Haupttermin Aufgabe 1 N A L Y S I S. 1 a ln( x) ln( x))

Transkript

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3 Hupttermin Aufgbe N A L Y S I S Gegeben ist die Funktionenschr f : D 5 ; m, 5\{} ln( ) Bestimmen Sie die Definitionsmenge der Funktion f in Abhängigkeit von Bestimmen Sie die Funktion der Schr f, die ihre Definitionslücke n der Stelle e besitzt Diskutieren Sie die Funktion f : D 5 ; m ln( ) Untersuchen Sie dbei zusätzlich uch l i m f ( ) (Zur Kontrolle : f ( ) + ln( ) ( ln( )) ) + Zeigen Sie, dss die Grphen der Schr f genu einen gemeinsmen Punkt besitzen 5 Vom Ursprung us wird n jeden Grphen der Schr f die Tngente gelegt Bestimmen Sie eine Gleichung der Kurve, uf der die Berührpunkte liegen Gegeben ist die Funktion g : 5 5 ; e Untersuchen Sie die Funktion g uf Nullstellen, Etrem und Symmetrie und berechnen Sie die Grenzwerte für ± Skizzieren Sie den Grphen von g Begründen Sie, dss die Funktion g : 5 + W ; e umkehrbr ist Geben Sie die Wertemenge W n und berechnen Sie die Umkehrfunktion Der Grph der Funktion g, die y-achse und die Gerde mit der Gleichung y begrenzen im ersten Qudrnten eine Fläche Berechnen Sie ds Volumen des Drehkörpers, der bei Rottion dieser Fläche um die y-achse entsteht Sei u 5 + Die Koordintenchsen, die Gerden u und y g(u) begrenzen ein Rechteck Berechnen Sie u so, dss der Flächeninhlt des Rechtecks miml wird t 5 Gegeben ist die Funktion I : 5 5 ; e dt Zeigen Sie, dss I genu eine Nullstelle besitzt Geben Sie diese Nullstelle n

4 Hupttermin L ö s u n g e n Gegeben ist die Funktionenschr f : D 5 ; m ln( ), 5\{} Bedingungen : ln() ist definiert, lso > D m 5 + \ { e } ó Nenner ungleich Null, lso e Nennernullstelle : e Bedingung : e e gesuchte Funktion : f : ln( ) Diskussion der Funktion f : D 5 ; m ln( ) Definitionsmenge: D m 5 + \ {e} (vgl uch ) ó Symmetrie: keine einfche (vgl zb D m ) ì Nullstellen: keine ö Grenzwerte n den Rändern von D m : l i m f ( ) + ; l i m f ( ) + + l i m f ( ) + ; l i m f ( ) e e + e ist Unendlichkeitsstelle (Polstelle) mit Vorzeichenwechsel von + nch ú Ableitungen : f ( ) ( ln( )) f ( ) + ln( ) ( ln( ))

5 Hupttermin Etrem und Monotonie Es gibt keine Nullstellen der ersten Ableitung und dher keine loklen Etrempunkte Vorzeichenbetrchtung: e e f ( ) + + Monotonieintervlle : f ist streng monoton wchsend in ], e[ und in ]e, [ ø Wendepunkte und Krümmung Nullstellen der zweiten Ableitung: f ( ) ln() + e Vorzeichenbetrchtung: e e e e f ( ) + Es liegt der Wendepunkt W( e ) vor Krümmungsintervlle : G f ist linksgekrümmt in [ e,e[ G f ist rechtsgekrümmt in ], e ] und in ]e, [ e í Grenzverhlten der Steigung bei Annäherung n den Ursprung: l i m f ( ) + l i m + ( ln( )) l i m + ( ln( )) Der rtionle Term dominiert den logrithmischen Fktor +

6 Hupttermin û Grph y W e Betrchte die Schrfunktionen f und f b mit b f () f b () ln( ) b ln( ) b ln( ) ln( ) 6 ln( ) b ln() (d b) (unbhängig von und b) Alle Schrkurven schneiden sich im Punkt S( )

7 Hupttermin 5 5 Ableitung : f ( ) ( ln( )) Die llgemeine Tngentengleichung im Berührpunkt B(u f (u)) lutet: t : y f ( u) ( u) + f ( u) y u ( ln( u)) ( u) + ln( u) D die Tngente durch den Ursprung gehen soll, folgt: ln(u) u ( ln( u)) ln(u) ln(u) u e ( u) + ln( u) Hiermit ergibt sich: f(u) ( ) ln(u) + Die Berührstellen liegen dher uf der Kurve mit der Gleichung y ln() + - Gegeben ist die Funktionen g : 5 5 ; e Nullstellen: Wegen g() > für lle " gibt es keine Nullstellen Etrem: Ableitung: g ( ) e An der Stelle ht g einen Vorzeichenwechsel von + nch Es liegt der Hochpunkt H( ) vor Symmetrie: Für lle 5 gilt: g() e Grenzwerte: l i m g ( ) 6 Es liegt dher Symmetrie zur y-achse vor + l i m g ( ) + e g()

8 6 Hupttermin Grph: y y g(u) u Es gilt: g ( ) e < für lle 5 + g ist dher in 5 + streng monoton fllend und somit umkehrbr Die Wertemenge von g ist W ];] Berechnung der Umkehrfunktion: y e ln y ln y y ln y ln (Wurzel für < y definiert) ( 5 + ) Umkehrfunktion : g : ] ; ] 5 ; ln

9 Hupttermin 7 Volumen des Drehkörpers : V π dy V π yln( y) y yln( ) V π +ln( ) V π ( ln() ) π ln y dy π ln( y) ln( ) 6 π ( ln() ln() ) ( ln() ) dy Flächeninhlt: A(u) u g(u) u e Zielfunktion: A : ; u Ableitung: u u e u A ( u) ( u ) e Lokle Etrem: A ( u) u (d u > ) vor Rndbetrchtung: l i m Au ( ) u A ht n der Stelle einen Vorzeichenwechsel von + nch Dher liegt bei eine lokle Mimumstelle mit A() e + l i m Au ( ) + Die lokle Mimumstelle ist dher uch bsolute Mimumstelle (Vrinte zur Rndbetrchtung: D die einzige lokle Mimumstelle ist, liegt bei uch ds bsolute Mimum vor ) + - t 5 Sei I() e dt Es gilt: I ( ) e - > für lle 5, dh I ist streng monoton wchsend in 5 und besitzt dort somit höchstens eine Nullstelle Die Stelle (untere Grenze des Integrls) ist dher die einzige Nullstelle von I

10 8 Hupttermin Aufgbe N A L Y T I S C H E E O M E T R I E Gegeben sind die Punkte A( 5), B(6 ), C(6 6 ) und D(5 ), r die Gerde g: + λ mit λ 5, 5 t r sowie die Gerdenschr h t : + µ t + t mit µ 5, t 5 Berechnen Sie ds Mß des Schnittwinkels zwischen der Gerden g AB durch A und B und der Gerden g AC durch A und C Bestimmen Sie eine Koordintengleichung der Ebene, in der lle Gerden der Schr h t liegen Berechnen Sie den Spiegelpunkt des Punktes D n der Ebene e : Untersuchen Sie, ob die Gerde g prllel zu einer Gerden h t der Schr verläuft und ob g und eine Gerde h t der Schr gleich sind 5 Zeigen Sie: F( ) ist der Fußpunkt des Lotes von C uf die Gerde g 5 Berechnen Sie den Abstnd des Punktes C von der Gerden g 5 Bestimmen Sie eine Punktrichtungsgleichung der Ebene e, welche die Gerde g enthält und einen möglichst großen Abstnd von C ht r uuur r uuur r uuur Ein Quder wird von den Vektoren OA, b OB und c OC vom Ursprung O us ufgespnnt Der Punkt K teilt die Digonle AD im Verhältnis : D C K c b B O A In welchem Punkt S durchstößt die Gerde OK die Ebene durch die Punkte A, B, C? Geben Sie den Ortsvektor dieses Punktes S n Begründen Sie, dss der Punkt S innerhlb des Dreiecks ABC liegt

11 Hupttermin 9 L ö s u n g e n AB 6, AB AC 8 6, AC AB AC cosα 56 56,78, α,8 h t : r + µ t t t + + µ t + µ Richtungsvektoren : r u und r v Normlenvektor: r n r u r v 5 Normlengleichung von e : 5 ( r ) 5 + +

12 Hupttermin Lotgerde durch D : l : r 5 + λ 5 Einsetzen in die Gleichung von e: 5 [ 5 + λ 5 ] + 5λ λ Lotfußpunkt : v f Spiegelpunkt : r d v f v d Der gesuchte Spiegelpunkt von D ist D (5 8) g h t, + t t t liner bhängig + t t t r ) ( ) ( ) ( 5 t t t t Nur g und h sind zueinnder prllel Es bleibt zu prüfen, ob sie sogr identisch sind Punktprobe für den Aufpunkt von h : 5 + λ λ λ λ λ Ds Gleichungssystem ist unerfüllbr g und h sind somit nicht identisch

13 Hupttermin 5 Lotebene durch C zu g : e L : 6 r 6 r + 9 Schnitt von e L und g : Lotfußpunkt : + λ λ λ λ f r 5, lso F( ) 5 Verbindungsvektor : CF 6 6 Gesuchter Abstnd : d(c,g) CF Die gesuchte Ebene e enthält die Gerde g und steht senkrecht uf CF : Der Aufpunkt P( 5) von g ist uch ein Aufpunkt von e Der Richtungsvektor r u g von g ist uch ein Richtungsvektor von e Gesucht ist ein zweiter Richtungsvektor r v für e mit der Eigenschft, dss r v CF gilt und r v und r u g liner unbhängig sind Möglichkeit : Intelligentes Rten eines Vektors v r : Der Vektor v r erfüllt die beiden geforderten Eigenschften Eine Punktrichtungsgleichung von e ist dnn zb : e : r + λ + µ 5

14 Hupttermin Möglichkeit : Berechnung eines Vektors r v mit Hilfe des Vektorprodukts: CF r u g 6 5 ; wähle r v 5 Eine Punktrichtungsgleichung von e ist dnn zb : e : r 5 + λ + µ 5 Die Gerde OK ht die Gleichung : Ebene e durch die Punkte A, B und C : r λ OK uuur λ ( v + 5 ( b r + c r ) ) r v + µ ( r b v ) + ν ( r c v ) Schnittpunktsberechnung (durch Gleichsetzen) : λ ( v + 5 ( r b + r c ) ) v + µ ( r b v ) + ν ( r c v ) (λ + µ + ν ) v + ( 5 λ µ) r b + ( 5 λ ν) r c r Aus der lineren Unbhängigkeit der Vektoren v, r b und r c folgt : λ + µ + ν Es folgt : λ 5 9 und µ ν 9 5 λ µ 5 λ ν Dmit gilt : r s 5 9 v + 9 r b + 9 r c Wegen < µ,ν < und µ + ν < liegt der Punkt S innerhlb des Dreiecks ABC 9

15 Hupttermin Aufgbe W A H R S C H E I N L I C H K E I T S T H E O R I E Gegeben sei ein Alphbet mit 5 Voklen und Konsonnten Es wird eine zufällige Buchstbenfolge us 5 Buchstben gebildet Berechnen Sie die Whrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A : Die Buchstbenfolge besteht us luter verschiedenen Buchstben B : Die Buchstbenfolge enthält mindestens einen Vokl C A B D : Die Buchstbenfolge enthält zweiml denselben Vokl und drei verschiedene Konsonnten Eine Fbrik produziert Fliesen Dbei ist jede Fliese mit der Whrscheinlichkeit,96 fehlerfrei Die Fliesen werden in Krtons zu je 5 Stück verpckt Berechnen Sie den Erwrtungswert und die Streuung für die Anzhl X der fehlerhften Fliesen in einem Krton ( Zur Kontrolle: E(X) ) Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit, dss die Anzhl der fehlerhften Fliesen um höchstens vom Erwrtungswert bweicht Ein Händler bezieht von der Fbrik 5 Krtons dieser Fliesen Zur Kontrolle entnimmt er jedem Krton zufällig Fliesen Er nimmt den Krton nur dnn n, wenn keine der überprüften Fliesen zu benstnden ist Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit dfür, dss ein bestimmter Krton ngenommen wird ( Zur Kontrolle: p,96 ), dss höchstens Krton zurückgewiesen wird Ein Glücksrd (vgl Abbildung rechts) ist in eine feste Gewinnhälfte zu DM und zwei Gewinnsektoren zu DM und 9 DM eingeteilt, deren Flächeninhlte durch Einstellen des Winkels α nch Bedrf verändert werden können Der Pfeil zeigt nch dem Drehen des Rdes, lso nch einem Spiel, eindeutig den uszuzhlenden Geldbetrg n und legt ddurch die Zufllsgröße G fest Bestimmen Sie die Whrscheinlichkeitsverteilung von G in Abhängigkeit von α und berechnen Sie α so, dss der Glücksrdbesitzer bei einem Einstz von DM pro Spiel im Mittel % des Einstzes ls Gewinn erzielt

16 Hupttermin L ö s u n g e n Anzhl ller möglichen Ergebnisse: Ω A (6) P(A) ,66 Berechnung über ds Gegenereignis B 5 8 P(B) P( B ) ,656 C A B : Die Buchstbenfolge besteht us luter verschiedenen Konsonnten C () P(C) ,6 5 5 D! Vokl Konsonnten ( 5) ( 9) 99 P(D) , Die Zufllsgröße X zähle die Anzhl der fehlerhften Fliesen pro Krton X ist binomilverteilt mit n 5 und p q, Erwrtungswert : E(X) n p 5, Streuung : σ(x) n p ( p) 5,, 96,9798 P( X ) P( X ) B(5 ;, ; ) + B(5 ;, ; ) + B(5 ;, ; ) 5,96 + 5,,96 +,,96,95 E : Ein bestimmter Krton wird ngenommen P( E ),96, 96

17 Hupttermin 5 E : Höchstens ein Krton wird zurückgewiesen oder Mindestens Krtons werden ngenommen Bernoullikette der Länge n 5 Treffer: Krton wird ngenommen mit p,96, 96 P(T ) P(T ) + P(T 5) B(5 ;,96 ; ) + B(5 ;,96 ; 5) 5,96,78 +,96 5,6688 Die Zufllsgröße G beschreibt den uszuzhlenden Geldbetrg Whrscheinlichkeitsverteilung von G : P (G g DM DM 9 DM g) Erwrtungswert von G : α E(G) DM + DM ( 6 α 6 α ) + 9 DM ( ) 6 α 6 Der Glückrdsbetreiber möchte im Mittel, DM pro Spiel verdienen Für den Erwrtungswert des uszuzhlenden Geldbetrges muss dnn gelten: E(G),7 DM Aus beiden Gleichungen ergibt sich: α 6 +,7 α

18 6 Nchtermin Aufgbe N A L Y S I S Gegeben ist die Funktionenschr f : D 5 ; +9 m, 5 ( ) Zeigen Sie, dss lle Grphen der Schr zwei wgerechte Tngenten besitzen Für welche hben die Grphen der Schr zwei Nullstellen? Bestimmen Sie > so, dss der Grph der zugehörigen Funktion n der Stelle eine Nullstelle ht Diskutieren Sie die Funktion f : D 5 ; 6 m ( 5) 9 (Zur Kontrolle : f ( ) ) ( Zeichnung: LE,5cm ) ( 5) 5 Berechnen Sie den Inhlt der Fläche zwischen dem Grphen der Funktion f (us ) und der -Achse Gegeben ist die Gerdenschr g t : 5 5 ; + + t, t 5 + t Bestimmen Sie die Schnittpunkte S und S der Gerdenschr g t mit den Koordintenchsen und zeichnen Sie g Bestimmen Sie diejenigen Werte von t, für die der Flächeninhlt des Dreiecks OS S miniml wird Gegeben ist die Funktionenschr h k : 5 5 ; Zeigen Sie: Für k < gibt es keine Etremwerte k e k, k 5\{} Untersuchen Sie die Funktionenschr h k uf Nullstellen und Symmetrie und berechnen Sie die Grenzwerte für ± Skizzieren Sie die Grphen von h und h in ein gemeinsmes Koordintensystem Bestimmen Sie die Gleichung der Kurve, uf der lle Etrempunkte der Schr liegen Bestimmen Sie k 5 + so, dss sich die Grphen von h k und h k im Koordintenursprung senkrecht schneiden 5 Für k > schließen die Grphen von h k mit der -Achse eine Fläche ein, die sich ins Unendliche erstreckt Zeigen Sie, dss diese Fläche für lle k 5 + ein endliches Mß besitzt

19 Nchtermin 7 L ö s u n g e n Gegeben ist die Funktionenschr f : D 5 ; +9 m ( ), 5 + Ableitung: f ( ) 9 ( ) 6 9 f ( ) + 9 Die qudrtische Gleichung ht unbhängig von zwei Lösungen Es gibt dher jeweils zwei wgerechte Tngenten Bestimmung der Nullstellen: f ( ) +9 ( ) 9 Es gibt zwei Nullstellen wenn für die Diskriminnte D gilt: D 9 > > ] ; [ ] ; [ 5\ [;] f () + 9 ( ) 5 5 (d > vorusgesetzt) Diskussion der Funktion f ( ) 6 ( 5) : Definitionsmenge: D m 5 \ {5} ó Symmetrie: keine einfche (vgl zb D m ) ì Nullstellen: und ö Grenzwerte n den Rändern von D m :

20 8 Nchtermin 6 Gleichung der Asymptote : y + 5 l i m f ( ) ; l i m f( ) l i m f ( ) ; l i m f ( ) ist Polstelle mit Vorzeichenwechsel von nch + 5 ú Ableitungen : f ( ) + 6 ( 5) 9 f ( ) ( ) 5 (vgl uch für 5) Etrem und Monotonie Nullstellen der ersten Ableitung: Vorzeichenbetrchtung: f ( ) + + Lokle Etrem: H( ) und T(8 8) Monotonieintervlle: f ist streng monoton wchsend in ] ; ] und in [8 ; [ f ist streng monoton fllend in [ ; 5[ und in ]5 ; 8] ø Wendepunkte und Krümmung Es gibt keine Nullstellen der zweiten Ableitung und dher uch keine Wendepunkte Vorzeichenbetrchtung: 5 6 f ( ) + Krümmungsintervlle: G f ist linksgekrümmt in ]5 ; [ G f ist rechtsgekrümmt in ] ; 5[

21 Nchtermin 9 í Grph y 5 Inhlt der Fläche zwischen dem Grphen und der -Achse: " ln -5! $# ln( 9) µ(m) d ( 5) d 9 ln(9)

22 Nchtermin Betrchte die Gerdenschr g t mit der Gleichung y Schnittpunkt mit der y-achse: S ( + t ) Schnittpunkt mit der -Achse: S ( t + ) + + t, t 5 + t Skizze für t : y 6 6 Flächeninhlt: A(t) ( + ) ( t + ) t ( 9 t + 6 t + 8 ) Zielfunktion: A : ; t t t Ableitungen: A () t ( 9 6 t ) 6 A () t t Lokle Etrem: A () t 9 6 t t 6 t ( d t > ) A ( ) Rndbetrchtung: l i m At ( ) + 6 >, es liegt lso ein lokles Minimum vor 6 l i m At ( ) Die lokle Minimumstelle ist dher uch bsolute Minimumstelle mit A() 8

23 Nchtermin Betrchtet wird die Funktionenschr h k : 5 5 ; k e - k, k 5\{} Ableitung : h ( ) k k e k 7 Nullstellen der ersten Ableitung: h ( ) k k k k 7 k ( d k ) k Diese Gleichung ist für k < unerfüllbr Es gibt in diesem Fll lso keine Etrem Nullstelle: Symmetrie: Für lle 5 gilt: h k () k( ) e - ( ) k e - h k () Es liegt Symmetrie zum Ursprung vor Grenzwerte: Fll : k > l i m hk ( ) l i m hk ( ) + Fll : k < l i m hk ( ) + l i m hk ( ) Skizze: y h h

24 Nchtermin Für k > ergeben sich gemäß ls Nullstellen der ersten Ableitung: k k Zugehörige Funktionswerte: hk k e k k e k hk Gleichung der Kurve, uf der die Etrem liegen: y e Für lle k 5 + gilt: h k () h k () k Nch gilt: h ( ) k k e k 7 Dher folgt: h ( ) k k und h ( ) k k Bedingung für senkrechtes Schneiden im Ursprung: h k ( ) h k ( ) (k) (k) k k ( d k > nch Vorussetzung) 5 A k l i m z + l i m z + l i m z + z ke k d e k z e kz 9 (d k > ) Die Flächen hben für lle k 5 + ds Mß

25 Nchtermin Aufgbe N A L Y T I S C H E E O M E T R I E Gegeben ist der Punkt M( ) und die Gerde 7 g : + λ (λ 5) Bestimmen Sie den Fußpunkt F des Lotes von M uf g [ Zur Kontrolle: F ( 6 ) ] Berechnen Sie den Abstnd des Punktes M von der Gerden g Bestimmen Sie die beiden Punkte uf g, die von F die Entfernung hben Betrchtet werden die beiden Punkte P (5 ) und P ( 8 ) uf der Gerden g Bestimmen Sie die Punkte Q und Q, so dss P PQQ ein Prllelogrmm mit dem Mittelpunkt M wird Über P PQQ wird eine senkrechte Pyrmide errichtet Eine Seitenfläche von ihr liegt in der Ebene e, die die Gerde g und den Punkt R (5 6 ) enthält Bestimmen Sie eine Normlengleichung von e und berechnen Sie die Koordinten der Pyrmidenspitze S Gegeben sind die Vektoren r u k k, r vk k, v w k k (k 5) Untersuchen Sie, für welche Werte von k die Vektoren r u k, r v k, v w k einen Spt ufspnnen Für welche Werte von k wird ds Sptvolumen miniml? Gegeben seien die Ebene e : + 5 und die Punkte P t ( t 5 t ) mit t 5 Zeigen Sie, dss lle Punkte P t von e denselben Abstnd besitzen Bestimmen Sie eine Normlengleichung der Ebene e*, die sämtliche Punkte P t enthält und uf der Ebene e senkrecht steht

26 Nchtermin L ö s u n g e n Bestimme eine Hilfsebene e mit M e und g e : e : 6 Schnittpunktsberechnung } { e F g : F F F λ λ λ Einsetzen in die Gleichung von g liefert den Lotfußpunkt ) 6 ( F Abstnd: d(m,g) MF Wegen P g gibt es ein λ P 5 mit r p + 7 λ P FP r r p f λ P + + P P P λ λ λ 9 ) ( ) ( ) ( P P P λ λ λ + P λ P λ ) ( ) ( P λ P λ P λ P λ Es ergeben sich die beiden Punkte P (5 ) und P ( 8 )

27 Nchtermin 5 r r r r q p m p + PM r q 5 5 8, lso Q ( 5) r r r r q p m p + PM r q 8 8, lso Q ( ) Für den Aufpunkt A von g gilt : AR ; wähle r v Normlenvektor : r n r u r v 5 Normlengleichung : e : Bestimmung der Lotgerden l durch M senkrecht uf P P Q Q Die Grundflächenebene, die ds Prllelogrmm P P Q Q enthält, wird zb ufgespnnt durch den Richtungsvektor r u der Gerden g und den Vektor AM Bestimmung des Richtungsvektors r w von l : r u AM Wähle r w Lotgerde l : r + ν P P Q Q M A S g l u R e

28 6 Nchtermin Berechnung des Schnittpunkts S von e und l : 5 + S ν 9 + S ν ν S Einsetzen in die Gleichung von l liefert den Schnittpunkt S( ) Für ds Sptprodukt der Vektoren r u k, r v k, v w k gilt : ( r u k r v k ) v w k ( k k ) k 5 k k (k + ) > für lle k 5 Die Vektoren r u k, r v k, v w k spnnen für lle k 5 einen Spt uf Ds minimle Sptvolumen ergibt sich für k und beträgt V Sp HESSE-Form von e : 5 r Abstnd : d(p t, e) 5 5 t t (unbhängig von t) Alle Punkte P t hben lso von e denselben Abstnd

29 Nchtermin 7 Ortsvektor der Punkte P t : r p t t 5 + Normlenvektor r n * der Ebene e* : Er steht senkrecht uf dem Normlenvektor und uf 5 ; wähle r n * Normlengleichung : e* : r 5 r 5

30 8 Nchtermin Aufgbe W A H R S C H E I N L I C H K E I T S T H E O R I E In einem Grundkurs sitzen 7 Jungen und Mädchen, drunter Ev, Krin und Hns Der Kursleiter wählt uf seiner Liste drei Nmen für eine Abfrge zufällig us Mit welcher Whrscheinlichkeit trifft es zwei Mädchen und einen Jungen? höchstens ein Mädchen, wenn genu zwei Jungen fehlen? Ev oder Hns? Krin, einen Jungen und ein weiteres Mädchen? Bei der Herstellung eines Gerätes sind zwei Fehler ufgetreten % der Produktion hben einen Fehler F, % einen Fehler F 85% ller Geräte sind einwndfrei Zeigen Sie: P(F F ),7 Untersuchen Sie, ob die beiden Fehler unbhängig voneinnder uftreten! Mit welcher Whrscheinlichkeit weist ein zufällig usgewähltes Gerät genu einen der beiden Fehler uf? Wie groß ist die bedingte Whrscheinlichkeit, dss ein fehlerhftes Gerät beide Fehler ufweist? 5 Der lufenden Produktion werden ncheinnder Geräte zufällig entnommen 5 l Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss genu Geräte fehlerhft sind? 5 Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss ds zuletzt entnommene Gerät ds dritte mit einem Fehler ist? D sich bei einer Weinkellerei die Reklmtionen häufen, entschließt mn sich, eine Endkontrolle durchzuführen Bei dieser Endkontrolle wird ein Wein mit der Whrscheinlichkeit,8 ls Ausschuß usgesondert D beim Probieren vieler Weine die Zunge bstumpft, knn uch ein korrekter Wein ls fehlerhft eingestuft und dmit usgesondert werden, und zwr mit der Whrscheinlichkeit, Insgesmt stellt sich herus, dss 7% ller Weine fehlerhft sind Berechne die Whrscheinlichkeit dfür, dss ein Wein wirklich fehlerhft ist, flls er bei der Endkontrolle ussortiert wird Berechne die Whrscheinlichkeit dfür, dss ein Wein fehlerhft ist und ttsächlich ussortiert wird

31 Nchtermin 9 L ö s u n g e n Ω 65 A : zwei Mädchen und ein Junge 7 A P(A) 65,55 Ω 9 8 B : höchstens ein Mädchen 5 B 5 + P(B) 5 8, Ω 65 C : Ev ; C : Hns ; C C C C C 5 ; C C P(C) P(C C ) P(C ) + P(C ) + P(C C ) Ω 65 D : Krin, ein Junge und ein weiteres Mädchen 7 D P(D) 65, ,99

32 Nchtermin Gegeben sind: P(F ), ; P(F ), ; P(F F ),5 P(F F ) P(F ) + P(F ) P(F F ), +,,5,7 P(F ) P(F ),,, Wegen P(F F ) P(F ) P(F ) sind die beiden Fehler voneinnder bhängig F : genu ein Fehler tritt uf F F F F F 8 8, wobei F F 8 8) P( F F P( F F F F und F F unvereinbr sind ) + P( F F ) ( P(F ) P(F F ) ) + ( P(F ) P(F F ) ),8 P(F F F F ) 6 67 PF F6 P F F F F 6 PF F PF F 7 5,67 5 Die Entnhme von Geräten us der lufenden Produktion knn ls Bernoullikette der Länge n betrchtet werden Treffer : Entnhme eines fehlerhften Gerätes mit p,5 P(T ),5,85 7, 5 E : Ds zehnte Gerät ist fehlerhft mit P(E ),5 E : Unter den ersten neun Geräten sind genu zwei fehlerhft Interprettion: Bernoullikette der Länge n 9 P(E 9 ) P(T ),5,85 7, E : Ds zuletzt entnommene Gerät ist ds dritte mit einem Fehler E E E, wobei E und E unbhängig sind P(E) P(E E ) P(E ) P(E ),6

33 Nchtermin Abkürzungen: F : Der Wein ist fehlerhft F : Der Wein ist korrekt A : Der Wein wird ussortiert A : Der Wein wird nicht ussortiert Bumdigrmm :,7,9 F F p - p,,98 A A A A,8 Gesucht ist zunächst p P(A F) Aus dem Bumdigrmm ergibt sich: P(A),7 p +,9,,8 Hierus folgt : p,877 Dmit folgt : P(F A) P(F A) P(A) 7, 877, 8,,767 Die gesuchte Whrscheinlichkeit beträgt 76,7% P(A F),7,877,6 6,%

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37 Hupttermin Aufgbe N A L Y S I S Gegeben ist die Funktionenschr f : 5 5 ; ( + ) e, 5 Zeigen Sie, dss für den Funktionsterm der zweiten Ableitung gilt: f () ( ) e Bestimmen Sie so, dss die Funktion n der Stelle einen Wendepunkt besitzt Diskutieren Sie die Funktion f : 5 5 ; ( + ) e Der Grph der Funktion f schließt mit der -Achse eine ins Unendliche reichende Fläche ein Untersuchen Sie, ob diese Fläche ein endliches Mß besitzt und geben Sie es gegebenenflls n 5 Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve, uf der lle Wendepunkte der Schr liegen 6 Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetngenten t von f Die Wendetngente bildet mit den Koordintenchsen ein Dreieck Bestimmen Sie die Flächenmßzhl dieses Dreiecks ( Zur Kontrolle: t : y e e + ) 7 Der Schnittpunkt N von f mit der -Achse, der Wendepunkt W und der Schnittpunkt S der Wendetngenten mit der -Achse bilden ein Dreieck 7 Zeigen Sie, dss dieses Dreieck gleichschenklig ist 7 Bestimmen Sie so, dss ds Dreieck rechtwinklig ist Eine Funktion ht folgende Eigenschften: f () > für lle us ihrem Definitionsbereich und f () f () ( ) und f () + Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von f Die beiden Koordintenchsen, die Prllelen zu diesen Achsen durch den Punkt P( 8) und die Prbel mit der Gleichung y 6 schließen im ersten Qudrnten eine Fläche ein In diese Fläche wird ein Rechteck so einbeschrieben, dss P( 8) ein Eckpunkt ist und ein weiterer Eckpunkt Q( y) uf der Prbel liegt Die Rechteckseiten verlufen prllel zu den Koordintenchsen Wie sind die Koordinten von Q zu wählen, wenn der Flächeninhlt des Rechtecks möglichst groß werden soll?

38 Hupttermin L ö s u n g e n f ( ) ( + ) e mit 5 f () f () e ( ) e Notw Bedingung: f () ( ) e, d 5 Hinr Bedingung: f besitzt n der Stelle einen Vorzeichenwechsel f ht dher n der Stelle eine Wendepunkt Diskussion der Funktion f : Definitionsmenge: D m ; ( + ) e ó ì Symmetrie: keine einfche (vgl zb Nullstelle) Nullstelle: ö Grenzwerte n den Rändern von D m : l i m f( ) ; l i m f( ) + + ú Ableitungen: f () e f () ( ) e Etrem und Monotonie Nullstellen der ersten Ableitung: f () Vorzeichenbetrchtung: f ( ) + H( ) Monotonieintervlle: f ist streng monoton wchsend in ], ] f ist streng monoton fllend in [ [

39 Hupttermin ø Wendepunkte und Krümmung Nullstellen der zweiten Ableitung: f ( ) Vorzeichenbetrchtung: f () + W( e ) Krümmungsintervlle : G f ist rechtsgekrümmt in in ], ] G f ist linksgekrümmt in [, [ í Grph µ(a z ) z ( + ) e d Ptielle Integrtion: u() + u () z ( + ) e + ( + ) e e z e d v () e v() e z z ( z+ ) e e + e Für z ergibt sich ds endliche Flächenmß µ(a) e z

40 Hupttermin 5 Zweite Ableitung: f () Nullstelle: ( ) e f () ( ) Funktionswert: f ( ) (+ ) e Gleichung der gesuchten Ortskurve: y, d e e 6 f wechselt n der Stelle ds Vorzeichen, es liegt der Wendepunkt W ( e ) vor Steigung im Wendepunkt: m f ( ) e Gleichung der Wendetngente: t() Schnittpunkt mit der -Achse: X ( ) Schnittpunkt mit der y-achse: Y ( e ) e ( ) + e e e + e Flächenmßzhl: µ(a) e 9 e 7 Nullstelle von f : f () Betrchtete Punkte: N ( ), W ( e ), X ( ) M ( ) ist der Mittelpunkt der Strecke NS, d h die Spitze des Dreiecks liegt uf der Mittelsenkrechten der Strecke NS Dmit ist ds Dreieck gleichschenklig 7 Steigung der Gerden durch N und W : m e Steigung der Gerden durch W und X : m e Die Gerden stehen ufeinnder senkrecht, wenn gilt: m m e ( e ) e e e (d 5 ) : e : e

41 Hupttermin 5 Gegeben ist die DGL f () f () ( + Für f () ergibt sich: f ( ) f ( ) + ) mit f () Zur linken Seite ist ln( f () ), zur rechten Seite ln(+) ein möglicher Stmmfunktionsterm D sich Stmmfunktionsterme zur gleichen Funktion nur durch eine Konstnte unterscheiden, gilt: ln( f () ) ln(+) + c mit c 5 Es folgt: f () (+) e e c Aus der Anfngsbedingung f () ergibt sich e c Eine mögliche Lösungsfunktion lutet dmit: f () (+) e Diese Funktion besitzt ttsächlich lle geforderten Eigenschften Es gilt und b 8 y Flächeninhlt: A(,y) ( ) (8 y) Mit y 6 ergibt sich: A() ( ) (8 6 + ) ( ) Nullstellen der Prbel: oder Folgende Funktion ist zu mimieren: A : [ ; ] 5 ( ) Ableitungen: A ( ) ( ) A ( ) ( ) Lokle Etremstellen: A ( ) oder Etremwertentscheidung: A ( ) >, es liegt eine lokle Minimumstelle vor A ( ) <, es liegt eine lokle Mimumstelle vor Funktionswert für die Mimumstelle: A( ) 7 7,7 Verhlten n den Rändern: A() 8 und A( ) 8 (9 ) 5,55 Ds bsolute Mimum wird n der Rndstelle des Definitionsbereichs ngenommen

42 6 Hupttermin Aufgbe N A L Y T I S C H E E O M E T R I E Gegeben sind die Ebene e : + 5 sowie die Gerdenschr g t : t r 5 + λ mit λ 5, t 5 5 Bestimmen Sie eine Koordintengleichung der Ebene, in der lle Gerden der Schr g t liegen Berechnen Sie eine Gleichung der Schnittgerde sowie ds Mß des Schnittwinkels der Ebene e mit der Ebene e* : + 5 Untersuchen Sie die Lgenbeziehung zwischen der Ebene e und den Gerden der Schr g t in Abhängigkeit von t Eine Gerde der Schr g t schneidet die Ebene e in S( y z) Bestimmen Sie t und die Koordinten y und z des Punktes S 5 Berechnen Sie lle Punkte der Gerden g (t ), die von e den Abstnd hben Gegeben sind die Punkte A( ), B( ) und C(5 ) Durch die Punkte A und C verläuft die Gerde g Spiegelt mn den Punkt B n der Gerden g, so erhält mn den Punkt D Bestimmen Sie den Spiegelpunkt D Berechnen Sie die Mßzhl des Flächeninhlts des Vierecks ABCD

43 Hupttermin 7 L ö s u n g e n g t : r 5 5 t + λ λ + λ t Normlenvektor der gesuchten Ebene: Punktnormlengleichung: r 5 5 Allg Normlengleichung: r + 5 Koordintengleichung: + 5 Kreuzprodukt der Normlenvektoren: n r n r * Wähle u r ls Richtungsvektor Gesucht ist ein Punkt P( y z) mit P e und P e* e : + 5 e* : + 5 P( 5 5) ist eine mögliche Lösung Eine mögliche Gleichung der Schnittgerden ist dmit Schnittwinkel: cos(α) uuur uuur uuur uuur n n* n n* r 5 + λ 5 ; α 6,

44 8 Hupttermin t e g t : 5 + λ λ (t ) λ (t ) + λ (t ) Fll t : e g { }, lso ist e g Fll t : g t schneidet e in einem Punkt Für einen Punkt S mit S g t und S e gilt: + t λ y 5 + λ z 5 + λ 8 y z + 5 Durch Einsetzen von und in folgt: 8 (5 + λ) (5 + λ) + 5 λ Dmit erhält mn t, y 9, z 7 und somit den Schnittpunkt S( 9 7) 5 Hesse-Gleichung: [ r 5] Abstndsbedingung: [ 5 + λ 5] (λ ) 5 Es folgt : (λ ) 6 λ λ 5 In g t eingesetzt erhält mn: A( ) bzw S(7 5 )

45 Hupttermin 9 Richtungsvektor: u r 9 uuur * AC Gleichung der Gerden g : r oder u r + λ Hilfsebene e mit e g und B e : Schnittpunkt von e und g : r + µ + µ µ Dmit ergibt sich der Lotfußpunkt L( ) Spiegelpunkt: d ur r l b r 5, lso D( 5 ) Mßzhl des Flächeninhlts: 5 9 uuur uuur A AB AC

46 Hupttermin Aufgbe W A H R S C H E I N L I C H K E I T S T H E O R I E Eine Firm stellt Drhtzun her Dieser wird in Form von Rollen usgeliefert Es ist beknnt, dss % ller Rollen Ausschuss sind Die Ausschussrollen treten unbhängig voneinnder uf Aus der lufenden Produktion werden Rollen Drhtzun entnommen Berechnen Sie die Whrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A : Keine der entnommenen Rollen ist Ausschuss B : Mindestens ber höchstens Rollen sind Ausschuss Eine Rolle ist Ausschuss, wenn sie mindestens einen der beiden Fehler F : Fehler in der Qulität des Drhtes oder F : Fehler im Drhtgeflecht ufweist Andere Fehlerrten kommen nicht vor Beide Fehler treten unbhängig voneinnder uf Die Whrscheinlichkeit für Fehler F beträgt,5 Ermitteln Sie die Whrscheinlichkeit, mit der Fehler F uftritt Wie viele Drhtrollen muss mn untersuchen, so dss mit einer Whrscheinlichkeit von mehr ls 99% der Fehler F mindestens einml uftritt? Der Verkuf des Drhtes erfolgt zu gleichen Anteilen über die Vertriebszentren Augsburg, Bremen und Chemnitz % der Lieferungen des Vertriebszentrums Augsburg, 5% der Lieferungen des Vertriebszentrums Bremen und % der Lieferungen des Vertriebszentrums Chemnitz sind unpünktlich Ermitteln Sie, mit welcher Whrscheinlichkeit eine unpünktliche Lieferung us Chemnitz stmmt Bei einer Qulitätskontrolle werden 5 Drhtrollen untersucht Die Zufllsgröße X beschreibe die Anzhl der Ausschussrollen und sei binomilverteilt Schätzen Sie mit der Ungleichung von Tschebyscheff b, in welchem kleinstmöglichen Intervll mit mehr ls 9% Whrscheinlichkeit die Anzhl der unbruchbren Drhtrollen liegt Bei der Produktion von Drähten wird die Drhtstärke durch die Zufllsgröße Y beschrieben Dbei stellt mn folgende Whrscheinlichkeiten für die einzelnen Drhtstärken (in mm) fest: Stärke in mm,7,8,9,, p,,6,,5,7, Berechnen Sie den Erwrtungswert sowie die Streuung von Y

47 Hupttermin L ö s u n g e n Es liegt eine Bernoulli-Kette vor Die Whrscheinlichkeit, dss eine zufällig usgesuchte Rolle Ausschuss ist, beträgt p,,96 P(A),96, P(B),,96 8 +,,96 7 +,,96 6,887 Die Whrscheinlichkeit, dss eine zufällig untersuchte Rolle kein Ausschuss ist, beträgt,96 D bei einer fehlerhften Rolle weder der Fehler F noch der Fehler F vorliegt, gilt wegen der Unbhängigkeit:,96 ( p ) ( p ) Dbei ist p,5 die Whrscheinlichkeit für den Fehler F und p die gesuchte Whrscheinlichkeit für den Fehler F Aus,96 (,5) ( p ) ergibt sich p,5 Es soll bei n zu untersuchenden Rollen gelten: ( p ) n >,99 ( p ) n >,99, >,975 n lg(,) > n lg(,975) n > 8,89 Mn muss mindestens 8 Rollen untersuchen C : Lieferung stmmt us Chemnitz D: Lieferung ist zufällig unpünktlich E : Unpünktliche Lieferung stmmt us Chemnitz Mit diesen Bezeichnungen gilt: P(C) P(B), +,5 + P(E) P(C B) P(B) (, 6,) : 6,88

48 Hupttermin σ Ungleichung von Tschebyscheff: P( X µ c) > Es gilt: µ n p 5, und Vr(X) n p q 5,,96 9, σ c Dmit folgt: σ σ >,9, > c c c > σ c >,86 Mit c ergibt sich ds gesuchte Intervll zu I [ 6 ; ] Erwrtungswert von Y : E(Y),7, +,8,6 +,9, +,,5 +,,7 +,,,99 Vrinz von Y : Vr(Y) E(Y ) ( E(Y) ) 8,755 8,6966,89 Streuung von Y : σ(y) Vr( Y ),9

49 Nchtermin Aufgbe N A L Y S I S und und die Funktionenschr g p : 5 5 ; ( p) e p mit p 5 + Gegeben sind die Funktion f : Dm 5 ; Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve, uf der lle reltiven Etrempunkte der Funktionen der Schr liegen Diskutieren Sie die Funktion g : 5 5 ; ( ) e Bestimmen Sie eine Stmmfunktion G von g Bestimmen Sie die Grenzwerte der Funktion f n den Rändern ihrer Definitionsmenge und skizzieren Sie den Grphen von f in ds Koordintensystem der Funktion g von Aufgbe 5 Der Grph von f schneidet die y-achse im Punkt B Bestimmen Sie eine Gleichung der Normlen n des Grphen von f in B (Zur Kontrolle: y + 5) 6 Zeigen Sie, dss die Normle n den Grphen von g n der Stelle schneidet und berechnen Sie die Mßzhl des Inhlts der Fläche, die von der y-achse, der Normlen n und dem Grphen von g eingeschlossen wird Gegeben ist die Funktionenschr f t : D t 5 ; ln( t e ) mit t 5\{} Bestimmen Sie die mimle Definitionsmenge D t in Abhängigkeit von t Begründen Sie: Jede Funktion f t besitzt für t < eine Umkehrfunktion f t Bestimmen Sie für t < die Gleichung der Umkehrfunktion f t t Gegeben ist die Funktion F: dt und > t + Geben Sie, ohne die Integrtion uszuführen, die Etremstellen und die Wendestelle des Grphen von F n Bestimmen Sie, ohne die Integrtion uszuführen, ds Monotonieverhlten von F in 5 + und begründen Sie, wrum F in 5 + eine Nullstelle besitzt

50 Nchtermin L ö s u n g e n g p () ( p) e g p () ( p ) p p e mit p 5 + g p () ( p p ) p e Es gilt g p () p Wegen g p (p) und < liegt eine lokle Mimumstelle vor p p H p (p p ) sind die Orte der Mim Aus p und y p, ergibt sich y ls gesuchte Funktionsgleichung Diskussion der Funktion g : 5 5 ; ( ) e Definitionsmenge: D m 5 ó Symmetrie: keine einfche (vgl zb Nullstelle) ì Nullstelle: ö Verhlten n den Rändern von D m : l i m g ( ) ; l i m g ( ) + + ú Ableitungen: g () g () ( ) e ( ) e Etrem und Monotonie Nullstellen der ersten Ableitung: g () Vorzeichenbetrchtung: g ( ) + H( ) Monotonieintervlle: g ist streng monoton wchsend in ], ] g ist streng monoton fllend in [ [

51 Nchtermin 5 ø Wendepunkte und Krümmung Nullstellen der zweiten Ableitung: g ( ) Vorzeichenbetrchtung: g () + W( e ) Krümmungsintervlle: G f ist rechtsgekrümmt in in ], ] G f ist linksgekrümmt in [, [ í Grph z ( z) e dz G() z z e z e dz Prtielle u(z) z u (z) z z z e e ( ) + ( + ) + Integrtion: v (z) e z v(z) e z z z e e ist ein Stmmfunktionsterm zu g()

52 6 Nchtermin An der Stelle liegt eine einfche Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor Grenzverhlten: lim f () m ; lim f( ) ± Wgerechte Asymptote: y ± 5 Schnittpunkt des Grphen von f mit y-achse: B( 5) Ableitung: f () mit f (),5 ( ) Gleichung der Normlen n in B: n : y ( B) + yb + 5 f ( ) B 6 Es gilt: n() g() Dher ist S( ) ein Schnittpunkt von n und g Fläche zwischen y-achse, der Normlen n und dem Grphen von g: ( ) µ ( A) n( ) g( ) d ² e 8 Gegeben ist f t () ln( t e ) mit t t Bedingung: t e > > e e > t Fll: t > > ln( t ) Definitionsmenge: Dt ] ln( t ) ; [ Fll: t < Ungleichung ist llgemeingültig Definitionsmenge: D t 5

53 Nchtermin 7 t Für t < gilt: f t () < für lle 5 e t f t ist in 5 streng monoton fllend und besitzt dher eine Umkehrfunktion Für t < gilt: l i m f ( ) ; l i m f ( ) ln() t + Wegen der strengen Monotonie und der Stetigkeit von f t ist W f ] ln() ; [ die Wertemenge von f t Weiter gilt: y ln( t e ) e y t e t ln( ) für y > ln() y e Gleichung der Umkehrfunktion: f t t () ln( ) für > ln() e t Gegeben ist F() t dt für > t + Ableitungen: F () F () ( + ) Nullstellen der ersten Ableitung: F () oder Etremwertentscheidung: F ( ) > und F ( ) < ist Minimumstelle und ist Mimumstelle Nullstellen der zweiten Ableitung: F () + + oder, ber D Wendestellenentscheidung: F () wechselt ds Vorzeichen n der Stelle ist Wendestelle Es gilt F () < für < < und F () > für > F ist in ], ] streng monoton fllend und in [ ; [ streng monoton wchsend Es ist F() (Integrlgrenzen) Wegen der strengen Monotonie ist dnn F( ) < D F streng monoton wchsend in [ ; [ ist und genu eine Nullstelle besitzen lim F( ) gilt, muss F in 5 +

54 8 Nchtermin Aufgbe N A L Y T I S C H E E O M E T R I E Gegeben ist ein ebener, dreieckiger Spiegel mit den Eckpunkten A( 5 5 ), B( 9 ) und C( 9 ) Ein Lichtstrhl verläuft durch den Punkt Q( ) in Richtung des Vektors r u 9 (Skizze nicht mßstbgerecht) g α α l g Q Q α α S Bestimmen Sie eine Koordintengleichung der Ebenen e*, in der der Spiegel liegt In welchem Punkt S schneidet die Trägergerde g des einfllenden Lichtstrhls die E- bene e: 6 + 5y z 5? Zeigen Sie, dss der einfllende Lichtstrhl den dreieckigen Spiegel trifft Senkrecht zur Ebene e verläuft durch den Punkt S( 5 ) die Gerde l, ds sogennnte Einfllslot zum einfllenden Lichtstrhl Geben Sie eine Gleichung dieser Gerden l und ds Mß des Einfllswinkels R α n ( R α: Winkel zwischen den Gerden g und l ) 5 Nch dem Refleionsgesetz liegen einfllender Strhl, reflektierter Strhl und Einfllslot in einer Ebene und es gilt α α Ermitteln Sie die Koordinten des Punktes Q, der uf dem reflektierten Strhl liegt und der vom Punkt S den gleichen Abstnd wie der Punkt Q ht Die Punkte P ( ), P ( 5 ) und P ( 8 ) bilden die Grundfläche einer Dreieckspyrmide, deren Spitze S( λ 7 + λ + 5λ ) ist Bestimmen Sie lle λ 5, für die ds Volumen der Dreieckspyrmide Volumeneinheiten beträgt r uuur r uuur Gegeben ist ds ebene Viereck ABCD mit AB und b AD uuur r r Für die Digonle AC gilt: AC + b Zeigen Sie: Ds Viereck ABCD ist ein Trpez Leiten Sie her, in welchem Verhältnis sich die Digonlen teilen

55 Nchtermin 9 L ö s u n g e n Richtungsvektoren: AB uuur 6 6, AC uuur Normlenvektor der gesuchten Ebenen e* : 6 5 Punktnormlengleichung: e* : r Allgemeine Normlengleichung: e : 6 5 r + 5 Koordintengleichung: e : Trägergerde: : 9 g ν + r Schnitt von e mit g : ν (8 5 ) 5 ν ν ν In g eingesetzt erhält mn S( 5 )

56 Nchtermin ABC { X E / Es gibt λ, µ [,] 6 r mit 5 + λ 6 + µ λ + µ } 5 Setzt mn die Koordinten des Punktes S in die Dreiecksgleichung ein, so erhält mn die Prmeterwerte λ und µ 5 Somit sind die Bedingungen λ, µ [,] und λ + µ + erfüllt 6 6 r Lotgerde l : 5 ρ Winkel: cosα , lso α, 5 Zur Berechnung des Spiegelpunktes von Q n der Gerden l wird zuerst der Lotfußpunkt L bestimmt 6 6 r r Hilfsebene e: 5 e: Schnitt von e mit l : ρ ρ r r Mn erhält L( 8 5 ) ls Lotfußpunkt Spiegelpunkt: 6 ur r r q l q, lso Q ( )

57 Nchtermin λ uuuur uuuur uuur Vektoren: PP, PP und PS + λ + 5λ Volumen in Abhängigkeit von λ : V λ λ λ 6 λ λ + 5λ λ λ+ + 6 λ λ 6 + λ Wegen V folgt + λ λ λ uuur uuur uur r r r r uuur Es gilt: CD AC+ b b+ b AB uuur uuur Dmit gilt: CD P AB D C uuur uur uuur r Es gilt: AS + SB + BA uuur uuur r r λ AC + µ DB λ ( ) r b r + + µ b r + r r r r r r λ + µ + ( λ µ ) b Aus der lineren Unbhängigkeit der Vektoren folgt: λ + µ λ µ λ µ λ Die Digonlen teilen sich im Verhältnis : b r A r S B

58 Nchtermin Aufgbe W A H R S C H E I N L I C H K E I T S T H E O R I E Bei einem Quiz sind insgesmt 5 Mädchen und 5 Jungen drunter Anne und M nwesend Es werden 5 Kndidten zufällig usgewählt Berechnen Sie die Whrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A : Es werden Jungen und Mädchen usgewählt B : Neben Anne werden nur Jungen usgewählt C : M oder Anne sind unter den Kndidten Bei diesem Quiz werden M zunächst 6 Nchrichten vorgelesen und ihm mitgeteilt, dss genu Flschmeldungen drunter sind Anschließend muss er die drei whren Nchrichten herusfinden Berechnen Sie die Whrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: D : M findet die drei whren Nchrichten durch zufälliges Rten E : M findet die drei whren Nchrichten, wenn er von einer Nchricht sicher weiß, dss sie whr ist, nsonsten ber zufällig rät M liest Anne bei einem Test Nchrichten vor Als regelmäßige Rdiohörerin erkennt sie mit einer Whrscheinlichkeit von p,8 den Whrheitswert einer Nchricht Berechnen Sie den Erwrtungswert und die Streuung für die Anzhl X der richtigen Antworten Schätzen Sie die Whrscheinlichkeit dfür b, dss die Anzhl der richtigen Antworten mindestens 75 und höchstens 85 beträgt Ein Viertel der Nchrichten bezieht sich uf den Bereich Sport Dort kennt sich Anne besonders gut us und erkennt mit der Whrscheinlichkeit p,95 die richtige Antwort Mit welcher Whrscheinlichkeit p erkennt sie den Whrheitswert der Nchrichten us den nderen Gebieten? (Lösung: p,75) Zeichnen Sie ds zugehörige Bumdigrmm Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit dfür, dss eine richtig erknnte Nchricht us dem Bereich Sport stmmt Wie viele Nchrichten muss Anne mindestens beurteilen, dmit sie mit einer Whrscheinlichkeit von mehr ls 9% mindestens einml irrt? Um den Test etws interessnter zu gestlten, schlägt M folgendes Spiel vor: Für jede richtige Antwort erhält Anne Pfennig von M, für jede flsche Antwort muss sie Pfennig n ihn bezhlen Mit welcher Whrscheinlichkeit muss Anne den Whrheitswert einer Nchricht mindestens erkennen, dss sich diese Vereinbrung für sie lohnt?

59 Nchtermin L ö s u n g e n Ω A B 65 P(A),7 P(B),9 C: weder Anne noch M ist usgewählt 8 C P(C), P(D),5 ; 5 P(E), Erwrtungswert: E(X) n p,8 8 Vrinz: V(X) n p q 6 σ Nch der Ungleichung von Tschebyscheff gilt: P( X 8 ) 5) >,6,6 5 Es gilt:,95 +,8,75 p p Bumdigrmm: P(R S),5,95 P(S R),97 P(R),8

60 Nchtermin H : Mindestens eine flsche Antwort bei n Frgen H : Keine flsche Antwort bei n Frgen Aus P(H),8 n folgt P(H),8 n : n,8 >,9 n, Sie muss mindestens Frgen bentworten Für die gesuchte Whrscheinlichkeit p muss gelten: p ( p ) > p >,75

61 Aufgbentete und Lösungen der schriftlichen Abiturprüfung im Srlnd

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63 Hupttermin Aufgbe A N A L Y S I S Gegeben ist die Funktionenschr f : Dm 5 ;, 5\ {} + Bestimmen Sie die Kurve, uf der lle Etrempunkte der Grphen der Schr f liegen Bestimmen Sie 5 so, dss die Grphen von f und f einnder senkrecht schneiden Diskutieren Sie die Funktion f : Dm 5 ; + (Zur Kontrolle: f ( ) ) ( + ) Berechnen Sie den Inhlt der Fläche, die über dem Intervll [ ; [ zwischen den Grphen von f und f liegt 5 An jeder Stelle des Intervlls [ ; [ wird die Tngente n den Grph von f gelegt Bestimmen Sie ds Intervll, ds die y-achsenbschnitte dieser Tngenten durchlufen Gegeben ist die Funktion g : [ ; ] 5 ; Skizzieren Sie den Grphen dieser Funktion Die von der -Achse, der Gerden und dem Grph von g im ersten Qudrnten begrenzte Fläche rotiert um die -Achse Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers Dem vorgennnten Rottionskörper wird ein Zylinder, dessen Achse die -Achse ist, einbeschrieben Welchen Rdius und welche Höhe ht der Zylinder mit mimlem Volumen?

64 Hupttermin L ö s u n g e n Gegeben ist die Funktionenschr f : Dm 5 ;, 5\ {} + Kurve der Etrempunkte Ableitung: ( ) f ( + ) Bedingung: f ( ) Etremstellen sind nur für > möglich Für + ergibt sich f() + Für ergibt sich f() + Beide Fälle liefern eine Kurve mit der Gleichung y Senkrechtes Schneiden Mit f ( ) und f ( ) + f( ) f( ) + liefert die Schnittbedingung: Die Grphen schneiden sich n der Stelle senkrecht flls gilt: ( ) ( d ) f () f () Diskussion der Funktion f : Dm 5 ; + Definitionsmenge: D m 5 ó Symmetrie: Punktsymmetrie zum Ursprung, denn für lle 5 gilt: ì Nullstelle: ( ) f( ) f( ) ( ) + +

65 Hupttermin ö Grenzwerte n den Rändern von D m : D der Zählergrd kleiner ls der Nennergrd ist, ist die -Achse Asymptote und es gilt: l i m f( ), l i m f( ) + + ú Ableitungen: f ( ) ( + ), 6 f ( ) ( + ) Etrem und Monotonie: Nullstellen der ersten Ableitung: f ( ) Vorzeichenbetrchtung: f ( ) + Es liegen der Tiefpunkt T( ) und der Hochpunkt H( ) vor Monotonieintervlle: f ist streng monoton fllend in ] ; ] und in [ ; [ f ist streng monoton wchsend in [ ; ] ø Wendepunkte und Krümmung: Nullstellen der zweiten Ableitung: f ( ) 6 6 Vorzeichenbetrchtung: 6 6 f ( ) + + Es liegen die Wendepunkte W ( 6 6 ), W ( ) und W ( 6 6 )vor

66 Hupttermin Krümmungsintervlle: G f ist linksgekrümmt in [ 6 ; ] und in [ 6; [ G f ist rechtsgekrümmt in ] ; 6 ] und in [ ; 6] í Grph: G f G f Flächenberechnung Gemäß Aufgbenteil besitzen die Grphen im Integrtionsintervll keinen Schnittpunkt, d µ(a) d + l i m ln( ) ln( ) z + l i m ln( ) + ln() ln( ) ln() z

67 Hupttermin 5 5 Intervll der Wendetngenten Es wird llgemein der y-achsenbschnitt der Tngente betrchtet und dessen Wertemenge über dem Intervll [ ; [ untersucht Die llgemeine Tngentengleichung im Berührpunkt B(u f (u)) lutet: t : y f ( u) ( u) + f ( u), y u u u + ( u + ) u + ( ) Als y-achsenbschnitt ergibt sich: b(u) u u u + ( u + ) u + ( ) u u + u + ( u + ) u + Rndwerte: u ( u + ) + b( ) und l i m bu ( ) Suche nch loklen Etremstellen: u b ( u) u u 6 ( + ) Im Intervll [ ; [ ht b die lokle Mimumstelle 6 mit dem Mimum b ( 6) 6 8 Ds gesuchte Intervll ist somit ], 6 8 ]

68 6 Hupttermin Gegeben ist die Funktion g : [, ] 5 ; Skizze des Grphen mit Zeichnung zur nchfolgenden Etremwertufgbe Rottionsvolumen d V ( ) d 6 Etremwertufgbe Linke Zylindergrenze ls Funktionsvrible: V Zyl r h g V() ( ) V V besitzt n der Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel der Form + Es liegt ls eine lokle Mimumstelle mit V() 7 vor Rndbetrchtung: V() V() ist lso uch globle Mimumstelle Zylinderhöhe: h Zylinderrdius: r g()

69 Hupttermin 7 Aufgbe A N A L Y T I S C H E G E O M E T R I E Gegeben sind die Punkte A( ), B( 9 ) und C(8 5 ) sowie die Punkteschr D r ( +r 6r) mit r 5 Stellen Sie eine Normlengleichung der Ebenen durch A, B und C uf Zeigen Sie, dss die Punkteschr D r eine zur Ebene e : r senkrechte Gerde g bildet Bestimmen Sie dsjenige s 5, für ds D s ein Punkt der Ebene e ist Berechnen Sie in Abhängigkeit von r den Abstnd des Punktes D r von e 5 Untersuchen Sie, ob die Punkte A und B symmetrisch bezüglich der durch g : r 5 + λ festgelegten Ebene e liegen und C In einem beliebigen Dreieck ABC sind zwei Trnsverslen AD und BE so eingezeichnet, dss deren Schnittpunkt S die Trnsverslen im Verhältnis : teilt In welchem Verhältnis teilen die Punkte D und E die Dreiecksseiten BC und AC? Gegeben ist eine Ebenenschr e t : + t y + z 5 mit t 5 Alle Ebenen der Schr hben eine feste Gerde h gemeinsm Ermitteln Sie eine Gleichung von h

70 8 Hupttermin L ö s u n g e n Normlengleichung uuur uuur AB AC ; ein Normlenvektor von e ist dmit Ebenengleichung von e : ( r ) r Senkrechte Gerde g g : r + r 6 r + r 6 Der Richtungsvektor von g ist gleich dem Normlenvektor von e Somit steht die Gerde g senkrecht uf der Ebene e Schnitt von Gerde und Ebene D s e + s 6s + s + () (5 s) 5s s Abstnd Punkt Ebene uuuuuur d(d r,e ) DD r DD r + r 5 6 r r r r 5

71 Hupttermin 9 5 Symmetrieuntersuchung e : r 5 + λ uuuur + µ DC 5 + λ + µ 5 Normlengleichung von e : r Es wird der Spiegelpunkt von A bezüglich der Ebene e berechnet Lotgerde durch A uf e : l : r + λ Schnitt von l mit e : ( + λ ) 7 + 5λ λ Dmit ergibt sich der Lotfußpunkt F( 5 ) sowie der Ortsvektor des Spiegelpunktes: ur ur r f 5 7 Der Spiegelpunkt A ist verschieden von B Dher liegen A und B nicht symmetrisch zu der Ebene e Teilverhältnis in einem Dreieck Anstz: EC uuur uuur uuur uuur λ AC und DC µ BC Rundluf: CESDC r uuur uur uuur uuur CE + ES + SD + DC λ v r 5 ( ( λ ) vr u r ) + 5 ( ur + ( µ) ( v r u r ) ) + µ ( v r u r ) [ ( µ) µ ] ur + [ λ 5 ( λ) + 5 ( µ) + µ ] vr 5 [ µ] ur + 5 [ λ + µ] vr Die linere Unbhängigkeit von u r und v r liefert µ und λ µ Die beiden gesuchten Teilverhältnisse hben lso den Wert :

72 Hupttermin Gemeinsme Gerde der Ebenenschr In e t : + t y + z 5 ersetze mn (Prmetereinführung) y λ und z µ Dnn ist 5 λ t µ und dmit r y z 5λ t µ λ µ 5 t + λ + µ Die Gerde h : r 5 + µ ist somit llen Ebenen e t gemeinsm für λ

73 Hupttermin Aufgbe W A H R S C H E I N L I C H K E I T S T H E O R I E Bei einem Vereinsfest bietet der Vernstlter folgendes Glücksspiel n, ds us zwei Schritten besteht Erster Schritt: Der Spieler dreht ds so gennnte Einstiegsrd, ds in die drei Sektoren A, B und C eingeteilt ist Zweiter Schritt: Der Spieler dreht ds durch den ersten Schritt festgelegte Glücksrd A, B oder C Der Einstz beträgt, Euro pro Spiel Der Spieler erhält den vom Glücksrd ngezeigten Wert in Euro usgezhlt Sein Gewinn berechnet sich demnch ls Differenz von Auszhlung und Einstz Die Zufllsgröße X beschreibe diesen Gewinn Ds Einstiegsrd sei in gleiche Sektoren eingeteilt Beschreiben Sie ds Spiel durch ein Bumdigrmm, und berechnen Sie die Whrscheinlichkeit, bei einem Spiel Euro zu gewinnen Ein Spieler verliert bei einem Spiel seinen Einstz Mit welcher Whrscheinlichkeit ht er Glücksrd C gedreht? Ermitteln Sie die Whrscheinlichkeitsverteilung der Zufllsgröße X und berechnen Sie den Erwrtungswert E(X) Die Whrscheinlichkeit, bei einem Spieldurchgng Euro zu gewinnen, beträgt 7 6 Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit, dss ein Spieler bei Spielen genu zweiml Euro gewinnt Wie oft müsste mn spielen, um mit mindestens 95% Whrscheinlichkeit wenigstens einml Euro zu gewinnen Jemnd spielt ml Schätzen Sie mit der Ungleichung von Tschebyscheff b, in welchem minimlen Intervll mit mindestens 75% Whrscheinlichkeit die Anzhl der Spiele liegt, bei denen mn Euro gewinnt Ds Einstiegsrd wird so umgestltet, dss ds Spiel bei unverändertem Einstz fir wird, d h E(X) Die Whrscheinlichkeit p A dfür, dss im zweiten Schritt Glücksrd A gedreht wird, beträgt nunmehr nur noch, 5 Berechnen Sie die Whrscheinlichkeiten p B bzw p C dfür, dss im zweiten Schritt Glücksrd B bzw Glücksrd C zum Zuge kommt

74 Hupttermin L ö s u n g e n Bumdigrmm und Pfdregeln P(X ) Bedingte Whrscheinlichkeit Aus dem Bumdigrmm ergibt sich: P(X ) + + Dmit erhält mn ls bedingte Whrscheinlichkeit: P(C X ) P(C ( X )) P( X ) 6 W-Verteilung und Erwrtungswert P(X ) 7 6 (vgl ) ; P(X ) (vgl ) ; P(X ) Dmit ergibt sich der Erwrtungswert : E(X) () Bernoulli-Formel Die Trefferwhrscheinlichkeit ist p 7 6 P( T ) B( ; ; ) 7 9,7 6 6

75 Hupttermin Gegenwhrscheinlichkeit P(T ),95 n ,5 6 ln(,5) n ln 9 6 n,85 Mn muss mindestens Spiele durchführen n n,95 Tschebyscheff-Ungleichung σ Ungleichung : P( X µ < c ) Mit n und p 7 6 Es folgt : c bzw q 9 6 gilt : µ n p 9, und σ n p q 5,6658 σ,75 c σ, 5 c Intervllgrenzen : µ c,5 und µ + c 7,6 Gesuchtes Intervll : [ ; 7] c 7,955 Veränderung des Einstiegsrdes E(X) p A ( + () ) + p B ( () + 6 ) + p C ( + () + ) p A + 6 p B p B Aus der Bedingung E(X) ergibt sich p B 8 und dmit p C p A p B

76 Hupttermin

77 Nchtermin 5 Aufgbe A N A L Y S I S Gegeben sind die Funktion f :IR IR; und die Funktionenschr g :IR IR;, IR\{} e + Diskutieren Sie die Funktion f e e (Zur Kontrolle : f ( ) ) ( e + ) Bestimmen Sie denjenigen Prmeterwert, für den sich die Funktion g nur um eine dditive Konstnte b von der Funktion f unterscheidet Weisen Sie nch, dss f( ) g ( ) e gilt, und folgern Sie drus, dss ( ) ln( F + e + e ) Gleichung einer Stmmfunktion von f ist Zeigen Sie, dss die ins Unendliche reichende Fläche zwischen dem Grph von f und der Gerden y im ersten Qudrnten eine endliche Mßzhl besitzt Hilfe : ln(e ) 5 Jeder Grph der Schr g besitzt ls einzige Wendestelle Zeigen Sie, dss lle Wendetngenten einen Punkt gemeinsm hben e e Gegeben ist die Funktionenschr ht : IR IR; +, t IR t t An den Grph von h t werden im Punkt P( ) die Tngente und die Normle gelegt Die Tngente schneidet die y-achse im Punkt Q, die Normle schneidet die y-achse im Punkt R Fertigen Sie eine Zeichnung für t n Bestimmen Sie t so, dss der Flächeninhlt des Dreiecks PQR miniml wird, und berechnen Sie diesen Flächeninhlt Die von den Koordintenchsen und dem Grph von h t im ersten Qudrnten begrenzte Fläche rotiert um die y-achse Für welchen Prmeterwert t beträgt ds Volumen des Rottionskörpers 8π Volumeneinheiten?

78 6 Nchtermin L ö s u n g e n Gegeben sind die Funktion f :IR IR; e e + und die Funktionenschr g :IR IR;, IR\{} e + Diskussion der Funktion f : D m ; e f( ) e + Definitionsmenge: D m ó Symmetrie: Punktsymmetrie zum Ursprung, denn für lle gilt: e ( e ) e e f( ) f( ) e ( + e ) + e e + ì Nullstelle:, denn e ö Grenzwerte n den Rändern von D m : ( ) lim f( ) und lim ( ) lim e e f e ( + e ) Die Gerde mit der Gleichung y ist Asymptote für und für + ú Ableitungen : ( e + ) e e ( e ) e f ( ) ( e + ) ( e + ) ( e + ) e e e e ( e ) f ( ) ( e + ) ( e + ), Etrem und Monotonie : Es gibt keine Nullstellen der ersten Ableitung Somit gibt es keine loklen Etrempunkte Es ist f ( ) > für lle Die Funktion ist dher streng monoton wchsend uf

79 Nchtermin 7 ø Wendepunkte und Krümmung : Nullstellen der zweiten Ableitung: f ( ) e Vorzeichenbetrchtung: f ( ) + Es liegt der Wendepunkte W( ) vor Krümmungsintervlle : G f ist linksgekrümmt in ], ] G f ist rechtsgekrümmt in [, [ í Grph (mit der in zu berechnenden Fläche) : e y e Prmeter und dditive Konstnte b g ( ) f( ) + b für lle e + b ( e + ) für lle ( + b) e ( + b) für lle + b + b [Koeffizientenvergleich bzw linere Unbhängigkeit bzw Lösen eines Gleichungssystems (zwei unterschiedliche -Werte einsetzen)] b Alterntive : Bei gleichen Ableitungstermen über einem Intervll unterscheiden sich die Funktionen nur durch eine dditive Konstnte

80 8 Nchtermin Stmmfunktionsterm e e e + e e g ( ) e e f( ) e + e + e + e + e + e Somit ist f( ) + und e + F( ) + ln( e + ) ln( e + ) ln( e + e + ) Flächenberechnung Mit Blick uf die strenge Monotonie und ds Grenzverhlten von f liegt kein Schnittpunkt von Grph f und der Asymptote y vor µ ( A) ( f( )) d e ( ) d e + z lim ln( e ) z + + z lim ln( e ) ln( e ) z + + (vgl Hinweis) lim ln z + + e lim ln ln z + + z + e e lim ln ln z + + z + e e ln() ln( ) z ln()

81 Nchtermin 9 5 Schnittpunkt der Wendetngenten Die Wendestelle ist lut Aufgbentet gegeben Der Wendepunkt ist W( ) Es gilt : g ( ) e +, g ( ) e ( e + ) mit g () Wendetngente t : y ( ) + y + Schnittbedingung t für : t s + s + s ( ) ( ) s s y- Koordinte des Schnittpunktes: ys ( ) + + Der Schnittpunkt ller Wendetngenten ist S( ) Prbelschr 9 ht ( ) + mit t + t t Zeichnung für t 6 Q 5 Tngente Normle P R -

82 Nchtermin Minimierung eines Flächeninhlts 6 h t ( ) und somit h t () t t h t () für lle t, und dher ht ds Dreieck eine feste Höhe von LE Tngentengleichung: y ( ) + y + mit Q t t t t Normlengleichung: t t t t y ( ) + y mit R 6 6 Zielfunktion : 8 t 7 At () gt () h + + t t t 7 5 A ( t) + ; A () t > für lle t + t t Lokle Etrem: 7 A ( t) + t 6 t 6 (t + ) t 5 Lokle Minimumstelle, d A (6) > 6 Rnduntersuchung: lim At () + und t lim At () + t + Ds lokle Minimum ist lso uch ds globle Minimum: A (6) (FE) 6 Rottionsvolumen V y h d V y π ( t ( )) t π ( ) d π ( ) t d π t 8 π t π,5 ( VE) t Es folgt: Vy 8 π π,5 8 π t t

83 Nchtermin Aufgbe A N A L Y T I S C H E G E O M E T R I E Gegeben ist die Gerdenschr gt : + λ t, t I R Zeigen Sie, dss lle Gerden der Schr g t in einer gemeinsmen Ebene e liegen, und ermitteln Sie eine Normlengleichung dieser Ebene Zur Kontrolle: e : 5 Untersuchen Sie, ob es zu jeder Gerden g t der Schr eine hierzu senkrechte Gerde g t der Schr gibt Ermitteln Sie diejenigen Gerden g t der Schr, deren Schnittwinkel mit der Gerde g ds Mß 6 ht Welche Gerde der Schr ht vom Ursprung den kleinsten Abstnd? Ein Würfel mit der Kntenlänge ist gemäß folgender Abbildung in einem krtesischen Koordintensystem positioniert A, B und C sind Kntenmittelpunkte z P 6 P 5 P 8 C P 7 B A P P y P P D sei der Mittelpunkt des Qudrtes P PP P Bestimmen Sie die Kntenlänge des Würfels so, dss die Pyrmide ABCD ds Volumen Volumeneinheiten besitzt Der Würfel hbe die Kntenlänge Längeneinheiten Die Strecken AP 5 und BP schneiden einnder im Punkt S Berechnen Sie ds Teilverhältnis, in dem S die Strecke AP 5 teilt

84 Nchtermin L ö s u n g e n Gemeinsme Ebene gt : + λ + λ + λ t t liegen lle in der Ebene liefert einen Normlenvek- e: + λ + µ r tor n von e und 8 6 Normlengleichung von e: 5 Zueinnder senkrechte Schrgerden D lle Gerden g t in e liegen, bedeutet eine Orthogonlität der Richtungsvektoren zugleich ein senkrechtes Schneiden der zugehörigen Gerden 5+ t t ist unerfüllbr, flls t oder t ist t t Mit t erhält mn 5 t t Somit gibt es zu jeder Gerde g t mit t eine zu ihr senkrechte Gerde Schnittwinkel 6 cos(6 t 5 ) + t 5 5+ t t t (Probe!) t ±

85 Nchtermin Gerde minimlen Abstndes vom Ursprung Alle Gerden g t liegen in einer gemeinsmen Ebene e gemäß Aufgbenteil Der Abstnd dieser Ebene e zum Ursprung ist zugleich der kleinste der möglichen Abstände der Gerden g t vom Ursprung e: 5 gemäß Aufgbenteil Lotgerde vom Ursprung us ist l: + ν Schnittpunkt e l: ν 5 5ν 5 ν 5 S( ) g t 5 5 λ 5 + t λ 5 t λ 5 t Die beiden ersten Komponenten liefern λ 5 5 Dies eingesetzt in die dritte Komponente führt zu 5 t t In der Gerdenschr ht die Gerde g,75 vom Ursprung den kleinsten Abstnd

86 Nchtermin Würfel im Koordintensystem z P 6 P 5 P 8 C P 7 B A P P y P P Festlegung der Kntenlänge Der Grundflächenmittelpunkt ist D Ds Sptprodukt der Kntenvektoren liefert V AB AC AD V VE 6 VE LE Teilverhältnis AP5 : + λ ; BP : + µ, AP5 BP : + λ + µ Die zweite Koordinte liefert λ µ, ws beim Einsetzen in den nderen beiden Komponenten zu λ bzw µ (und zum Schnittpunkt S ( ) ) führt Der Prmeterwert für λ liefert über den Anstz für die Gerde unmittelbr ds gesuchte Teilverhältnis zu : : (ds übrigens uch für die Strecke BP gilt)

87 Nchtermin 5 Aufgbe W A H R S C H E I N L I C H K E I T S T H E O R I E Gemäß nebenstehender Skizze sind neun durchnummerierte Kästen ngeordnet Es fllen zufällig Kugeln ncheinnder in diese Kästen Ds Belegen erfolgt dbei für jeden Ksten gleich whrscheinlich Mehrfchbelegungen sind möglich Es werden drei unterscheidbre Kugeln uf diese Kästen verteilt Geben Sie eine geeignete Ergebnismenge n und berechnen Sie die Whrscheinlichkeit folgender Ereignisse: A : Die drei Kugeln liegen im gleichen Ksten B : Die drei Kugeln liegen in Kästen mit ufeinnder folgenden Nummern C : Die drei Kugeln liegen in verschiedenen Kästen Es fllen nun zwölf Kugeln in die Kästen Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit dfür, dss die Kstennummern von mindestens zwei dieser Kugeln durch teilbr sind In einer Urne befinden sich sowohl schwrze ls uch weiße Kugeln, insgesmt 5 Stück Es wird eine Kugel gezogen, die Frbe festgestellt und die Kugel wieder zurück gelegt Dieses Zufllseperiment wird zehn ml durchgeführt Wie viele schwrze Kugeln müssen in der Urne sein, dmit die Whrscheinlichkeit, genu zwei schwrze Kugeln zu ziehen, miml ist? Sei Ω die Ergebnismenge eines Zufllseperiments mit Whrscheinlichkeitsmß P A und B seien unbhängige Ereignisse mit P (A B) und P (A B) 6 Berechnen Sie P(A) und P(B) Eine Zufllsgröße X nimmt genu die Werte, und + n Sie besitzt den Erwrtungswert E( X ), und die Vrinz V( X ),76 Bestimmen Sie die zugehörigen Whrscheinlichkeiten p bzw p bzw p, mit denen die Werte von X ngenommen werden

88 6 Nchtermin L ö s u n g e n Kombintorik und Lplce-Whrscheinlichkeit Ω {,,,,5,6,7,8,9} 9 P(A) 9 8, 7! P(B), P(C) 9 8 Bernoulli-Kette mit Gegenwhrscheinlichkeit Die Länge der Kette ist, die Trefferwhrscheinlichkeit beträgt p 9 Treffer: Die Kstennummer der Kugel ist durch teilbr bzw Die Kstennummer ist oder 8 P(T > ) B( ; ; ) B( ; ; ) ,%

89 Nchtermin 7 Urnenmodell Ds Zufllseperiment ist eine Bernoullikette der Länge mit dem Prmeter p, wobei < p < nch Vorussetzung p p s w p p p p PT p p p p f p 8 8 ( ) ( ) 5 ( ) : ( ) ( ) 5 [ ( ) 8 ( ) ] 9 ( ) ( 5 ) f p p p p p p p p f ( p) p, (d < p < ) f ht bei, ein lokles Mimum, denn f (,),5 > und f (,), < f ht bei, ein bsolutes Mimum, denn f(,), und lim f( p) lim f( p) Ergebnis: s w s w p p Die Whrscheinlichkeit, genu zwei schwrze Kugeln zu ziehen, ist für p, miml 5 Also müssen 5 schwrze Kugeln in der Urne liegen 5 Whrscheinlichkeitsmß Nch Vorussetzung gilt: P(A B) P(A) P(B) (I) Somit gilt: P(A B) P(A) P(A B) P(A) P(A) P(B) P(A) ( P(B) ) Außerdem gilt: P(A B) P(A) + P(B) P(A B) P(A) + P(B) P(A) P(B) P (A) ( P(B) ) + P(B) Einsetzen von (II) in (III): P (A B) P(A B) + P(B) und hierus P (B) P(A B) P(A B) 6 P(A B) 6 Die Gleichheitskette (II) liefert schließlich P(A) P(B) 6 (II) (III)

90 8 Nchtermin Erwrtungswert und Vrinz EX ( ) ( ) p+ p+ p,, ( ) VX EX EX + p+ p+ p ( ) ( ) ( ) ( ),,76 Subtrktionsverfhren liefert p p,5 Einsetzen in die erste Gleichung liefert p, + p, +,5, Normieren des Whrscheinlichkeitsmßes liefert p p p,5,,

91 Aufgbentete und Lösungen der schriftlichen Abiturprüfung im Srlnd

92

93 Hupttermin Aufgbe A N A L Y S I S Gegeben ist die Funktionenschr fk : Dm 5, 6 ( + k) mit k 5* Bestimmen Sie die Definitionsmenge D in Abhängigkeit von k und zeigen Sie, dss für k lle D gilt: f k ( ) ( + k) Bestimmen Sie die Funktion der Schr, deren Grph n der Stelle 6 einen Etrempunkt ht Diskutieren Sie die Funktion f Ermitteln Sie für eine beliebige Funktion f k der Schr den Etrempunkt und weisen Sie die Art des Etremums nch Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve, uf der die Etrempunkte ller Funktionen der Schr liegen Zeigen Sie: Für jedes k 5 entsteht der Grph von f k us dem Grphen der Funktion f k durch Spiegelung m Koordintenursprung 5 Der Grph von f und seine schiefe Asymptote schließen zwischen ihrer Schnittstelle und der Stelle mit der y-achse eine Fläche ein Schrffieren Sie diese Fläche im Koordintensystem des Aufgbenteils und berechnen Sie deren Inhlt In nebenstehender Abbildung ist der Querschnitt einer bzgl der y-achse rottionssymmetrischen Vse drgestellt Der im ersten Qudrnten liegende rechte Rnd wird durch die Funktion mit der Gleichung g ( ) + b (, b 5*) beschrieben Ermitteln Sie die Prmeter und b so, dss mn den drgestellten Grphen erhält Begründen Sie, dss mit Hilfe dieser Wurzelfunktion der Übergng zum zylinderförmigen Teil der Vse ohne Knick beschrieben wird, wie es in der Abbildung drgestellt ist Berechnen Sie ds Volumen der Vse für und b y

94 Hupttermin L ö s u n g e n Gegeben ist die Funktionenschr f : D 5, k m 6 ( + k) mit k 5 Mimler Definitionsbereich: D 5?^N` Ableitungen: f ( ) k + k ( + k), f ( ) k k ( + k) Notwendige Bedingung für ds Auftreten eines Etremums Bedingung: f ( ) ( + k) ( oder k) ist doppelte Nullstelle des Zählers von f k, ohne dss der Nenner n der Stelle sein Vorzeichen wechselt ist dher keine Etremstelle k ist einfche Nullstelle des Zählers von f k, ohne dss der Nenner sein Vorzeichen wechselt k ist dher eine Etremstelle von f k Für k ist ( 6) die Etremstelle von f k Diskussion der Funktion f : Dm 5, c Definitionsmenge: D m 5 + \ {} 6 ( + ) d Symmetrie: Keine einfche (vgl z B D m ) e Nullstelle: (dreifch) f Grenzwerte n den Rändern von D m : l i m f( ), l i m f( ) +, l i m f( ), + l i m f( ) + ist Unendlichkeitsstelle (Polstelle) ohne Vorzeichenwechsel

95 Hupttermin g Ableitungen: f ( ) f ( ) + 6 ( + ) ( + ), h Etrem und Monotonie Nullstellen der ersten Ableitung: f ( ) ( + 6) ( oder 6) Vorzeichenbetrchtung: 7 6 f ( ) Monotonieintervlle: f ist streng monoton wchsend in ], 6] und in ], [ f ist streng monoton fllend in [6, [ i Wendepunkte und Krümmung Nullstellen der zweiten Ableitung: f ( ) Vorzeichenbetrchtung: 5 f ( ) + Es liegt der Sttelpunkt W( ) vor Krümmungsintervlle: G f ist linksgekrümmt in [, [, G f ist rechtsgekrümmt in ], [ und in ], ]

96 Hupttermin j Asymptote Polynomdivision: f () (,5 ) + ( + ) Gleichung der Asymptote: f A (),5 Der Funktionsgrph nähert sich der Asymptoten von unten bzw von oben k Grph (k) ist gemäß eine lokle Etremstelle 9 < für k > Es gilt: f k ( k) k > für k < Für k> erhält mn den Hochpunkt H(k 7 8 k ), für k< den Tiefpunkt T (k 7 ) 8 k Gleichung der Ortskurve: y 7 8 k 9 8 ( k) 9 8 Durch Spiegelung n wird jeder Punkt ( f k () ) des Grphen von f k uf ( f k () ) bgebildet Dieser gespiegelte Punkt liegt uf dem Grphen von f k wegen: ( ) f k () f k () ( k) ( + k)

97 Hupttermin Schnittstelle von Grph und Asymptote (vgl ): ( + ) Für ds Mß der gesuchten Fläche A ergibt sich bei Anwendung der Substitutionsregel: µ (A) d ( + ) / 6t dt t / 6ln( t ) + t / 6 ln() Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung g ( ) + b(, b 5) g() + b b g() Der Grph der Wurzelfunktion ht im Punkt ( ) eine senkrechte Tngente, so dss in diesem Punkt ein stetiger und gltter Übergng zum zylinderförmigen Teil vorliegt Volumen des Drehkörpers V V Zyl π π V π dy ( y +) d π y 8 π ( + +)d y y y 6 5 π y + y + y π V G V + V 5 π,5

98 6 Hupttermin Aufgbe A N A L Y T I S C H E G E O M E T R I E Gegeben ist eine gerde Pyrmide (siehe Zeichnung) mit qudrtischer Grundfläche Die Seitenlänge des in der - -Ebene liegenden Qudrtes ABCD beträgt 8 m, die Pyrmide ht eine Höhe von 6 m S C B D A Stellen Sie eine Normlengleichung der Ebene e uf, in der die Seitenfläche ABS liegt Berechnen Sie den Winkel, den die Ebene e: + (Teil ) mit der Pyrmidenknte DS bildet Im ngegebenen Koordintensystem der Pyrmide ist ein Richtungsvektor der Sonnenstrhlen u G Der Schttenpunkt S der Pyrmidenspitze S liegt in der - - Ebene Berechnen Sie die Koordinten von S Wie weit ist der Punkt S ( 8 ) von den Eckpunkten A und B der Pyrmide entfernt? 5 Begründen Sie: Jeder Punkt der Pyrmidenhöhe OS ht von den vier Seitenflächen der Pyrmide den gleichen Abstnd Bestimmen Sie den Punkt von OS, der sowohl von den vier Seitenflächen ls uch von der Grundfläche der Pyrmide den gleichen Abstnd ht Zeigen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung: In einem Trpez, in dem die eine Grundseite doppelt so lng ist wie die ndere, teilen sich die Digonlen im Verhältnis : Hinweis: Die zueinnder prllelen Seiten eines Trpezes heißen Grundseiten

99 Hupttermin 7 L ö s u n g e n A( ), B( ), S( 6) JJG AB JJG AS 8 6 Normlenvektor: n G Ebenengleichung: e: ( G 6 ) 6 6 G JJG DS JJG, DS n G sin(α ) 7, α 5,8 Gerde g durch S prllel zu den Sonnenstrhlen: g : Schnittpunkt von g mit der - -Ebene: G 6 + λ 6 λ λ Dmit ergibt sich der Schnittpunkt S ( 8 ) JJJG AS ' JJJG m, BS ' 5m 89, m

100 8 Hupttermin 5 Bei einer 9 -Drehung der Pyrmide um eine Achse, uf der die Pyrmidenhöhe liegt, geht die Pyrmide in sich selbst über Jeder bei einer solchen Drehung unveränderliche Punkt uf der Pyrmidenhöhe ht somit von jeder Seitenfläche denselben Abstnd Gesucht ist ein Punkt P( d ) mit < d < 6 Für den Abstnd des Punktes P von der Ebene e gilt: ( + d ) ( d ) Bedingung: ( d ) d d d d +, Der gesuchte Punkt ist P(,) Die vier Seitenvektoren K, G b, G c und d G mit K G c legen ein Trpez fest, dessen Grundseite doppelt so lng wie c ist D c G C d G S b G A K B Aus K + G b + G c + d G G und K G c ergibt sich d G K G b JJG Geschlossener Vektorzug: AS Dbei gelten: JJG AS JJG SB JJG + SB λ ( K + G b ), K G µ ( K + d G ) µ ( K K G b ) µ ( K G b ) Eingesetzt: λ ( K + G b ) + µ ( K G b ) K G Umgeordnet: (λ + µ ) K + (λ µ) G b G

101 Hupttermin 9 Aus der lineren Unbhängigkeit der Vektoren K und G b folgt ds Gleichungssystem: Es ht die Lösung λ µ λ + µ und λ µ Somit teilen sich die Digonlen von den Eckpunkten der längeren Seite us im Verhältnis :

102 Hupttermin Aufgbe W A H R S C H E I N L I C H K E I T S T H E O R I E An einem Bdestrnd werden Strndkörbe vermietet Von den Strndkörben sind blu, rot und 6 gelb Fmilie Schmidt mietet sich morgens immer ls Erste einen Strndkorb Der Strndkorb wird zufällig usgewählt Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit, dss die Strndkorbfrbe n den ersten drei Tgen gleich ist Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss die n den ersten beiden Tgen gemieteten Strndkörbe unterschiedliche Frben hben? Ermitteln Sie die Mindestzhl der Tge, n denen Fmilie Schmidt einen Strndkorb mieten muss, dmit die Whrscheinlichkeit, wenigstens einml einen roten Strndkorb zu erhlten, größer ls 95% ist Bei der Herstellung von Boulekugeln treten Fehler in der Formgebung mit einer Whrscheinlichkeit von % uf Unbhängig dvon sind einige Kugeln us fehlerhftem Mteril gefertigt Nur 9% der produzierten Kugeln sind völlig fehlerfrei Aus der Produktion wird zufällig eine Kugel usgewählt Berechnen Sie die Whrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A: Die Kugel ht einen Mterilfehler B: Die Kugel ht genu einen der beiden Fehler Ein Wrenhus wird von zwei verschiedenen Herstellern beliefert Die Lieferung von Hersteller enthält % fehlerhfte Kugeln, die von Hersteller nur 9% fehlerhfte Kugeln Insgesmt stmmt ein Drittel ller fehlerhften Kugeln vom Hersteller Welchen Anteil ller Kugeln bezieht ds Wrenhus vom Hersteller? Bei einem Gewinnspiel wird mit einer Boulekugel uf ein in einiger Entfernung liegendes Schweinchen geworfen Mn setzt 5 Cent ein und drf höchstens dreiml werfen Sobld mn trifft, ist ds Spiel beendet Bei jedem Wurf beträgt die Trefferquote / Trifft mn beim ersten Ml, erhält mn Euro, trifft mn beim zweiten Ml, erhält mn noch 5 Cent Trifft mn ds Schweinchen erst beim dritten Ml, so werden Cent usgezhlt Berechnen Sie den Verlust, mit dem mn in einem Spiel rechnen muss

103 Hupttermin L ö s u n g e n Die Whrscheinlichkeit, dreiml hintereinnder einen bluen, roten oder gelben Korb zu erhlten, beträgt ( ), () 5 oder ( ) wegen der Unbhängigkeit der Tgesereignisse D die Ereignisse unvereinbr sind, gilt für die Whrscheinlichkeit des Ereignisses E, dss die Frbe der Körbe n den ersten drei Tgen gleich ist:,6 P(E) ( ) + () + ( ) E : Die Frbe der Körbe n den ersten beiden Tgen ist unterschiedlich Ds Gegenereignis ht die Whrscheinlichkeit: P( E ) () + () + ( ),8 Dmit folgt: P(E ) P( E ),6 5 5 Bernoulikette unbeknnter Länge mit p, P(T ) >,95,5 > n 5 5 n 5 >,95 5 ln(,5) > n ln 5 n > ln(,5) : ln 5 n >, n n >,95 Die Mindestnzhl der Tge beträgt Bezeichnung für die Ereignisse: F : Die Kugel ht einen Formfehler A : Die Kugel ht einen Mterilfehler Es gilt: P(F A) P(F) + P(A) P(F A) P(F) + P(A) P(F) P(A) P(F) + P(A) ( P(F) ) Dmit folgt: P(A) ( P(F A) P(F) ) : ( P(F) ),86

104 Hupttermin Es gilt: P(B) P( (F A) ( F A) ) P( (F A ) ) + P( ( F A) ) (Unvereinbrkeit) P(F) P( A) ) + P( F) P(A) (Unbhängigkeit), (,86) +,98,86,98 Die Hersteller seien mit H und H bezeichnet, ds Ereignis Die Kugel ist fehlerhft mit F Dnn sind die folgenden bedingten Whrscheinlichkeiten gegeben: P(F H ),, P(F H ),9, P(H F) Die Whrscheinlichkeit, dss in der Lieferung eine Kugel vom Hersteller H stmmt, ist gleich dem gesuchten Anteil p Bumdigrmm:, F p H,9 F p,9 F H,9 F P(H F) P(H F) P(F) p, p, + ( p), 9, p, p +,9 ( p),9 p,9 p,

105 Hupttermin Die Zufllsgröße X ordnet jedem Ergebnis Mn trifft beim ersten, zweiten, dritten Ml bzw mn trifft nicht den erzielten Gewinn zu Sie ht die Wertemenge {,5; ;,;,5 } (Beträge in Euro) und die W-Verteilung:,5,,5 P(X ) 9 () 8 () 7 7 Erwrtungswert: E(X) , Pro Spiel muss mit einem Verlust von etw Cent gerechnet werden

106 Nchtermin Aufgbe A N A L Y S I S Gegeben ist die Funktionenschr f : D 5 6 ( ) mit 5 e Zeigen Sie, dss für lle D gilt: ( ) f ( ) ( ) e Bestimmen Sie die Funktion der Schr, deren Grph n der Stelle einen Wendepunkt ht Diskutieren Sie die Funktion f ( Zeichnung: LE cm ) Ermitteln Sie für eine beliebige Funktion f der Schr die Etrempunkte und weisen Sie die Art der Etrem nch Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve, uf der die Etrempunkte ller Funktionen der Schr liegen Skizzieren Sie in dem Koordintensystem des Grphen von f ( siehe Teil ) den Grphen einer Funktion 5 Der Grph einer beliebigen Funktion f schließt im ersten Qudrnten mit der -Achse eine Fläche ein, die sich ins Unendliche erstreckt Berechnen Sie ds Mß dieser Fläche in Abhängigkeit von Wie ändert sich ds Flächenmß für wchsendes? In nebenstehender Abbildung ist der Querschnitt eines bzgl der y-achse rottionssymmetrischen Kreisels drgestellt Der untere Rnd ist der Teil einer Prbel mit der Gleichung y (>) im y Intervll [ ; ] Die oberen Begrenzungslinien verlufen in den Endpunkten des Prbelstücks senkrecht zu diesen Zeigen Sie, dss die Höhe des kegelförmigen Teils des Kreisels nur vom Prbelprmeter bhängt Bestimmen Sie so, dss diese Höhe LE beträgt Ermitteln Sie für,5 denjenigen Wert von, für den ds Volumen des kegelförmigen Teils genu die Hälfte des Gesmtvolumens ist Sei f : [ ; b] 5 6 f () eine differenzierbre y Funktion mit positiver Ableitung und sei P ( t f( t)) ein Punkt des Grphen Der Grph der Funktion f und die Prllele zur -Achse durch P begrenzen zwei Flächen A und A ( siehe Zeichnung ) P A A Zeigen Sie, dss für t ( + b ) die Summe der Flächeninhlte von A und A miniml ist t b

107 Nchtermin 5 L ö s u n g e n Gegeben ist die Funktionenschr f : D 5, 6 e ( ) mit 5 Ableitungen: ( ) ( ) ( ) f ( ) e + e ( ) ( ) e, ( ) ( ) ( ) f ( ) e + ( ) e ( ) ( ) e Bedingung: f ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ( 5 ) oder ) Diskussion der Funktion f : Dm 5, 6 c Definitionsmenge: D m 5 e ( ) d Symmetrie: Es gilt f () f () für lle 5 lso Symmetrie zum Ursprung e Nullstelle: f Grenzwerte n den Rändern von D m : l i m f( ), l i m f( ) + g Ableitungen: ( ) f ( ) ( ) e, ( ) ( ) ( ) f e h Etrem und Monotonie Nullstellen der ersten Ableitung: f ( ) ( oder ) Vorzeichenbetrchtung: f ( ) + Es liegen der Tiefpunkt T( ) und der Hochpunkt H( ) vor

108 6 Nchtermin Monotonieintervlle: f ist streng monoton wchsend in [, ], f ist streng monoton fllend in ], ] und in [, [ i Wendepunkte und Krümmung Nullstellen der zweiten Ableitung: f ( ) ( ) ( oder oder ) Vorzeichenbetrchtung: f ( ) + + Es liegen die Wendepunkte W ( /e), W ( ) und W ( /e) vor Krümmungsintervlle: G f ist linksgekrümmt in [, ] und in [, [, G f ist rechtsgekrümmt in ], ] und in [, ] j Grph,5 f ( ) ( ) ( ) e ( oder ) f ht n der Stelle einen Vorzeichenwechsel von + nch : H( ) f ht n der Stelle einen Vorzeichenwechsel von nch + : T( )

109 Nchtermin 7 Gleichung der Ortskurve: y Für,5 ergeben sich H( ) und T( ) Skizze für,5 in 5 ( ) z e d e ( ) Für den Flächeninhlt gilt: µ () Dbei gilt µ () für z e ( z ) e + e e für z Zur Bestimmung des kegelförmigen Teils betrchtet mn die Normle n durch den Punkt P( f ( )) n : y ( ) + f ( ) f ( ) ( ) Für die Höhe h gilt: h n() f ( ) + unbhängig von Es folgt h für Betrchtet wird die Prbel mit der Gleichung y Für ds gesuchte Volumen gilt: V ges V Kegel + V rot V Kegel :r h : : V rot :,5 dy,5 ydy :,5 : > : Es gilt: V Kegel V rot : :, d > A(t) A (t) + A (t) t b ( f( t) f( )) d + ( f( ) f( t)) d [ f t F ] + [ F f t] () ( ) t t ( ) ( ) b t t f (t) F(t) ( f (t) F()) + F(b) b f (t) (F(t) t f (t)) (t b) f (t) + F() + F(b) F(t)

110 8 Nchtermin Ableitung: A (t) f(t) + (t b) f (t) f(t) (t b) f (t) Notwendige Bedingung: A (t) t ( + b ), d f (t) > nch Vorussetzung A ht n der Stelle ( ) + b einen Vorzeichenwechsel von nch +, es liegt lso ein Minimum vor

111 Nchtermin 9 Aufgbe A N A L Y T I S C H E G E O M E T R I E Gegeben sind die Punkte P( 8 ) und Q( 6 ) sowie die Ebenen e und e, die durch die folgenden Gleichungen definiert sind: e : G G und e : λ + µ 5 Zeigen Sie, dss die beiden Ebenen senkrecht ufeinnder stehen Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgerden g S der beiden Ebenen Welcher Punkt R der Ebene e ht von P die kürzeste Entfernung? Zeigen Sie, dss dieser Punkt R uf der Schnittgerden Ebenen e und e liegt G gs : + λ Begründen Sie mit Hilfe der in den Aufgbenteilen bis gemchten Angben, dss der Punkt P in der Ebene e liegt Überprüfen Sie diese Aussge rechnerisch 5 Der Punkt R( 7 ) bildet mit den Punkten P und Q ein Dreieck Zeigen Sie, dss dieses Dreieck rechtwinklig ist und in einer Ebene e liegt, die senkrecht zu e und e verläuft 5 Bestimmen Sie den Punkt S, der ds Dreieck zu einem Rechteck ergänzt der Zeigen Sie mit den Mitteln der Vektorrechnung: Die Mittelpunkte der Seiten eines beliebigen Vierecks sind die Eckpunkte eines Prllelogrmms

112 Nchtermin L ö s u n g e n G Normlenvektor von e : n 5 5 G G Es gilt n n 5 G G + 5 und dmit n n Schnittmenge e e : [ λ µ + ] 5 6λ µ µ λ Gleichung der Schnittgerden g S : G λ (λ ) λ G Lotgerde l von P uf e : λ + 8 Schnitt von l mit e : [ + λ ] 6 + λ λ 8 Dmit ergibt sich R( 7) Punktprobe für R in der Gleichung von g S : + λ 7 λ λ Begründung: Die Ebenen e und e stehen senkrecht ufeinnder Ds Lot l von P uf e steht senkrecht uf g S und enthält R g S Dmit gilt l e und dmit P e

113 Nchtermin Zur rechnerischen Überprüfung wird die Punktprobe für P( 8) in der Gleichung von e durchgeführt: λ + µ 8 5 Aus der Gleichung (I) ergibt sich µ, us der Gleichung (II) folgt λ Diese Werte erfüllen uch die dritte Gleichung 5 Gegeben sind die Punkte P( 8 ), Q( 6 ) und R( 7) JJG JJG 8 JJG JJG Es gilt: PQ PR 8 +, lso PQ PR Normlenvektor der Ebene e durch die Punkte P, Q und R: 8 G 6, wähle n 8 Es gilt: G G n n +, lso e e G G n n , lso e e 5 Gesuchter Dreieckspunkt: G s G q JJG + PR , lso S(5 9) Seien K, b G, c G und d G die Seitenvektoren des Vierecks Dnn gilt: K + b G + c G + d G G d G K b G c G Es folgt: MM JJJJJG MM JJJJJG ( K + G b ) dg G c ( K G b G c ) JJJJJG G c ( K + b G ) MM A K M B Dmit sind zwei Seiten gleich lng und prllel Ds Viereck ist lso ein Prllelogrmm D M d G c G M C b G M

114 Nchtermin Aufgbe W A H R S C H E I N L I C H K E I T S T H E O R I E Zur Anlge ihres Grtens kuft Fru Rose Pflnzen bei einem betrügerisch rbeitenden Gärtner, der 8 unbruchbre Pflnzen unter die Pflnzen mischt Zur Kontrolle wählt Fru Rose zufällig zwei Pflnzen us und überprüft diese uf Bruchbrkeit Sie nimmt die Pflnzen genu dnn, wenn die beiden kontrollierten Pflnzen bruchbr sind Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit, dss Fru Rose die Pflnzen kuft Beurteilen Sie Fru Roses Kontrollverfhren Die in einer Gärtnerei ngebotenen Pflnzen sind zu 8,8% unbruchbr Die Unbruchbrkeit knn zwei Urschen hben: geknickter Stängel oder unzureichendes Wurzelwerk Die Whrscheinlichkeit für einen geknickten Stängel beträgt 5% Die Whrscheinlichkeit, dss eine Pflnze sowohl einen geknickten Stängel ls uch ein unzureichendes Wurzelwerk besitzt, beträgt,% Untersuchen Sie rechnerisch, ob die beiden Urschen für die Unbruchbrkeit unbhängig voneinnder uftreten Um die Anzhl der unbruchbren Pflnzen, die in den Verkuf gelngen, zu verringern, wird eine Endkontrolle durchgeführt, bei der mit einer Whrscheinlichkeit von 9% eine Pflnze ls unbruchbr ussortiert wird Erfhrungsgemäß wird fälschlicherweise eine bruchbre Pflnze mit einer Whrscheinlichkeit von % ussortiert Insgesmt sind 8% der Pflnzen unbruchbr Zeichnen Sie ein Bumdigrmm und berechnen Sie die Whrscheinlichkeit, dss eine unbruchbre Pflnze ussortiert wird Ein Gärtner übernimmt Pflnzen von einer Großgärtnerei mit der Informtion, dss durchschnittlich 6% der Pflnzen nicht ngehen Insgesmt gehen ttsächlich 8 Pflnzen nicht n Prüfen Sie, ob die Zhl der festgestellten unbruchbren Pflnzen im σ-intervll um den Erwrtungswert liegt Welche Schlussfolgerung lässt sich ziehen? Gegeben sind drei Lostrommeln In der ersten Trommel befinden sich Lose, in der zweiten 8 Lose und in der dritten 6 Lose Die erste Trommel enthält ein Gewinnlos mehr ls die beiden nderen Trommeln, die gleich viele Gewinnlose enthlten Ein Spieler wählt eine Trommel us und zieht drus ein Los Beide Vorgänge sind Lplce-Eperimente Wie groß ist die Anzhl der Gewinnlose in jeder Trommel, wenn der Spieler mit einer Whrscheinlichkeit von,5% gewinnt? Ein Spieler ht eine Niete gezogen Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit, dss diese Niete der dritten Trommel entnommen wurde Ein Spieler nimmt mehrmls m Spiel teil Nch jedem Spiel wird der ursprüngliche Zustnd der Trommeln wiederhergestellt, so dss die Gewinnchnce jeweils,5% beträgt Wie oft muss er mindestens spielen, um mit einer Whrscheinlichkeit von mehr ls 95% wenigstens einml zu gewinnen?

115 Nchtermin L ö s u n g e n Es bedeute A: Fru Rose kuft die Pflnzen P(A) 9,5 Ds Kontrollverfhren ist unbruchbr, d sie die Pflnzen mit einer Whrscheinlichkeit von mehr ls 5% kuft Es bedeute: U: Pflnze unbruchbr, S: Geknickter Stängel, W: Unzureichendes Wurzelwerk Dbei gelten: P(U),88, P(S),5, P(S W), Aus P(S W) P(S) + P(W) P(S W) folgt P(W) P(S W) P(S) + P(S W),88,5 +,, P(S) P(W),5,, P(S W) Dies bedeutet, dss die Ereignisse S und W unbhängig sind Bumdigrmm:,8,9 U U p, A A A A Es bedeute A: Die Pflnze wird ussortiert Aus P(A),8 p +,9,,9 folgt p,78 Aus n und p,6 folgt µ n p 7 und σ n p ( p) 67,68 und dmit σ 8, Gesuchtes Intervll: [µ σ ; µ + σ] [6,77 ; 8,] D 8 im σ-intervll des Erwrtungswertes liegt, sind 8 nicht ngegngene Pflnzen noch kzeptbel

116 Nchtermin Übersicht über die Lostrommeln Lostrommel Lose Gewinne P( Gewinn ) ,5 Es folgt: Es bedeute D : Ds Los wird us der dritten Trommel gezogen N : Es wird eine Niete gezogen Bedingte Whrscheinlichkeit: P(D N) P(D N) P(N) ( ) :,575,899 Bernoulikette unbeknnter Länge mit p,5 P(T ) >,95 P(T ) >,95 n n, 5,575,575 n >,95 >,95,575 n <,5 n > 5, Mn muss mindestens sechsml spielen

117 Aufgbentete und Lösungen der schriftlichen Abiturprüfung im Srlnd

118

119 Hupttermin Aufgbe A N A L Y S I S k Gegeben ist die Funktionenschr f : D 5, ln k m k mit k 5 + Bestimmen Sie die Definitionsmenge D m in Abhängigkeit von k und zeigen Sie, dss k ( k) für lle D m gilt: f () k ( k) Zeigen Sie, dss je zwei verschiedene Schrkurven keinen gemeinsmen Punkt besitzen Berechnen Sie die Gleichung der Kurve, uf der lle Wendepunkte der Grphen der Schr f k liegen Bestimmen Sie die Funktion der Schr, deren Grph n der Stelle eine Tngente ht, die prllel zur ersten Winkelhlbierenden verläuft 5 Diskutieren Sie die Funktion f 6 Zeigen Sie, dss für lle [ ; [ gilt: f ( + ) + f ( ) f () Welche geometrische Bedeutung ht diese Gleichung für den Grphen der Funktion f? 7 Begründen Sie, dss die Funktion f umkehrbr ist Geben Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion n und berechnen Sie ihre Funktionsgleichung 8 Der Grph der Funktion f, die -Achse und die Gerde mit der Gleichung schließen im ersten Qudrnten eine Fläche ein Berechnen Sie die Mßzhl dieser Fläche Gegeben ist die Funktion g :5 + 5 ln() und ein Punkt P(u g(u)) mit u > uf dem Grphen der Funktion g Die Normle n den Grphen der Funktion g im Punkt P, die Gerde mit der Gleichung u und die -Achse schließen ein Dreieck ein Berechnen Sie die Koordinten des Punktes P so, dss der Flächeninhlt dieses Dreiecks miml wird

120 Hupttermin L ö s u n g e n Gegeben ist die Funktionenschr k f : D 5, ln k m k mit k 5 + Berechnung des mimlen Definitionsbereichs: ( k > k > ) ( k < k < ) ( > < k ) ( < > k ) k> < < k k> Es folgt: D ] ; k [ m Ableitungen: k ( k ) k( ) k k k k k f + ( ) k k ( k) k ( k) k k () k ( k ) k ( k ) f k ( ) ( ) k k, Für zwei verschiedene Prmeter k k gilt: k k k k f ( ) f ( ) ln ( ) ln k ( ) k k k k k D kk ( ) kk ( ) kk k kkk ( k k ) k k oder Wegen der Vorussetzungen k k und ] ; k [ gibt es keinen gemeinsmen Punkt zweier Schrkuven Notwendige Bedingung: k ( k) f ( ) k k ( k) Funktionswert: k ln k f k ln( k) k k k Möglicher Wendepunkt: W k ln( k) k

121 Hupttermin Es gilt: ( k y ln( k) ) ( k y ln( ) ) Dies bedeutet: y ln() ist die Gleichung der Kurve uf der lle Wendepunkte von G liegen f k k Bedingung: f () k k k k k Die gesuchte Funktion lutet: f () ln( ) 5 Diskussion der Funktion : m Definitionsmenge: D m ] ; [ ( vgl () mit k ) f D 5 ; ln( ) ó Symmetrie: keine einfche (vgl z B D m ) ì Nullstelle: f (),8 ö Grenzwerte n den Rändern von D m : lim ln ( ) ; lim ln ( ) + ú Ableitungen: f (), ( ) 8( ) f ( ) (vgl () mit k ) ( ) ( ) Etrem und Monotonie Nullstellen der ersten Ableitung: f ( ) unerfüllbr Es gilt: f ( ) > in ] ;[, ; f besitzt keine loklen Etrem f ist dher streng monoton wchsend in ] ; [ ø Wendepunkte und Krümmung Nullstellen der zweiten Ableitung: 8( ) f ( ) ( )

122 Hupttermin Vorzeichenbetrchtung: f ( ) + Funktionswert: f () ln() Es liegt der Wendepunkt W( ln() ) vor Krümmungsintervlle: G ist linksgekrümmt in [ ; [, f G ist rechtsgekrümmt in ] ; ] f í Grph y f ln ( ) + ln( ) 6 f ( ) f ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) + ln ( ) + ln( ) ( + )( ) ( ) ( + ) ln ( ) f ln (6) ln () () Geometrische Bedeutung: G ist punktsymmetrisch zum Wendepunkt W( f ()) f

123 Hupttermin 5 7 f ist uf D m ] ; [ streng monoton (wchsend) und deshlb umkehrbr Es gilt: D W 5 f f Berechnung des Funktionsterms der Umkehrfunktion: y ln ( ) e y y e ( ) y y e e y ( + e ) e y e + e Funktionsgleichung der Umkehrfunktion: e f () + e y y 8 Mit Hilfe prtieller Integrtion ergibt sich: µ ( M) ln,8 ( ) d ln ( ),8 d ( ) ( ) ln d ( ) ( ),8,8 ln,8 ( ),8 d ln +,8 ( ),8 d ln + ln ( ) ln() + ln(),8 ln() ln(,) ln() ln (,) ln,8, ( ),8

124 6 Hupttermin Skizze: y 5 n u g()ln() u o Gleichung der Normlen n G g im Punkt P(u g(u)): n: y g( u) ( u) n: y ln ( u) u ( u) g () u Nullstelle der Normlen n : ( ) n: y u + u + ln u ( u) ln u + u + ln ( u) u + u Flächeninhlt des Dreiecks: ( u) ln ln A ( u) g( u) u u ln + ( u) u u Zielfunktion: A : ] ; [ 5, ln ( u) u u ( u) Berechnung der bsoluten Mimumstelle von A: ln ( ) ( ) ln ( ) u u u u ln ( u) ln( u) Au () u u Nullstellen der Ableitung: ( u) ln ( u) ln Au ( ) u ln ln ( u) ( ( u) ) ( u) ( u) ln ln u e D

125 Hupttermin 7 ( ) ht n der Stelle e einen Vorzeichenwechsel von "+" nch " " e ist lokle M- Au imumstelle von A D A differenzierbr im offenen Intervll ] ; [ und e einzige lokle Etremstelle und lokle Mimumstelle ist, folgt: e ist bsolute Mimumstelle von A Wegen g(e ) ln(e ) ist P(e ) der gesuchte Punkt

126 8 Hupttermin Aufgbe A N A L Y T I S C H E G E O M E T R I E Gegeben sind die Punkte A( 5), B(6 6) und die Gerde 6 r g: 6 + λ 9 Berechnen Sie eine Koordintengleichung der Ebene e, die den Punkt A und die Gerde g enthält und weisen Sie nch, dss uch der Punkt B in dieser Ebene liegt Auf der Gerden g gibt es einen Punkt C so, dss die Strecken AB und BC senkrecht ufeinnder stehen Berechnen Sie die Koordinten des Punktes C [Zur Kontrolle: C(7 8) ] Ergänzen Sie ds rechtwinklige Dreieck ABC durch Berechnung des Punktes D zum Rechteck ABCD und zeigen Sie dnn, dss dieses Rechteck sogr ein Qudrt ist Ds Qudrt ABCD ist die Grundfläche einer gerden qudrtischen Pyrmide, deren Spitze S in der -z-ebene liegt Berechnen Sie die Koordinten der Pyrmidenspitze S und ds Volumen der Pyrmide ABCDS [Zur Kontrolle: S(,5,5) ] 5 Es gibt eine Kugel, die durch lle Eckpunkte der Pyrmide ABCDS geht Berechnen Sie die Koordinten des Mittelpunktes M dieser Kugel Ein Würfel mit der Kntenlänge ist gemäß Abbildung in einem krtesischen Koordintensystem positioniert P 5 z P 8 Berechnen Sie ds Mß des Winkels zwischen zwei Rumdigonlen des Würfels P 6 P 7 P P Zeigen Sie: Der Abstnd der Würfelecke P von der y Rumdigonlen PP 5 beträgt 6 P P

127 Hupttermin 9 L ö s u n g e n Prmetergleichung: 6 r e: 6 + λ + µ 9 Normlenvektor: r n 6 6 Normlengleichung: 6 r e: 6 e: + y z 9 Es ist B(6 6) e, denn es gilt: Wegen C g gilt: 6 r c 6 + λ uuur r r Dmit folgt: BC c b 6 + λ 6 + λ 9 6 uuur uuur Aus der Bedingung AB BC ergibt sich: uuur uuur AB BC 6 + λ 9 9 λ λ Es folgt 7 r c 8 und dmit C (7 8) Für den Punkt D gilt Wegen uuur AB 5 r r uuur d + BC und dmit D (5 7) uuur und BC ist ds Viereck ABCD ein Qudrt

128 Hupttermin Für den Schnittpunkt L der Digonlen des Qudrtes ABCD gilt: 5,5 r r r l ( + c) und dmit L (5,5 6,5) 6,5 Normlenvektor n r der Ebene e, in der ds Qudrt ABCD liegt: 5,5 r Höhengerde: h: + λ (λ 5) 6,5 Gleichung der -z-ebene: e : r z Die Pyrmidenspitze S ergibt sich ls Schnitt von e z und h : e h : λ + λ Es folgt z 5,5,5 r s 6,5,5 Höhe der Pyrmide: uur LS 6 und dmit S (,5,5) r n (vgl ()) Für ds Volumen der Pyrmide ergibt sich dmit: V Der Mittelpunkt M der Umkugel liegt uf der Höhengerden h 5,5 r m + λ (λ 5) 6,5 Bedingung:,5 + λ + λ uuuur uuur AM SM λ + λ,5 λ λ (,5 + λ) + λ + (,5 λ) (+ λ) + ( + λ) + ( λ),5+ 6 λ+ λ + λ +,5 6 λ + λ 6+6 λ+ λ ++ λ+ λ λ+ λ 9 λ +,5 9 λ + 6 λ + 6 λ,875

129 Hupttermin Es folgt r m 5,5,75,875,5 6,5 8,5 und dmit M (,75,5 8,5) Es bezeichne α den Winkel zwischen den Rumdigonlen PP 5 und PP 8 : cos( α) uuuur uuuur PP 5 PP 8 + uuuur uuuur PP 5 PP 8 Dmit folgt: α 7,5 Gleichung der Gerden g, uf der die Digonle PP 5 liegt: d Wir betrchten die Hilfsebene e mit P( ) e g e : r e : H H H d H r g : λ d + Der Fußpunkt L des Lotes von P uf g ergibt sich ls Schnittmenge e g : d H d + λ + λ + λ λ Es folgt r l + und dmit L

130 Hupttermin Abstnd: uuur dp (, g) dpl (, ) PL + + 6

131 Hupttermin Aufgbe W A H R S C H E I N L I C H K E I T S T H E O R I E Die Anzeige eines Glücksspielutomten besteht us neun Leuchtfeldern, die gemäß folgender Abbildung mit den Ziffern bis 9 beschriftet sind Nch Einwerfen des Spieleinstzes leuchten zufällig genu vier Felder uf Alle Kombintionen sind gleich whrscheinlich Die leuchtenden Ziffern ergeben von links nch rechts gelesen eine vierstellige Zhl Wie viele dieser vierstelligen Zhlen knn der Automt erzeugen? Wie viele dieser Zhlen hben die Endziffer 7? Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit, mit der der Automt eine gerde Zhl erzeugt [Zur Kontrolle: p ] 6 6 Der Automt wirft m Ende eines jeden Spiels so viele Euro us, wie die Endziffer der leuchtenden Zhl ngibt Wie viele Euro muss der Spieleinstz betrgen, dmit ds Spiel fir ist? 5 An dem Automten wird nun dreiml hintereinnder gespielt Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss die Summe der dbei uftretenden Zhlen gerde ist? Eine Zulieferfirm der Lndmschinenindustrie fertigt Hydrulikventile für Trktoren Bei der Herstellung der Ventile können erfhrungsgemäß zwei Fehler uftreten Fehler tritt bei % und Fehler bei % der Ventile uf Beide Fehler zusmmen treten bei % der Ventile uf Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit der Ereignisse: A : Bei einem Ventil tritt mindestens ein Fehler uf B : Bei einem Ventil tritt genu ein Fehler uf Ein der Produktion entnommenes Ventil weist den Fehler uf Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit, dss bei diesem Ventil uch der Fehler vorliegt Untersuchen Sie, ob die beiden Fehler unbhängig voneinnder uftreten Die Whrscheinlichkeit, dss ein zufällig der Produktion entnommenes Ventil fehlerhft ist, beträgt 5% Beim Versnd werden Ventile zu einer Verpckungseinheit zusmmengefsst Wie groß ist die durchschnittliche Anzhl defekter Ventile in einer Verpckungseinheit? Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit, dss höchstens ein Ventil einer Verpckungseinheit defekt ist

132 Hupttermin L ö s u n g e n Anzhl der möglichen Zhlen: n 9 6 Anzhl der möglichen Zhlen mit Endziffer 7 : n7 6 Gesuchte Whrscheinlichkeit p X: Auszhlungsbetrg in Wertemenge der Zufllsgröße X : X( Ω ) { ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 } Tbelle der W-Verteilung der Zufllsgröße X : i P(X i ) EX ( ) i PX ( ) i i Dmit ds Spiel fir ist, muss der Spieleinstz 8 EHWUDJHQ Die Summe der drei Zhlen ist gerde, wenn der Automt bei den Spielen genu eine oder genu drei gerde Zhlen erzeugt Ds folgende Bumdigrmm zeigt lle Pfde, die zu einer gerden Summe führen P( Die Summe der drei Zhlen ist gerde ) 6 6 g g u g u u , g u u g

133 Hupttermin 5 F i : Fehler i tritt uf, i { ;} Vierfeldertfel (gegebene Whrscheinlichkeiten sind fett hervorgehoben): F F F,,, F,,95,98,,96 PA ( ) PF ( F) PF ( ) + PF ( ) PF ( F),+,,,5 ( ) ( ( ) ( )) ( ) + ( ), +,, PB P F F F F P F F P F F PF ( F), PF ( F),5 PF ( ), D PF ( F),5, PF ( ), treten Fund F nicht unbhängig voneinnder uf X: Anzhl der defekten Ventile in einer Verpckungseinheit, X ist B(;,5)-verteilt Es folgt: EX ( ) np,5 PX ( ) B(;,5;) + B(;,5;),5,95 +,5,95,85 +,76,99 9

134 6 Nchtermin Aufgbe A N A L Y S I S Gegeben ist die Funktionenschr f t : D 5 te mit t 5?^` m t+ e Bestimmen Sie die Definitionsmenge D m in Abhängigkeit von t und zeigen Sie, dss t e für lle D m ( te ) gilt: f t ( t + e ) () Untersuchen Sie, für welche t 5?^` der Grph der Funktion f einen Wendepunkt t besitzt Geben Sie die Koordinten des Wendepunktes in Abhängigkeit von t n Bestimmen Sie die Funktionen der Schr, deren Grphen n der Stelle die Steigung 9 hben Diskutieren Sie die Funktion f 5 Begründen Sie, dss die Funktion f umkehrbr ist Geben Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion n und bestimmen Sie ihre Funktionsgleichung Gegeben ist die Funktion g :5 5, e Bestimmen Sie die Schnittstelle der Funktionen f und g und zeichnen Sie den Grphen der Funktion g in ds Koordintensystem zu Aufgbenteil ein [Zur Kontrolle: Schnittstelle s ln() ] Die Grphen der Funktionen f (im Intervll von bis ln() ) und g (im Intervll von ln() bis ) schließen mit den positiven Koordintenchsen eine sich ins Unendliche erstreckende Fläche ein Berechnen Sie die Mßzhl dieser Fläche Gegeben ist der Punkt P( ) Durch P soll eine Gerde so gelegt werden, dss in dem von dieser Gerden und den positiven Koordintenchsen gebildeten rechtwinkligen Dreieck die Summe der Längen der Ktheten miniml wird Bestimmen Sie die Funktionsgleichung dieser Gerden

135 Nchtermin 7 L ö s u n g e n Gegeben ist die Funktionenschr f t : D m 5 te mit t 5?^` t+ e Bedingung: t + e e t ln( t) t< Ableitungen: D m + 5, flls t 5 5\{ln( t)}, flls t 5 te ( t e ) te e t e te te t e f + + ( ) t ( t + e ) ( t + e ) ( t + e ), t e ( t e ) t e ( t e ) e t e ( t e ) t e f () t t e ( t + e e ) ( t + e ) ( t + e ) ( t + e ) te( te ) ( t + e ) Notwendige Bedingung: te( te ) t t f ( ) e t ln( t) ( t + e ) > Nur für t 5 + knn es einen Wendepunkt geben Für t 5+ ht f n der Stelle ln( t) einen Vorzeichenwechsel (von "+" nch " ") t Flls t 5+, ist ln( t) Wendestelle Funktionswert: ln t te t f (ln( t)) t t ln t t + e t Ergebnis: G ht den Wendepunkt W(ln( t),5 t), flls t 5+, f t G ht keine Wendepunkte, flls t 5 f t

136 8 Nchtermin Bedingung: f () t 9 t (t + ) 9 t ( t + ) 9 t t + t ( t + ) t ( t + ) t t 5 e Gesuchte Funktionen: f : 5\ ln, 5 5, e 5 e f : 5 5, + e Diskussion der Funktion f : D 5 e m + e Definitionsmenge: D m 5 ó ì Symmetrie: keine einfche (vgl Grenzwerte) Nullstelle: keine ö Grenzwerte n den Rändern von D m : e lim f ( ) lim lim + e e + e lim f ( ) lim + e +, e ú Ableitungen: f ( ) [ vgl () mit t ], ( + e ) e ( e ) f ( ) [ vgl () mit t ] ( + e ) Etrem und Monotonie Es gibt keine Nullstellen der ersten Ableitung und dmit keine Etrem Es gilt f ( ) > für lle 5 f ist uf gnz 5 streng monoton wchsend

137 Nchtermin 9 ø Wendepunkte und Krümmung Wendepunkt: W(ln() ) [ vgl () mit t ] Krümmungsintervlle: G G f f ist uf ] ; ln()] linksgekrümmt, ist uf [ln() ; [ rechtsgekrümmt û Grph y g y - - f f ist uf D 5 streng monoton (wchsend) und deshlb umkehrbr 5 m D W ] ; [ f f Berechnung des Funktionsterms: y e + e y( + e) e y+ ye e e ( y ) y y e y y ln y Gesuchte Funktion: f () ln

138 Nchtermin Berechnung der Schnittstelle: f () g () e e + e e e ( + e) e e + + e e e e e e e e e e ( e e ) ln() Der Grph der Funktion g ist im Aufgbenteil gezeichnet Flächenberechnung: ln ln e b µ ( A) f () d + g() d d + lim e d ln + e b ln ln ln + e + lim e b b ln ln ln + lim( e b + ) ln +,58 b

139 Nchtermin Gerdengleichung: g: y m + n mit m< Nullstelle: n o m g 5 y y-achsenbschnitt: y n o Summe der Längen der Ktheten: P( ) 5 n sm ( ; n) n m Nebenbedingung: P( ) G m + n n m Einsetzen in s(m ; n) liefert: g m mm + m m + 5m sm ( ) m m m m m 5m Zielfunktion: s : 5 5, m + m Berechnung der bsoluten Minimumstelle von s : ( 8m 5) m ( m 5m ) 8m 5m m 5m m s ( m) m m m s ( m) m + m m< s ( m) ht n der Stelle,5 einen Vorzeichenwechsel von " " nch "+" Somit ist,5 lokle Minimumstelle von s D s differenzierbr in 5 und,5 einzige lokle Etremstelle und lokle Minimumstelle ist, folgt:,5 ist bsolute Minimumstelle von s Gleichung der Gerden g : y,5 +

140 Nchtermin Aufgbe A N A L Y T I S C H E G E O M E T R I E Gegeben sind die Ebene e: sowie die Gerdenschr r g : λ mit λ und Berechnen Sie eine Koordintengleichung der Ebene, in der lle Gerden der Schr g liegen Untersuchen Sie die Lgebeziehung zwischen der Ebene e und den Gerden der Schr g in Abhängigkeit von Berechnen Sie ds Mß des Winkels, den die Gerde g mit der Ebene e bildet Bestimmen Sie lle Punkte der Gerden g, die von der Ebene e den Abstnd 6 hben Gegeben sind die Ebene e*: und der Punkt P( 5) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene e* mit den drei Koordintenchsen Vom Punkt P us fällt ein Kügelchen prllel zur -Achse uf die Ebene e* Bestimmen Sie die Koordinten des Auftreffpunktes R des Kügelchens uf die Ebene e* Zur Kontrolle: R 5 Berechnen Sie eine Gleichung der Spurgerden von e* in der - -Ebene Nch dem Auftreffen des Kügelchens uf die Ebene e* rollt es uf kürzestem Wege zur - -Ebene Berechnen Sie die Koordinten des Auftreffpunktes dieses Kügelchens in der - -Ebene

141 Nchtermin L ö s u n g e n r g : λ λ + + r Normlenvektor der gesuchten Ebene e : n r PNG von e : oder e : + + Untersuchung der Lgebeziehung: e g : λ 5 ( ) λ ( ) λ + 9 Fll: : e g {}, dh g e g e, Fll: : g schneidet e in einem Punkt Schnittwinkel: 9 sin( α), lso α 5o 8 Betrchtet werden: r r 5 g : λ ; e: [HNG von e] +

142 Nchtermin 5 d( Pe, ) 6 λ λ 6 λ 6 ( λ 6 λ 6) λ λ Gesuchte Punkte: P (7 ), P ( 6) e*: e * : (Achsenbschnittsform von *) Schnittpunkt mit der -Achse: S (6 ), Schnittpunkt mit der -Achse: S ( 8 ), Schnittpunkt mit der -Achse: S ( ) e Gleichung der Gerden g mit: P( 5) g g r e : g : + λ 5 Schnittmenge g e* : g e* : λ λ 5 Dmit ergibt sich der Auftreffpunkt R 6 r Prmetergleichung von e*: + λ + µ Spurgerde g von e* in der - -Ebene: Bedingung: µ µ Dmit ergibt sich: 6 r g : λ +

143 Nchtermin 5 5 Betrchte die Hilfsebene e, die durch den Auftreffpunkt R ( ) geht und uf der H Spurgerden g senkrecht steht Der gesuchte Auftreffpunkt des Kügelchens in der - -Ebene ist der Schnittpunkt S dieser Hilfsebene e H mit der Spurgerden g e : r, e : r H H 5 Schnitt: 6 e g : λ 8 5 λ λ H Es folgt r 6 s und mn erhält den Auftreffpunkt S(,6, )

144 6 Nchtermin Aufgbe W A H R S C H E I N L I C H K E I T S T H E O R I E Auf einer Rubbelkrte mit 5 Feldern stehen, zufällig ngeordnet, in jedem Feld je eine der folgenden vier Zhlen:,, und 8 Dbei kommen immer die chtml, die zehnml, die fünfml und die 8 zweiml vor Es werden der 5 Felder ufgerubbelt Geben Sie n, uf wie viele Arten dies möglich ist und berechnen Sie die Whrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A : Zwei der ufgerubbelten Felder enthlten die Zhl und zwei die Zhl B : Mindestens eines der ufgerubbelten Felder enthält die Zhl Mit welcher Whrscheinlichkeit erscheint die Zhl erst beim vierten ufgerubbelten Feld? Beim Rubbelspiel Die goldene 8 dürfen uf einer unter beschriebenen Rubbelkrte immer nur der 5 Felder ufgerubbelt werden Eine Rubbelkrte kostet Werden Achter ufgerubbelt, so wird der Huptgewinn von 5 DXVJH]DKOWEHL Zweien werden 5 EHL(LQVHQ XQGEHL]ZHLYHUVFKLHGHQHQDKOHQJU HUDOV werden 5 DXVJH]DKOW:LUGPLQGHVWHQVHLQHDXIJHUXEEHOWVRHUIROJWNHLQH$Xszhlung Mit welchem mittleren Gewinn pro verkufter Rubbelkrte knn der Verkäufer der Rubbelkrten uf lnge Sicht rechnen? Welcher Betrg müsste bei einem Huptgewinn usgezhlt werden, dmit ds Spiel fir wird, wenn lle nderen Auszhlungsbeträge unverändert bleiben? Wie viele Rubbelkrten müssen ufgerubbelt werden, dmit mn mit einer Whrscheinlichkeit von mindestens 5% wenigstens einen Huptgewinn erzielt, wenn die Whrscheinlichkeit für einen Huptgewinn beträgt? Jemnd kuft Rubbelkrten Mit welcher Whrscheinlichkeit erhält er genu zweiml 5 HLQPDO XQGVLHEHQPDO DXVJH]DKOW" Ein Lplce-Würfel wird dreiml geworfen Mit welcher Whrscheinlichkeit wird dbei wenigstens eine geworfen, wenn wenigstens einer der Würfe eine 6 zeigt?

145 Nchtermin 7 L ö s u n g e n 5 Anzhl der Möglichkeiten: PA ( ),996, P( B) P( B), (5) 7 PC ( ),899 (5) 6 X: Reingewinn des Rubbelkrtenverkäufers in Wertemenge der Zufllsgröße X: X(Ω) { ; ; ; 5 ; } Tbelle der W-Verteilung der Zufllsgröße X: i 5 P(X i ) Es folgt: EX ( ) i PX ( ) 5 + i i ,5 Der mittlere Gewinn pro verkufte Rubbelkrte beträgt,5

146 8 Nchtermin : Auszhlungsbetrg für Huptgewinn bei firem Spiel, Y : Reingewinn des Rubbelkrtenverkäufers in EHLIDLUHP6SLHO Bedingung: E(Y ) ( + ) 5 + Bedingung: P(wenigstens ein Huptgewinn bei n Rubbelkrten) >,5 P(kein Huptgewinn bei n Rubbelkrten) >,5 99 >,5 99 n ln < ln,5 ln,5 n > 7,6 99 ln Es müssen lso mindestens 8 Krten ufgerubbelt werden n Gesuchte Whrscheinlichkeit: 7 7! p 6,56!! 7! Zufllseperiment: Dreimliges Werfen eines L-Würfels {( ) i { } i{ }} Ω ; ; ; ; 5; 6, ; ; ; Ω 6 6 D : Es wird bei Würfen wenigstens eine geworfen E : Es wird bei Würfen wenigstens eine 6 geworfen + + D E + + P( D E ) Ω 6 6 6, PE ( ) P( E) P( D E) 6 Dmit folgt: P( D E),97 PE ( ) 9 9 6

147 Aufgbentete und Lösungen der schriftlichen Abiturprüfung im Srlnd 5

148

149 Hupttermin 5 Aufgbe A N A L Y S I S Gegeben ist die Funktionenschr :, e, f \{ } Bestätigen Sie, dss für den Funktionsterm der zweiten Ableitung gilt: f ( ) e +, 5 Zeigen Sie, dss zwei verschiedene Funktionen der Schr stets genu einen Punkt gemeinsm hben Untersuchen Sie ds Schubild von f uf Schnittpunkte mit der -Achse und uf Etrempunkte (Zur Kontrolle: Mimumstelle bei ) Berechnen Sie eine Gleichung der Ortskurve, uf der lle Hochpunkte der Schr liegen 5 Zeigen Sie, dss bei jeder Schrkurve die Mimumstelle in der Mitte zwischen den beiden Wendestellen liegt 6 Untersuchen Sie ds Grenzverhlten von f in Abhängigkeit von n den Rändern der Definitionsmenge 7 Bestimmen Sie die Funktion der Schr, deren Grph n der Stelle eine Tngente besitzt, die prllel zur -Achse verläuft 8 Skizzieren Sie mit den Informtionen us den vorhergehenden Aufgbenteilen ohne weitere Diskussion ds Schubild von f 9 Zeigen Sie durch prtielle Integrtion, dss eine Stmmfunktion zu f die F e ht Gleichung ( ) ( ) Berechnen Sie die Mßzhl der ins Unendliche reichenden Fläche, die vom Grph der Funktion f und der positiven -Achse begrenzt wird

150 Hupttermin 5 Schch und mtt In untenstehender Abbildung ist der Querschnitt einer bezüglich der - Achse rottionssymmetrischen, mssiven Schchfigur gegeben Der obere Rnd des Querschnitts ist der Grph einer Funktion h mit der Gleichung h () sin( ) + b, wobei [,5;,5] und b 5, sind Die Schchfigur wird us einem Holzzylinder hergestellt Der Querschnitt des Zylinders ist ebenflls in der Abbildung drgestellt Berechnen Sie und b so, dss die bgebildete Figur n der Stelle m breitesten ist π Bestimmen Sie für und b ds Volumen der Schchfigur Hinweis: Eine Stmmfunktion zu f mit f () sin () ist F mit F() ( sin() cos() )

151 Hupttermin 5 L ö s u n g e n Gegeben ist die Funktionenschr Ableitungen: :, e, f f ( ) e + e e +, 5 5 5\{ } f ( ) e + + e + e + Anstz für zwei Funktionen f und f b der Schr mit b: b f ( ) f ( ) e e b b e e b b ( b ) Wegen b ergibt sich nur die Lösung unbhängig von den Prmetern und b Der gemeinsmer Punkt ist der Ursprung O(/) Nullstellenbestimmung: f ( ) e N( ) ist der Schnittpunkt der Funktion f mit der -Achse Etremwertuntersuchung: f ( ) ( + ) e + ( ) Wegen f () e > liegt bei ein Minimum ( Tiefpunkt T( ) ) Wegen f ( ) < liegt bei ein Mimum e ( Hochpunkt H( e ) )

152 Hupttermin 5 Für 5 gilt: Mimumstelle: Funktionswert n der Mimumstelle: y f( ) e e e e Gleichung der Ortskurve der Mim: y e 5 Berechnung der Wendestellen: f ( ) e ( + ) + ( ) + Also kommen und + ls Wendestellen in Frge Die Mimumstelle liegt genu in der Mitte zwischen und 6 Grenzwerte:,wenn > lim f ( ) lim( e ) + +, wenn < lim lim f ( ) ( e ),wenn <, wenn >, 7 Bedingung: f () e + + Gleichung der gesuchten Funktion: f ( ) e

153 Hupttermin Skizze des Schubilds von f : 9 Berechnung einer Stmmfunktion durch unbestimmte prtielle Integrtion: e d e + e d e + e + e d e + e e ( ) e D die einzige Nullstelle ist, gilt für ds Mß der Fläche: µ ( ) e M d ( ) lim k e ( e) e Betrchtet wird h () sin( ) + b k h ist die um in y-richtung nch oben verschobene Sinusfunktion mit der Funktionsgleichung y sin () Es ergibt sich b Weitere Bedingung: π π π π π h( ) sin( ) + sin( ) Also ist h () sin() +

154 6 Hupttermin 5 Schchfigur:,5 V VLQ + d,5,5 VLQ + VLQ +,5 d Nebenrechnung (bechten Sie die Division durch die innere Ableitung):,5 VLQ d VLQ FRV,5 VLQ FRV + VLQ FRV VLQ FRV + VLQ FRV 68,,5,5,5 VLQd FRV,5,5,5 FRV+ FRV FRV FRV,,5, 5 d [ ] 7,7, 5,5 π π π Schchfigur: V [ VE] gesmt,

155 Hupttermin 5 7 Aufgbe A N A L Y T I S C H E G E O M E T R I E In der Ecke eines großen Museumsrums wurde für eine Kunstinstlltion entsprechend nebenstehender Drstellung ein dreieckiger Spiegel eingebut Ds bgebildete Koordintensystem soll der folgenden Aufgbe zu Grunde liegen Stellen Sie eine Koordintengleichung der Ebene e uf, in der der Spiegel liegt Wnd I Spiegel Wnd II Boden (Mögliches Ergebnis: + + ) Berechnen Sie ds Mß des Winkels, um den der Spiegel gegen den Boden geneigt ist Welchen Abstnd ht der Spiegel von der Rumecke? Wie groß ist ds Volumen des Körpers, der in der Ecke durch den Spiegel vom Rum bgetrennt wird? An der seitlichen Wnd I ist im Punkt P( ) ein Lser ngebrcht, der einen feinen Lichtstrhl ussendet Er ist so eingestellt, dss sein Strhl prllel zum Boden schräg uf den Spiegel fällt r Sein Verluf wird durch den Richtungsvektor u beschrieben Berechnen Sie die Koordinten des Punktes S, in dem der Lichtstrhl uf die Ebene e trifft (Zur Kontrolle: S( )) Begründen Sie, dss S uf der Spiegelfläche liegt Die Gerde durch die Punkte P und S wird n der Ebene e gespiegelt Bestimmen Sie eine Gleichung der Spiegelgerden

156 8 Hupttermin 5 Zwei Schüler A und B unterhlten sich über die Eigenschften dreier Vektoren r, b r und c r us 5, die lle verschieden vom Nullvektor sind Schüler A behuptet: Wenn bei den drei Vektoren r, b r und c r jeder zu jedem nderen orthogonl ist, dnn sind sie uch liner unbhängig voneinnder Schüler B behuptet: Es genügt bereits, wenn r b r und b r c r ist; dnn sind r, b r und c r liner unbhängig Zeigen Sie: Schüler A ht Recht und Schüler B irrt sich L ö s u n g e n Ecken des Dreiecks us dem Koordintensystem: A( ), B( ), C( ) r Drus erhält mn beispielsweise e: +λ +µ Mit und ergibt sich e: Koordintengleichung e:+ + r Winkelformel: cos(α) 9,9 Hierus ergibt sich ds Mß des Neigungswinkels α 76,7 Mit 9 ist die Hesse-Gleichung von e: Abstnd des Spiegels von der Rumecke: d(o;e) r 9 9,69 9

157 Hupttermin 5 9 Der bgetrennte Rum entspricht einer Pyrmide Für ds Volumen gilt: Elementre Lösung: V Â ÂPÂPÂP P³ Sptprodukt der Kntenvektoren: V Â 6 Â 6 Der Lichtstrhl verläuft längs der Gerden g: 6 (in m ) r +λ r ur u p Schnittmenge g e : +λ 9 57 λ λ 6 Einsetzen in die Gleichung von g: Der Schnittpunkt ist S( ) r s 6 + S ist ein Punkt der Spiegelfläche, d S sowohl uf e liegt, ls uch seine - und -Koordinten us [ ; ] und seine -Koordinte us [ ; ] sind Für den Ortsvektor des Spiegelpunktes P von P gilt: uur ur ur ur p l p, wobei l der Ortsvektor des Lotfußpunkts von P uf e ist Lotgerde von P uf e: h: r +λ { r r n p

158 Hupttermin 5 Schnittmenge h e : +λ λ λ ur ur r uur ur r ur ur r Aus l p n folgt dmit: p pn p p n r 7 Dmit erhält mn für die Spiegelgerde von g: g : + r r r p s p Rechnerischer Nchweis für die Aussge von A: r r r r Anstz: + b+ c PLW 5 Multipliziert mn diese Gleichung uf beiden Seiten sklr mit r, so ergibt sich us der prweisen Orthogonlität: r r r r r r r + { b+ { c r r Wegen folgt α Multipliziert mn obige Gleichung uf beiden Seiten sklr mit b r, ergibt sich us der prweisen Orthogonlität: r r r r r r r α { b+β b +γ b{ c β b r r Wegen b folgt β r r Durch Multipliktion mit c folgt uf die gleiche Weise uch γ rur Dies bedeutet, dss die Vektoren, b und r c liner unbhängig voneinnder sind

159 Hupttermin 5 Indirekter Beweis für die Aussge von A: Wenn die Vektoren liner bhängig voneinnder wären, ließe sich einer von ihnen (o B d A der Vektor r ) ls Linerkombintion der beiden nderen drstellen Also gibt es 5PLW r b r + c r Sklrmultipliktion mit r ergibt wegen der prweisen Orthogonlität: r + Ds ist ein Widerspruch, weil r nch Vorussetzung verschieden vom Nullvektor ist Widerlegung der Aussge von B: r b r und b r c r ist uch in einer Ebene möglich, wenn r prllel zu c r gerichtet ist In diesem Fll sind r, b r und c r jedoch liner bhängig; B ist lso widerlegt

160 Hupttermin 5 Aufgbe W A H R S C H E I N L I C H K E I T S T H E O R I E Am Strßenrnd sind genu vier Stellplätze für Personenkrftwgen vorhnden und mrkiert Arno, Bert, Christine und Doris prken in zufälliger Reihenfolge mit ihren Autos m Strßenrnd in Fhrtrichtung hintereinnder Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit, dss zwischen Arno und Bert genu ein nderes Fhrzeug prkt Jeder Fhrer und jede Fhrerin lesen den Kilometerstnd ihres Fhrzeugs b und notieren sich die Einerziffer des Kilometerzählers Berechnen Sie die Whrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: N: Alle Kilometerzähler zeigen die Einerziffer Null E: Alle Kilometerzähler zeigen die gleiche Einerziffer V: Alle Kilometerzähler zeigen verschiedene Einerziffern Bei der Produktion von Autoreifen sind erfhrungsgemäß % ller Reifen fehlerhft Vor dem Versnd werden zehn Reifen zufällig herusgegriffen und überprüft Berechnen Sie die Whrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A: Mindestens ein Reifen ist fehlerhft B: Höchstens zwei Reifen sind fehlerhft Berechnen Sie die Anzhl der Reifen, die mn mindestens herusgreifen muss, dmit mit mehr ls 95%iger Whrscheinlichkeit mindestens ein fehlerhfter Reifen dbei ist Ein Reifen gilt ls fehlerhft, wenn ds Ereignis D oder ds Ereignis G eintreten: D: Die Drhtrmierung des Reifens ist schdhft G: Der Gumminteil des Reifens ist fehlerhft Beide Ereignisse sind voneinnder unbhängig; die Whrscheinlichkeit für D ist,5% Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit für ds Ereignis G Aus der Produktion werden 6 Reifen herusgegriffen Die Zufllsgröße X beschreibe die Anzhl der fehlerhften Reifen und sei binomilverteilt Schätzen Sie mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyscheff b, wie groß die Zhl der fehlerhften Reifen mit mindestens 9%iger Whrscheinlichkeit höchstens ist

161 Hupttermin 5 Ev bietet Adm ein Spiel n: Ein Würfel, bei dem die Zhl Sechs mit einer Whrscheinlichkeit von, fällt, wird zweiml geworfen Adm beginnt jedes einzelne Spiel mit dem gleichen Strtkpitl 8 XQG würfelt zweiml Fällt eine Sechs, verdoppelt sich jeweils sein ugenblickliches Kpitl, ndernflls zhlt er DQ(YD Mit welchem Endkpitl knn Adm uf lnge Sicht rechnen? L ö s u n g e n 8 PA ( )! Möglichkeiten: A * B * * A * B B * A * * B * A zweiml zweiml zweiml zweiml Ω N, lso: P(N), E, lso: P(E), V 9 8 7, lso: P(V),5 Bernoulli-Kette mit der Länge n und der Trefferwhrscheinlichkeit p, P(A) P( lle Reifen in Ordnung ),97,66 P(B) P( kein fehlerhfter Reifen ) + P( ein fehlerhfter Reifen ) + P( zwei fehlerhfte Reifen ),,97 +,,97 9 +,,97,77 +,8 +,7,997 Anzhl der Reifen: n n (,) >,95,97 n <,5 Mn muss mindestens 99 Reifen herusgreifen log(,5) n > log(,97) 98,5 8

162 Hupttermin 5 D G und D unbhängig sind ist: P( GI D) P( G) P( D) P( G),5 Außerdem gilt: P( GUD), PG ( ) + PD ( ) PG ( ID) Also ist PG ( ),5 PG ( ) +,5 PG ( ),5, 985 P( G ) +, 5 D die Zufllsgröße X binomilverteilt ist, gilt für den Erwrtungswert und die Stndrdbweichung : µ n p 6, 8, σ n p ( p ) 6,, 97 7, 6 σ 7,6 Tschebyscheff: P( X µ < c) P( X 8 < c) c c 7,6 7,6 Es muss gelten:,9 c c, c, Also ist X 8 <, und dmit,8 < X <, Die Anzhl der fehlerhften Reifen beträgt höchstens Es liegt ein zweistufiges Zufllseperiment zu Grunde Die Zufllsgröße X beschreibe ds Endkpitl von Adm in Euro, 7 6,,9,9 6,,9 Whrscheinlichkeitsverteilung: 7 P(X ),8,9,9, Erwrtungswert: EX ( ), 8 +, 9 +, 9 + 7, 8 Adm knn uf lnge Sicht mit einem Endkpitl von 8 Euro rechnen

163 Nchtermin 5 5 Gegeben ist die Funktionenschr und k 5 k + + fk : D 5,, D Untersuchen Sie die Funktionen der Schr uf Polstellen und behebbre Definitionslücken Bestätigen Sie, dss für den Funktionsterm der zweite Ableitung jeder k + 6 Schrfunktion gilt: f k ( ), D ( ) Zeigen Sie, dss lle Funktionen der Schr genu einen Punkt gemeinsm hben Zeigen Sie, dss keine Funktion der Schr einen Wendepunkt besitzt 5 Untersuchen Sie für k die Funktionen der Schr uf Mimum- und Minimumstellen und geben Sie für k die Etrempunkte n 6 Bestimmen Sie für jede Funktion der Schr ihre Asymptote und geben Sie n, ob ds Schubild sich dieser Asymptote von oben oder von unten nähert Welche Funktion der Schr besitzt eine zur -Achse prllele Asymptote? 7 Bestimmen Sie die Funktion der Schr, welche die -Achse berührt Geben Sie die Koordinten des Berührpunkts n 8 Skizzieren Sie mit Hilfe der Informtionen us den vorhergehenden Aufgbenteilen ohne weitere Diskussion ds Schubild von f 9 Der Grph von f und die Gerde mit der Gleichung g: y schließen mit den Koordintenchsen im dritten Qudrnten eine Fläche ein Berechnen Sie die Mßzhl des Flächeninhlts fk : kk ; 5,, D und k f rotiere um die y-achse Gegeben ist die Funktionenschr [ ] k 5 Der Grph der Funktion Aufgbe A N A L Y S I S k Skizzieren Sie für k den zugehörigen Grphen ( Längeneinheit entspricht cm) Beschreiben Sie die Form des entstehenden Rottionskörpers in Abhängigkeit von k Bestimmen Sie k so, dss ds Volumen des Rottionskörpers ist

164 6 Nchtermin 5 L ö s u n g e n Gegeben ist die Funktionenschr k 5 k + + fk : D 5,, D und ist behebbre Definitionslücke, wenn gilt: k + + k ist Polstelle erster Ordnung, wenn gilt: k k k k + 6 Ableitungen: f k ( ) und f k ( ) ( ) ( ) Es seien m, n 5 mit m n Anstz: fm( ) fn( ) m+ + n+ + ( m n) m n Alle Kurven der Schr hben genu den Punkt P( ) gemeinsm k + 6 Bedingung: ( ) k : f ( ) für lle D, lso kein WP k f k : f ( ) für lle D, kein VZW von f '', lso kein WP k f k 5 Notwendige Bedingung: ( ) k k f k k k ( ) Fll k : f ( ) für lle D ( ) Es gibt keine Etremstellen Fll k > : k ( ) + k k > k k k + 6 f k ( + + ) > k + k lso Minimumstelle bei + + k für k >,

165 Nchtermin 5 7 k + 6 f k ( + ) > für k >, k + k lso Mimumstelle bei + k Dies bedeutet: Genu eine Mimum- und eine Minimumstelle für k > Für k : Minimumstelle bei, f () 8, lso T( 8) Mimumstelle bei, f (), lso H( ) + k Polynomdivision: ( k ):( ) k ( k ) Asymptote: f A mit f A () k + ( + k), 5 lim ( f ( ) f ( )) + k lim ( f ( ) f ( )) Für + : Für : k A lim + A lim k, wenn k >,, wenn k < + k, wenn k >, wenn k < Grph nähert sich Asymptote von oben, wenn k >, Grph nähert sich Asymptote von unten, wenn k < Grph nähert sich Asymptote von unten, wenn k >, Grph nähert sich Asymptote von oben, wenn k < Asymptote ist prllel zur -Achse Zählergrd Nennergrd k + Also: f ( ) + 7 Bedingung: f k ht n der Stelle doppelte Nullstelle Vorussetzung: k (Für k ht f k keine doppelte Nullstelle) k k ( + ) k k k k k k ( + ) k k Eine doppelte Nullstelle liegt n der Stelle wenn k ist ( ) vor, wenn k, d h k

166 8 Nchtermin 5 Gesuchte Funktion: f mit f ( ) Gesuchter Berührpunkt: B( ) µ(a) f ( ) d Flächeninhlt der Dreiecksfläche (Vgl Schubild) + + d + + d ln( ) 6 ( ) ln,6 ( ) (Vgl Zerlegung von f () in 6)

167 Nchtermin 5 9 Es entsteht eine Schle (in Form eines Rottionsprboloids) mit dem Rdius k und der Höhe, die mit wchsendem k breiter und flcher wird k V k π π k k dy k y dy k k y k π π V für k π

168 Nchtermin 5 Aufgbe A N A L Y T I S C H E G E O M E T R I E Die Skizze (nicht mßstäblich) vernschulicht einen Husnbu (Pvillon) S R Dbei sind die Punkte P(8 5), A(8,5), B( 8,5), R( 8 5 ) und S( 9) Eckpunkte des Dchs (Einheit: m) P A Q B Ermitteln Sie eine Koordintengleichung für die Ebene, in der der Dchflächenteil PRS liegt Begründen Sie rechnerisch, dss ds Viereck ABRP ein gleichschenkliges Trpez ist Ermitteln Sie den Flächeninhlt dieses Dchteils ABRP Die Dchflächenteile PRS und PABR sind gegeneinnder geneigt Berechnen Sie ds Mß des Winkels, den sie miteinnder bilden 5 Oberhlb des Dchs verläuft ein Blken B B mit den beiden Punkten B ( 7) und B ( 7) Vom Mittelpunkt des Blkens wird ein Seil senkrecht zur Dchfläche PRS gespnnt Berechnen Sie den Punkt Z, in dem ds Seil m Dch befestigt wird, und die Länge des Seils 6 Berechnen Sie ds Volumen der Pyrmide PRTS mit T( 5) sowie ds Volumen des Rums zwischen der Dchfläche PRS und dem Boden ( - - Ebene) Beweisen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung: In jedem Prllelogrmm ist die Summe der Inhlte der Qudrte über den vier Seiten genu so groß wie die Summe der Inhlte der Qudrte über den beiden Digonlen

169 Nchtermin 5 ) L ö s u n g e n 8 uur SP uur, SR 8 uur uur ; SP SR 6, lso e: r ( ) (PNF) 9 Koordintenform der Ebenengleichung: e: uuur PR 8 uuur, AB 5 uuur uuur Offensichtlich sind PR, AB liner bhängig, so dss ds Viereck ABRP ein Trpez ist uuur uuur, uuur uuur, 7,75,75 b) PA RB PA RB Ds uuur Trpez uuur ist lso gleichschenklig und kein Prllelogrmm, d PAund RB liner unbhängig sind Der Flächeninhlt des Trpezes uuur ABRP uuur ist hlb uuur so groß wie der eines Prllelogrmms, erzeugt von AB+ PR und AP, lso uuur uuur uuur µ ( ABRP) ( AB + PR) AP Andere Möglichkeit: Summe der Inhlte der Dreiecke PAR und ABR: uuur uuur uuur uuur µ ( ABRP) PA PR + AB BR Weitere Möglichkeit (elementr): uuur uuur uuuuuuuuur µ ( ABRP) ( PR + AB ) M PRM AB, wobei M PR ( 5) und M AB (5,5 5,5,5) die Mittelpunkte der entsprechenden Strecken sind

170 Nchtermin 5 Ds Trpez ABRP ist gleichschenklig Ds Dreieck PRS uch: 8 uuur PS uuur 5 ; RS 8 5 uuuuuur uuuuuuuuur Gesucht ist dher ds Mß GHV:LQNHOV]Zischen MPRS und MPRM AB,5 uuuuuur MPRS uuuuuuuuur ; MPRM AB,5,75,5,5,75,75 5 cos( α ) DOVR Û,5,5 9,5,75 5 ) Der Blkenmittelpunkt ist M(5/5/7); ds Seil verläuft entlng der Gerden s durch M senkrecht zu e us : 5 r r s : 5 + α, α 5 7 b) s e {Z} 5 Einsetzen: ( 5 +α ) 8 + 6α 8 α 7 Drus folgt Z( 5) c) Seillänge: uuur MZ 6 Ergebnis: Ds Seil wird in Z( 5) befestigt und ist etw,5m lng

171 Nchtermin 5 6 Die Pyrmide ht ls Grundfläche ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit der Kthetenlänge 8 m Sie ht eine Höhe von m Also: V 8 8m 8m m m Der Rum zwischen der Fläche PRT und dem Boden ist ein dreiseitiges Prism, wobei die Grundfläche ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit der Kthetenlänge 8 m ist Die Höhe des Prisms beträgt 5 m Also: 8m 8m 5m 6m V und gesmt V V + V m Vorussetzung: uuur uuur r D AB DC, uuur uuur r AD BC b b r A Beweis: uuur r r uuur r r AC + b, DB b uuur AC + uuur uuur uuur DB AC + DB r r uur r ( + b) + ( b) r r r r r + b+ b + r r b r + b r + r b uuur AB + uuur BC uuur AB uuur + DC + uuur BC + uuur AD Vor B C

172 Nchtermin 5 Aufgbe W A H R S C H E I N L I C H K E I T S T H E O R I E Personen, Fruen und Männer, setzen sich in zwei nummerierten Reihen uf je 7 Stühle Wie viele Sitznordnungen gibt es, wenn nur nch Fruen und Männern unterschieden wird, und in jeder Reihe genu Männer sitzen? die Männer nebeneinnder sitzen? uf höchstens einem der vier Rndplätze ein Mnn sitzt? % ller Kunden eines Kufhuses sind männlich, % ller Kunden sind Rucher und 5% ller Kunden sind weiblich und ruchen nicht Untersuchen Sie, ob die beiden folgenden Ereignisse stochstisch unbhängig sind: M: Ein zufällig usgewählter Kunde ist männlich R: Ein zufällig usgewählter Kunde ist Rucher Ein zufällig usgewählter Kunde ist Nichtrucher Mit welcher Whrscheinlichkeit ist der Kunde männlich? Ein Glücksrd ist in die beiden Sektoren und eingeteilt Bei einem Spiel wird ds Rd zweiml gedreht Der Einstz beträgt 6 Tritt Sektor zweiml uf, so werden dem Spieler DXsgezhlt, tritt Sektor zweiml uf, so erhält er 8 DXVJH]DKOW In llen nderen Fällen wird nichts usgezhlt Sektor trete mit der Whrscheinlichkeit p uf ( p ] ;[ ) Die Zufllsgröße G beschreibe den Gewinn des Spielers Geben Sie ein Bumdigrmm des Spiels sowie die Whrscheinlichkeitsverteilung von G in Abhängigkeit von p n Bestimmen Sie die Whrscheinlichkeit für ds Auftreten des Sektors, so dss ds Spiel fir ist Eine Schule möchte einen Bistrobetrieb einrichten Wie groß müsste der Anteil (in %) der Bistronutzer unter den Schülern mindestens sein, dmit von 5 zufällig usgewählten Schülern mit einer Whrscheinlichkeit von mindestens 98% mindestens einer ds Bistro ufsucht?

173 Nchtermin 5 5 L ö s u n g e n 7 Je Reihe: Möglichkeiten 7 7 Insgesmt: + 8 Möglichkeiten Möglichkeiten Fll: Kein Mnn sitzt m Rnd (d h Je zwei Fruen sitzen m Rnd ) Oder Es gibt zehn Mittelplätze für vier Männer : Fll: Genu ein Mnn sitzt m Rnd [ 5] Oder 8 Insgesmt: Möglichkeiten Bumdigrmm P R Gegeben: P(M), P(R), P(W R),5 Bestimmung der Whrscheinlichkeiten:,,6 M W P P R R P( W R) P( W) P( R W),5,6 p p,75 P R Dmit ist p,5 PR ( ) PM ( ) PRM ( ) + PRW ( ) PW ( ),, p +,6,5 p,75 Dmit ist p,65

174 6 Nchtermin 5 PM ( R),,75,5 Also gelten: PM ( ) PR ( ),,, D P( M I R) P( M) P( R) ist, sind die Ereignisse M und R bhängig Alterntive (ohne Bumdigrmm): P(M),, P(R), und P( M R ),5 Aus PM ( R) PM ( R) PM ( R),5,55 folgt: PM ( R) PM ( ) + PR ( ) PM ( R), +,,55,5 Weiter gilt: PM ( ) PR ( ),,, D P( M I R) P( M) P( R) ist, sind die Ereignisse M und R bhängig PM ( I R),,65,,65 PMR ( ),57 PR ( ) PR ( ),7 Bumdigrmm: Gewinne/Verluste p -p p 6 -p p 6 -p Whrscheinlichkeitsverteilung von G: g i 6 P(G g i ) p ( p) ( p) p

175 Nchtermin 5 7 E(G) 6 PG ( 6) + PG ( ) + PG ( ) p ( p) ( p) p 8p 6 p+ Es ergibt sich: p + 7 p 7, p,78 p,55 Bernoulli-Kette mit der Länge n 5 und der Trefferwhrscheinlichkeit p: P(T ),98 PT ( ), p ( p),98 ( 5 p), p 5, p 5, Der Anteil der Bistrobenutzer müsste mindestens 7,5% betrgen

176 8 Nchtermin 5

177 Aufgbentete und Lösungen der schriftlichen Abiturprüfung im Srlnd 6

178

179 Hupttermin 6 Aufgbe A N A L Y S I S Durch die Gleichung f b, ( + b) ( ) + D m 5 \ gegeben eine Funktionenschr mit { } Rechnen Sie nch: b fb, ( ) Geben Sie eine Gleichung der Asymptotenfunktion zu f b, n mit 5 und b 5 ist Untersuchen Sie die Lge des Grphen von f b, bezüglich der Asymptote für und für in Abhängigkeit von b Erläutern Sie begründet, welche Auswirkung eine Veränderung des Prmeters uf den Grphen von f b, ht (Hinweis: Nutzen Sie ) b 5 Bestätigen Sie, dss für die Ableitung von f b, gilt: f b, ( ) ( + ) 6 Bestimmen Sie b so, dss der Grph von f b, n der Stelle eine wgrechte Tngente besitzt 7 Untersuchen Sie, welche Art von Etremum die Funktion f, n der Stelle ht, und geben Sie die Koordinten des Etrempunktes n 7 Ds in 7 bestimmte Etremum ist ds einzige Etremum der Funktion f, Untersuchen Sie nch dieser Vorgbe ds Monotonieverhlten der Funktion f, 8 Bestimmen Sie so, dss der Grph von f, durch den Koordintenursprung verläuft Betrchten Sie nun die Funktion f,, die im Folgenden mit f bezeichnet wird 9 Notieren Sie die Funktionsgleichung von f und weisen Sie nch, dss f ußer keine Nullstellen ht Untersuchen Sie ds Verhlten von f n der Definitionslücke Zeichnen Sie mit den bisher gewonnenen Ergebnissen den Grphen von f und den Grphen der zugehörigen Asymptotenfunktion in ein geeignetes Koordintensystem Untersuchen Sie, ob die im Qudrnten liegende Fläche zwischen dem Grphen von f und dem Grphen der Funktion p mit der Gleichung p ( ) + ein (endliches) Mß besitzt

180 Hupttermin 6 Ein zylinderförmiges Gls mit einem Durchmesser von 6 cm enthält Wsser Dieses Gls wird so in Rottion versetzt, dss kein Wsser überläuft und ds Wsser n der tiefsten Stelle der Wsseroberfläche cm hoch steht Der Verluf der Wsserlinie wird dbei (in einem Längsschnitt durch die Rottionschse) durch p() + beschrieben (Längeneinheit: cm uf beiden Achsen) Fertigen Sie eine pssende Skizze n und berechnen Sie die im Gls enthltene Wssermenge Eine Funktion h sei zweiml differenzierbr und hbe die Nullstelle mit h ( ) h( ) Betrchten Sie nun die Funktion g: Dg 5 mit g( ) : h ( ) Zeigen Sie, dss die Funktion g uch die Nullstelle besitzt Wählen Sie eine Funktion h, die bei eine Nullstelle ht und obige Vorussetzungen erfüllt, und ermitteln Sie ds Mß des Schnittwinkels zwischen dem Grphen der zugehörigen Funktion g und der -Achse Sei h nun eine beliebige Funktion, die obige Vorussetzungen erfüllt Ermitteln Sie ds Mß des Winkels, unter welchem der Grph von g die -Achse n der Stelle schneidet L ö s u n g e n ( + b) Gegeben ist die Funktionenschr fb, ( ) + Polynomdivision ergibt: b b fb, ( ) Alterntive: Ausmultiplizieren Gleichung der Asymptote: y + Untersuchung des Vorzeichens des Terms Œ : Für b > liegt Œ : Für b > liegt b + liefert für G f, b oberhlb, für b < unterhlb der Asymptote G f, b unterhlb, für b < oberhlb der Asymptote

181 Hupttermin 6 b fb, ( ) Mit ist eine dditive Konstnte Eine Veränderung von bewirkt lso eine Verschiebung von G in y-richtung f, b b + fb, ( ) + + b ergibt sich unmittelbr f b, ( ) ( + ) 6 Bedingung für wgrechte Tngente n der Stelle : f b, ( ) b f b, ( ) b 7 Art des Etremums: Vorzeichenwechsel von f, : + (oder f ( ), > ) lso ist T( + ) Tiefpunkt 7 Vorzeichentbelle für f, : f, ( ) + + Monotonieverhlten: f ist streng monoton fllend in ] ; ] f ist streng monoton wchsend in [ ; [ und in ] ; [ 8 Bedingung dfür, dss f, () G f, durch den Koordintenursprung verläuft: f, ( ) f( ) Nullstellenbestimmung: f + + ( ) ( ) ( ) ( ) +,5 +, 5 < Verhlten von f, n der Definitionslücke : lim f( ) ; lim f( ) +

182 Hupttermin 6 Grph M p f d lim ( ) z z [ ln( ) ] lim( ln( z ) ln() ) d + lim + + z z Die beschriebene Fläche besitzt lso keine endliche Mßzhl z p ( ) + Skizze: y 5

183 Hupttermin 6 5 Lösungsmöglichkeit: ( ) V pd + d ( ) Ds Gls enthält etw, cm Wsser Lösungsmöglichkeit: V p d d ,5 Lösungsmöglichkeit: y y y + ( ) 6,5 6,5 V dy y dy ( ) ( ) 6,5 58,5 y y 58,5 h ( ) Nch Vorussetzung ist h ( ), lso gilt g ( ) h ( ) h ( ) Eine mögliche Lösungsfunktion: h mit h ( ) + Dbei ist Nullstelle und es gilt ( ) h + Dnn ist g( ) + und g ( ), d h der Grph von g schneidet die - Achse unter einem Winkel von 5 Für g mit h( ) g ( ): gilt: h ( ) ( h ) ( h ) h ( ) h ( ) h( ) h ( ) ( ) g ( ) Dmit folgt: tn ( ϕ) ϕ 5 ( h ( ) ) ( ) Dies bedeutet, dss der Grph von g die -Achse unter einem Winkel von 5 schneidet

184 6 Hupttermin 6 Aufgbe A N A L Y T I S C H E G E O M E T R I E Zwei Pssgierflugzeuge F und F fliegen entlng gerdliniger Flugbhnen über ein ebenes Gelände hinweg (Längeneinheit: km) Flugzeug F fliegt durch E( ) in Richtung Westen prllel zum Erdboden Die Flugbhn des Flugzeuges F verläuft von G( 5) N nch H( 5 ) Ds Koordintensystem ist dbei wie folgt festgelegt: W O Die -Achse zeigt nch Osten, die -Achse nch Norden uf der Bodenfläche; die -Achse zeigt senkrecht nch oben S Ermitteln Sie Gleichungen für die Flugbhnen der beiden Flugzeuge Begründen Sie, dss sich ds Flugzeug F im Sinkflug befindet, und ermitteln Sie, in welche Himmelsrichtung es fliegt Berechnen Sie ds Mß des Sinkwinkels von Flugzeug F, wobei der Sinkwinkel der Winkel zwischen der Flugrichtung von F und der Horizontlen ist Können die beiden Flugzeuge kollidieren? Flls nicht, wie nh können sie sich im ungünstigsten Fll kommen? In einem krtesischen Koordintensystem sind die Punkteschr A k (k k) (k 5) sowie die Punkte B( ) und C( ) gegeben Bestimmen Sie k so, dss A k, B und C uf einer Gerden liegen Für k bildet jeder Punkt A k mit den Punkten B und C ein Dreieck Zeigen Sie, dss ds Dreieck A k BC einen Flächeninhlt von k + (FE) ht Ermitteln Sie lle k 5, so dss ds Dreieck A k BC einen Flächeninhlt von,5 (FE) besitzt Weisen Sie nch: Die Höhe h des Dreiecks A 5 BC liegt ußerhlb des Dreiecks

185 Hupttermin 6 7 L ö s u n g e n F hbe die Gerde f ls Flugbhn, f nlog Mit E( ) ls Aufpunkt und ls Richtungsvektor bzw G ls Aufpunkt und GH uuur ls Richtungsvektor ergibt sich: r r f : + 5 und f : Ds Flugzeug F fliegt von G nch H; die Koordinte der Flugbhnpunkte gibt die Höhe über dem Erdboden n Die Koordinte von H ist und dmit kleiner ls die Koordinte 5 von G, so dss ds Flugzeug n Höhe verliert Die senkrechte Projektion des Richtungsvektors in die --Ebene, lso bestimmt die Himmelsrichtung, in die F fliegt F fliegt lso nch NW Der Sinkwinkel Rσ ist der Winkel zwischen dem Richtungsvektor von f und seiner in ermittelten Projektion Dmit folgt: 8 8 cos( σ ) 66, lso σ, Der Sinkwinkel knn uch ls Winkel zwischen der --Ebene und der Gerden h betrchtet werden Dnn ergibt sich: sin( σ ), lso σ, Alterntive: Winkel zwischen Flächen- und Rumdigonlen eines Quders Elementrgeometrisch dnn: tn( σ ), lso σ, 6 +6 Der Sinkwinkel ht ein Mß von

186 8 Hupttermin 6 D die Richtungsvektoren der Gerden f und f offensichtlich liner unbhängig sind, hben f und f entweder genu einen Schnittpunkt oder sie meiden einnder Zu lösende Vektorgleichung: +α + β 5 α β α β β β β Ds Gleichungssystem ist unlösbr, mithin sind f und f windschief, so dss für die Flugzeuge kein Zusmmenstoß zu erwrten ist Gesucht: Abstnd d(f, f ) Betrchte dzu die Ebene e, die f enthält und prllel zu f verläuft: r e: r r 8 e: ( ) e: (HNF) 7 7 Dmit folgt für den gesuchten Abstnd: d( f, f) d( G, e) 8, Im ungünstigsten Fll nähern sich die Flugzeuge uf etw 78 m uuuur uuur A k, B und C liegen genu dnn uf einer Gerden, wenn AkB, BC liner bhängig sind k k uuuur uuur AkB, BC + k ( + k) uuuur uuur Offensichtlich sind AkB, BC vom Nullvektor verschieden und nur dnn Vielfche voneinnder, wenn k (Nur ein Punkt der Gerdenschr, nämlich A - ( ) liegt uf der Gerden BC) Für den Flächeninhlt des Dreiecks A k BC gilt: k k uuuuur uuur V$ k%& $ k% %& k k + + k k k ( k+ ) k ( k ) k k k ( k+ )

187 Hupttermin k+ k+ k+ k+ k k 5 (Genu Dreiecke der Schr hben einen Flächeninhlt von,5 (FE), nämlich VA BC und V A BC ) 5 Ds Lot von A 5 uf BC liegt genu dnn ußerhlb des Dreiecks, wenn der Innenwinkel bei B oder bei C stumpf ist Dies trifft nur dnn zu, wenn gilt: uuuuur uuur uuuuur uuur BA BC < CA CB < uuuuur uuur Es ist: BA 5 BC 6 7 < 8 Eine Alterntive uuur uuur Von A -5 ds Lot uf BC fällen, Lotfußpunkt F ermitteln, BF mitbc vergleichen: Lotebene e senkrecht zu BC durch A -5 5 r e: ( ) Wir berechnen den Schnittpunkt von e mit der Gerden BC: e BC { F} 5 ( Dmit ergibt sich F( 6 8) und es folgt: 6 6 uuur uuur BF BC 8 6 uuur uuur D BF und BC entgegengesetzt orientiert sind, liegen die Punkte in der Reihenfolge F B C uf der Gerden BC, F liegt lso ußerhlb der Dreieckseite BC und die Höhe A-5F ußerhlb des Dreiecks (Oder: Die Strecke BF ist lso drei Ml so lng wie die Seite BC ; demnch liegt F ußerhlb der Strecke BC )

188 Hupttermin 6 Aufgbe W A H R S C H E I N L I C H K E I T S T H E O R I E In einer Firm soll ein Einstellungstest durchgeführt werden Die Personlchefin, Fru Boss, möchte, dss 9 Bewerber zum Test kommen Ihrer Erfhrung nch erscheint ein eingeldener Bewerber mit einer Whrscheinlichkeit von 5% nicht zum Test Dher lädt sie Bewerber ein Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit, dss mindestens 9 Bewerber zum Test erscheinen Fru Boss ist zufrieden Genu 9 Bewerber sind gekommen: 5 Fruen und Männer Die Bewerber pssieren den Eingngsbereich ncheinnder und trgen sich dbei in eine Liste ein Wie viele mögliche Reihenfolgen gibt es, wenn sich n erster und letzter Stelle der Liste ein männlicher Bewerber einträgt? Um die Temfähigkeit der Bewerber zu beurteilen, soll ein Bllspiel stttfinden Dzu bilden die Bewerber zwei gleich große Gruppen Einer wird Schiedsrichter Wie viele verschiedene Mnnschftseinteilungen gibt es? Hndys werden uf technische Mängel und uf Beschädigungen m Gehäuse überprüft Im Mittel hben von Hndys einen technischen Defekt und einen Gehäuseschden, 97 sind technisch einwndfrei und bei 95 ist ds Gehäuse nicht zu benstnden Ein Hndy wird zufällig herusgenommen Es gelte: R: Hndy ist technisch in Ordnung, S: Gehäuse des Hndys ist in Ordnung Berechnen Sie: P(R S) P(R S) P(R S) P(R S) 5 P ((R S) (R S) ) Die Kioskbesitzerin Id weiß us Erfhrung, dss % ihrer Kunden Vollkornbrötchen kufen, wobei % von diesen mit dem Fhrrd kommen Außerdem weiß sie, dss % ller Kunden weder Vollkornbrötchen kufen noch mit dem Fhrrd kommen Überprüfen Sie, ob die folgenden Ereignisse unbhängig sind: V: Kunde kuft Vollkornbrötchen, F: Kunde kommt mit dem Fhrrd Wie viele hintereinnder nkommende Kunden muss mn wenigstens beobchten, um mit einer Whrscheinlichkeit von mehr ls 99% mindestens einen zu finden, der Vollkornbrötchen kuft? Stmmkunde Adi schlägt Id ein Spiel vor: Id zhlt Adi einen Einstz von 5 XQG HUKlOW JHQDX GDQQ HLQH $XV]DKOXQJ ZHQQ GHU nächste Kunde ein Vollkornbrötchen kuft Ist dieser Kunde mit dem Fhrrd gekommen, so wird der Auszhlungsbetrg verdoppelt Wie hoch muss die jeweilige Auszhlung n Id sein, wenn Adi im Mittel 8 Cent gewinnen will?

189 Hupttermin 6 L ö s u n g e n Bernoullikette der Länge mit p,95: P(T 9) P(T 9) + P(T ) + P(T ) 9,95, 5 +,95, 5 +,95 9, 867 +,9 +,5688,988 Um den ersten Pltz mit einem Mnn zu besetzen, gibt es vier Möglichkeiten, für den letzten Pltz bleiben dnn noch drei Möglichkeiten; die Plätze dzwischen können uf 7! Arten besetzt werden: ("Mnn" "Mnn") Mög lichkeiten Insgesmt: 7! 68 Es gibt 7! Möglichkeiten Mög lichkeiten 9 8 : 6 : 5 Möglichkeiten Aus dem Tet erschließen sich folgende Informtionen: P(R S),; P(R),97 ; P(S),95 Eine Alterntive: Ein Venn-Digrmm (eine Vierfeldertfel), us dem (der) die Whrscheinlichkeiten ersichtlich werden P(R S) P(R S) P(R S),,99 P(R S) P(R) + P(S) P(R S),97+,95,99,9 P(R S) P(S) P(R S),95,9, P(R S) P(R) P(R S),97,9 P(R S),8 P(S) P(S),5 5 P ((R S) (R S) ) ( ) P (R S) (R S) P(R S) P(R S),9,99 P(R S),99

190 Hupttermin 6 Es bedeute: V: Der Kunde kuft Vollkornbrötchen F: Der Kunde kommt mit dem Fhrrd zum Kiosk Gegeben: P(V),; P(F V), ; P(V F), Um den Bum smt Whrscheinlichkeiten ngeben zu können, muss zunächst P(F V) berechnet werden: P(V) P(F V) P(V F) P(F V),:,7,6, F, V,6 F,7 V, F,6 P(F) P(V F) + P(V F),,+,7,,+,8, F Untersuchung der Unbhängigkeit: P(V) P(F),,, ; P(V F),,, (Bum) Wegen P(V) P(F) P(V F) sind die Ereignisse V und F unbhängig Die Zufllsgröße X beschreibt die Anzhl der Kunden, die Vollkornbrötchen kufen X ist binomilverteilt mit p, PX ( ) >,99 PX ( ) >,99 PX ( ) >,99 n,7 >,99 n,7 <, n ln(,7) < ln(,) n >,9 Es müssen wenigstens Kunden beobchtet werden Einstz: 5 Auszhlung: P(V F) + P(V F), +,8, Der Reingewinn (Einstz Auszhlungsbetrg) soll 8 c betrgen: 5,,8,, Die Auszhlung n Id beträgt E]Z

191 Nchtermin 6 Aufgbe A N A L Y S I S Gegeben ist die Funktionenschr f :, ln( ) 5 5 mit 5 Zeigen Sie, dss für den Funktionsterm der zweiten Ableitung gilt: f ( ) ln + 6 ( ) Untersuchen Sie die Grphen der Schr uf einfche Symmetrie Untersuchen Sie die Grphen der Schr uf gemeinsme Punkte Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionenschr und erläutern Sie, wie sich die Lge der Nullstellen mit wchsendem verändert 5 Ermitteln Sie eine Gleichung der Ortskurve, uf der lle Etrempunkte der Schr liegen 6 Geben Sie die Grenzwerte von f und f n den Rändern des Definitionsbereichs n 7 Bestimmen Sie nun so, dss der Grph der Funktion f us der -Achse eine Strecke der Länge e herusschneidet 8 Skizzieren Sie mit den Informtionen us den vorhergehenden Aufgbenteilen den Grphen von, d h den Grphen von f mit f e 9 Skizzieren Sie den Grphen einer weiteren Funktion f der Schr für ein > in Ihr e Koordintensystem us Teil 8 unter Bechtung der Aufgbenteile bis 6 Die Funktion f ( ), flls e g: 5 5, ergänzt, flls e f stetig Der Funktionsgrph von g schließt mit der -Achse eine Fläche ein Berechnen Sie ds Mß dieser Fläche e

192 Nchtermin 6 In nebenstehender Abbildung sehen Sie den Längsschnitt eines kreisrunden Sektkelches, dessen seitliche Ränder durch eine Funktion der Schr k mit ( ) k ( ) ln 6 + y beschrieben werden G k Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Funktion Verwenden Sie nun e Der Kelch ist bis zur gestrichelten Linie mit Orngensft gefüllt Berechnen Sie, wie viel Orngensft der Kelch enthält Wie viel Prozent mehr Orngensft ist nötig, um ds Gls bis zum Rnd zu füllen? Gegeben ist eine stetige Funktion h: 5 5 und b 5, Beweisen oder widerlegen Sie: b h( ) d h( ) d b

193 Nchtermin 6 5 L ö s u n g e n Gegeben ist die Funktionenschr f :, ln( ) f ( ) ln ( ) + ln ( ) + ( ) ( ) f ( ) ln + + ln + 6 Für lle 5 gilt: 5 5 mit 5 ( ) ( ) f f ( ) ( ) ln ( ) ln ( ) G ist symmetrisch zur y-achse f Seien, 5 + mit ( ) ( ) ( ) ln ( ) f ( ) f ( ) ln ln ln ( ) ( ) D Zwei unterschiedliche Funktionen der Schr hben keine gemeinsmen Punkte ( ) > f ( ) ln Mit wchsendem wird 5 f ( ) ( ) ( ) ln + ± kleiner, d h die Nullstellen wndern ufeinnder zu > ln e Also gibt es höchstens zwei Etrempunkte E ( e e ) e ± e Gleichung der Ortskurve ller Etrempunkte: y 6 lim f ( ), lim f ( ) ; ± ± lim f ( ), lim f ( ) ± ± 7 Wegen der Symmetrie zur y-achse folgt, dss die Nullstellen ± e sein müssen e Dmit folgt: e

194 6 Nchtermin 6 8 f ( ) ln( ) e Definitionslücke: e Gf e y zu 9 Nullstellen: ± e Tiefpunkte: ( ) ( ) T e e T e e 9 siehe 8 (gestrichelte Kurve) g g e M gd e prtielle g g Integrtion ( ) ln ( ) e e e e ln d d g g g g ( ) ln ( ) ln e 9 e 9 g g G ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M GeG e H + H H g g Alterntiver Anstz: M lim gd ( ) z z e ( ) liegt uf G k () ln + 6 ln ( ) e k, d h ( ) Gleichung der Funktion: ( ) Lösungsmöglichkeit: k ( ) ln + 6 e ( ) ( ) y ln + 6 ln e e y 6 y 6 e e e y 5 5 y y 5 V dy e dy e 6 6 e 6,5 ( e e ) Der Kelch enthält etw 8 cm (VE) Orngensft

195 Nchtermin 6 7 Lösungsmöglichkeit: k ( ) 5 e, k ( ) 6 e,75 e e,75,75 e e e e V k d d 6 6,5 dy e y ( ) V H H 5 V 65% V Es ist etw 65% mehr Orngensft nötig 5,75 e e,5 ( ) H H Die Aussge ist flsch Gegenbeispiel: Sei h(), I [ ; ] und dmit d, ber d d

196 8 Nchtermin 6 Aufgbe A N A L Y T I S C H E G E O M E T R I E Ein Rthus besteht us einem Quder mit ufgesetztem Wlmdch (siehe Skizze; Mße in Meter) Drei Knten des Rthuses liegen uf den Koordintenchsen; die Bodenfläche liegt in der horizontlen -y-ebene E z D S T F M M G Gegeben sind die Punkte D ( 5 ), E ( 8 5 ), F ( 8 5 ), G ( 5 ), T ( 7 ) A O B C y Berechnen Sie den Winkel zwischen dem Dchboden DEFG und der Dchfläche FGT Eine Mobilfunkntenne M M der Länge m steht senkrecht uf dem Dchboden und durchstößt ds Dch im Schwerpunkt der Dchfläche FGT Ermitteln Sie die Koordinten der Antennenspitze M Welchen Abstnd ht die Spitze M ( 9 9 ) der Antenne von der Dchfläche FGT? Neben dem Rthus steht im Punkt F ( 7 ) ein m hoher senkrechter Fhnenmst Von der Spitze F dieses Fhnenmstes soll ein Seil zum Punkt T des Wlmdches gespnnt werden (Der Verluf des Seiles soll ls gerdlinig ngenommen werden) Zeigen Sie, dss diesem Seil eine Antenne mit der Spitze M ( 9 9 ) nicht im Weg ist Der Vektor 7 gibt die Richtung des einfllenden Sonnenlichtes n Zeigen Sie, dss der Schtten des Fhnenmstes F F us Teilufgbe eine Rthuswnd trifft Berechnen Sie die gesmte Länge des Schttens r Ein Prllelogrmm werde von zwei gleich lngen Vektoren und b r erzeugt Weisen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung nch, dss eine Digonle einen Innenwinkel hlbiert

197 Nchtermin 6 9 L ö s u n g e n r Normlenvektor des Dchbodens DEFG: n r r r r r r Dchfläche FGT: u f t, v g t, 6 6 r r r r n u v 8 ; wähle n r r n n Dmit folgt: cos ( ϕ) r r ϕ 6, n n 5 Eine Alterntive: elementrgeometrisch: tn ( ϕ) ϕ 6, r r Schwerpunkt des Dreiecks FGT: sd ( f g t ) 6 r M liegt in der Ebene DEFG (z-koordinte 5) und lotrecht unter S D : M ( 9 5) D die Antenne senkrecht zu DEFG verläuft und m lng ist, folgt M ( 9 9) r r Ebene FGT: 55 5 HNF von FGT: 55 r d (M,FGT) 9, Der Abstnd beträgt etw 9 cm r

198 Nchtermin 6 Gerde FT: r Strecke MM : Schnittpunkt: r ;, Wegen! trifft FT die Antenne nicht Eine Alterntive: FT MM { S( 9,) }; Vergleich der z-komponenten von S und M:, > 9 Der Schtten knn nur die Wnd BCFG treffen: e W : r r Schnittpunkt: Es folgt: F (5 ) 7 + Zu F gehöriger Fußpunkt: F (5 ) Länge des gesmten Schttens: uuuur uuuur F F + FF Die Länge des gesmten Schttens beträgt etw 9 m

199 Nchtermin 6 r Vorussetzung: erzeugende Vektoren und b r Bezeichnungen: r Digonle: + b r Behuptung: r mit b r S r S r r r r r, ( + b) ( b + b) Beweis: r r r r r r r ( + b) + b cos ( r r α r r r r + b + b α r r r r r r r b ( + b) b + b b r cos ( r r r r r r b + b b + b r Die Nenner stimmen überein wegen b r, die Zähler wegen r r r r r r r r r r b b b sowie b b, lso b r

200 Nchtermin 6 Aufgbe W A H R S C H E I N L I C H K E I T S T H E O R I E Ds Bistro einer Gnztgsschule plnt ds Mittgessen Erfhrungsgemäß isst jeder Schüler in der Mittgspuse genu eines der drei ngebotenen Gerichte mit folgenden Whrscheinlichkeiten: N: Nudelgericht S: Suppe mit P(N),65 mit P(S),5 mit P(V), V: vegetrisches Gericht Der Pächter geht dvon us, dss die Entscheidung für eines der Gerichte jeweils unbhängig erfolgt Mit welcher Whrscheinlichkeit isst ein zufällig usgewählter Schüler n zwei ufeinnder folgenden Tgen ds gleiche Gericht? Berechnen Sie die Whrscheinlichkeit, mit der ein zufällig usgewählter Schüler von Montg bis Freitg: A: immer Nudeln isst, B: vierml Nudeln und einml Suppe isst, C: niemls vegetrisch isst Nun wird ds Whlverhlten der ersten Schüler bei der Essensusgbe beobchtet Mit welcher Whrscheinlichkeit wählen mindestens zwei der Schüler ds vegetrische Gericht? Dmit die Essensusgbe geordnet verläuft, müssen sich die Schüler (Tom und weitere us der Oberstufe, der Rest us der Unterstufe) der Reihe nch ufstellen Wie viele verschiedene Reihenfolgen für diese Aufstellung gibt es, wenn die Unterstufenschüler zuerst drnkommen? Zum Geschirrbräumen werden der Schüler usgelost Mit welcher Whrscheinlichkeit brucht Tom nicht bzuräumen? 5 Um ds Verhlten bei der Essenswhl noch besser beurteilen zu können, führt der Pächter eine Sttistik Dbei stellt er für Tom Folgendes fest: Vegetrisches Essen rührt er nicht n Ht sich Tom einml für Suppe entschieden, so greift er m Tg druf mit % wieder zur Suppe Nch Nudeln dgegen entscheidet er sich nur zu % für Suppe m Folgetg 5 Gestern wr Dienstg und Tom ht Nudeln gegessen Mit welcher Whrscheinlichkeit isst Tom m Donnerstg Suppe? 5 Heute ist Donnerstg und Tom isst Nudeln Mit welcher Whrscheinlichkeit ht er gestern uch Nudeln gegessen?

201 Nchtermin 6 Eine krittive Orgnistion betreibt uf einem Dorffest ein Glücksrd Dieses ist in 6 gleich große Felder unterteilt Bleibt ds Rd rein zufällig nch dem Drehen uf einem der fünf brun gefärbten Felder stehen, so erhält der Spieler einen Schokoriegel (Wert Cent) Hält es n einem der beiden rot gefärbten Felder n, so bekommt der Spieler eine rote Rose (Wert 'HU+DXSWJHZLQQHLQ(LQNDXIVJXWVFKHLQLP:HUWYRQ wird usgegeben, wenn ds Glücksrd ds einzige schwrze Feld nzeigt Die restlichen Felder sind weiß; diese sind Nieten Wie viel muss die Orgnistion pro Spiel mindestens verlngen, dmit sie uf lnge Sicht keinen Verlust mcht? Mit welcher Streuung um den mittleren Gewinn ist bei diesem Glücksspiel zu rechnen? Tom möchte unbedingt einen Einkufsgutschein gewinnen Wie oft müsste er mindestens m Glücksrd drehen, dmit er wenigstens zu 9% sicher sein knn, einen Gutschein zu bekommen? L ö s u n g e n Modell: -stufiges Zufllseperiment ( Schüler wählt m / Tg ) P(G),65 +,5 +,,5 +,5 +,,85 Modell: 5-stufiges ZE bzw jeweils Bernoullikette P(A),65 5,6 P(B) 5,5,65,9 P(C),8 5,77 ZE: Bernoullikette der Länge mit der Trefferwhrscheinlichkeit, Die Zufllsgröße T zähle die Treffer P(T ) P(T < ),8,,8 9,98 Es hndelt sich um eine geordnete -Auswhl ohne Wiederholung us der Menge der Schüler, wobei die ersten 8 Plätze mit Schülern der Unterstufe besetzt sind gesuchte Anzhl: 8!!,9,6,, N S V 9 ( ) ( ) 9 7 Ω T P(T),85,6,, N S V

202 Nchtermin 6 5 -stufiges ZE: Tom mittwochs, Tom donnerstgs,9 N,9, N S, S,7, N S 5 P( Do Suppe ),9, +,,,9 +,, 5 P( Mi Nu Do Nu ),9,9,,8, ,95 6 gleich große Felder: 5 brune, rote, schwrzes, 56 weiße Die ZG X beschreibe den Gewinn eines Spielers in Euro W-Verteilung:, 5 P(X ) E(X) 6 (, ) 6 Will die Orgnistion im Mittel keinen Verlust mchen, muss sie den mittleren Gewinn eines Spielers ls Einstz pro Spiel verlngen, lso,5 Vr( X) E( X ) E ( X) Vr( X ), + + 5, (, 5 5 ), 5 (, ), 5,5,5 9,8 X 9DUX

203 Nchtermin 6 5 Es liegt eine Bernoulli-Kette der Länge n mit dem Prmeter p 6 Die Zufllsgröße T zähle die Treffer Lut Tet ist dnn n gesucht mit P(T ),9 P(T ),9 P(T ), 6 ( ) 6, n ln( ) ln(,) n 6 6 ln(,) ln( 6) 6 n 6, Tom müsste mindestens 7 ml spielen n

204 6 Nchtermin 6

205 Aufgbentete und Lösungen der schriftlichen Abiturprüfung im Srlnd 7

206

207 Hupttermin 7 Aufgbe A N A L Y S I S Gegeben ist die Funktionenschr ( ) f : 5 5 ; 6 ( + ) e, 5\{} Bestimmen Sie die Nullstellen in Abhängigkeit von Geben Sie für positive bzw negtive Werte von die Grenzwerte von f für + und für n Bestimmen Sie für die Funktionen der Schr in Abhängigkeit von die Koordinten und die Art der Etrempunkte ( ) [ Zur Kontrolle: f ( ) ( ) e + ] Bestimmen Sie die Gleichung der Kurve, uf der lle Wendepunkte der Grphen der Schr liegen 5 Untersuchen Sie, ob es einen Prmeterwert gibt, für den eine Wendestelle der Funktion f ist 6 Bestimmen Sie zur Funktion f,5 die Nullstelle, den y-achsenbschnitt und den Hochpunkt Zeichnen Sie unter Berücksichtigung dieser Ergebnisse und der Aufgbenteile und 5 den Grph 7 Zeigen Sie durch prtielle Integrtion, dss F( ) (+ ) e ein Stmmfunktionsterm von ( ),5 8 Zeigen Sie, dss die Fläche, die zwischen dem Grph von f,5 und der - Achse über dem Intervll [ ; + [ liegt, den Inhlt e ht 9 Die Funktion f, ht die positive -Achse ls Asymptote, die Nullstelle und den y-achsenbschnitt 5 5 Sie besitzt genu einen Wendepunkt e Zeichnen Sie unter Berücksichtigung dieser Angben und vorngehender Aufgbenteile den Grph Begründen Sie, dss es keine Prmeterwerte, 5 \{} mit so gibt, dss die beiden zugehörigen Grphen der Schr durch Spiegelung n der -Achse useinnder hervorgehen

208 Hupttermin 7 Gegeben seien in Anlehnung n Aufgbenteil die Funktion f: 5 5 ; 6 (+ ) e g: 5 5 ; 6 f( ) sowie die Funktion ( ) Ein Stmmfunktionsterm G() von g() ht die Form ( ) G() ( + b + c) e mit geeigneten reellen Koeffizienten, b und c Leiten Sie den llgemein gegebenen Term G() b und bestimmen Sie, b und c durch Vergleich der Koeffizienten ( konstnte Fktoren, mit denen Potenzen von multipliziert werden) des Ableitungsterms G ( ) mit dem Term g() ( ) [ Zur Kontrolle: G() ( 8 5) e + + ] Die Fläche im zweiten Qudrnten, die von den Koordintenchsen und dem Grph von f begrenzt wird, rotiert um die -Achse Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers Der Grph von f stellt oberhlb der -Achse ds Profil eines Hügels dr Die -Achse kennzeichnet ds Niveu der Umgebung vor dem Hügel Längeneinheit entspricht m Berechnen Sie die Höhe des Hügels bezüglich der Umgebung vor dem Hügel Der Punkt S( ) kennzeichnet den Stndpunkt eines leistungsstrken Bodenscheinwerfers, der uf den Hügel gerichtet ist Bis in welche Höhe beleuchten die Lichtstrhlen des Scheinwerfers den Hügel? Bestimmen Sie über dem -Achsenintervll [ ; + [ die Koordinten des Hügelortes, n dem ds Profil m steilsten verläuft

209 Hupttermin 7 L ö s u n g e n ( ) Gegeben ist die Funktionenschr f : 5 5 ; 6 ( + ) e, 5 \{} ( ) Es gilt: f () ( + ) e Jede Funktion der Schr ht somit genu eine Nullstelle ( ) ( ) Es ist f( ) ( + ) e + e Die e-funktion bestimmt den Betrg des Grenzwertes, der Fktor + entscheidet über ds Vorzeichen Im Einzelnen ergeben sich die folgenden Grenzwerte Für > : ( ) lim e + + ( ) lim e + (Annäherung von oben) Für < : ( ) lim e + + (Annäherung von unten) ( ) lim e + Ableitungen: ( ) ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) f + +, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f Als notwendige Bedingung für die Eistenz lokler Etrem ergibt sich: ( ) ( ) ( ) f + Für die zweite Ableitung n der Stelle gilt: ( ) () f Für < folgt: Für > folgt: f ( ) e >, d h T f ( ) e <, d h H e e () () ist ein Tiefpunkt ist ein Hochpunkt

210 Hupttermin 7 ( ) Für die zweite Ableitungen gilt: ( ) ( ) e f + Für die möglichen Wendestellen muss gelten: ( ) ( ) ( ) e f + (Die Vorussetzung bedeutet, dss ist) 5 Für Setzt mn in den Funktionsterm ein, so folgt: ( ) ( ) f () ( + ) e e Die Gleichung der Kurve, uf der lle Wendepunkte der Grphen der Schr liegen, lutet in der gewohnten Schreibweise: ( ) y e ergibt sich mit us Aufgbenteil der Prmeterwert Es bleibt zu prüfen, ob ttsächlich ein Wendepunkt vorliegt Dzu wird die zweite Ableitung uf einen Vorzeichenwechsel untersucht Es gilt: f,5( ) () e, f,5() e < und f,5() e > An der Stelle liegt somit ein Wendpunkt von f,5 vor 6 Nchfolgend sind die wichtigsten Informtionen zum Erstellen des Grphen der Funktion f,5 zusmmengestellt: Gemäß Aufgbenteil bestitzt f,5 die Nullstelle Für den y-achsenbschnitt gilt: f,5 () e,687 Nch Aufgbenteil liegt der Hochpunkt H vor Gemäß Aufgbenteil luten die Grenzwerte: lim f () (Annäherung von oben) und lim f () +,5 Aus Aufgbenteil 5 erhält mn den Wendepunkt ( ),5 e W

211 Hupttermin 7 5 Mit diesen Angben ergibt sich der folgende Grph y H W 5 7 Zu f,5( ) (+ ) e soll eine Stmmfunktion durch eine unbestimmte prtielle Integrtion bestimmt werden Für u ( ) (+ ) folgt u ( ) Für v( ) e folgt v ( ) e Dmit ergibt sich F ( ) f ( ) d,5,5 (+ ) e ( + ) e + e ( + ) e e ( + ) e d 8 Die Funktion f,5 ht,5 ls einzige Nullstelle Es ergibt sich die im obigen Schubild gekennzeichnete ins Unendliche reichende Fläche A Für ds Mß dieser Fläche gilt: +,5 z +,5,5 z,5 d A f d OLP + e d lim (+ ) e z + lim (z+ ) e + e e z + z z

212 6 Hupttermin 7 9 Gegeben ist 5 f,( ) ( 5+ ) e Nchfolgend sind die wichtigsten Informtionen zum Erstellen des Grphen der Funktion f, zusmmengestellt: Angeben ist die Nullstelle 5 e 5 Angegeben ist der y-achsenbschnitt, 8 Nch Aufgbenteil liegt der Tiefpunkt T e 7 5 vor Gemäß Aufgbenteil luten die Grenzwerte: lim f () (Annäherung von unten) und lim f () + +,, Aus Aufgbenteil 5 erhält mn den Wendepunkt W Mit diesen Angben ergibt sich der folgende Grph 5 e 5 y 5 T W Nch Aufgbenteil besitzt die Schrfunktion f die einzige Nullstelle Sollen die Grphen zweier Funktionen f und f mit spiegelbildlich zur - Achse liegen, so müssen sie die Nullstelle gemeinsm hben Dies ist ber für nicht möglich Es gibt lso keine zwei Grphen der Schr, die spiegelbildlich zur - Achse liegen Alterntive: Betrchtung der y-achsenbschnitte e f e f Es gilt: () () Alle y-achsenbschnitte der Schrfunktionen sind positiv

213 Hupttermin 7 7 Betrchtet werden die Funktion f: 5 5 ; 6 (+ ) e ( Funktion f,5 g: 5 5 ; 6 f( ) us Aufgbenteil ) sowie die Funktion ( ) Für die Funktion g wird eine Stmmfunktion durch Koeffizientenvergleich bestimmt Es gilt: ( ) ( ) g ( ) f( ) (+ + ) e ( ) Anstz für die Stmmfunktion: G() ( + b + c) e Durch Ableiten fogt: ( ) ( ) G () ( + b)e ( + b+ c)e ( ) ( + b b c) e ( ) ( + ( b) + b c) e Ein Koeffizientenvergleich ergibt, b b, b c b 5 c Die einzige Nullstelle von f ist,5 Dmit ergibt sich für ds Rottionsvolumen: 5 ( ) ( ) [ ] ( ) H e ( ) e H H,86 (VE) V f d G π + Die folgende Abbildung zeigt die beschriebene Anwendungssitution B y Hügel erreichte Höhe S Die Hügelhöhe entspricht dem Hochpunkt ( ) Der Hügel ist lso ÂP PKRFK H (Aufgbenteil bzw 6)

214 8 Hupttermin 7 Zur Bestimmung der Beleuchtungshöhe wird die Tngente t vom Punkt P( ) us n den Grph von f betrchtet Die vom Scheinwerfer erreichte mimle Höhe ergibt sich ls y-koordinte des Berührpunktes B(u f (u)) der Tngente t Allgemeine Tngentengleichung: u u t: y f ()( u u) + f() u ( u+ )e ( u) + (u+ )e Ds Einsetzen der Koordinten des Punktes P( ) ergibt: u u ( u+ ) e ( u) + (u+ ) e (u+ u u+ u+ ) e u (u + u) e u u (u+ ) e u u u Die Lösung u ist von der Anwendungssitution her gesehen nicht sinnvoll Für u ergibt sich f () e,687 Somit beleuchten die Lichtstrhlen des Scheinwerfers den Hügel bis in rund 6,5 m Höhe Betrchtet wird die Zielfunktion: f ( ) ( + ) e Gesucht ist die Stelle s [ ; + [, n der die Zielfunktion den betrgsmäßig größten Wert nnimmt Zu untersuchen sind lso lle loklen Etrem sowie die Rndetrem f ht gemäß Aufgbenteil 5 n der Stelle einen Wendepunkt Also ist lokle Etremstelle von f Es gilt dbei: f e Die Rnduntersuchung ergibt:,7 f ( ) und lim f () + Ds Profil verläuft über dem Intervll [ ; + [ im Punkt W e m steilsten

215 Hupttermin 7 9 Aufgbe A N A L Y T I S C H E G E O M E T R I E Gegeben sind die Punkte A(5 ), B( 8) und C(7 ) sowie die Ebenenschr et : G 6 t + ( t IR ) Bestimmen Sie eine Normlengleichung der durch die Punkte A, B und C festgelegten Ebene Beschreiben Sie die besondere Lge der Ebene e: + im Koordintensystem Bestimmen Sie in Abhängigkeit von t den Abstnd der Ebenen e t vom Ursprung Für welchen Prmeterwert t ergibt sich hierbei der größte Abstnd? Alle Ebenen der Schr e t schneiden einnder in einer gemeinsmen Schnittgerden Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Gerden 5 Die Ebenen der Schr e t bilden je einen Schnittwinkel α t mit der - - Ebene Zeigen Sie, dss die Formel cos( t t 9 + t gilt 6 Der Kosinuswert des Schnittwinkels zwischen einer bestimmten Ebene e t der Schr und der - -Ebene beträgt,8 Bestimmen Sie den Prmeterwert t 7 Berechnen Sie die Koordinten des Schnittpunktes F der Ebene e mit der -Achse G 8 Zeigen Sie, dss die Gerde h: 9,6 + in der Ebene e verläuft und prllel zur Gerden g: + ist 7,8 8 G

216 Hupttermin 7 Die Koordinten und Bezeichnungen us Aufgbenteil dienen nun zur Beschreibung einer relen Sitution ( LE m) In der hier betrchteten Sitution kennzeichnet die Gerde g den Uferverluf eines stehenden Gewässers, dessen Wsseroberfläche in der - - Ebene liegt Die Ebene e beschreibt die Uferböschung, uf der ein Weg h prllel zum Ufer g verläuft Oberhlb dieses Weges befindet sich mit Fußpunkt F( 5) ein m hoher Mobilfunksendemst S Sendemst Böschungsebene e F Weg h - -Ebene Ufer g Gewässer Berechnen Sie den Abstnd des Weges h vom Ufer g Geben Sie die Koordinten der Mstspitze S n Vom Punkt P(88 ) us, der m gegenüberliegenden Ufer des Gewässers liegt, betrchtet Peter ds im Wsserspiegel erscheinende Spiegelbild S ( 5) der Mstspitze S Auf welchen Punkt W der Wsseroberfläche schut Peter dbei?

217 Hupttermin 7 L ö s u n g e n Gegeben sind die Punkte A(5 ), B( 8) und C(7 ) sowie die Ebenenschr Richtungsvektoren der Ebene e ABC : Kreuzprodukt: et G : 6 t 9 JJJG AB 5 9 JJJG JJJG AB AC Ein einfcher Normlenvektor ist: Punktnormlengleichung von eabc G n t IR ) + ( und JJJG AC 5 5 G : Es ist e e ABC Die Ebene e ist die Prllelebene zur - -Ebene durch ( ) Die Hesse-Gleichung von e t lutet: G 6 9+ t 9+ t t 6 Der Abstnd der Ebene vom Ursprung beträgt somit 9 + t Der Abstnd ist miml, wenn der Nenner miniml ist, lso für t Für die Ebenen e t gilt: ( ) + t 6 t Wählt mn λ und µ, so erhält mn eine Gleichung von e t in Prmeterform: et : t + + t Die ersten beiden Summnden sind unbhängig vom Prmeter t und bestimmen die 8 G Schnittgerde g: + (vgl Aufgbenteil 8) Alterntive: Schnittgerde für zwei konkrete Ebenen wie z B e und e bestimmen

218 Hupttermin 7 5 Schnittwinkel von e t mit der - -Ebene: cos( t t t t 9+ t t 9 + t 6 Der gesuchte Prmeterwert ergibt sich wie folgt: t t cos( t t ( ) + t t t 9 + t 7 Für den Schnittpunkt F der Ebene e mit der -Achse gilt: ( ) + 6 Dmit ergibt sich der Schnittpunkt F( 5) 8 Die Gerden g und h sind prllel, d ihre Richtungsvektoren im vorliegenden Fll sogr identisch sind Es bleibt nchzuweisen, dss h e gilt Durch Einsetzen der Gleichung von h in die Gleichung von e ergibt sich: 9,6 + 7,8 + 8,8 +, + µ 6 [w] Gegebene Sitution: S Sendemst Böschungsebene e F Weg h - -Ebene Ufer g Gewässer G Böschungsebene: e : 6 Sendemsthöhe: s Meter ; Fußpunkt: F ( 5) ;

219 Hupttermin 7 D g und h prllel sind, knn der Abstnd des Weges h vom Ufer g ls Abstnd des Aufpunkts A von h berechnet werden g Wir bilden die Hilfsebene e durch den Aufpunkt von g ls Normlenvektor: Berechnung der Schnittmenge e h: 8 G e : 8 9,6 + 7,8 A g von g mit dem Richtungsvektor + µ 8 Der Schnittpunkt von e und h ist lso L(8 9,6 7,8) und dmit der Abstnd: d g h JJJJG 8 8 7,8 ( ; ) Ag L 9,6 +, + 7,8 69 ( in Meter) Die Koordinten der Mstspitze sind: S ( 5 + ) S ( 5) Die Blickgerde PS ht die Gleichung Als Schnittmenge mit der - -Ebene ergibt sich: G Peter blickt uf den Punkt W (7 7 ) der Wsseroberfläche

220 Hupttermin 7 Aufgbe W A H R S C H E I N L I C H K E I T S T H E O R I E Bei einer Sportlotterie werden Rubbelkrten zum Preis von 5 ¼YHUNDXIW Jede Rubbelkrte ht 6 Felder Zwei Felder sind mit dem Bild eines Tennisschlägers, vier Felder mit dem Bild eines Hockeyschlägers und vier Felder mit dem Bild eines Fußblls versehen Die restlichen Felder sind leer, zeigen lso kein Bild Die Bilder sind zufällig pltziert Alle Felder sind mit einer undurchsichtigen Schutzschicht überzogen, die über genu zwei Feldern weggerubbelt werden soll Der Käufer einer Rubbelkrte erhält 6 ¼EHL]ZHLIUHLJHUXEEHOWHQ7HQQLsschlägern (Huptgewinn), ¼ EHL ]ZHL +RFNH\VFKOlJHUQ XQG ¼ EHL zwei Fußbällen Ein Käufer rubbelt beide Felder ncheinnder frei Zeichnen Sie mit Blick uf die Gewinnmöglichkeiten ein Bumdigrmm Ermitteln Sie die Whrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A: Beide Felder zeigen dsselbe Bild B: Mindestens ein Feld zeigt einen Fußbll C: Entweder A oder B tritt ein Berechnen Sie den durchschnittlichen Spielgewinn pro Rubbelkrte Wie müsste der Auszhlungsbetrg für zwei Hockeyschläger bgeändert werden, dmit ds Spiel fir ist? 5 Ein Bechvolleyblltem kuft Rubbelkrten 5 Wie viele Krten mit Auszhlung drf es erwrten? 5 Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss es genu zwei Huptgewinne erzielt? In einer Sportrt sind Prozent ller Sportler, die n Wettkämpfen teilnehmen, gedopt Die Sportler für die Dopingkontrollen werden zufällig usgewählt Ein renommiertes Institut, ds die Dopingkontrollen durchführt, erkennt einen Dopingsünder mit 99 Prozent Whrscheinlichkeit Leider werden ber uch 5 Prozent der nicht gedopten Sportler positiv getestet, d h ls gedopt usgewiesen Wie whrscheinlich ist es, dss ein usgewählter Sportler gedopt ist und die Kontrolle positiv usfällt? Mit welcher Whrscheinlichkeit wird ein usgewählter Sportler positiv getestet? Bestimmen Sie die Whrscheinlichkeit, mit der ein usgewählter Sportler gedopt ist, wenn die Untersuchung positiv usfällt

221 Hupttermin 7 5 Die prominenten Fußbllspieler Bllttc und Flnkert schießen bei zhlreichen Wohl-tätigkeitsvernstltungen uf eine Torwnd Ein Schuss von Bllttc trifft dbei mit der Whrscheinlichkeit Prozent, ein Schuss von Flnkert hingegen mit 5 Prozent Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss Bllttc in einem Durchgng (ds sind sechs Schüsse uf die Torwnd) mindestens zweiml trifft? Bei einer Vernstltung ist vorgesehen, dss zunächst Flnkert zweiml schießt und nschließend nur noch Blltc Wie oft müsste Blltc schießen, wenn ds Ziel (Loch in der Torwnd) mit einer Whrscheinlichkeit von mindestens 99 Prozent insgesmt wenigstens einml getroffen werden soll? L ö s u n g e n Mit den Bezeichnungen T: Ein Tennisschläger wird freigerubbelt H: Ein Hockeyschläger wird freigerubbelt F: Ein Fußbll wird freigerubbelt ergibt sich ds folgende Bumdigrmm: T H F kein Bild 5 5 T T H H F F T H F kein Bild Für ds Ereignis A: Zwei gleiche Bilder folgt: P(A) + +, Für ds Ereignis B: Mindestens ein Fußbll ergibt sich: 9 P (B) P( B),5 6 5 Für ds Ereignis C: Entweder A oder B tritt ein gilt: P(C) P( A B) P( A B) P( A ) + P(B) P( A B) Dbei bedeutet A B : Beide Felder zeigen einen Fußbll mit P(A B) 6 5 Dmit ergibt sich: P(C) P( A B) P( A B) P( A ) + P(B) P( A B) ,

222 6 Hupttermin 7 Der Gewinn G ergibt sich ls: G Auszhlung A Einstz Z Dbei gilt: P (G 55) 6 ; P (G 5) P (G 5) ; P (G 5) Für den Erwrtungswert des Gewinns folgt dmit: E(G) ( ( 5) 7 ) Durchschnittlich verlieren Käufer pro Rubbelkrte bzw pro Spiel ¼ Bezeichnet g den bgeänderten Auszhlungsbetrg für zwei Hockeyschläger, so ergibt sich für den Erwrtungswert des Gewinns: EG ( ) ( 55 + g ( 5) 7) 55 + g g 6 5 g 75 Ds Spiel wird fir, wenn für zwei Hockeyschläger 8 ¼DXVJH]DKOWZerden 5 Es liegt eine Bernoulli-Kette der Länge n vor Für den Prmeter p gilt: p P( Ausz ) Für den Erwrtungswert der Anzhl der Auszhlungen ergibt sich: E n p Es sind Rubbelkrten mit Auszhlung zu erwrten 5 Gemäß Teil bzw gilt: P( Huptgewinn ) P (G 55) 6 5 Die beschriebene Sitution lässt sich ls Bernoullikette der Länge n mit Prmeter p deuten Als Whrscheinlichkeit für genu zwei Huptgewinne ergibt sich: 9 P( genu zwei Huptgewinne ),87 8,7 % Mit den Bezeichnungen Ereignis D: Der usgewählte Sportler ist gedopt Ereignis K: Die Dopingkontrolle fällt positiv us ergibt sich ds nebenstehende Bumdigrmm 8,, 9 D D,99,, 5, 95 K K K K

223 Hupttermin 7 7 Für die Whrscheinlichkeit, dss ein usgewählter Sportler gedopt ist und die Kontrolle positiv usfällt, folgt: P (K D) P( K D) P(D),99,,99 9,9% Für die Whrscheinlichkeit, dss ein usgewählter Sportler positiv getestet wird, folgt: P(K) P(K D) + P(K D),99, +,5,9,,% Die Whrscheinlichkeit, mit der ein usgewählter Sportler gedopt ist, wenn die Untersuchung positiv usfällt, beträgt: P(D K),99 P (D K), ,75% P(K), Es liegt eine Bernoullikette der Länge n 6 mit Prmeter p, vor Die Whrscheinlichkeit, dss Bllttc in einem Durchgng mindestens zweiml trifft, beträgt: P(T ) P(T ),,8,,8,6,9,5,5% Bllttc und Flnkert treffen unbhängig voneinnder Gesucht ist die Whrscheinlichkeit für ds Ereignis W Wenigstens ein Treffer Gegenereignis: W Kein Treffer D Bllttc und Flnkert unbhängig voneinnder treffen gilt: P( W ),75,8 n Dmit folgt: n n, P(W),99 P(W),99,75,8,99,8,75, ln,,75 n ln(,8) ln n n 8,6,75 ln(,8) Bllttc müsste lso mindestens 9 ml schießen

224 8 Nchtermin 7 Aufgbe A N A L Y S I S Gegeben ist die Funktionenschr f k ( k ) : 5 5, 6 e mit k 5 Zeigen Sie, dss lle Grphen der Schr genu einen Punkt gemeinsm hben, und geben Sie die Koordinten dieses Punktes n Zeigen Sie, dss lle Grphen der Schr n der Stelle dieselbe Tngente besitzen, und geben Sie deren Gleichung n Bestimmen Sie die Ortskurve der loklen Etrempunkte der Schr Zeigen Sie, dss für lle Funktionen der Schr mit k und lle 5 gilt: f f k k + k k Interpretieren Sie diese Aussge hinsichtlich des Grphenverlufs 5 Geben Sie in Abhängigkeit von k die Grenzwerte der Funktionen der Schr für ± n 6 Für k <, für k und für k > ergibt sich jeweils eine ndere Grundform des Grphen Skizzieren Sie unter Verwendung bisheriger Erkenntnisse die Grphen für die Prmeterwerte k, für k und für k (-Achse mit LE cm, y-achse mit LE cm) 7 Betrchten Sie für positive Prmeterwerte k jeweils ds Qudrt mit chsenprllelen Seiten und je zwei Eckpunkten uf Grph f k bzw uf der - Achse Bestimmen Sie lle Werte k, für die dieses Qudrt die Seitenlänge e ht 8 Bestimmen Sie k so, dss f k n der Stelle den Wert ht 9 ( ) Diskutieren Sie die Funktion :, e f ohne die Nennung der Monotonie- und Krümmungsintervlle

225 Nchtermin 7 9 Eine Fläche wird von einer punktförmigen Lichtquelle L bestrhlt P sei ein Punkt dieser Fläche Dbei gilt: Je größer der Abstnd d des Punktes P von der Lichtquelle ist, desto kleiner ist die Beleuchtungsstärke g in diesem Punkt Je größer der Neigungswinkel α der Fläche gegenüber den einfllenden Strhlen ist, desto größer ist die Beleuchtungsstärke g in diesem Punkt sin( Genu gilt: g d mit einer von der Lichtquelle bhängigen Konstnten M L ( Lichtquelle ) Fläche Ein Scheinwerfer mit der Konstnten wird nun im Abstnd über einer Fläche ufgehängt Betrchtet wird die Beleuchtungsstärke g in einem Punkt P, der drei Längeneinheiten von dem m stärksten beleuchteten Punkt M der Fläche entfernt ist Zeigen Sie, dss für die Beleuchtungsstärke in einem solchen Punkt P gilt: g ( ) ( + 9) Für welche Höhe wird die Beleuchtungsstärke im Punkt P miml? (9 ) [ Zur Kontrolle: g ( ) ] 5 ( + 9) d D P

226 Nchtermin 7 L ö s u n g e n Gegeben ist die Funktionenschr k ( k ) f : 5 5, 6 e mit k 5 Für Prmeter, b 5 mit b mcht mn den Anstz: ( ) ( b ) f ( ) f ( ) e e b b ( ) b b Es liegt eine doppelte Nullstelle und dmit eine Berührstelle vor Alle Grphen der Schr hben genu den Punkt P( ) gemeinsm Für die Ableitung ergibt sich: f ( k ) ( k ) ( ) e Die Tngente n der Stelle ht die Gleichung: t : y f k() ( ) + fk() y + Die Tngente t ist unbhängig vom Prmeter k Notwendige Bedingung für die Eistenz lokler Etrem: k ( ) ( k ) k f ( ) k e Einsetzen von k in die Funktionsgleichung von f k ergibt: k k y e Gleichung der Kurve, uf der lle Etrempunkte der Grphen der Schr liegen: y e Es gilt: k 8 k k k + fk k k k k e e 8 8 k k + k k k k f k e e e k k k + k k k k k e e k k k k k k e e Dmit folgt: fk fk + k k Dies bedeutet nschulich, dss die Grphen der Schr für k jeweils zur Gerden chsensymmetrisch sind k

227 Nchtermin 7 5 In Abhängigkeit von k ergeben sich folgende Grenzwerte für ± : Fll k < : lim f ( ) + ; lim f ( ) +, + k + Fll k : lim f ( ) + ; lim f ( ) (von oben), + k + + Fll k > : lim f ( ) (von oben) ; lim f ( ) (von oben) + k k k k 6 Skizze der Grphen: 5 k k k Gemäß der nebenstehenden Skizze (für k ), in der die Symmetrie des Funktionsgrphen bereits berücksichtigt ist, entsteht ein Qudrt der Seitenlänge e, wenn gilt: k e f ( + ) e e e e k k + k + e e + k + k k e y 8 e e + e + + k k k k e k e + 8 k e k k k 6 k e k 6 k + k e e k + e 6e + e k ( ± e + ) e k, 55 ( k,76689 ) 8 Bedingung: f k () e 8k 8 k k

228 Nchtermin 7 9 Diskussion der Funktion Nullstellen: keine ( ) f : 5 5, 6 e einfche Symmetrien: keine (vgl Etrem) + Grenzverhlten: lim f ( ) (von oben) ± Die -Achse ist Asymptote für ± Ableitungen: k ( ) f ( ) ( ) e + f ( ) (6 ) e ( ) Lokle Etrem: Notwendige Bedingung: f ( ) Hinreichende Bedingung: f () e < Es liegt der Hochpunkt H( e ) vor Wendepunkte: + Notwendige Bedingung: f ( ) 6 Hinreichende Bedingung durch Vorzeichenbetrchtung: f () > ; Es liegen die Wendpunkte W e und W e Grph f () e < ; f () > vor - -

229 Nchtermin 7 Im dem rechtwinkligen Dreieck MPL ist d > und es gilt: () d + 9 d + 9, () sin d + 9 Aus beiden Bedingungen folgt: g sin( g d ( ) Zur Bestimmung der mimlen Beleuchtungsstärke wird folgende Zielfunktion betrchtet: g ( ) mit D ]; + [ ( ) + 9 Für die Ableitung der Funktion g erhält mn: ( ) ( ) g ( ) ( + 9) g ( ) ( ) ( + 9) ( ) ( + 9 ) + 9 ( + 9) 9 ( ) Untersuchung uf lokle Etrem Notwendige Bedingung: g ( ) 9, Die zweite Lösung entfällt in dem Schzusmmenhng Notwendige Bedingung durch Vorzeichenbetrchtung: 9 Wegen g () > und g () < ist lokle Mimumstelle Rndunterbetrchtung: Es gilt lim lim g ( ) und g ( ) + + Dher ist ds lokle Mimum uch ds globle Mimum Ergebnis: Um eine mimle Beleuchtungsstärke zu erreichen, muss sich die Lmpe LE über der Fläche befinden

230 Nchtermin 7 Aufgbe A N A L Y T I S C H E G E O M E T R I E Gegeben sind die Punkte A(7 7 ) und B(9 7), die Punkteschr C t (t t + 5 t + ) sowie die Gerde g: + 7 K sei die Kugel mit Mittelpunkt M( ) und Rdius Bestimmen Sie lle t 5, für die C t uf der Kugel K liegt Ermitteln Sie eine Normlengleichung der Ebene e, die durch die Punkte A, B und den Punkt C( 8 7) verläuft [ Zur Kontrolle: e: 7 ] Zeigen Sie, dss die Gerde g in der Ebene e verläuft und die Mittelsenkrechte der Seite AC im Dreieck ABC ist Der Umkreismittelpunkt U von Dreieck ABC liegt uf der Gerden g Bestimmen Sie seine Koordinten [ Zur Kontrolle: U( 7) ] 5 Zeigen Sie, dss der Punkt R( 6 7) im Inneren des Dreiecks ABC liegt 6 Der Ursprung O liegt ebenso wie A, B und C uf der Kugel K Berechnen Sie ds Volumen der Pyrmide, die ds Dreieck ABC ls Grundfläche und den Ursprung O ls Spitze ht 7 Bestimmen Sie eine Gleichung derjenigen Ebene, die die Kugel K im Ursprung O berührt

231 Nchtermin 7 5 Die Kugel K us Aufgbenteil sei ein Modell der Erde (wobei die Abflchung der Erde n den Polen in dem Modell unberücksichtigt bleibt) Die Punkte A, B, C liegen dbei lle uf demselben nördlichen Breitenkreis mit Rdius 5 Längeneinheiten Erdchse N Örtlicher Meridin Breitenkreis U A Nullmeridin M M Äqutor O S λ geogrphische Länge von A ; ϕ geogrphische Breite von A Berechnen Sie die gemeinsme geogrphische Breite ϕ (Schnittwinkel zwischen der Gerden MA und der Äqutorebene) der Punkte A, B und C Eine Längeneinheit im Modell entspricht 995 km Die Inseln A und B liegen im pzifischen Ozen Ein Flugzeugträger fährt von A nch B entlng des Breitenkreises, uf dem beide Inseln liegen Ein Continerschiff fährt uf dem kürzesten Weg von A nch B Berechnen Sie die Längen der beiden Seewege in Kilometer

232 6 Nchtermin 7 L ö s u n g e n Zu bestimmen sind lle t 5, für die C t uf der Kugel K liegt JJJJG MC t t t + 5 t + ( t 6) + ( t+ ) t 8t+ 8 t 6 t + t + t t Richtungsvektoren der Ebene durch die Punkte A, B und C( 8 7): 6 JJJG JJJG AB b und AC c 8 6 Für ds Vektorprodukt der Richtungsvektoren folgt: 8 Mit einem einfchen Normlenvektor erhält mn ls Normlengleichung: e: n [ ] 7 [ ] 7 7 D der Normlenvektor die Länge ht, hndelt es sich bei der letzten Gleichung bereits um die HESSE-Gleichung der Ebene Betrchtet wird die Gerde g: + 7 Für den Richtungsvektor u von g und den Normlenvektor n von e gilt: u n Dies bedeutet, dss g prllel zu e verläuft Die Punktprobe für den Aufpunkt von g in e ergibt: Dmit ist nchgewiesen, dss g in e verläuft

233 Nchtermin 7 7 Für den Ortsvektor des Mittelpunkts M b von AC gilt: OM JJJJJG 7 8 b ( + c) Dmit ergibt sich M b( 7) Der Mittelpunkt M b von AC liegt uf g, denn die Punktprobe ergibt: + λ λ λ 7 7 JJJG Der Richtungsvektor von g ist orthogonl zu AC, denn es gilt: 6 8 Der Umkreismittelpunkt U des Dreiecks liegt uf der Mittelsenkrechten der Seite AC im Dreieck ABC g Für den zugehörigen Ortsvektor gilt dher: u + 7 Für den Umkreismittelpunkt gilt: JJJJG JJJG AU BU u u b Es folgt u ( ( U( 7) ist Mittelpunkt des Umkreises von Dreieck ABC 7 C A U B

234 8 Nchtermin 7 5 Es soll gezeigt werden, dss R( 6 7) liegt im Inneren des Dreiecks ABC liegt Die Dreirecksfläche ist die Punktmenge 7 6 X e Die Punktprobe für R in der Gleichung von e ergibt: Diese Vektorgleichung führt zu folgendem Gleichungssystem: Es folgt: µ und λ Dbei gilt < λ, µ und λ + µ < 5 R liegt lso im Inneren des Dreiecks ABC 6 Nch Teil gilt: AB AC Für ds Volumen der Pyrmide ABCO ergibt sich dher: V P 6 ( JJJG AB JJJG AC ) JJJG AO (VE) 7 Die Berührebene ht den Normlenvektor m und geht durch den Ursprung Eine Gleichung der Tngentilebene im Ursprung lutet dher:

235 Nchtermin 7 9 ϕ ist die gemeinsme geogrphische Breite der Punkte A, B und C n ist Normlenvektor der Äqutorebene Für den Schnittwinkel zwischen der Gerden MA und der Äqutorebene folgt: ( m) n sin( ϕ ) m n,65 Es folgt ϕ 8,66 Flugzeugträger Der Flugzeugträger fährt uf dem Breitenkreis mit Mittelpunkt U JJJG Für den Rdius dieses Breitenkreises gilt: UA 995km 5 Â 995km 975 km JJJG JJJG ) Für den Mittelpunktswinkel ε gilt: ε ) ( UA; UB Verbindungsvektoren JJJG JJJG UA ; UB JJJG JJJG JJJG JJJG Dbei gilt: UA UB 5 und UA UB 5 B U H A 5 Es folgt cos(ε ),6 und dmit ε 5, (Kleinkreis) 5 ε Der Seeweg des Flugzeugträgers beträgt: π 975km 6 km 6 Continerschiff Ds Continerschiff fährt uf einem Kreis mit Mittelpunkt M JJJG Für den Rdius dieses Kreises gilt: MA 995km 67 km JJJG JJJG Für den Mittelpunktswinkel δ gilt: δ ) ( MA; MB ) Verbindungsvektoren JJJG JJJG MA ; MB 7 7 JJJG JJJG JJJG JJJG Dbei gilt: MA MB und MA MB Es folgt cos(δ ),756 und dmit δ,88 B G M (Großkreis) A δ Der Seeweg des Continerschiffs beträgt: π 67km 55 km 6

236 Nchtermin 7 Aufgbe W A H R S C H E I N L I C H K E I T S T H E O R I E An einem Läuferbend nehmen Personen teil Es werden ein Mittelstreckenluf und ein Lngstreckenluf ngeboten Alle Läuferinnen und Läufer hben verschiedene Nchnmen und erreichen ds Ziel Drei Fruen und drei Männer stmmen us Ahusen An beiden Läufen beteiligen sich gleich viele Fruen Die Whrscheinlichkeit, dss eine zufällig usgewählte Person weiblich ist und die Lngstrecke läuft, beträgt, Berechnen Sie nhnd dieser Angben, wie viele Fruen n dem Läuferbend teilnehmen Eine Fru und zwei Männer durchlufen soeben eine Zeitnhmestelle Mit welcher Whrscheinlichkeit stmmt diese Gruppe us Ahusen? Bei den Läufen treten zwölf Männer n, dvon sieben Männer bei der Mittelstrecke Ein Zuschuer erfährt, dss beim Mittelstreckenluf genu eine Person bereits die Ziellinie überquert ht Mit welcher Whrscheinlichkeit ist diese Person eine Fru? Bei der Lngstrecke wird unbhängig von Alter und Geschlecht eine Ergebnisliste in der Reihenfolge des Zieleinlufs erstellt Bei der Mittelstrecke gibt es zwei nch Geschlecht getrennte Ergebnislisten Mit welcher Whrscheinlichkeit stehen in llen drei Ergebnislisten die Nchnmen in lphbetischer Reihenfolge? Zum Jubiläumssportfest eines Sportvereins im nächsten Jhr werden zhlreiche Einldungen n befreundete Sportler in lle Welt verschickt Auf dem Weg von Deutschlnd in ds Lnd Z gehen Prozent der Briefe verloren, in umgekehrter Richtung sogr 5 Prozent Ein befreundeter Sportler im Lnd Z bentwortet 9 Prozent ller erhltenen Briefe Auf ds n ihn gerichtete Einldungsschreiben hin ist jedoch kein Antwortschreiben von ihm eingegngen Zeichnen Sie zur geschilderten Sitution ein Bumdigrmm mitsmt den uftretenden Whrscheinlichkeiten Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss der erwähnte Sportler im Lnd Z die Einldung nicht bekommen ht?

237 Nchtermin 7 In einem sportmedizinischen Institut soll untersucht werden, ob ds Blut eines bestimmten Sportlers ein bestimmtes Stoffwechselprodukt ufweist Dzu liegen Blutproben des Sportlers vor D ein solcher Bluttest recht kostenufwändig ist, soll die Anzhl der Tests niedrig gehlten werden Erfhrungsgemäß weisen nur etw Prozent der Blutproben überhöhte Messwerte für ds Stoffwechselprodukt uf Ds Institut knn verschiedene Methoden des Testens verwenden Methode Jede Probe wird einzeln untersucht Methode Aufbereitetes Blut ller Proben wird vermischt und untersucht Wenn in der Mischung der entsprechend gewichtete Messwert für ds Stoffwechselprodukt nicht überhöht ist, genügt dieser eine Test Zeigt der Test der Mischung jedoch eine Überhöhung n, muss jede Probe noch einzeln untersucht werden Die Proben werden nch der Methode untersucht Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss Test bereits usreicht? [ Zur Kontrolle: Whrscheinlichkeit rund % ] Mit wie vielen Tests muss bei Methode gerechnet werden? Vergleichen Sie mit Methode Bis zu welcher Probennzhl n ist Methode kostengünstiger ls Methode?

238 Nchtermin 7 L ö s u n g e n D sich n beiden Läufen gleich viele Fruen beteiligen, beträgt die Whrscheinlichkeit, dss eine zufällig usgewählte Person weiblich ist,, Also nehmen Â, 8 Fruen teil Die Whrscheinlichkeit, dss die Gruppe us Ahusen stmmt, beträgt: 9 Ereignis F: Die Person ist eine Fru Ereignis MS: Die Person läuft die Mittelstrecke Hiermit ergibt sich folgendes Bumdigrmm: Läuferbend,8 8 8 M F Geschlecht 7 5 MS LS MS LS Lufstrecke Für die gesuchte bedingte Whrscheinlichkeit folgt: P(F MS) P(F MS) P(MS) Alterntive Argumenttion: Beim Mittelsteckenluf treten 7 von Männern n D n beiden Läufen gleich viele Fruen teilnehmen, kommen noch Fruen hinzu Bei der Mittelstrecke befinden lso Fruen unter Teilnehmern Bei der Lngstrecke sind 9! 6 88 Listen möglich, bei der Mittelstrecke der Männer 7! 5 Listen und bei der Mittelstrecke der Fruen! Listen Wegen der Unbhängigkeit beträgt die Whrscheinlichkeit für eine lphbetische Reihenfolge: ,78

239 Nchtermin 7 Nchfolgend werden folgende Bezeichnungen verwendet: Ereignis A: Der Einldungsbrief ht den befreundeten Sportler erreicht Ereignis B: Der Eingeldene ht den Brief bentwortet Ereignis C: Ds Antwortschreiben ist beim Sportverein eingegngen Im folgenden Bumdigrmm wurden lle Pfde mit der Whrscheinlichkeit weggelssen,, 96 A A,,,9 B B B,,,5,95 C C C C Gesucht ist die bedingte Whrscheinlichkeit: P ( A C ) P( A C ), P( C),+,96, +,96,9,5,, %

240 Nchtermin 7 Es liegt eine Bernoullikette der Länge n mit Prmeter p, vor P ( T ) ( p),9,6,6% Bei der Methode sind Tests erforderlich Der Erwrtungswert für die Anzhl der Tests bei Methode beträgt: E(X),9 + (,9 ) 8,6 Es muss bei Methode mit etw 9 Proben gerechnet werden Dmit ist die Methode günstiger Die Zufllsgröße X zähle die Anzhl der Tests Bei n Proben erhält mn bei Methode : E( X ) n, bei Methode : n n n n n n E( X),9 + (,9 ) ( n+ ),9 + n+,9 n,9 n+,9 n Die Methode ist günstiger ls die Methode flls gilt: n+,9 n n< n,9 n n<,9 n n> Probieren mit dem Tschenrechner liefert, dss diese Ungleichung bis n erfüllt ist und drüber hinus nicht mehr Wenn die Anzhl der Proben unter liegt, ist Methode günstiger ls Methode

241 Aufgbentete und Lösungen der schriftlichen Abiturprüfung im Srlnd 8

242

243 Hupttermin 8 Aufgbe A N A L Y S I S k Gegeben ist die Funktionenschr fk : Dm 5; 6 mit k 5? { } + k Bestimmen Sie den mimlen Definitionsbereich in Abhängigkeit von k Untersuchen Sie die Funktionen der Schr uf einfche Symmetrien Ermitteln Sie die Gleichung der Asymptote f A k und untersuchen Sie, ob sich der Grph von f k für 6 ± jeweils der Asymptote von oben oder unten nnähert Berechnen Sie die erste und die zweite Ableitung von f k k ( k ) (Zur Kontrolle: f k ( ) ) ( + k) 5 Zeigen Sie, dss lle Funktionsgrphen der Schr denselben Tiefpunkt hben und geben Sie diesen n 6 Jeder Funktionsgrph von f k mit k > besitzt zwei Wendepunkte Auf welcher Kurve liegen diese Wendepunkte? 7 Zeichnen Sie unter Verwendung der bisher ermittelten Eigenschften den Grph der Funktion f und die zugehörige Asymptote f A in ein Koordintensystem 8 Für welche -Werte ist der Abstnd zwischen dem Grphen von f und seiner Asymptote f A kleiner ls? Der Grph der Funktion [ ] g : ; 5, 6 f ( ) mit f us 7 beschreibt näherungsweise den Querschnitt eines Abwsserknls (Mße in Metern) Bestimmen Sie die Wsserhöhe im Knl n seiner tiefsten Stelle, wenn die Wsseroberfläche m breit ist Die Wsserhöhe im Abwsserknl ändert sich Diese Änderung wird beschrieben t 5t+ durch die momentne Änderungsrte rt (), wobei die Zeit t in Tgen und ( t + ) die Änderungsrte rt () in Zentimetern pro Tg gemessen wird Eine negtive Änderungsrte bedeutet, dss die Wsserhöhe bnimmt Die Grfik stellt die Änderungsrte rt () während eines Beobchtungszeitrumes von 7 Tgen dr r (in cm Tg ) 7 t (in Tgen)

244 Hupttermin 8 Wie groß ist die Änderungsrte zu Beginn der Woche? Ermitteln Sie die Zeitpunkte, zu denen sich die Wsserhöhe nicht verändert Beschreiben Sie nhnd der Zeichnung qulittiv die Veränderung der Wsserhöhe während der Woche Interpretieren Sie in diesem Zusmmenhng uch die Bedeutung der Nullstellen von r Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Wsserpegel m stärksten sinkt 5 Zeigen Sie, dss lle Funktionen R c der Schr mit R t t t+ t+ + c t 5 c 5 c ( ) 5 ln ( ) mit und Stmmfunktionen der Änderungsrtenfunktion r sind 6 Die Funktionswerte der Stmmfunktion R c geben die Wsserhöhe im Knl n seiner tiefsten Stelle in Zentimetern n Die Konstnte c hängt dbei von der Wsserhöhe zu Beginn der Woche b Welche Wsserhöhe ht der Knl m Ende der Woche, wenn diese zu Beginn der Woche 75 Zentimeter beträgt? 7 Zu welchem Zeitpunkt der Woche ht der Knl seinen höchsten Wsserstnd? Der rechts bgebildete Körper entsteht durch Rottion des Grphen der Funktion h mit h( ) cos( ) um die -Achse über dem Intervll ; Berechnen Sie ds ekte Volumen des bgebildeten Rottionskörpers Hinweis: cos ( ) d ( sin( ) cos( )) + Ds Volumen des Rottionskörpers soll nun näherungsweise bestimmt werden Hierzu wird der Grph der Funktion h im Intervll ; durch eine nch unten geöffnete Prbel p pproimiert Ermitteln Sie die Prbelgleichung, wenn der Grph der Kosinusfunktion und die Pr- P, ( ) R hben bel die gemeinsmen Punkte ( ) (Zur Kontrolle: p ( ) + ) Q und ( ) Berechnen Sie ds Volumen des durch Rottion der Prbel um die -Achse über dem Intervll ; entstehenden Rottionskörpers Welchen Fehler in Prozent mcht mn mit dem Näherungsverfhren?