Fachbereich Mathematik

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1 Oberstufenzentrum Krftfhrzeugtechnik Berufsschule, Berufsfchschule, Fchoberschule und Berufsoberschule Berlin, Bezirk Chrlottenburg-Wilmersdorf Fchbereich Mthemtik Arbeits- und Informtionsblätter zum Fch Mthemtik in der Berufsoberschule 13. Klsse (Teil 4) Lehnen Stnd 6.010

2 Anlytische Geometrie

3 1. Krtesische Koordintensysteme: Them: Vektorrechnung z y P(4/3/4) x. Der Abstnd zweier Punkte im Rum: P(p 1 /p /p 3 ) und Q(q 1 /q /q 3 ) seien beliebige Punkte im Rum. Dnn gilt für ihren Abstnd: PQ = ( p q ) ( p q ) + ( p q ) Vektoren ls Pfeilklssen: Eine Verschiebung, die lle Punkte des Rumes (der Ebene) in die gleiche Richtung um den gleichen Betrg verschiebt, bezeichnet mn ls Vektor r v. Ein Vektor r v lässt sich ls Klsse von gleichgerichteten, gleichorientierten und gleichlngen Pfeilen uffssen. Vektoren werden in Spltenschreibweise drgestellt. 1 r r Rum: v = Ebene: v = Nullvektoren/Einheitsvektoren: Als Nullvektor r 0 bezeichnet mn denjenigen Vektor, der jeden Punkt des Rumes (der Ebene) in sich selbst verschiebt. 0 r r 0 Rum: 0 = 0 Ebene: 0 = 0 0 Den Verschiebungspfeilen des Nullvektors lässt sich wohl die Länge 0, ber keine bestimmte Richtung zuordnen. Ein Vektor, dessen Verschiebungspfeile die Länge 1 besitzen, wird ls Einheitsvektor bezeichnet. 5. Der Betrg eines Vektors: Als Betrg r v eines Vektors r v bezeichnet mn die Länge der zugehörigen Verschiebungspfeile.

4 v1 r r Rum: v = v, v = v1 + v + v v 3 r v r Ebene: v =, v v v 1 = 1 + v 3 6. Die Summe zweier Vektoren: Führt mn die zwei Vektoren r und b r entsprechenden Verschiebungen hintereinnder us, so erhält mn eine Gesmtverschiebung. Den Vektor, dem diese Verschiebung zugeordnet ist, bezeichnet mn ls Summe r r + b von r r r r und b. Geometrisch nschulich knn + b nch der bgebildeten Prllelogrmmregel konstruiert werden. +b b 7. Die Differenz zweier Vektoren: Als Differenz r r b zweier Vektoren r und b r r r bezeichnet mn die Summe des Vektors und des Gegenvektors von b : r r r r b = + ( b). Geometrisch nschulich knn mn die Differenz r r b nch der bgebildeten Prllelogrmmregel konstruieren. -b b 8. Der Gegenvektor eines Vektors: Der Gegenvektor des Vektors r wird mit - r bezeichnet. Der Gegenvektor wird uch ls inverses Element bezeichnet. Schreibweise: r r :. 9. Rechnen mit Vektoren: Mit Vektoren knn mn lgebrisch rechnen. Mn knn Vektoren ddieren, subtrhieren und mit einer reellen Zhl multiplizieren. Für Spltenvektoren gilt:

5 r r + b = r r b = 3 3 r r r = r r b1 b + = b 3 b1 b = b b + b + b b b b Rechengesetze für Vektoren: r r r r + b = b + r r r r r r ( + b) + c = + ( b + c) r r rs ( ) = ( rs ) r r r r r ( + b) = r+ rb r r r ( r + s) = r + s 11.Linerkombintion von Vektoren: v r = r r r r K r r n n wird ls Linerkombintion der Vektoren r r K r 1,,, n bezeichnet.

6 Vektorrechnung 1 Gegeben sind die Vektoren: 1 r r r = 4 b = 5 c = Zeichne die Repräsentnten der Vektoren. 1. Berechne die Vektorterme r r r r r + b, + b + c. 1.3 r r r Berechne die Beträge der Vektoren, b, c. 10 Gegeben sind die Vektoren r = und r b = Überprüfe die beiden Vektoren uf Kollinerität. 3 Gegeben sind die Punkte P (1;;3 ) und Q( 456 ; ; ). 3.1 Bestimme die Gleichung der Gerden durch die Punkte P und Q. Überprüfe, ob der Punkt R (;3;4 ) uf der Gerden liegt. 4 Ein Kreis, dessen Mittelpunkt im Koordintenursprung liegt ht den Rdius Liegt der Punkt N (;) 36 innerhlb, uf oder ußerhlb des Kreises? 5 Erläutere die Begriffe Tngente, Seknte und Pssnte nhnd einer Skizze. Welchen Anforderungen müssen jeweils die vektorielle Gerdengleichung bzw. vektorielle Kreisgleichung erfüllen.

7 1. Gegeben sind die Vektoren: Vektorrechnung 1 r r r = 4 b = 5 c = Zeichnen Sie die Repräsentnten der Vektoren. 1. Berechnen Sie die Vektorterme r r r r r + b, + b + c. 1.3 Berechnen Sie die Beträge der Vektoren r r r bc,,.. Gegeben sind die Vektoren r = 10 6 r und b = Überprüfen Sie die beiden Vektoren uf Kollinerität. 3. Gegeben sind die Punkte P( 13 ; ;) und Q( 456 ; ; ). 3.1 Bestimmen Sie die Gleichung der Gerden durch die Punkte P und Q. Überprüfen Sie, ob der Punkt R( 34 ; ; ) uf der Gerden liegt. 4. Ein Kreis, dessen Mittelpunkt im Koordintenursprung liegt ht den Rdius Liegt der Punkt N (;) 36 innerhlb, uf oder ußerhlb des Kreises? 5. Erläuteren Sie die Begriffe Tngente, Seknte und Pssnte nhnd einer Skizze. Welchen Anforderungen müssen jeweils die vektorielle Gerdengleichung bzw. vektorielle Kreisgleichung erfüllen. 6. Gegeben ist die Gerde g mit: x r = + t Überprüfen Sie, ob der Punkt A(;5) uf der Gerden liegt. 6. Überprüfen Sie, ob der Punkt B(-7;-5;8) uf der Gerden f: 3 5 r x = t + 1 liegt Bestimmen Sie die Gleichung der Gerden durch die Punkte P 1 (;;) 11 und P (;; 05 1). Durch Vertuschen der Punkte erhält mn eine ndere Gleichung. Klären Sie, ob es sich hierbei um dieselbe Gerde hndelt.

8 Übungen Vektorrechnung 1. Gegeben ist die Gerde g mit: x r = + t Überprüfen Sie, ob der Punkt A(;5) uf der Gerden liegt. 1. Überprüfen Sie, ob der Punkt B(-7;-5;8) uf der Gerden f: x r 3 5 = t liegt.. Bestimmen Sie die Gleichung der Gerden durch die Punkte P 1 (;;) 11 und P (;; 05 1). 3. Ein Kreis, dessen Mittelpunkt im Koordintenursprung liegt ht den Rdius Liegt der Punkt N (;) 36 innerhlb, uf oder ußerhlb des Kreises? r ; r,6 ; r,. v r r Überprüfen Sie, ob die Vektoren. b und c komplnr zueinnder sind (uf einer Ebene liegen). 4. Gegeben sind die Vektoren = ( 3,4 1) b= ( ) c = ( 14 9,6 11) 5. Bestimmen Sie drei Vektoren, die prllel zueinnder stehen. 6. Gegeben ist der Vektor r =. 6 = 3, 1,75 Überprüfen Sie die Vektoren v ( ) und = ( 10 5,65) b r uf Kollinerität.

9 Prüfungsvorbereitung

10 1) Führen Sie für die Funktion f mit f(x) = x x eine Kurvendiskussion durch. Ermitteln Sie ) ds Verhlten des Grphen von f im Unendlichen, b) die Schnittpunkte mit den Koordintenchsen, c) die Extrempunkte und d) die Wende- bzw. Sttelpunkte. e) Hndelt es sich um eine symmetrische Funktion? (Begründung) f) Zeichnen Sie den Grphen. ) Gegeben ist eine Funktion f mit f(x) = x 3 4x + 5x. Bestimmen Sie: ) ds Verhlten des Grphen von f im Unendlichen, b) die Nullstellen, c) die Extrem mit Minimum/Mximum-Entscheidung und d) die Wende- bzw. Sttelpunkte. e) Erstellen Sie eine Skizze von dem Grphen ) Führen Sie die Kurvendiskussion der Funktion f mit f ( x) = x x durch Bestimmen Sie ) ds Verhlten des Grphen im Unendlichen, b) die Schnittpunkte mit der x- und y-achse, c) die Extrem und d) die Wende- bzw. Sttelpunkte. e) Stellen Sie die ngegebene Funktion mit llen ermittelten Punkten grphisch dr. 4) Bestimmen Sie die gnzrtionle Funktion 3. Grdes, deren Grph im Punkt P(0 0) einen Extrempunkt ht und n der Wendestelle x w = 1 die Wendetngente y = x 1 / 3 nliegt. x + 8x + 7 5) Gegeben ist die gebrochen rtionle Funktion f mit f ( x) = 1 x Ermitteln Sie ) ds Verhlten des Grphen der Funktion f im Unendlichen sowie die Asymptoten, b) die Koordinten der Nullstellen, c) die Polstellen, d) die Extrempunkte mit Minimum/Mximum-Entscheidung und e) den Definitions- und Wertebereich. f) Fertigen Sie eine Skizze vom Grphen der Funktion f n. x 9 6) Für die Funktion f mit f ( x) = sind zu berechnen: x 1 ) ds Verhlten des Grphen im Unendlichen, sowie die Asymptoten, b) die Koordinten der Nullpunkte, c) die Pole, d) die Extrem (uf die. Ableitung wird verzichtet). e) Skizzieren Sie den Grphen der Funktion mit Asymptoten und Polstellen. 7) Der Grph einer Funktion 3.Ordnung ht seinen Wendepunkt in W(0 1) und im Punkt P( 3) eine horizontle Tngente. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

11 8) In einem hlbkreisförmigen Bogen mit einem Rdius von r = 4 m soll ein rechteckiges Fenster mit möglichst großer Fensterfläche eingesetzt werden. Bestimmen Sie die Breite x, die Höhe y und den mximlen Fensterflächeninhlt. 9) Für eine Neubusiedlung sollen Wsser-, Abwsser- und Telekomschcht in einem Dreikmmerknl zusmmengefsst werden. Der Gesmtflächeninhlt des Querschnitts soll 4 m betrgen. Wie groß müssen die Länge und die Breite b gewählt werden, dmit der Mterilverbruch miniml ist? 10) Gesucht ist eine gnzrtionle Funktion, die bei x = 0 eine Nullstelle besitzt und ihr Grph im Wendepunkt W(4-4 / 3 ) den Anstieg m = 1 ht. x + x ) Für die gebrochen rtionle Funktion f mit f ( x) = x 1 sind zu bestimmen: ) ds Verhlten des Grphen im Unendlichen sowie die Asymptoten, b) die Koordinten der Nullstellen, c) die Polstellen und Lücken, d) die Extrempunkte und e) Wendepunkte. f) Skizzieren Sie die Funktion. 1) Ein Flugzeug wird durch die Schubkrft F s = 4,8 kn in konstnter Flughöhe gerdlinig ngetrieben. Der Wind übt eine gleichbleibende Krft F w = 3 kn in einem Winkel von etw 70 zur Flugrichtung us. ) Welche Krft wirkt insgesmt uf ds Flugzeug? b) Unter welchem Winkel zur gewünschten Flugroute muss Kurs gehlten werden, um n den Zielort zu gelngen? Lösen Sie die Aufgbe grphisch und rechnerisch (lgebrisch).

12 13) Welches gleichschenkliges Dreieck mit gegebenem Schenkel = 10 cm ht den größten Flächeninhlt (uf die Minimum/Mximum-Entscheidung wird verzichtet)? Fertigen Sie eine Skizze n. 14) Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x. Bestimmen Sie den Punkt P( f()) uf der Prbel so, dss der Inhlt der gekennzeichneten Fläche A = 4 FE beträgt. 15) Von einer Rdrsttion werden zwei Flugzeuge geortet. Im rechtwinkligen räumlichen Koordintensystem {0;i;j;k}, in dessen Ursprung die Rdrsttion liegt, hben die Flugzeuge die Koordinten P 1 (10 4 1) und P ( ). Beide Flugzeuge fliegen uf den Punkt P 3 ( 8 5) zu (Angbe der Koordinten in km). ) Berechnen Sie den Abstnd der Flugzeuge voneinnder zum Zeitpunkt der Ortung. b) Berechnen Sie den Winkel, der von den beiden ls gerdlinig ngenommenen Flugkurven gebildet wird. 16) Die Punkte A (1 0 ), B (6 0 ) und C (6 4 1) sind Punkte eines Dreiecks. Sie werden durch den Punkt D zu einem Rechteck ergänzt. Berechnen Sie: ) die Koordinten des Punktes D b) die Längen der Mittelsenkrechten des Rechtecks und c) den Mittelpunkt. d) Welche Form ht ds Rechteck? 17) Ein Trnsportcontiner ht die Mße,5 m x 1, m x 1,0 m. Bestimmen Sie unter Beibehltung des Volumens und der Länge l =,5 m die Mße für die Breite b und Höhe h eines zweiten Continers. Für dessen Herstellung soll der Mterilverbruch möglichst gering sein. x 1 18) Für die gebrochen rtionle Funktion f mit f ( x) = werden gesucht: x + ) ds Verhlten des Grphen im Unendlichen sowie die Asymptoten, b) die Koordinten der Nullpunkte, c) die Pole und eventuelle Lücken, d) die Extrempunkte mit Minimum/Mximum-Entscheidung, e) die Wendepunkte (ohne 3. Ableitung) und f) der Definitions- und Wertebereich. g) Ist die Funktion n der Stelle x = stetig? Antwort mit Begründung. h) Fertigen Sie eine Skizze des Grphen der Funktion f im Intervll I = [ 5;4] n. 19) Gegeben sind die im Bereich IR definierten Funktionsschren 1 1 f ( x) = x + 1 und g ( x) = x + mit 0 < < 1

13 ) Skizzieren Sie die zugehörigen Grphen der Funktionen f und g für = 0,5. b) Berechnen sie den von den Grphen zu f und g eingeschlossenen Flächeninhlt A() in Abhängigkeit von. c) Für welchen Wert von wird der Flächeninhlt A() mximl? 0) Eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion 5. Grdes ht bei N 1 ( 10 0) und N ( 10 0) je eine Nullstelle und geht durch den Punkt P 1 (1 0.9). Die Wendetngente im Punkt P (0 0) ht den Anstieg m = 0. Betimmen Sie die Funktion. 1) Gegeben ist die Kurvenschr mit f (x) = x 3 + x mi t x IR und > 1. Der Grph der Funktion schließt mit der x-achse ein Flächenstück ein, ds von der Gerden x = 1 in zwei Teilflächen A 1 und A geteilt wird. Bestimmen Sie so, dss gilt: A 1 = A. ) In einem räumlichen Koordintensystem liegen die Gerden g 1 und g. g 1 : x 10 + y = 1 s 1 z 15 4 mit s IR g : x y = 0 t 0,5 z 9 mit t IR und IR ) Bestimmen Sie den Spurpunkt S der Gerden g 1 mit der xy-ebene. b) Geben Sie eine Gleichung der Gerden h n, die durch den Spurpunkt S geht und prllel zur z-achse verläuft. c) Beschreiben Sie die Lge der Gerden g für = 0. d) Bestimmen Sie so, dss die Gerden g 1 und g prllel zueinnder sind. e) Für welchen Wert von schneiden sich die Gerden g 1 und g im Punkt B (6 1/ 7 )? 3) Die Seite des drgestellten gleichschenkligen Trpezes ist 10 LE. ) Zeigen Sie, dss der mximle Flächeninhlt des Trpezes in Abhängigkeit von x x + 10 A( x) = x x ist. 4 b) Wie groß muss die Seite x des Trpezes gewählt werden, dmit der Flächeninhlt mximl wird? Hinweis: Auf A (x) knn verzichtet werden. 4) Bestimmen Sie für die Funktion f mit f (x) = x 3 x +18 x + 9 ) ds Verhlten des Grphen im Unendlichen, b) die Koordinten der Nullstellen, c) die Extrempunkte und d) die Wendepunkte. e) Skizzieren Sie die Funktion.

14 5) Gesucht ist eine gnzrtionle Funktion 3. Grdes, deren Grph im Koordintenursprung eine Nullstelle und n der Stelle x E = 1 ein Extrem ht. Der Anstieg der Wendetngente n der Stelle x W = 1 ist m W = ) Für die gebrochen rtionle Funktion f mit f ( x) = werden gesucht: x 1 ) ds Verhlten des Grphen im Unendlichen sowie die Asymptoten, b) die Koordinten der Nullstellen, c) die Pole und eventuelle Lücken, d) die Extrempunkte mit Minimum/Mximum-Entscheidung, e) die Wendepunkte und f) der Definitions- und Wertebereich. g) Fertigen Sie eine Skizze des Grphen der Funktion f im Intervll I = [ 4;4] n. Hinweis: Erstellen Sie nur die Ableitungen, die benötigt werden. 7) Eine gnzrtionle Funktion f ist gegeben durch f (x) = x 3 x +. Ermitteln Sie: ) ds Verhlten des Grphen im Unendlichen b) die Nullstellen im Intervll I = [ 3;3] mit dem Newtonschen Näherungsverfhren mit einer Genuigkeit von f(x) 0,005. c) Die Extrem und d) die Wendepunkte bzw. Sttelpunkte. e) Zeichnen Sie den Grph der Funktion f mit llen ermittelten Punkten. 8) In einem krtesischen Koordintensystem sind die Punkte A (1 1 ), B (3 0 ) und C ( 1 0) gegeben, sowie der Punkt D ( +1) mit IR ) Die Punkte A und B, sowie C und D legen jeweils eine Gerde fest. Ermitteln Sie die Gleichungen g und h dieser Gerden. b) Zeigen Sie, dss keine dieser Gerden h prllel zur Gerden g verläuft. c) Bestimmen Sie den Wert der Zhl so, dss die zugehörige Gerde h die Gerde g schneidet, und berechnen Sie für dieses ( IR) die Koordinten des Schnittpunktes von g und h. d) Geben Sie mit Hilfe Ihres ermittelten Wertes für die Gerdengleichung für h n. e) Ermitteln Sie den Schnittwinkel zwischen g und h. 9) Der Grph einer Funktion vierter Ordnung ht im Ursprung eine wgerechte Tngente und im Punkt W( ) einen Wendepunkt mit wgerechter Tngente. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Funktion. 30) Im räumlichen Koordintensystem {0;i;j;k}sind die Punkte A ( 8 ) und B ( ) gegeben. ) Stellen Sie die Gerdengleichung für die Gerde g, die durch A und B geht, uf. b) Liegt der Punkt P o ( 8) uf der Gerden g? uur uuur c) Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren A0 und OP0! d) Die Gerde g durchstößt die yz-ebene im Spurpunkt P yz und die xz-ebene in P xz. Berechnen Sie die Koordinten der beiden Spurpunkte.

15 31) Ein Grundstück ht einen rechteckigen Flächeninhlt von 300 m und wird n einer Stelle durch eine Muer gegrenzt. Bestimmen Sie die Seiten so, dss sein Umfng möglichst klein wird. x 8 3) Gegeben ist die Funktion f mit f ( x) = x 1 Ermitteln Sie ) ds Verhlten des Grphen im Unendlichen sowie die Asymptote, b) die Koordinten der Nullpunkte, c) die Polstellen, die Extrempunkte ohne Minimum/Mximum-Entscheidung, Skizze vom Grphen der Funktion f.