( 0) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Analysis, analytische Geometrie, Stochastik Ableitungen: Wendepunkte: = 24 > 0 konkav konvex fa

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1 Lösungen Abitur Leistungskurs Mthemtik 00 Seite von P Anlsis, nltische Geometrie, Stochstik. f + + R, R.. Ableitungen: f ' + f ''( ) + Wendepunkte: f '' W f ''' ( + ) 0 f '''( 0) > 0 konkv konve f ( 0) f ''' ( ) < 0 konve konkv f W PW ( 0; ) PW ( ; 6 + 9) Abstnd zwischen den Wendepunkten: d d( ) wird miniml, wenn d : d d miniml wird. d ' d ' Min Alterntive: d ( 0 ) ( 6 9) ( 6 8) d '' 8 > 0 Minimum wird miniml, wenn der Rdiknt miniml wird ( 6 8) Für hben die Wendepunkte den kleinsten Abstnd voneinnder... f + R 0 + muss ein Minimum nnehmen Min Nullstellen: f ( + ) und 0 Flächeninhlt: F f0 ( ) d + d , Der Flächeninhlt beträgt 5, FE.. < für lle < P g ( ) g ( ) g ' g' P 0 ' < ' P für lle > P Der Grph von g ht bei P ein Mimum Der Grph von g ht bei P einen Wendepunkt.

2 Lösungen Abitur Leistungskurs Mthemtik 00 Seite von. 5 u v w 0 5 D(0; 0; 0), A(5; 5; 0), B(0; 5; 5), C(5; 0; 5) Angbe der Vektoren, b und c in Abhängigkeit von u, v und w : DA u+ v b DB v+ w c DC u+ w.. Angbe von u, v und w ls Linerkombintion von, b und c : (Es ist nur ein Vektor verlngt.) b v+ w v b w c u+ w w c u u+ v u v u v ( b w) b+ w b+ ( c u) b+ c u u b+ c u b+ c.. v b w b ( c u) b c u b c + + b+ c + b c w c u c b+ c + b+ c Ebene ε(dab): DA DB n z d D(0; 0; 0) ε(dab) d 0 ε(dab): + z 0 P(; ; z) ε(dab): + z 0 z. k Bernoullikette mit Länge n und p 0, X Anzhl der Erfolge B ( k) p ( p).. Whrscheinlichkeiten: P A B 0;0, 7 6,% P( B) B B B 0;0, 0;0, 0;0, n k np ; ,99% n k.. n 5 n 5 µ n p 50,,5 µ n p 5 0,,5 σ ( X) n p ( p) 5 0, 0,7,05,05 σ ( X) n p ( p) [ µ σ ; µ + σ] [ 0,55;,55] X { 0;; ;} [ µ σ ; µ + σ] [ 0,95;8,05] X { ;;...;8} 5 0, 0,7,5,775

3 Lösungen Abitur Leistungskurs Mthemtik 00 Seite von.. Rechnerisch: [ µ σ ; µ + σ] n p n p ( p) ; n p+ n p ( p) n 0, n 0, 0,7; n 0,+ n 0, 0,7 n n; n+ n [ 0; n] n n n n 0 0 n 7 n+ n n n n n n 9 n 0 Ab n 0 ist ds σ-intervll vollständig in [0; n] enthlten. n 9 5 n 7 Probieren: n 9 [ µ σ ; µ + σ], 7,89;, 7 +,89 [ 0, 05;5, 5] [ 0;9] n 0 [ µ σ ; µ + σ],;+, [ 0,0;5,90] [ 0;0] Ab n 0 ist ds σ-intervll vollständig in [0; n] enthlten. P Anlsis. Aufgben..,..,..,. siehe Aufgben..,..,..,... Monotonieverhlten: f streng monoton steigend für < f streng monoton fllend für < < f streng monoton steigend für > Mimumstelle Wendestelle Minimumstelle Krümmungsverhlten: f konkv für < f konve für > Möglicher Verluf des Grphen von f: f f f f

4 Lösungen Abitur Leistungskurs Mthemtik 00 Seite von.. f( ) b c d + + +, b, c, d R; 0 Ableitungen: f '( ) + b + c f ''( ) 6+ b f '''( ) 6 0 Wendestellenkndidten sind Wendestellen Wendestellen: f ''( ) b 0 w b (Division möglich, d 0) Es eistiert genu eine Wendestelle.. w R, 6... Ableitung n der Stelle 0 entspricht dem Anstieg der Tngente: w'( ) m w'() Tngente muss berührt w im Punkt P(; w()): w () + n n + Schnittpunkt der Tngente mit der Ordintenchse: P(0; ) Schnittwinkel mit der Ordintenchse: Schnittwinkel mit der Abszissenchse: tnα m Schnittwinkel mit der Ordintenchse: β α 90 6, tnα α 5,.. A ( 0;0), B( u ;0), C( u; w( u )), ( 0; ) Flächeninhlt des Rechtecks: F( u) u w u u u D w u u R, u > 0 Rechteck ABCD Mimler Flächeninhlt: u u u F'( u) u + u u u u F''( um ) (verkürzte. Ableitung n der Etremstelle) u M u F'( u ) 0 0 u (Nenner von F ist ungleich Null und >0) u 0 u F ''() < 0 Mimum Für u ht ds Rechteck ABCD den größten Flächeninhlt.

5 Lösungen Abitur Leistungskurs Mthemtik 00 Seite 5 von W Anlsis ln f + R, > 0. Definitionsbereich: R, d immer Schnittpunkt mit der Ordintenchse: f 0 ln P + > 0, weil > 0 ( 0;ln ) Schnittpunkte mit der Abszissenchse: ln + 0. Smmetrie: f ( ) 0 ± 0, + Schnittpunkte mit der Abszissenchse, wenn 0 < < : P ( ;0) und P ( ;0) Schnittpunkt mit der Abszissenchse, wenn : ( 0;0) P (gleichzeitig Schnittpunkt mit Ordintenchse) keinen Schnittpunkt mit der Abszissenchse, wenn > ln ( ) ln ( ) f + + f f ist eine gerde Funktion; Der Grph von f ist smmetrisch zur Ordintenchse. Ableitungen: f ( ) ' + f '' ( ) ( + ) + ( + ) ( + ) Etrempunkte: f '( ) E 0 (D > 0, ist der Nenner von f ungleich Null.) f ''( 0) 0 > Minimum P ( 0;ln ) Min f ''' ( ) W W ( ) W + Wendepunkte: f '' 0 + ( + ) 0 (Nenner von f immer größer Null) W f ''' ( ) > 0 + W f ''' < (konkv konve) f ( ) ln (konve konkv) f ln P (konkv konve) und W ;ln PW ;ln (konve konkv)

6 Lösungen Abitur Leistungskurs Mthemtik 00 Seite 6 von. A( ;ln( )), B( ;ln ), O ( 0;0) 0 < < Volumen des Kreiskegels: V πr h π ln πln (Negtives Vorzeichen, d ln() < 0 für 0 < < ; Kegel liegt unterhlb der Abszissenchse.) π V ' π ln π π ( ln + ) V '' < 0 Mimum V '( ) 0 π ( ln + ) 0 ln( ) e Für M nimmt der Kegel ds größte Volumen n. e. h ln0 f5 ( ) ln ( 5) Rottionsvolumen: [ ] + 0 P ( 0;ln ) P ( 0;ln 5) V π g d g() Umkehrfunktion zu f 5 () ln 5 ln0 ( ) ln + 5 e + 5 e 5 ln0 ln0 ln0 ln 5 ln 5 ln 5 für 0 M V π e 5 d π e 5d π e 5 π 0 5ln ln 5 π 5 5ln 5π ln,8 Ds Volumen beträgt rund,8 VE. e W Anlsis 6 g( ) + 5 R, 0 h R.. Schnittstellen der Grphen für > 0: g( ) h( ) z z, z z+ 0 z, 6± 6 z, 6 ± 8 ± 8 ± 8 8 +, 7 und,5 (Negtive Werte interessieren nicht, d > 0) Flächeninhlt:,5,5,5 6 6,7,7,7 F g ( ) h ( ) d + 9 d + 9 +,956 Der Flächeninhlt beträgt rund, FE.

7 Lösungen Abitur Leistungskurs Mthemtik 00 Seite 7 von.. Anstieg der Tngente n G in N(-; 0): g' ( ) + m t ' G g 8 Anstieg der Normlen in N(-; 0): m tg m n m n m n An welcher Stelle ht h den Anstieg? h'( ) h'( ) Berührungspunkt der Tngente: H 7 ; 8 h Tngentengleichung t n H, die zur Normlen prllel verläuft: t: + n 7 H t: 8 + n 7 n 8 t: 7 8. k R, k N g( ) p k R, 0 Für k hben die Funktionen p k und g keinen gemeinsmen Punkt: 6 pk ( ) g( ) k + 5 k k + k k + + k z z 0 k + + k + ( z ) z 8 6 k + ± k+ ( k + ), z 8 56k 6 ± k + + ( k ), z k ± k + + ( k ), Werte für z eistieren, wenn der Term unter der Wurzel nicht kleiner Null ist. Für welche k N ist der Rdiknt größer Null? (Der Nenner des Rdiknten ist immer größer Null.) 60 56k > 0 56k < 60 k < 6 Für k gibt es zwei Schnittpunkte zwischen p ( ) und g ( ). Für k gibt es keinen Schnittpunkt zwischen p ( ) k und k g.

8 Lösungen Abitur Leistungskurs Mthemtik 00 Seite 8 von. + 5 R r( ) g( ) < g( ) r 00 Für welche Werte ist der Abstnd der Funktionswerte von r( ) und g ( ) kleiner ls. r( ) g( ) < < 6 < R, 0 00? 6 < 00 > 600 > 0 (lso > 0 oder < 0 ) c f ( ) + b+ R; 0;, b, c R Nullstelle bei f 0 + b+ c 0 6+ b+ c 0 (I) Tngente berührt f im Punkt P ( ;0) f ( ) 0 6+ b+ c b+ c 0 (II) 6 Anstieg der Tngente muss mit. Ableitung von f n der Stelle übereinstimmen: Anstieg der Tngente durch P( ;0) und S ( 0;6) P S 0 6 m 0 P S c ' f ' f 8+ c 56+ c 8 (III) Lösung des Gleichungssstems: (III) 56+ c 8 c (III) in I 6+ b+ c 0 6+ b b b+ 0 (II) (III) in II 56+ 6b+ c b b b+ 0 (III) (II) (III) in (III), c in (I) c c b 6 0 b 5

9 Lösungen Abitur Leistungskurs Mthemtik 00 Seite 9 von W Anltische Geometrie A(; -; -) B(; ; -) C(; ; ) D(0; 0; 0) E(5; ; 5) F(7; 8; 7) G(; ; z) H(; ; 8) O(0; 0; 0) Grundfläche ABCD. Zeichnung: Unsichtbre Knten: AD, CD, BC CG, DH Koordinten von G: 7 5 OG OF + BC G(5; 7; 9) Grundfläche ABCD ist ein Trpez, wenn es zwei prllele Seiten gibt: AB 6 DC AB DC AB DC ABCD ist ein Trpez. Flächeninhlt des Trpezes ABCD: ATrpez A ABD + A BCD AB AD + DB DC Der Flächeninhlt des Trpezes ABCD beträgt 9 0 FE.

10 Lösungen Abitur Leistungskurs Mthemtik 00 Seite 0 von. Es hndelt sich um ein gerdes Prism, wenn gilt: AB AE AB AE Es hndelt sich um ein schiefes Prism. AE steht nicht senkrecht uf AB Ebene ε(abef): + s 6 + t 8 s, t R R(; ; 0) ε(abef): + s 6 + t s + t + 8t+ t t + 6s + t s + 8t s 8t s R ist ein Punkt der Ebene ε(abef), weil ds Gleichungssstem mit R liegt in der Seitenfläche ABFE, weil gilt: 0< s < und 0< t <.. s und t eine Lösung besitzt. T(; ; z) muss uf der Gerden g(ae) liegen: g(ae): + r r R 8 + r z 8 Seitenlängen des Dreiecks BDT: + r BT + r + 8r + + r DT + r + r + + r + + 8r + 8r BD 6 Dreiecks BDT gleichschenklig, wenn DT BD : DT BD + r + + r + + 8r 6 ( r) ( r) ( r) r+ 6r + 6r+ 6r + 9 8r+ 6r 6 96r 56r 0 7 r r ± r, ± + r, ± r, r und r 6 r interessiert nicht weiter, d T uf der Knte AE liegen soll, lso 0 < r < gelten muss. T(; ; )

11 Lösungen Abitur Leistungskurs Mthemtik 00 Seite von Dreieck BDT gleichseitig, wenn uch noch gilt: BT 6 : BT 6 Ds Dreieck BDT ist gleichseitig. Koordintengleichung der Ebene ε(dtb): DT DB D(0; 0; 0) ε(dtb) d 0 ε(dtb): + + z 0 n ε(dtb): + + z d.. Ebenengleichung: Der Normlenvektor der Ebene ε(dtb) muss ein Vielfches von AE sein, wenn der Schnittwinkel 90 betrgen soll: AE n r mit r R ε(dtb): r + r + 8rz d 8 8 D(0; 0; 0) ε(dtb) d 0 ε(dtb): r + r + 8rz 0 Liegt B(; ; -) wie gefordert in der Ebene ε(dtb)? ε(dtb): + + z 0 Es gibt keine solche Ebene, die die Knte AE senkrecht schneidet. W Stochstik X Anzhl der fehlerhften Pfeile Y Anzhl der Pfeile, die in Ordnung sind p P(fehlerhft) 0,05. n 00 Bernoullikette liegt vor, wenn sich die Erfolgswhrscheinlichkeit nicht ändert, die einzelnen Ziehungen lso voneinnder unbhängig sind. Dies knn mn relisieren, indem mn die geprüften Pfeile (uch die fehlerhften) wieder zurücklegt. Anderenflls muss die Grundgesmtheit gegenüber der Stichprobe sehr groß sein, so dss sich die Erfolgswhrscheinlichkeit nicht ändert. Whrscheinlichkeiten: PA PX ( 6) B00;0,05(6) ( 0,05) ( 0,95) 5% 6 P A P X 6 P X 6 P X 5 F 6 F 5 0,7660 0,660 5% oder: 00;0,05 00;0,05 P B P Y < 9 P X > 8 P X 8 F 8 0, 969 6, % 00;0,05 ( 90 98) ( 0) ( 0) ( ) F ( 0) F 0, , 07 95,% P C P Y P X P X P X 00;0,05 00;0,05

12 Lösungen Abitur Leistungskurs Mthemtik 00 Seite von. Rechtsseitiger Signifiknztest H 0 : p 0,05 H : p > 0,05 X Anzhl der defekten Teile H 0 whr X ist B 00; 0,05 verteilt (binomilverteilt mit n 00 und p 0,05) Ablehnungsbereich: A { 8;9;...;00} Gesucht ist: P(H 0 bgelehnt, obwohl H 0 in der Relität whr ist) P(Fehler. Art) α Signifiknzniveu α P X 8 P X 7 F 7 0,870,8% 00;0,05 Die Whrscheinlichkeit, dss eine Lieferung fälschlicherweise zurückgeschickt wird, beträgt,8% Änderung der Entscheidungsregel: A { kr; kr + ;...;00} H 0 wird uf Grund der Stichprobe nicht bgelehnt, wenn die Stichprobe einen Wert kleiner k r liefert. Annhmebereich : A { ;;...; k r } Gesucht ist: P(keine Entscheidung für H, obwohl H in der Relität whr) P(Fehler. Art) β ( r ) 00;0,05 ( r ) 0, F00;0,05 0,8 β P X k F k < F00;0,05 0, 578 k k r A { ;;...;00} r Entscheidungsregel: Die Sendung wird zurückgeschickt, wenn mindestens Pfeile defekt sind; wenn weniger ls Pfeile defekt sind, wird die Sendung ngenommen. ACHTUNG: Die. Teilufgbe ist eigentlich nicht lösbr. Der Ablehnungsbereich knn nur berechnet werden, wenn die wirkliche Whrscheinlichkeit für defekte Pfeile beknnt ist, lso die Alterntivhpothese klr definiert ist. Die Whrscheinlichkeit für den Fehler. Art knn mn in der Binomilverteilung blesen, die die Alterntivhpothese beschreibt. Die Zufllsgröße X ist hier, wenn die Alterntivhpothese stimmt, nicht mehr B 00;0,05 verteilt. Die Erfolgswhrscheinlichkeit ist größer ls 0,05 und leider nicht beknnt. Es hndelt sich bei der Berechnung nur um eine Abschätzung unter der Bedingung, dss die wirkliche Erfolgswhrscheinlichkeit nur geringfügig über 0,05 liegt.. 5 Felder mit den Punkten bis 5.. Anzhl der Möglichkeiten: Es gibt 5! 0 verschiedene Frbnordnungen. Begründung: Es gibt 5 verschiedene Möglichkeiten, dem. Ring eine Frbe zuzuordnen, diese knn dnn nicht mehr vergeben werden, weil lle Ringe unterschiedlich gefärbt sein sollen. Dher gibt es nur noch Möglichkeiten, für den. Ring, dnn Möglichkeiten für den. Ring, usw. Es müssen 5 Objekte (Frben) uf 5 Positionen (Ringe) ngeordnet werden, wobei Wiederholungen usgeschlossen sind. Es hndelt sich demnch um eine Permuttion ohne Wiederholung. Bei n Objekten gibt es demnch n! mögliche Anordnungen. 5

13 Lösungen Abitur Leistungskurs Mthemtik 00 Seite von.. Y Anzhl der erreichten Punkte bei einmligem Schießen Scheibe wird immer getroffen Y knn die Werte,,,, 5 nnehmen. Whrscheinlichkeitsverteilung: A5 π r5 ( 6cm) 6 PY ( 5) A π r 0cm PY ges ( r r5 ) ( cm) ( cm) π A Ages π r cm PY ( 0 ) ( r r ) ( cm) ( cm) π A Ages π r cm PY ( 0 ) ( r r ) ( cm) ( cm) π A Ages π r cm PY ( 0 ) ( r r ) ( cm) ( cm) π A Ages π r cm ( 0 ) Erwrtungswert: EY , Vrinz: Vr Y E X E X , Stndrdbweichung: σ ( Y) Vr( Y), Aussgen: Beide Aussgen sind flsch, denn ein Erwrtungswert einer Zufllsgröße, die nur gnzzhlige Werte nnimmt, knn nicht-gnzzhlig sein. D es sich bei beiden Aussgen um All-Aussgen hndelt, reicht ein Gegenbeispiel, um die Aussgen zu widerlegen. Ds Gegenbeispiel ist in.. zu finden: Die Zufllsgröße Y knn nur gnzzhlige Werte nnehmen, jedoch ist der Erwrtungswert nicht gnzzhlig. (Es würde reichen, uf dieses Gegenbeispiel, {;;;;5} zu verweisen.)