Bitte denken Sie daran, erklärenden Text zu schreiben.

Transkript

1 Mthemtik Nme: Lösungen Vorbereitung Nr. Kursstufe K Punkte: / Note: Schnitt:.0. Bitte denken Sie drn, erklärenden Tet zu schreiben. Pflichtteil (etw min) Ohne Tschenrechner und ohne Formelsmmlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen bgegeben sein, ehe der GTR und die Formlsmmlung verwendet werden dürfen. Die Aufgben des Whlteils müssen uf einem eigenen Bltt stehen, dürfen ber begonnen werden, ehe der Pflichtteil bgegeben ist llerdings knn dnn dbei noch kein GTR verwendet werden.) Aufgben und Lösungen Aufgbe : Leiten Sie b und vereinfchen Sie gegebenenflls sin(4) ) [P] f () = b) [P] g() = c) [P] h() = + d) [P] k() = 4 6 e) [P] f () = sin() e + 4 5e Lösungen : ) Um die Ableitung von f () = zu bestimmen, benötigen wir die Kettenregel (Die äußere Funktion ist die Wurzel, die innere der Rdiknd, d.h. der Term unter der Wurzel bechte dbei, dss nch bgeleitet wird, nicht nch ) f '() = = Bemerkung : Ds, ws mn dbei zum Vereinfchen n Regeln einsetzen knn, ist lediglich: c = c und ds Kürzen. Beides sollte mn ber nwenden! b b Bemerkung : Oft ist wichtig, zu wissen, ws nicht geht, ws verboten ist, ws nicht erlubt ist! Ws nicht geht, merkt mn sich leicht ls Ungleichung: ± b ± b. Also knn mn die Wurzel vor dem Ableiten nicht bschffen. Um ds zu verstehen, denkt mn etw n Pythgors: 5 = 5 = = 4 + = 7. Es gilt > Allerdings gilt b = b und = Für die Multipliktion gelten lso b b ndere Dinge wie für die Addition! Wurzeln (und Potenzen, Wurzeln sind j Potenzen!) knn mn bei Multipliktionen umformen, ber nicht bei Additionen. Ds liegt n der Bedeutung der Wurzel: Eine Wurzel, z.b. c, ist die Zhl, deren Qudrt (lso die Multipliktion mit sich selbst deshlb sind Multipliktion einfch) der Rdiknd ist. Es gilt c c = c. Wenn ich jetzt die Zhl c d betrchte, so gilt für sie c d c d = cd, lso ist

2 Mthemtik Nme: Lösungen Vorbereitung Nr. Kursstufe K Punkte: / Note: Schnitt:.0. c d = cd. Wenn ich ber + b hbe, dnn gilt dfür ufgrund der ersten Binomischen Formel ( + b ) ( + b ) + b, es gilt nämlich ( + b ) ( + b ) + b + b. Also ist + b > + b (Dies liegt n dem Summnden b, der beim Qudrt von + b fehlt, ein konkretes Beispiel steht oben.) sin(4) b) Wenn wir die Ableitung von g() = bestimmen wollen, müssen wir den sin(4) Term zuerst umformen. g() = = sin(4) ( ) und beim Ableiten benötigen wir dnn die Produktregel und zweiml die Kettenregel (einml ist die äußere Funktion sin, die innere 4, ds ndere Ml ist die äußere Funktion - und die innere - ), lso gilt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g '() = cos(4) 4 + sin(4) = 4 cos(4) sin(4) Bemerkungen: Hier könnte mn uch die Quotientenregel benutzen. 4 c) Um die Ableitung von h() = + zu bestimmen, formen wir wieder um ( = ) und benutzen dnn die Produktregel. Um die Wurzel bzuleiten, benötigen wir immer zusätzlich die Kettenregel. 4 h() = + = = + 4 h '() 4 ( ) = d) Wenn wir k() = bleiten wollen, sollten wir den Term vor dem Ableiten in Summnden zerlegen (Die Quotientenregel ist viel komplizierter!): 4 4 k() = + = +. Dmit ergibt sich die Ableitung gnz einfch. (Diesen Trick können wir oft sinnvoll einsetzen!) Dnn gilt: k '() = + = Bemerkungen: Die Umformung des Bruches ist fst nur einfche Bruchrechnung

3 Mthemtik Nme: Lösungen Vorbereitung Nr. Kursstufe K Punkte: / Note: Schnitt:.0. llerdings uch ein wenig Potenzrechnung wegen: = = = = Wer will knn llerdings bei der letzten Umformung uch mit Wurzeln rgumentieren: = = Generell knn mn lle Wurzel-Umformungen durch Potenz-Umformungen ersetzen. 4 6 e) Bei f () = sin() e + 4 5e müssen wir zwei Summnden einzeln bleiten. Der erste ist ein Produkt, wir benötigen dfür die Produktregel. Zum Ableiten des zweiten Fktors benötigen wir die Kettenregel. Beim Ableiten des zweiten Summnden benötigen wir die Kettenregel. Also: f '() = cos() e + sin() e ( 8 6) + ( 4 5e ) = 4 5e ( ( ) ) 4 6 = e cos() sin() + 4 5e 4 5e Aufgbe : Ermitteln Sie die Gleichung der Tngente n ds Schubild von f ( ) = im Punkt Q(/?). Bestimmen Sie die Nullstelle der Tngente. t() = f '() + f () Lösungen : Die Tngentengleichung n f in = ist ( ) = f () = = Vor dem Ableiten formen wir um: f ( ) = = lso f '( ) = + = + und dmit ist f '() = + = Also ist die Gleichung der Tngente: t() = ( ) + = 7 + = 4 7 Die Nullstelle der Tngente: Sei eine Nullstelle, dnn gilt: t() = 4 = 0 8 Lösen wir die zweite Gleichung nch uf, erhlten wir: = 4 = Aufgbe : [P] Wie lutet die Normlengleichung n f ( ) = im Punkt P( f())

4 Mthemtik Nme: Lösungen Vorbereitung Nr. Kursstufe K Punkte: / Note: Schnitt:.0. Zustzinfo: Die Normle ist die Gerde, die senkrecht uf der Tngente steht, lso die Steigung -/f () ht. Die Gleichung ist lso n() = ( ) + f () f '() n() = + f () f '() Es gilt =, 4 4 i f () = = Vor dem Ableiten formen wir um: f ( ) = = lso ist 8 f '( ) = + und dmit f '() = 8 + = = Dmit ist die Gleichung der Normlen: n() = ( ) + = + + = + = + Lösungen : : Die Normlengleichung n f in = ist ( )

5 Mthemtik Nme: Lösungen Vorbereitung Nr. Kursstufe K Punkte: / Note: Schnitt:.0. Whlteil (etw min) Mit GTR und Formelsmmlung nch Abgbe des Pflichtteils knn der GTR und die Formelsmmlung verwendet werden. Die Lösungen dieser Aufgben müssen uf einem eigenen Lösungsbltt stehen. 5 Aufgbe 4: [4P] Bestimmen Sie die Punkte der Funktion f () =, in denen die Normle 5 durch den Ursprung (0/0) geht. (Tipp: Tpyisches mthemtisches Vorgehen: Sei der -Wert des Punktes, bei dem die Normle durch den Ursprung geht. Stellen Sie die Normlengleichung uf und nutzen Sie nun us, dss der Ursprung uf der Normle liegt. Dies ergibt eine Gleichung, die nur noch enthält. Bestimmen Sie nun. Jetzt wissen wir: Wenn es eine Stelle gibt, dessen Normle durch duch den Ursprung geht, so kommt nur = in Frge. ) Lösung 4: Sei ein Punkt, in dem die Normle durch den Ursprung geht, dnn gilt: Der Punkt (0/0) liegt uf der Normlen n() = ( ) + f (), d.h. n(0)=0. f '() Um die Normle in zu bestimmen, benötigen wir die Ableitung f '() = 5 Dmit ist die Normle in : n() = ( ) + = + + = D sie durch den Ursprung geht, gilt wegen n(0)=0: 0 + = 0 Oder = oder =. Somit knn nur in den Punkten mit 5 4 / = = ± / = ± 5 = ± 5 = ± eine solche Normle eistieren. Wie mn durch Einsetzen leicht zeigen knn, erfüllen diese -Werte die Forderung uch. Bemerkung: Es ist wichtig, zwischen dem Punkt (/f()), n dem die Tngente die Funktion berüht oder die Normle die Funktion senkrecht schneidet und der Funktionsvrible der Tngente bzw. der Normle, nämlich, zu unterscheiden. Ein Gerde knn nur ein enthlten, kein oder sonst eine Potenz von. Außer dem ber dürfen ndere Vrible beliebiger Art vorkommen, uch qudrtisch oder ls Wurzel, sie sind durch die Funktion bestimmt. Viele erfolgreiche Verfhren der Mthemtik beginnen mit einer Annhme (so wie hier: Nehmen wir n, dss die Normle in durch den Ursprung geht). Entweder folgt drus, dss nur bestimmte Werte ls Lösungen in Frge kommen, die mn dnn weiter untersuchen muss (ds ws mn us der Annhme gefolgert ht, nennt mn dnn notwendigen Bedingung für die Lösung wenn es eine Lösung gibt, dnn muss dies notwendigerweise gelten.) Oder es folgt us einer Annhme ein Widerspruch, etws Unsinniges, etws ws eindeutig flsch ist. In diesem Fll knn mn feststellen, dss die Annhme flsch wr.

6 Mthemtik Nme: Lösungen Vorbereitung Nr. Kursstufe K Punkte: / Note: Schnitt:.0. Mn redet jetzt von einem Widerspruchsbeweis. Die Annhme, die mn dbei mcht, ist immer ds Gegenteil der Aussge, die mn beweisen möchte. Aufgbe 5: [5P] Wenn eine Spielzeugfirm pro Tg Spielschen produziert, so betrgen die Kosten für die Spielschen insgesmt k() = , ( ). Jedes Spielzeug wird für 8,99 verkuft. Wie groß ist der Gewinn g(), d.h.verkufspreis minus Herstellungspreis, wenn pro Tg Spielschen produzert und verkuft werden? Skizzieren Sie die Gewinnfunktion mit Hilfe des GTR Wie viele Spielschen sollten pro Tg hergestellt werden, dmit der Gewinn miml ist? Lösung 5: Der Gewinn ist der Verkufspreis minus die Herstellungskosten, lso gilt für den Gewinn g() ( ) g() = 8, , = 6, 99 0, 00 Bechte die Klmmer beim Abzeihen des Herstellungspreises. Der GTR liefert nch dem Einstellen des Zeichenbereichs (SPIELEN, TESTEN!) Dbei ist =0..00 und y= (Scle bei und y: 00 Scle ist der Abdstnd der Ticks, mitunter psst der GTR diese Werte ber selbst n.) Der GTR liefert (mit shift / G-Solve und MAX), dss ds Mimum bie =54,9 uns y=964,9 liegt Dmit stellen wir fest, dss die Firm, dnn wen sie etw 540 Spielschen produziert einen mimlen täglichen Gewinn von rund 960 erzielt. Aufgbe 6 [5P] Eine oben offene Kiste mit qudrtischer Grundfläche soll so hergestellt werden, dss bei einem Volumen von V=6,5 l die Oberfläche möglichst klein wird. Wie sind die Mße der Kiste zu wählen? (Tipp: Stellen Sie sich die Kiste vor, skizzieren Sie sie, durch welche Größe wird sie beschrieben? Ws soll etreml werden? Wovon hängt diese Größe b? Es sind zu viele Vriblen, wie lässt sich eine entfernen? Denken Sie n V.) Lösung 6: Die Größe, die minimiert werden soll, ist die Oberfläche. Die Oberfläche wird durch zwei Größen bestimmt, durch die Seitenlänge des qudrtischen Bodens und durch die Höhe h. D ds Volumen in Liter, lso in dm gegeben ist, wählen wir dm ls Einheit von und h.

7 Mthemtik Nme: Lösungen Vorbereitung Nr. Kursstufe K Punkte: / Note: Schnitt:.0. Wenn wir gnz forml vorgehen (ws in der KA nicht verlngt wr), hben wir jetzt eine Funktion die jeweils einem Pr von Vriblen eine Oberfläche zuordnet, nämlich: f : Längen in dm Oberfläche in dm (,h) + 4h Mit Hilfe der Nebenbedingung bekommen wir nun eine Gleichung, mit deren Hilfe wir die Vrible h durch die Vrible usdrücken. Ddurch erhlten wir eine Funktion, die jedem die pssende Oberfläche zuordnet. Die Nebenbedingung, besgt, dss ds Volumen V = h stets 6,5 betrgen soll. Dmit ist h =, wenn wir vorgeben. Dies ermöglicht uns, h in der obigen Funk- 6,5 tion durch uszudrücken, so, dss wir eine Funktion f erhlten, die jedem die Oberfläche zuordnet, die zum Volumen V=6,5 gehört. f : Länge in dm Volumen in dm 6, = + Wenn in ein Etremum vorliegt, dnn ist f ()=0. Wir bestimmen lso die Ableitung 50 von f. sie ist f '() = Um ds zu bestimmen, in dem ein Etremum vorliegt (genuer, um eine notwendige Bedingung für zu erhlten), nehmen wir n, dss ein Etremum ist. Dnn gilt: f '() = = 0. Lösen wir diese Gleichung nch uf, erhlten wir = 50 oder = = 5 oder = 5. Wir wissen dmit, dss nur in lokles Etremum vorliegen knn. Setzen wir diese mögliche Lösung in die zweite Ableitung von f, nämlich in f ''() = + ein, erhlten wir f ''(5) = + = 6 > 0. Dmit ist =5 ein lokles 5 Minimum. 6,5 6, 5 Wenn =5 ist, so ergibt sich h = = =,5. 5 Wenn mn lso die Qudrtseite =5 dm und die Höhe h=,5 dm wählt, so ist die Oberfläche einer oben offenen Kiste mit dem Volumen 6,5 dm miniml. Bemerkung: Eigentlich müssen wir uch noch die Rndwerte untersuchen, uch wenn ds hier nicht verlngt wr, d wir es im Unterricht bisher nur m Rnde ngesprochen hben. Eine Funktion knn nur in einem loklen Minimum oder m Rnd des Definitionsbereichs ein globles Minimum nnehmen. An den Rändern ber knn kein Minimum vorliegen, denn: Die Funktion f ist für lle positiven Zhlen definiert und die Funktion links von 5 fällt und rechts dvon nsteigt, knn die Funktion n keinem Wert kleiner sein ls im Minimum. Wir müssen lso hier nicht noch zusätzlich überlegen, welche Werte nnehmen knn, ohne dss h negtiv wird.)

8 Mthemtik Nme: Lösungen Vorbereitung Nr. Kursstufe K Punkte: / Note: Schnitt:.0. Aufgbe 7: [6P] Ein geplnter Tunnel ht die Form eines Rechtecks mit ufgesetztem Hlbkreis. Vom Architekt wird gefordert, die Querschnittsfläche möglichst groß zu mchen, wobei der Umfng ufgrund der Kosten für die Wndfläche genu m betrgen soll. Können LKWs mit der Höhe 4, m in der Mitte durch den Tunnel fhren, wenn der Architekt die Angben des Buherrn erfüllt? (Tipp: Ws soll etreml werden? Skizzieren Sie, möglichst im Heft. Wovon hängt diese Größe b? Wie lssen sich eine bzw. zwei Größen (je nch Whl) eliminieren? Erst jetzt können Sie bestimmen, wie groß die Höhe ist.) Lösung 7: Die Größe, die mimiert werden soll, ist die Querschnittsfläche, die us einem Rechteck und einem Hlbkreis besteht. Die Fläche ist durch zwei Prmeter bestimmt, durch den Rdius r des Hlbkreises und durch die Seitenlängen r und h des Rechtecks. Es gilt lso ( r, h) rh + πr. Die beiden Vriblen hängen von einnder b, d der Umfng m groß ist. Es gilt lso: Zwei Seitenlinien + Bodenlinie + Hlbkreis = h r r h = + π r + + π = oder wenn wir diese Gleichung nch h uflösen ( ) oder h = 6 ( + π ) r. Ersetzen wir dmit in der obigen Funktion die Vrible h, erhlten wir die Funktion f, deren Mimum die größte Fläche ist. Es gilt f (r) = r 6 ( + π ) r + π r = r ( + π ) r + π r = r + π r. Sei nun r ein Etremum der Funktion, so ist die Ableitung Null, lso gilt f '(r) == + π r = ( 4 + π ) r = 0. Lösen wir diese Gleichung nch r uf, erhlten wir ( 4 + π ) r = oder r = = 4, π ( ) Dies ist ein Mimum, d die zweite Ableitung von f, nämlich f ''(r) = ( 4 + π ) < 0 ist. (Außerdem ist die Funktion f(r) eine nch unten geöffnete Prbel, so dss sie n den Rndstellen eines eingeschränkten Definitionsbereichs sicher kleiner ist, wie im Scheitel.) Für die Höhe h des Rechtecks gilt: + π + π 4 + π + π h = 6 ( + π ) = 6 6 = 6 = 6 = = 4, π 4 + π 4 + π 4 + π 4 + π Dmit knn der Lstzug sicher durch den Tunnel fhren.