MATHEMATIK FÜR PHYSIKER I

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1 Mthemtisches Institut der Universität Würzburg Prof. Dr. H. Pbel WS 2003/04 MATHEMATIK FÜR PHYSIKER I 0 Grundlgen 0. Grundbegriffe der Logik 0.2 Grundbegriffe der Mengenlehre 0.3 Reltionen und Abbildungen 0.4 Ntürliche Zhlenräume Z ist bezüglich +,, eine totlgeordneter nullteilerfreier kommuttiver Ring mit Einselement. Q ist bezüglich +,, eine totlgeordneter Körper. Z und Q sind bzählbr unendliche Mengen. 0.5 Die reellen Zhlen (M, ) sei eine liner geordnete Menge und A M eine Teilmenge.. A heißt nch oben beschränkt, wenn eine obere Schrnke s M existiert mit der Eigenschft A s. (Anlog: nch unten beschränkt, untere Schrnke, beschränkt). 2. Ein Element s 0 M heißt Supremum (obere Grenze) von A, s 0 = sup A, wenn es kleinste obere Schrnke von A ist, d.h. wenn für jede ndere obere Schrnke s gilt: s s 0. (Anlog: Infimum (inf A) = größte untere Schrnke) Ein liner geordneter Körper heißt (ordnungs-)vollständig, wenn er die Supremumseigenschft besitzt d.h. wenn jede nicht leere nch oben beschränkte Teilmenge ein Supremum besitzt. Huptstz Die Menge IR der reellen Zhlen bildet einen (ordnungs-)vollständigen liner geordneten Körper. Er ist der kleinste (ordnungs-)vollständige Erweiterungskörper von Q. Eigenschften von IR. IR ist rchimedisch ngeordnet, d.h. x,y IR + n IN n x > y. 2. Q liegt dicht in IR, d.h. zwischen je zwei reellen Zhlen liegt eine rtionle: x,y IR (x < y p Q x < p < y). 3. (Existenz von Wurzeln) y>0 n IN! x>0 x n = y. (Schreibweise: x = n y oder x = y /n.) 4. (Prinzip der Intervllschchtelung) Jede monoton fllende Folge von bgeschlossenen Intervllen besitzt einen nicht leeren Durchschnitt. 5. IR ist überbzählbr. 0.6 Die komplexen Zhlen C = {x + iy x, y IR} ist ein Erweiterungskörper von IR, in dem die Gleichung z 2 = genu die Lösungen z = ±i besitzt, der ber keine mit den rithmetischen Opertionen verträgliche Ordnungsstruktur besitzt.

2 Konvergenz und Stetigkeit in IK = IR oder C. Topologische Grundbegriffe A. Die (reelle und komplexe) Betrgsfunktion x IK x IR definiert eine Norm in IK, d.h. sie besitzt die Eigenschften: (N) Positive Definitheit x IK x 0 ( x = 0 x = 0) (N2) Positive Homogenität x IK λ IR λ x = λ x (N3) Dreiecksungleichung x IK y IK x + y x + y. Durch d(x, y) := y x wird der Abstnd zweier Elemente x, y IK gemessen. B. Eine Teilmenge der Gestlt U ε (x 0 ) := {x IK x x 0 < ε} mit ε > 0 heißt ε-umgebung des Punktes x 0 IK. Obermengen von ε-umgebungen heißen einfch nur Umgebungen von x 0. C. Eine Teilmenge Q in IK heißt offen, wenn jeder Punkt x Q eine ε-umgebung von x mit U ε (x) Q besitzt. D. Eine Teilmenge A in IK heißt bgeschlossen, wenn ihr Komplement IK A = IK A offen ist. E. Eine Teilmenge A in IK heißt kompkt, wenn sie bgeschlossen und beschränkt ist. (Dbei heißt A beschränkt, wenn es ein R > 0 gibt mit x A x R.).2 Zhlenfolgen Eine Zhlenfolge (x k IK) k IN heißt konvergent, wenn es eine Zhl x IK gibt, so dß in jeder ε- Umgebung von x fst lle Folgenglieder liegen (d.h. lle bis uf endlich viele Ausnhmen). (Präzisierung: ε>0 m IN k m x k x < ε.) x heißt dnn Grenzwert oder Limes der Zhlenfolge. Schreibweise: (x k ) x oder lim x k = x. Eine Zhlenfolge heißt divergent, wenn sie nicht konvergent ist. Stz.2. Jede konvergente Folge ist beschränkt (d.h. R>0 k IN x k R), und ihr Grenzwert ist eindeutig bestimmt. Folgerung: Jede unbeschränkte Zhlenfolge ist divergent! Beispiele: p IN lim k p = 0, p IN lim p = 0. k Die Folge (x k ) k IN (x IR) konvergiert für x < gegen 0, für x = gegen und divergiert sonst. Stz.2.2 (Rechenregeln für konvergente Zhlenfolgen) Flls (x k IK) k IN und (y k IK) k IN konvergieren, so existiert uch ) lim k + y k ) = lim k + lim k, b) lim k y k ) = lim k lim k, c) lim = x k lim k, flls lim k 0, d) lim k = lim k. Stz.2.3 (x k IR) k IN und (y k IR) k IN seien konvergente Zhlenfolgen. ) Wenn für fst lle k IN gilt x k y k, dnn ist uch lim x k lim y k. b) (Sndwich-Theorem) Ist ( k IR) k IN eine weitere Zhlenfolge mit x k k y k für fst lle k IN, und gilt lim x k = lim y k =, so konvergiert uch ( k ) k IN mit lim k =. 2

3 Beispiele: >0 lim k k =, lim k =. Eine Zhlenfolge (x k IR) k IN heißt monoton wchsend, wenn k IN x k x k+, streng monoton wchsend, wenn k IN x k < x k+, entsprechend (streng) monoton fllend, und (streng) monoton, wenn sie (streng) monoton wächst oder fällt. Stz.2.4 (Konvergenzkriterium für monotone Zhlenfolgen) Eine monotone Zhlenfolge konvergiert genu dnn, wenn sie beschränkt ist. Beispiel ( e := lim + )k = lim k n n k=0 k! ] 2, 3 ] Ein Punkt x IK heißt Häufungspunkt der Zhlenfolge (x k IK) k IN, wenn in jeder ε-umgebung von x unendlich viele Folgenglieder liegen. Ist (x k IK) k IN eine Zhlenfolge und l IN k l IN eine streng monoton wchsende Folge von Indizes, so heißt die Folge (x kl ) l IN eine Teilfolge von (x k ) k IN. Stz.2.5 (Stz von BOLZANO WEIERSTRASS). Jede beschränkte Zhlenfolge in IK besitzt mindestens einen Häufungspunkt. 2. Jeder Häufungspunkt einer Zhlenfolge in IK ist Grenzwert einer konvergenten Teilfolge. Zustz Jede beschränkte reelle Zhlenfolge besitzt uch einen größten und einen kleinsten Häufungspunkt. Bezeichnungen: Limes superior (x = lim x k = lim sup x k ) := größter Häufungspunkt von (x k ) k IN, Limes inferior (x = lim x k = lim inf x k ) := kleinster Häufungspunkt von (x k ) k IN. Eine Zhlenfolge (x k IK) k IN heißt Cuchyfolge, wenn ε>0 m IN k,l m x k x l < ε. (Die Abstände zwischen den Folgengliedern werden beliebig klein.) Stz.2.6 (CAUCHYsches Konvergenzkriterium für Folgen) Eine Zhlenfolge in IK konvergiert genu dnn, wenn sie eine Cuchyfolge ist. Eine Zhlenfolge (x k IR) k IN heißt uneigentlich konvergent oder bestimmt divergent gegen + (bzw. ), wenn gilt: r>0 m IN k m x k > r (bzw. x k < r). Schreibweise: (x k ) + (bzw. ) oder lim x k = + (bzw. )..3 Zhlenreihen. Ist (x k IK) k IN eine Zhlenfolge, so heißt die Folge (s n IK) n IN der Prtilsummen s n := n k= x k = x + +x n eine unendliche Reihe, bezeichnet mit k= x k := ( n k= x k) n IN. ( l ) 2. Bei einer konvergenten unendliche Reihe k= x k heißt der Grenzwert l IN k= x n k := lim n k= x k die Summe der unendlichen Reihe. 3

4 Stz.3. (Notwendiges Konvergenzkriterium für Reihen) Die Glieder x k einer konvergenten unendlichen Reihe k= x k in IK bilden eine Nullfolge. Stz.3.2 (CAUCHYsches Konvergenzkriterium für Reihen) Eine Reihe k= x k in IK konvergiert genu dnn, wenn ε>0 m IN l>j m l k=j+ x k < ε. Beispiele. Die geometrische Reihe k=0 xk konvergiert für x < gegen x und divergiert sonst. 2. Die hrmonische Reihe k= k divergiert, obwohl die Glieder eine Nullfolge bilden. Eine unendliche Reihe k= x k in IR, deren Glieder x k bwechselnd positiv und negtiv sind, heißt eine lternierende Reihe. Stz.3.3 (LEIBNIZsche Regel) Eine lternierende Reihe, bei der die Beträge der Glieder eine monotone Nullfolge bilden, ist konvergent. Beispiel: Die lternierende hrmonische Reihe k= ( )k+ k konvergiert (gegen log 2 = ln 2). Eine unendliche Reihe k= x k in IK heißt bsolut konvergent, wenn die (reelle) Reihe k= x k der Beträge konvergiert. Stz.3.4 Eine bsolut konvergente Reihe konvergiert. Die Umkehrung ist i.. nicht richtig. Stz.3.5 Eine Reihe in IR mit nicht negtiven Gliedern konvergiert genu dnn (bsolut), wenn die Folge der Prtilsummen beschränkt ist. Beispiel: Die Reihe k= k 2 konvergiert (gegen π 2 /6). Eine reelle Reihe k= c k mit nicht negtiven Gliedern heißt eine Mjornte der Reihe k= x k in IK, wenn für fst lle k IN gilt x k c k. Sie heißt eine Minornte der Reihe k= x k in IR, wenn für fst lle k IN gilt x k c k. Stz.3.6 (Mjornten-/Minornten-Kriterium) Jede Reihe in IK mit einer konvergenten Mjornte konvergiert bsolut. Jede Reihe in IR mit einer divergenten Minornte divergiert. Stz.3.7 (Quotientenkriterium) Eine reelle oder komplexe Reihe k= x k konvergiert bsolut, wenn es ein q IR mit 0 < q < gibt mit x k+ x k q für fst lle k IN, und divergiert, wenn x k+ x k für fst lle k IN. Stz.3.8 (Wurzelkriterium) Eine reelle oder komplexe Reihe k= x k konvergiert bsolut, wenn es ein q IR mit 0 < q < gibt mit k x k q für fst lle k IN, und divergiert, wenn k x k für unendlich viele k IN. Folgerung Eine reelle oder komplexe Reihe k= x k konvergiert bsolut, wenn lim x k+ x k <, und divergiert, wenn lim x k+ x k >, konvergiert bsolut, wenn k xk <, und divergiert, wenn lim xk >. k lim bzw. 4

5 .4 Stetige Funktionen Wir betrchten Funktionen einer Veränderlichen f : D IR IK, x f(x). Ihr sbereich D sei stets ein (nichttriviles) Intervll oder eine Vereinigung solcher Intervlle. Sei f : D IR IK eine Funktion und x 0 D. f konvergiert bei Annäherung von x n x 0 gegen den Grenzwert c IK, wenn für jede Folge (x k D) k IN mit k IN x k x 0, lim x k = x 0 die zugehörige Bildfolge (f(x k ) IK) k IN gegen c konvergiert, lso lim f(x k) = c gilt. Schreibweise: f(x) x x 0 c oder lim f(x) = c. x x 0 Anlog Konvergenz von links gegen den linksseitigen Grenzwert c : Konvergenz von rechts gegen den rechtsseitigen Grenzwert c : uneigentliche Konvergenz gegen den Grenzwert c : Konvergenz gegen den uneigentlichen Grenzwert ± : und weitere Vrinten. f(x) x x 0 f(x) x x + 0 f(x) x ± c oder lim c oder lim f(x) = c, x x 0 f(x) = c, c oder lim x x + 0 f(x) = c, x ± f(x) x x 0 ± oder lim f(x) = ± x x 0 Eine Funktion f : D IR IK heißt im Punkte x 0 D stetig, wenn der Grenzwert lim x x 0 f(x) existiert und gleich f(x 0 ) ist. Sie heißt (uf D) stetig, wenn sie in jedem Punkt x 0 D stetig ist. Anlog: Linksseitige und rechtsseitige Stetigkeit. Stz.4. (Folgenkriterium für Stetigkeit) f : D IR IK ist genu dnn in x 0 D stetig, wenn für jede gegen x 0 konvergente Folge (x k D) k IN die Bildfolge (f(x k ) IK) k IN gegen f(x 0 ) konvergiert, lso lim f(x k) = f( lim x k) gilt. Stz.4.2 Summen, Produkte und Quotienten stetiger Funktionen sind uf ihrem sbereich stetig, ebenso die Betrgsfunktion x x sowie die reellen Wurzelfunktionen x p x in IR + 0. Auch die Komposition (Verkettung) stetiger Funktionen ist stetig. Folgerung Polynome x IR p(x) = m k=0 kx k IK (vom Grde m IN 0, flls m 0) sind uf IR stetig, ebenso rtionle Funktionen x p(x) mit Polynomen p, q 0 uf ihrem sbereich q(x) IR {Nullstellen von q}. Stz.4.3 (ε - δ - Kriterium für Stetigkeit) Eine Funktion f : D IR IK ist genu dnn in x 0 D stetig, wenn gilt ε>0 δ>0 x D ( x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε), lso zu jeder ε-umgebung U ε (f(x 0 )) eine δ-umgebung U δ (x 0 ) existiert mit f[u δ (x 0 ) D] U ε (f(x 0 )). Exotisches Beispiel Die DIRICHLET-Funktion f : IR IR, x { für x Q 0 für x IR Q ist überll unstetig. Stz.4.4 (Permnenzprinzip) Ist die Funktion f : D IR IR in x 0 D stetig und gilt f(x 0 ) > 0, so gibt es eine gnze ε-umgebung von x 0 mit f(x) > 0 für lle x U ε (x 0 ) D. 5

6 Stz.4.5 (Kompktheitsstz) Bei einer stetigen Funktion f : D IR IK ist ds Bild f[k] einer kompkten Menge K D wieder kompkt (lso bgeschlossen und beschränkt). Stz.4.6 (Stz vom Mximum und Minimum) Eine stetige Funktion f : K IR IR uf einer (nicht leeren) kompkten Menge K ist beschränkt und besitzt ein (globles) Mximum und Minimum. Stz.4.7 (Zwischenwertstz) Die Funktion f : [, b] IR IR sei stetig. Dnn existiert zu jedem Wert c zwischen f() und f(b) ein x [, b] mit f(x) = c. Folgerung (Nullstellenstz von BOLZANO) Eine stetige Funktion f : [, b] IR IR mit sgnf() sgnf(b) besitzt in [, b] mindestens eine Nullstelle. Folgerung 2 Ds Bild eines beliebigen Intervlls I IR unter einer stetigen Funktion f : D IR IR mit I D ist wieder ein Intervll, insbesondere ds Bild eines bgeschlossenen Intervlls wieder ein bgeschlossenes Intervll. Stz.4.8 Eine stetige Funktion f : I IR uf einem Intervll I IR ist genu dnn injektiv, wenn sie streng monoton (wchsend oder fllend) ist. Stz.4.9 Die Funktion f : I IR J IR sei uf dem Intervll I stetig und bijektiv. Dnn ist uch die Umkehrfunktion f : J I stetig..5 Funktionenfolgen und -reihen, insbesondere Potenzreihen Eine Funktionenfolge (f k : D IR IK) k IN heißt (punktweise) konvergent, wenn für jedes x D die Zhlenfolge (f k (x) IK) k IN konvergiert. Die Funktion f = lim f k : D IK, x f(x) = lim f k(x) heißt dnn Grenzfunktion der Folge. Entsprechend ist die (punktweise) Konvergenz einer Funktionenreihe k= f k sowie ihre Summenfunktion s = lim n n k= f k erklärt. Eine Funktionenfolge (f k : D IR IK) k IN heißt gleichmäßig konvergent gegen die Funktion f : D IK, wenn gilt ε>0 m IN k m x D f k (x) f(x) < ε. Entsprechend für Funktionenreihen. Vernschulichung bei reellen Funktionenfolgen: Die Grphen der Glieder f k liegen für k m gnz in einem ε-streifen um die Grenzfunktion f. Bemerkung Jede gleichmäßig konvergente Funktionenfolge (-reihe) konvergiert uch punktweise, und zwr gegen ihre Grenzfunktion (Summe). Die Umkehrung gilt jedoch nicht. Stz.5. Für lle k IN sei f k : D IR IK stetig. Dnn gilt: ) (f k ) k IN gleichmäßig konvergent f = lim f k stetig, b) ( n k= f k) n IN gleichmäßig konvergent s = k= f k stetig. 6

7 Stz.5.2 (Mjornten-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz) Die Funktionenreihe k= f k mit k IN f k : D IR IK besitze eine konvergente Mjornte, d.h. eine konvergente Reihe k= c k in IR mit nicht negtiven Gliedern c k, für die gilt f k (x) c k für lle x D und fst lle k IN. Dnn konvergiert k= f k (bsolut und) gleichmäßig in D. Es sei ( k IK) k IN eine Zhlenfolge und x 0 IK. Dnn heißt eine Funktionenreihe der Form x k=0 k (x x 0 ) k mit x IK eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 und Koeffizienten k. Stz.5.3 Zu einer Potenzreihe k=0 k (x x 0 ) k in IK gibt es genu ein R [0, + ] mit den Eigenschften:. Für lle x mit x x 0 < R konvergiert die Potenzreihe bsolut. 2. Für lle x mit x x 0 > R divergiert die Potenzreihe. R heißt Konvergenzrdius, die Umgebung U R (x 0 ) Konvergenzkreis bzw. (in IR) Konvergenzintervll der Reihe. Stz.5.4 Für den Konvergenzrdius R einer Potenzreihe k=0 k(x x 0 ) k in IK gilt. R = / lim k+ k (flls dieser Grenzwert existiert), k 2. R = / lim k (Formel von HADAMARD). (Mn setzt dbei = + und 0 + = 0.) Beispiele. Geometrische Reihe: 2. Exponentilreihe: 3. Binomilreihe: k=0 xk = x ; R =. k=0 k! xk = exp x =: e x ; R =. ( α ) k=0 k x k = ( + x) α ; R = für α IN 0, R = sonst. Stz.5.5 Eine Potenzreihe k=0 k(x x 0 ) k in IR mit Konvergenzrdius R > 0 konvergiert in jedem bgeschlossenen Intervll [x 0 r, x 0 + r] mit 0 < r < R gleichmäßig und definiert somit eine im gnzen Konvergenzintervll ]x 0 R, x 0 + R[ stetige Funktion. Stz.5.6 (Multipliktion von Potenzreihen) x f(x) = k=0 kx k und x g(x) = k=0 b kx k seien zwei durch Potenzreihen drgestellte Funktionen in IK mit Konvergenzrdien R > 0 und R 2 > 0. Dnn wird ds Produkt x f(x) g(x) für x < min{r, R 2 } durch die Cuchy-Produktreihe ( r r=0 k=0 ) kb r k x r drgestellt. Beispiele. exp x = k=0 k! xk (exp x) 2 = r=0 r! (2x)r = exp(2x) und uch (exp x) (exp y) = exp(x + y), 2. x = k=0 xk ( x) = 2 r=0 (r + ) xr für x <. Ergänzung Mn knn uch durch Potenzreihen drgestellte Funktionen x f(x) = k=0 k x k, x g(x) = k=0 b k x k mit g(0) = b 0 0 dividieren und erhält eine in der Umgebung von x = 0 definierte Potenzreihendrstellung von x f(x)/g(x). Auch die Komposition g f solcher Funktionen läßt unter bestimmten Vorussetzungen wieder durch eine Potenzreihe drstellen. [Einsetzen, uspotenzieren und nch Potenzen von x ordnen.] 7

8 .6 Spezielle Funktionen [Litertur: Bltter, Christin: Anlysis (4. Auflge), S ].6. Die Exponentil- und die Logrithmus-Funktionen z C exp z = e z := k=0 k! zk C (Komplexe) Exponentilfunktion x IR exp x = e x := k=0 k! xk IR (Reelle) Exponentilfunktion x IR + log x = ln x := exp x IR (Ntürlicher) Logrithmus x IR exp x = x := exp(x log ) IR Allgemeine Potenz zur Bsis IR + x IR + log x := log x/ log IR Logrithmus zur Bsis IR + {}.6.2 Die hyperbolischen und Are-Funktionen x IR sinh x := 2 (ex e x ) = k=0 (2k+)! x2k+ IR x IR cosh x := 2 (ex + e x ) = k=0 (2k)! x2k IR x IR tnh x := sinh x cosh x = ex e x e x IR + e x x IR {0} coth x := cosh x sinh x = ex + e x e x IR e x Sinus hyperbolicus Cosinus hyperbolicus Tngens hyperbolicus Cotngens hyperbolicus x IR Arsinh x := sinh x = log(x + x 2 + ) IR Are - Sinus hyperb. x [, [ Arcosh x := cosh x = log(x + x 2 ) [0, [ Are - Cosinus hyperb. x ], +[ Artnh x := tnh x = 2 x IR [, +] Arcoth x := coth x = Die Kreis- und die Argument-Funktion log +x x IR x+ log x IR {0} t IR e it = cos t + i sin t S C Kreisfunktion Are - Tngens hyperb. z = re it C {0} t = rg z [0, 2π[ Argumentfunktion.6.4 Die trigonometrischen und Arcus-Funktionen x IR sin x := 2i (eix e ix ) = k=0 ( )k (2k+)! x2k+ IR x IR cos x := 2 (eix + e ix ) = k=0 ( )k (2k)! x2k IR x IR {π/2 + kπ k Z} tn x := sin x cos x IR x IR {kπ k Z} cot x := cos x sin x IR Are - Cotngens hyperb. Sinus Cosinus Tngens Cotngens x [, +] Arcsin x := sin x [ π/2, +π/2] Arcus - Sinus x [, +] Arccos x := cos x [0, π] Arcus - Cosinus x IR Arctn x := tn x ] π/2, +π/2[ Arcus - Tngens x IR Arccot x := cot x ]0, π[ Arcus - Cotngens 8

9 2 Differentil- und Integrlrechnung in IR Wir betrchten Funktionen f : I IR IK, x f(x) uf (nichttrivilen) Intervllen I IR, wobei IK = IR oder C. 2. Differenzierbrkeit und Ableitung Eine Funktion f : I IR IK heißt im Punkte x 0 I differenzierbr, wenn der Grenzwert f (x 0 ) := df dx (x f(x) f(x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) 0) := lim = lim x x 0 x x 0 h 0 h existiert. Er heißt Ableitung oder Differentilquotient von f in x 0. f heißt (uf I) differenzierbr, wenn f in jedem Punkt us I differenzierbr ist. Dnn ist die Ableitung ls Funktion f = df dx : I IK, x f (x) definiert. Kennzeichnung f : I IR IK ist genu dnn in x 0 I differenzierbr, wenn eine in x 0 stetige Funktion : I IK existiert mit x I f(x) = f(x 0 ) + (x) (x x 0 ). Es ist dnn f (x 0 ) = (x 0 ). Interprettion von f (x 0 ) in IR: Steigung der Tngente x f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) in x 0, von f (t 0 ) in C: Geschwindigkeitsvektor der Bhnkurve t f(t) in t 0. Stz 2.. (Rechenregeln für differenzierbre Funktionen). f, g : I IR IK seien (in x 0 I) differenzierbr. Dnn sind uch f + g, f g und f g (flls definiert) (in x 0 I) differenzierbr mit ) (f + g) = f + g (in x 0 ) b) (f g) = f g + f g (in x 0 ) (Produktregel) ( ) f c) = f g f g g g 2 (in x 0 ) (Quotientenregel). 2. f : I IR J IR sei (in x 0 I) differenzierbr, und ebenso g : J IR IK (in f(x 0 ) J). Dnn ist uch g f (in x 0 I) differenzierbr mit d) (g f) = (g f) f (in x 0 ) (Kettenregel). Anwendungen{ cosh = sinh, sinh = cosh, tnh = / cosh 2 = tnh 2 ; exp = exp cos = sin, sin = cos, tn = / cos 2 = + tn 2. Stz 2..2 f : I IR J IR sei eine stetige Bijektion, die in x 0 I differenzierbr ist mit f (x 0 ) 0. Dnn ist uch die Umkehrfunktion f : J I in y 0 := f(x 0 ) differenzierbr mit (f ) (y 0 ) = /f (x 0 ), d.h. es gilt e) (f ) = /(f f ) in y 0. Anwendungen log x = /x für x > 0, Arsinh x = / + x 2 für x IR, Arcsin x = / x 2 für x <. Einteilung der Funktionen f : I IR IK : C 0 (I) D (I) C (I) D r (I) C r (I) D (I) = C (I) mit C 0 (I) := {f : I IK f stetig}, D r (I) := {f : I IK f r-ml differenzierbr} und C r (I) := {f : I IK f r-ml stetig differenzierbr}. 9

10 2.2 Stmmfunktionen Eine Funktion f : I IR IR heißt unbestimmt integrierbr, wenn eine differenzierbre Funktion F : I IR mit F = f existiert. F heißt dnn eine Stmmfunktion oder ein unbestimmtes Integrl von f. Schreibweise (mthemtisch inkorrekt): f = F + c bzw. f(x) dx = F (x) + c mit einer Integrtionskonstnten c IR. Beispiele. x α dx = xα+ α+ + c für α IR { }, x > 0, x dx = log x + c für x 0, 2. e x dx = e x + c, cosh x dx = sinh x + c, cos x dx = sin x + c usw. 3. x dx = Arcsin x + c für x <,... usw. 2 Trivile Eigenschft Sind f, g : I IR IR unbestimmt integrierbr, so uch f + g und λ f mit λ IR, und es gilt (f + g) = f + g, (λ f) = λ f. Stz 2.2. (Regel über die prtielle Integrtion) f, g : I IR IR seien differenzierbr und f g unbestimmt integrierbr. Dnn ist uch f g unbestimmt integrierbr, und es gilt (f g) = f g (f g ) bzw. x I f (x) g(x) dx = f(x) g(x) f(x) g (x) dx. Beispiele. xe x dx = (e x ) x dx = e x x e x dx = (x ) e x + c. 2. sin 2 x dx = sin x( cos x) dx = sin x cos x + cos 2 x dx = sin x cos x + x sin 2 x dx 3. sin 2 x dx = 2 (x sin x cos x) + c. log x dx = log x dx = x log x x x dx = x log x x + c. Stz (Substitutionsregeln) ) f : I IR IR sei unbestimmt integrierbr und ϕ : J IR I differenzierbr. Dnn ist uch (f ϕ) ϕ unbestimmt integrierbr, und es gilt (f ϕ) ϕ = ( f) ϕ bzw. x J f(ϕ(x)) ϕ (x) dx = [ f(y) dy ] y=ϕ(x). b) Sei f : I IR IR eine Funktion, ϕ : J IR I eine differenzierbre Bijektion mit t J ϕ (t) 0, sowie (f ϕ) ϕ unbestimmt integrierbr. Dnn ist uch f unbestimmt integrierbr, und es gilt ( ) [ f = (f ϕ) ϕ ϕ bzw. x I f(x) dx = f(ϕ(t)) ϕ (t) dt ]. t=ϕ (x) Beispiele [. x e x 2 dx = 2 2x e x 2 dx = 2 e dy] y = y=x c. ex2 [ x ] 2. dx = x 2 y 2 dy + c = x 2 + c. y= x 2 [ ] 3. log x dx = t e dt] t = [(t ) e t + c = x (log x ) + c. t=log x t=log x 0

11 2.3 Der Mittelwertstz der Differentilrechnung und seine Anwendungen Eine Funktion f : I IR IR heißt im Punkte x 0 I lokl mximl bzw. f(x 0 ) ein lokles Mximum von f, wenn eine Umgebung U I von x 0 existiert mit x U f(x) f(x 0 ). Anlog: lokl miniml bzw. lokles Minimum. f heißt in x 0 lokl extreml, wenn dort ein lokles Mximum oder ein lokles Minimum, lso ein lokles Extremum vorliegt. Stz 2.3. (Notwendige Bedingung für ein lokles Extremum) f : I IR IR sei uf dem offenen Intervll I differenzierbr. Dnn gilt: f in x 0 I lokl extreml f (x 0 ) = 0. Stz (Stz von ROLLE) Sei f : [, b] IR IR stetig und in ], b[ differenzierbr. Dnn gilt f() = f(b) x ],b[ f (x) = 0. Stz (Mittelwertstz der Differentilrechnung) Sei f : [, b] IR IR stetig und in ], b[ differenzierbr. Dnn existiert ein Punkt x ], b[ mit f (x) = f(b) f() b Stz (Monotoniekriterium) Für eine uf dem Intervll I stetige und im Inneren I differenzierbre Funktion f : I IR IR gilt: ) f ist monoton wchsend (fllend) x I f (x) 0 ( 0) b) f ist konstnt x I f (x) = 0 Stz (Erweiterter Mittelwertstz der Differentilrechnung) Seien f, g : [, b] IR IR stetig und in ], b[ differenzierbr, und weiter x ],b[ g (x) 0. Dnn ist g(b) g() und es existiert ein Punkt x ], b[ mit f (x) f(b) f() g = (x) g(b) g().. Stz (Regeln von l HOSPITAL) f, g : I IR IR seien zwei differenzierbre Funktionen mit x I g (x) 0 sowie x 0 I. Dnn gilt: ) Flls lim f(x) = x x 0 existiert uch (. Regel von l Hospitl) lim g(x) = 0 ist und x x 0 f (x) lim x x 0 g (x) f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). (möglicherweise uneigentlich) existiert, so f (x) b) Flls lim f(x) = ±, lim g(x) = ± ist und lim x x 0 x x 0 x x 0 g (möglicherweise uneigentlich) existiert, (x) so existiert uch f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). (2. Regel von l Hospitl) Zustz: Die Regeln gelten uch bei uneigentlicher Annäherung x ±.

12 Stz (f k : I IR IR) k IN sei eine Folge differenzierbrer Funktionen mit den Eigenschften [ l () (f k ) k IN konvergiert (punktweise) bzw. ( k= f k) l IN konvergiert (punktweise) ] (2) (f k ) [ l k IN konvergiert gleichmäßig bzw. ( k= f k ) l IN konvergiert gleichmäßig ]. Dnn ist die Grenzfunktion lim f [ k bzw. die Summe k= f ] k differenzierbr mit ( lim f k) = lim f k [ bzw. ( k= f k) = k= f ] k. Stz Eine Potenzreihe k=0 k(x x 0 ) k in IR mit Konvergenzrdius R > 0 ist in ihrem Konvergenzintervll ]x 0 R, x 0 + R[ beliebig oft differenzierbr, und ihre Ableitungen erhält mn durch gliedweise Differentition, wobei sich der Konvergenzrdius nicht ändert. Anwendung: k= ( )k+ k xk = log( + x) für x < (Logrithmusreihe) Folgerung Eine Potenzreihe k=0 k(x x 0 ) k in IR mit Konvergenzrdius R > 0 ist in ihrem Konvergenzintervll ]x 0 R, x 0 + R[ gliedweise unbestimmt integrierbr, wobei sich der Konvergenzrdius nicht ändert. 2.4 Tylorpproximtion und Anwendungen Stz 2.4. f : I IR IR sei in der Umgebung von x 0 I p-ml differenzierbr (p IN 0 ). Dnn gibt es genu ein Polynom x T p (x) höchstens vom Grde p mit p k=0 T p (k) (x 0 ) = f (k) (x 0 ), nämlich x T p (x) := p k=0 k! f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, gennnt p-tes Tylorpolynom von f im Punkte x 0. Stz (TAYLORscher Stz,.Form) f : I IR IR sei p-ml differenzierbr (p IN 0 ) und es existiere uch f (p+) (x 0 ) für ein x 0 I. Dnn gibt es (genu) eine in x 0 stetige Funktion p+ : I IR mit () x I f(x) = T p x0 (x) + (p+)! p+(x) (x x 0 ) p+ (2) p+ (x 0 ) = f (p+) (x 0 ) Folgerung f : I IR IR sei in x 0 I p-ml differenzierbr (p IN). Dnn gilt f(x) = T p x0 (x) + o ( (x x 0 ) p) für x x 0, R p x0 (x) d.h. f(x) = T p x0 (x) + R p x0 (x) mit lim x x 0 (x x 0 ) p = 0. Stz (TAYLORscher Stz, 2.Form) f : I IR IR sei (p + )-ml differenzierbr (p IN 0 ) und x 0 I beliebig. Dnn gibt es zu jedem x I mit x x 0 ein x x x 0 mit f(x) = T p x0 (x) + (p+)! f (p+) (x) (x x 0 ) p+. (LAGRANGEsche Form des Restgliedes der Tylorentwicklung.) Stz f : I IR IR sei im Punkte x 0 des offenen Intervlls I p-ml differenzierbr (p 2) mit Dnn gilt: p gerde f (x 0 ) =... = f (p ) (x 0 ) = 0, f (p) (x 0 ) 0. f besitzt in x 0 ein lokles Extremum, und zwr ein lokles Minimum (Mximum), flls f (p) (x 0 ) > 0 ( < 0). p ungerde f besitzt in x 0 kein lokles Extremum. 2

13 Eine differenzierbre Funktion f : I IR IR besitzt in x 0 I einen Wendepunkt, wenn eine Umgebung U I von x 0 existiert mit ( ) x < x 0 f(x) T (x) x > x 0 f(x) T (x) (oder umgekehrt) x U mit der Tngente x T (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) in x 0. Stz (Notwendige Bedingung für einen Wendepunkt) f : I IR IR sei uf dem offenen Intervll I zweiml differenzierbr. Dnn gilt: f besitzt in x 0 I einen Wendepunkt f (x 0 ) = 0. Stz f : I IR IR sei im Punkte x 0 des offenen Intervlls I p-ml differenzierbr (p 3) mit Dnn gilt: p ungerde f besitzt in x 0 einen Wendepunkt. f (x 0 ) =... = f (p ) (x 0 ) = 0, f (p) (x 0 ) 0. p gerde f besitzt in x 0 keinen Wendepunkt. Bei einer C -Funktion f : I IR IR heißt die Folge der Tylorpolynome in x 0 I x (T p (x)) p IN0 die Tylorreihe von f im Punkte x 0. = k=0 k! f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k Bemerkung Bezüglich des Konvergenzverhltens der Tylorreihe einer C -Funktion f : I IR IR in x 0 I sind, wenn (R p x0 ) p IN0 die Folge der Restglieder bezeichnet, folgende drei Fälle möglich:. Idelfll: (R p x0 ) p IN0 0 lim p T p x0 = f. Die Tylorreihe konvergiert in der Umgebung von x 0 und stellt dort die Funktion f dr. Beispiele: Alle Funktionen, die eine Potenzreihendrstellung um x 0 besitzen. 2. Schlechter: (R p x0 ) p IN0 R 0 lim p T p x0 = f R f. Die Tylorreihe konvergiert in der Umgebung von x 0, stellt ber (ußerhlb von x 0 ) nicht die Funktion f dr. Beispiel: Die Glockenfunktion x f(x) = e /x2 ist (uch in x = 0) C -differenzierbr mit f (p) (0) = 0. Ihre Tylorreihe um x = 0 ist die Nullreihe. p IN 0 3. Gnz schlecht: (R p x0 ) p IN0 divergiert (T p x0 ) p IN0 divergiert (für x x 0 ). Hier gibt es nur komplizierte Beispiele. Eine uf einem offenen Intervll I IR definierte Funktion f : I IR heißt (reell) nlytisch, wenn sie in der Umgebung jedes Punktes x 0 I eine Potenzreihendrstellung x f(x) = k=0 k(x x 0 ) k besitzt. (Diese Reihe ist ntürlich jeweils ihre Tylorreihe in x 0.) Stz Jede durch eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzrdius R drgestellte Funktion x f(x) = k=0 k(x x 0 ) k ist in ihrem Konvergenzintervll ]x 0 R, x 0 + R[ nlytisch. Bemerkung Nch Trnsformtion uf einen neuen Entwicklungspunkt knn der Konvergenzbereich der neuen Potenzreihe über den Konvergenzbereich der lten hinusgehen. 3

14 2.5 Ds RIEMANNsche Integrl und die Huptsätze der Differentil- und Integrlrechnung Es sei f : [, b] IR IR eine beschränkte Funktion. ) Eine Zerlegung des Intervlls [, b] ist eine (N + )-elementige Teilmenge Z = {x 0, x,..., x N } von [, b] mit = x 0 < x <... < x N = b (N ). Sie liefert N Teilintervlle I k = [x k, x k ] mit Längen I k := x k := x k x k. Die Feinheit der Zerlegung sei Z := mx k=,...,n I k. b) Die Riemnnsche Obersumme von f bzgl. der Zerlegung Z sei R f (Z) := N k= M k x k mit M k := sup x Ik f(x), die Riemnnsche Untersumme entsprechend R f (Z) := N k= m k x k mit m k := inf x Ik f(x) sowie die Vrition (Schwnkungssumme) von f bzgl. Z V f (Z) := R f (Z) R f (Z) = N k= f I k x k, wenn f Ik := sup{ f(x) f(x ) x, x I k } die Schwnkung von f im Intervll I k bezeichnet. Beispiele sind äquidistnte Zerlegungen Z N = {, + h, + 2h,..., + Nh = b} in N Teilintervlle der Länge I k = I k = (b )/N =: h mit Feinheit Z = (b )/N. R f := inf R f (Z) heißt ds Riemnnsche Oberintegrl, R f := sup R f (Z) ds Riemnnsche Unterintegrl der beschränkten Funktion f : [, b] IR, wobei Infimum und Supremum bzgl. ller möglichen Z Z Zerlegungen Z des Intervlls [, b] zu bilden sind. Eine beschränkte Funktion f : [, b] IR IR heißt (Riemnn-) integrierbr, wenn Riemnnsches Ober- und Unterintegrl übereinstimmen. Der gemeinsme Wert R f := R f = R f heißt dnn (R-) Integrl von f über [, b], bezeichnet mit b f(x) dx. Stz 2.5. Eine beschränkte Funktion f : [, b] IR IR ist genu dnn (R-)integrierbr, wenn zu jedem ε > 0 eine Zerlegung Z von [, b] gibt mit Vrition V f (Z) = R f (Z) R f (Z) < ε. Stz Jede monotone Funktion f : [, b] IR ist (R-)integrierbr. Hilfsstz Eine stetige Funktion f : I IR IR uf einem kompkten Intervll I = [, b] ist dort sogr gleichmäßig stetig, d.h. es gilt ε>0 δ>0 x,x I ( x x < δ f(x) f(x ) < ε). Stz Jede stetige Funktion f : [, b] IR ist (R-)integrierbr. Sei f : [, b] IR eine beschränkte Funktion und Z = {x 0, x,..., x N } eine Zerlegung von [, b]. ) Ein Zwischenpunktvektor zur Zerlegung Z ist ein N tupel x = (x,..., x N ) mit x k I k = [x k, x k ] für k =,..., N. b) Die Riemnnsche Summe von f bzgl. der Zerlegung Z und des Zwischenpunktvektors x sei R f (Z, x) := N k= f(x k) x k. 4

15 Stz Sei f : [, b] IR (R-)integrierbr. Dnn gilt für eine beliebige Folge (Z l ) l IN von Zerlegungen von [, b] und für jede Whl von zugehörigen Zwischenpunktvektoren x l (l IN): lim Z l = 0 b f(x) dx = lim l R f (Z l, x l ). l Korollr Sei f : [, b] IR R-integrierbr. Dnn gibt es zu jedem ε > 0 ein δ > 0, so dß für jede Zerlegung Z von [, b] und für jede Whl von zugehörigen Zwischenpunktvektoren x gilt: Kurzschreibweise hierfür: Z < δ R f (Z, x) b b f(x) dx = lim Z 0 R f (Z, x) f(x) dx < ε. Stz (Rechenregeln für R-integrierbre Funktionen) f, g : [, b] IR seien integrierbr. Dnn sind uch f + g, λ f (λ IR), f g und f über [, b] integrierbr mit ) b (f + g)(x) dx = b f(x) dx + b g(x) dx b) c) b f(x) dx b f(x) dx Weiter gilt d) x [,b] f(x) g(x) b f(x) dx b g(x) dx Folgerung Für eine integrierbre Funktion f : [, b] IR gilt: x [,b] f(x) M b f(x) dx M (b ). b (λ f)(x) dx = λ b f(x) dx Stz (Mittelwertstz der Integrlrechnung) f : [, b] IR sei stetig. Dnn gibt es ein x [, b] mit b f(x) dx = f(x) (b ). Eine Funktion f : I IR IR heißt lokl integrierbr, wenn sie über jedem kompkten Teilintervll [, b] I R-integrierbr ist. In diesem Fll heißt (mit c I festgewählt) die Funktion x I F c (x) := x c c x eine Integrlfunktion von f. Schreibweise: F c (x) = x c f(t) dt für x > c 0 für x = c f(t) dt für x < c IR f(t) dt. Stz (. Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) f : I IR IR sei lokl integrierbr und c I beliebig. Dnn gilt für die Integrlfunktion x I F c (x) = x f(t) dt IR: c ) F c ist stetig. [ Integrieren mcht stetig. ] b) Ist f in x 0 I stetig, so ist F c in x 0 sogr differenzierbr mit F c(x 0 ) = f(x 0 ). [ Integrieren stetiger Funktionen mcht gltt. ] Folgerung Ist f : I IR IR stetig, so liefert jede Integrlfunktion x F c (x) eine Stmmfunktion von f: [ ] x I F c(x) = d x dx c f(t) dt = f(x). Jede stetige Funktion uf einem Intervll besitzt lso dort eine Stmmfunktion. Stz (2. Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Ist f : I IR IR lokl integrierbr, und besitzt f eine Stmmfunktion F : I IR, so gilt für lle, b I f(x) dx = F (b) F (). b Ds Riemnn-Integrl läßt sich lso mit Hilfe einer Stmmfunktion usrechnen. 5

16 Folgerung Bei stetigem Integrnden können die Regel über die prtielle Integrtion und die Substitutionsregeln (siehe Stz 2.2. und 2.2.2) zur Berechnung bestimmter Integrle verwendet werden: b f (x) g(x) dx = [ f(x) g(x) ] b b f(x) g (x) dx b f(ϕ(x)) ϕ (x) dx = ϕ(b) ϕ() f(y) dy, b f(x) dx = ϕ (b ) ϕ ( ) f(ϕ(t)) ϕ (t) dt Anhng: Uneigentliche Riemnn-Integrle Eine lokl integrierbre Funktion f : [, b[ IR IR mit < b + heißt über [, b[ uneigentlich b x integrierbr, wenn f(t) dt := lim f(t) dt existiert. x b Mn sgt dnn uch, ds uneigentliche Integrl b f(t) dt konvergiert. Anlog für uneigentliche Integrle der Form b f(t) dt := lim x c x f(t) dt + lim x b x c b b x f(t) dt := lim f(t) dt x f(t) dt (mit < b + und einem c ], b[ ). (mit < b) und Beispiele 0 et dt = lim ( x ex ) =, 0 t dt = lim ( log x) = + x 0 Stz (Integrlkriterium für unendliche Reihen) Sei f : [, [ IR nicht negtiv und monoton fllend. Dnn existiert ( n c := lim n k= f(k) n f(t) dt) mit 0 c f(). Insbesondere gilt k= f(k) konvergiert f(t) dt konvergiert n+ und mn ht die Abschätzung f(t) dt n k= f(k) n f(t) dt + f(). Beispiel Für f(x) := /x erhält mn die Existenz der EULERschen Konstnten ( n ) C := lim n k log n = sowie die Abschätzung log(n + ) n k log n +. 6