (x) X. Stz 3.22 Sei X K, K = R oder C. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: 1. X ist kompkt, 2. X ist beschränkt und bgeschlossen. Definition 3.23 Sei X K, K = R oder C. Dnn heißt Y X 1. offen in X oder offen reltiv zu X, flls es eine offene Teilmenge U K gibt, so dß Y = X U. 15

16 2. bgeschlossen in X oder bgeschlossen reltiv zu X, flls es eine bgeschlossene Teilmenge A K gibt, so dß Y = X A. Stz 3.24 Sei X K, K = R oder C und Y X. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: 1. Y ist offen in X, 2. y Y, ε > 0,B ε (y) X Y. Definition 3.25 Seien X, Y beliebige Mengen und f : X Y eine Funktion. 1. Für Z Y heißt f 1 (Z) := {x X f(x) Z} X ds Urbild von Z (unter f). 2. Für W X heißt f(w) := {f(x) x W } Y ds Bild von W (unter f). Stz 3.26 Sei X K, K = R oder C und f : X K eine Funktion. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: 1. f ist stetig, 2. Ist U K offen, dnn ist f 1 (U) offen in X. Ds heißt: f ist stetig genu dnn, wenn Urbilder offener Mengen offen sind. Stz 3.27 Sei X K kompkt, K = R oder C und f : X K eine stetige Funktion. Dnn ist f(x) kompkt. Ds heißt: Stetige Bilder kompkter Mengen sind kompkt. Definition 3.28 Sei X R und f : X R eine Funktion. 1. x 0 R heißt bsolutes Mximum von f (bzw. bsolutes Minimum von f), flls gilt: x X,f(x) f(x 0 ) (bzw. f(x) f(x 0 )). 2. x 0 R heißt echtes bsolutes Mximum von f (bzw. echtes bsolutes Minimum von f), flls gilt: x X,x x 0 f(x) < f(x 0 ) (bzw. f(x) > f(x 0 )). 3. x 0 R heißt reltives oder lokles Mximum von f (bzw. reltives oder lokles Minimum von f), flls ε > 0, so dß x 0 bsolutes Mximum (bzw. bsolutes Minimum) von f Bε(x) X ist. 4. x 0 R heißt echtes reltives oder echtes lokles Mximum von f (bzw. echtes reltives oder echtes lokles Minimum von f), flls ε > 0, so dß x 0 echtes bsolutes Mximum (bzw. echtes bsolutes Minimum) von f Bε(x) X ist. Stz 3.29 Sei X R kompkt und f : X R stetig. Dnn ht f ein bsolutes Mximum und ein bsolutes Minimum. Stz 3.30 (Zwischenwertstz) Sei f : [, b] R eine stetige Funktion, und sei η (f(),f(b)) (f(b),f()). Dnn gibt es ein ξ (,b) mit f(ξ) = η. Stz 3.31 Sei I R ein Intervll und f : I R stetig. Dnn ist f(i) R ebenflls ein Intervll. Ds heißt: Stetige Bilder von Intervllen sind Intervlle. 16

17 Stz 3.32 Sei X R und f : X R eine monotone Funktion. Dnn gilt: 1. Ist X ein linksseitiger Häufungspunkt von X, so existiert f( ) := lim x f(x). Flls f monoton steigt, so gilt: f( ) f() und f(x) f( ) für lle x X mit x. Flls f monoton fällt, so gilt: f( ) f() und f(x) f( ) für lle x X mit x. 2. Ist X ein rechtsseitiger Häufungspunkt von X, so existiert f( + ) := lim x + f(x). Flls f monoton steigt, so gilt: f() f( + ) und f( + ) f(x) für lle x X mit x. Flls f monoton fällt, so gilt: f() f( + ) und f( + ) f(x) für lle x X mit x. Stz 3.33 Sei X R und f : X R eine monotone Funktion. Dnn ist die Menge { X f ist nicht stetig in } bzählbr. Stz 3.34 Sei X R und f : X R streng monoton. Sei Y := f(x) R. Dnn ist f : X Y bijektiv, und die Umkehrfunktion f 1 : Y X ist ebenflls streng monoton. Stz 3.35 Sei I R ein Intervll und f : I R streng monoton und stetig. Sei J := f(i) R. Dnn ist f 1 : J I ebenflls stetig. (Außerdem ist J R ein Intervll nch Stz 3.31 und f ist streng monoton nch Stz 3.34.) Stz 3.36 Für jedes n N und x R, x 0 gibt es genu eine Zhl n x 0 mit ( n x) n = n x n = x. Die Funktion f : [0, ) [0, ), x n x ist streng monoton steigend und stetig. Ist n N ungerde, so gibt es für jedes x R (lso uch für x < 0) genu eine Zhl n x R mit ( n x) n = n x n = x. In diesem Flle ist die Funktion f : R R, x n x streng monoton steigend und stetig. Stz 3.37 Sei ( n ) n N eine Folge in K = R oder C und sei ρ [0, ] der Konvergenzrdius der zugehörigen Potenzreihe n=0 nx n. Dnn ist die Funktion stetig. f : B ρ (0) K x n=0 nx n Stz 3.38 Die Funktion exp : R R, exp(x) := n=0 1 n! xn ist streng monoton steigend und stetig. Es gilt: lim x exp(x) = und lim x exp(x) = 0. Dher ist exp(r) = (0, ). Definition 3.39 Die Umkehrfunktion der Exponentilfunktion heißt ntürlicher Logrithmus und wird ls ln : (0, ) R bezeichnet. Also ist ln chrkterisiert durch die Gleichungen ln(exp(x)) = x für lle x R und exp(ln(x)) = x für lle x (0, ). Stz ln 1 = 0, 2. ln(xy) = ln x + ln y für lle x,y R, 3. ln : (0, ) R ist stetig und streng monoton steigend, 17

18 4. lim x 0 ln x = und lim x ln x =. Definition 3.41 Seien,p R, > 0. Dnn ist p := exp(p ln ). Stz 3.42 Für lle,b,p,q R mit,b > 0 gilt: 1. 0 = 1, 1 =, 1 p = 1, 2. p+q = p q 3. p = 1 p, 4. ( p ) q = pq. 5. (b) p = p b p, 6. Für n,m N gilt: 7. exp(p) = e p, wobei e := exp(1). n m = m n = ( m ) n, und n m = 1 m n = 1 ( m ) n, Stz Sei p R. Die Potenzfunktion mit Exponent p ist gegeben durch f : (0, ) R, x x p und ist stetig. Ist p 0, so ist f((0, )) = (0, ). Flls p > 0, so ist f streng monoton steigend; flls p < 0, so ist f streng monoton fllend. 2. Sei > 0. Die Exponentilfunktion mit Bsis ist gegeben durch f : R R, x x und ist stetig. Flls 1, so ist f(r) = (0, ). 3. Flls > 1, so ist (x x ) streng monoton steigend, und lim x x = 0, lim x x =. 4. Flls 0 < < 1, so ist (x x ) streng monoton fllend, und lim x x =, lim x x = 0. Definition 3.44 Sei R, > 0, 1. Die Umkehrfunktion der Exponentilfunktion x heißt Logrithmusfunktion zur Bsis und wird mit log : (0, ) R bezeichnet. Also ist log chrkterisiert durch die Gleichungen log ( x ) = x für lle x R und log (x) = x für lle x (0, ). Stz 3.45 Sei R, > 0, 1. Dnn gilt für lle x,y,p R mit p > 0: 1. log x = ln x ln ; insbesondere log e x = ln x. 2. log (xy) = log x + log y. 3. log (x p ) = p log x. 4. log : (0, ) R ist stetig. 18

19 5. Flls > 1, so ist lim x log x = und lim x log x =. Außerdem ist log streng monoton steigend. 6. Flls 0 < < 1, so ist lim x log x = und lim x log x =. Außerdem ist log streng monoton fllend. Definition 3.46 Sei X K, K = R oder C. Eine Funktion f : X K heißt gleichmäßig stetig, flls gilt: ε > 0, δ > 0, x,y X, y x < δ = f(y) f(x) < ε. Stz 3.47 Sei X K, K = R oder C, und f : X K eine gleichmäßig stetige Funktion. Dnn ist f stetig. Stz 3.48 Sei X K, K = R oder C, eine kompkte Teilmenge, und sei f : X K eine stetige Funktion. Dnn ist f uch gleichmäßig stetig. (D.h.: Auf kompkten Teilmengen ist gleichmäßige Stetigkeit und Stetigkeit äquivlent.) 4 Differenzierbrkeit Definition 4.1 Sei X K, K = R oder C, x 0 X ein Häufungspunkt von X, und f : X K eine Funktion. f heißt differenzierbr in x 0 flls der Grenzwert f (x 0 ) := lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 existiert. In diesem Flle heißt f (x 0 ) die Ableitung von f in x 0. Weiterhin heißt f differenzierbr, flls f differenzierbr in x 0 ist für lle x 0 X. In diesem Flle heißt die Funktion f : X K die Ableitung von f. Stz 4.2 Sei X K, K = R oder C, x 0 X ein Häufungspunkt, und f : X K eine Funktion. Flls f differenzierbr in x 0 ist, dnn ist f uch stetig in x 0. Stz 4.3 Sei X K und x 0 X ein Häufungspunkt, f,g : X K zwei Funktionen, und c K. Wenn f und g beide differenzierbr in x 0 sind, dnn gilt: 1. f ± g ist differenzierbr in x 0, und (f ± g) (x 0 ) = f (x 0 ) ± g (x 0 ), 2. cf ist differenzierbr in x 0, und (cf) (x 0 ) = c f (x 0 ), 3. fg ist differenzierbr in x 0, und (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ) (Produktregel oder Leibnizregel) ( ) f 4. f/g differenzierbr in x 0, und (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g g(x 0 ) 2 (Quotientenregel). Dies gilt ntürlich nur, wenn f/g definiert ist, d.h. flls g(x) 0 für lle x X. Stz 4.4 Sei ( n ) n N eine Folge in K = R oder C und sei ρ (0, ] der Konvergenzrdius der zugehörigen Potenzreihe n=0 nx n. Dnn gilt: 19

20 1. Die Potenzreihe n nx n 1 = n=0 (n + 1) n+1x n ht ebenflls Konvergenzrdius ρ. 2. Die Funktion ist differenzierbr. f : B ρ (0) K x n=0 nx n 3. Es gilt: f (x) = n nx n 1 für lle x B ρ (0). Beispiel 4.5 Die Funktion exp : K K ist differenzierbr, und es gilt exp (x) = exp(x) für lle x K. Stz 4.6 Seien X,Y K, K = R oder C, und seien f : X Y und g : Y K zwei Funktionen. Flls f differenzierbr in x 0 X und g differenzierbr in y 0 := f(x 0 ) ist, dnn ist uch g f : X K differenzierbr in x 0, und es gilt (g f) (x 0 ) = g (y 0 )f (x 0 ). (Kettenregel) Stz 4.7 (Ableitung der Umkehrfunktion) Sei I R ein Intervll und f : I R eine streng monotone, stetige Funktion. Sei J := f(i) R, und f 1 : J I R die Umkehrfunktion von f. Sei x 0 J und y 0 := f 1 (x 0 ) I. Wenn f differenzierbr in y 0 ist und f (y 0 ) 0, dnn ist uch f 1 differenzierbr in x 0, und es gilt ( f 1 ) (x0 ) = 1 f (y 0 ). Beispiel 4.8 Folgende Funktionen sind differenzierbr: 1. ln : (0, ) R, und es gilt: ln (x) = 1 x. 2. log : (0, ) R für festes > 0, 1, und es gilt: log (x) = 1 ln x. 3. f : R R, f(x) = x für festes > 0, und es gilt: f (x) = ln x. 4. f : (0, ) R, f(x) = x p für festes p R, und es gilt: f (x) = px p 1. Definition 4.9 Sei X K und f : X K eine Funktion. Ein Punkt x 0 X heißt kritischer Punkt von f flls f differenzierbr in x 0 und f (x 0 ) = 0 ist. Stz 4.10 Sei X R und f : X R eine Funktion. Sei x 0 R ein beidseitiger Häufungspunkt. Flls x 0 ein lokles Extremum (d.h. ein lokles Mximum oder ein lokles Minimum, cf. Definition 3.28) und f differenzierbr in x 0 ist, dnn ist x 0 ein kritischer Punkt, d.h. f (x 0 ) = 0. Stz 4.11 (Stz von Rolle) Sei f : [,b] R eine stetige Funktion, die in (,b) differenzierbr ist, und es gelte f() = f(b). Dnn ht f einen kritischen Punkt im Intervllinneren, d.h. ξ (,b) mit f (ξ) = 0. Stz 4.12 (Mittelwertsätze) Seien f, g : [, b] R zwei stetige Funktionen, die in (, b) differenzierbr sind. Ferner sei g (x) 0 für lle x (,b). Dnn gilt: 20

21 1. Es gibt ein ξ (,b) mit f (ξ) = 2. Es gibt ein ξ (,b) mit f (ξ) g (ξ) f(b) f(). b = f(b) f() g(b) g(). Stz 4.13 Sei I R ein Intervll und f : I R eine differenzierbre Funktion. 1. f ist monoton steigend genu dnn, wenn f (x) 0 für lle x I. 2. f ist monoton fllend genu dnn, wenn f (x) 0 für lle x I. 3. Wenn f (x) > 0 für lle x I, dnn ist f streng monoton steigend. 4. Wenn f (x) < 0 für lle x I, dnn ist f streng monoton fllend. Stz 4.14 (Regeln von de l Hôpitl) Sei I R ein Intervll und seien f,g : I R differenzierbre Funktionen. Sei x 0 ˆR ein Häufungspunkt von I (lso x 0 = ± ist möglich). f (x) Flls lim x x 0 g existiert, und flls entweder (x) 1. lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = 0, oder 2. lim x x0 f(x) = ± und lim x x0 g(x) = ±, dnn gilt: f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). Stz 4.15 Sei I R ein Intervll und f : I R eine n-ml differenzierbre Funktion, und sei x 0 I. Dnn gibt es genu ein Polynom T x 0 n vom Grd n mit der Eigenschft: Dieses Polynom ist durch die Formel (T x 0 n )(k) (x 0 ) = f (k) (x 0 ) für k = 0,...,n. n T x 0 n (x) = 1 k! f(k) (x 0 )(x x 0 ) k k=0 gegeben, und wird ls ds n-te Tylorpolynom von f entwickelt n der Stelle x 0 bezeichnet. Hierbei gilt die Konvention f (0) = f. Stz 4.16 (Stz von Tylor) Sei I R ein Intervll und f : I R eine (n+1)-ml differenzierbre Funktion. Sei T x 0 n ds n-te Tylorpolynom, und sei R x 0 n (x) := f(x) T x 0 n (x) ds n-te Restglied von f in x 0. Dnn gibt es für jedes x I, x x 0 ein ξ (x 0,x) (x,x 0 ), so dß gilt: R x 1 0 n (x) = (n + 1)! f(n+1) (ξ)(x x 0 ) n+1, und dher f(x) = n k=0 1 k! f(k) (x 0 )(x x 0 ) k 1 + (n + 1)! f(n+1) (ξ)(x x 0 ) n+1. 21

22 Definition 4.17 Sei I R ein Intervll und f : I R beliebig oft differenzierbr und x 0 I. Die Potenzreihe T x 0 (x) := n=0 1 n! f(n) (x 0 )(x x 0 ) n = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + 1 2! f (x 0 )(x x 0 ) ! f (x 0 )(x x 0 ) heißt Tylorreihe von f im Punkte x 0. Stz 4.18 Sei I R ein Intervll und f : I R eine beliebig oft differenzierbre Funktion, und sei x 0 I ein innerer Punkt (d.h. ein beidseitiger Häufungspunkt). Flls es ein ε > 0 und ein C > 0 gibt, so dß für lle x (x 0 ε,x 0 + ε) und lle n N gilt: f (n) (x) n!c n, dnn gilt für lle x (x 0 δ,x 0 + δ), wobei δ := min{ε,c 1 }, T x 0 (x) = f(x). Insbesondere konvergiert T x 0 uf (x 0 δ,x 0 + δ). Stz 4.19 Sei I R ein Intervll, x 0 I und seien f,g : I R zwei n-ml differenzierbre Funktionen. Bezeichnet mn die Tylorploynome von f bzw. g mit T f,x 0 n bzw. T g,x 0 n, so gilt für die Tylorpolynome von f ± g bzw. f g: T f±g,x 0 n = T f,x 0 n ± T g,x 0 n T fg,x 0 n = T f,x 0 n T g,x 0 n mod (x x 0 ) n+1. In der zweiten Zeile ist hierbei folgendes gemeint: ist ds Produkt T f,x 0 n T g,x 0 n = (x x 0 ) n (x x 0 ) 2n, so ist T fg,x 0 n = (x x 0 )+...+ n (x x 0 ) n die Summe der ersten (n+1) Summnden dieses Produktes. Definition 4.20 Eine Funktion f : I R heißt stetig differenzierbr, flls f differenzierbr und die Ableitung f : I R stetig ist. Stz 4.21 Sei I R ein Intervll und f : I R n-ml stetig differenzierbr (d.h. f (n) : I R ist stetig). Sei x 0 I ein innerer Punkt (d.h. ein beidseitiger Häufungspunkt) von I und es gelte 1. Sei n gerde. Dnn ist x 0 ein f (k) (x 0 ) = 0 für k = 1,...,n 1, ber f (n) (x 0 ) 0. () lokles Mximum von f, flls f (n) (x 0 ) < 0, (b) lokles Minimum von f, flls f (n) (x 0 ) > Sei n ungerde. Dnn ist x 0 weder ein lokles Mximum noch ein lokles Minimum von f. 22

23 Definition 4.22 Definiere die trigonometrischen Funktionen sin : C C und cos : C C durch sin x := 1 2i (exp(ix) exp( ix)) und cos x := 1 (exp(ix) + exp( ix)). 2 Stz 4.23 Es gilt für lle x C: sin x = n=0 ( 1) n (2n + 1)! x2n+1 = x 1 3! x ! x5 1 7! x cos x = n=0 Insbesondere ist sin x,cos x R flls x R. ( 1) n (2n)! x2n = 1 1 2! x ! x4 1 6! x Stz 4.24 sin und cos sind differenzierbre Funktionen, und es gilt: sin = cos und cos = sin. Stz 4.25 Für lle x,y C gilt: 1. sin( x) = sin x und cos( x) = cos x, 2. sin 2 x + cos 2 x = 1, 3. exp(ix) = cos x + isin x, 4. sin(x + y) = sinxcos y + cos xsin y 5. cos(x + y) = cos xcos y sinxsin y. Stz 4.26 Sei π := 2inf{x R x > 0 und cos x = 0}. Dnn ist π > Wir hben die folgende Wertetbelle: x 0 π/2 π 3π/2 2π sin x cos x sin und cos sind 2π-periodisch, d.h. x R gilt: sin(x + 2π) = sin x und cos(x + 2π) = cos x. 3. sin ist streng monoton steigend uf [0,π/2] und [3π/2,2π] und streng monoton fllend uf [π/2, 3π/2]. 4. cos ist streng monoton fllend uf [0,π] und streng monoton steigend uf [π,2π]. Stz 4.27 Sei z C, z 0. Dnn gibt es genu eine Konstnte ρ > 0 und ein θ [0,2π), so dß z = ρexp(iθ) = ρ(cos θ + isin θ). Diese Drstellung heißt Polrdrstellung von z. Es ist ρ = z, und θ heißt ds Argument von z. Sind z = ρ 1 exp(iθ 1 ) und w = ρ 2 exp(iθ 2 ) zwei komplexe Zhlen, so gilt zw = (ρ 1 ρ 2 )exp(i(θ 1 + θ 2 )), d.h. bei der Multipliktion komplexer Zhlen multipliziert mn die Beträge und ddiert die Argumente (wobei ds Argument von zw uch θ 1 + θ 2 2π sein knn). 23

24 Definition 4.28 Die Umkehrfunktionen der streng monotonen Funktionen sin [ π/2,π/2] : [ π/2,π/2] [ 1,1] und cos [0,π] : [0,π] [ 1,1] heißen rcsin : [ 1,1] [ π/2,π/2] und rccos : [ 1,1] [0,π]. Stz rcsin : [ 1, 1] [ π/2, π/2] ist streng monoton steigend und stetig. Außerdem ist rcsin differenzierbr uf ( 1,1), und es gilt rcsin (x) = 1 1 x rccos : [ 1, 1] [0, π] ist streng monoton fllend und stetig. Außerdem ist rccos differenzierbr uf ( 1,1), und es gilt rccos 1 (x) =. 1 x 2 Definition 4.30 Der Tngens ist die Funktion Stz 4.31 Es gilt: { π } tn : R\ 2 + nπ n Z R, tn(x) = sin x cos x. 1. tn ist differenzierbr, und es gilt tn (x) = 1 cos 2 x. 2. lim x π + tn x = und lim 2 x π tn x = tn ( π/2,π/2) : ( π/2,π/2) R ist streng monoton steigend und bijektiv. 4. Bezeichne die Umkehrfunktion von tn ( π/2,π/2) ls rctn : R ( π/2,π/2). rctn ist streng monoton steigend und differenzierbr, und es gilt: rctn (x) = x 2. Definition 4.32 Sei I R ein Intervll. Eine Funktion f : I R heißt konvex, f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y). flls x,y I mit x y streng konvex, f(tx + (1 t)y) < tf(x) + (1 t)f(y). konkv, f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y). und t (0,1) gilt: streng konkv, f(tx + (1 t)y) > tf(x) + (1 t)f(y). Anschulich bedeutet dies: 1. Wenn für lle x,y I, x y die Strecke zwischen den Punkten (x,f(x)) und (y,f(y)) (echt) oberhlb des Grphen von f liegt, dnn ist f (streng) konvex. 2. Wenn für lle x,y I, x y die Strecke zwischen den Punkten (x,f(x)) und (y,f(y)) (echt) unterhlb des Grphen von f liegt, dnn ist f (streng) konkv. 24

25 Stz 4.33 Sei I R ein Intervll und f : I R differenzierbr. 1. Wenn f : I R (streng) monoton steigend ist, dnn ist f (streng) konvex. 2. Wenn f : I R (streng) monoton fllend ist, dnn ist f (streng) konkv. Korollr 4.34 Sei I R ein Intervll und f : I R zweiml differenzierbr. 1. Wenn f (x) 0 für lle x I, dnn ist f konvex. 2. Wenn f (x) > 0 für lle x I, dnn ist f streng konvex. 3. Wenn f (x) 0 für lle x I, dnn ist f konkv. 4. Wenn f (x) < 0 für lle x I, dnn ist f streng konkv. 5 Integrle Definition 5.1 Seien,b R, < b. Eine Treppenfunktion uf [,b] ist eine Funktion τ : [,b] R, so dß es Zhlen t i R und c i R gibt, i = 0,...,n, mit = t 0 < t 1 <... < t n 1 < t n = b und so dß gilt: τ(x) = c i für lle x [t i 1,t i ), i = 1,...,n. Die Werte t i heißen die Sprungstellen von τ, und Tr [,b] bezeichnet die Menge ller Treppenfunktionen uf [,b]. Stz 5.2 Seien τ,σ Tr [,b] und k R. Dnn ist uch τ +σ Tr [,b] und kτ Tr [,b]. (Ds heißt: Tr [,b] ist ein Vektorrum über R). Außerdem sind für jedes c (,b) die Einschränkungen τ [,c] bzw. τ [c,b] Treppenfunktionen uf [,c] bzw. [c,b]. Definition 5.3 Sei τ : [,b] R eine Treppenfunktion mit Sprungstellen = t 0 <... < t n = b und τ [ti 1,t i ) = c i. Dnn ist ds Integrl von τ über [,b] definiert ls τ(x)dx := n c i (t i t i 1 ). Stz 5.4 Seien τ,σ Tr [,b], k R und c (,b). Dnn gilt: (τ + σ)(x)dx = i=1 (kτ)(x)dx = k τ(x)dx + τ(x)dx, σ(x)dx, 25

26 3. τ(x)dx = 4. Wenn τ 0, dnn folgt τ(x)dx 0, 5. 1dx = b. c τ(x)dx + c τ(x)dx, Definition 5.5 Sei f : [,b] R eine beschränkte Funktion (d.h. C R, x [,b], f(x) C). 1. Ds Riemnn-Oberintegrl von f ist definiert ls { } f(x)dx := inf τ(x)dx τ Tr [,b],τ f. 2. Ds Riemnn-Unterintegrl von f ist definiert ls { } f(x)dx := sup τ(x)dx τ Tr [,b],τ f. 3. f heißt Riemnn-integrierbr flls f(x)dx = f(x)dx. In diesem Flle ist ds (Riemnn-)Integrl von f definiert ls f(x)dx := f(x)dx = Stz 5.6 Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Dnn gilt f(x)dx f(x)dx. f(x)dx. Stz 5.7 Sei f : [,b] R eine beschränkte Funktion. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: 1. f ist Riemnn-integrierbr, 2. ε > 0 τ +,τ Tr [,b], so dß τ f τ + und (τ + τ )(x)dx < ε. 3. Es gibt Folgen (τ n +) n N und (τ n ) n N in Tr [,b] mit τ n f τ n + für lle n N, und lim (τn + τ n )(x)dx = 0. Sind diese Bedingungen erfüllt, so gilt für die Folgen (τ n ± ): f(x)dx = lim τ n (x)dx = lim τ n +(x)dx. Stz 5.8 Seien f,g : [,b] R Riemnn-integrierbre Funktionen, k R und c (,b). Dnn gilt: 26

27 1. f + g ist ebenflls Riemnn-integrierbr, und (f + g)(x)dx = 2. kf ist ebenflls Riemnn-integrierbr, und (kf)(x)dx = k f(x)dx + f(x)dx, 3. f [,c] und f [c,b] sind ebenflls Riemnn-integrierbr, und f(x)dx = 4. Wenn f 0, dnn folgt f(x)dx 0, c f(x)dx + c g(x)dx, f(x)dx, 5. Jede Treppenfunktion ist Riemnn-integrierbr, und der Wert des Riemnn-Integrls f(x)dx stimmt mit dem Wert des Integrls von Treppenfunktionen (im Sinne von Definition 5.3) überein. Bemerkung 5.9 Wegen Eigenschft 3. im vorstehenden Stz ist es sinnvoll, für eine Riemnnintegrierbre Funktion f : [, b] R zu definieren: f(x)dx := 0; b f(x)dx := f(x)dx. Mit dieser Vereinbrung gilt die Formel in 3. uch dnn, wenn c / (,b). Stz 5.10 Sei f : [, b] R stetig. Dnn ist f Riemnn-integrierbr. Stz 5.11 (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Sei f : [, b] R eine Riemnnintegrierbre Funktion. Definiere F : [, b] R durch Dnn gilt: 1. F ist stetig. F(x) := x f(t)dt. 2. Ist f stetig in x 0 [,b], so ist F differenzierbr in x 0 und F (x 0 ) = f(x 0 ). Definition 5.12 Sei I R ein Intervll und f : I R eine Funktion. Eine Stmmfunktion von f ist eine differenzierbre Funktion F : I R, so dß F = f. Korollr 5.13 Sei f : [,b] R stetig. Dnn ist F(x) := x f(t)dt eine Stmmfuntion von f. Stz 5.14 Sei I R ein Intervll und f : I R eine Funktion. Sind F,G : I R Stmmfunktionen von f, so gibt es ein C R, so dß für lle x I gilt: G(x) = F(x) + C. 27

28 Bemerkung 5.15 Wir führen folgende Schreibweisen ein: 1. Für eine stetige Funktion f : [,b] R bezeichne f(x)dx die (llgemeine) Stmmfunktion von f. Nch Stz 5.14 ist diese bis uf Addition einer Konstnten eindeutig bestimmt. 2. Für eine Funktion F : I R bezeichne F(x) b := F(b) F(). Korollr 5.16 Ist f : [,b] R stetig und F : [,b] R eine beliebige Stmmfunktion von f, so gilt f(x)dx = F(b) F() = F(x) b. Beispiel 5.17 Dies ist eine Liste von einigen elementren Stmmfunktionen: f(x) f(x)dx Einschränkungen x p 1 p+1 xp+1 + C p 1 1 x ln x + C für x 0 e x e x + C x 1 ln x > 0, 1 sin x cos x 1 1 x 2 cos x + C sinx + C rcsin x + C 1 1+x 2 rctn x + C Stz 5.18 (Prtielle Integrtion) Sei I R ein Intervll, f, g : I R stetig und g differenzierbr. Sei F : I R eine Stmmfunktion von f. Dnn gilt: f(x)g(x)dx = F(x)g(x) F(x)g (x)dx. Stz 5.19 (Integrtion durch Substitution) Seien I,J R Intervlle, f : I R stetig, F : I R eine Stmmfunktion von f und g : J I R differenzierbr. Dnn gilt für eine Konstnte C R: g (x)(f g)(x)dx = (F g)(x) + C Beispiel x 2 dx = 1 2 (rcsin x + x ) 1 x 2 + C. Insbesondere folgt drus, dß der Flächeninhlt der Einheitskreisscheibe π ist. 28

29 Definition Seien R, b ˆR, < b und f : [,b) R. Flls für jedes c (,b) c die Funktion f [,c] Riemnn-integrierbr ist und flls lim c b f(x)dx existiert, so heißt f uneigentlich (Riemnn-)integrierbr über [, b), und mn definiert f(x)dx := lim c b c f(x)dx. 2. Seien ˆR, b R, < b und f : (,b] R. Flls für jedes c (,b) die Funktion f [c,b] Riemnn-integrierbr ist und flls lim c + c f(x)dx existiert, so heißt f uneigentlich (Riemnn-)integrierbr über (,b], und mn definiert f(x)dx := lim c + c f(x)dx. 3. Seien,b ˆR, < b und f : (,b) R. Flls für ein c (,b) die Funktionen f (,c] und f [c,b) uneigentlich (Riemnn-)integrierbr sind, so heißt f uneigentlich (Riemnn-)integrierbr über (,b), und mn definiert f(x)dx := c f(x)dx + c f(x)dx. Flls f : I R für einen dieser Intervlltypen uf I uneigentlich integrierbr ist, so sgt mn uch, dß ds uneigentliche Integrl f(x)dx konvergiert. Bemerkung In der vorstehenden Formel für integrierbre Funktionen f : (, b) R ist der Wert der uneigentlichen Integrls f(x)dx unbhängig von der Whl von c (,b). 2. Ist f : I R wie oben, so ist f genu dnn uneigentlich integrierbr, flls für beliebiges c (,b) die Funktion F : I R, F(x) := x c f(t)dt stetig uf [,b] fortgesetzt werden knn, d.h. wenn die Grenzwerte lim x + F(x) und lim x b F(x) beide (in R) existieren. 3. Ist f : [,b] R eine Riemnn-integrierbre Funktion, so sind die Einschränkungen f [,b), f (,b] und f (,b) lle uneigentlich integrierbr, und der Wert des Integrls f(x)dx - betrchtet ls uneigentliches Integrl - stimmt mit dem Wert der Riemnn-Integrls f(x)dx überein. Dher ist es gerechtfertigt, für beide die gleiche Schreibweise zu verwenden. Stz 5.23 Sei I R ein Intervll der Form I = [,b) (bzw. I = (,b] bzw. I = (,b)), und sei f : I R, so dß für lle c (,b) f [,c] (bzw. f [c,b] ) Riemnn-integrierbr ist. Flls f(x) dx konvergiert, dnn konvergiert uch f(x)dx, und es gilt f(x)dx f(x) dx. Stz 5.24 (Vergleichstest) Seien f, g : I R wie im vorigen Stz. 1. Flls f g und g(x)dx konvergiert, dnn konvergiert uch f(x) dx und f(x)dx. 2. Flls 0 g f und g(x)dx divergiert, dnn divergiert uch f(x)dx. 29

30 Stz 5.25 (Integrltest) Sei f : [1, ) R eine monoton fllende (Riemnn-integrierbre) Funktion, f 0, und sei n := f(n) für lle n N. Dnn konvergiert die Reihe n genu dnn, wenn 1 f(x)dx konvergiert. Beispiel 5.26 (Vgl. Stz 2.27) Die Reihe 1 konvergiert für p > 1 und divergiert für p 1. np 30