Gymnasiale Oberstufe Saar. Lehrplan Mathematik. E-Kurs. Juni Stand August 2011

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1 Gymnsile Oberstufe Sr Lehrpln Mthemtik E-Kurs Juni 008 Stnd August 0 MBKW G.B /008

2 LEHRPLAN MATHEMATIK FÜR DEN E-KURS DER GYMNASIALEN OBERSTUFE SAAR Stoffverteilungspln E-Kurs,. Hlbjhr der Huptphse 5 Wochenstunden verbindliche Inhlte Stunden. Vollständige Induktion 5. Funktionen und ihre Termstrukturen 5 3. Eigenschften differenzierbrer Funktionen 30 fkulttiv: Regel von de L Hospitl, Itertion von Funktionen, Stetigkeit der Verkettung, Mittelwertstz, Ableitung der Umkehrfunktion, Krümmungsmß, Schnittwinkel von Funktionsgrphen E-Kurs,. Hlbjhr der Huptphse 5 Wochenstunden verbindliche Inhlte Stunden. Flächeninhlte und Stmmfunktionen 5. Integrle 5 3. Eponentilfunktionen und ln-funktion 0 fkulttiv: numerische Annäherung des Flächeninhltes, uneigentliche Integrle mit endlicher Integrtionsgrenze, Bogenlänge, Volumen und Oberflächeninhlt der Kugel, Füllkurven, Rottionsvolumen durch Rottion um die y-achse, logistisches Wchstum, hrmonische Schwingung, llgemeine Logrithmusfunktionen E-Kurs, 3. Hlbjhr der Huptphse 5 Wochenstunden verbindliche Inhlte Stunden. Vektoren 0. Vektorielle Untersuchung geometrischer Situtionen 0 fkulttiv: Linere Abhängigkeit und Unbhängigkeit, Erzeugendensystem, Bsis, Teilverhältnisse in Figuren und Körpern E-Kurs, 4. Hlbjhr der Huptphse 5 Wochenstunden verbindliche Inhlte Stunden. Whrscheinlichkeiten 0. Zufllsgrößen 5 fkulttiv: k-kombintionen, Tschebyschow-Ungleichungen, Normlverteilung Stnd Juni 008 August 0

3 Anmerkungen. Hlbjhr des E-Kurses (/) Im ersten Hlbjhr des E-Kurses wird insbesondere die Behndlung der rtionlen Funktionen weitergeführt; uch die llgemeine Sinusfunktion und die Wurzelfunktionen werden im Zusmmenhng mit dem Ableitungsbegriff themtisiert. Neben den bereits beknnten Verknüpfungen vergrößern ds Verketten und ds Umkehren ds Funktionenrepertoire und eröffnen zhlreiche Anwendungsbezüge. In der klssischen Kurvendiskussion wird mit Hilfe der Differenzilrechnung uf die Gestlt des Funktionsgrphen geschlossen. Die Bedeutung des mthemtischen Klküls tritt ufgrund der Verfügbrkeit grphikfähiger elektronischer Hilfsmittel in den Hintergrund, ohne dss uf die Begründung des Zusmmenhngs zwischen dem Term und dem Grphen verzichtet werden knn. Interessnt werden Detils der Formgebung oft erst in Verbindung mit lltgsrelevnten Frgestellungen. Dmit gewinnen neben dem Anlysieren ds Modellieren und ds Interpretieren zunehmend n Bedeutung. Mit der vollständigen Induktion wird ein Beweisverfhren vorgestellt, ds zugleich uch heuristische Kompetenzen zum Auffinden der eigentlichen Aussge einfordert. Die Beispiele sollten insbesondere dem ktuellen Stoffgebiet der Differenzil- und Integrlrechnung entnommen werden, so dss ds Beweisverfhren während des Unterrichts immer wieder zum Einstz kommt und immnent wiederholt wird.. Hlbjhr des E-Kurses (/) Zentrler Gegenstnd der Integrlrechnung ist ds Berechnen von Flächeninhlten und deren Interprettion in verschiedenen Konteten. Im Rhmen der verfügbren Unterrichtszeit bleibt die Eistenzfrge für die Flächeninhlte nur ngedeutet. Der Integrlbegriff wird in Anlehnung n die Riemnn sche Definition eingeführt. Eine vertiefte Behndlung der Integrierbrkeit ist nicht vorgesehen; insbesondere wird die Integrierbrkeit stetiger Funktionen ohne Nchweis festgestellt. Der Beweis zum Huptstz beschränkt sich dher uf den Nchweis, dss Integrlfunktionen stetiger Funktionen Stmmfunktionen sind. Ausgehend vom eponentiellen Wchstum werden Eponentilfunktionen und die ln-funktion systemtisch behndelt. Angesichts des Bedeutungsverlustes der klssischen Kurvendiskussion ist jedoch eine schemtisierte Berbeitung nicht ngebrcht. Vielmehr wird die isolierte Behndlung einzelner Funktionenklssen zu Gunsten kontetbezogener Anwendungen bgelöst. Die Bedeutung der Anwendungen der Integrlrechnung neben den üblichen Flächen- und Volumenberechnungen spiegelt sich im vorgeschlgenen Zeitnstz wider. Ds inzwischen reichhltige Instrumentrium zum Modellieren wird z.b. bei der Beschreibung von Profilen und von zeitbhängigen Prozessen eingesetzt. 3. Hlbjhr des E-Kurses (/) Schwerpunkt des dritten Hlbjhres ist die nlytische Geometrie. Die strukturbestimmenden Eigenschften des Vektorrums der Trnsltionen werden nicht verllgemeinert. Stttdessen spielen metrische Merkmle und die Erfssung des mit der Alltgswelt korrespondierenden Anschuungsrumes die zentrle Rolle. Die Behndlung der lineren Abhängigkeit und Unbhängigkeit beschränkt sich uf miml drei Vektoren und somit uf Kollinerität und Komplnrität. Über konkrete Schverhlte zur Bestimmung von Linerkombintionen erhlten die Schülerinnen und Schüler einen ersten mthemtischen Einblick in den Dimensionsbegriff. Stnd Juni 008 August 0

4 4. Hlbjhr des E-Kurses (/) Die Whrscheinlichkeitsrechnung der vorusgehenden Klssenstufen wird fortgesetzt. Dzu wird der Begriff der Whrscheinlichkeit im Rhmen seiner Grundeigenschften präzisiert und ds bereits beknnte Regelwerk zur Berechnung von Whrscheinlichkeiten erweitert. Eine zentrle Rolle spielt ds Modellieren von Zufllseperimenten, wobei uch kombintorische Zählverfhren ls Hilfsmittel genutzt werden. Durch die Behndlung von Kenngrößen und Verteilungen diskreter Zufllsgrößen werden grundlegende Begriffe der Sttistik eingeführt. Die Verfügbrkeit elektronischer Hilfsmittel mcht Summenwhrscheinlichkeiten bei Binomilverteilungen im üblichen Rhmen uch ohne Tfelwerke zugänglich. Die Normlverteilung einer stetigen Zufllsgröße wird im fkulttiven Bereich themtisiert. Hinweis Die Konzeption der Oberstufenlehrpläne orientiert sich n den Einheitlichen Prüfungsnforderungen in der Abiturprüfung Mthemtik (EPA). Die Reihenfolge der Lernbereiche ist nur insoweit verbindlich, wie es schlogisch geboten erscheint. Sie nimmt die methodisch-didktischen Entscheidungen der Lehrkrft nicht vorweg. Anwendungen sollten soweit wie möglich in die einzelnen Lernbereiche integriert werden, uch wenn sie im Lehrpln gebündelt usgewiesen sind. Die im Lehrpln gehen von der durchgängigen Nutzung elektronischer Hilfsmittel us. Bei eingeschränkter Verfügbrkeit dieser Hilfsmittel gewinnt ds Einüben von Klkülen eine größere Bedeutung. In der Sekundrstufe I werden im Rhmen der Bildungsstndrds sechs Allgemeine mthemtischen Kompetenzen für die Auseinndersetzung mit Mthemtik herusgestellt. Die Kompetenzen beschreiben die übergeordneten Ziele des Mthemtikunterrichts und geben Anhltspunkte für seine Gestltung und Bewertung. K Mthemtisch rgumentieren K Probleme mthemtisch lösen K3 Mthemtisch modellieren K4 Mthemtische Drstellungen verwenden K5 Mit symbolischen, formlen und technischen Elementen der Mthemtik umgehen K6 Kommunizieren Die Schulung dieser Kompetenzen durchzieht nch ersten Ansätzen in der Primrstufe die Lernbereiche Arithmetik, Algebr, Geometrie und Stochstik der Sekundrstufe I und wird dnn in den Lernbereichen Anlysis, nlytische Geometrie, linere Algebr und Sttistik der Sekundrstufe II weiterentwickelt. Hier bilden die Allgemeinen Prüfungsnforderungen in der Abiturprüfung den Rhmen, in den sich die Unterrichtsgegenstände und ds Anforderungsprofil einfügen. Eplizite Angben einzelner Kompetenzen im Lehrpln weisen uf sich nbietende Schwerpunktsetzungen im Unterricht hin. Juni 008 Stnd August 0 3

5 Mthemtik, E-Kurs (. Hlbjhr). Vollständige Induktion 5 Stunden Der vorliegende Lernbereich sollte nicht ls isolierter Vorspnn gesehen werden, sondern vielmehr ds Grundverständnis des Beweisgednkens vermitteln, um in nderen Lernbereichen n Ort und Stelle zur Beweisführung zum Einstz zu kommen. Der hier usgewiesene Stundennstz ist dnn den entsprechenden Lernbereichen nteilig zuzuweisen. Mit der vollständigen Induktion lernen die Schülerinnen und Schüler ein Beweisverfhren kennen, ds uf dem Induktionsiom für ntürliche Zhlen bsiert. Im inhltlichen Kontet des ersten Hlbjhres knn mn die vollständige Induktion einsetzen, um etw Vermutungen über Ableitungen bestimmter Funktionen zu beweisen. Sofern im zweiten Hlbjhr im Rhmen von äquidistnten Zerlegungen Summenformeln von Potenzen mit ntürlichen Bsen zur Sprche kommen, bestehen weitere Übungsmöglichkeiten für dieses Beweisverfhren. Vollständige Induktion (K) Aussgeformen über Beispiele, Vermutungen ufstellen Induktionsiom und Beschreibungsstruktur für Algorithmen Beweisprinzip der vollständigen Induktion Verifizierungen in der Informtik Beispiele für Beweise zum spirlförmigen Arbeiten oder zum immnenten Wiederholen nutzen, z.b. bei der Potenzregel, beim Bilden höherer Ableitungen von f(), bei der Summenformel der geometrischen Reihe oder bei Summen von Potenzen mit ntürlicher Bsis bei festem Eponent Beispiele ußerhlb des Oberstufenlehrplns (z.b. zu Teilbrkeitsfrgen) meiden Chnce zum heuristischen Arbeiten Tbellenklkultion liefert Dtengrundlge zur Heuristik Summenformeln: n k = 0 n k = 0 n k = 0 k k k 3 = = = 6 4 n ( n + ) n ( n + ) (n + ) n ( n + weitere Summenformeln mit CAS Einführungsphse: Folgen Stnd August 0 4

6 Mthemtik, E-Kurs (. Hlbjhr). Funktionen und ihre Termstrukturen 5 Stunden Nch einer Wiederholung der Potenzfunktionen und der llgemeinen Sinusfunktion schließen sich gnzrtionle und gebrochenrtionle Funktionen n. Wichtige Eigenschften dieser Funktionen lssen sich bereits ohne Differenzilrechnung us den Untersuchungen der Nullstellen und des Grenzwertverhltens ermitteln. Der Vorrt n Funktionen wird durch die beknnten Verknüpfungen wie ds Addieren, Subtrhieren, Multiplizieren und Dividieren sowie durch die vertruten Abbildungen wie Strecken, Spiegeln und Verschieben erweitert. Mit dem Verketten und dem Umkehren von Funktionen stehen weitere wirkungsvolle Instrumente zur Verfügung. Die Interprettion zusmmengesetzter Funktionen ls Hintereinnderusführung von Grundfunktionen strukturiert die entsprechenden Klküle hinsichtlich Stetigkeit und Differenzierbrkeit. Ds Wechselspiel von Funktion und Umkehrfunktion smt Eistenzfrgen ist ein immer wiederkehrendes Muster nicht nur mthemtischer Frgestellungen. Wiederholen der Grundfunktionen chrkteristische Eigenschften einfche Verknüpfungen Linere Funktionen, qudrtische Funktionen, Potenzfunktionen, llgemeine Sinusfunktion Gnzrtionle Funktion Definition des Begriffs der gnzrtionlen Funktion Polynomdivision und Teilbrkeit von Polynomen mimle Anzhl von Nullstellen gnzrtionler Funktionen Definition der Vielfchheit einer Nullstelle k f ) = ( ) g( ), g( ) 0 ( 0 0 linere und qudrtische Funktionen ls Sonderfälle Klssenstufe 9: Polynomdivision Teilbrkeit durch Linerfktor ( 0 ), wenn 0 Nullstelle ist (K5) Verluf der Grphen in Abhängigkeit vom Grd k-fche Nullstelle Nullstellen gerdzhliger Vielfchheit lokle Etrempunkte uf der -Achse us Wertetbelle und Vorzeichenbetrchtung herus entwickeln Nullstellen ungerdzhliger Vielfchheit k > Sttelpunkte uf der -Achse us Wertetbelle und Vorzeichenbetrchtung herus entwickeln z. B. kubische Prbel Monotonie, Krümmung Skizzieren von Grphen gnzrtionler Funktionen mit vorgegebenen mehrfchen Nullstellen Erkennen der Vielfchheiten von Nullstellen bei Grphen und Aufstellen von Termen zu vorgegebenen Grphen Funktionsterme in fktorisierter Form vorgeben (K4) fkulttiv: Vielfchheit von 0 mit f( 0 ) = c ls Vielfchheit der Nullstelle von f c, Etremstellenkriterium Stnd August 0 5

7 Mthemtik, E-Kurs (. Hlbjhr). Funktionen und ihre Termstrukturen 5 Stunden Rtionle numerisches Überprüfen Definition der Begriffe der rtionlen und Kehrwertfunktion ls Sonderfll der gebrochenrtionlen Funktion eigentliche Grenzwerte Einführungsphse: Grenzwerte von Funktionen Möglichkeit des Wiederholens von Klkülen und der Grundfunktionen Grenzverhlten gnzrtionler Funktionen für + bzw. Leiteponenten und -koeffizienten bestimmen den Globlverluf Grenzverhlten gebrochenrtionler Funktionen uneigentliche (einseitige) Grenzwerte keine Definitionen uneigentlicher Grenzwerte für 0 mit 0 D Verwenden des Symbols lim Zerlegen von Zähler und Nenner gebrochenrtionler Terme in Linerfktoren (K5) Polstellen und Polgerden mit und ohne Vorzeichenwechsel Grenzverhlten für + bzw. Polynomdivision bei unecht gebrochenrtionlen Funktionen (K5) Asymptoten insbesondere bei unecht gebrochenrtionlen Annäherungsverhlten n Asymptote Funktionen Beschränkung uf Asymptoten höchstens eigentliche Grenzwerte für 0 mit 0 D Skizzieren von Grphen gebrochenrtionler Funktionen, uch mit mehrfchen Nullstellen des Zählers und Nenners Aufstellen von Termen zu vorgegebenen Grphen Verkettung von Funktionen Definition Bezeichnung: äußere und innere Funktion Symbolik ( g o h )( ) = g( h( ) ) Nichtkommuttivität zweiten Grdes behebbre Lücken fkulttiv: Regel von de L Hospitl (K4) Die chrkteristischen Nullstellen- und Grenzwertmerkmle werden im Rhmen der Behndlung von Verknüpfungen von rtionlen Funktionen mit e- und ln-funktionen wieder ufgegriffen ( ) z.b. e und (K) ln( Grphen mit elektronischen Hilfsmitteln (Problemtisieren des Verhltens bei Polstellen) Bedingung n Wertemenge und Definitionsmenge im Verknüpfungsbereich bechten llgemeine Sinusfunktion oder qudrtische Funktion in Scheitelpunktsform Sprechweise: g nch h fkulttiv: Itertion von Funktionen Stetigkeit der Verkettung Stnd August 0 6

8 Mthemtik, E-Kurs (. Hlbjhr). Funktionen und ihre Termstrukturen 5 Stunden Umkehrfunktionen können uch im Zusmmenhng mit der Einführung der ln-funktion behndelt werden. Hlbjhr: Eponentilfunktionen und ln-funktion Symbolik f Abgrenzung zum Eponenten - Umkehrbrkeit Vernschulichung m Grph jede Prllele zur -Achse schneidet den Grph in höchstens einem Punkt (K4) Monotonie ls hinreichendes Kriterium für die Umkehrbrkeit nicht notwendig, kontrstierend ist z.b. die Kehrwertfunktion Umkehrfunktionsterme Grphen Spiegelung n der ersten Winkelhlbierenden Verkettung von Funktion und Definitionsmenge je nch Reihenfolge: Umkehrfunktion f of = id bzw. f o f = id Wf Df Stnd August 0 7

9 Mthemtik, E-Kurs (. Hlbjhr) 3. Eigenschften differenzierbrer Funktionen 30 Stunden Die klssische schemtisierte Funktionsdiskussion ht ngesichts der Verfügbrkeit grphikfähiger elektronischer Systeme n Bedeutung verloren. Dmit einhergehend wird die isolierte Behndlung von Funktionen gemäß den Funktionenklssen ufgelöst, die Funktionsterme sind zunehmend durchmischt. Zu berbeiten sind gnzrtionle und gebrochenrtionle Funktionen sowie einfche Verknüpfungen mit der Sinusfunktion und der Wurzelfunktion. Dbei sollten llerdings die Sinusfunktion und die Wurzelfunktion nur zu einfchen Funktionstermen hinzugezogen werden. Die Methoden der Differenzilrechnung zur Ermittlung der Eigenschften von Funktionen und des Verlufs ihrer Grphen müssen nch Bedrf mit CAS- Unterstützung beherrscht werden. Neben ds Anlysieren vorgegebener Kurven tritt uch ds Modellieren von Kurven nch vorgegebenen Bedingungen gleichberechtigt hinzu. Ableitungen Einführungsphse: Einführung in die Differenzilrechnung Ableitungsfunktion globle Differenzierbrkeit gltter Verluf des Grphen Kontrstierung durch Betrgsfunktionen Differenzierbrkeitsmenge D z.b. bei der Wurzelfunktion Symbolik f () Ableitung ls Funktion f : D grphische Gegenüberstellung von Funktion und ihrer Ableitung Beweis: Differenzierbre Funktionen sind stetig Ableitung der Sinusfunktion mit f() = sin() Skizzieren des Grphen der Ableitung bei vorgegebenem Funktionsgrph und umgekehrt Widerlegung der Umkehrung Äquivlenz der Kontrposition des Stzes Begriffe notwendig und hinreichend Vernschulichen mit Hilfe des Grphen mit π f ( ) = sin + ( ) π Kosinusfunktion und ihre Ableitung cos ( ) = sin( + ) = sin' ( ) Ableitungsregeln Beweise von Grundussgen und Formeln zur Differenzierbrkeit uch Einstz von CAS Fktorregel und Beweis Wiederholung us Einführungsphse Summenregel und Beweis Wiederholung us Einführungsphse Produktregel und Beweis Vernschulichung m Zuwchs einer Rechteckfläche Quotientenregel Beweis mit Hilfe von Produktregel und Kehrwertregel Kettenregel ( g o h) ( 0 ) = g ( h( 0 )) h ( 0 ) Beweis der Kettenregel für ( f ( ) ) n mit vollständiger Induktion Anwendung: rithmetischer Mittelwert ls Minimumstelle von d und Vergleich mit der Stndrdbweichung bei d( ) = fkulttiv: Mittelwertstz Ableitungsregel für die Umkehrfunktion höhere Ableitungen Verschwinden bei gnzrtionlen Funktionen Vollständige Induktion zum Nchweis struktureller Schemt Stnd August 0 8 n i = ( i )

10 Mthemtik, E-Kurs (. Hlbjhr) 3. Eigenschften differenzierbrer Funktionen 30 Stunden Monotonie und Etrempunkte einml stetig differenzierbre Erstellen der Ableitungsterme und Lösen uftretender Gleichungen mit CAS Monotonie und strenge Monotonie Klssenstufe 9: Definition der Monotonie Monotonie von Potenzfunktionen Einführungsphse: Monotoniebegriff bei Folgen Monotoniekriterium notwendige und hinreichende Bedingungen Monotoniewechsel Monotonieintervlle Etrempunkte Etremwert oder Etremum, Etremstelle lokle und globle Etrem Etremstellenkriterien Beweis eines Kriteriums f ( 0 ) = 0 ls notwendige Bedingung im Innern von D Vorzeichenwechsel von f ls hinreichende Bedingung f ( 0 ) = 0 f ( 0 ) 0 ls hinreichende Bedingung Krümmung und Wendepunkte Krümmungsrt Monotonieverhlten der Ableitung ls Abweichungsverhlten von der jeweiligen Tngentenrichtung z.b. kubische Prbel nicht notwendig, + sin( ), flls 0 z.b. f ( ) = 0, flls = 0 uch nwendbr, wenn f in 0 stetig, ber nicht differenzierbr ist nicht notwendig zweiml stetig differenzierbre Erstellen der Ableitungsterme und Lösen uftretender Gleichungen mit CAS Links- bzw. Rechtskrümmung (K4) durch Koordintensystem geprägtes Verständnis innergeometrisch geprägtes Verständnis Krümmungskriterien Übertrgung der Monotoniekriterien z.b. bei f ( ) = + sin( ) Krümmungswechsel Klssenstufe 9: Krümmungsintervlle Grphen von Potenzfunktionen (K4) Wendepunkte notwendige und hinreichende Bedingungen Sttelpunkte Punkte etremler Steigung bei zweiml bzw. dreiml differenzierbren Funktionen Übertrgen der Etremstellenkriterien fkulttiv: Krümmungsmß Stnd August 0 9

11 Mthemtik, E-Kurs (. Hlbjhr) 3. Eigenschften differenzierbrer Funktionen 30 Stunden Anlysieren von Grphen und Funktionen nhnd des beknnten Vorrts von gnzrtionlen und gebrochenrtionlen Funktionen sowie einfchen Verknüpfungen dieser Funktionen, uch mit der Sinusfunktion und der Wurzelfunktion chrkteristische Eigenschften keine schemtisierten vollständigen Funktionsdiskussionen, jedoch breit gestreute Anwendung der dort benötigten Busteine differenzilgeometrische Grundufgben Aufstellen von Tngenten- und Normlengleichungen Berechnen von Steigungswinkeln einprmetrige Funktionenschren chrkteristische Eigenschften in Abhängigkeit vom Prmeter Ortslinien uch von Punkten ußerhlb des Grphen Einführungsphse: Gleichungen der Tngenten fkulttiv: Funktionenplotter eperimentell entdeckender Zugng mit Hilfe von Funktionenplottern. Hlbjhr: Eponentilfunktionen und ln-funktionen Etremwertufgben (K3) Optimierungsprobleme in Geometrie, Wissenschft und Wirtschft Einbeziehung von Rnduntersuchungen differenzilgeometrisch n Grphen lltgsbezogene Problemstellungen sowohl geometrisch ls uch lgebrisch dominierte Situtionen Modellieren mit Hilfe von Grphen Vriieren zwischen systemtischen Ansätzen und deren Auswertung sowie eperimentellem Verwenden von Regressionsmenüs bei CAS Profile Vsen, Gläser, Teile von Buwerken (K3) Stilelemente in der 3D-Drstellungen mit Hilfe von Zeichenprogrmmen Übergänge Anpssen von Steigung und Krümmung (K3) Stnd August 0 0

12 Mthemtik, E-Kurs (. Hlbjhr). Flächeninhlte und Stmmfunktionen 5 Stunden Die Vorüberlegungen zum Integrlbegriff folgen dem didktischen Konzept des Übergngs von der Änderung zum Bestnd. Dmit wird wie in der Differenzilrechnung die inhltliche Bedeutung in den Mittelpunkt gestellt. Die Frge der Eistenz und Eindeutigkeit von Flächenund Ruminhlten wird im schulischen Rhmen nur ngesprochen ber nicht bentwortet. Die untersuchten Punktmengen lssen sich mit Hilfe von Ausschöpfungen durch beknnte Flächenmße erfssen. Durch die Beschränkung uf stetige Funktionen über bgeschlossenen Intervllen kommt mn mit den Begriffen Mimum und Minimum us (die im Rhmen einer Verllgemeinerung durch die Begriffe Supremum und Infimum zu ersetzen wären). Die bereits beknnten Grundfunktionen sollten die Huptrolle spielen. Einen ttrktiven Einstieg in die Themtik bieten Flächen unter Messkurven, denen eine nwendungsbezogene Bedeutung zukommt, wie etw der Weg ls Flächeninhlt unter der Geschwindigkeits-Zeit-Kurve. Der Schritt zum Stmmfunktionsbegriff ist durch die Anlyse von Flächeninhlten bei Grphen von Potenzfunktionen geleitet. Von der Änderung zum Bestnd Beschränkung uf stetige Beispiele Lernbereich : Huptstz Anwendungsbeispiele von Geschwindigkeit und Zeit zum Weg von Krft und Weg zur Arbeit von Grenzkosten und Stückzhl zu Produktionskosten Schbezogene Interprettion des Flächen zwischen Grph und -Achse Flächeninhltes uch über Teilintervllen Flächeninhltsbestimmungen bei nichtnegtivwertigen stetigen Funktionen Einführungsphse: Stetigkeitssätze Symbolik: μ (A) Abschätzungen mittels Rechtecken zeichnerische Drstellungen (K4) ( b ) min f μ ( A) ( b ) m f Eingrenzungen mittels Treppenflächen U ( f ; Z ) μ ( A) O ( f ; Z ) eemplrische Berechnungen für vorgegebene Zerlegungen Ober- und Untersummen Bestimmung des Inhltes der Fläche zwischen Normlprbel und -Achse bei äquidistnter Zerlegung CAS-Einstz. Hlbjhr: Vollständige Induktion Verträglichkeit mit dem elementrgeometrischen Flächeninhltsbegriff bei gerdlinigen Grphen Wiederholen der Flächeninhltsformeln für Trpez und Dreieck, Additivität des Flächenmßes fkulttiv: numerische Annäherung des Flächeninhlts Stmmfunktionen Begriff der Stmmfunktion Definition: D F = D f und F () = f() Symbole F, G,... Stmmfunktionen trgen ls Nmen die den Funktionsnmen entsprechenden lteinischen Großbuchstben Bildung von Erstellen und Überprüfen mit CAS Potenzregel Nichtnwendbrkeit bei der Kehrwertfunktion Umkehrung von Ableitungsregeln Kontrolle der Stmmfunktionen durch Ableiten Linere Substitution h ( ) = f ( α + β) mit H( ) = F( α + β) α (K5) Stnd August 0

13 Mthemtik, E-Kurs (. Hlbjhr). Flächeninhlte und Stmmfunktionen 5 Stunden Eindeutigkeit der Stmmfunktion über Intervllen bis uf dditive Konstnten Eistenz von Stmmfunktionen bei stetigen Funktionen ohne Beweis Kontrstierung, z.b. durch Bestimmung ller Stmmfunktionen zu ohne Beweis z.b. die Eistenz von Stmmfunktionen zu Wiederholung des Stetigkeitsbegriffs Stnd August 0

14 Mthemtik, E-Kurs (. Hlbjhr). Integrle 5 Stunden Der uf der Riemnn schen Definition bsierende Integrlbegriff wird uf stetige Funktionen über bgeschlossenen Intervllen [;b] eingeschränkt. Als fundmentler Stz stellt der Huptstz die Verbindung zur Differenzilrechnung her und ermöglicht ds Berechnen von Integrlen durch ds Aufsuchen von Stmmfunktionen. Die dbei nzuwendenden Regeln sind direkte Folgerungen us dem Huptstz und den Ableitungsregeln. Die sich us der Kettenregel ergebende Substitutionsregel wird nur für einfche Fälle behndelt; die Regel der prtiellen Integrtion wird nicht behndelt. Bei schwierigen Integrtionen vertrue mn uf den Einstz von Computerlgebrsystemen, jedoch sollte die Bedeutung von Integrtionsregeln für die Arbeitsweise dieser Systeme hervorgehoben werden. Die Behndlung der numerischen Integrtion ist nur bei Verfügbrkeit von Tschencomputern sinnvoll. Über Flächeninhlte ls Bestndsgrößen in Digrmmen lssen sich vielfältige Bezüge zu unterschiedlichen Schgebieten herstellen. Drüber hinus ist die grundlegende Bedeutung des Integrlbegriffs für die Definition von Mittelwerten hervorzuheben. Den Abschluss des Kpitels bilden Modellierungen, die sich des Differenzil- und Integrlklküls bedienen. Integrlbegriff für stetige Funktionen Untersumme U n = U ( f ; Z), Obersumme O n = O ( f ; Z) bei äquidistnter Zerlegung Z von [;b] in n Teilintervlle Wiederufgreifen der Begriffe us dem Lernbereich die nicht notwendige Beschränkung uf Äquidistnz vereinfcht die Untersuchungen Gleichheit des Grenzwertes der Unter- und Obersummen bei einer beliebigen Folge unbegrenzt feiner werdender äquidistnter Zerlegungen Definition des Integrls ls gemeinsmer Grenzwert der Unter- und Obersummen bei einer Folge unbegrenzt feiner werdender äquidistnter Zerlegungen: b f ( ) d = lim Un = lim On n Berechnen und Drstellen mit elektronischen Hilfsmitteln ohne Beweis, eemplrischer Nchweis z.b. mit Potenzfunktionen Interprettion ls Summtion infinitesimler vorzeichenbehfteter Teilflächeninhlte (K6) Bernhrd Riemnn (86-866) Gottfried Wilhelm Leibniz (646-76) Berechnung von Integrlen Summtion oder Rückführung uf Flächeninhltsfunktionen und Stmmfunktionen Erweiterung des Integrlbegriffs Gleichheit der Integrtionsgrenzen f ( t)dt = 0 ls Definition Vertuschung der Integrtionsgrenzen b f ( t)dt = b f ( t) dt ls Definition Stnd August 0 3

15 Mthemtik, E-Kurs (. Hlbjhr). Integrle 5 Stunden Integrlfunktionen Zusmmenhng mit orientierten Flächen Definition: I c : [; b] ; f ( t) dt mit c [ ; b] Integrtionsvrible neu benennen c Huptstz: Beweis ohne Nchweis der Eistenz des Integrls (K) Wenn f : [; b] stetig ist, die Umkehrussge ist flsch, weil Stmmdnn ist für jedes c [ ; b] die Integrlfunktion funktionen stets um beliebige dditive Konstnten I c : [; b] eine Stmmfunktion bgeändert werden können von f Gegenbeispiel: f ( ) = und F( ) = + Folgerung: b [ F( t ] b f ( t)dt = F( b) F( ) = ) eplizite und implizite Drstellungen von Stmmfunktionen Eigenschften des Integrls Linerität b ( α f ( t) +β g( t) ) dt =α f ( t)dt +β Intervlldditivität b f ( t)dt = c f ( t)dt + b c b f ( t) dt Berechnen von Integrlen der Form b g( h( )) h' ( ) d Uneigentliche Integrle Integrtionsgrenzen + oder Definition + f ( )d = lim z z + f ( ) d b g( t) dt z.b. Kehrwertfunktion ls Integrnd Lernbereich 3: ln-funktion (K4), (K6) knn zum Beweis in Funktionendditivität und Proportionlität ufgesplittet werden (K4), (K6) Beweis über Huptstz und Stmmfunktion, stetige Differenzierbrkeit vorussetzen Umkehrung der Kettenregel keine Behndlung von Substitution. Art, prtieller Integrtion und Prtilbruchzerlegung (K4), (K6) nlog für untere Grenze Flächen, die sich ins Unendliche erstrecken fkulttiv: Integrtion mit Integrtionsgrenze b \ D Bestndsgrößen in Berbeitung der nstehenden Lösungsschritte mit CAS Flächeninhltsbestimmungen n Grphen rtionle und trigonometrische Funktionen; Wurzel-, Eponentil- und Logrithmusfunktionen (K3) zwischen Grphen und der -Achse Weglänge im Geschwindigkeits-Zeit-Digrmm, z.b. t s ([ t ]) = ; t v( t ) dt t Arbeit im Krft-Weg-Digrmm, z.b. r W ([ r ]) = ; r F( r ) dr zwischen zwei Grphen r im Zentrlfeld fkulttiv: Bogenlänge von Kurven Stnd August 0 4

16 Mthemtik, E-Kurs (. Hlbjhr). Integrle 5 Stunden Mittelwertbestimmungen n Grphen elektrische Leistung n ohmschen Widerständen bei Wechselstrom: Mittelwert bei sin ( ) y = b f ( ) d b Mittelwertbegriff im Kontinuum Mittelwertprllele Ausgleich der Flächeninhlte ober- /unterhlb der Mittelwertprllelen (K4) Rottionsvolumin Rottion um die -Achse Prinzip von Cvlieri (K6) b Bei Rottionskörpern ist A() = π V ([ ; b] ) ( f ()) = der Inhlt der Querschnittsfläche n der Stelle A( ) d Bonventur Cvlieri ( ) Bezug zur Intervlldditivität beim Integrlklkül fkulttiv: Volumen und Oberflächeninhlt der Kugel Füllkurven Rottion um die y-achse Stnd August 0 5

17 Mthemtik, E-Kurs (. Hlbjhr) 3. Eponentilfunktionen und ln-funktion 0 Stunden Ausgehend von eponentiellen Wchstums- und Zerfllsprozessen und dem uf reelle Eponenten erweiterten Potenzbegriff werden zunächst Eigenschften der Eponentilfunktionen untersucht. Die Proportionlität der Ableitungen zu den Funktionswerten führt zum Sonderfll der Gleichheit von Ableitung und Funktion und somit zur e-funktion. Die ln-funktion und Eponentilfunktionen sind sowohl innermthemtisch wie uch in vielen Anwendungsbereichen von großer Bedeutung. Ihre Funktionleigenschften spiegeln sich in den Rechengesetzen für Potenzen und Logrithmen wieder. Eponentielles Wchstum Einführungsphse: Wchstumsprozesse geometrische Folge n = 0 q Beispiele Kpitlentwicklung mit und ohne Zinseszins, Modelle der Bevölkerungsentwicklung, rdioktiver Zerfll, Abnhme des Blutlkoholgehltes (K3) chrkteristische Merkmle Quotientengleichheit Grenzwertverhlten Kontrstierung zum lineren Wchstum: multipliktive versus dditive Änderung der Größe bei gleicher Zunhme der Argumente, Änderungsrten konstnt versus proportionl zum Bestnd Potenzen mit reellen Eponenten Klssenstufe 9: Potenzen eemplrische Intervllschchtelungen zu Einstz von Tbellenklkultion Übernhme der Rechengesetze Eponentilfunktionen Eigenschften der Funktionen: b, D = Einstz von Funktionenplottern Wertebereich Monotonie Grenzwerte für + bzw. Funktionleigenschft für = f ( + y) = f ( ) f ( y) Zusmmenhng zwischen b und bzw. b b e-funktion (K) Differenzierbrkeit von b + h h b b Beweis: f' ( ) = f' ( 0) f ( ) lim = b lim h 0 h b h = b f ( 0) h 0 Differenzierbrkeit n der Stelle 0 wird vorusgesetzt, Ableiten durch Strecken in Berechnung von f ' (0) für versch. Bsen n Whl der speziellen Folge n ( b ) zur Berechnung von Näherungswerten von f (0) Definition der eulerschen Zhl e e ls Bsis der Eponentilfunktion mit f' ( 0) = n Leonhrd Euler ( ) e = lim +, 7 n n n n b n = b = + n Definition der e-funktion mit e lterntive Bezeichnung: ep() n Stnd August 0 6

18 Mthemtik, E-Kurs (. Hlbjhr) 3. Eponentilfunktionen und ln-funktion 0 Stunden Eigenschften der e-funktion Monotonie und Krümmung Anwenden der Kriterien. Hlbjhr: Eigenschften differenzierbrer Funktionen Grenzwerte Grph zusmmengesetzte Funktionen mit Beteiligung der e-funktion Quotienten, Produkte und Verkettungen mit gnzrtionlen Funktionen Grenzwerte von n e c für + bzw. z.b. hyperbolische Funktionen sinh, cosh cosh( ) = ( e + e ); sinh( ) = ( e e ); cosh ( ) sinh ( ) = Hyperbelgleichung versus Kreisgleichung k ( u) z.b. Gußfunktionen mit e 4. Hlbjhr: Hinuszoomen der Grphen zur Drstellung des Grenzwertverhltens ln-funktion Definition ls Umkehrfunktion der e-funktion Kleinscher Weg der Einführung der ln-funktion: ln( ) : = dt t ls Alterntive zum vorliegenden Lehrpln Eigenschften (K5) Differenzierbrkeit und Ableitung fkulttiv im. Hlbjhr: Ableitungsregel für die Umkehrfunktion Die Differenzierbrkeit und der Ableitungsterm ergeben sich durch Anwenden der Kettenregel: d d ln( e ) = ln( e ) = d d d d ln( y) e = ln( y) = dy dy y y = e Stmmfunktionen F( ) = ln( ) Monotonie und Krümmung Nullstelle Funktionleigenschften ln ) = ln( ) + ln( ) ( ln( r ) = r ln( ) ln(b) Folgerungen us Eigenschften der e-funktion Folgerungen us der Funktionleigenschft der e-funktion bzw. us den Potenzgesetzen Folgerung: b = e Grenzwerte für + und für 0 + Zurückführen uf Grenzwerte der e-funktion oder Symmetriebetrchtung und Abschätzungen m Grph der Kehrwertfunktion Wertemenge Integrlfunktion ln( ) = dt Lernbereich : Integrlfunktionen t geometrische Deutung ls Flächeninhltsfunktion Stnd August 0 7

19 Mthemtik, E-Kurs (. Hlbjhr) 3. Eponentilfunktionen und ln-funktion 0 Stunden zusmmengesetzte Funktionen Quotienten, Produkte und Verkettungen mit gnzrtionlen Funktionen Grenzwerte von ln ( ) n für + Grph von ln(g()) durch Verketten der Grphen von g und ln Stmmfunktionen zu f ( ) g ( ) g( ) Logrithmusbegriff Logrithmusbegriff log b () ls Lösung von b y = log b () = 0 log b ( b) = ln( ) = loge ( ) logc ( ) ln( ) logb ( ) = = log ( b) ln( b) Hinuszoomen der Grphen zur Drstellung des Grenzwertverhltens = F ( ) = ln ( g( ) ) (K4), (K5) Beschränkung uf Bsen b > (ohne Einschränkung der Allgemeinheit) Eindeutigkeit der Lösung themtisieren us den Funktionleigenschften der ln-funktion ergeben sich die Logrithmengesetze fkulttiv: llgemeine Logrithmusfunktion mit log Modellieren von Wchstumsprozessen Beschreibung von Wchstumsvorgängen und von periodischen Vorgängen (fkulttiv) (K3) eponentielles Wchstum Begriff Wchstum schließt den Zerfll ein Differenzilgleichung f' ( ) = k f ( ) Anwendungsufgben rdioktiver Zerfll beschränktes Wchstum Differenzilgleichung f' ( ) = k ( S f ( ) ) Lösen durch Übergng zur Funktion g = S f Anwendungsufgben Beispiele us Ntur, Gesellschft und Wirtschft b ( ) fkulttiv: logistisches Wchstum hrmonische Schwingung Stnd August 0 8

20 Mthemtik, E-Kurs (3. Hlbjhr). Vektoren 0 Stunden Im Unterricht erfolgt der Zugng zu Vektoren uf klssische Weise durch Trnsltionen. Die Vernschulichung der Vektoren ls Pfeile, welche wiederum die Trnsltionen repräsentieren, erhebt nicht den Anspruch, ein Modell für weitergehende Interprettionen zu liefern. Im Vordergrund stehen die Beziehungen zwischen den neuen Objekten. Im vorliegenden Lernbereich geht es um ds Bereitstellen und den rechnerischen Umgng mit dem neuen Klkül. Bezüge zu relen Situtionen sind nzustreben. Punkte im Anschuungsrum Punkte ls geometrische Grundbusteine Symbole A, B, C,..., P, Q, Anschuungsrum E 3 krtesisches Koordintensystem Dimensionlität prweise orthogonle Achsen Rechtssystem Punkte und ihre Koordinten Koordintentripel Symbolik P(p p p 3 ) Sprechweise: Koordinten eines Punktes Auffssung des Rumes ls Punktmenge euklidischer Abstndsbegriff René Descrtes ( ) Klssenstufen 5 und 6: Koordintensysteme Dreifingerregel der rechten Hnd Lorentzkrft umkehrbr eindeutige Zuordnung Koordintenquder (K4) Einbettung von E in E 3 Drstellung im Schrägbildverfhren Hilfslinien zum Ablesen von Koordinten, z.b. Punkt ls Eckpunkt eines Koordintenquders, Problem der 3D-Visulisierungen Trnsltionen ls Vektoren Trnsltionen in verschiedenen Konteten Bewegungen von Figuren bei Brettspielen, von Körpern im Rum, von Grphen Klssenstufe 7: Symmetrie durch Verschiebung (Bndornmente) vektorielle physiklische Größen Pfeildrstellung unendlich viele prllele, gleich lnge Pfeile mit gleicher Orientierung Klssenstufe 6: Drstellung einer rtionlen Zhl durch unendlich viele Brüche Symbol PP ' unendlich viele Pre von Punkten mit gleicher Differenz der Koordinten Komponenten- bzw. Koordintendrstellung Ortsvektoren Definition Trnsltion, die den Ursprung uf A bbildet Symbolik OA oder uch umkehrbr eindeutige Zuordnung zwischen Punkt und Ortsvektor die Koordinten des Punktes sind die Komponenten des Ortsvektors der Pfeil für OA, im Ursprung ngetrgen, endet in A Komponentendrstellung (K4) Sprechweise: Komponenten eines Vektors Symbol im 3 bzw. im mit den Komponenten i = p i' pi 3 Einbettung von in 3 dritte Vektorkomponente 0 setzen Stnd August 0 9

21 Mthemtik, E-Kurs (3. Hlbjhr). Vektoren 0 Stunden Bezeichnung Vektor Symbol Identifiktion: Nullvektor ls Trnsltion PP entrtete Pfeile 0 Symbol 0 0 = 0 0 Gegenvektor ls Umkehrtrnsltion = PP', = P' P = bzw. = 3 Symbol Bedeutungen des Minuszeichens Addition von Vektoren ls Hintereinnderusführung von Trnsltionen Symbolik + b im Pfeilbild: PQ + QR = PR Abbildung von neue Bedeutung des Pluszeichens Aneinnderfügen von Pfeilen, Prllelogrmmdigonle Kräfteprllelogrmm ls komponentenweise Addition Kommuttivität und Assozitivität Vernschulichen durch Wege m Prllelogrmm bzw. m Spt Subtrktion ls Addition des Gegenvektors neue Bedeutung des Minuszeichens Klssenstufe 6: Subtrktion gnzer Zhlen Pfeil des Differenzvektors erstellen Drstellen von Vektoren in Körpern ls Summen und Differenzen von Kntenvektoren S-Multipliktion ls Vervielfchung einer Trnsltion Klssenstufe 9: zentrische Streckung Konstruktion der Pfeile durch zentrische Streckung Symbolik λ neue Bedeutung des Mlzeichens Vernschulichen in Pfeilbildern Abbildung von 3 3 ls komponentenweise Multipliktion Anwenden der Strhlensätze gemischte Assozitivität λ ( μ ) = ( λ μ ) zwei Arten von Distributivität λ ( + b ) = λ + λ b (K5) komponentenweises Nchrechnen Folgerungen: = (Unitrität); ( λ + μ ) = λ + μ 0 = 0 ; λ 0 = 0 Kollinerität zweier Vektoren Prllelität der Pfeile; b = λ bzw. = μ b Sonderfll: Der Nullvektor ist kolliner zu jedem Vektor Linere Abhängigkeit 3 ls Vektorrum der Trnsltionen Grundeigenschften eines Vektorrums Zusmmenstellen der bereits errbeiteten Eigenschften, Begriff der belschen Gruppe Stnd August 0 0

22 Mthemtik, E-Kurs (3. Hlbjhr). Vektoren 0 Stunden Euklidischer Vektorrum Definition des Betrgs eines Vektors Abbildung von 3 Symbolik: + 3 = + Verträglichkeit mit dem Zhlenbetrg λ = λ (K5) 0 Normieren von Vektoren: = Digonlenlänge eines Koordintenquders Klssenstufe 8: Stz von Pythgors Kennzeichnung durch hochgestellte 0 Länge einer Strecke: PQ = PQ Betrg der Trnsltion PQ Winkel zwischen zwei Vektoren Definition ls geometrisches Objekt Berechnung über den Kosinusstz mit konkreten Zhlen bzw. Koordinten Stndrdsklrprodukt zweier Vektoren Abbildung von 3 3 Definition: b + b + 3 b3 Symbolik: b (K5) Kommuttivität: b = b Rückführen uf die Rechengesetze in Distributivität: ( b + c) = b + c Verträglichkeit mit der S-Multipliktion: λ b = λ b = λ b Frge nch der Assozitivität von nicht sinnvoll ( ) ( ) ( ) Betrgsformel = Winkelformel b = b cos (ϕ) Arbeitsbegriff der Physik Orthogonlität zweier Vektoren Definition über b = 0 Sonderrolle des Nullvektors prweise Orthogonlität dreier Vektoren senkrechte Projektion von uf b b 0 0 = b b Aufspnnen eines Quders b = b c = c = 0 Betrg der senkrechten Projektion von uf b : b = 0 b mögliche Hinführung zur Definition von Konzept des neutrlen und inversen Elements bzgl. nicht sinnvoll Superpositionsprinzip für Kräfte oder Bewegungen Zerlegung von Vektoren in Richtungskomponenten Stnd August 0

23 Mthemtik, E-Kurs (3. Hlbjhr). Vektoren 0 Stunden Vektorprodukt Synonym: Kreuzprodukt Abbildung von Definition nur im 3 möglich Symbolik b (K5) Definition: Einstieg über die gleichzeitige Orthogonlität zu b b3 3 b und b b = 3 b b3 3 b3 b b zyklisches Vertuschen der Indizes Orthogonlität zu den Fktoren Antisymmetrie b = b Rechtssystem, b, b Dreifingerregel der rechten Hnd Lorentzkrft Hendrik Antoon Lorentz (853-98) Verträglichkeit mit der S-Multipliktion Betrg des Vektorprodukts Rechnen mit Komponenten und Verwendung von b = b sin(ϕ) Flächeninhlt eines Prllelogrmms Kollineritätskriterium b = 0 sin ( ϕ) = cos ( ϕ) Sptprodukt Abbildung von Definition ls ( b ) c Berechnungsregel von Srrus Pierre Frédérique Srrus (798-86) Volumen des ufgespnnten Spts V = b mit zyklischer Vertuschbrkeit der Vektoren ( ) c Volumen der dreiseitigen Pyrmide V = ( b ) c 6 Komplnrität dreier Vektoren Prllelität ller drei Pfeile zur selben Ebene; = λ b + μ c bzw. b = λ + μ c bzw. c = λ + μ b Bezüge zur Kollinerität herstellen Verllgemeinerung: linere Abhängigkeit und Unbhängigkeit Komplnritätskriterium ( b ) c = 0 (K5) Sonderrolle des Nullvektors Eigenschften besonderer ebener Figuren z.b. Mittendreieck, Digonlen in Prllelgrmm, Rute oder Qudrt, Winkel im Hlbkreis Nchweis von bereits beknnten Eigenschften mit Hilfe der Vektorrechnung Stnd August 0

24 Mthemtik, E-Kurs (3. Hlbjhr). Vektorielle Untersuchung geometrischer Situtionen 0 Stunden Der Euklidische Rum ist ein einfches mthemtisches Modell des Anschuungsrumes. In diesem Lernbereich sollen die mthemtischen Hilfsmittel erweitert und bei der Bewältigung nwedungsbezogener Frgestellungen im dreidimensionlen Rum eingesetzt werden. Die Auszeichnung eines festen Punktes ls Ursprung des Koordintensystems und die Zuordnung zwischen Ortsvektoren und Punkten ist Grundlge der vektoriellen Behndlung der Lge von Punkten und ihrer Beziehungen. Angesichts der Beschränktheit der Punktmengen in Körpern gewinnen die Definitionsbereiche der Prmeter in den Drstellungen von Strecken und Flächen gegenüber dem trditionellen Anstz mit Gerden und Ebenen n Bedeutung. Linerkombintion von Vektoren Linerkombintionen von numerisches Lösen von Gleichungssystemen Gußscher Algorithmus (K5) Einüben mit miml drei Gleichungen und vier Vriblen bei gnzzhligen Lösungstripeln uch ohne elektronische Einstz elektronischer Hilfsmittel fkulttiv: Linere Abhängigkeit und Unbhängigkeit Erzeugendensystem, Bsis Teilverhältnisse in Figuren und Körpern Geometrische Grundobjekte Besondere Punkte einfcher Gebilde Mittelpunkt einer Strecke OM = OA + OB ( ) Schwerpunkt eines Dreiecks OS = OA + OB + OC 3 ( ) Eckenschwerpunkt eines Tetreders OS = OA + OB + OC + OD 4 ( ) Gerden und Strecken (K4) Punktrichtungsgleichung: = + λ Einstz eines 3D-Plotprogrmms z.b. gemeinsmer Mittelpunkt der Digonlen eines Prllelogrmms bzw. der Rumdigonlen eines Spts Nchweis, dss ds Mittenviereck eines beliebigen geschlossenen Polygonzuges mit vier Ecken ein (ebenes) Prllelogrmm ist Ecken- und Flächenschwerpunkt eines Dreiecks stimmen überein Prmetergleichung mit pssendem Prmeterbereich Verwendung der Begriffe Stützvektor und Richtungsvektor Austuschbrkeit des Stützvektors, Sklierbrkeit des Richtungsvektors umkehrbr eindeutige Beziehung zwischen Prmeterwert und Punkt Punktprobe innere und äußere Punkte einer Strecke prmeterfreie Gleichung: ( ) = 0 u Plücker-Form Julius Plücker (80-868) Lgebeziehungen Prllelität, Identität, Windschiefe, Schnitt Klssenstufe 8: Linere Gleichungssysteme Gußscher Algorithmus Stnd August 0 3

25 Mthemtik, E-Kurs (3. Hlbjhr). Vektorielle Untersuchung geometrischer Situtionen 0 Stunden Ebenen und Flächen (K4) Punktrichtungsgleichung: = + λ u + μ v Prmetergleichung mit pssendem Prmeterbereich Stützvektor und Richtungsvektoren ustuschbr, Richtungsvektoren liner unbhängig umkehrbr eindeutige Beziehung zwischen Prmeterwertepr und Punkt Interprettion ls Leitgerde = + λ u mit ngehängten Prllelen = μ v Punktprobe innere und äußere Punkte einer Fläche Schnittgebilde prmeterfreie Gleichungen: Verwendung des Begriffs Normlenvektor ( ) = 0 n Normlenform, Koordintenform, uch in Achsenbschnittsform Hesse-Form Ludwig Otto Hesse (8-874) Lgebeziehungen uch zu Gerden bzw. Strecken Klssenstufe 8: Linere Gleichungssysteme Lernbereich : Gußscher Algorithmus Schnittwinkel Abstände Definition ls minimle Entfernung minimle Entfernung je zweier Punkte der beteiligten Punktmengen (soweit eistent), Vermeidung des Infimum-Begriffs Abstnd Punkt-Punkt d P ;Q Symbolik ( ) p) + ( q p ) + ( q3 3 ) ( q p (K5) Klssenstufe 8: Stz von Berechnung mit elektronischen Hilfsmitteln Abstnd Punkt-Gerde d P ; g Symbolik ( ) Abstnd Punkt-Ebene d P ; e Symbolik ( ) (K) Alterntive Vorgehensweisen: Berechnung ls Schnittproblem mittels einer Hilfsebene elementrgeometrischer Anstz 0 ( P ; g) = u AP d nlytische Lösung ls Etremwertproblem (K) Mögliche Vorgehensweisen Berechnung ls Schnittproblem mit Lotgerde elementrgeometrischer Anstz d 0 ( P ; e) = n AP Spiegelpunkte n Punkten, Gerden und Ebenen Stnd August 0 4

26 Mthemtik, E-Kurs (3. Hlbjhr). Vektorielle Untersuchung geometrischer Situtionen 0 Stunden Untersuchungen n einfchen Polyedern Streckenlängen Winkelmße Flächeninhlte Volumin Abstände (im Rhmen der oben ufgeführten Abstndsberechnungen) Anwendungen n Punktmengen im Alltg z.b. Quder, Prism, Pyrmide Kontetbezüge erwünscht Klssenstufe 6: Schrägbildverfhren (K) mit Bestimmung von Lotfußpunkten (K3), (K) z.b. im Zusmmenhng mit Lichtstrhlen (Refleion, Spiegelbild und Schttenbildung), Bhnen gerdliniger Bewegungen (Treff- und Nvigtionsprobleme), Lge- und Formbeschreibung von Objekten (Lndschft und Architektur) Stnd August 0 5

27 Mthemtik, E-Kurs (4. Hlbjhr). Whrscheinlichkeiten 0 Stunden Die Grundlgen der Whrscheinlichkeitsrechnung sind bereits in den vorusgehenden Klssenstufen behndelt worden. Wiederholungen sollten dzu genutzt werden, ltersgemäße Kontete zu wählen und Aufgben von größerer Kompleität zu berbeiten. Die fchsystemtische Behndlung erfolgt entlng den von Kolmogorow ufgestellten Grundeigenschften eines Whrscheinlichkeitsmßes. In Konteten wird ein verständiger Umgng mit der Symbolik eingefordert. Die Kombintorik stellt für die verschiedenen Urnen- und Kstenmodelle geeignete Zählverfhren bereit, die hier vorrngig dem Verständnis der in der Stochstik uftretenden Termstrukturen dienen soll. Umgng mit der Symbolik Verknüpfen von Ereignissen Gegenereignis A UND-Ereignis A B ODER-Ereignis A B Regeln von de Morgn A B = A B, A B = A B Zerlegungsstz A = ( A B ) ( A B ) Vierfeldertfel mit den Ereignissen A B, A B, A B, A B Grundeigenschften des Whrscheinlichkeitsmßes ls Funktion von der Ereignismenge nch Nichtnegtivität: P( A) 0 Normiertheit: P( Ω) = Additivität: P ( A B) = P( A) + P( B) für unvereinb. Ereignisse Folgerungen us den Grundeigenschften des Whrscheinlichkeitsmßes P( A) = P( A) 0 P( A) P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) P( A) = P( { ω i }) ωi A Visulisieren n Venn-Digrmmen John Venn (834-93) (K4) sprchliche und formle Fssungen Augustus de Morgn (806-87) Andrej Nikoljewitsch Kolmogorow ( ) Erweiterung der Definition der Whrscheinlichkeit von Ergebnissen Vernschulichen n Venn-Digrmmen Additionsstz. Pfdregel Kombintorische Zählverfhren Beschränkung uf die Grundtypen (K3), (K4), (K6) Urnenmodell (Ziehen von Kugeln) mit bzw. ohne Zurücklegen mit bzw. ohne Bechten der Reihenfolge Kstenmodell (Belegen mit Kugeln) nlog. Hlbjhr: Vollständige Induktion k-tupel mit Zurücklegen, mit Bechten der Reihenfolge Anzhl: n n... nk (Multipliktionsstz) Sonderfll: k n Würfel, Glücksräder, Codes Stnd August 0 6

28 Mthemtik, E-Kurs (4. Hlbjhr). Whrscheinlichkeiten 0 Stunden k-permuttionen ohne Zurücklegen, mit Bechten der Reihenfolge n! Anzhl: (K5) ( n k)! Sonderfll: k = n Permuttionen k-teilmengen ohne Zurücklegen, ohne Bechten der Reihenfolge n Anzhl: Binomilkoeffizienten, Pscl-Dreieck, k binomischer Lehrstz n n n k n k ( + b) = b k = k 0 mit den Sonderfällen = b = sowie = b = Sonderfll: k = 0 m n m l k l Modellieren von Zufllseperimenten us einer Urne mit n Objekten, von denen m ein bestimmtes Merkml hben, werden k Objekte gezogen, von denen l ds Merkml der m Objekte hben fkulttiv: n + k k-kombintionen Simultion von Zufllseperimenten mittels Pseudozufllszhlen Lplce-Whrscheinlichkeit Klssenstufe 7: Lplce-Eperimente Allgemeines Zählprinzip k Gleichverteilung: P ( A) = n vereinfchende Annhmen, Idelisierungen, klssische Whrscheinlichkeit Gleichverteilung durch Verfeinern der Ergebnismenge Beispiele Münze, Würfel, Glückrd, Krtenspiel (K3) Ummodellieren; Beispiele: Augensumme beim Doppelwürfel, symmetrisches Glton-Brett Frncis Glton (8-9) Bedingte Whrscheinlichkeit P A B Definition P B ( A) = P( B) unbhängige Ereignisse Bernoulli-Whrscheinlichkeit Bernoulli-Eperiment ( ) Klssenstufe 9: Bedingte Whrscheinlichkeit (K3) zweielementige Ergebnismenge: Treffer/Niete, Erfolg/Misserfolg Whrscheinlichkeiten p und q = p Zerlegen der Ergebnismenge nch A und A Bernoulli-Eperiment durch Vergröbern der Ergebnismenge Bernoulli-Kette unbhängiges Wiederholen desselben Bernoulli-Eperimentes Binomilverteilung n k P( A) = B( n; p; k) = p ( p) k n k (K5) im Sinne einer Verteilung der Whrscheinlichkeitswerte uf die Trefferzhlen Vernschulichung m Glton-Brett Summtionen mit elektronischen Hilfsmitteln Einstz von Tbellenwerken Stnd August 0 7

29 Mthemtik, E-Kurs (4. Hlbjhr). Zufllsgrößen 5 Stunden Mit der Einführung des Begriffs der Zufllsgröße ls eine uf der Ergebnismenge eines Zufllseperimentes reellwertige Funktion treten quntittive Aspekte in der Stochstik in den Vordergrund. Zufllsgrößen werden z.b. bei Frgen der Qulitätskontrolle, der Gewinnerwrtung, der Rentbilität und Risikobewertung betrchtet. In diesem Lernbereich beschränke mn sich im Wesentlichen uf diskrete Zufllsgrößen. Im Lehrpln treten nichtdiskrete Zufllsgrößen nur fkulttiv im Zusmmenhng mit der Normlverteilung uf, die ls Näherung der Binomilverteilung ngesprochen wird. Durch den Einstz elektronischer Hilfsmittel sind umfngreiche numerische Berechnungen ohne großen Aufwnd durchzuführen. Diskrete Zufllsgrößen Definition Beispiele us dem Alltg Diskretisierung durch Klsseneinteilung ls Funktion von Ω nch Symbol X : Ω Ereignisse ls Lösungsmengen von Gleichungen und Ungleichungen mit X(ω) Einteilung der Ergebnismenge in prweise unvereinbre Ereignisse durch X ( ω) = i linere Trnsformtion X + b Whrscheinlichkeitsverteilung ls Funktion von X(Ω) nch bzw. nch [0;] bzählbre Wertemenge z.b. Spielpläne bei Glücksspielen, Häufigkeiten, Bewertungen Intervlle von Messwerten bei Längen, Mssen, Zeitngben Normlverteilung stetiger Zufllsgrößen (K4) Sprechweise: Zufllsgröße uf Ω z.b. X ( ω) = i, X ( ω) > i Klsseneinteilung von Ω Lernbereich : Whrscheinlichkeitsmß jedem Wert i der Zufllsgröße wird die Whrscheinlichkeit des Ereignisses X(ω) = i zugeordnet Vergröberung der Ereignismenge Anwendungen z.b. Whrscheinlichkeiten für Gewinne, Ausfälle, Kosten Lernbereich : Simultionen von Whrscheinlichkeitsverteilungen Simultionen können uch dort weiterhelfen, wo eine Modellierung nicht weiterführt Chrkteristische Größen Erwrtungswert Gewichtete Mittelwerte Mittelwertberechnungen durch Wichten mit den reltiven Häufigkeiten bei Gewinnen, Verlusten, Kosten Klssenstufe 7: Whrscheinlichkeit ls Schätzwert für die reltive Häufigkeit Definition des Erwrtungswertes n i = P( X = i ) i (K4) Symbol E(X) bzw. μ Anwendungsbeispiele Klkultion von Versicherungsprämien, Gewinnchncen, Kosten, Rentbilität, Risikobwägung ls Erwrtungswerte Mssenschwerpunkt Stnd August 0 8

30 Mthemtik, E-Kurs (4. Hlbjhr). Zufllsgrößen 5 Stunden Verhlten bei lineren Trnsformtion E ( X + b ) = E ( X ) + b Verhlten beim Qudrieren E X ) = P( X = i ) ( i rechnerischer Nchweis Sonderfälle = 0 bzw. b = 0 bechten Folgerung: E( X μ ) = 0 E( X ) ( E( X ) ) Trägheitsmoment Vrinz Whrscheinlichkeiten für Abweichungen vom Erwrtungswert bei unterschiedlichen Verteilungen Abweichungsmße vom Erwrtungswert Diskussion über Vor- und Nchteile von X μ, X μ, ( X μ ), (K6) Definition der Vrinz: E (( X μ) ) Erwrtungswert der Qudrte der Abweichungen Symbol Vr ( X ) Die Vrinz ist genu dnn Null, wenn die Zufllsgröße konstnt ist. Die Funktion e( ) = E ( X ) ) besitzt n der Stelle = μ ihr bsolutes Minimum. Vr ( X ) = E( X ) ( E( X ) ) rechnerischer Nchweis Stndrdbweichung bzw. Streuung Definition Vr (X ) Symbol σ(x ) Verhlten bei linerer Trnsformtion σ ( X + b ) = σ( X ) Anwendungen fkulttiv: Tschebyschow-Ungleichungen Binomilverteilung Interprettion der Trefferzhlen ls Werte einer Zufllsgröße Lernbereich : Bernoulli-Kette Definition P(X = k) = B( n; p; k ) Berechnung von Summenwhrscheinlichkeiten Erwrtungswert und Stndrdbweichung E(X) = n p σ(x) = n p ( p) Abschätzung p ( p) 0,5 Gesetz der großen Zhlen z.b. P( X > k ), P( k X k ) Multiple-Choice-Test, Qulitätskontrollen, Schdenverluf, Verteilung ideler Gse Einstz elektronischer Hilfsmittel (K3) formle Herleitung z.b. durch Ableiten des Polynoms (p + q) n nch p Konvergenz der Whrscheinlichkeit für die Abweichung der reltiven Häufigkeit von der Trefferwhrscheinlichkeit X lim P p < ε = n n Formel interpretieren, nicht herleiten Anwendungen im Alltg (K3) fkulttiv: Normlverteilung Stnd August 0 9