Arkus-Funktionen. Aufgabensammlung 1

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Ella Auttenberg
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1 ANALYSIS Arkus-Funktionen Aufgbensmmlung 1 Dtei Nummer 4730 Stnd: 15. November 017 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 4730 Aufgbensmmlung Arkusfunktionen Aufgbe 1 (Lösung Seite 4) Gegeben ist f durch f rctn, mit. Ds Schubild von f sei C. ) Bestimme den mimlen Definitionsbereich, die Nullstellen und ds Symmetrieverhlten von f. b) Bestimme die Punkte von C mit wgrechter und senkrechter Tngente. Entscheide ohne Verwendung einer zweiten Ableitung, ob es sich dbei um Hoch- oder Tiefpunkte hndelt. Ws folgt drus für den Wertebereich von f? c) Es sei D 3 ds Spiegelbild von C 3 bzgl. der -Achse. Zeichne C 3 und D 3 in ein gemeinsmes Koordintensystem. Welche Gleichung ht der Kreis K um O, der C 3 in den Schnittpunkten mit der -Achse berührt? Welche Gleichung ht die Ellipse E um O, die C 3 in den Schnittpunkten mit der -Achse und im Hochpunkt berührt? (Verwende für die Hlbchse b einen geeigneten Näherungswert). Zeichne uch Kreis und Ellipse in dieses Koordintensystem. Aufgbe (Lösung Seite 6) Gegeben ist die Funktion f durch f rcsincos ) Bestimme den mimlen Definitionsbereich. b) Zeige, dss gilt: rcsin() rccos. Der Grph von f sei K. c) Stelle die Funktion für 0 3 durch bschnittsweise definierte linere Funktionen dr. Zeichne K in diesem Bereich. Aufgbe 3 (Lösung Seite 10) Gegeben ist f durch f rcsin, ds Schubild von f sei K. 1 ) Bestimme den mimlen Definitionsbereich. b) Zeige, dss für die erste Ableitungsfunktion gilt: f' Stelle f' ls bschnittsweise definierte Funktion dr. c) Bestimme Etrem- und Wendepunkte. d) Welche Asymptoten ht K? Zeichne ds Schubild K für 0 10 sgn 1 1

3 4730 Aufgbensmmlung Arkusfunktionen 3 Aufgbe 4 (Lösung Seite 13) 3 Gegeben ist die Funktion f durch f rcsin3 4, Ds Schubild sei K. ) Bestimme den mimlen Definitionsbereich und ds Symmetrieverhlten von K. b) Berechne ds Monotonieverhlten von f und bestimme den Wertebereich. c) Zeige, dss mn f' in diese Form bringen knn: f' 3sign Ermittle lle Etrempunkte sowie Punkte mit senkrechter Tngente. Zeichne ds Schubild K. Gegeben ist f durch f Aufgbe 5 (Lösung Seite 17) rcsin, K sei ds Schubild von f. 4 ) Bestimme den Definitionsbereich von f und ds Symmetrieverhlten von K. b) Untersuche ds Monotonieverhlten und die Wertmenge von f. Welche Asymptote ht K? Aufgbe 6 (Lösung Seite 18) Gegeben ist die Funktion f durch t ft rcsin 1 für t. Ihr Schubild sei K, ) Bestimme den Definitionsbereich D t von f t in Abhängigkeit von t. b) Berechne die 1. Ableitung für f 1, die Wertmenge von f 1 und die wgrechte Asymptote von K 1. Gegeben ist die Funktion f durch Aufgbe 6 (Lösung Seite 18) f rcsin 1 ) Bestimme den Definitionsbereich D von f b) Berechne die 1. Ableitung für f 1, die Wertmenge von f 1 und die wgrechte Asymptote von K 1.

4 4730 Aufgbensmmlung Arkusfunktionen 4 Gegeben ist f durch Lösung Aufgbe 1 f rctn, mit. Ds Schubild von f sei C. ) Bestimme den mimlen Definitionsbereich von f, Nullstellen und ds Symmetrieverhlten. Vorkenntnisse: bedeutet dsselbe wie Definitionsbereich: f ist die Verkettung von u h mit y gu rctnu. u ist definiert für h g u rctn(u) gh g h() rctn f() 0 bzw. d 0. Also ist D u ;. rctnu ist definiert für lle u, lso uch für D u ; Ds bedeutet: D f ;. Nullstellen: Bed. rctnu 0 u 0 0 Symmetrieverhlten: f rctn ( ) rctn f Also ist C symmetrisch zur y-achse. N b) Bestimmt die Punkte von C mit wgrechter und senkrechter Tngente. Entscheide ohne Verwendung einer zweiten Ableitung, ob es sich dbei um Hoch- oder Tiefpunkte hndelt. f ' f rctn u 1 u' 1 u mit 1 f ' 1 1 Punkte mit wgrechter Tngente: u und f ' 0 0 mit u' f 0 rctn rctn rctn d > 0. H0 rctn ist ein Hochpunkt. Begründung: In D gilt 0 lso wird die Nennerklmmer 1 0 und dmit der Nenner. Also hängt ds Vorzeichen von f' nur vom Zähler b. Ds bedeutet: Für < 0 ist dher und für > 0 folgt f ' 0 Punkte mit senkrechter Tngente: Wo ht f ' eine Polstelle? Bedingung: Nenner = 0 ber Zähler 0. Der Nenner wird Null wenn f ' 0. (1) () 0. Wegen 0 ist dnn uch der Zähler ungleich D ber 1 ist, liegen diese beiden Lösungen nicht in D.

5 4730 Aufgbensmmlung Arkusfunktionen 5 Aus (1) folgen dher die beiden Polstellen von f ': Ds sind die Rndpunkte des Definitionsbereichs N 0 1,. In ihnen ht C lso eine senkrechte Tngente, denn Polstelle von f' bedeutet unendliche Steigung. N 1 und N sind die bsoluten Tiefpunkte von C. Ws folgt drus für den Wertebereich von f? Der mimle Funktionswert von f ist Der minimle Funktionswert von f ist f 0. Also: W 0 ; rctn f 0 rctn 0. c) Abbildung für C 3, ds Spiegelbild D 3 und den Kreis K mit y 9 In der Litertur wird dher die Funktion rctn uch ls Kreisquetscher bezeichnet. Die us C 3 und D 3 bestehende Kurve ist jedoch keine Ellipse. Eine Ellipse mit den Hlbchsen = 3 und b f(0) rctn 5 rctn(3) 1,5 hätte diese Gleichung: y y Hinweis: Drus ergeben sich diese Erstzfunktionen für die Ellipse: Multipliktion mit 9 und 5 16 ergibt: 9y y 9 : y y1, bzw. 5 1, 1 y g 9

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