+ 2 2 = 0 = 1 ± Die drei Nullstellen. x x x 2,3

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Markus Junge
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1 Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe 1 zur Anlysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f ( x ) = x 3 + x x. Die zeigt den Grphen der Funktion f. (1) Berechnen Sie lle Nullstellen der Funktion f. () Entscheiden Sie begründet mit Hilfe einer Zeichnung in der, ob die Gerde g 1 mit g : y = x + 5 eine Tngente m Grphen P 4 ist. von f im Punkt ( ) Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe 1 zur Anlysis (1) Nullstellen: f x x 3 x x x ( x x ) Also x 1 = 0. Zusätzlich: ( ) = 0 + = 0 + = 0 x x x,3 sind x 1 = 0, x = 1 3 und x 3 = () Einzeichnen der Gerden g (siehe rechts). Mn sieht deutlich, dss g den Grphen von f im Punkt P ( 4) nicht berührt, sondern schneidet. Dher knn g keine Tngente m Grphen von f im Punkt P sein. + = 0 = 1 ± 1 +. Die drei Nullstellen Der gewählte Lösungsnstz und weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der

2 Hilfsmittelfreier Teil. Anlysis Beispielufgbe zur Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung 3 f ( x ) = x + 3 x 1. Die Koordinten des loklen Hochpunktes und des loklen Tiefpunktes sind gnzzhlig. Die zeigt den Grphen der Funktion f. (1) Entscheiden Sie begründet, ob der Grph der Ableitungsfunktion f ' eine nch oben oder nch unten geöffnete Prbel ist. () Geben Sie lle Werte für den Prmeter c n, so dss die Funktion g c mit der Gleichung g ( x ) = f ( x ) + c genu zwei c Nullstellen besitzt. Begründen Sie Ihre Angbe. Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur Anlysis (1) Es gilt: f '( x ) = 3 x + 6 x. Ds Vorzeichen des Koeffizienten vor x entscheidet, ob die Prbel nch oben oder nch unten geöffnet ist. Weil 3 > 0 gilt, ist die Prbel nch oben geöffnet. Oder: Die Prbel von f ' besitzt die Nullstellen x = und x = 0, denn sie sind die loklen Extremstellen von f. Nur dzwischen fällt der Grph von f, lso liegt die Prbel von f ' für < x < 0 unterhlb der x-achse. Die Prbel muss lso nch oben geöffnet sein. () c = 3 oder c = 1. Dmit es genu zwei Nullstellen gibt, muss der Grph von f die x- Achse im Hochpunkt oder im Tiefpunkt berühren. Somit muss entweder der Hochpunkt um drei Einheiten nch unten oder der Tiefpunkt um eine Einheit nch oben verschoben werden. Der gewählte Lösungsnstz und weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der

3 Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe 3 zur Anlysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung 1 3 f ( x ) = x x. Der Grph ist in der drgestellt. (1) Weisen Sie rechnerisch nch, dss die in der Zeichnung erkennbre Nullstelle ttsächlich eine Nullstelle ist. () Gegeben ist die Funktion g mit der Gleichung g ( x ) = f ( x + ). Geben Sie n, wie sich der Grph von g verändert, wenn mn für immer größere Zhlen einsetzt. Geben Sie ußerdem einen Wert für n, so dss die Funktion g die Nullstelle x = 1 besitzt. Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe 3 zur z Anlysis (1) Am Grphen ist erkennbr, dss x = die vermutliche Nullstelle ist. Zum rechnerischen Nchweis: Setze x = in f ( x ) ein Wegen f () = = = 4 = 0 ist x = eine Nullstelle von f. () Je größer wird, desto weiter wird der entsprechende Grph der Funktion g nch links verschoben. Dmit x = 1 eine Nullstelle wird, muss der Grph von f um drei Einheiten nch links verschoben werden, lso muss = 3 gelten. Der gewählte Lösungsnstz und weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der

4 Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe 4 zur Anlysis Die Funktion f mit der Gleichung 1 3 f ( t ) = t 3 t + 9 t beschreibt näherungsweise die Wchstumsgeschwindigkeit 4 cm einer Pflnze in der Einheit Woche. Dbei gibt t die Zeit in Wochen seit Beobchtungsbeginn n, es gilt: 0 t 6. Der Grph der Funktion f ist in der drgestellt. (1) Berechnen Sie die Wchstumsgeschwindigkeit der Pflnze nch zwei Wochen. () Nehmen Sie n, die Pflnze hätte nch vier Wochen eine Höhe von 70 cm. Entscheiden Sie, welche der drei nchfolgenden Aussgen stimmt. Kreuzen Sie dzu uf dem Arbeitsbltt n. Nch fünf Wochen ist die Pflnze O O O kleiner ls 74 cm oder gleich 74 cm oder größer ls 74 cm. Begründen Sie Ihre Entscheidung. Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe 4 zur Anlysis (1) f () = = = 8. Die Wchstumsgeschwindigkeit betrug zwei Wochen nch Beobchtungsbeginn cht Zentimeter pro Woche. () Aus dem Grphen knn mn blesen, dss die Wchstumsgeschwindigkeit nch vier Wochen 4 cm pro Woche betrug und dnch nur noch fällt. Also ist die Pflnze nch fünf Wochen kleiner ls 74 cm. Der gewählte Lösungsnstz und weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der

Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe 5 zur Anlysis Die folgende zeigt den Grphen der Funktion f mit der Gleichung 1 3 16 f ( x ) = x x +.

Beispielufgbe 5 zur Anlysis (1) Gesucht ist die Gleichung zu t mit t ( x ) = m x + b. Mit f '( x ) = x 4x gilt für die Steigung von t : m = f '() = 4 4 = 4.

5 Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe 5 zur Anlysis Die folgende zeigt den Grphen der Funktion f mit der Gleichung f ( x ) = x x (1) Bestimmen Sie eine Gleichung der Tngente t n den Grphen von f im Punkt P ( 0). () Skizzieren Sie den Grphen von f ' in die. Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe 5 zur Anlysis (1) Gesucht ist die Gleichung zu t mit t ( x ) = m x + b. Mit f '( x ) = x 4x gilt für die Steigung von t : m = f '() = 4 4 = 4. Einsetzen von m = 4 und den Koordinten von ( 0) P ergibt: 0 = 4 + b b = 8. Also lutet die Tngentengleichung: t ( x ) = 4 x + 8. () Eine Skizze der Prbel von f ' ist rechts bgebildet. Der gewählte Lösungsnstz und weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der sein. Schlich richtige Alterntiven werden mit entsprechender Punktzhl bewertet.

6 Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe 6 zur Anlysis Gegeben ist eine Funktion f. Die 1 zeigt die Prbel ihrer Ableitungsfunktion f ' mit der Gleichung 1 f '( x ) = x + x f '( x ) (1) Die Prbel von f ' besitzt die beiden Nullstellen x = und x = 6. Ermitteln Sie unter Verwendung dieser Nullstellen rechnerisch die Koordinten des Scheitelpunktes S der Prbel. 1 () Begründen Sie, dss keine der beiden en und 3 den Grphen der Funktion f zeigt. Führen Sie jeweils mindestens ein Gegenrgument uf. h g 3 Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe 6 zur Anlysis (1) Aus Symmetriegründen liegt die x-koordinte des Scheitelpunktes S in der Mitte der 1 beiden Nullstellen und 6. Die Mitte ist. f '() = = = 4. 4 Der Scheitelpunkt S besitzt somit die Koordinten S ( 4). () Der Grph der Funktion g in besitzt n der Stelle x = eine negtive Steigung, während m Grphen von 1 bzulesen ist: f '() = 4 > 0. Der Grph der Funktion h in 3 zeigt drei lokle Extremstellen. Wegen der notwendigen Bedingung für Extremstellen ht h ' mindestens drei Nullstellen, ber f ' ht nur zwei Nullstellen. Der gewählte Lösungsnstz und weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der

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